Pravokutni paralelepiped. Nagnuti paralelepiped: svojstva, formule i zadaci učitelja matematike Osnovni pravokutni paralelopipedni romb s dijagonalama

Paralelepiped se naziva četverokutna prizma, na čijim su osnovama paralelogrami. Visina paralelepipeda je udaljenost između ravnina njegovih baza. Na slici je visina prikazana linijom ... Postoje dvije vrste paralelepipeda: ravni i kosi. U pravilu nastavnik matematike prvo daje odgovarajuće definicije za prizmu, a zatim ih prenosi na paralelepiped. Učinit ćemo isto.

Podsjetit ću vas da se prizma naziva ravna ako su joj bočni rubovi okomiti na baze, a ako nema okomitosti, prizma se naziva nagnutom. Paralelepiped također nasljeđuje ovu terminologiju. Ravni paralelepiped nije ništa drugo nego neka vrsta ravne prizme, čiji se bočni rub podudara s visinom. Zadržavaju se definicije takvih pojmova kao što su lice, rub i vrh, koji su zajednički cijeloj obitelji poliedra. Pojavljuje se koncept suprotnih strana. Paralelepiped ima 3 para suprotnih lica, 8 vrhova i 12 rubova.

Dijagonala paralelepipeda (dijagonala prizme) je segment koji povezuje dva vrha poliedra i ne leži ni na jednom njegovom licu.

Dijagonalni presjek - presjek paralelepipeda koji prolazi kroz njegovu dijagonalu i dijagonalu njegove osnove.

Svojstva kosih kutija:
1) Sva njegova lica su paralelogrami, a suprotna lica jednaki su paralelogrami.
2)Dijagonale paralelepipeda sijeku se u jednoj točki i u ovoj se točki prepolovljuju.
3)Svaki paralelepiped sastoji se od šest trokutastih piramida jednakog volumena. Da bi ih pokazao učeniku, učitelj matematike mora odrezati polovicu dijagonalnog presjeka od paralelepeda i razbiti ga zasebno na 3 piramide. Njihove baze moraju ležati na različitim licima izvornog paralelelepipeda. Učitelj matematike naći će primjenu ovog svojstva u analitičkoj geometriji. Koristi se za izlaz volumena piramide kroz mješoviti proizvod vektora.

Formule volumena za paralelepiped:
1), gdje je površina baze, h je visina.
2) Volumen paralelepipeda jednak je umnošku površine presjeka na bočni rub.
Predavač matematike: Kao što znate, formula je zajednička za sve prizme i ako je učitelj to već dokazao, nema smisla ponavljati istu stvar za paralelepiped. Međutim, pri radu s učenikom srednje razine (slaba formula nije korisna), poželjno je da učitelj postupi upravo suprotno. Ostavite prizmu na miru i izvedite uredan dokaz za paralelepiped.
3), gdje je volumen jedne od šest trokutastih piramida od kojih se sastoji paralelepiped.
4) Ako, onda

Površina bočne površine paralelepipeda zbroj je površina svih njegovih ploha:
Puna površina paralelepipeda zbroj je površina svih njegovih lica, odnosno površine + dvije površine baze :.

O radu tutora s kosim paralelepipedom:
Učitelj matematike ne bavi se često problemima na kosome paralelepipedu. Vjerojatnost njihovog pojavljivanja na Jedinstvenom državnom ispitu prilično je mala, a didaktika je opsceno loša. Manje -više pristojan problem volumena nagnutog paralelepipeda uzrokuje ozbiljne probleme povezane s određivanjem mjesta točke H - baze njene visine. U tom slučaju učitelju matematike može se savjetovati da paralelepiped izreže na jednu od njegovih šest piramida (koje se spominju u svojstvu # 3), pokuša pronaći njegov volumen i pomnožiti ga sa 6.

