Ten artykuł zawiera i ustrukturyzował informacje niezbędne do rozwiązania niemal dowolnego przykładu na temat szeregów numerycznych, od znalezienia sumy liczby przed badaniem go na konwergencję.

Przegląd artykułu.

Zacznijmy od definicji wyrównania, przemiennej serii i konwergencji. Następnie uważamy za standardowe rangę, takie jak seria harmoniczna, uogólniona seria harmoniczna, przypomina formułę do znalezienia sumy nieskończenie malejącej progresji geometrycznej. Po tym przejdziemy do właściwości serii zbieżności, skoncentrujemy się na niezbędnym stanie zbieżności serii i głosowych wystarczających oznak konwergencji serii. Teoria zostanie rozcieńczona rozwiązaniem charakterystycznych przykładów ze szczegółowymi wyjaśnieniami.

Strona nawigacyjna.

Podstawowe definicje i koncepcje.

Niech mamy sekwencję numeryczną, gdzie .

Daj nam przykładową sekwencję numeryczną: .

Wiersz numeryczny. - Jest to suma członków sekwencji numerycznej formularza .

Jako przykład serii numerycznej, suma bezstopniowego zmniejszenia progresji geometrycznej z mianownikiem Q \u003d -0.5 można podać: .

Połączenie członek ogólny serii numerycznych lub członek K-T z serii.

W przypadku poprzedniego przykładu, ogólny członek serii numerycznych ma formę.

Częściowa ilość wiersza numerycznego - Jest to suma gatunków, gdzie n jest pewną liczbą naturalną. Odnoszą się również do częściowej sumy N-OH serii numerycznych.

Na przykład czwarta częściowa ilość rzędu jest .

Częściowe kwoty Tworząc nieskończoną sekwencję częściowych sumy serii numerycznej.

Dla naszej serii N jest częściową ilością, znajduje się zgodnie z formułą pierwszego n członka progresji geometrycznej Oznacza to, że będziemy mieli następną sekwencję kwot częściowych: .

Numerowy wiersz jest nazywany zbieżnyJeśli istnieje skończony limit sekwencji kwot częściowych. Jeśli limit sekwencji częściowych sumy serii numerycznej nie istnieje ani nie jest nieskończona, wówczas zakres jest nazywany pociągnięty.

Suma danej serii numerycznej nazwał limit sekwencji jego częściowych kwot, to znaczy, .

W naszym przykładzie, dlatego liczba Zbiega się, a jego kwota wynosi szesnaście trzecich: .

Przykładowo, seria rozbieżna może być przekazywana ilość progresji geometrycznej z mianownikiem większym niż urządzenie: . N-AYA Częściowa ilość jest określona przez wyrażenie A granica kwot częściowych jest nieskończona: .

Innym przykładem rozbieżnej serii numerycznej jest ilość gatunków . W tym przypadku należy obliczyć częściową kwotę N-Aya. Limit częściowych kwot jest nieskończona .

Ilość typu nazywa harmoniczne numeryczne w pobliżu..

Ilość typu gdzie s jest pewnym prawidłowym numerem uogólnione harmonijne numeryczne w pobliżu.

Określone definicje są wystarczające, aby uzasadnić następujące często używane stwierdzenia, zalecamy je zapamiętać.

Wiersz harmoniczny jest rozbieżny.

Udowodniczymy rozbieżność serii harmonicznych.

Załóżmy, że liczba zbiega się. Następnie istnieje skończony limit jego częściowych kwot. W takim przypadku możesz nagrywać i, co prowadzi nas do równości .

Z drugiej strony,


Nie powodują wątpliwości co do następujących nierówności. W ten sposób, . Uzyskaną nierówność wskazuje nam, że równość Nie można go osiągnąć, co sprzeciwia się naszym założeniu z konwergencji serii harmonicznych.

Wniosek: rozbieżności wiersza harmonicznego.

Suma geometrycznego postępu formularza z mianownikiem Q jest zbieżnym numerycznym w pobliżu, jeśli i rozbieżna obok.

Udowodni, że to udowadniamy.

Wiemy, że suma pierwszych członków Progresji geometrycznej jest formułą .

Z targami


Co wskazuje na konwergencję serii numerycznych.

W Q \u003d 1 mają serię numeryczną . Jego częściowe kwoty są jak limit kwot częściowych jest nieskończony Co wskazuje na rozbieżność liczby w tym przypadku.

Jeśli q \u003d -1, numer numeryczny weźmie formularz . Częściowe sumy mają wartość dla nieparzystego N, a nawet n. Z tego możemy stwierdzić, że limit kwot częściowych nie istnieje, a rzędowe rozbiega się.

Z targami


Co wskazuje na rozbieżność serii numerycznych.

Uogólniona seria harmoniczna zbiega się w S\u003e \u200b\u200b1 i rozbieżności.

Dowód.

Dla s \u003d 1 otrzymujemy wiersz harmoniczny, a powyżej ustalamy go.

Dla s Uważna nierówność dla wszystkich naturalnych k. Ze względu na rozbieżność serii harmonicznych można argumentować, że sekwencja jej częściowych kwot jest nieograniczona (ponieważ nie ma limitu skończonych). Następnie sekwencja częściowych sumy serii numerycznej jest bardziej nieograniczona (każdy członek tej serii jest większy niż odpowiedni członek serii harmonicznych), dlatego uogólniony wiersz harmonijny jest oddzielony w S.

Pozostaje udowodnić zbieżność serii w S\u003e \u200b\u200b1.

Piszemy różnicę:



Oczywiście


Wytnij wynikowy nierówność dla n \u003d 2, 4, 8, 16, ...



Korzystając z tych wyników, następujące działania można przeprowadzić za pomocą początkowego numeru numerycznego:



Wyrażenie Jest to ilość progresji geometrycznej, której mianownik jest równy. Ponieważ rozważymy sprawę w S\u003e \u200b\u200b1, a następnie. w związku z tym
. W związku z tym sekwencja częściowych suwaków uogólnionej serii harmonicznej w S\u003e \u200b\u200b1 rośnie, a jednocześnie ogranicza się z powyższej wartości, dlatego ma limit, który wskazuje konwergencję wiersza. Dowód zakończony.

Numerowy wiersz jest nazywany justowanieJeśli wszyscy jego członkowie są pozytywni, to znaczy, że .

Numerowy wiersz jest nazywany justowanieJeśli oznaki jego sąsiednich członków są różne. Singing Numerical Row można napisać jako lub gdzie .

Numerowy wiersz jest nazywany podpisanyJeśli zawiera nieskończony zestaw zarówno pozytywnych, jak i ujemnych członków.

Alternatywna liczba serii numerycznych jest specjalną okazją alternatywnej serii.

