Wzory fizyki fal. Wibracje mechaniczne

Okres.

Okres T nazywa się okresem czasu, w którym system wykonuje jedną pełną oscylację:

n- liczba pełnych oscylacji podczas T.

Częstotliwość.

Częstotliwość ν to liczba oscylacji na jednostkę czasu:

Jednostka częstotliwości - 1 herc (Hz) = 1 s -1

Częstotliwość cykliczna:

Równanie oscylacji harmonicznych:

x- przemieszczenie ciała z pozycji. X m jest amplitudą, czyli maksymalnym przemieszczeniem, (ω T+ φ 0) to faza oscylacji, Ψ 0 to jej początkowa faza.

Prędkość.

Dla φ 0 = 0:

Przyśpieszenie.

Dla φ 0 = 0:

Swobodne wibracje.

Drgania swobodne to takie, które powstają w układzie mechanicznym (oscylatorze) z jednostkową odchyłką od położenia równowagi, o częstotliwości własnej ω 0, określonej tylko przez parametry układu i tłumieniu w czasie z powodu obecności tarcia.

Wahadło matematyczne.

Częstotliwość:

ja- długość wahadła, g- przyśpieszenie grawitacyjne.

Wahadło ma maksymalną energię kinetyczną w momencie przejścia w stan równowagi:

Wahadło sprężynowe.

Częstotliwość:

k- sztywność sprężyny, m- masa ładunku.

Wahadło ma maksymalną energię potencjalną przy maksymalnym przemieszczeniu:

Wibracje wymuszone.

Drgania wymuszone to te, które powstają w układzie oscylacyjnym (oscylatorze) pod wpływem okresowo zmieniającej się siły zewnętrznej.

Rezonans.

Rezonans - gwałtowny wzrost amplitudy x m drgania wymuszone, gdy częstotliwość ω siły napędowej pokrywa się z częstotliwością ω 0 drgań własnych układu.

Fale.

Fale to drgania materii (mechaniczne) lub pola (elektromagnetyczne), które rozchodzą się w przestrzeni w czasie.

Prędkość fali.

Prędkość propagacji fali υ to prędkość transmisji energii drgań. W tym przypadku cząstki ośrodka drgają w pobliżu położenia równowagi i nie poruszają się wraz z falą.

Długość fali.

Długość fali λ to odległość, na której propaguje się oscylacja w jednym okresie:

Jednostką długości fali jest 1 metr (m).

Częstotliwość fali:

Jednostką częstotliwości fali jest 1 herc (Hz).

Wibracje harmoniczne występują zgodnie z prawem:

x = A cos (ω T + φ 0),

gdzie x- przemieszczenie cząstki z położenia równowagi, A- amplituda drgań, ω - częstotliwość kątowa, φ 0 - faza początkowa, T- czas.

Okres oscylacji T = .

Oscylująca prędkość cząstek:

υ = = – Aω grzech (ω T + φ 0),

przyśpieszenie a = = –Aω 2 cos (ω T + φ 0).

Energia kinetyczna cząstki wykonującej ruch oscylacyjny: mi k = =
grzech 2 (ω T+ φ 0).

Energia potencjalna:

mi n =
cos 2 (ω T + φ 0).

Okresy oscylacji wahadła

- wiosna T =
,

gdzie m- masa ładunku, k- współczynnik sztywności sprężyny,

- matematyczny T = ,

gdzie ja- długość zawieszenia, g- przyśpieszenie grawitacyjne,

- fizyczne T =
,

gdzie i- moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt zawieszenia, m Czy masa wahadła, ja- odległość od punktu zawieszenia do środka masy.

Skróconą długość wahadła fizycznego można znaleźć na podstawie warunku: ja np = ,

oznaczenia są takie same jak w przypadku wahadła fizycznego.

Gdy doda się dwie drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości i jednym kierunku, otrzymuje się drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości o amplitudzie:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 co (φ 2 - φ 1)

oraz faza początkowa: φ = arctan
.

gdzie A 1 , A 2 - amplitudy, φ 1, φ 2 - początkowe fazy dodanych oscylacji.

Trajektoria ruchu wynikowego przy dodawaniu wzajemnie prostopadłych oscylacji o tej samej częstotliwości:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = grzech 2 (φ 2 - φ 1).

Drgania tłumione występują zgodnie z prawem:

x = A 0 mi - β T cos (ω T + φ 0),

gdzie β jest współczynnikiem tłumienia, znaczenie pozostałych parametrów jest takie samo jak dla oscylacji harmonicznych, A 0 - amplituda początkowa. W tej chwili T amplituda drgań:

A = A 0 mi - β T .

Logarytmiczny dekrement tłumienia nazywa się:

λ = ln
= β T,

gdzie T- okres oscylacji: T = .

Współczynnik jakości układu oscylacyjnego nazywa się:

Równanie płaskiej fali biegnącej ma postać:

tak = tak 0 cos ω ( T ± ),

gdzie w- przemieszczenie wielkości wahającej się z położenia równowagi, w 0 - amplituda, ω - częstotliwość kątowa, T- czas, x Jest współrzędną wzdłuż której rozchodzi się fala, υ - prędkość propagacji fali.

Znak „+” odpowiada fali rozchodzącej się w kierunku osi x, znak „-” odpowiada fali rozchodzącej się wzdłuż osi x.

Długość fali nazywa się jej okresem przestrzennym:

λ = υ T,

gdzie υ - prędkość propagacji fali, T– Okres propagacji oscylacji.

Równanie falowe można zapisać:

tak = tak 0 cos 2π (+).

Falę stojącą opisuje równanie:

tak = (2tak 0 cos ) bo T.

Amplituda fali stojącej jest ujęta w nawiasy. Punkty o maksymalnej amplitudzie nazywane są antywęzłami,

x n = n ,

punkty o zerowej amplitudzie - węzły,

x y = ( n + ) .

Przykłady rozwiązywania problemów

Zadanie 20

Amplituda drgań harmonicznych wynosi 50 mm, okres 4 s, faza początkowa ... a) Zapisz równanie tej oscylacji; b) znaleźć przesunięcie punktu oscylacyjnego od położenia równowagi w T= 0 i dla T= 1,5 s; c) narysuj wykres tego ruchu.

Rozwiązanie

Równanie oscylacji jest zapisane jako x = a cos ( T+  0).

Warunek określa okres oscylacji. Dzięki niemu możesz wyrazić częstotliwość kołową  = . Pozostałe parametry są znane:

a) x= 0,05 cos ( T + ).

b) Przemieszczenie x w T= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Na T= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos ( 1,5 + ) = 0,05 cos = - 0,05 m.

v ) wykres funkcji x= 0,05 cos ( T + ) w następujący sposób:

Określmy położenie kilku punktów. Znany x 1 (0) i x 2 (1.5), a także okres oscylacji. Stąd poprzez  T= wartość 4 s x powtarza się, a po  T = 2 c zmienia znak. Pomiędzy wysokim a niskim w środku wynosi 0.

Zadanie 21

Punkt tworzy wibracje harmoniczne. Okres oscylacji wynosi 2 s, amplituda 50 mm, faza początkowa wynosi zero. Znajdź prędkość punktu w chwili, gdy jego przemieszczenie od położenia równowagi wynosi 25 mm.

Rozwiązanie

1 sposób. Zapisujemy równanie oscylacji punktu:

x= 0,05 cos  T, ponieważ  = =.

Znajdź prędkość w danej chwili T:

υ = = – 0,05 bo T.

Znajdujemy moment w czasie, w którym przemieszczenie wynosi 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos  T 1 ,

stąd cos T 1 = ,  T 1 = . Podstaw tę wartość do wyrażenia na szybkość:

υ = - 0,05  grzech = - 0,05 = 0,136 m/s.

Metoda 2. Całkowita energia ruchu wibracyjnego:

mi =
,

gdzie a- amplituda,  - częstotliwość kołowa, m – masa cząstek.

W każdym momencie jest to suma energii potencjalnej i kinetycznej punktu

mi k = , mi n = , ale k = m 2, zatem mi n =
.

Napiszmy prawo zachowania energii:

= +
,

stąd otrzymujemy: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Zadanie 22

Amplituda drgań harmonicznych punktu materialnego A= 2 cm, całkowita energia mi= 3 ∙ 10 -7 J. Przy jakim przesunięciu od położenia równowagi siła działa na punkt oscylacyjny F = 2,25 ∙ 10 -5 N?

Rozwiązanie

Całkowita energia punktu wykonującego oscylacje harmoniczne jest równa: mi =
. (13)

Moduł siły sprężystej wyraża się poprzez przemieszczenie punktów z położenia równowagi x w następujący sposób:

F = k x (14)

Wzór (13) zawiera masę m i częstotliwości kątowej , a w (14) - współczynnik sztywności k... Ale częstotliwość kołowa jest związana z m oraz k:

 2 = ,

stąd k = m 2 i F = m 2 x... Wyrażając m 2 z zależności (13) otrzymujemy: m 2 = , F = x.

Skąd otrzymujemy wyrażenie na przemieszczenie x: x = .

Podstawienie wartości liczbowych daje:

x =
= 1,5 ∙ 10 -2 m = 1,5 cm.

Zadanie 23

Punkt uczestniczy w dwóch oscylacjach o tych samych okresach i początkowych fazach. Amplitudy oscylacji A 1 = 3 cm i A 2 = 4 cm Znajdź amplitudę oscylacji wynikowej, jeśli: 1) oscylacje występują w jednym kierunku; 2) drgania są wzajemnie prostopadłe.

Rozwiązanie

Jeżeli oscylacje występują w jednym kierunku, to amplituda oscylacji wynikowej zostanie określona jako:

gdzie A 1 i A 2 – amplitudy drgań dodanych,  1 i  2 – fazy początkowe. Warunek, fazy początkowe są takie same, co oznacza  2 -  1 = 0, a cos 0 = 1.

W związku z tym:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Jeżeli drgania są wzajemnie prostopadłe, to równaniem ruchu wynikowego będzie:

cos ( 2 -  1) = grzech 2 ( 2 -  1).

Ponieważ pod warunkiem  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, równanie zostanie zapisane w postaci:
=0,

lub
=0,

lub
.