Ako bočni rub paralelepipeda ima jednaki kutovi sa stranicama baze, tada H leži na simetrali kuta A baze ABCD. A ako je, na primjer, ABCD romb, tada

Zadaci nastavnika matematike:
1) Rubovi paralelepipeda jednaka su rebra sa stranicom od 2 cm i oštrim kutom. Pronađi volumen paralelepipeda.
2) Kod nagnutog paralelepipeda bočni rub iznosi 5 cm. Presjek okomit na njega je četverokut s međusobno okomitim dijagonalama duljine 6 cm i 8 cm. Izračunajte volumen paralelepipeda.
3) U nagnutom paralelepipedu poznato je da je, a u ABCD romb sa stranicom od 2 cm i kutom. Odredite volumen kutije.

Predavač matematike, Aleksandar Kolpakov

U ovoj lekciji svatko će moći proučiti temu "Pravokutni paralelepiped". Na početku lekcije ponovit ćemo što je proizvoljan i ravni paralelepiped, prisjetiti se svojstava njihovih suprotnih lica i dijagonala paralelepipeda. Zatim ćemo razmotriti što je pravokutni paralelepiped i razmotriti njegova glavna svojstva.

Tema: Okomitost linija i ravnina

Lekcija: Pravokutni paralelepiped

Površina koja se sastoji od dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 i četiri paralelograma ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 naziva se paralelopiped(Sl. 1).

Riža. 1 paralelepiped

To jest: imamo dva jednaka paralelograma ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 (baza), oni leže u paralelnim ravninama tako da su bočni rubovi AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 paralelni. Tako se površina sastavljena od paralelograma naziva paralelopiped.

Dakle, površina paralelepipeda je zbroj svih paralelograma koji čine paralelepiped.

1. Suprotna lica kutije paralelna su i jednaka.

(oblici su jednaki, odnosno mogu se kombinirati preklapanjem)

Na primjer:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (jednaki paralelogrami po definiciji),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (budući da su AA 1 B 1 B i DD 1 C 1 C suprotna lica paralelepipeda),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (budući da su AA 1 D 1 D i BB 1 C 1 C suprotna lica paralelepipeda).

2. Dijagonale paralelepipeda sijeku se u jednoj točki i tom se točkom prepolovljuju.

Dijagonale paralelepipeda AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B sijeku se u jednoj točki O, a svaku dijagonalu ova točka dijeli na pola (slika 2).

Riža. 2 Dijagonale paralelepipeda sijeku se i prepolovljene su točkom sjecišta.

3. Postoje tri četvorke jednakih i paralelnih paralelopipednih rubova: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Definicija. Paralelepiped se naziva ravnim ako su mu bočni rubovi okomiti na baze.

Neka je bočni rub AA 1 okomit na bazu (slika 3). To znači da je ravna AA 1 okomita na prave AD i AB, koje leže u ravnini baze. To znači da pravokutnici leže na bočnim stranama. Proizvoljni paralelogrami leže u bazama. Označimo, ∠BAD = φ, kut φ može biti bilo koji.

Riža. 3 Ravni paralelopiped

Dakle, ravni paralelepiped je paralelepiped u kojemu su bočni rubovi okomiti na osnove paralelepipeda.

Definicija. Paralelepiped se naziva pravokutnim, ako su mu bočna rebra okomita na bazu. Temelji su pravokutnici.

Paralelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni (slika 4), ako:

1. AA 1 ⊥ ABCD (bočni rub okomit na ravninu baze, odnosno ravni paralelopiped).

2. ∠LOŠE = 90 °, odnosno u osnovi se nalazi pravokutnik.

Riža. 4 Pravokutni paralelepiped

Pravokutni paralelepiped ima sva svojstva proizvoljnog paralelepipeda. Ali postoji dodatna svojstva koji su izvedeni iz definicije pravokutnog paralelepipeda.

Tako, pravokutnog paralelepipeda je paralelepiped sa bočnim rubovima okomitim na bazu. Osnova pravokutnog paralelepipeda je pravokutnik.

1. U pravokutnom paralelepipedu svih je šest lica pravokutnika.

ABCD i A 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutnici po definiciji.

2. Bočna rebra okomita su na podnožje... To znači da su sve bočne strane pravokutnog paralelepipeda pravokutnici.

3. Svi dvostrani kutovi pravokutnog paralelepipeda ravni su.

Razmotrimo, na primjer, dvostrani kut pravokutnog paralelepipeda s bridom AB, to jest dvodomni kut između ravnina ABB 1 i ABC.

