Teoria prawdopodobieństwa Przykłady zdarzeń losowych. Prawdopodobieństwo zdarzenia

1.1. Niektóre informacje z kombinatoryki

1.1.1. Nocleg

Rozważmy najprostsze koncepcje związane z wyborem i lokalizacją pewnego zestawu obiektów.
Licząc liczbę metod, które można wykonać, są często produkowane podczas rozwiązywania zadań probabilistycznych.
Definicja. Zakwaterowanie na zewnątrz n. Elementy in. k. (k. ≤ N.) Nazywany zamówionym podzbiorem k.elementy zestawu składające się n. różne elementy.
Przykład.Poniższe sekwencje liczb umieszcza 2 elementy 3 zestawów zestawu (1; 2; 3): 12, 13, 23, 21, 31, 32.
Zauważ, że umieszczenie charakteryzuje się procedurą elementów zawartych w nich i ich kompozycji. Umieszczenie 12 i 21 zawiera te same liczby, ale kolejność ich lokalizacji jest inna. Dlatego te zakwaterowanie są uważane za różne.
Liczba różnych zakwaterowania od n. Elementy in. k. Jest wskazany i obliczony według wzoru:
,
Gdzie n.! = 1∙2∙...∙(n. - 1)∙ N. (czytaj " n. - Factorial ").
Liczba dwucyfrowych liczb, które można wykonać z liczb 1, 2, 3, pod warunkiem, że żadna cyfra jest powtarzana równa :.

1.1.2. Przestawiony

Definicja. Permutacje z n. Elementy nazywane są takimi zakwaterowaniem n. Elementy, które różnią się tylko w lokalizacji elementów.
Liczba permutacji jest n. Elementy P N N. Obliczane według wzoru: P N N.=n.!
Przykład.Ile sposobów może być kolejka 5 osób? Liczba sposobów jest równa liczbie permutacji 5 pierwiastków, tj.
P. 5 =5!=1∙2∙3∙4∙5=120.
Definicja. Jeśli spośród n. Elementy k. to samo, a potem z nich n.elementy nazywane są przegrupowaniem z powtórzeniami.
Przykład.Niech wśród 6 książek 2 są takie same. Dowolna lokalizacja wszystkich książek na półce - przegrupowanie z powtórzeniami.
Liczba różnych przegrupowania z powtórzeniami (z n. elementy wśród których k.to samo) jest obliczane według wzoru :.
W naszym przykładzie liczba sposobów umieszczenia na półce, a także :.

1.1.3. Połączenie

Definicja . Kombinacje z n. Elementy in. k. nazywani są takimi zakwaterowaniem n. Elementy in. k.który z innych różni się co najmniej jednym elementem.
Liczba różnych kombinacji z n. Elementy in. k. Jest wskazany i obliczany przez wzór :.
Z definicji 0! \u003d 1.
W przypadku kombinacji obowiązuje następujące właściwości:
1.
2.
3.
4.
Przykład. Jest 5 kwiatów różnych kolorów. Na bukiet 3 wybranych kwiatów. Liczba różnych bukietów z 3 kwiatów z 5 to :.