Powstały związek między x oraz w można wykreślić na wykresie. Z wykresu widać, że powstałe oscylacje punktu na linii prostej MN... Amplituda tej fluktuacji zostanie określona jako: A =
= 5 cm.

Zadanie 24

Tłumiony okres oscylacji T= 4 s, logarytmiczny dekrement tłumienia  = 1,6, faza początkowa wynosi zero. Odsunięcie punktu w T = równa się 4,5 cm 1) Napisz równanie tej oscylacji; 2) Zbuduj wykres tego ruchu dla dwóch okresów.

Rozwiązanie

Równanie drgań tłumionych z zerową fazą początkową ma postać:

x = A 0 mi -  T cos2 .

Nie ma wystarczającej liczby początkowych wartości amplitudy, aby zastąpić wartości liczbowe A 0 i współczynnik tłumienia .

Współczynnik tłumienia można wyznaczyć ze stosunku do logarytmicznego dekrementu tłumienia:

 = T.

Zatem  = = = 0,4 s -1.

Amplitudę początkową można określić, podstawiając drugi warunek:

4,5 cm = A 0
bo 2 = A 0
cos = A 0
.

Stąd znajdujemy:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Ostateczne równanie ruchu to:

x = 0,0775
koszt.

Zadanie 25

Jaki jest logarytmiczny dekrement tłumienia wahadła matematycznego, jeśli T = 1 min, amplituda drgań zmniejszyła się o połowę? Długość wahadła ja = 1 m.

Rozwiązanie

Logarytmiczny dekrement tłumienia można znaleźć z zależności:  =  T,

gdzie  jest współczynnikiem tłumienia, T- okres wahań. Naturalna częstotliwość kołowa wahadła matematycznego:

 0 =
= 3,13 s -1.

Współczynnik tłumienia oscylacji można wyznaczyć z warunku: A 0 = A 0 mi -  T ,

T= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Od <<  0 , то в формуле  =
można pominąć w porównaniu z  0, a okres oscylacji można wyznaczyć wzorem: T = = 2c.

Zastąp  i T do wyrażenia na logarytmiczny dekrement tłumienia i otrzymujemy:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Zadanie 26

Równanie oscylacji trwałych podane jest w postaci x= 4 sin600  T cm.

Znajdź przemieszczenie od położenia równowagi punktu znajdującego się w odległości ja= 75 cm od źródła drgań, po T= 0,01 s po rozpoczęciu oscylacji. Prędkość propagacji drgań υ = 300 m / s.

Rozwiązanie

Napiszmy równanie fali rozchodzącej się z danego źródła: x= 0,04 sin 600  ( T– ).

Znajdujemy fazę fali w określonym czasie w danym miejscu:

T– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 0,0075 = 4,5,

grzech 4,5 = grzech = 1.

Dlatego przesunięcie punktu x= 0,04 m, tj. na odległość ja = 75 cm od źródła w tym czasie T= 0,01 s maksymalne przesunięcie punktu.

Bibliografia

Volkenstein V.S.... Zbiór zadań do ogólnego toku fizyki. - SPb.: SpetsLit, 2001.

Saveliev I.V... Zbiór pytań i problemów z fizyki ogólnej. - M.: Nauka, 1998.

Równanie harmoniczne

gdzie X - przesunięcie punktu oscylacyjnego z położenia równowagi;
T- czas; A,ω, φ- odpowiednio amplituda, częstotliwość kątowa,
początkowa faza oscylacji; - faza oscylacji w tej chwili T.

Częstotliwość drgań kątowych

gdzie ν i T są częstotliwością i okresem oscylacji.

Prędkość punktu wywołującego drgania harmoniczne

Przyspieszenie harmoniczne

Amplituda A wynikowa oscylacja, uzyskana przez dodanie dwóch oscylacji o tych samych częstotliwościach, występujących wzdłuż jednej linii prostej, jest określona wzorem

gdzie a 1 i A 2 - amplitudy składników drgań; φ 1 i φ 2 to ich początkowe fazy.

Początkową fazę φ oscylacji wynikowej można znaleźć ze wzoru

Częstotliwość dudnień wynikająca z dodania dwóch oscylacji występujących wzdłuż jednej linii prostej o różnych, ale zbliżonych wartościach, częstotliwościach ν 1 i ν 2,

równanie trajektorii punktu uczestniczącego w dwóch wzajemnie prostopadłych drganiach o amplitudach A 1 i A 2 oraz fazach początkowych φ 1 i φ 2,

Jeżeli początkowe fazy φ 1 i φ 2 składowych drgań są takie same, to równanie trajektorii przyjmuje postać

to znaczy, że punkt porusza się w linii prostej.

W przypadku różnicy faz równanie
przybiera formę

to znaczy, że punkt porusza się po elipsie.

Równanie różniczkowe drgań harmonicznych punktu materialnego

Lub ,
gdzie m jest masą punktu; k - współczynnik siły quasi-sprężystej ( k=Tω 2).

Całkowita energia punktu materialnego wykonującego drgania harmoniczne,

okres drgań ciała zawieszonego na sprężynie (wahadło sprężyste),

gdzie m- masa ciała; k - wiosenna stawka. Wzór obowiązuje dla drgań sprężystych w granicach, w których spełnione jest prawo Hooke'a (przy małej masie sprężyny w porównaniu z masą ciała).

Okres drgań wahadła matematycznego

gdzie ja- długość wahadła; g - przyśpieszenie grawitacyjne. Okres drgań wahadła fizycznego

gdzie J- moment bezwładności ciała oscylującego wokół osi

wahania; a- odległość środka masy wahadła od osi drgań;

Zmniejszona długość wahadła fizycznego.

Podane wzory są dokładne dla przypadku nieskończenie małych amplitud. Przy skończonych amplitudach wzory te dają tylko przybliżone wyniki. Przy amplitudach nie większych niż błąd wartości okresu nie przekracza 1%.

Okres drgań skrętnych ciała zawieszonego na elastycznej nici,

gdzie J - moment bezwładności ciała wokół osi pokrywającej się z elastyczną nitką; k - sztywność elastycznej nici, równa stosunkowi momentu sprężystego, który występuje, gdy nić jest skręcona, do kąta skręcenia nici.

Równanie różniczkowe tłumionych oscylacji
, lub ,

gdzie r- współczynnik oporu; Δ. - współczynnik tłumienia:; ω 0 - naturalna częstotliwość kątowa oscylacji *

Równanie oscylacji tłumionych

gdzie Na) - amplituda drgań tłumionych w danej chwili T;ω to ich częstotliwość kątowa.

Częstotliwość kątowa tłumionych oscylacji

О Zależność amplitudy drgań tłumionych od czasu

gdzie A 0 - amplituda drgań w tej chwili T=0.

Logarytmiczny dekrement fluktuacji

gdzie Na) oraz A (t + T) - amplitudy dwóch kolejnych oscylacji oddalonych od siebie w czasie o okres.

Równanie różniczkowe wymuszonych oscylacji

gdzie działa zewnętrzna siła okresowa
zmienny punkt materialny i powodujący wymuszony
wahania; F 0 - jego wartość amplitudy;

Wymuszona amplituda drgań

Częstotliwość rezonansowa i amplituda rezonansowa oraz

Przykłady rozwiązywania problemów

Przykład 1. Punkt oscyluje zgodnie z prawem x (t) =, gdzie A = 2 patrz Wyznacz fazę początkową φ jeśli

x(0) = cm i x , (0)<0. Построить векторную диаграмму для мо-­
policjant T=0.

Rozwiązanie. Użyjmy równania ruchu i wyrażmy przemieszczenie w chwili obecnej T= 0 przez fazę początkową:

Stąd znajdujemy początkową fazę:

* We wcześniejszych wzorach na drgania harmoniczne tę samą wartość oznaczono po prostu przez ω (bez indeksu 0).

Zastąp podane wartości w tym wyrażeniu x(0) i A:φ=
=. Wartość argumentu jest spełniona
dwie wartości kąta:

Aby zdecydować, która z tych wartości kąta spełnia
również podnosi warunek, najpierw znajdujemy:

Zastępując w tym wyrażeniu wartość T= 0 i alternatywnie wartości
fazy początkowe i stwierdzamy

Jak zawsze A> 0 i ω> 0, to warunek jest spełniony tylko
do pierwszej wartości fazy początkowej.
Tak więc wymagany inicjał
faza

Na podstawie znalezionej wartości φ,
im diagram wektorowy (ryc. 6.1).
Przykład 2. Punkt materialny
masa T= 5 g wykonuje harmoniczną
wibracje z częstotliwością ν = 0,5 Hz.
Amplituda wibracji A= 3 cm Op-
Wyznacz: 1) prędkość υ punkt w
moment, w którym przesunięcie x =
= 1,5 cm; 2) maksymalna siła
F max działający na punkt; 3)
Ryż. 6.1 pełna energia mi zmienny punkt
Ki.

i otrzymujemy wzór na prędkość, biorąc po raz pierwszy pochodną przemieszczenia:

Aby wyrazić prędkość w postaci przemieszczenia, konieczne jest wykluczenie czasu ze wzorów (1) i (2). Aby to zrobić, podnosimy oba równania do kwadratu, pierwsze dzielimy przez 2, drugi na A 2 2 i dodaj:

Lub

Rozwiązywanie ostatniego równania dla υ , znajdować

Po wykonaniu obliczeń za pomocą tego wzoru otrzymujemy

Znak plus odpowiada przypadkowi, gdy kierunek prędkości pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi X, znak minus - gdy kierunek prędkości pokrywa się z ujemnym kierunkiem osi X.

Przemieszczenie przy drganiach harmonicznych, oprócz równania (1), można również wyznaczyć za pomocą równania

Powtarzając to samo rozwiązanie z tym równaniem, otrzymujemy tę samą odpowiedź.

2. Siła działająca na punkt znajduje się zgodnie z drugim prawem Newtona:

gdzie a - przyspieszenie punktowe, które otrzymujemy z pochodnej czasu od prędkości:

Podstawiając wyrażenie na przyspieszenie do wzoru (3) otrzymujemy

Stąd maksymalna wartość siły

Podstawiając do tego równania wartości wielkości π, ν, T oraz A, znajdować

3. Całkowita energia punktu oscylacyjnego jest sumą energii kinetycznej i potencjalnej obliczonej dla dowolnego momentu czasu.

