Dajte pojam koordinatnih vektora. Kako pronaći koordinate vektora

Vektorske koordinate

Količina se naziva apscisni vektor a broj je njegov ordinirati

Kako se osnova formira na ravnini

Kako se osnova formira u prostoru

Osnova vektorskog prostora je uređeni maksimalni linearno neovisni sustav vektora iz tog prostora.

Definicija Sustav vektora a1, a2 ,. ... ... , an iz vektorskog prostora V naziva se sustav generatora tog prostora ako je bilo koji vektor iz V linearno izražen u terminima vektora a1, a2 ,. ... ... , an.

Uređeni sustav vektora osnova je vektorskog prostora V onda i samo ako je linearno neovisan sustav generatora tog prostora

Ono što se naziva kartezijanskom osnovom

Ako su vektori e1, e2, e3 međusobno pravokutni i jednaki su jedinici u apsolutnoj vrijednosti, tada se nazivaju vektorima pravokutnog kartezijanskog koordinatnog sustava, a sama osnova je ortonormirana kartezijanska osnova.

Formulirajte svojstva koordinata vektora u kartezijanskoj osnovi

Ono što se naziva koordinatama točke

Udaljenost točke od koordinatnih ravnina nazivaju se koordinate točke.
Udaljenost AA 1 točke od ravnine P 1 naziva se primijenjena točka i označava se s A, udaljenost AA 2 točke od ravnine P 2 - ordinatom točke i označava se s - y A, udaljenost AA 3 točke iz ravnine P 3 - apscisom točke i označeno s x A.
Očito je da je koordinata primijenjene točke z A visina AA 1, koordinata ordinate y A dubina AA 2, koordinata točke apscise x A zemljopisna širina AA 3.

Kako se izračunavaju koordinate vektora ako su poznate koordinate njegovog kraja i početka

Kako izračunati udaljenost između dvije točke ako su poznate njihove koordinate

I sami znate da AB (x1-x2; y1-y2)
Udaljenost između točaka je duljina vektora AB.

Što su kosinusi u smjeru

Usmjerni kosinusi vektora Jesu li kosinusi kutova koje vektor tvori s pozitivnim koordinatnim poluosima.

Kosinusi smjera jedinstveno definiraju smjer vektora.

Ono što se naziva projekcijom vektora na os, dokazuju svojstva projekcije.

Vektorska projekcija po osi l() je duljina njegove komponente po osi l, uzeto sa znakom plus, ako se smjer komponente podudara sa smjerom osi l, i znakom minus ako je smjer komponente suprotan smjeru osi.

Ako je = , tada se vjeruje = .

Teorem I Projekcija vektora na l-os jednaka je umnošku njegovog modula kosinusom kuta između ovog vektora i l-osi.

Dokaz. Budući da je vektor = slobodan, možemo pretpostaviti da njegovo ishodište O leži na l-osi(slika 34).

Ako je kut oštar, tada se smjer komponente =, vektor podudara sa smjerom osi l(Slika 34, a).

U ovom slučaju imamo = + = . Ako je kut (Slika 34, b) , zatim smjer komponente = vektor nasuprot smjeru osi l. Tada dobivamo = = cos (-) = cos

Isto se odnosi i na vektor.

Koji je točki umnožak vektora

Točkasti proizvod dva ne-nula vektori a i b naziva se brojem jednakim umnošku njihovih duljina vektori kosinusom kuta između njih.

Formuliraj uvjet ortogonalnosti vektora

Uvjet ortogonalnosti vektora. Dva vektora a i b pravokutni (okomiti) ako je njihov točkasti proizvod nula.

Dokazati svojstva točkanog proizvoda vektora

Svojstva proizvoda s vektorskim točkama

Skalarni umnožak vektora sam po sebi uvijek je veći ili jednak nuli:

Skalarni umnožak vektora sam po sebi jednak je nuli ako i samo ako je vektor jednak nulu vektoru:

a a = 0<=>a = 0

Skalarni umnožak vektora sam po sebi jednak je kvadratu njegovog modula:

Operacija skalarnog množenja komunikativna je:

Ako je skalarni umnožak dva nula nula vektora nula, tada su ti vektori ortogonalni:

a ≠ 0, b ≠ 0, a b = 0<=>a ┴ b

(αa) b = α (a b)
Operacija množenja skalara je distributivna:

(a + b) c = a c + b c

Iznesite točkasti izraz proizvoda u smislu koordinata

Formulirajte svojstva vektorskog proizvoda

SAMO 1 FORMULA

Iznad je odrednica.

