مفهوم بردارهای مختصات را ارائه دهید. چگونه می توان مختصات بردار را پیدا کرد

مختصات بردار

مقدار نامیده می شود بردار مخفی ، و شماره او است مقرر کردن

چگونه پایه در هواپیما شکل گرفته است

چگونه پایه در فضا شکل می گیرد

بر اساس فضای بردار، حداکثر سیستم مستقل خطی از بردارهای از این فضا نامیده می شود.

سیستم تعریف A1، A2 بردار ،. . . ، از فضای بردار V سیستم تشکیل این فضا نامیده می شود اگر هر بردار V به صورت خطی از طریق بردارهای A1، A2 بیان شود. . . ، یک.

یک سیستم بردار سفارش داده شده پایه فضای بردار V است اگر تنها زمانی است که یک سیستم خطی مستقل از تشکیل این فضا است

چه چیزی به نام Decartian نامیده می شود

اگر Vectors E1، E2، E3 به طور متفاوتی متعامد باشد و ماژول برابر با یک است، سپس آنها از یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی نامیده می شوند، و پایه خود یک مبنای دکوراسیون Orthonormal است.

خواص مختصات بردارهای بردار را در پایه دکارتی فرموله کنید

مختصات نقطه ای نامیده می شود

فاصله نقطه از هواپیماهای مختصات مختصات نقطه نامیده می شود.
فاصله AA 1 از هواپیما P 1 به نام متقاضی نامیده می شود و از طریق AA 2 نقطه از هواپیما P 2 نامیده می شود - نقطه Ordenate و Denote - UA، فاصله AA 3 امتیاز از هواپیما p 3 نقطه Abscissa و نشان دادن x A.
بدیهی است، مختصات نقطه برنامه Z A ارتفاع AA 1 است، مختصات ترتیب مرتبه در A عمق AA 2، مختصات نقطه Abscissa X A - Latheaa 3 است.

اگر مختصات پایان آن و آغاز آن، مختصات بردار محاسبه شود

چگونه می توان فاصله بین دو نقطه را محاسبه کرد اگر مختصات آنها شناخته شده باشند

شما می دانید که AV (X1-X2؛ Y1-Y2)
فاصله بین نقاط طول بردار AV است.

کدوس راهنمای چیست؟

راهنماهای Cosine Vector - اینها کولون زاویه هستند که بردار با نیمه محورهای مثبت هماهنگ می شوند.

راهنمای کوزین ها قطعا جهت بردار را تنظیم می کند.

آنچه که پیش بینی بردار در محور نامیده می شود، خواص پیش بینی ها را ثابت می کند.

پیش بینی بردار در محور l. () طول اجزای آن در محور نامیده می شود L. ، با علامت "پلاس" گرفته شده، اگر جهت مولفه با جهت محور همخوانی داشته باشد l.، و با علامت "منهای"، اگر جهت جزء جهت مخالف محور است.

اگر \u003d , اعتقاد بر این است = .

قضیه من پروژکتور بردار در محور L برابر با محصول ماژول آن بر روی کوزین زاویه بین این بردار و محور L است.

شواهد و مدارک. از آنجا که vector \u003d رایگان، می توان فرض کرد که آغاز آن در مورد دروغ در محور L است(شکل 34).

اگر گوشه حاد، سپس جهت کامپوننت \u003d، بردار همزمان با جهت محور است l.(شکل 34، a).

در این مورد ما داریم = + = . اگر گوشه (شکل 34، ب) , این جهت جزء = بردار جهت قطعی قطعی ل سپس \u003d \u003d cos (-) \u003d cos

همان - بر روی بردار.

یک محصول اسکالر از بردارها چیست؟

کار اسکالر دو غیر صفر بردار A و B یک عدد برابر با محصول این طول ها نامیده می شود بردار در کوزین گوشه بین آنها.

شرایط متعارف بردارها را تشکیل می دهد

شرایط متعارف بردارها. ویدئو از بردار A و B. متعامد (عمود بر)اگر محصول اسکالر صفر باشد.