Całkowitą energię najłatwiej obliczyć w momencie, gdy energia kinetyczna osiąga swoją maksymalną wartość. W tej chwili energia potencjalna wynosi zero. Dlatego całkowita energia mi punkt oscylacyjny jest równy maksymalnej energii kinetycznej

Maksymalna prędkość jest określana ze wzoru (2) przez ustawienie
:. Zastąpienie wyrażenia szybkością w postaci
muł (4), znajdź

Podstawiając wartości wielkości do tego wzoru i wykonując obliczenia, otrzymujemy

lub McJ.

Przykład 3. ja= 1 m i masa m 3 = 400 g małych kulek wzmocnionych masami m 1 = 200 gi m 2 = 300g. Pręt wibruje wokół osi poziomej, prostopadle

dikularny do pręta i przechodzący przez jego środek (punkt O na ryc. 6.2). Określ okres T wibracje wytwarzane przez pręt.

Rozwiązanie. Okres drgań wahadła fizycznego, które jest prętem z kulkami, jest określony przez stosunek

Gdzie J - T - jego masa; l C - odległość od środka masy wahadła do osi.

Moment bezwładności danego wahadła jest równy sumie momentów bezwładności kul J 1 i J 2 i pręt J 3:

Biorąc kulki za punkty materialne, wyrażamy momenty ich bezwładności:

Ponieważ oś przechodzi przez środek paska, to
jego moment bezwładności wokół tej osi J 3 =
= . Podstawianie wynikowych wyrażeń J 1 , J 2 oraz
J 3 do wzoru (2), znajdujemy całkowity moment bezwładności
wahadło fizyczne:

Dokonując obliczeń za pomocą tego wzoru, znajdujemy

Ryż. 6.2 Masa wahadła składa się z mas kulek i masy
pręt:

Dystans l CŚrodek masy wahadła znajdujemy od osi oscylacji na podstawie poniższych rozważań. Jeśli oś x kierować wzdłuż pręta i wyrównać początek z punktem O, wymagana odległość ja jest równa współrzędnej środka masy wahadła, tj.

Podstawianie wartości wielkości m 1 , m 2 , m, ja i dokonując obliczeń, znajdujemy

Wykonując obliczenia według wzoru (1) otrzymujemy okres drgań wahadła fizycznego:

Przykład 4. Wahadło fizyczne to pręt
długość ja= 1 m i masa 3 T 1 Z przymocowany do jednego z jego końców
obręcz o średnicy i wadze T 1 . Pozioma oś Oz

wahadło przechodzi przez środek pręta prostopadle do niego (ryc. 6.3). Określ okres T oscylacje takiego wahadła.

Rozwiązanie. Okres drgań wahadła fizycznego określa wzór

(1)

gdzie J - moment bezwładności wahadła względem osi drgań; T - jego masa; ja C - odległość od środka masy wahadła do osi drgań.

Moment bezwładności wahadła jest równy sumie momentów bezwładności pręta J 1 i obręcz J 2:

moment bezwładności pręta względem osi,
prostopadle do poprzeczki i mijania
przez jego środek masy jest określony przez formę-
le. W tym przypadku t = 3T 1 i

Znajdujemy moment bezwładności obręczy, używamy
zwany twierdzeniem Steinera,
gdzie J - moment bezwładności względem
oś arbitralna; J 0 - moment bezwładności
względem osi przechodzącej przez środek masy
równolegle do danej osi; a - dystans
między określonymi osiami. Stosując ten formularz-
muł do obręczy, dostajemy

Ryż. 6,3

Zastępowanie wyrażeń J 1 i J 2 we wzorze (2) znajdujemy moment bezwładności wahadła względem osi obrotu:

Dystans l C od osi wahadła do jego środka masy wynosi

Podstawianie do formuły (1) wyrażeń J, jaс i masę wahadła, znajdujemy okres jego drgań:

Po obliczeniu tym wzorem otrzymujemy T= 2,17 s.

Przykład 5. Dodaje się dwie wibracje w tym samym kierunku
niya wyrażona równaniami; x 2 =
=, gdzie A 1 = 1cm, A 2 = 2 cm, s, s, ω =
=. 1. Wyznacz początkowe fazy φ 1 i φ 2 składników

łaźnia. 2. Znajdź amplitudę A oraz początkową fazę φ powstałego chybotania. Napisz równanie wynikowej fluktuacji.

Rozwiązanie. 1. Równanie oscylacji harmonicznej ma postać

Przekształcamy równania podane w opisie problemu do tej samej postaci:

Z porównania wyrażeń (2) z równością (1) znajdujemy początkowe fazy pierwszej i drugiej oscylacji:

Cieszę się i cieszę.

2. Aby określić amplitudę A otrzymanej fluktuacji wygodnie jest skorzystać z wykresu wektorowego przedstawionego na Ryż. 6.4. Zgodnie z twierdzeniem cosinusowym otrzymujemy

gdzie jest różnica faz składowych oscylacji.
Od tego czasu zastępując znalezione
wartości φ 2 i φ 1 będą rad.

Ryż. 6,4

Zastąp wartości A 1 , A 2 i we wzorze (3) i
zróbmy obliczenia:

A = 2,65 cm.

Tangens początkowej fazy φ oscylacji wynikowej wyznacza
lim bezpośrednio z ryc. 6.4: , otku-
tak początkowa faza

Zastąp wartości A 1 , A 2 , φ 1, φ 2 i wykonaj obliczenia:

Ponieważ częstotliwości kątowe dodanych drgań są takie same,
wtedy wynikowa wibracja będzie miała tę samą częstotliwość ω. Ten
pozwala na zapisanie równania oscylacji wynikowej w postaci
, gdzie A= 2,65 cm, cieszę się.

Przykład 6. Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch wzajemnie prostopadłych oscylacjach harmonicznych, których równania

gdzie a 1 = 1 cm, A 2 = 2 cm. Znajdź równanie trajektorii punktu
Ki. Narysuj trajektorię w skali i określ
kierunek ruchu punktu.

Rozwiązanie. Aby znaleźć równanie trajektorii punktu, wykluczamy czas T z podanych równań (1) i (2). Aby to zrobić, użyj

studiujemy formułę. W tym przypadku
, Dlatego

Ponieważ zgodnie ze wzorem (1) , to równanie trajektorii
ri

Wynikowe wyrażenie to równanie paraboli, której oś pokrywa się z osią Oh. Z równań (1) i (2) wynika, że ​​przemieszczenie punktu wzdłuż osi współrzędnych jest ograniczone i zawiera się w przedziale od -1 do +1 cm wzdłuż osi Oh i od -2 do +2 cm wzdłuż osi Jednostka organizacyjna.

Aby skonstruować trajektorię, znajdujemy za pomocą równania (3) wartości tak, odpowiadające serii wartości X, spełniający warunek, zobacz i sporządź tabelę:

Aby wskazać kierunek ruchu punktu, śledź, jak zmienia się jego pozycja w czasie. W początkowym momencie T= 0 współrzędne punktu są równe x(0) = 1 cm i tak(0) = 2 cm.W następnej chwili, na przykład o T 1 = l s, współrzędne punktów zmienią się i staną się równe x(1) = -1 cm, y ( T )=0. Znając położenie punktów w początkowym i kolejnych (bliskich) momentach czasu, możesz wskazać kierunek ruchu punktu po trajektorii. Na ryc. 6.5 ten kierunek ruchu jest oznaczony strzałką (od punktu A do pochodzenia). Po w tej chwili T 2 = 2 s punkt oscylacyjny osiąga punkt D, poruszy się w przeciwnym kierunku.

Kinematyka drgań harmonicznych

6.1. Równanie drgań punktu ma postać:
gdzie ω = π s -1, τ = 0,2 s. Określ okres T i faza początkowa φ
wahanie.

6.2. Określ okres T, częstotliwość v i fazę początkową φ oscylacji określoną równaniem, gdzie ω = 2,5π s -1,
τ = 0,4 s.

6.3.
gdzie A x (0) = 2 głoska bezdźwięczna
; 2) x (0) = cm i; 3) x (0) = 2cm i; 4)
x (0) = u. Skonstruuj diagram wektorowy dla
za chwilę T=0.

6.4. Punkt wibruje Zgodnie z prawem
gdzie A= 4 cm Wyznacz fazę początkową φ jeśli: 1) x (0) = 2 głoska bezdźwięczna
; 2) x(0) = cm i; 3) x(0) = cm i;
4) x(0) = cm i. Skonstruuj diagram wektorowy dla
za chwilę T=0.

6.5. Punkt wibruje zgodnie z prawem,
gdzie A= 2 cm; ; φ = π / 4 rad. Buduj wykresy zależności
od czasu: 1) przemieszczenie x(t); 2) prędkość; 3) przyspieszenie

6.6. Punkt oscyluje z amplitudą A= 4 cm i kropka T = 2 sekundy. Napisz równanie tych drgań, zakładając, że w
za chwilę T= 0 przesunięcie x (0) = 0 oraz . Określ fazę
dla dwóch punktów w czasie: 1) kiedy przemieszczenie x = 1cm i;
2) gdy prędkość = -6 cm/s i x<0.

6.7. Punkt porusza się równomiernie po okręgu w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z okresem T = 6 s. Średnica D koło ma 20 cm. Napisz równanie ruchu rzutu punktu na oś X, przechodząc przez środek okręgu, jeżeli w momencie czasu przyjętym jako początkowy rzut na oś x jest równy zero. Znajdź przesunięcie X, prędkość i przyspieszenie rzutu punktu w danej chwili t = 1c.

6.8. Określ maksymalne wartości prędkości i przyspieszenia punktu wykonującego oscylacje harmoniczne z amplitudą A = 3 cm i częstotliwość narożna

6.9. Punkt oscyluje zgodnie z prawem, gdzie A =
= 5 cm; ... Określ przyspieszenie punktu w punkcie w czasie,
gdy jego prędkość = 8 cm / s.