Wydziwianie

są odpowiednio wyrównane, wyrównane i przemienne.

Dla bannej serii istnieje konstrukcja bezwzględnej i warunkowej konwergencji.

absolutnie konwergentneJeśli wiersz jest zbieżny z wartości bezwzględnych jego członków, to znaczy, rozliczana seria numeryczna.

Na przykład rzędy numeryczne i absolutnie zbiegający się, ponieważ liczba zbiega się , która jest sumą nieskończenie zmniejszającego się progresji geometrycznej.

Ogłoszony rząd zwany warunkowo konwerentowaćJeśli rzędowe rozbieżności i seria zbiega się.

Przykładowo można wprowadzić konwencjonalnie zbieżną serię numeryczną . Wiersz numeryczny. Kompilowane z wartości bezwzględnych członków serii początkowej, wysyłającej, ponieważ jest harmoniczna. Jednocześnie liczba początkowa jest zbieżna, która jest łatwa instalowana. W ten sposób seria alumeryczna Warunkowo się porusza.

Właściwości zbieżnych wierszy numerycznych.

Przykład.

Udowodnij konwergencję serii numerycznych.

Decyzja.

Piszemy wiersz w innej formie . Seria numeryczna zbiega się, ponieważ uogólniona seria harmoniczna zbiega się w S\u003e \u200b\u200b1, a na mocy drugiej właściwości zbieżnej serii numerycznej będzie również zbieżne z współczynnikiem numerycznym.

Przykład.

Mały wiersz zbiega się.

Decyzja.

Konwertujemy wiersz źródłowy: . W ten sposób otrzymaliśmy sumę dwóch rzędów numerycznych i każdy z nich zbiega (patrz poprzedni przykład). Dlatego ze względu na trzecią właściwość zbieżnych wierszy numerycznych, początkową serię zbiega się.

Przykład.

Udowodnij konwergencję serii numerycznych I oblicz swoją kwotę.

Decyzja.

Ta seria numeryczna może być reprezentowana jako różnica dwóch wierszy:

Każda z tych wierszy jest suma nieskończenie malejącego postępowania geometrycznego, jest zatem zbieżne. Trzecia właściwość serii zbieżnych sugeruje, że początkowa seria numeryczna zbiega się. Obliczam swoją kwotę.

Pierwszym członkiem serii to jednostka, a mianownik odpowiedniego progresji geometrycznego wynosi zatem 0,5, dlatego, .

Pierwszym członkiem wiersza wynosi 3, a mianownik odpowiedniego nieskończenie zmniejszenia progresji geometrycznego wynosi 1/3, więc .

Używamy wyników uzyskanych, aby znaleźć ilość oryginalnej serii numerycznej:

Niezbędny warunek konwergencji serii.

Jeśli seria numeryczna zbiega się, limit jego elementu K-C wynosi zero :.

W badaniu dowolnej serii numerycznej do konwergencji, przede wszystkim wdrożenie niezbędnego warunku konwergencji należy zweryfikować. Nieprzestrzeganie tego warunku wskazuje rozbieżność serii numerycznej, czyli, jeśli rzędowe rozbieżności.

Z drugiej strony konieczne jest zrozumienie, że warunek ten nie jest wystarczający. Oznacza to, że spełnienie równości nie mówi o konwergencji serii numerycznych. Na przykład, dla serii harmonicznych, niezbędny warunek konwergencji jest wykonywany, a rzędowe rozbieżności.

Przykład.

Przeglądaj wiersz numeryczny na konwergencji.

Decyzja.

Sprawdź niezbędny warunek konwergencji serii numerycznych:

Limit n-th członek numeru numerycznego nie jest zatem zero rozbieżności.

Wystarczające oznaki konwergencji serii wyrównania.

Podczas korzystania z wystarczających znaków do badania wierszy numerycznych, konwergencja stale się stawiana, więc zalecamy kontakt z tym sekcją w trudnej sytuacji.

Wymagany i wystarczający warunek zbieżności serii numerycznych wyrównania.

W przypadku konwergencji serii Aliminmental Jest to konieczne i wystarczające dla sekwencji jego częściowych kwot jest ograniczona.

Zacznijmy od oznak porównania wierszy. Ich istota polega na porównaniu badanej serii numerycznej o liczbie, zbieżności lub rozbieżności, której jest znana.

Pierwszy, drugi i trzeci znak porównania.

Pierwszy znak porównania szeregów.

Pozwól obie być dwoma rzędami numerycznymi i nierówności dla wszystkich k \u003d 1, 2, 3, ... następnie z konwergencji wielu konwergencji, a od rozbieżności serii powinny być rozbieżne.

Pierwszy znak porównania jest używany bardzo często i jest bardzo potężnym narzędziem do badania wierszy numerycznych do konwergencji. Głównym problemem jest wybór odpowiedniego wiersza do porównania. Numer do porównania zwykle (ale nie zawsze) jest wybierany w taki sposób, że wskaźnik jej członka K-C jest równa różnicy w stopniu stopnia liczebnego i mianownika K bez członka badanej serii numerycznej. Na przykład, pozwól różnicy w stopniu licznika i wskaźników mianowników wynoszą 2 - 3 \u003d -1, dlatego dla porównania, wybieramy wiersz z członkiem K-TH, to jest rząd harmonijny. Rozważ kilka przykładów.

Przykład.

Zainstaluj konwergencję lub rozbieżność wiersza.

Decyzja.

Ponieważ limit całkowitego członka serii wynosi zero, dokonuje się niezbędnym warunkiem zbieżności serii.

Łatwo jest zobaczyć, że nierówność jest uczciwa dla wszystkich naturalnych K. Wiemy, że w związku z tym rozbiega się rząd harmoniczny, w pierwszym znaku porównania, początkowe seria jest również rozbieżna.

Przykład.

Przeglądaj wiersz numeryczny na konwergencji.

Decyzja.

Niezbędny warunek konwergencji serii numerycznych jest . Oczywiście spełnienie nierówności Dla dowolnej wartości naturalnej k. Numer zbiega, ponieważ uogólniona seria harmoniczna zbiega się na S\u003e 1. W ten sposób pierwszy znak porównania wierszy umożliwia podanie konwergencji oryginalnej serii numerycznej.

Przykład.

Określ konwergencję lub rozbieżność serii numerycznych.

Decyzja.