اثبات خواص یک محصول اسکالر بردارها را ثابت کنید

خواص محصول اسکالر بردارها

1. محصول اسکالر بردار خود همیشه بزرگتر یا برابر صفر است:

1. محصول اسکالر بردار برابر با صفر است اگر و تنها اگر بردار برابر با بردار صفر باشد:

a · a \u003d 0<=> a \u003d 0

1. محصول اسکالر بردار خود برابر با مربع ماژول او است:

1. عملیات ضایعات Scalar Communicative:

1. اگر محصول اسکالر دو بردار غیر صفر صفر باشد، سپس این بردار متعامد است:

≠ 0، b ≠ 0، a · b \u003d 0<=> ┴ ب.

1. (αA) · b \u003d α (a · b)
2. توزیع عملیات ضرب Scalar:

(a + b) · c \u003d a · c + b · c

بیانگر محصول اسکالر را از طریق مختصات بیان کنید

خواص بردار را فرموله کنید

فقط 1 فرمول

این از بالا تعیین شده است.

هندسه تحلیلی

1. قضیه را بر اساس معادله خط کلی در هواپیما ثابت کنید

2. انجام مطالعه معادله عمومی مستقیم در هواپیما

3. برای به دست آوردن معادله مستقیم در هواپیما با ضریب زاویه ای و معادله به طور مستقیم در بخش ها در محورها است

4. معادله کانونی را به خط در خط بر روی هواپیما، معادلات پارامتری را بنویسید، خروجی معادله مستقیم را از طریق دو نقطه مشخص منتقل کنید

5. چگونه زاویه بین راست در هواپیما را تعیین کنید، اگر آنها توسط معادلات کانونی یا معادلات با ضریب زاویه ای تنظیم شوند؟

6. شرایط موازی، تصادف و عمود بر روی مستقیم در هواپیما را حذف کنید

7. یک فرمول برای محاسبه فاصله از نقطه به طور مستقیم در هواپیما دریافت کنید

8. قضیه ها را در معادله هواپیما کلی ثابت کنید

9. فرمول بندی و اثبات قضیه در مورد محل متقابل جفت هواپیما

10. انجام یک معادله هواپیما عمومی

11. معادله هواپیما را در بخش ها و معادله هواپیما از طریق دو نقطه تعیین کنید

12. فرمول را برای محاسبه فاصله از نقطه به هواپیما دریافت کنید

13. زاویه بین هواپیما چگونه است؟

14. شرایط موازی سازی و عمود بر دو هواپیما را حذف کنید

15. یک دیدگاه کلی از معادلات مستقیم در فضا را ثبت کنید تا دیدگاه کانونی را از معادلات مستقیم در فضا بدست آورید

16. برای به دست آوردن معادلات پارامتری به خط در فضا، و همچنین عبور مستقیم از طریق دو نقطه فضا.

17. زاویه بین دو فضای مستقیم چگونه خواهد بود؟ شرایط موازی سازی و عمود بر روی فضای مستقیم را ثبت کنید

18. زاویه بین راست و هواپیما چگونه تعیین می شود؟ شرایط را برای عمود بر و هماهنگی مستقیم و هواپیما ثبت کنید

19. شرایط را به تعلق داشتن دو هواپیمای مستقیم مستقیم دریافت کنید

تجزیه و تحلیل ریاضی

1. عملکرد چیست، راه هایی برای رفتن به کار او چیست؟

2. عملکرد آگاهانه و عجیب و غریب، چگونگی ساخت نمودارهای خود را

3. توابع دوره ای و معکوس، چگونگی ساخت نمودارهای خود چیست؟

4. تصویر در نمودارها نشانگر و توابع لگاریتمی در a\u003e 1، a<1.

5. وابستگی هماهنگ چیست، نوع گرافیک چیست؟

6. نمودارهای y \u003d arcsinx، y \u003d arccosx، y \u003d arctgx، y \u003d arctgxx

7. یک تابع ابتدایی چیست؟ گرافیک عملکرد اصلی اصلی

8. نحوه ساخت نمودارهای فرم y \u003d cf (x)، y \u003d f (cx)، y \u003d f (x) + c، y \u003d f (x + c)

9. توالی عددی چیست، راه هایی برای رفتن به وظیفه او چیست؟

10. توالی یکنواخت و محدود چیست؟

11. چه حد توالی نامیده می شود؟ تعریف تعریف این واقعیت را ثبت کنید که این شماره محدودیت این توالی نیست