1.2. Wydarzenia losowe

1.2.1. Wydarzenia

Znajomość rzeczywistości w naukach przyrodniczych występuje w wyniku testów (eksperyment, obserwacje, doświadczenie).
Test lub doświadczenie nazywane jest wdrażaniem pewnego zestawu warunków, które można odtworzyć dowolnie dużą liczbę razy.
Losowy Nazywa się to wydarzeniem, które może wystąpić lub nie nastąpić w wyniku pewnego testu (doświadczenie).
W ten sposób wydarzenie jest uważane za wynik testu.
Przykład. Monety rzucające to test. Wygląd orła podczas rzucania - wydarzeniem.
Wydarzenia obserwowane przez nas różnią się stopniem możliwości ich wyglądu i natury ich relacji.
Wydarzenie jest nazywane niezawodny Jeśli koniecznie wystąpi w wyniku tego testu.
Przykład. Uzyskanie pozytywnej lub negatywnej oceny studenta na egzaminie jest niezawodnym wydarzeniem, jeśli egzamin wpływa zgodnie z zwykłymi zasadami.
Wydarzenie jest nazywane niemożliwy Jeśli nie może się wydarzyć w wyniku tego testu.
Przykład. Usuwanie Białej Ball Born, w której są tylko kolorowe kulki (nieerze), istnieje wydarzenie niemożliwe. Zauważ, że w innych warunkach doświadczenie wyglądu białej piłki nie jest wykluczone; Tak więc wydarzenie jest niemożliwe tylko w warunkach naszego doświadczenia.
Dalsze, przypadkowe zdarzenia zostaną oznaczone dużymi letonami łacińskimi A, B, C ... Niezawodne zdarzenie zostanie oznaczone literą ω, niemożliwą - Ø.
Nazywane są dwa lub więcej wydarzeń równy możliwy W tym teście, jeśli jest powód, by wierzyć, że żaden z tych wydarzeń nie jest bardziej możliwy lub mniej możliwy niż inne.
Przykład.Z jednym rzucaniem kości gry, pojawienie się 1, 2, 3, 4, 5 i 6 punktów - wszystkie te wydarzenia są równowagą. Oczywiście, gra gra jest wykonana z jednorodnego materiału i ma właściwy formularz.
Nazywane są dwa wydarzenia nie-łóżka W tym teście, jeśli jeden z nich eliminuje wygląd drugiego i połączenie Inaczej.
Przykład. W pudełku są standardowe i niestandardowe dane w polu. Bierzemy jeden szczegół na szczęście. Wygląd części standardowej eliminuje wygląd części niestandardowej. Wydarzenia te są niekompletne.
Kilka imprez pełna grupa wydarzeń W tym teście, jeśli w wyniku tego testu przyjdzie co najmniej jeden z nich.
Przykład.Zdarzenia z przykładu tworzą kompletną grupę o równych i parach niepełnych zdarzeń.
Nazywane są dwa niekompletne zdarzenia tworzące pełną grupę zdarzeń w tym teście naprzeciwko wydarzeń..
Jeśli jeden z nich jest wskazany ZA., wtedy inny jest zwyczajowy, aby wyznaczyć (czytaj "nie ZA.»).
Przykład. Inteligencja i brakuje w jednym punkcie strzał - wydarzenia są przeciwne.

1.2.2. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa

Prawdopodobieństwo zdarzenia - Numeryczna miara możliwości jego ofensywy.
Zdarzenie ALE nazywa korzystny Zdarzenie WJeśli za każdym razem wystąpi wydarzenie ALEwystępuje zdarzenie W.
Wydarzenia ALE 1 , ALE 2 , ..., ALE N. Formularz schemat przypadków , Jeśli oni:
1) równowaga;
2) w parach są niespójne;
3) Uformuj pełną grupę.
W schemacie przypadków (tylko w tym schemacie) istnieje klasyczna definicja prawdopodobieństwa P.(ZA.) Wydarzenia ALE. Tutaj sprawa nazywana jest każda z zdarzeń należących do przydzielonej pełnej grupy równoważności i niepełnych zdarzeń parami.
Jeśli n. - liczba wszystkich przypadków w schemacie i m. - liczba przypadków sprzyja zdarzeń ALET. prawdopodobieństwo zdarzenia ALE Określone przez równość:

Z definicji prawdopodobieństwa następujące właściwości przepływ:
1. Prawdopodobieństwo niezawodnego zdarzenia jest równe.
Rzeczywiście, jeśli wydarzenie jest niezawodnie, każdy przypadek w schemacie sprawy sprzyja zdarzeniu. W tym przypadku m. = n. I dlatego,

2. Prawdopodobieństwo wydarzenia niemożliwego wynosi zero.
Rzeczywiście, jeśli wydarzenie jest niemożliwe, żaden przypadek z systemu sprawy nie spełnia wydarzenia. w związku z tym m.\u003d 0 i dlatego

Prawdopodobieństwo przypadkowego zdarzenia jest liczbą dodatnią zawartą między zerową a jednostką.
Rzeczywiście, tylko część całkowitej częstości występowania w schemacie przypadków sprzyja przypadkowemu zdarzeniu. Dlatego 0.<m.<n., więc, a potem 0<m./n.<1 и, следовательно, 0 < P (a) < 1.
Więc prawdopodobieństwo jakiejkolwiek wydarzenia spełnia nierówności
0 ≤ P (ZA) ≤ 1.
Obecnie właściwości prawdopodobieństwa są określane w postaci aksjumatu sformułowanego przez A.N. Kolmogorov.
Jedną z głównych zalet klasycznego określenia prawdopodobieństwa jest możliwość obliczania prawdopodobieństwa bezpośredniego wydarzenia, tj. Bez uciekania się do eksperymentów, które zastępują logiczne rozumowanie.