Dlatego niezbędny warunek zbieżności serii numerycznych jest spełniony. Jaki numer wyboru dla porównania? Sugeruje się serię numeryczną i określenie S, dokładnie zbadaj sekwencję numeryczną. Członkowie sekwencji numerycznej zwiększają się do nieskończoności. Tak więc, począwszy od pewnej liczby N (mianowicie, z n \u003d 1619), członkowie tej sekwencji będą większe niż 2. Począwszy od tego numeru n, nierówność jest prawdziwa. Seria numeryczna zbiega się na pierwszej właściwości serii zbieżnej, ponieważ okazuje się z serii zbieżności, wyłączanie pierwszego n oznacza 1 człon. Tak więc, na pierwszy znak porównania, istnieje wiele konwergencji, a na mocy pierwszej właściwości zbieżnych wierszy numerycznych zbieżną również.

Drugi znak porównania.

Oboje wyrównują wiersze numeryczne. Jeśli konwergencja serii podąża konwergencję. Jeśli z rozbieżności serii numerycznej podąża za rozbieżnością.

Następstwo.

Jeśli zbieżność jednego rzędu następuje z konwergencji drugiej, a rozbieżność powinna być oddzielona od rozbieżności.

Poznawamy wiersz na konwergencji przy użyciu drugiego znaku porównania. Jako numer, weź rząd. Znajdziemy limit relacji członków wielkości KW serii numerycznej:

Zatem, zgodnie z drugim oznaką porównania, konwergencja serii numerycznych podąża za zbieżnością oryginalnej serii.

Przykład.

Zbadaj konwergencję wiersza numerycznego.

Decyzja.

Sprawdź warunek niezbędny do konwergencji serii . Warunek jest spełniony. Aby zastosować drugi znak porównania, bierzemy harmoniczny rząd. Znajdziemy limit relacji członka K-S:

W związku z tym, z rozbieżności serii harmonicznych, wynika z rozbieżności serii początkowej na drugim znaku porównania.

Aby uzyskać informacje, dajemy trzeci znak porównania szeregów.

Porównanie trzeciej znaku.

Oboje wyrównują wiersze numeryczne. Jeśli stan jest zadowolony z pewnej liczby N, a następnie konwergencja powinna być konwergenna z konwergencji serii.

Znak Dalamber.

Komentarz.

Znak Dalamber jest ważny, jeśli limit jest nieograniczony, czyli, jeśli , a następnie seria zbiega się, jeśli , potem odbiega rzędu.

Jeśli znak Dalamber nie dostarcza informacji na temat konwergencji ani rozbieżności serii i dodatkowych badań jest wymagane.

Przykład.

Poznaj wiersz numeryczny na konwergencji Dalambera.

Decyzja.

Sprawdzamy spełnienie warunku niezbędnego dla konwergencji serii numerycznej, limit jest obliczany przez:

Warunek jest spełniony.

Używamy znaku Dalambera:

W ten sposób seria zbiega się.

Radykalny znak Cauchy.

Niech będzie wiersz numeryczny. Jeśli seria numeryczna zbiega się, jeśli rzędowe rozbiega się.

Komentarz.

Radykalny znak Cauchy jest prawdziwy, jeśli limit jest nieskończony, to jest, jeśli , a następnie seria zbiega się, jeśli , potem odbiega rzędu.

Jeśli znak radykalny Cauchy nie dostarcza informacji o konwergencji ani rozbieżności liczby i wymaga dodatkowych badań.

Zwykle łatwo jest zobaczyć przypadki, gdy najlepiej użyć radykalnego znaku Cauchy. Sprawa jest charakterystyczna, gdy członek ogólny serii numerycznych stanowi znaczący wyraz. Rozważ kilka przykładów.

Przykład.

Przeglądaj wyrównujący wiersz numeryczny na konwergencji za pomocą radykalnego znaku Cauchy.

Decyzja.

. Na radykalnym znaku Cauchy .

W związku z tym seria zbiega się.

Przykład.

Czy rzędu numeryczne zbiega się .

Decyzja.

Używamy radykalnego znaku Cauchy Dlatego seria numeryczna zbiega się.

Zintegrowany znak Cauchy.

Niech będzie wiersz numeryczny. Będziemy tworzyć funkcję ciągłego argumentu Y \u003d F (X), podobnych funkcji. Pozwól Y \u003d F (x) funkcji dodatni, ciągły i zmniejszający się w przedziale, gdzie). Następnie w przypadku konwergencji niezgodna integralna Badana seria numeryczna zbiega się. Jeśli niezmienna integralna jest rozebrana, początkowa liczba rozbiega się również.

Podczas sprawdzania zmniejszenia funkcji Y \u003d F (x) teoria może być przydatna w przedziale z sekcji.

Przykład.

Przeglądaj wiersz numeryczny z pozytywnym członkiem na temat konwergencji.

Decyzja.

Niezbędny warunek konwergencji numeru jest . Rozważ funkcję. Jest dodatni, ciągły i malejący odstęp. Ciągłość i pozytywność tej funkcji nie powodują wątpliwości, ale na malejącym staniemy się więcej szczegółów. Znajdź pochodną:
. W związku z tym jest negatywny w przedziale, a funkcja zmniejsza się w tym przedziale.

Znak zbieżności radykalnego znaku Dalamber Cauchy Convergence Zintegrowany znak zbieżności Cauchy

Jednym ze wspólnych objawów porównania, które występują w praktycznych przykładach, jest znakiem Dalambera. Znaki Cauchy są mniej powszechne, ale także bardzo popularne. Jak zawsze, spróbuję wyruszyć materiał po prostu, dostępny i zrozumiały. Temat nie jest najtrudniejszy, a wszystkie zadania w pewnym stopniu są szablonem.

Daumber Jean Lerone jest słynną francuską matematyką XVIII wieku. Ogólnie rzecz biorąc, Daizem wyspecjalizował się w równaniach różniczkowych i na podstawie swoich badań był zaangażowany w balistyczną, tak że jego majestat przeleciał jądra kannefoniczne. W tym samym czasie nie zapomniali o prętach numerycznych, a nie na próżno, potem oddziały napoleońskie w numeryczne, tak wyraźnie zbieżne i rozproszyć.

Przed formułowaniem znaku rozważ ważne pytanie:
Kiedy musisz zastosować znak konwergencji Dalambera?

Po pierwsze, zacznijmy od powtórzeń. Przypomnij sobie przypadki, gdy musisz zastosować najbardziej podwozie znak marketingowy porównania. Ograniczający znak porównania jest stosowany, gdy w całym członie serii:
1) W mianowniku jest wielomian.
2) Wielomiany znajdują się w liczbie iw mianowniku.
3) Jeden lub oba wielomianów mogą być pod rootem.

Główne warunki korzystania z funkcji Dalamber są następujące:

1) W ogólnym członku serii ("wypełnienie" numeru) zawiera liczbę do stopnia, na przykład i tak dalej. Co więcej, nie ma znaczenia, gdzie znajduje się ta rzecz, w numeratorze lub w mianowniku - ważne jest, aby było tam obecny.