12. فرمول خواص محدودیت های توالی

13. اثبات دو ویژگی اساسی توالی همگرایی

14. کدام یک از آنها شرایط لازم را برای همگرایی می دهد؟

15. قضیه را شکل دهید که شرایط کافی همگرایی دنباله را فراهم می کند

16. اثبات هر یک از خواص محدودیت های توالی

17. توالی بی نهایت کوچک (بزرگ) چیست؟

18. خواص توالی های بی نهایت کوچک را شکل دهید

19. آنچه که محدودیت عملکرد نامیده می شود؟

20. خواص محدودیت های توابع را فرموله کنید

21. چه حد یک طرفه نامیده می شود؟

22. اولین محدودیت فوق العاده را ثبت کنید و نتیجه آن را از بین ببرید

23. دومین حد فوق العاده را ثبت کنید و تحقیقات خود را از بین ببرید

24. چه توابع بی نهایت کوچک، محدود، بی نهایت بزرگ هستند؟

25. خواص توابع بی نهایت کوچک را تشکیل دهید تا هر کدام از آنها را ثابت کنید

26. چه مفاهیم برای مقایسه توابع بی نهایت کوچک معرفی می شوند، به آنها تعاریف می دهند

27. چه تابع در یک نقطه مشخص به طور مداوم نامیده می شود؟

28. معیارهای تداوم را فرموله کنید و انواع شکاف را مشخص کنید

29. عملکرد مشتق شده در یک نقطه ثابت چیست؟

30. چه مشتقات یک طرفه نامیده می شود؟

31. عملکرد دیفرانسیل چیست و چگونه به افزایش عملکرد مربوط می شود؟

32. معنای فیزیکی مشتقات اول و دوم

33. عملکرد مشتق از عملکرد چیست؟

34. لیست خواص مشتقات، برای اثبات دو نفر از آنها (U + V) "و (UV)"

35. یک جدول مشتقات را بنویسید، هر دو فرمول را ثابت کنید

36. معنای هندسی مشتق و دیفرانسیل چیست؟

37. معادله مماسی و طبیعی به نمودار را حذف کنید

38. قضیه را در مورد تابع پیچیده مشتق شده اثبات کنید

39. یک مشتق عملکرد معکوس را نشان می دهد (به عنوان مثال از محل آن را ارائه دهید)

40. قضیه را در محاسبه مشتقات توجیه کنید

41. تمام نظریه ها را به طور متوسط \u200b\u200bبرای توابع متمایز ثابت کنید

42. فرمول و اثبات قانون LOPITAL

43. چه توابع افزایش می یابند و در فاصله زمانی کاهش می یابد؟

44. نظریه ها را در ارتباط با اتصال مشتق شده با عملکرد افزایش دهید

45. نقطه افراطی چیست؟

46. \u200b\u200bشرایط مطلوب مورد نظر را توجیه کنید

47. برای برداشتن دو نوع شرایط کافی از افراطوم

48. چگونه برای پیدا کردن بزرگترین و کوچکترین مقادیر عملکرد در بخش؟

49. چه تابع محدب و عملکردی نامیده می شود؟

50. چگونه به بررسی عملکرد بر روی bulge و classeness؟ نقاط انفصال نامیده می شود؟

51. Asymptotes - تعریف ها را توضیح دهید، توضیح دهید که چگونه راه پیدا کنید

52. برای پیدا کردن فرمول برای پیدا کردن یک تابع مشتق شده از مشتقات (اول و دوم).

53. یک تابع بردار، خانه های او و معنای مکانیکی آن چیست؟

54. آن را با اندازه و جهت سرعت و شتاب از نقطه مادی با یک حرکت یکنواخت در اطراف دایره مشخص می شود

55. سرعت و سرعت و سرعت و شتاب از نقطه مواد را در اندازه و جهت با یک حرکت ناهموار در اطراف دایره مشخص کنید

56. توابع مشتق شده y \u003d e x، y \u003d sinx، y \u003d cosx، y \u003d tgx، y \u003d lnx، y \u003d arcsinx، y \u003d arccosx

مختصات بردار نامیده می شود

مختصات بردار آنها پیش بینی ها نامیده می شوند و این بردار در محور و، بر این اساس:

مقدار نامیده می شود بردار مخفی ، و شماره او است مقرر کردن. این واقعیت که بردار مختصات دارد و به شرح زیر نوشته شده است :.