Analitička geometrija

1. Dokazati teoreme o općoj jednadžbi pravca u ravnini

2. Izvršiti proučavanje opće jednadžbe ravne crte na ravnini

3. Izvedite jednadžbu ravne crte u ravnini s nagibom i jednadžbu ravne crte u segmentima na osi

4. Izvesti kanoničku jednadžbu ravne crte na ravnini, zapisati parametarske jednadžbe, izvesti jednadžbu ravne crte koja prolazi kroz dvije zadane točke

5. Kako se određuje kut između ravnih crta na ravnini ako su zadane kanonskim jednadžbama ili jednadžbama s nagibom?

6. Izvesti uvjete za paralelizam, slučajnost i okomitost ravnih crta na ravnini

7. Nabavite formulu za izračunavanje udaljenosti od točke do ravne crte na ravnini

8. Dokazati teoreme o općoj jednadžbi ravnine

9. Formuliraj i dokaži teorem o međusobnom rasporedu para ravnina

10. Provesti proučavanje opće jednadžbe ravnine

11. Dobiti jednadžbu ravnine u segmentima i jednadžbu ravnine koja prolazi kroz dvije zadane točke

12. Nabavite formulu za izračunavanje udaljenosti od točke do ravnine

13. Kako se izračunava kut između ravnina?

14. Izvesti uvjete paralelizma i okomitosti dviju ravnina

15. Zapišite opći oblik jednadžbi ravne crte u prostoru, dobijte kanonski oblik jednadžbi ravne crte u prostoru

16. Izvedite parametarske jednadžbe ravne crte u prostoru, kao i ravne crte koja prolazi kroz dvije točke u prostoru.

17. Kako se određuje kut između dviju ravnih crta u prostoru? Zapišite uvjete paralelizma i okomitosti pravih crta u prostoru

18. Kako se određuje kut između prave i ravnine? Zapiši uvjete okomitosti i paralelnosti prave i ravnine

19. Dobiti uvjet za pripadnost dvije linije u istoj ravnini

Matematička analiza

1. Što je funkcija, koji su načini da se ona definira?

2. Što su parne i neparne funkcije, kako izgraditi njihove grafikone

3. Što su periodične i inverzne funkcije, kako izgraditi njihove grafikone

4. Nacrtajte eksponencijalne i logaritamske funkcije u grafikone za a> 1, a<1.

5. Što je harmonička ovisnost, koja je vrsta njezina grafa?

6. Prikaži grafikone y = arcsinx, y = arccosx, y = arctgx, y = arcctgx

7. Što je elementarna funkcija. Grafikoni osnovnih elementarnih funkcija

8.Kako izraditi grafikone poput y = cf (x), y = f (cx), y = f (x) + c, y = f (x + c)

9. Što je brojevni niz, koji su načini da ga definiramo?

10. Što je monotona i ograničena sekvenca?

11. Što se naziva ograničenje niza? Zapišite definiciju da zadani broj nije ograničenje određenog niza

12. Formuliraj svojstva granica nizova

13. Dokazati dva glavna svojstva konvergentnih nizova

14. Koji od njih daje potreban uvjet za konvergenciju?

15. Formuliraj teorem koji daje dovoljan uvjet za konvergenciju niza

16. Dokazati bilo koje svojstvo granica nizova

17. Što je beskonačno mali (veliki) niz?

18. Formuliraj svojstva beskonačno malih nizova

19. Što se naziva granicom funkcije?

20. Formuliraj svojstva granica funkcija

21. Što se naziva jednostranom granicom?