2) Członek Generalny serii obejmuje czynnik. Z zewnętrznymi przekroczyliśmy miecze wciąż na lekcji Sekwencja numerów i jego limit. Nie przeszkadza jednak ponownie obrus ekranu dotykowego:





…


…

! Podczas korzystania ze znaku Dalamber, musimy szczegółowo pomalować czynnik. Podobnie jak w poprzednim akapicie, zakład można umieścić na górze lub na dole frakcji.

3) Jeśli w całym członie serii jest na przykład "łańcuch mnożnicze", na przykład. Ten przypadek jest rzadki, ale! W badaniu takiej serii często popełnia błąd - patrz przykład 6.

Wraz z stopniami lub (i) pojemników w wypełnieniu liczby często spełniają wielomianów, nie zmienia rzeczy - musisz użyć znaku Dalambera.

Ponadto, w całym członie numeru, stopień i czynnik może spełniać jednocześnie; może spełnić dwa czynniki, dwa stopnie, ważne jest, aby tam być przynajmniej coś Rozważane przedmioty - i jest to tylko warunkiem wstępnym do użycia znaku Dalambera.

Znak Dalamber.: Rozważmy pozytywna seria numeryczna . Jeśli istnieje limit kolejnego członka do poprzedniego: wtedy:
a) z liczbą skupiać. W szczególności seria zbiega się w.
b) z liczbą odchodzić. W szczególności, rząd rozbiega się w.
c) znak nie powoduje odpowiedzi. Musisz użyć innej funkcji. Najczęściej jednostka jest uzyskiwana w przypadku, gdy znak Dalambera próbuje zastosować, gdzie konieczne jest użycie znaku znakowania porównania.

Kto nadal ma problemy z ograniczeniami lub nieporozumieniami, skonsultuj się z lekcją Limity. Przykłady rozwiązań. Bez zrozumienia limitu i umiejętności ujawnienia niepewności dalszemu, nie ruszyć.

A teraz długo oczekiwane przykłady.

Przykład 1.

Widzimy, że w ramach członka ogólnego numeru, który mamy, i jest to wierny warunkiem, że musisz użyć znaku Dalambera. Po pierwsze, kompletne rozwiązanie i przykładowa konstrukcja, komentarze poniżej.

Używamy znaku Dalambera:

zbiega się.

(1) Skompiluj stosunek następnego członka serii do poprzedniego :. Z warunku widzimy, że członek ogólny serii. Aby uzyskać następujący członek potrzeby serii zamiast substytutu: .
(2) pozbyć się frakcji czteropiętrowej. Z pewnym eksperymentem ten krok może być pominięty.
(3) W liczniku ujawniają wsporniki. W mianowniku bierzemy cztery stopnia.
(4) Redukcja. Stałe Wybieramy limit limitu. W numeratorze w nawiasach dajemy takie elementy.
(5) Niepewność jest wyeliminowana przez standardową metodę - podział licznika i mianownika na "EN" do wysokiego stopnia.
(6) Podzielimy cyfry do mianowników i wskazujemy terminy, które dążą do zera.
(7) Upraszczamy odpowiedź i zauważamy, że z wnioskiem, że na podstawie Dalamber seria zbiega się z konkurencji.

W badanym przykładzie, w całym członie serii, poznaliśmy wielomian drugiego stopnia. Co jeśli istnieje wielomian trzeci, czwarty lub wyższy? Faktem jest, że jeśli pojawią się bardzo wysoki stopień, pojawią się trudności z ujawnieniem wsporników. W takim przypadku można zastosować rozwiązanie "turbo".

Przykład 2.

Weź podobny zakres i odkrywanie go do konwergencji.

Najpierw kompletne rozwiązanie, a następnie komentarze:

Używamy znaku Dalambera:

Tak więc seria w ramach studiów skupiać.

(1) Dokonanie relacji.
(2) pozbyć się frakcji czteropiętrowej.
(3) Rozważ ekspresję w liczbie i ekspresji w mianowniku. Widzimy, że w liczniku musisz ujawnić wsporniki i wyprostować się w czwartym stopniu: czego nie chcę robić. Ponadto dla tych, którzy nie są zaznajomieni z Binom Newton, zadanie to nie może być niewykonalne. Przeanalizujmy najstarsze stopnie: Jeśli ujawnimy wsporniki na szczycie, otrzymamy najstarszy stopień. Na dole mamy ten sam stopień wyższego szczebla :. Przez analogię z poprzednim przykładem jest oczywiste, że z podziałem głębokości licznika i mianowniku na naszym limicie otrzyma jednostkę. Lub, jak matematyka mówi, wielomiany i - jeden porządek wzrostu. Tak więc jest całkiem możliwe, aby zakreślić relację do prostego ołówka i natychmiast wskazać, że ta rzecz dąży do jednostki. Podobnie malujemy drugą parą wielomianów: i oni też jeden porządek wzrostui ich postawa szuka jednostki.

W rzeczywistości taka "halica" może być sprawdzona w przykładzie nr 1, ale dla wielomianowego drugiego stopnia, takie rozwiązanie jest nadal niewystarczające. Osobiście robię to: jeśli istnieje wielomian (lub wielomian) pierwszego lub drugiego stopnia, używam "długiej" sposobu rozwiązywania przykładu 1. Jeżeli wielomian trzeci i wyższe stopnie pojawiły się, używam "Turbo" "Model według przykładu 2.

Przykład 3.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Kompletne rozwiązanie i projekt próbki na końcu sekwencji numerycznych lekcji.
(4) Redfish wszystko, co można zmniejszyć.
(5) Stałe Wybieramy limit limitu. W numeratorze ujawniają wsporniki.
(6) Niepewność eliminuje metodę standardową - podział licznika i mianownika na "EN" do wysokiego stopnia.

Przykład 5.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Kompletne rozwiązanie i przykładowa konstrukcja na końcu lekcji

Przykład 6.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Czasami są rzędy, które w ich farszu zawierają "łańcuch" mnożniczów, ten typ serii nie został jeszcze uwzględniony. Jak odkrywać wiersz z "łańcuchem" mnożników? Użyj znaku Dalambera. Ale najpierw zrozumieć, co dzieje się przez upadek szczegółów wierszy:

Z rozkładu widzimy, że każdy następny członek serii dodaje dodatkowy czynnik w mianowniku, dlatego, jeśli wspólny członek serii, następnie następnego członka serii:
. Tutaj często automatycznie popełnia błąd, formalnie za pomocą algorytmu

Przykładowy przykładowy rozwiązanie może wyglądać tak:

Używamy znaku Dalambera:

Tak więc seria w ramach studiów zbiega się.