برای شروع، ما تعیین مختصات بردار را در یک سیستم مختصات مشخص می کنیم. برای معرفی این مفهوم، ما تعریف می کنیم که ما سیستم مختصات مستطیل یا دکترا را می نامیم.

تعریف 1

سیستم مختصات مستطیلی این یک سیستم مختصات خطی مستقیم با محورهای متقاطع عمود بر روی یک هواپیما یا در فضا است.

با استفاده از معرفی یک سیستم مختصات مستطیلی در یک هواپیما یا در فضای سه بعدی، می توان ارقام هندسی را همراه با خواص آنها با استفاده از معادلات و نابرابری ها توصیف کرد، یعنی استفاده از روش های جبری در حل مشکلات هندسی.

بنابراین، ما می توانیم به بردارهای سیستم مختصات مشخص شده متصل شویم. این به طور قابل توجهی فرصت های ما را در حل وظایف خاص گسترش می دهد.

سیستم مختصات مستطیلی در هواپیما معمولا توسط O X Y، جایی که O X و O Y - محور مختصات نشان داده شده است. محور O X محور Abscissa نامیده می شود و محور OH محور عادی است (یکی دیگر از محور O Z در فضا ظاهر می شود، که عمود بر و O X و O Y) است.

مثال 1

بنابراین، ما یک سیستم مختصات مستطیلی Decartian را در هواپیما داده ایم اگر ما مختصات IC → و J →، جهت آن به ترتیب با مسیرهای مثبت محورهای گاو و OY و طول آنها هماهنگ شده است برابر با واحد شرطی برابر است، ما بردارهای مختصات را دریافت خواهیم کرد. یعنی، در این مورد، I → و J → بردارهای مختصات هستند.

بردارهای مختصات

تعریف 2

بردار من → و j → ذرت بردار مختصات برای یک سیستم مختصات داده شده.

مثال 2

دکوراسیون از ابتدای هماهنگ هماهنگی بردار دلخواه A →. با تکیه بر تعیین هندسی عملیات بیش از بردارها، بردار A → می تواند به عنوان یک → \u003d a x · i → + a y · →، جایی که ضرایب است تبر. و Y. - تنها یک نفر در نوع خود، منحصر به فرد آنها فقط به اندازه کافی برای اثبات روش از تند و زننده است.

تجزیه بردار

تعریف 3

تجزیه بردار → با هماهنگ بردارها من → و j → بر روی سطح این نمایندگی از فرم A به نام → \u003d a x · i → + a y · → نامیده می شود.

تعریف 4

ضرایب X و Y مختصات بردار در این سیستم مختصات در هواپیما نامیده می شود.

مختصات بردار در این سیستم مختصات برای ثبت در پرانتز، از طریق کاما، در حالی که مختصات مشخص شده باید از تعیین نشانه بردار برابری جدا شود. به عنوان مثال، ضبط → \u003d (2؛ - 3) به این معنی است که بردار A → در این سیستم مختصات مختصات (2؛ - 3) را مختصات دارد و می تواند به صورت تجزیه توسط بردارهای مختصات I → و J → به عنوان یک → \u003d 2 نشان داده شود · i → 3 · j →.

اظهار نظر

لازم به ذکر است که منظور از مختصات ضبط مهم است اگر شما مختصات بردار را به ترتیب دیگری ضبط کنید، یک بردار کاملا متفاوت دریافت خواهید کرد.

بر اساس تعریف مختصات بردار و تجزیه آنها، واضح است که تک بردار I → و J → مختصات (1؛ 0) و (0؛ 1) به ترتیب، و آنها را می توان در قالب نشان داده شده است پس از گسترش I → \u003d 1 · i → + 0 · j →؛ j → \u003d 0 · i → + 1 · j →.

همچنین یک بردار صفر وجود دارد 0 → با مختصات (0؛ 0) و تجزیه 0 → \u003d 0 · I → + 0 · J →.

بردارهای برابر و مخالف

تعریف 5

بردارها A → و B → برابر سپس، زمانی که مختصات مربوطه آنها برابر است.

تعریف 6

بردار مخالف این بردار در مقابل این نامیده می شود.

این به این معنی است که مختصات این بردار مخالف مختصات این بردار هستند، یعنی - a → \u003d \u003d (- x؛ - a y).