6.10. Punkt wykonuje oscylacje harmoniczne. Najwspanialszy
stronniczość x m ax punktów to 10 cm, najwyższa prędkość =
= 20 cm/s. Znajdź częstotliwość kątową ω oscylacji i maksymalne przyspieszenie punktu.

6.11. Maksymalna prędkość punktu wykonującego oscylacje harmoniczne wynosi 10 cm/s, maksymalne przyspieszenie =
= 100 cm / s 2. Znajdź częstotliwość kątową ω oscylacji, ich okres T
i amplituda A. Napisz równanie oscylacji, przyjmując fazę początkową równą zero.

6.12. Punkt oscyluje zgodnie z prawem. W pewnym momencie przesunięcie x 1 punkt okazał się równy 5 cm. Gdy faza oscylacji podwoiła się, przemieszczenie x stało się równe 8 cm. Znajdź amplitudę A wahanie.

6.13. Wahania punktu występują zgodnie z prawem.
W pewnym momencie przesunięcie x punkt to 5 cm, jego prędkość
= 20 cm / s i przyspieszenie = -80 cm / s 2. Znajdź amplitudę A, częstotliwość kątowa ω, okres T oscylacje i faza w rozważanym momencie.

Dodanie wibracji

6.14. Dwie identycznie skierowane oscylacje harmoniczne tego samego okresu o amplitudach A 1 = 10 cm i A 2 = 6 cm dodać do jednej wibracji o amplitudzie A = 14 cm Znajdź różnicę faz dodanych oscylacji.

6.15. Dwie wibracje harmoniczne, skierowane wzdłuż jednej linii prostej i mające te same amplitudy i okresy, składają się na jedną wibrację o tej samej amplitudzie. Znajdź różnicę faz dodanych drgań.

6.16. Określ amplitudę A i początkowa faza φ wyniku
drgania oscylacyjne wynikające z dodania dwóch oscylacji
ten sam kierunek i okres: i
, gdzie A 1 =A 2 = 1 cm; ω = π s -1; τ = 0,5 s. Znajdź równanie powstałej oscylacji.

6.17. Punkt uczestniczy w dwóch równo ukierunkowanych oscylacjach: i, gdzie a 1 = 1cm; A 2 = 2 cm; =
= 1 s -1. Określ amplitudę A wynikające z tego wahania,
jego częstotliwość v i początkowa faza φ. Znajdź równanie tego ruchu.

6.18. Sumują się dwie wibracje harmoniczne, jedna per
panuje z tymi samymi okresami T 1 =T 2 = 1,5 s i amplitudy
A 1 = A 2 = 2cm. Początkowe fazy oscylacji i. Określ amplitudę A oraz początkową fazę φ powstałego chybotania. Znajdź jego równanie i wykreśl je w skali
diagram wektorowy dodawania amplitud.

6.19. Dodawane są trzy oscylacje harmoniczne w tym samym kierunku z tymi samymi okresami T1 = T2 = T3 = 2 s i amplitudy A 1 =A 2 =A 3 = 3 cm Początkowe fazy oscylacji to φ 1 = 0, φ 2 = π / 3, φ 3 = 2π / 3. Zbuduj diagram wektorowy sumowania amplitud. Określ amplitudę z rysunku A oraz początkową fazę φ powstałego chybotania. Znajdź jego równanie.

6.20. Dodaj dwie wibracje harmoniczne tego samego
częstotliwość i ten sam kierunek: i x 2 =
=. Narysuj wykres wektorowy na chwilę
czas T= 0. Wyznacz analitycznie amplitudę A i inicjał
faza φ oscylacji wynikowej. Odraczać A i φ na wektorze
diagram. Znajdź równanie wynikowej oscylacji (w postaci trygonometrycznej przez cosinus). Rozwiąż problem dla dwojga
przypadki: 1) A 1 = 1cm, φ 1 = π / 3; A 2 = 2 cm, φ 2 = 5π/6; 2) A 1 = 1cm,
φ 1 = 2π / 3; A 2 = 1 cm, φ 2 = 7π / 6.

6.21. Dwa kamertony brzmią jednocześnie. Częstotliwości ν 1 i ν 2 ich oscylacji są odpowiednio równe 440 i 440,5 Hz. Określ okres T bije.

6.22. Sumują się dwie wzajemnie prostopadłe wibracje,
wyrażone równaniami i, gdzie
a 1 =2 cm, A 2 = 1 cm, τ = 0,5 s. Znajdź równanie trajektorii
i zbuduj go, pokazując kierunek ruchu punktu.

6.23. Punkt wykonuje jednocześnie dwie drgania harmoniczne zachodzące we wzajemnie prostopadłych kierunkach
i wyrażone równaniami i,
gdzie a 1 = 4 cm, A 1 = 8 cm, τ = 1 s. Znajdź równanie trajektorii punktu i zbuduj wykres jego ruchu.

6.24. Punkt wykonuje jednocześnie dwie drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości, zachodzące we wzajemnie prostopadłych kierunkach wyrażonych równaniami: 1) i

Znajdź (dla ośmiu przypadków) równanie trajektorii punktu, zbuduj je względem skali i wskaż kierunek ruchu. Akceptować: A = 2 cm, A 1 = 3 cm, A 2 = 1cm; φ 1 = π / 2, φ 2 = π.

6.25 ... Punkt uczestniczy jednocześnie w dwóch wzajemnie prostopadłych oscylacjach, wyrażonych równaniami i
, gdzie A 1 = 2 cm, A 2 = 1 cm Znajdź równanie trajektorii
wskaż i zbuduj go, wskazując kierunek ruchu.

6.26. Punkt wykonuje jednocześnie dwie drgania harmoniczne zachodzące we wzajemnie prostopadłych kierunkach
i wyrażone równaniami i, gdzie A 1 =
= 0,5 cm; A 2 = 2 cm Znajdź równanie trajektorii punktu i konstrukcji
ją, wskazując kierunek ruchu.

6.27. Ruch punktu jest określony równaniami i y =
=, gdzie A 1 = 10 cm, A 2 = 5 cm, ω = 2 s -1, τ = π / 4 s. Znajdować
równanie trajektorii i prędkości punktu w chwili czasu T= 0,5 sekundy.

6.28. Punkt materialny uczestniczy jednocześnie w dwóch wzajemnie prostopadłych drganiach, wyrażonych równaniami
i gdzie A 1 =2 cm, A 2 = 1 cm Znajdź
równanie trajektorii i zbuduj ją.

6.29. Punkt uczestniczy jednocześnie w dwóch drganiach harmonicznych występujących we wzajemnie prostopadłych kierunkach opisanych równaniami: 1) i

Znajdź równanie trajektorii punktu, zbuduj je względem skali i wskaż kierunek ruchu. Akceptować: A= 2 cm; A 1 = s cm.

6.30. Punkt uczestniczy jednocześnie w dwóch wzajemnie prostopadłych
oscylacje wyrażone równaniami i

y = A 2 grzech 0,5ω T, gdzie A 1 = 2cm, A 2 = 3 cm Znajdź równanie trajektorii punktu i skonstruuj je, wskazując kierunek ruchu.

6.31. Przesunięcie punktu świetlnego na ekranie oscyloskopu jest wynikiem dodania dwóch wzajemnie prostopadłych drgań, które opisują równania: 1) x = A grzech 3 ω T oraz w=A grzech 2ω T; 2) x = A grzech 3ω T oraz tak=A bo 2ω T; 3) x = A grzech 3ω T i y = A bo T.

Wykorzystując graficzną metodę dodawania i obserwując skalę, skonstruuj trajektorię punktu świetlnego na ekranie. Akceptować A= 4 cm.

Dynamika drgań harmonicznych. Wahadła

6.32. Punkt materialny według masy T= 50 g wykonuje oscylacje, których równanie ma postać x = A bo T, gdzie A= 10 cm, = 5 s -1. Znajdź siłę F, działając na punkt, w dwóch przypadkach: 1) w momencie, gdy faza ω T= π / 3; 2) w miejscu największego przesunięcia punktu.

6.33. Oscylacje punktu materialnego o masie T= 0,1 g występują zgodnie z równaniem x=A bo T, gdzie A= 5 cm; ω = 20 s -1. Określ maksymalne wartości siły przywracającej F max i energii kinetycznej T mam ah.

6.34. Znajdź siłę przywracającą F W tym momencie T= 1 s i pełna energia mi punkt materialny oscylujący zgodnie z prawem x = A bo T, gdzie A = 20 cm; ω = 2π / 3 s -1. Waga T punkt materialny wynosi 10 g.

6.35. Oscylacje punktu materialnego zachodzą zgodnie z równaniem x = A bo T, gdzie A= 8 cm, ω = π / 6 s -1. Moment, w którym siła przywracająca F po raz pierwszy osiągnął wartość -5 mN, energia potencjalna punktu P stała się równa 100 μJ. Znajdź ten moment w czasie T i odpowiednia faza ω T.

6.36. Waga waga m= 250 g, zawieszony na sprężynie, oscyluje w pionie z kropką T = 1Z. Określ sztywność k sprężyny.

6.37. Na sprężynie śrubowej zawieszony został obciążnik, w wyniku czego sprężyna została naciągnięta o x = 9 zobacz jaki będzie okres T oscylacja ciężarka, jeśli jest lekko ściągnięta, a następnie puszczona?

6.38. Ciężarek zawieszony na sprężynie wibruje pionowo z amplitudą A= 4 cm Określ całkowitą energię mi wahania ciężaru, jeśli sztywność k sprężyna wynosi 1 kN/m.

6.39. Znajdź stosunek długości dwóch wahadeł matematycznych, jeśli stosunek okresów ich drgań wynosi 1,5.

6.40. l = 1m zainstalowany w windzie. Winda unosi się z przyspieszeniem a= 2,5 m / s 2. Określ okres T drgania wahadła.

6.41. Na końcach cienki pręt o długości ja= 30 cm, dołączone są identyczne obciążniki, po jednym na każdym końcu. Pręt z ciężarkami wibruje wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt d = 10 cm od jednego z końców pręta. Określ skróconą długość L i kropka T oscylacje takiego wahadła fizycznego. Zignoruj ​​masę pręta.