22. Zapišite prvu izvanrednu granicu i utvrdite njezine posljedice

23. Zapišite drugu izvanrednu granicu i utvrdite njezine posljedice

24. Koje se funkcije nazivaju beskrajno male, ograničene, beskrajno velike?

25. Formuliraj svojstva beskonačno malih funkcija, dokaži bilo koju od njih

26. Koji su pojmovi uvedeni za usporedbu beskonačno malih funkcija, dajte njihove definicije

27. Koja se funkcija naziva neprekidnom u određenoj točki?

28. Oblikovati kriterij kontinuiteta i karakterizirati vrste diskontinuiteta

29. Što je izvod funkcije u fiksnoj točki?

30. Što se nazivaju jednostrani izvodi?

31. Koji je diferencijal funkcije i kako je povezan s priraštajem funkcije?

32. Fizičko značenje prve i druge izvedenice

33. Što je izvedena funkcija funkcije?

34. Nabroji svojstva izvedenica, dokaži dvije od njih (u + v) "i (uv)"

35. Zapiši tablicu izvedenica, dokaži bilo koje dvije formule

36. Koje je geometrijsko značenje izvoda i diferencijala?

37. Izvedite jednadžbu tangente i normale na graf funkcije

38. Dokazati teorem o izvodu složene funkcije

39. Izvesti izvod inverzne funkcije (dati primjer pronalaska)

40. Obrazložiti teorem o računanju izvedenica

41. Dokazati sve teoreme o srednjim vrijednostima za diferencijabilne funkcije

42. Formulirajte i dokažite L'Hôpitalovo pravilo

43. Koje se funkcije nazivaju povećavanje i smanjivanje na intervalu?

44. Dokazati teoreme o odnosu izvoda s porastom funkcije

45. Što su ekstremne točke?

46. Obrazložite nužni uvjet za ekstrem

47. Izvedite dvije vrste dovoljnih uvjeta za ekstrem

48. Kako pronaći najveću i najmanju vrijednost funkcije na segmentu?

49. Što se nazivaju konveksne i konkavne funkcije?

50. Kako istražiti funkciju za konveksnost i udubljenost? Što su točke previjanja?

51. Asimptote - dajte definicije, objasnite kako ih pronaći

52. Izvedite formulu za pronalazak izvoda (prvog i drugog) parametarski zadane funkcije

53. Što je vektorska funkcija, njezin hodograf i mehaničko značenje?

54. Opiši u veličini i smjeru brzinu i ubrzanje materijalne točke ravnomjernim kretanjem oko kruga

55. Opiši veličinu i smjer brzine i ubrzanja materijalne točke s neravnomjernim kretanjem oko kruga

56. Dobiti izvode funkcije y = e x, y = sinx, y = cosx, y = tgx, y = lnx, y = arcsinx, y = arccosx

Ono što se naziva vektorskim koordinatama

Vektorske koordinate nazivaju se projekcije određenog vektora na os, odnosno:

Količina se naziva apscisni vektor a broj je njegov ordinirati... Činjenica da vektor ima koordinate i zapisuje se na sljedeći način :.

Za početak dajmo definiciju koordinata vektora u danom koordinatnom sustavu. Da bismo uveli ovaj koncept, definiramo ono što nazivamo pravokutnim ili kartezijanskim koordinatnim sustavom.

Definicija 1

Pravokutni koordinatni sustav je pravocrtni koordinatni sustav s međusobno okomitim osima na ravnini ili u prostoru.

Uvođenjem pravokutnog koordinatnog sustava na ravnini ili u trodimenzionalnom prostoru postaje moguće opisivati geometrijske figure zajedno s njihovim svojstvima pomoću jednadžbi i nejednakosti, odnosno koristiti algebarske metode pri rješavanju geometrijskih problema.

Dakle, vektore možemo vezati za zadani koordinatni sustav. To će značajno proširiti naše mogućnosti u rješavanju određenih problema.

Pravokutni koordinatni sustav na ravnini obično se označava O x y, gdje su O x i O y koordinatne osi. Osa Ox naziva se osa apscisa, a os O y naziva se osa ordinata (u prostoru se pojavljuje druga O z, koja je okomita na O x i O y).

Primjer 1

Dakle, dobivamo pravokutni kartezijanski koordinatni sustav O xy na ravnini, ako od početka koordinata odvojimo vektore i → i j →, čiji se smjer podudara s pozitivnim smjerovima osi O x i O y, a njihova će duljina biti jednaka uvjetnoj jedinici, dobit ćemo koordinatne vektore. Odnosno, u ovom su slučaju i → i j → koordinatni vektori.