Przed rozpoczęciem pracy z tym tematem radzę przeglądać sekcję z terminologią wierszy numerycznych. Szczególnie warto zwrócić uwagę na koncepcję wspólnego członka serii. Jeśli masz wątpliwości co do wyboru znaku konwergencji, radzę wyglądać na temat "wybierając znak konwergencji wierszy numerycznych".

Znak D "Alamble (lub znak Dalamber) jest używany do zbadania konwergencji serii, którego członek ogólny jest ściśle większy niż zero, tj. $ U_N\u003e $ 0. Takie rzędy są nazywane Ściśle pozytywny. W przypadku standardowych przykładów funkcja Alamber jest używana w formie granicznej.

Znak D "Alamble (w formie granicznej)

Jeśli $ limit limits_ (n \u003d 1) ^ (okty) U_n $ jest ściśle pozytywne i $$ lim_ (n do infty) frac (U_ (n + 1)) (U_N) \u003d L, $ $ potem z $ l<1$ ряд сходится, а при $L>1 $ (i za $ l \u003d infty $) rzędu rozbieżności.

Sformułowanie jest dość proste, ale następne pytanie pozostaje otwarte: co się stanie, jeśli $ L \u003d 1 $? Odpowiedź na to pytanie nie jest w stanie podać znaku. Jeśli $ L \u003d 1 $, to rząd może zbiegać i rozpraszać.

Najczęściej w standardowych przykładach, funkcja Alamble jest stosowana, jeśli istnieje wielomian z $ N $ w ekspresji wspólnego członka serii (wielomian może być pod rootem) i stopień typu $ a ^ n $ lub $ n! $. Na przykład, $ U_n \u003d frac (5 ^ n cdot (3N + 7)) (2n ^ 3-1) $ (patrz przykład nr 1) lub $ U_N \u003d frac (sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ (см. пример №2). Вообще, для стандартного примера наличие $n!$ - это своеобразная "визитная карточка" признака Д"Аламбера.!}

Co oznacza wyrażenie "n!"? Pokaż ukryj

Nagrywanie "N!" (Czytaj "EN Factoration") oznacza produkt wszystkich liczb naturalnych od 1 do N, tj.

$$ N! \u003d 1 CDOT2 CDOT 3 CDOT LDots Cdot N $$

Zgodnie z definicją zakłada się, że 0 $! \u003d 1! \u003d 1 $. Na przykład znajdź 5!:

$$ 5! \u003d 1 CDOT 2 CDOT 3 CDOT 4 CDOT 5 \u003d 120. $$.

Ponadto znak D "Alamble jest stosowany do określenia konwergencji serii, którego członek ogólny zawiera produkt takiej struktury: $ U_N \u003d Frac (3 CDOT 5 CDOT 7 CDOT LDots \\ t CDOT (2N + 1)) (2 CDOT 5 CDOT 8 CDOT LDots CDOT (3N-1)) $.

Przykład №1.

Przeglądaj numer $ summ limits_ (n \u003d 1) ^ (infty) frac (5 ^ n cdot (3N + 7)) (2N ^ 3-1) $ za konwergencję.

Ponieważ dolny limit summy wynosi 1, to całkowity człon rzędu jest rejestrowany pod sumą ilości: $ u_n \u003d frac (5 ^ n cdot (3N + 7)) (2n ^ 3-1) $. Od $ 1 $ mamy 3 $ + 7\u003e 0 $, 5 $ ^ N\u003e 0 $ i 2n ^ 3-1\u003e 0 $, a następnie $ U_N\u003e 0 $. W związku z tym nasz rząd jest ściśle pozytywny.

$$ 5 CDOT LIM_ (N ) (3N + 7)) \u003d Left | Frac (Depty) (Dudka) Prawo | \u003d 5 CDOT LIM_ (n do oklicy) frac (frac ((3N + 10) (2n ^ 3-1 po prawej)) (n ^ 4)) (frac (lewy (2 (N + 1) ^ 3-1 Prawo) (3N + 7)) (n ^ 4) \u003d 5 CDOT LIM_ (N do Dokalności) FRAC (FRAC (3N + 10) (N) CDOT FRAC (2N ^ 3-1) (n ^ 3)) (frac (w lewo (2 N + 1) ^ 3-1 PRAWO)) (N ^ 3) CDOT FRAC (3N + 7) (N)) \u003d \u003d 5 CDOT LIM_ (n do infty) frac W lewo (Frac (3N) (N) + FRAC (10) (N) Prawa) CDOT Left (Frac (2n ^ 3) (N ^ 3) - Frac (1) (n ^ 3) Prawda)) (Left (2 Left (frac (n) (n) + frac (1) (n) prawy) ^ 3- frac (1) (n ^ 3) prawy) CDOT Lewa (Frac (3N) (N) + FRAC (7) (N) Po prawej) \u003d 5 CDOT LIM_ (n do oklicy) frac (w lewo (3+ frac (10) (N) Prawa) CDOT (2- FRAC (1) (n ^ 3) Prawo)) (Left (2 Left (1+ FRAC (1) (N) Prawo) ^ 3 - Frac (1) (n ^ 3) Prawo) CDOT Left (3+ Frac (7) (N) Prawo)) \u003d 5 CDOT FRAC (3 CDOT 2) (2 CDOT 3 ) \u003d 5. $$.

Ponieważ $ lim_ (n do okacy) frac (U_ (n + 1)) (U_N) \u003d 5\u003e 1 $, a następnie zgodnie z określonymi rozbieżnymi rzędami.

Szczerze mówiąc, znak D "Alamber nie jest jedyną opcją w tej sytuacji. Możesz użyć, na przykład, radykalny znak Cauchy. Jednak stosowanie radykalnego znaku Cauchy będzie wymagało wiedzy (lub dowodów) dodatkowych wzorów W związku z tym korzystanie z znaku D "Alamble w tej sytuacji jest wygodniejsze.

Odpowiedź: Rozbieżuje rzędu.

Przykład numer 2.

Przeglądaj numer $ Limits_ (n \u003d 1) ^ (Dokal) FRAC (SQRT (4N + 5)) ((3N-2)$ на сходимость.!}

Ponieważ dolny limit summy jest 1, to całkowity członek wiersza jest rejestrowany w sumie kwoty: $ u_n \u003d frac (sqrt (4N + 5)) ((3N-2)$. Заданный ряд является строго положительным, т.е. $u_n>0$.!}

Ogólny członek wiersza zawiera wielomian pod korzeniem, tj. $ Sqrt (4n + 5) $ i dealerial $ (3n-2)! $. Obecność czynnika w standardowym przykładzie jest prawie 100% gwarancją zastosowania Alambera D ".