6.42. Na długim pręcie ja= 30 cm mocowane są dwa identyczne ciężarki: jeden na środku drążka, drugi na jednym z jego końców. Wędka z ciężarkiem oscyluje wokół osi poziomej przechodzącej przez wolny koniec wędki. Określ skróconą długość L i kropka T wibracje takiego systemu. Zignoruj ​​masę pręta.

6.43. System trzech obciążników połączonych prętami o długości ja= 30 cm (rys. 6.6), oscyluje wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt O prostopadły do ​​płaszczyzny rysunku. Znajdź okres T fluktuacje systemu. Zaniedbujemy masy prętów, ciężary traktujemy jako punkty materialne.

6.44. Cienka obręcz zawieszona na gwoździu, wbita poziomo w ścianę, oscyluje w płaszczyźnie równoległej do ściany. Promień r obręcz ma 30 cm.Oblicz okres T wibracje obręczy.

Ryż. 6,6

Ryż. 6,7

6.45. Jednorodny dysk o promieniu r= 30 cm oscyluje wokół poziomej osi przechodzącej przez jedną z tworzących cylindrycznej powierzchni dysku. Jaki jest okres? T jego wahanie?

6.46. Promień dysku R = 24 cm wibruje wokół osi poziomej przechodzącej przez środek jednego z promieni prostopadłych do płaszczyzny dysku. Określ skróconą długość L i kropka T oscylacje takiego wahadła.

6.47. Z cienkiego jednorodnego dysku o promieniu r= 20 cm wyciąć część, która wygląda jak okrąg o promieniu r = 10cm, jak pokazano na ryc. 6.7. Reszta krążka oscyluje wokół poziomej osi O, która pokrywa się z jedną z tworzących cylindrycznej powierzchni krążka. Znajdź okres T oscylacje takiego wahadła.

6.48. Matematyczna długość wahadła ja 1 = 40 cm i wahadło fizyczne w postaci cienkiego prostego pręta o długości ja 2 = 60 cm oscyluje synchronicznie wokół tej samej osi poziomej. Określ odległość aśrodek masy pręta od osi drgań.

6.49. Fizyczne wahadło w postaci cienkiego prostego pręta o długości ja= 120 cm oscyluje wokół osi poziomej przechodzącej prostopadle do pręta przez punkt w pewnej odległości a od środka masy pręta. Przy jakiej wartości a Kropka T fluktuacja ma najmniejszą wartość?

6.50. T z przyczepioną do niego małą kulką masy T. Wahadło oscyluje wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt O na pręcie. Określ okres T drgania harmoniczne wahadła dla przypadków a, pne, d pokazano na ryc. 6.8. Długość ja pręt jest równy 1 m. Piłka jest uważana za punkt materialny.

Ryż. 6,9

Ryż. 6,8

6.51. Wahadło fizyczne to cienki jednorodny pręt o masie T z zamocowanymi na nim dwiema małymi kulkami T i 2 T... Wahadło oscyluje wokół osi poziomej przechodzącej przez punkt O na pręcie. Wyznacz częstotliwość ν drgań harmonicznych wahadła dla przypadków a B C D, pokazano na ryc. 6.9. Długość ja pręt jest równy 1 m. Kule są uważane za punkty materialne.

6.52. Masa ciała T= 4 kg, zamocowana na osi poziomej, oscylowana z okresem T 1 = 0,8 s. Kiedy dysk został zamontowany na tej osi tak, że jego oś pokrywała się z osią drgań ciała, okres T 2 oscylacje stały się równe 1,2 s. Promień r dysk jest równy 20 cm, jego masa jest równa masie ciała. Znajdź moment bezwładności J ciało względem osi drgań.

6.53. Areometr masowy T= 50 g, z tubą o średnicy D= 1 cm, pływa w wodzie. Areometr został lekko zanurzony w wodzie, a następnie pozostawiony sam sobie, w wyniku czego zaczął wykonywać oscylacje harmoniczne. Znajdź okres T te wahania.

6.54. W rurce U otwartej na obu końcach o polu przekroju S= 0,4 cm2, rtęć szybko wlewa się w masę T= 200 g. Określ okres T wahania rtęci w rurce.

6.55. Spuchnięta kłoda, której przekrój jest stały na całej długości, zanurzyła się pionowo w wodzie tak, że tylko niewielka jej część (w porównaniu z długością) znajdowała się nad wodą. Okres T wibracja kłody wynosi 5 sekund. Określ długość ja dzienniki.

Oscylacje tłumione

6.56. Amplituda tłumionych drgań wahadła w czasie t 1= 5 minut zmniejszone o połowę. W jakim czasie t 2, licząc od momentu początkowego, czy amplituda zmniejszy się ośmiokrotnie?

6.57. Podczas T= 8 min, amplituda tłumionych drgań wahadła zmniejszyła się trzykrotnie. Wyznacz współczynnik tłumienia δ .

6.58. Amplituda drgań o długości wahadła l = 1m na raz T= 10 minut zmniejszone o połowę. Wyznacz logarytmiczny dekrement fluktuacji Θ.

6.59. Logarytmiczny dekrement oscylacji Θ wahadła wynosi 0,003. Określ liczbę n pełne drgania, które wahadło musi wykonać, aby amplituda była zmniejszona o połowę.

6.60. Masa Kettlebell T= 500 g zawieszone na sprężynie śrubowej o sztywności k= 20 N/m i wykonuje drgania sprężyste w określonym medium. Logarytmiczny dekrement fluktuacji Θ = 0,004. Określ liczbę nłączne drgania, jakie musi wykonać waga, aby amplituda drgań zmniejszyła się o n= 2 razy. Jak dużo czasu to zajmuje T czy ten spadek nastąpi?

6.61. Masa ciała T= 5 g wykonuje drgania tłumione. Po raz t = 50s ciało straciło 60% swojej energii. Określ współczynnik oporu b.

6.62. Określ okres T drgania tłumione, jeśli okres T 0 oscylacje naturalne układu wynoszą 1 s, a logarytmiczny dekrement oscylacji Θ = 0,628.

6.64. Masa ciała T= 1 kg jest w lepkim medium o współczynniku oporu b= 0,05 kg / s. Korzystanie z dwóch identycznych sprężyn o sztywności k= 50 N/m, każde ciało jest utrzymywane w równowadze, a sprężyny nie ulegają odkształceniu (rys. 6.10). Ciało zostało przemieszczone z pozycji równowagi i

wydany. Wyznacz: 1) współczynnik tłumienia δ ; 2) częstotliwość drgań ν; 3) logarytmiczny dekrement fluktuacji Θ; 4) numer n oscylacje, po których amplituda zmniejszy się o współczynnik e.

Wibracje wymuszone. Rezonans

6.65. Pod działaniem grawitacji silnika elektrycznego belka wspornikowa, na której jest zainstalowany, zgięła się h= 1 mm. Z jaką prędkością P zwora silnika czy może wystąpić zagrożenie rezonansem?

6.66. Waga wagonu T= 80 t ma cztery sprężyny. Sztywność k sprężyny każdej sprężyny wynoszą 500 kN/m. Przy jakiej prędkości wagon zacznie się mocno kołysać z powodu wstrząsów na złączach szyn, jeśli długość ja szyna ma 12,8 m?

6.67. Układ oscylacyjny wykonuje drgania tłumione o częstotliwości ν = 1000 Hz. Wyznacz częstotliwość ν 0 drgań własnych, jeśli częstotliwość rezonansowa ν pe s = 998 Hz.

6.68. Określ, jak bardzo częstotliwość rezonansowa różni się od częstotliwości ν 0 = l kHz drgań własnych układu, charakteryzujących się współczynnikiem tłumienia δ = 400 s -1.

6.69. Wyznacz logarytmiczny dekrement oscylacji Θ układu oscylacyjnego, dla którego rezonans obserwowany jest przy częstotliwości mniejszej niż częstotliwość drgań własnych ν 0 = 10 kHz przy Δν = 2 Hz.

6.70. Okres T 0 naturalnych drgań wahadła sprężynowego wynosi 0,55 s. W lepkim środowisku okres T to samo wahadło stało się równe 0,56 s. Wyznacz częstotliwość rezonansową ν pe s oscylacje.

6.71. wahadło sprężynowe (sztywność k sprężyna 10 N/m, waga T obciążenie jest równe 100 g) powoduje wymuszone drgania w lepkim ośrodku o współczynniku oporu r= 2 · 10 -2 kg / s. Wyznacz współczynnik tłumienia δ i amplitudę rezonansową A res, jeśli wartość amplitudy siły napędowej F 0 = 10 mN.

6.72. Korpus wytwarza wymuszone drgania w medium o współczynniku oporu r = 1g/s. Biorąc pod uwagę, że tłumienie jest małe, należy określić wartość amplitudy siły napędowej, jeśli amplituda rezonansowa A res = 0,5 cm, a częstotliwość ν 0 drgań własnych wynosi 10 Hz.

6.73. Amplitudy wymuszonych oscylacji harmonicznych o częstotliwości ν 1 = 400 Hz i ν 2 = 600 Hz są sobie równe. Wyznacz częstotliwość rezonansową ν pe s. Zaniedbuje się tłumienie.

6.74. Do sprężyny śrubowej o sztywności k = 10N/m zawieszony obciążnik T= 10 gi zanurzyć cały system w lepkim medium. Przyjęcie współczynnika oporu b równej 0,1 kg/s, wyznaczyć: 1) częstotliwość ν 0 drgań własnych; 2) częstotliwość rezonansowa ν pe s; 3) amplituda rezonansowa A cięcie, jeśli siła napędowa zmienia się zgodnie z prawem harmonicznym i wartością jej amplitudy F 0 == 0,02 N; 4) stosunek amplitudy rezonansowej do statycznego przemieszczenia pod działaniem siły F 0.

6.75. Ile razy amplituda drgań wymuszonych będzie mniejsza od amplitudy rezonansowej, jeśli częstotliwość zmiany siły napędowej jest większa od częstotliwości rezonansowej: 1) o 10%? 2) dwa razy? Współczynnik tłumienia δ w obu przypadkach jest równy 0,1 ω 0 (ω 0 jest częstotliwością kątową drgań własnych).