Koordinatni vektori

Definicija 2

Vektori i → i j → nazivaju se koordinatni vektori za zadani koordinatni sustav.

Primjer 2

Odgađamo proizvoljni vektor a → iz ishodišta. Na temelju geometrijske definicije operacija na vektorima, vektor a → može se predstaviti kao a → = a x i → + a y j →, gdje su koeficijenti a x i a y - jedinstveni, njihovu je jedinstvenost dovoljno jednostavno dokazati proturječnošću.

Vektorska razgradnja

Definicija 3

Razlaganjem vektora a → koordinatnim vektorima i → i j → na površini naziva se prikaz oblika a → = a x i → + a y j →.

Definicija 4

Koeficijenti a x i a y nazivaju se koordinate vektora u danom koordinatnom sustavu na ravnini.

Uobičajeno je da se koordinate vektora u zadani koordinatni sustav upisuju u zagrade, odvojene zarezima, dok navedene koordinate treba odvojiti od oznake vektora znakom jednakosti. Na primjer, oznaka a → = (2; - 3) znači da vektor a → ima koordinate (2; - 3) u danom koordinatnom sustavu i može se predstaviti kao proširenje u koordinatnim vektorima i → i j → kao a → = 2 i → - 3 j →.

Komentar

Napominjemo da je važan redoslijed kojim su zapisane koordinate, ako koordinate vektora napišete drugim redoslijedom, dobit ćete potpuno drugačiji vektor.

Na temelju definicije koordinata vektora i njihovog širenja, postaje očito da jedinični vektori i → i j → imaju koordinate (1; 0), odnosno (0; 1), a mogu se predstaviti kao sljedeće proširenja i → = 1 i → + 0 j →; j → = 0 i → + 1 j →.

Tu je i nulti vektor 0 → s koordinatama (0; 0) i proširenjem 0 → = 0 i → + 0 j →.

Jednaki i suprotni vektori

Definicija 5

Vektori a → i b → jednaki su kad su im odgovarajuće koordinate jednake.

Definicija 6

Suprotan vektor naziva se vektor nasuprot zadanom.

Slijedi da će koordinate takvog vektora biti suprotne koordinatama ovog vektora, to jest - a → = (- a x; - a y).

Sve gore navedeno može se slično definirati za pravokutni koordinatni sustav definiran u trodimenzionalnom prostoru. U takvom koordinatnom sustavu postoji triplet koordinatnih vektora i →, j →, k →, a proizvoljni vektor a → proširen je ne u dvije, već u tri koordinate i na jedinstven način ima oblik a → = ax i → + ay J → + az k →, a koeficijenti ovog širenja (ax; ay; az) nazivaju se koordinate vektora u danom (trodimenzionalnom) koordinatnom sustavu.

Stoga koordinatni vektori u trodimenzionalnom prostoru također imaju vrijednost 1 i imaju koordinate i → = (1; 0; 0), j → = (0; 1; 0), k → = (0; 0; 1), koordinate nultog vektora također jednake nuli 0 → = (0; 0; 0), a u ovom slučaju dva vektora smatrat će se jednakima ako su sve tri odgovarajuće koordinate vektora jednake jedna drugoj a → = b → ⇔ ax = bx, ay = by, az = bz, a koordinate suprotnog vektora a → suprotne su odgovarajućim koordinatama vektora a →, odnosno - a → = (- ax; - ay; - az).

Za ulazak u ovu definiciju potrebno je u danom koordinatnom sustavu prikazati odnos između koordinata točke i koordinata vektora.

Dajmo nam neki pravokutni kartezijanski koordinatni sustav O x y i na njemu je data proizvoljna točka M s koordinatama M (x M; y M).

Definicija 7

Vektor O M → nazvao vektor radijusa točke M .

Odredimo koje koordinate u danom koordinatnom sustavu ima radijus vektor točke

Vektor O M → ima oblik zbroja OM → = OM x → + OM y → = x M i → + y M j →, gdje su točke M x i M y projekcije točke M na koordinatne linije Ox i Oy, (ovi argumenti slijede iz definicijske projekcije točke na ravnu crtu), a i → i j → su koordinatni vektori, dakle, vektor O M → ima koordinate (x M; y M) u danom koordinatnom sustavu.