تمام موارد فوق را می توان به طور مشابه برای یک سیستم مختصات مستطیلی مشخص شده در فضای سه بعدی مشخص کرد. در چنین سیستم مختصات، یک تریپتر از بردارهای مختصات I →، J →، K → و یک بردار دلخواه A → به دو، اما در حال حاضر در سه مختصات، و تنها راه و فرم A → وجود دارد \u003d تبر · i → + · j → + az · k →، و ضرایب این تجزیه (AX؛ AY؛ AZ) نامیده می شود مختصات بردار در این سیستم مختصات (سه بعدی).

بنابراین، بردارهای مختصات در فضای سه بعدی نیز به دست می آیند 1 و مختصات I → \u003d (1؛ 0؛ 0)، j → \u003d (0؛ 1؛ 0)، k → \u003d (0؛ 0؛ 1) مختصات بردار صفر نیز برابر صفر 0 → \u003d (0؛ 0؛ 0)، و در این مورد، دو بردار در نظر گرفته می شود برابر خواهد بود اگر تمام سه مختصات بردار مربوطه برابر با A → \u003d B → → ⇔ AX \u003d BX، AY \u003d by، az \u003d bz، و مختصات بردار مخالف A → با هماهنگی های بردار متناظر بردار A →، یعنی، - a → \u003d (- تبر؛ - AY؛ AZ).

برای وارد کردن این تعریف، شما باید مختصات و مختصات مختصات را در این سیستم مختصات نشان دهید.

اجازه دهید ما برخی از سیستم مختصات Decartian مستطیلی را به صورت مستطیلی O x Y بگذاریم و آن را به یک نقطه دلخواه M با مختصات m (x m؛ y m) تنظیم می کنیم.

تعریف 7

بردار o m → به نام نقطه شعاع M. .

ما تعریف می کنیم که مختصات در این سیستم مختصات دارای نقطه پرتو پرتابه است

بردار o m → این فرم مقدار OM → \u003d OM X → OM Y → \u003d xm · i → ym · · j →، جایی که نقاط M x و M y پیش بینی های نقطه M در مختصات مستقیم OX و OY هستند به ترتیب (این استدلال از طرح تعریف نقطه به راست)، و I → و J → - بردارهای مختصات، بنابراین، بردار o m → این مختصات (x m؛ y m) در این سیستم مختصات است.

به عبارت دیگر، مختصات نقطه شعاع وکتور M برابر با مختصات مربوطه نقطه m هستند در یک سیستم مختصات دکارتی مستطیلی.

به طور مشابه، در فضای سه بعدی، نقطه شعاع بردار M (XM؛ YM؛ ZM) بر روی بردارهای مختصات به عنوان OM → \u003d OM X → OM Y → + OM Z → \u003d XM · i → YM · j → + z m · k →، بنابراین، OM → \u003d (x m؛ y m؛ z m).

اگر اشتباه در متن را متوجه شوید، لطفا آن را انتخاب کنید و Ctrl + Enter را فشار دهید

هنوز اعتقاد بر این بود که بردارها در فضا در نظر گرفته می شوند. از حالا به بعد، آن را بیدار کنید با این که تمام بردارها در هواپیما در نظر گرفته شده اند. ما همچنین فرض خواهیم کرد که سیستم مختصات بر روی هواپیما تنظیم شده است (حتی اگر آن را در مورد آن ذکر نشده است)، نشان دهنده دو محور عددی عمدتا عمدتا - محور افقی و یک محور عمودی . سپس هر نقطه
هواپیما مطابق با یک جفت اعداد قرار می گیرد.
که مختصات آن هستند. پشت، هر جفت اعداد
مربوط به هواپیما نقطه به طوری که یک جفت اعداد
مختصات آن هستند.

از هندسه ابتدایی شناخته شده است که اگر دو نقطه در هواپیما وجود داشته باشد
و
، فاصله
بین این نکات، آن را از طریق مختصات خود را توسط فرمول بیان شده است

اجازه دهید سیستم مختصات دپارتمان در هواپیما خواسته شود. محور اورت ما نماد را نشان خواهیم داد ، و محور ORT سمبل . طرح ریزی خودسرانه بردار در محور ما نماد را نشان خواهیم داد
، و طرح ریزی در محور سمبل
.

بیایید - بردار دلخواه در هواپیما. قضیه زیر اتفاق می افتد

قضیه 22.

برای هر بردار در هواپیما چند عدد وجود دارد

.