Wibracje harmoniczne występują zgodnie z prawem:

x = A cos (ω T + φ 0),

gdzie x- przemieszczenie cząstki z położenia równowagi, A- amplituda drgań, ω - częstotliwość kątowa, φ 0 - faza początkowa, T- czas.

Okres oscylacji T = .

Oscylująca prędkość cząstek:

υ = = – Aω grzech (ω T + φ 0),

przyśpieszenie a = = –Aω 2 cos (ω T + φ 0).

Energia kinetyczna cząstki wykonującej ruch oscylacyjny: mi k = =
grzech 2 (ω T+ φ 0).

Energia potencjalna:

mi n =
cos 2 (ω T + φ 0).

Okresy oscylacji wahadła

- wiosna T =
,

gdzie m- masa ładunku, k- współczynnik sztywności sprężyny,

- matematyczny T = ,

gdzie ja- długość zawieszenia, g- przyśpieszenie grawitacyjne,

- fizyczne T =
,

gdzie i- moment bezwładności wahadła względem osi przechodzącej przez punkt zawieszenia, m Czy masa wahadła, ja- odległość od punktu zawieszenia do środka masy.

Skróconą długość wahadła fizycznego można znaleźć na podstawie warunku: ja np = ,

oznaczenia są takie same jak w przypadku wahadła fizycznego.

Gdy doda się dwie drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości i jednym kierunku, otrzymuje się drgania harmoniczne o tej samej częstotliwości o amplitudzie:

A = A 1 2 + A 2 2 + 2A 1 A 2 co (φ 2 - φ 1)

oraz faza początkowa: φ = arctan
.

gdzie A 1 , A 2 - amplitudy, φ 1, φ 2 - początkowe fazy dodanych oscylacji.

Trajektoria ruchu wynikowego przy dodawaniu wzajemnie prostopadłych oscylacji o tej samej częstotliwości:

+ – cos (φ 2 - φ 1) = grzech 2 (φ 2 - φ 1).

Drgania tłumione występują zgodnie z prawem:

x = A 0 mi - β T cos (ω T + φ 0),

gdzie β jest współczynnikiem tłumienia, znaczenie pozostałych parametrów jest takie samo jak dla oscylacji harmonicznych, A 0 - amplituda początkowa. W tej chwili T amplituda drgań:

A = A 0 mi - β T .

Logarytmiczny dekrement tłumienia nazywa się:

λ = ln
= β T,

gdzie T- okres oscylacji: T = .

Współczynnik jakości układu oscylacyjnego nazywa się:

Równanie płaskiej fali biegnącej ma postać:

tak = tak 0 cos ω ( T ± ),

gdzie w- przemieszczenie wielkości wahającej się z położenia równowagi, w 0 - amplituda, ω - częstotliwość kątowa, T- czas, x Jest współrzędną wzdłuż której rozchodzi się fala, υ - prędkość propagacji fali.

Znak „+” odpowiada fali rozchodzącej się w kierunku osi x, znak „-” odpowiada fali rozchodzącej się wzdłuż osi x.

Długość fali nazywa się jej okresem przestrzennym:

λ = υ T,

gdzie υ - prędkość propagacji fali, T– Okres propagacji oscylacji.

Równanie falowe można zapisać:

tak = tak 0 cos 2π (+).

Falę stojącą opisuje równanie:

tak = (2tak 0 cos ) bo T.

Amplituda fali stojącej jest ujęta w nawiasy. Punkty o maksymalnej amplitudzie nazywane są antywęzłami,

x n = n ,

punkty o zerowej amplitudzie - węzły,

x y = ( n + ) .

Przykłady rozwiązywania problemów

Zadanie 20

Amplituda drgań harmonicznych wynosi 50 mm, okres 4 s, faza początkowa ... a) Zapisz równanie tej oscylacji; b) znaleźć przesunięcie punktu oscylacyjnego od położenia równowagi w T= 0 i dla T= 1,5 s; c) narysuj wykres tego ruchu.

Rozwiązanie

Równanie oscylacji jest zapisane jako x = a cos ( T+  0).

Warunek określa okres oscylacji. Dzięki niemu możesz wyrazić częstotliwość kołową  = . Pozostałe parametry są znane:

a) x= 0,05 cos ( T + ).

b) Przemieszczenie x w T= 0.

x 1 = 0,05 cos = 0,05 = 0,0355 m.

Na T= 1,5 s

x 2 = 0,05 cos ( 1,5 + ) = 0,05 cos = - 0,05 m.

v ) wykres funkcji x= 0,05 cos ( T + ) w następujący sposób:

Określmy położenie kilku punktów. Znany x 1 (0) i x 2 (1.5), a także okres oscylacji. Stąd poprzez  T= wartość 4 s x powtarza się, a po  T = 2 c zmienia znak. Pomiędzy wysokim a niskim w środku wynosi 0.

Zadanie 21

Punkt tworzy wibracje harmoniczne. Okres oscylacji wynosi 2 s, amplituda 50 mm, faza początkowa wynosi zero. Znajdź prędkość punktu w chwili, gdy jego przemieszczenie od położenia równowagi wynosi 25 mm.

Rozwiązanie

1 sposób. Zapisujemy równanie oscylacji punktu:

x= 0,05 cos  T, ponieważ  = =.

Znajdź prędkość w danej chwili T:

υ = = – 0,05 bo T.

Znajdujemy moment w czasie, w którym przemieszczenie wynosi 0,025 m:

0,025 = 0,05 cos  T 1 ,

stąd cos T 1 = ,  T 1 = . Podstaw tę wartość do wyrażenia na szybkość:

υ = - 0,05  grzech = - 0,05 = 0,136 m/s.

Metoda 2. Całkowita energia ruchu wibracyjnego:

mi =
,

gdzie a- amplituda,  - częstotliwość kołowa, m – masa cząstek.

W każdym momencie jest to suma energii potencjalnej i kinetycznej punktu

mi k = , mi n = , ale k = m 2, zatem mi n =
.

Napiszmy prawo zachowania energii:

= +
,

stąd otrzymujemy: a 2  2 = υ 2 +  2 x 2 ,

υ = 
= 
= 0,136 m/s.

Zadanie 22

Amplituda drgań harmonicznych punktu materialnego A= 2 cm, całkowita energia mi= 3 ∙ 10 -7 J. Przy jakim przesunięciu od położenia równowagi siła działa na punkt oscylacyjny F = 2,25 ∙ 10 -5 N?

Rozwiązanie

Całkowita energia punktu wykonującego oscylacje harmoniczne jest równa: mi =
. (13)

Moduł siły sprężystej wyraża się poprzez przemieszczenie punktów z położenia równowagi x w następujący sposób:

F = k x (14)

Wzór (13) zawiera masę m i częstotliwości kątowej , a w (14) - współczynnik sztywności k... Ale częstotliwość kołowa jest związana z m oraz k:

 2 = ,

stąd k = m 2 i F = m 2 x... Wyrażając m 2 z zależności (13) otrzymujemy: m 2 = , F = x.

Skąd otrzymujemy wyrażenie na przemieszczenie x: x = .

Podstawienie wartości liczbowych daje:

x =
= 1,5 ∙ 10 -2 m = 1,5 cm.

Zadanie 23

Punkt uczestniczy w dwóch oscylacjach o tych samych okresach i początkowych fazach. Amplitudy oscylacji A 1 = 3 cm i A 2 = 4 cm Znajdź amplitudę oscylacji wynikowej, jeśli: 1) oscylacje występują w jednym kierunku; 2) drgania są wzajemnie prostopadłe.

Rozwiązanie

Jeżeli oscylacje występują w jednym kierunku, to amplituda oscylacji wynikowej zostanie określona jako:

gdzie A 1 i A 2 – amplitudy drgań dodanych,  1 i  2 – fazy początkowe. Warunek, fazy początkowe są takie same, co oznacza  2 -  1 = 0, a cos 0 = 1.

W związku z tym:

A =
=
= A 1 +A 2 = 7 cm.

Jeżeli drgania są wzajemnie prostopadłe, to równaniem ruchu wynikowego będzie:

cos ( 2 -  1) = grzech 2 ( 2 -  1).

Ponieważ pod warunkiem  2 -  1 = 0, cos 0 = 1, sin 0 = 0, równanie zostanie zapisane w postaci:
=0,

lub
=0,

lub
.

Powstały związek między x oraz w można wykreślić na wykresie. Z wykresu widać, że powstałe oscylacje punktu na linii prostej MN... Amplituda tej fluktuacji zostanie określona jako: A =
= 5 cm.

Zadanie 24

Tłumiony okres oscylacji T= 4 s, logarytmiczny dekrement tłumienia  = 1,6, faza początkowa wynosi zero. Odsunięcie punktu w T = równa się 4,5 cm 1) Napisz równanie tej oscylacji; 2) Zbuduj wykres tego ruchu dla dwóch okresów.

Rozwiązanie

Równanie drgań tłumionych z zerową fazą początkową ma postać:

x = A 0 mi -  T cos2 .

Nie ma wystarczającej liczby początkowych wartości amplitudy, aby zastąpić wartości liczbowe A 0 i współczynnik tłumienia .

Współczynnik tłumienia można wyznaczyć ze stosunku do logarytmicznego dekrementu tłumienia:

 = T.

Zatem  = = = 0,4 s -1.

Amplitudę początkową można określić, podstawiając drugi warunek:

4,5 cm = A 0
bo 2 = A 0
cos = A 0
.

Stąd znajdujemy:

A 0 = 4,5∙

(cm) = 7,75 cm.

Ostateczne równanie ruchu to:

x = 0,0775
koszt.

Zadanie 25

Jaki jest logarytmiczny dekrement tłumienia wahadła matematycznego, jeśli T = 1 min, amplituda drgań zmniejszyła się o połowę? Długość wahadła ja = 1 m.

Rozwiązanie

Logarytmiczny dekrement tłumienia można znaleźć z zależności:  =  T,

gdzie  jest współczynnikiem tłumienia, T- okres wahań. Naturalna częstotliwość kołowa wahadła matematycznego:

 0 =
= 3,13 s -1.

Współczynnik tłumienia oscylacji można wyznaczyć z warunku: A 0 = A 0 mi -  T ,

T= ln2 = 0,693,

 =
= 0,0116c -1.