Drugim riječima, koordinate vektora radijusa točke M jednake su odgovarajućim koordinatama točke M u pravokutnom kartezijanskom koordinatnom sustavu.

Slično tome, u trodimenzionalnom prostoru, radijus vektor točke M (x M; y M; z M) proširen je u koordinatnim vektorima kao OM → = OM x → + OM y → + OM z → = x M i → + y M j → + z M k →, dakle OM → = (x M; y M; z M).

Ako primijetite pogrešku u tekstu, odaberite je i pritisnite Ctrl + Enter

Do sada se vjerovalo da se vektori smatraju u svemiru. Od ovog trenutka pretpostavit ćemo da se svi vektori razmatraju u ravnini. Također ćemo pretpostaviti da je na ravnini naveden kartezijanski koordinatni sustav (čak i ako se o tome ne kaže), koji predstavlja dvije međusobno okomite osi broja - vodoravnu os i okomitu os ... Zatim svaka točka
u zrakoplovu se dodjeljuje par brojeva
, koje su njegove koordinate. Suprotno tome, za svaki par brojeva
odgovara točki u ravnini takvoj da par brojeva
su njegove koordinate.

Iz elementarne geometrije poznato je da ako na ravnini postoje dvije točke
i
, zatim udaljenost
između ovih točaka izražava se u smislu njihovih koordinata formulom

Neka je kartezijanski koordinatni sustav dat na ravnini. Mjesto osi označit će se simbolom , i jedinični vektor osi simbol ... Proizvoljna projekcija vektor po osi označit će se simbolom
, i projekcija na os simbol
.

Neka bude je proizvoljan vektor na ravnini. Vrijedi sljedeći teorem.

Teorem 22.

Za bilo koji vektor u ravnini je par brojeva

Pri čemu
,
.

Dokaz.

Neka je vektor ... Odvojite vektor od podrijetla. Označimo sa vektor projekcije vektor po osi i poslije vektor projekcije vektor po osi ... Tada, kao što se može vidjeti sa slike 21, jednakost

Prema teoremu 9,

Označavamo
,
... Onda smo dobili

Dakle, dokazano je da za bilo koji vektor postoji nekoliko brojeva
takav da jednakost

S drugačijim smještajem vektora s obzirom na osi dokaz je sličan.

Definicija.

Par brojeva i takav da
, nazivaju se koordinate vektora ... Broj naziva se x koordinata, a broj koordinata igre.

Definicija.

Par jediničnih vektora koordinatnih osi
naziva se ortonormirana osnova na ravnini. Prikaz bilo kojeg vektora kao
naziva se razgradnja vektora temeljem
.

Iz definicije koordinata vektora izravno proizlazi da ako su koordinate vektora jednake, onda su i sami vektori jednaki. Istina je i obrnuto.

Teorema.

Jednaki vektori imaju jednake koordinate.

Dokaz.

i
... Dokažimo to
,
.

Iz jednakosti vektora proizlazi da

Pretpostavimo to
, ali
.

Zatim
a to znači
, što nije istina. Slično tome, ako
ali
zatim
... Odavde
, što nije istina. Napokon, pod pretpostavkom da
i
, onda to shvaćamo

To znači da vektori i kolinearni. Ali to nije istina, jer su okomite. Stoga to i ostaje
,
, po potrebi.

Dakle, koordinate vektora u potpunosti određuju sam vektor. Poznavanje koordinata i vektor možete izgraditi sam vektor konstruiranjem vektora
i
i presavijajući ih. Stoga je sam vektor često označiti kao par njegovih koordinata i zapisati
... Takav zapis znači da
.

Sljedeći teorem izravno slijedi iz definicije koordinata vektora.

Teorema.

Kad se dodaju vektori, dodaju se njihove koordinate, a kad se vektor pomnoži s brojem, njegove se koordinate pomnože s tim brojem. Te su izjave napisane u obliku

Dokaz.

Teorema.

Neka bude
, a početak vektora je točka ima koordinate
, a kraj vektora je točka
... Tada su koordinate vektora povezane sa koordinatama njegovih krajeva sljedećim relacijama

Dokaz.