AB je brid, točka A 1 leži u jednoj ravnini - u ravnini ABB 1, a točka D u drugoj - u ravnini A 1 B 1 C 1 D 1. Tada se razmatrani dvostrani kut također može označiti na sljedeći način: ∠A 1 ABD.

Uzmite točku A na rubu AB. AA 1 - okomito na rub AB u ravnini ABB -1, AD okomito na rub AB u ravnini ABC. Dakle, ∠A 1 AD je linearni kut danog dvodernog kuta. ∠A 1 AD = 90 °, što znači da je dvostrani kut na rubu AB 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

Na sličan način dokazuje se da su svi dvostrani kutovi pravokutnog paralelepipeda ravni.

Kvadrat dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednak je zbroju kvadrata njegove tri dimenzije.

Bilješka. Duljine tri ruba koja izlaze iz jednog vrha pravokutnika dimenzije su pravokutnog paralelepipeda. Ponekad se nazivaju duljina, širina, visina.

S obzirom: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - pravokutni paralelepiped (slika 5).

Dokaži:.

Riža. 5 Pravokutni paralelepiped

Dokaz:

Ravna CC 1 okomita je na ravninu ABC, pa je stoga ravna AC. To znači da je trokut CC 1 A pravokutni. Prema Pitagorinom teoremu:

Smatrati pravokutni trokut ABC. Prema Pitagorinom teoremu:

No BC i AD suprotne su stranice pravokutnika. Dakle, BC = AD. Zatim:

Jer , a , tada. Budući da je CC 1 = AA 1, onda je ono što je bilo potrebno dokazati.

Dijagonale pravokutnog paralelepipeda jednake su.

Označimo mjerenja paralelnog spiketa ABC kao a, b, c (vidi sliku 6), tada je AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

ili (ekvivalentno) poliedar sa šest lica paralelograma. Šesterokut.

Paralelogrami koji čine paralelepiped su aspekti ovog paralelepipeda stranice ovih paralelograma su rubovi paralelepipeda, a vrhovi paralelograma su vrhove paralelopiped... Za paralelepiped je svako lice paralelogram.

U pravilu se razlikuju i zovu svaka 2 suprotna lica osnove paralelepipeda, a preostala lica su bočna lica paralelepipeda... Rubovi kutije koji ne pripadaju bazama su bočna rebra.

2 lica kutije koja imaju zajednički rub su srodnih, i oni koji nemaju zajedničke rubove - suprotan.

Segment koji povezuje 2 vrha koji ne pripadaju 1. licu je dijagonalom paralelepipeda.

Duljine rubova pravokutnog paralelepipeda koje nisu paralelne su linearne dimenzije (mjerenja) paralelepipeda. Pravokutni paralelopiped ima 3 linearne dimenzije.

Vrste paralelepipeda.

Postoji nekoliko vrsta paralelepipeda:

Direktno je paralelepiped s bridom okomitim na ravninu baze.

Pravokutni paralelepiped sa sve 3 dimenzije iste veličine je kocka... Svako lice kocke jednako je kvadrati.

Proizvoljan paralelepiped. Volumen i omjeri u kosome paralelepipedu uglavnom se određuju pomoću vektorske algebre. Zapremina paralelepipeda jednak apsolutna vrijednost mješoviti proizvod od 3 vektora, koji su određeni s 3 strane paralelepipeda (koji dolaze iz jednog vrha). Omjer duljina stranica paralelepipeda i kutova među njima pokazuje tvrdnju da je Gramova odrednica ova tri vektora jednaka kvadratu njihovih mješoviti rad.

Svojstva kutije.

• Paralelepiped je simetričan oko sredine svoje dijagonale.
• Svaki segment s krajevima koji pripadaju površini paralelepipeda i koji prolazi sredinom njegove dijagonale podijeljen je na dva jednaka dijela. Sve dijagonale paralelepipeda sijeku se u 1. točki i time su podijeljene na dva jednaka dijela.
• Suprotna lica kutije paralelna su i jednake veličine.
• Kvadrat duljine dijagonale pravokutnog paralelepipeda je