Od <<  0 , то в формуле  =
można pominąć w porównaniu z  0, a okres oscylacji można wyznaczyć wzorem: T = = 2c.

Zastąp  i T do wyrażenia na logarytmiczny dekrement tłumienia i otrzymujemy:

 = T= 0,0116 s -1 ∙ 2 s = 0,0232.

Zadanie 26

Równanie oscylacji trwałych podane jest w postaci x= 4 sin600  T cm.

Znajdź przemieszczenie od położenia równowagi punktu znajdującego się w odległości ja= 75 cm od źródła drgań, po T= 0,01 s po rozpoczęciu oscylacji. Prędkość propagacji drgań υ = 300 m / s.

Rozwiązanie

Napiszmy równanie fali rozchodzącej się z danego źródła: x= 0,04 sin 600  ( T– ).

Znajdujemy fazę fali w określonym czasie w danym miejscu:

T– = 0,01 –= 0,0075 ,

600 0,0075 = 4,5,

grzech 4,5 = grzech = 1.

Dlatego przesunięcie punktu x= 0,04 m, tj. na odległość ja = 75 cm od źródła w tym czasie T= 0,01 s maksymalne przesunięcie punktu.

Bibliografia

Volkenstein V.S.... Zbiór zadań do ogólnego toku fizyki. - SPb.: SpetsLit, 2001.

Saveliev I.V... Zbiór pytań i problemów z fizyki ogólnej. - M.: Nauka, 1998.

4.2. Pojęcia i definicje sekcji „oscylacje i fale”

Równanie drgań harmonicznych i jego rozwiązanie:

, x = Acos (ω 0 t +α ) ,

A- amplituda oscylacji;

α to początkowa faza oscylacji.

Okres oscylacji punktu materialnego, który oscyluje pod wpływem siły sprężystej:

gdzie m- masa punktu materialnego;

k Jest współczynnikiem sztywności.

Okres drgań wahadła matematycznego:

gdzie ja- długość wahadła;

g= 9,8 m/s 2 - przyspieszenie grawitacyjne.

Amplituda drgań uzyskana przez dodanie dwóch równo ukierunkowanych drgań harmonicznych:

gdzie A 1 i A 2 - amplitudy terminów oscylacji;

φ 1 i φ 2 to początkowe fazy wyrazów oscylacji.

Początkowa faza oscylacji uzyskana przez dodanie dwóch równo ukierunkowanych oscylacji harmonicznych:

.

Równanie drgań tłumionych i jego rozwiązanie:

, ,

- częstotliwość drgań tłumionych,

tutaj ω 0 jest naturalną częstotliwością oscylacji.

Logarytmiczny dekrement tłumienia:

gdzie β jest współczynnikiem tłumienia;

- okres tłumionych oscylacji.

Współczynnik dobroci układu oscylacyjnego:

gdzie θ jest logarytmicznym dekrementem tłumienia

Równanie drgań wymuszonych i jego rozwiązanie w stanie ustalonym:

, x = A sałata (ω T-φ ),

gdzie F 0 - wartość amplitudy siły;

- amplituda drgań tłumionych;

φ= - faza początkowa.

Częstotliwość drgań rezonansowych:

,

gdzie ω 0 - naturalna cykliczna częstotliwość oscylacji;

β to współczynnik tłumienia.

Tłumione oscylacje elektromagnetyczne w obwodzie składającym się z pojemnościC, indukcyjnośćLi opórr:

,

gdzie Q- ładowanie na kondensatorze;

q m- wartość amplitudy ładunku na kondensatorze;

β = r/2L- współczynnik tłumienia,

tutaj r- rezystancja pętli;

L- indukcyjność cewki;

- cykliczna częstotliwość drgań;

tutaj ω 0 - częstotliwość drgań własnych;

α to początkowa faza oscylacji.

Okres drgań elektromagnetycznych:

,

gdzie Z- pojemność kondensatora;

L- indukcyjność cewki;

r- rezystancja pętli.

Jeśli rezystancja pętli jest mała, to ( r/2L) 2 <<1/LC, to okres oscylacji:

Długość fali:

gdzie v - prędkość propagacji fali;

T- okres wahań.

Równanie fali płaskiej:

ξ = A sałata (ω t-kx),

gdzie A- amplituda;

ω - częstotliwość cykliczna;

Czy numer falowy.

Równanie fali sferycznej:

,

gdzie A- amplituda;

ω - częstotliwość cykliczna;

k- numer fali;

r Jest odległością od środka fali do rozważanego punktu ośrodka.

? Oscylacje swobodne harmoniczne w obwodzie

Idealnym obwodem jest obwód elektryczny składający się z połączonego szeregowo kondensatora o pojemności Z i cewki indukcyjne L. Zgodnie z prawem harmonicznym napięcie na płytkach kondensatora i prąd w cewce zmienią się.

? Oscylator harmoniczny. Sprężynowe, wahadła fizyczne i matematyczne, ich okresy oscylacji

Oscylator harmoniczny to dowolny układ fizyczny, który oscyluje. Oscylatory klasyczne - wahadła sprężynowe, fizyczne i matematyczne. Wahadło sprężynowe - waga m zawieszony na absolutnie sprężystej sprężynie i wykonujący drgania harmoniczne pod działaniem siły sprężystej. T=. Wahadło fizyczne to sztywne ciało o dowolnym kształcie, które oscyluje pod wpływem grawitacji wokół osi poziomej, która nie przechodzi przez jego środek ciężkości. T=. Wahadło matematyczne to izolowany układ składający się z punktu materialnego o masie m zawieszony na nierozciągliwej, nieważkości nici o długości L i oscylujące pod wpływem grawitacji. T= .

? Swobodne, nietłumione drgania mechaniczne (równanie, prędkość, przyspieszenie, energia). Graficzna reprezentacja drgań harmonicznych.

Oscylacje są nazywane swobodnymi, jeśli występują z powodu początkowo przekazanej energii, a następnie braku zewnętrznych wpływów na układ oscylacyjny. Wielkość zmienia się zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa. , S- przemieszczenie z położenia równowagi, A–Amplituda, w 0 – częstotliwość cykliczna, –początkowa faza oscylacji. Prędkość, przyspieszenie. Pełna energia - mi=. Graficznie - za pomocą sinusoidy lub cosinusa.

? Pojęcie procesów oscylacyjnych. Drgania harmoniczne i ich charakterystyka. Okres, amplituda, częstotliwość i faza oscylacji. Graficzna reprezentacja drgań harmonicznych.

Procesy okresowe, które powtarzają się w czasie, nazywane są oscylacjami. Oscylacje okresowe, w których współrzędna ciała zmienia się w czasie zgodnie z prawem sinusa lub cosinusa, nazywamy harmonicznymi. Okres to czas jednej huśtawki. Amplituda to maksymalne przesunięcie punktu z położenia równowagi. Częstotliwość to liczba pełnych oscylacji na jednostkę czasu. Faza to wartość pod znakiem sinusa lub cosinusa. Równanie: , tutaj S- wartość charakteryzująca stan układu oscylacyjnego, - częstotliwość cykliczną. Graficznie - za pomocą sinusoidy lub cosinusa.

? Oscylacje tłumione. Równanie różniczkowe dla tych drgań. Logarytmiczny dekrement tłumienia, czas relaksacji, współczynnik jakości.

Oscylacje, których amplituda zmniejsza się z czasem, na przykład z powodu siły tarcia. Równanie: , tutaj S- wartość charakteryzująca stan układu oscylacyjnego, - częstotliwość cykliczną, - współczynnik tłumienia. Logarytmiczny dekrement tłumienia, gdzie n- liczba oscylacji wykonywanych podczas spadku amplitudy w n pewnego razu. Czas relaksacji t- podczas którego amplituda zmniejsza się o współczynnik e. Współczynnik jakości Q =.

? Ciągłe drgania wymuszone. Równanie różniczkowe dla tych drgań. Co nazywa się rezonansem? Amplituda i faza oscylacji wymuszonych.

Jeżeli straty energii oscylacji prowadzące do ich tłumienia są w pełni skompensowane, powstają drgania trwałe. Równanie: ... Tutaj prawa strona jest zewnętrznym wpływem zmieniającym się zgodnie z prawem harmonicznym. Jeśli naturalna częstotliwość drgań układu pokrywa się z częstotliwością zewnętrzną, pojawia się rezonans - gwałtowny wzrost amplitudy układu. Amplituda , .

? Opisz sumowanie się wibracji o tym samym kierunku i tej samej częstotliwości, wibracje wzajemnie prostopadłe. Co to jest bicie?

Amplituda oscylacji wynikowej wynikająca z dodania dwóch oscylacji harmonicznych o tym samym kierunku i tej samej częstotliwości, tutaj A- amplitudy, j - fazy początkowe. Początkowa faza powstałego chybotania ... Drgania wzajemnie prostopadłe - równanie trajektorii , tutaj A oraz V amplitudy oscylacji dodanych, różnica faz j.

? Opisz oscylacje relaksacyjne; samooscylacja.

Relaksacja - samooscylacje, które znacznie różnią się kształtem od harmonicznych, ze względu na znaczne rozproszenie energii w układach samooscylujących (tarcie w układach mechanicznych). Samooscylacje to ciągłe drgania wspierane przez zewnętrzne źródła energii przy braku zewnętrznej siły zmiennej. Różnica od wymuszonych polega na tym, że częstotliwość i amplituda samooscylacji są określone przez właściwości samego układu oscylacyjnego. Różnica od drgań swobodnych - różnią się one niezależnością amplitudy od czasu oraz od początkowego krótkotrwałego oddziaływania wzbudzającego proces drgań. Przykładem systemu samooscylującego jest zegar.

? Fale (podstawowe pojęcia). Fale podłużne i poprzeczne. Stojąca fala. Długość fali, jej związek z okresem i częstotliwością.