که در آن
,
.

شواهد و مدارک.

اجازه دهید بردار داده شود . ما بردار می نویسیم از آغاز مختصات. نشان دادن بردار پروژکتور بردار در محور ، و از طریق بردار پروژکتور بردار در محور . سپس، همانطور که از شکل 21 دیده می شود، برابری وجود دارد

.

با توجه به قضیه 9،

,

.

مشخص کن
,
. سپس دریافت کنید

.

بنابراین، ثابت شده است که برای هر بردار چند عدد وجود دارد
به طوری که برابری مناسب

,

,

.

با یک مکان بردار متفاوت با توجه به محورها، اثبات مشابه است.

تعریف.

یک جفت عدد و به طوری که
مختصات بردار نامیده می شود . عدد به نام ICSO مختصات، و شماره بازیکن مختصات

تعریف.

جفت هماهنگ های هماهنگ
این یک مبنای ارتوپدی در هواپیما نامیده می شود. نمایندگی از هر بردار مانند
تجزیه بردار به نام مبحث
.

به طور مستقیم از تعیین بردار مختصات آن را دنبال می کند که اگر مختصات بردارها برابر باشند، بردارها برابر هستند. بیانیه مخالف نیز عادلانه است.

قضیه

بردارهای مساوی دارای مختصات برابر هستند.

شواهد و مدارک.

,

و
. ما این را ثابت می کنیم
,
.

از برابری بردارها آن را دنبال می کند

.

فرض کنید که
، ولی
.

سپس
و معنی
که درست نیست. به طور مشابه، اگر
، ولی
T.
. از اینجا
که درست نیست. در نهایت، اگر فرض کنید این
و
سپس ما را دریافت می کنیم

.

این به این معنی است که بردارها و collineares اما این درست نیست، زیرا آنها عمود بر آن هستند. بنابراین، باقی می ماند
,
به عنوان مورد نیاز برای اثبات

بنابراین، مختصات بردار به طور کامل خود بردار را تعریف می کند. دانستن مختصات و بردار شما می توانید یک بردار را بسازید ، بردارها
و
و آنها را تاشو بنابراین اغلب بردار به شکل یک جفت مختصات آن و نوشتن را نشان می دهد
. چنین رکوردی به این معنی است که
.

به طور مستقیم از تعیین مختصات بردار به دنبال قضیه زیر است.

قضیه

هنگامی که بردارها اضافه می شوند، مختصات آنها بسته می شوند و هنگامی که بردار ضرب می شود، مختصات آن با این شماره ضرب می شود. این اظهارات در قالب ثبت شده است

.

شواهد و مدارک.

,

قضیه

بیایید
، و آغاز نقطه بردار این مختصات است
، و پایان بردار نقطه است
. سپس مختصات بردار با مختصات انتهای آن توسط روابط زیر مرتبط است.

,

.

شواهد و مدارک.

بیایید
و اجازه دهید بردار بردار بردار در محور با محور ارتباط برقرار کرد (نگاه کنید به شکل 22). سپس

t. aK به عنوان طول بخش در محور عددی برابر با مختصات انتهای سمت راست منهای مختصات سمت چپ. اگر بردار باشد

محور آلوده است (همانطور که در شکل 23)، سپس

شکل. 23.

اگر یک
، سپس در این مورد
و سپس دریافت کنید

.

بنابراین، با هر ترتیب بردار
نسبت به محورهای مختصات مختصات آن برابر

.

به طور مشابه، ثابت شده است که

.

مثال.

مختصات دانا از انتهای بردار
:
. مختصات بردار را پیدا کنید
.

تصمیم گیری

قضیه زیر بیان طول بردار را از طریق مختصات آن ارائه می دهد.

قضیه 15.

بیایید
.سپس

.

شواهد و مدارک.

بیایید و - بردار پروژکتور بردار در محور و ، به ترتیب. سپس، همانطور که در اثبات قضیه 9 نشان داده شده است، برابری وجود دارد

.

در همان زمان، بردارها و دو طرفه عمود هنگام اضافه کردن این بردارها با توجه به قاعده مثلث، ما یک مثلث مستطیلی را به دست می آوریم (نگاه کنید به شکل 24).

قضیه Pythagore ما داریم

.

,

.

از این رو

,

.

.

.

مثال.

پیدا کردن .