Aby zastosować tę funkcję, będziemy musieli znaleźć limit oceny $ frac (U_ (N + 1)) (U_N) $. Aby nagrywać $ U_ (N + 1) $, potrzebujesz w formule $ U_n \u003d frac (sqrt (4n + 5)) ((3n-2)$ вместо $n$ подставить $n+1$:!}

$$ U_ (N + 1) \u003d FRAC (SQRRT (4 (N + 1) +5)) ((3 (N + 1) -2)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n+1)!}. $$ !}

Od $ (3N + 1)! \u003d (3n-2)! CDOT (3N-1) CDOT 3N CDOT (3N + 1) $, a następnie formuła do $ U_ (n + 1) $ można nagrać różnorodność:

$$ U_ (N + 1) \u003d FRAC (SQRRT (4N + 9) (((3N + 1)=\frac{\sqrt{4n+9}}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}. $$ !}

Ten wpis jest wygodny do dalszego rozwiązania, gdy musimy skrócić frakcję pod limitem. Jeśli równość z zewnętrznymi wymaga wyjaśnienia, ujawnij notatkę poniżej.

Jak mamy równość $ (3N + 1)! \u003d (3N-2)! CDOT (3N-1) CDOT 3N CDOT (3N + 1) $? Pokaż ukryj

Nagrywanie $ (3N + 1)! $ Oznacza produkt wszystkich numerów naturalnych od 1 do 3 $ + 1 $. Te. Wyrażenie to może być takie:

$$ (3N + 1)! \u003d 1 CDOT 2 CDOT LDots CDOT (3N + 1). $$.

Bezpośrednio przed liczbą 3N + 1 $ znajduje się liczba, na jednostkę mniejszą, tj. Numer wynosi 3N + 1-1 \u003d 3n $. I bezpośrednio przed liczbą 3N $ kosztuje liczbę 3N-1 $ $. Cóż, tuż przed numerem 3N-1 $ mamy numer 3N-1-1 \u003d 3N-2 $. Przepisujemy formułę za $ (3N + 1)! $:

$$ (3N + 1)! \u003d 1 CDOT2 CDOT LDots CDOT (3N-2) CDOT (3N-1) CDOT 3N CDOT (3N + 1) $$

Jaki jest produkt 1 $ CDOT2 CDOT CDOT (3N-2) $? Ten produkt jest $ (3N-2)! $. W konsekwencji wyrażenie dla $ (3N + 1)! $ Może przepisać w tym formularzu:

$$ (3N + 1)! \u003d (3N-2)! CDOT (3N-1) CDOT 3N CDOT (3N + 1) $$

Ten wpis jest wygodny do dalszego rozwiązania, gdy musimy skrócić frakcję pod limitem.

Oblicz wartość $ Lim_ (n do infty) frac (U_ (n + 1)) (U_N) $:

$$ lim_ (n do infty) frac (U_ (n + 1)) (u_n) \u003d lim_ (n do infty) frac (frac (sqrt (4N + 9)) ( 3N-2)! CDOT (3N-1) CDOT 3N CDOT (3N + 1))) (FRAC (SQRRT (4N + 5) ((3N-2)}= \lim_{n\to\infty}\left(\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\frac{(3n-2)!}{(3n-2)!\cdot (3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}\right)=\\ =\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4n+9}}{\sqrt{4n+5}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}= \lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{4+\frac{9}{n}}}{\sqrt{4+\frac{5}{n}}}\cdot\lim_{n\to\infty}\frac{1}{(3n-1)\cdot 3n\cdot(3n+1)}=1\cdot 0=0. $$ !}

Od $ Lim_ (n do oklicy) frac (U_ (n + 1)) (U_N) \u003d 0<1$, то согласно

Oznaki konwergencji wierszy.
Znak Dalamber. Znaki Cauchy.

Praca, praca - i zrozumienie przyjdzie później
J L. Daught.

Gratuluję wszystkim na początku roku szkolnego! Dziś w dniu 1 września i postanowiłem wprowadzić czytelników na cześć wakacji z faktem, że nie mogłeś się doczekać, aby się doczekać i chętnie dowiedzieć się - oznaki zbieżności numerycznych rzędów pozytywnych. Pierwszy z września i moje gratulacje są zawsze istotne, nic strasznego, jeśli w rzeczywistości, lato na zewnątrz okna, teraz łagodząc egzamin po raz trzeci, jeśli poszedłeś na tę stronę!

Dla tych, którzy dopiero zaczynają studiować rangę, polecam zapoznać się z artykułem Rzędy numeryczne dla czajników. Właściwie to wózek jest kontynuacją bankietu. Więc dzisiaj na lekcji rozważymy przykłady i decyzje dotyczące tematów:

Jednym ze wspólnych objawów porównania, które występują w praktycznych przykładach, jest znakiem Dalambera. Znaki Cauchy są mniej powszechne, ale także bardzo popularne. Jak zawsze, spróbuję wyruszyć materiał po prostu, dostępny i zrozumiały. Temat nie jest najtrudniejszy, a wszystkie zadania w pewnym stopniu są szablonem.

Znak konwergencji Dalamber

Daumber Jean Lerone jest słynną francuską matematyką XVIII wieku. Ogólnie rzecz biorąc, Daizem wyspecjalizował się w równaniach różniczkowych i na podstawie swoich badań był zaangażowany w balistyczną, tak że jego majestat przeleciał jądra kannefoniczne. W tym samym czasie nie zapomniali o prętach numerycznych, a nie na próżno, potem oddziały napoleońskie w numeryczne, tak wyraźnie zbieżne i rozproszyć.

Przed formułowaniem znaku rozważ ważne pytanie:
Kiedy musisz zastosować znak konwergencji Dalambera?

Po pierwsze, zacznijmy od powtórzeń. Przypomnij sobie przypadki, gdy musisz zastosować najbardziej podwozie znak marketingowy porównania. Ograniczający znak porównania jest stosowany, gdy w całym członie serii:

1) W mianowniku jest wielomian.
2) Wielomiany znajdują się w liczbie iw mianowniku.
3) Jeden lub oba wielomianów mogą być pod rootem.
4) Oczywiście wielomiany i korzenie, może więcej.

Główne warunki korzystania z funkcji Dalamber są następujące:

1) W ogólnym członku serii ("farsz" numeru) zawiera liczbę do stopnia, na przykład, i tak dalej. Co więcej, nie ma znaczenia, gdzie znajduje się ta rzecz, w numeratorze lub w mianowniku - ważne jest, aby było tam obecny.