Neka bude
i neka je vektorska projekcija vektora po osi ko-usmjeren s osi (vidi sliku 22). Zatim

t Budući da je duljina odsječka crte na brojčanoj osi jednaka je koordinati desnog kraja minus koordinata lijevog kraja. Ako je vektor

suprotna os (kao na slici 23), onda

Sl. 23.

Ako a
, onda u ovom slučaju
i onda smo dobili

Dakle, za bilo koje mjesto vektora
u odnosu na koordinatne osi njegova koordinata jednako je

Slično se može dokazati da

Primjer.

Dane su koordinate krajeva vektora
:
... Pronađite vektorske koordinate
.

Odluka.

Sljedeći teorem daje izraz za duljinu vektora u smislu njegovih koordinata.

Teorem 15.

Neka bude
.Zatim

Dokaz.

Neka bude i - vektorske projekcije vektora na osi i , odnosno. Tada je, kao što je prikazano u dokazu teorema 9, jednakost

Štoviše, vektori i međusobno okomiti. Kad se ovi vektori dodaju prema pravilu trokuta, dobit ćemo pravokutni trokut (vidi sliku 24).

Prema pitagorejskom teoremu imamo

Stoga

Primjer.

.Pronaći .

Uvedimo koncept kosinusa smjera vektora.

Definicija.

Neka vektor
nadoknađuje osovinom kut , i s osi kut (vidi sliku 25).

Stoga,

Budući da za bilo koji vektor vrijedi jednakost

Gdje - vektorski jedinični vektor - , to jest vektor jedinične duljine koji je u istoj smjeru s vektorom zatim

Vektor određuje smjer vektora ... Njegove koordinate
i
nazivaju se kosinusima smjera vektora ... Kosinusi smjera vektora mogu se izraziti u obliku njegovih koordinata pomoću formula

Postoji veza

Do sada se u ovom odjeljku pretpostavljalo da su svi vektori smješteni u istoj ravnini. Ajmo sad generalizirati na vektore u svemiru.

Pretpostavit ćemo da je kartezijski koordinatni sustav s osi dan u prostoru ,i .

Jedinstveni vektori osi ,i označit će se simbolima ,i , odnosno (slika 26).

Može se pokazati da su svi pojmovi i formule dobiveni za vektore u ravnini generalizirani za

Sl. 26.

vektori u svemiru. Tri vektora
naziva se ortonormalna osnova u prostoru.

Neka bude ,i - vektorske projekcije vektora na osi ,i , odnosno. Zatim

Zauzvrat

Ako označimo

Tada dobivamo jednakost

Koeficijenti ispred osnovnih vektora ,i nazivaju se koordinate vektora ... Dakle, za bilo koji vektor u svemiru su tri broja ,,, nazvane koordinate vektora takav da ovaj vektor zadovoljava prikaz

Vektor u ovom se slučaju također označava u obliku
... Štoviše, koordinate vektora jednake su projekcijama ovog vektora na koordinatne osi

Gdje - kut između vektora i osi ,- kut između vektora i osi ,- kut između vektora i osi .

Duljina vektora izražen u smislu njegovih koordinata formulom

Istina je da jednaki vektori imaju jednake koordinate; kad se dodaju vektori, dodaju se njihove koordinate, a kad se vektor pomnoži s brojem, njegove se koordinate pomnože s tim brojem.
,
i
nazivaju se kosinusima smjera vektora ... Formule su povezane s koordinatama vektora

,
,
.

Stoga slijedi odnos

Ako krajevi vektora
imaju koordinate
,
, zatim koordinate vektora
odnose se na koordinate krajeva vektora relacijama

Primjer.

Daju se bodovi
i
... Pronađite vektorske koordinate
.

Nazivaju se apscisa i ordinata koordinate vektor. Uobičajeno je da se u obliku označavaju koordinate vektora (x, y), a sam vektor kao: = (x, y).

Formula za određivanje koordinata vektora za dvodimenzionalne probleme.

U slučaju dvodimenzionalnog problema, vektor s poznatim koordinate točaka A (x 1; y 1) i B (x 2 ; g 2 ) možete izračunati:

= (x 2 - x 1; y 2 - y 1).