ما مفهوم راهنماهای Vector Cosin را معرفی می کنیم.

تعریف.

اجازه دهید بردار
با محور تشکیل می شود زاویه ، و با محور زاویه (نگاه کنید به شکل 25).

,

.

از این رو،

همانطور که برای هر بردار برابری وجود دارد

,

جایی که - بردار ORT ، یعنی، طول برداری بردار، پوشش داده شده با بردار T.

بردار جهت بردار را تعیین می کند . مختصات او
و
به نام Czines راهنمای بردار . راهنماهای کوزین بردار می تواند از طریق مختصات آن توسط فرمول ها بیان شود.

,

.

یک نسبت وجود دارد

.

تا کنون، این پاراگراف معتقد بود که تمام بردارها در همان هواپیما قرار دارند. در حال حاضر تعمیم دادن به بردارها را در فضا ایجاد کنید.

ما فرض می کنیم که سیستم مختصات کارتیه با محورها در فضای تنظیم شده است ,و .

ots ages ,و ما نمادها را نشان خواهیم داد ,و به ترتیب (شکل 26).

می توان نشان داد که تمام مفاهیم و فرمول هایی که برای بردارها در هواپیما به دست آمده است، خلاصه شده است

شکل. 26

بردارها در فضا. بردارهای Troika
به نام Orthonormal در فضا نامیده می شود.

بیایید ,و - بردار پروژکتور بردار در محور ,و ، به ترتیب. سپس

.

به نوبه خود

,

,

.

اگر شما تعیین کنید

,

,

,

که ما برابری می کنیم

.

ضرایب قبل از بردارهای پایه ,و به عنوان مختصات بردار اشاره شده است . بنابراین، برای هر بردار سه عدد در فضا وجود دارد. ,,مختصات بردار نامیده می شود به طوری که برای این بردار درست است

.

بردار در این مورد، همچنین به شکل اشاره شده است
. در عین حال، مختصات بردار برابر با پیش بینی های این بردار در محورهای مختصات هستند

,

,

,

جایی که - زاویه بین بردار و محور ,- زاویه بین بردار و محور ,- زاویه بین بردار و محور .

بردار طول این از طریق مختصات آن توسط فرمول بیان شده است

.

اظهارات عادلانه که بردارهای برابر با هماهنگی برابر، هنگام اضافه کردن بردارها، مختصات آنها بسته می شوند، و هنگامی که بردار ضرب بردار، مختصات آن با این شماره ضرب می شود.
,
و
به نام Czines راهنمای بردار . آنها با فرمول مختصات بردار مرتبط هستند

,
,
.

از این رو نسبت

اگر انتهای بردار باشد
مختصات دارند
,
، سپس مختصات بردار
همراه با مختصات انتهای بردار توسط روابط

,

,

.

مثال.

نکته ها
و
. مختصات بردار را پیدا کنید
.

در محور Abscissa و Ordents نامیده می شود مختصات بردار. مختصات بردار به طور کلی در فرم پذیرفته شده است (x، y)، و خود بردار مانند: \u003d (x، y).

فرمول تعیین مختصات بردار برای وظایف دو بعدی.

در مورد یک مشکل دو بعدی، بردار با شناخته شده است مختصات نقطه a (x 1؛ در 1) و ب (ایکس. 2 ; y. 2 ) شما می توانید محاسبه کنید:

\u003d (x 2 - x 1؛ y 2 - y 1).

فرمول تعیین مختصات بردار برای وظایف فضایی.

در مورد یک مشکل فضایی، بردار با شناخته شده است مختصات نقطهآ. (x 1؛ در 1؛z. 1 ) و ب (ایکس. 2 ; y. 2 ; z. 2 ) شما می توانید محاسبه فرمول را محاسبه کنید:

= (ایکس. 2 - ایکس. 1 ; y. 2 - y. 1 ; z. 2 - z. 1 ).

مختصات یک ویژگی جامع از بردار را ارائه می دهند، زیرا مختصات فرصت ساخت و بردار خود را دارند. دانستن مختصات، آسان برای محاسبه و بردار طول. (املاک 3، نشان داده شده در زیر).

خواص مختصات بردار.

1. هر بردارهای برابر در یک سیستم مختصات واحد دارای مختصات برابر.

2. مختصات بردارهای Collinear متناسب. با توجه به این که هیچ یک از بردارها صفر نیستند.