2) Członek Generalny serii obejmuje czynnik. Wraz z czynnikiem, przekroczyliśmy miecze nawet przy lekcji kolejna sekwencja i jej limit. Nie przeszkadza jednak ponownie obrus ekranu dotykowego:





…


…

! Podczas korzystania ze znaku Dalamber, musimy szczegółowo pomalować czynnik. Podobnie jak w poprzednim akapicie, zakład można umieścić na górze lub na dole frakcji.

3) Jeśli na przykład jest "łańcuch mnożniczów" w całym członie serii, na przykład, . Ten przypadek jest rzadki, ale! W badaniu takiej serii często popełnia błąd - patrz przykład 6.

Wraz z stopniami lub (i) pojemników w wypełnieniu liczby często spełniają wielomianów, nie zmienia rzeczy - musisz użyć znaku Dalambera.

Ponadto, w całym członie numeru, stopień i czynnik może spełniać jednocześnie; może spełnić dwa czynniki, dwa stopnie, ważne jest, aby tam być przynajmniej coś Od rozpatrywanych przedmiotów - i jest to tylko warunkiem wstępnym do wykorzystania znaku Dalambera.

Znak Dalamber.: Rozważmy pozytywna seria numeryczna . Jeśli istnieje limit kolejnego członka do poprzedniego: wtedy:
a) z liczbą skupiać
b) z liczbą odchodzić
c) znak nie powoduje odpowiedzi. Musisz użyć innej funkcji. Najczęściej jednostka jest uzyskiwana w przypadku, gdy znak Dalambera próbuje zastosować, gdzie konieczne jest użycie znaku znakowania porównania.

Kto nadal ma problemy z ograniczeniami lub nieporozumieniami, skonsultuj się z lekcją Limity. Przykłady rozwiązań. Bez zrozumienia limitu i umiejętności ujawnienia niepewności dalszemu, nie ruszyć.

A teraz długo oczekiwane przykłady.

Przykład 1.

Widzimy, że w ramach członka ogólnego numeru, który mamy, i jest to wierny warunkiem, że musisz użyć znaku Dalambera. Po pierwsze, kompletne rozwiązanie i przykładowa konstrukcja, komentarze poniżej.

Używamy znaku Dalambera:


zbiega się.
(1) Skompiluj stosunek następnego członka serii do poprzedniego :. Z warunku widzimy, że członek ogólny serii. Aby uzyskać następny członek serii, której potrzebujesz Zamiast substytutu: .
(2) pozbyć się frakcji czteropiętrowej. Z pewnym eksperymentem ten krok może być pominięty.
(3) W liczniku ujawniają wsporniki. W mianowniku bierzemy cztery stopnia.
(4) Redukcja. Stałe Wybieramy limit limitu. W numeratorze w nawiasach dajemy takie elementy.
(5) Niepewność jest wyeliminowana przez standardową metodę - podział licznika i mianownika na "EN" do wysokiego stopnia.
(6) Podzielimy cyfry do mianowników i wskazujemy terminy, które dążą do zera.
(7) Upraszczamy odpowiedź i zauważamy, że z wnioskiem, że na podstawie Dalamber seria zbiega się z konkurencji.

W badanym przykładzie, w całym członie numeru, spełniliśmy wielomian drugiego stopnia. Co jeśli istnieje wielomian trzeci, czwarty lub wyższy? Faktem jest, że jeśli pojawią się bardzo wysoki stopień, pojawią się trudności z ujawnieniem wsporników. W takim przypadku można zastosować rozwiązanie "turbo".

Przykład 2.

Weź podobny zakres i odkrywanie go do konwergencji.

Najpierw kompletne rozwiązanie, a następnie komentarze:

Używamy znaku Dalambera:


Tak więc seria w ramach studiów skupiać.

(1) Dokonanie relacji.

(3) Rozważ wyrażenie W liczbie i wyrażaniu w mianowniku. Widzimy, że w liczniku musisz ujawnić wsporniki i wyprostować się w czwartym stopniu: czego nie chcę robić. A dla tych, którzy nie znają Binom Newton, zadanie to będzie jeszcze trudniejsze. Przeanalizujmy starsze stopnie: jeśli ujawnimy wsporniki na górze , Dostaję starszy stopień. Na dole mamy ten sam stopień wyższego szczebla :. Przez analogię z poprzednim przykładem jest oczywiste, że z podziałem głębokości licznika i mianowniku na naszym limicie otrzyma jednostkę. Lub, jak mówi matematyka, wielomiany i - jeden porządek wzrostu. W ten sposób jest całkiem możliwe do krążącego Prosty ołówek i natychmiast wskazuje, że ta rzecz dąża do jednostki. Podobnie malujemy drugą parą wielomianów: i oni też jeden porządek wzrostui ich postawa szuka jednostki.

W rzeczywistości taki "hacktur" można sprawdzić w przykładzie 1, ale dla wielomianu drugiego stopnia, takie rozwiązanie wygląda w jakiś sposób w jakiś sposób nierozwiązźń. Osobiście robię to: Jeśli istnieje wielomian (lub wielomian) pierwszego lub drugiego stopnia, używam "długiej" sposobu rozwiązania przykładu 1. Jeśli wielomian trzecich i wyższych stopni pojawi się, używam " Turbo "Metoda zgodnie z przykładem przykładu 2.

Przykład 3.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Rozważ typowe przykłady z akwencjonalami:

Przykład 4.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Członek ogólny serii obejmuje stopień i czynnik. Jasne jest, jak ten dzień konieczny jest użycie znaku Dalambera. My decydujemy.

Tak więc seria w ramach studiów odchodzić.
(1) Dokonanie relacji. Powtarzamy ponownie. Według stanu, członek ogólny serii: . W celu uzyskania następującego członka wiersza zamiast tego musisz zastąpić, w ten sposób: .
(2) pozbyć się frakcji czteropiętrowej.
(3) Naciśnij siedem. Faktoryty opisują szczegółowo. Jak to zrobić - Zobacz początek lekcji lub artykułu o sekwencjach numerycznych.
(4) Redfish wszystko, co można zmniejszyć.
(5) Stałe Wybieramy limit limitu. W numeratorze ujawniają wsporniki.
(6) Niepewność eliminuje metodę standardową - podział licznika i mianownika na "EN" do wysokiego stopnia.

Przykład 5.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Kompletne rozwiązanie i przykładowa konstrukcja na końcu lekcji

Przykład 6.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Czasami są rzędy, które w ich farszu zawierają "łańcuch" mnożniczów, ten typ serii nie został jeszcze uwzględniony. Jak odkrywać wiersz z "łańcuchem" mnożników? Użyj znaku Dalambera. Ale najpierw zrozumieć, co dzieje się przez upadek szczegółów wierszy:

Z rozkładu widzimy, że każdy następny członek serii dodaje dodatkowy mnożnik w mianowniku, więc jeśli członek ogólny serii , następnie następnym członkiem serii:
. Tutaj często automatycznie popełnia błąd, formalnie za pomocą algorytmu

Przykładowy przykładowy rozwiązanie może wyglądać tak:

Używamy znaku Dalambera:

Tak więc seria w ramach studiów zbiega się.