Zadania obliczania bezpośredniego prawdopodobieństwa

Zadanie 1.1.. Jakie jest prawdopodobieństwo pojawienia się parzystej liczby punktów (wydarzenie a) z jednym rzucaniem kostki gry?
Decyzja. Rozważmy wydarzenia ALE JA. - spadł jA. okulary jA.\u003d 1, 2, ..., 6. Oczywiście wydarzenia te stanowią schemat przypadków. Następnie liczba wszystkich przypadków n. \u003d 6. Eksperyment nawet liczby punktów jest preferowany przez przypadki ALE 2 , ALE 4 , ALE 6, tj. m.\u003d 3. Następnie. .
Zadanie 1.2.. W urnie 5 białych i 10 czarnych kulek. Kulki są dokładnie mieszane, a następnie piłkę deszczową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że ujawniona piłka będzie biała?
Decyzja. W sumie jest 15 przypadków, które tworzą schemat przypadków. I oczekiwane wydarzenie ALE - pojawienie się białej miski, 5 z nich przysługuje .
Zadanie 1.3.. Dziecko bawi się sześcioma literami alfabetu: A, A, E, K, R, T. Znajdź prawdopodobieństwo, że będzie w stanie złożyć wyzwanie przewozu (wydarzenie A).
Decyzja. Decyzja jest skomplikowana przez fakt, że wśród listów są takie same - dwie litery "A". Dlatego liczba wszystkich możliwych przypadków w tym teście jest równa liczbie permutacji z powtórzeniami 6 liter:
.
Przypadki te są równe, w parach są niespójne i tworzą pełną grupę wydarzeń, tj. Tworzyć schemat przypadków. Tylko jeden przypadek sprzyja wydarzeniu ALE. w związku z tym
.
Zadanie 1.4.. Tanya i Vanya zgodzili się świętować nowy rok w towarzystwie 10 osób. Oboje naprawdę chcieli siedzieć w pobliżu. Jakie jest prawdopodobieństwo ich pragnienia, jeśli istnieje miejsce wśród swoich przyjaciół do dystrybucji przez partię?
Decyzja. Oznaczać ALE Wydarzenie "Wykonanie pragnienia Tanya i Vanya". 10 osób może presicent w tabeli 10! różne sposoby. Ile z nich n. \u003d 10! Równe sposoby są korzystne dla Tanya i Vanya? Tanya i Vanya siedzi w pobliżu, mogą przyjąć 20 różnych pozycji. Jednocześnie ośmiu swoich przyjaciół może siedzieć przy stole 8! na różne sposoby m. \u003d 20 ∙ 8!. W związku z tym,
.
Zadanie 1.5.. Grupa 5 kobiet i 20 mężczyzn wybiera trzech delegatów. Biorąc pod uwagę, że każdy z tych obecnych z tym samym prawdopodobieństwem można wybrać, znajdzie prawdopodobieństwo, że wybierają dwie kobiety i jednego człowieka.
Decyzja. Całkowita liczba efektów testowych równowagi jest równa liczbie sposobów, w jaki można wybrać trzy delegaty z 25 osób, tj. . Obecnie obliczymy liczbę ulubionych przypadków, tj. Liczba przypadków, w których wydarzenie nas interesuje. Delegat można wybrać dwadzieścia sposobów. Jednocześnie pozostałe dwa delegaci powinny być kobietami, a można wybrać dwie kobiety od pięciu. W związku z tym, . w związku z tym
.
Zadanie 1.6. Cztery kulki losowo rozpraszają się na czterech otworach, każda piłka wchodzi do tego lub innego dobrze z tym samym prawdopodobieństwem i niezależnie od innych (przeszkody, aby dostać się do tego samego i te same studnia kilku piłek). Znajdź szansę, że trzy kulki będą w jednym z studni, do drugiego, a w innych lewej otwory nie będzie piłek.
Decyzja. Całkowita liczba przypadków n.\u003d 4 4. Liczba sposobów wybrania jednego otworu, w którym znajdują się trzy kulki ,. Liczba sposobów wyboru dobrze, gdzie będzie jedna piłka,. Liczba sposobów wyboru z czterech piłek trzech, aby umieścić je w pierwszym otworze ,. Całkowita liczba korzystnych przypadków. Prawdopodobieństwo zdarzenia:
Zadanie 1.7.W szufladzie 10 z tych samych kulek oznaczonych liczbami 1, 2, ..., 10. Sześć kulek jest wyodrębnionych na szczęście. Znajdź prawdopodobieństwo, że wśród wyodrębnianych kulek będzie: a) numer piłki 1; b) Kulki №1 i №2.
Decyzja. a) Łączna liczba możliwych podstawowych wyników testowych jest równa liczbie metod, które można usunąć sześć piłek z dziesięciu, tj.
Odkryjemy liczbę wyników sprzyjających wydarzeniu, które są zainteresowani: Wśród wybranych sześciu piłek jest numer 1, a zatem pozostałe pięć kul ma inne pokoje. Liczba takich wyników jest oczywiście równa liczbie sposobów wyboru pięciu kulek od pozostałego dziewięciu, tj.
Pożądane prawdopodobieństwo jest równe stosowności liczby wyników, sprzyjającej rozpatrywanym zdarzeniu, do całkowitej liczby możliwych podstawowych wyników:
b) Liczba wyników sprzyjających wydarzeniu, które są zainteresowane (wśród wybranych piłek znajdują się kulki nr 1 i nr 2, dlatego cztery kulki mają inne liczby), równe liczbie, które można usunąć cztery kulki pozostałe osiem, tj Mówiąc prawdopodobieństwo