3. مربع طول هر بردار برابر با مجموع مربعات آن است مختصات.

4. در عملیات ضرب بردار در شماره معتبر هر مختصات توسط این شماره ضرب می شود.

5. با تشکیل بردارها، مقدار مربوطه را محاسبه می کنیم مختصات بردارها.

6. حاصلضرب عددی دو بردار برابر مجموع محصولات مختصات مربوطه آنها است.

پیدا کردن مختصات بردار اغلب شرایط بسیاری از وظایف در ریاضیات را یافت. توانایی پیدا کردن مختصات بردار به شما در سایر وظایف پیچیده تر با موضوعات مشابه کمک خواهد کرد. در این مقاله ما به فرمول پیدا کردن مختصات بردار و چندین وظیفه نگاه خواهیم کرد.

پیدا کردن مختصات بردار در هواپیما

یک هواپیما چیست؟ هواپیما یک فضای دو بعدی، یک فضای با دو بعد (اندازه گیری x و اندازه گیری Y) محسوب می شود. به عنوان مثال، کاغذ یک هواپیما است. سطح جدول - هواپیما. برخی از شکل های غیرقانونی (مربع، مثلث، تراپزیوم) نیز یک هواپیما است. بنابراین، اگر در شرایط کار، شما باید مختصات بردار را پیدا کنید، که در هواپیما قرار دارد، بلافاصله در مورد X و Y به یاد داشته باشید مختصات این بردار را به شرح زیر پیدا کنید: مختصات بردار \u003d (XB - XA؛ YB - XA). این را می توان از فرمول دیده می شود که مختصات نقطه پایانی نیاز به مختصات نقطه شروع دارد.

مثال:

• CD بردار دارای مختصات اولیه (5، 6) و محدود (7؛ 8) است.
• مختصات خود بردار را پیدا کنید.
• با استفاده از فرمول فوق، ما عبارت زیر را دریافت می کنیم: CD \u003d (7-5؛ 8-6) \u003d (2؛ 2).
• بنابراین، مختصات CD Vector \u003d (2؛ 2).
• بر این اساس، X مختصات دو، مختصات Y نیز دو است.

پیدا کردن مختصات بردار در فضا

فضا چیست؟ این فضا در حال حاضر یک اندازه گیری سه بعدی است، جایی که 3 مختصات داده می شود: X، Y، Z. در صورتی که شما نیاز به پیدا کردن یک بردار که در فضا قرار دارد پیدا کنید، فرمول عملا تغییر نمی کند. فقط یک مختصات اضافه شده است برای پیدا کردن بردار شما از مختصات پایان نیاز دارید تا مختصات اولیه را بیابید. AB \u003d (XB - XA؛ YB - Ya؛ ZB - ZA)

مثال:

• بردار DF اولیه (2، 3؛ 1) و محدود (1؛ 5، 2) است.
• با استفاده از فرمول فوق، ما دریافت می کنیم: مختصات بردار DF \u003d (1-2؛ 5-3؛ 2-1) \u003d (-1؛ 2؛ 1).
• به یاد داشته باشید، مقدار مختصات ممکن است منفی باشد، هیچ مشکلی در این وجود ندارد.

چگونه برای پیدا کردن مختصات بردار آنلاین؟

اگر به دلایلی شما نمی خواهید خودتان را هماهنگ کنید، می توانید از ماشین حساب آنلاین استفاده کنید. برای شروع، ابعاد بردار را انتخاب کنید. ابعاد بردار مسئول اندازه گیری آن است. ابعاد 3 به این معنی است که بردار در فضا است، ابعاد 2 این است که در هواپیما است. بعد، مختصات نقاط را به زمینه های مناسب وارد کنید و برنامه مختصات خود بردار را تعیین می کند. همه چیز بسیار ساده است.

با کلیک بر روی دکمه، صفحه به طور خودکار به پایین حرکت می کند و به شما پاسخ صحیح را همراه با مراحل راه حل می دهد.

توصیه می شود این موضوع را به خوبی بررسی کنید، زیرا مفهوم بردار نه تنها در ریاضیات بلکه در فیزیک یافت می شود. دانش آموزان دانشکده های فناوری اطلاعات همچنین موضوع بردارها را بررسی می کنند، اما در سطح پیچیده تر.