Znak radykalny Cauchy.

Augusten Louis Cauchy jest jeszcze słynnym francuskim matematykiem. Biografia Cauchy można powiedzieć każdemu uczniowi specjalności technicznej. W najbardziej malowniczych farbach. Nie jest przypadkiem, że ten nazwisko jest rzeźbione na pierwszym piętrze wieży Eiffla.

Znak konwergencji Cauchy dla dodatnich rzędów numerycznych jest czymś podobnym do właśnie uznanego znaku Dalambera.

Znak radykalny Cauchy:Rozważać pozytywna seria numeryczna . Jeśli istnieje limit: wtedy:
a) z liczbą skupiać. W szczególności seria zbiega się w.
b) z liczbą odchodzić. W szczególności, rząd rozbiega się w.
c) znak nie powoduje odpowiedzi. Musisz użyć innej funkcji. Interesujące jest zauważenie, że jeśli znak Cauchy nie daje nam odpowiedzi na kwestię konwergencji liczby, a następnie znak Dalambera również nie udzieli odpowiedzi. Ale jeśli znak Dalamber nie daje odpowiedzi, znak Cauch może dobrze "pracować". Oznacza to, że znak Cauchy jest w tym sensie silniejszy znak.

Kiedy powinienem używać radykalnego znaku Kauchi? Radykalny znak Cauchy zwykle stosuje się w przypadkach, w których korzeń "dobry" jest wyodrębniony z całkowitego członka serii. Z reguły ten pieprz jest w stopniu, co zależy od . Nadal są egzotyczne przypadki, ale nie zdobędą głowy.

Przykład 7.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Widzimy, że frakcja jest całkowicie w stosunku do stopnia, w zależności od "EN", a zatem konieczne jest użycie radykalnego znaku Cauchy:


Tak więc seria w ramach studiów odchodzić.

(1) Opracowujemy wspólnego członka szeregu korzenia.

(2) Przepisz to samo, tylko bez korzenia, stosując właściwość stopni.
(3) W wskaźniku licznik na mianowniku, wskazując to
(4) W rezultacie okazało się niepewność. Tutaj można było iść długi sposób: zbudować do kostki, zbudować na kostkę, a następnie podzielić licznik i mianownik na "EN" na Kubie. Ale w tym przypadku występuje bardziej wydajne rozwiązanie: odbiór można stosować bezpośrednio w stopniu stałej. Aby wyeliminować niepewność podzielić licznik i mianownik (starszy stopień wielomianów).

(5) Wykonujemy podział gleby i wskazujemy terminy, które starają się zero.
(6) Przynoszę odpowiedź na myśl, zauważamy, że wnioskujemy, że odbiega rząd.

Ale prostszy przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 8.

Zbadaj wiersz na konwergencji

I kilka typowych przykładów.

Kompletne rozwiązanie i przykładowa konstrukcja na końcu lekcji

Przykład 9.

Zbadaj wiersz na konwergencji
Używamy znaku radykalnego Kauchi:


Tak więc seria w ramach studiów skupiać.

(1) Umieściliśmy ogólnego członka wiersza.

(2) Przepisz to samo, ale już bez korzenia, podczas ujawniania wsporników przy użyciu formuły skróconego mnożenia: .
(3) W wskaźniku, numerator na mianowniku jest odnowiony i wskazuje, że.
(4) Uzyskuje się niepewność gatunków, a tutaj można również wykonywać podział bezpośrednio w stosunku do stopnia. Ale z jednym warunkami: Współczynniki dla starszych stopni wielomianów powinny być inne. Mamy inne (5 i 6), a zatem jest możliwe (i konieczne) podzielić oba podłogi na. Jeśli te współczynniki to samo, na przykład (1 i 1):, wtedy taki ostrość nie przechodzi i musisz użyć drugi wspaniały limit. Jeśli pamiętasz, te subtelności zostały uwzględnione w ostatnim akapicie artykułu Metody rozwiązywania limitów.

(5) Właściwie wykonać podział gleby i wskazać, które warunki mają tendencję do zera.
(6) Niepewność wyeliminowana, mamy najprostszy limit :. Dlaczego in. nieskończenie duży stopień ma tendencję do zera? Ponieważ fundament stopnia spełnia nierówność. Jeśli ktoś ma wątpliwości co do sprawiedliwości limitu , Nie jestem leniwy, zrobię kalkulator w moich rękach:
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
Jeśli następnie
... itd. Do nieskończoności - to jest, w limicie:

Bily. nieskończenie zmniejszający progresję geometryczną na palcach \u003d)
! Nigdy nie używaj tej techniki jako dowodu! Bo jeśli coś jest oczywiste, nie oznacza to, że jest poprawny.

(7) Wskazujemy, że stwierdzamy, że seria zbiega się.

Przykład 10.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Jest to przykład dla niezależnego rozwiązania.

Czasami proponuje się prowokacyjny przykład do rozwiązania, na przykład:. Tutaj w wskaźniku nie "en", tylko stała. Tutaj musisz zbudować licznik i mianownik do kwadratu (uzyskuje się wielomianów), a następnie przylegają do algorytmu z artykułu Rzędy do czajniczek. W takim przykładzie należy wykonać niezbędny znak konwergencji liczby lub ograniczenia znaku porównania.

Zintegrowany znak Cauchy.

Lub tylko integralny znak. Rozczarowujące tych, którzy słabo nauczył się pierwszego materiału. Aby zastosować integralną cechę Cauchy, konieczne jest mniej lub bardziej pewnie pewnie można znaleźć pochodne, całki, a także posiadające umiejętności obliczeniowe niezgodna integralna Pierwszy rodzaj.

W podręcznikach na analizie matematycznej zintegrowany znak Cauchy. Dan matematycznie ściśle, ale zbyt nieszczęśliwy, więc sformułowałem znak nie zbyt ściśle, ale jest jasne:

Rozważać pozytywna seria numeryczna . Jeśli istnieje niezmienna integralna, a następnie seria zbiega się lub rozbieżna z tym integralną.

I natychmiast przykłady wyjaśnienia:

Przykład 11.

Zbadaj wiersz na konwergencji

Prawie klasyczny. Logarytm naturalny i jakiś rodzaj Bjaka.

Głównym warunkiem użycia integralnego znaku Cauchy Jest to fakt, że w całym członie numeru zawiera mnożniki podobne do pewnej funkcji i jej pochodnej. Z tematu.