1.2.3. Prawdopodobieństwo statystyczne.

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa jest stosowana w przypadku, gdy wyniki doświadczenia nie są równe.
Względna częstotliwość zdarzeń. ALE Określone przez równość:
,
Gdzie m. - liczba testów, w których wydarzenie ALE przyszło n. - Całkowita liczba testów.
Ya. Bernoulli udowodnił, że z nieograniczonym wzrostem liczby eksperymentów, względna częstotliwość zdarzenia prawie różni się od pewnego stałego numeru. Okazało się, że ta stała liczba jest prawdopodobieństwem wydarzenia. Dlatego, naturalnie względna częstotliwość zdarzenia w wystarczająco duża liczba testów nazywana jest prawdopodobieństwem statystycznym w przeciwieństwie do wcześniej wprowadzonego prawdopodobieństwa.
Przykład 1.8.. Jak w przybliżeniu ustawić liczbę ryb w jeziorze?
Pozwól na jezioro h. Ryba. Rzuć sieć i pozwól, abyś go znaleźć n. Ryba. Każdy z nich jest metimem i zwolnienie. Kilka dni później w tej samej pogodzie i w tym samym miejscu rzucamy tę samą sieć. Przypuśćmy, że znajdziemy w nim ryby M k. oznakowany. Pozwól wydarzeniu ALE - "złapana pani ryb". Następnie określić częstotliwość względną.
Ale jeśli w jeziorze h. Ryba i wydaliśmy go n. Oznaczone wtedy.
Tak jak R. * (ALE) » R.(ALE), Następnie.

1.2.4. Operacje na imprezach. Twierdzenie o prawdopodobieństwie prawdopodobieństwa

Sumalub stowarzyszenie, kilka wydarzeń nazywa się wydarzeniem polegającym na wystąpieniu co najmniej jednego z tych zdarzeń (w tym samym teście).
Suma ALE 1 + ALE 2 + … + ALE N. Wyznaczony tak:
lub .
Przykład. Dwa bawiące się kości. Pozwól wydarzeniu ALE Składa się na wypadnięcie 4 punktów na 1 kości i wydarzenie W - Wypadając 5 punktów na innej kości. Wydarzenia ALE i W wspólnie. Dlatego wydarzenie ALE +W Składa się na wypadnięcie 4 punktów na pierwszej kości, lub 5 punktów na drugiej kości, lub 4 punkty na pierwszej kości i 5 punktów na drugim jednocześnie.
Przykład. Zdarzenie ALE - Wygraj 1 pożyczkę, wydarzenie W - Wygrane 2 pożyczki. Następnie wydarzenie A + B. - Wygranie przynajmniej jednej pożyczki (być może dwa natychmiast).
Praca Lub skrzyżowanie kilku wydarzeń jest wydarzenie polegające na wspólnym wyglądzie wszystkich tych zdarzeń (w tym samym teście).
Kompozycja W Wydarzenia ALE 1 , ALE 2 , …, ALE N. Wyznaczony tak:
.
Przykład. Wydarzenia ALE i W Składa się odpowiednio w udanym przejściu II wycieczki, przy wejściu do Instytutu. Następnie wydarzenie ALE× B. Składa się w udanym przejściu obu wycieczek.
Koncepcje kwoty i pracy wydarzeń mają wizualną interpretację geometryczną. Pozwól wydarzeniu ALE Jest punkt w okolicy ALEi wydarzenie W - Punkty do tego obszaru W. Następnie wydarzenie A + B. Istnieje punkt przed wejściem do kombinacji tych obszarów (rys. 2.1), a wydarzenie ALEW Jest punkt na przecięciu tych obszarów (rys. 2.2).