Proces propagacji drgań w przestrzeni nazywany jest falą. Kierunek przenoszenia energii drgań przez falę jest kierunkiem ruchu fali. Wzdłużne - oscylacja cząstek ośrodka następuje w kierunku propagacji fali. Poprzeczny - drgania cząstek ośrodka zachodzą prostopadle do kierunku propagacji fali. Fala stojąca - powstaje, gdy nakładają się na siebie dwie fale biegnące, rozchodzące się ku sobie z tymi samymi częstotliwościami i amplitudami, aw przypadku fal poprzecznych o tej samej polaryzacji. Długość fali to odległość, jaką fala pokonuje w jednym okresie. (długość fali, v- prędkość fali, T- okres oscylacji)

? Zasada superpozycji (nakładania się) fal. Prędkość grupowa i jej związek z prędkością fazową.

Zasada superpozycji - gdy kilka fal rozchodzi się w ośrodku liniowym, każda z nich rozchodzi się tak, jakby nie było innych fal, a wynikowe przemieszczenie cząstki ośrodka w dowolnym momencie jest równe sumie geometrycznej przemieszczeń, jakie otrzymują cząstki uczestnicząc w każdym ze składowych procesów falowych. Prędkość grupowa to prędkość ruchu grupy fal, które tworzą zlokalizowaną paczkę fal w każdym momencie w przestrzeni. Prędkość ruchu fazy fali to prędkość fazy. W nierozproszonym środowisku pokrywają się.

? Fala elektromagnetyczna i jej właściwości. Energia fal elektromagnetycznych.

Fala elektromagnetyczna - drgania elektromagnetyczne rozchodzące się w przestrzeni. Uzyskane eksperymentalnie przez Hertza w 1880 roku Właściwości - może rozprzestrzeniać się w mediach i próżni, w próżni jest równa c, w mediach mniej, poprzecznie, mi oraz b wzajemnie prostopadłe i prostopadłe do kierunku propagacji. Intensywność wzrasta wraz ze wzrostem przyspieszenia emitującej naładowanej cząstki; w pewnych warunkach przejawiają się typowe właściwości fal - dyfrakcja itp. Gęstość energii nasypowej .

Optyka

Podstawowe wzory optyki

Prędkość światła w otoczeniu:

gdzie C- prędkość światła w próżni;

n Jest współczynnikiem załamania ośrodka.

Długość drogi optycznej fali świetlnej:

L = ns,

gdzie s– geometryczna długość drogi fali świetlnej w ośrodku o współczynniku załamania n.

Różnica drogi optycznej dwóch fal świetlnych:

∆ = L 1 – L 2 .

Zależność różnicy faz od różnicy drogi optycznej fal świetlnych:

gdzie λ jest długością fali świetlnej.

Warunek maksymalnego wzmocnienia światła w przypadku zakłóceń:

∆ = kλ (= 0, 1, 2,…).

Maksymalny stan tłumienia światła:

Różnica drogi optycznej fal świetlnych powstających w wyniku odbicia światła monochromatycznego z cienkiej warstwy:

∆ = 2D ,

gdzie D- grubość folii;

n Czy współczynnik załamania filmu;

ja ja To kąt załamania światła w filmie.

Promień jasnych pierścieni Newtona w świetle odbitym:

r k = , (k = 1, 2, 3, ...),

gdzie k- numer pierścienia;

r- promień krzywizny.

Promień ciemnych pierścieni Newtona w świetle odbitym:

r k = .

Kąt φ odchylenia promieni odpowiadający maksimum (pasmo światła) podczas ugięcia na jednej szczelinie jest wyznaczany z warunku

a grzech = (k = 0, 1, 2, 3, ...),

gdzie a- szerokość szczeliny;

k To liczba porządkowa maksimum.

Zastrzyk ugięcie promieni odpowiadające maksimum (pasmo światła) w dyfrakcji światła na siatce dyfrakcyjnej jest wyznaczane z warunku

D grzech = (k = 0, 1, 2, 3, …),

gdzie D Jest okresem siatki dyfrakcyjnej.

Rozdzielczość siatki dyfrakcyjnej:

r= = kN,

gdzie ∆λ jest najmniejszą różnicą długości fal dwóch sąsiednich linii widmowych (λ i λ + ∆λ), przy której linie te można zobaczyć oddzielnie w widmie uzyskanym za pomocą tej siatki;

n To całkowita liczba gniazd kratowych.

Wzór Wolfe'a-Bragga:

2d grzech = κ λ,

gdzie θ to kąt padania (kąt między kierunkiem równoległej wiązki promieniowania rentgenowskiego padającej na kryształ a płaszczyzną atomową w krysztale);

D Jest odległością między płaszczyznami atomowymi kryształu.

Prawo Brewstera:

tg ε B = n 21 ,

gdzie ε b- kąt padania, pod którym wiązka odbita od dielektryka jest całkowicie spolaryzowana;

n 21 - względny współczynnik załamania światła drugiego ośrodka w stosunku do pierwszego.

Prawo Malusa:

ja = ja 0 cos 2 α ,

gdzie i 0 to intensywność światła spolaryzowanego płasko, padającego na analizator;

i- intensywność tego światła za analizatorem;

α jest kątem pomiędzy kierunkiem oscylacji wektora elektrycznego światła padającego na analizator a płaszczyzną transmisji analizatora (jeżeli oscylacje wektora elektrycznego światła padającego pokrywają się z tą płaszczyzną, to analizator przepuszcza to światło bez osłabienie).

Kąt obrotu płaszczyzny polaryzacji światła monochromatycznego przy przejściu przez substancję optycznie czynną:

a) = αd(w ciałach stałych),

gdzie α - stały obrót;

D- długość drogi pokonywanej przez światło w substancji optycznie czynnej;

b) φ = [α] pd(w roztworach),

gdzie [α] - dokładny obrót;

P Jest stężeniem masowym substancji optycznie czynnej w roztworze.

Lekki nacisk przy normalnym padaniu na powierzchnię:

,

gdzie Jej- oświetlenie energetyczne (irradiancja);

ω jest objętościową gęstością energii promieniowania;

ρ jest współczynnikiem odbicia.

4.2. Pojęcia i definicje sekcji „optyka”

? Interferencja fal. Konsekwencja. Warunek maksymalny i minimalny.

Interferencja - wzajemne wzmocnienie lub osłabienie fal koherentnych podczas ich nakładania się (koherentne - mające tę samą długość i stałą różnicę faz w punkcie ich superpozycji).

Maksymalny;

minimum .

Tutaj D to różnica drogi optycznej, l to długość fali.

? Zasada Huygensa-Fresnela. Zjawisko dyfrakcji. Dyfrakcja na szczelinie, siatka dyfrakcyjna.

Zasada Huygensa-Fresnela - każdy punkt w przestrzeni, do którego w danym momencie dotarła fala propagująca, staje się źródłem elementarnych fal koherentnych. Dyfrakcja - fale wokół przeszkód, jeśli wielkość przeszkody jest porównywalna z długością fali, odchylenie światła od prostoliniowej propagacji. Dyfrakcja na szczelinie - w wiązkach równoległych. Na przeszkodę pada fala płaska, obraz dyfrakcyjny obserwowany jest na ekranie, który znajduje się w płaszczyźnie ogniskowej soczewki zbierającej, zainstalowanej na drodze światła przechodzącego przez przeszkodę. Na ekranie uzyskuje się „obraz dyfrakcyjny” odległego źródła światła. Siatka dyfrakcyjna to układ równoległych szczelin o równej szerokości, leżących w jednej płaszczyźnie, oddzielonych nieprzezroczystymi odstępami o równej szerokości. Służy do rozkładu światła na widmo i pomiaru długości fal.

? Rozproszenie światła (normalne i nieprawidłowe). Prawo Bouguera. Znaczenie współczynnika absorpcji.

Dyspersja światła - zależność bezwzględnego współczynnika załamania światła substancji n na częstotliwości ν (lub długości fali λ) światła padającego na substancję (). Prędkość światła w próżni nie zależy od częstotliwości, więc nie ma dyspersji w próżni. Normalna dyspersja światła - jeśli współczynnik załamania światła wzrasta monotonicznie wraz ze wzrostem częstotliwości (maleje wraz ze wzrostem długości fali). Nieprawidłowa dyspersja - jeśli współczynnik załamania światła maleje monotonicznie wraz ze wzrostem częstotliwości (wzrasta wraz ze wzrostem długości fali). Konsekwencją dyspersji jest rozkład światła białego na widmo, gdy ulega ono załamaniu w substancji. Absorpcję światła w materii opisuje prawo Bouguera

i 0 i i- natężenie płaskiej monochromatycznej fali świetlnej na wejściu i wyjściu warstwy substancji pochłaniającej o grubości x, a - współczynnik absorpcji, zależny od długości fali, jest różny dla różnych substancji.

? Co nazywa się polaryzacją fal? Uzyskiwanie fal spolaryzowanych. Prawo Malusa.

Polaryzacja polega na uzyskaniu preferencyjnej orientacji kierunku oscylacji w falach poprzecznych. Uporządkowanie w orientacji wektorów natężenia pola elektrycznego i magnetycznego fali elektromagnetycznej w płaszczyźnie prostopadłej do kierunku propagacji wiązki światła. mi , b -prostopadły. Światło naturalne można zamienić na światło spolaryzowane za pomocą polaryzatorów. Prawo Malusa ( i 0 - przeszedł przez analizator, i- przeszedł przez polaryzator).

? Korpuskularny - dualizm falowy. Hipoteza de Brogliego.

Historycznie wysuwano dwie teorie światła: korpuskularna - ciała świecące emitują cząstki-korpuskuły (dowód - promieniowanie ciała doskonale czarnego, efekt fotoelektryczny) oraz fala - ciało świecące powoduje sprężyste drgania w środowisku, które rozchodzą się jak fale dźwiękowe w powietrzu ( dowód - zjawiska interferencji, dyfrakcji, polaryzacji światła). Hipoteza Brogliego - właściwości falowo-cząsteczkowe są nieodłączne nie tylko fotonom, ale także cząsteczkom o masie spoczynkowej - elektronom, protonom, neutronom, atomom, cząsteczkom. ? Efekt fotograficzny. Równanie Einsteina.

Fotoefekt to zjawisko oddziaływania światła z materią, w wyniku którego energia fotonów przenoszona jest na elektrony materii. Równanie: (energia fotonu zużywana jest na funkcję pracy elektronu i przeniesienie energii kinetycznej na elektron)