Formula za određivanje koordinata vektora za prostorne probleme.

U slučaju prostornog problema, vektor s poznatim koordinate točaka A (x 1; y 1;z 1 ) i B (x 2 ; g 2 ; z 2 ) može se izračunati primjenom formule:

= (x 2 - x 1 ; g 2 - g 1 ; z 2 - z 1 ).

Koordinate daju sveobuhvatnu karakteristiku vektora, jer se koordinate mogu koristiti za konstrukciju samog vektora. Poznavajući koordinate, lako je izračunati i duljina vektora... (Svojstvo 3 dolje).

Svojstva vektora koordinata.

1. Bilo koji jednaki vektori u jednom koordinatnom sustavu imaju jednake koordinate.

2. Koordinate kolinearni vektori proporcionalan. Pod uvjetom da niti jedan od vektora nije nula.

3. Kvadrat duljine bilo kojeg vektora jednak je zbroju njegovih kvadrata koordinate.

4.Tijekom operacije množenje vektora na pravi broj svaka se od njegovih koordinata pomnoži s tim brojem.

5. Pri dodavanju vektora izračunavamo zbroj odgovarajućih koordinate vektora.

6. Skalarni proizvod dva vektora jednak je zbroju umnožaka njihovih koordinata.

Pronalaženje koordinata vektora prilično je čest uvjet za mnoge probleme u matematici. Sposobnost pronalaženja koordinata vektora pomoći će vam u drugim, složenijim zadacima sa sličnom temom. U ovom ćemo članku razmotriti formulu za pronalaženje koordinata vektora i nekoliko zadataka.

Pronalaženje koordinata vektora u ravnini

Što je avion? Ravnina se smatra dvodimenzionalnim prostorom, prostorom s dvije dimenzije (dimenzija x i dimenzija y). Na primjer, papir je ravnina. Površina stola je ravnina. Neki ne-volumetrijski lik (kvadrat, trokut, trapez) također je ravnina. Dakle, ako je u postavci problema potrebno pronaći koordinate vektora koji leži na ravnini, odmah se sjetimo o x i y. Koordinate takvog vektora možete pronaći na sljedeći način: AB koordinate vektora = (xB - xA; yB - xA). Formula pokazuje da se koordinate početne točke moraju oduzeti od koordinata krajnje točke.

Primjer:

Vektorski CD ima početnu (5; 6) i konačnu (7; 8) koordinate.
Pronađite koordinate samog vektora.
Koristeći gornju formulu, dobivamo sljedeći izraz: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Dakle, koordinate CD vektora = (2; 2).
Sukladno tome, x koordinata jednaka je dvjema, y koordinata je također dvije.

Pronalaženje koordinata vektora u prostoru

Što je prostor? Prostor je već trodimenzionalna dimenzija, gdje su date 3 koordinate: x, y, z. Ako trebate pronaći vektor koji leži u svemiru, formula se praktički ne mijenja. Dodana je samo jedna koordinata. Da biste pronašli vektor, morate koordinate početka oduzeti od koordinata kraja. AB = (xB - xA; yB - yA; zB - zA)

Primjer:

Vector DF ima početni (2; 3; 1) i završni (1; 5; 2).
Primjenom gornje formule dobivamo: Vektorske koordinate DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Zapamtite, vrijednost koordinata može biti negativna, s tim nema problema.

Kako pronaći koordinate vektora na mreži?

Ako iz nekog razloga ne želite sami pronaći koordinate, možete koristiti internetski kalkulator. Prvo odaberite dimenziju vektora. Dimenzija vektora odgovorna je za njegove dimenzije. Dimenzija 3 znači da je vektor u prostoru, dimenzija 2 znači da je u ravnini. Dalje, umetnite koordinate točaka u odgovarajuća polja i program će odrediti koordinate samog vektora. Sve je vrlo jednostavno.

Klikom na gumb stranica će se automatski pomaknuti prema dolje i dati vam točan odgovor zajedno s koracima za rješavanje.

Preporuča se dobro proučiti ovu temu, jer se pojam vektora nalazi ne samo u matematici, već i u fizici. Studenti Fakulteta informacijskih tehnologija također proučavaju temu vektora, ali na složenijoj razini.