Figa. 2.1 Rys. 2.2.
Twierdzenie. Jeśli wydarzenia. I.(jA. = 1, 2, …, n.) W parach są niespójne, prawdopodobieństwo ilości zdarzeń jest równa sumie prawdopodobieństw tych zdarzeń:
.
Zostawiać ALE i Ā - Naprzeciwko wydarzeń, tj. A + ā. \u003d Ω, gdzie Ω jest niezawodnym zdarzeniem. Z twierdzenia dodatkowego, wynika z tego
P (Ω) \u003d R.(ALE) + R.(Ā ) \u003d 1, więc
R.(Ā ) = 1 – R.(ALE).
Jeśli wydarzenia. ALE 1 I. ALE 2 są razem, prawdopodobieństwo sumy dwóch wspólnych wydarzeń jest:
R.(ALE 1 + ALE 2) = R.(ALE 1) + R.(ALE 2) - p ( ALE 1 × ALE 2).
Prawdopodobieństwo dodawania teoremy umożliwiają przemieszczanie bezpośrednio nieprawidłowości, aby określić prawdopodobieństwo wystąpienia złożonych zdarzeń.
Zadanie 1.8.. Shooter produkuje jeden strzał docelowy. Prawdopodobieństwo znokautowane 10 punktów (wydarzenie ALE), 9 punktów (wydarzenie W) i 8 punktów (wydarzenie Z) są równe, odpowiednio 0,11; 0,23; 0,17. Znajdź prawdopodobieństwo, że dzięki jednej strzelance strzelec wybiera mniej niż 8 punktów (wydarzenie RE.).
Decyzja. Odwróćmy się do przeciwnego wydarzenia - z jedną strzelanką, zajmiemy co najmniej 8 punktów. Wydarzenie przychodzi, jeśli się dzieje ALE lub Wlub. Z. . Od wydarzeń A, B., Z w parach są niespójne, a następnie twierdzenie dodatkowego,
Skąd.
Zadanie 1.9.. Z zespołu brygady, która składa się z 6 mężczyzn i 4 kobiet, dwie osoby są wybrane do konferencji związkowej. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wśród wybranych przynajmniej jednej kobiety (wydarzenie ALE).
Decyzja. Jeśli wystąpi wydarzenie ALENa pewno wydarzy się jeden z następujących niekompletnych wydarzeń: W - "Wybrany mężczyzna i kobieta"; Z - "Dwie kobiety wybrane". Dlatego możesz napisać: A \u003d b + c. Znajdź prawdopodobieństwo wydarzeń W i Z. Dwie osoby z 10 można wybrać w sposób. Dwie kobiety z 4 można wybrać w sposób. Mężczyzna i kobieta mogą wybrać 6 × 4 sposoby. Następnie. Od wydarzeń W i Z niespójny, a następnie twierdzenie dodatkowego,
P (a) \u003d p (b + c) \u003d p (b) + p (z) = 8/15 + 2/15 = 2/3.
Zadanie 1.10. Na stojaku w bibliotece w kolejności losowej umieszcza 15 podręczników, a pięć z nich jest w wiązaniu. Bibliotekarz bierze pierwszy podręcznik. Znajdź prawdopodobieństwo, że przynajmniej jeden z udostępnionych podręczników będzie w wiązaniu (wydarzenie ALE).
Decyzja. Pierwsza droga. Wymaganie jest co najmniej jednym z trzech wiążących podręczników - zostanie wdrożone, jeśli występuje jeden z następujących trzech niespójnych zdarzeń: W - jeden samouczek wiążący Z - dwa wiążące podręczniki, RE. - Trzy wiążące podręczniki.
Wydarzenie, jesteś zainteresowany ALE Możesz sobie wyobrazić w formie ilości wydarzeń: A \u003d b + c + d. Przez twierdzenie dodatkowego,
P (a) \u003d p (b) + p (c) + p (d). (2.1)
Znajdź prawdopodobieństwo wydarzeń PNE. i RE. (Patrz schematy kombinatoryczne):

Przedstawianie tych prawdopodobieństw do równości (2.1), w końcu dostać
P (a)= 45/91 + 20/91 + 2/91 = 67/91.
Drugi sposób. Zdarzenie ALE (co najmniej jeden z trzech podjętych podręczników jest wiążącym) i Ā (Żaden z splątanych podręczników nie ma wiązania) - naprzeciwko zatem P (a) + p (ā) \u003d 1 (suma prawdopodobieństwa dwóch przeciwnych zdarzeń wynosi 1). Stąd P (A.) = 1 – P (ā). Prawdopodobieństwo wyglądu wydarzenia Ā (Żaden z fałszywych podręczników nie ma wiązania)
Mówiąc prawdopodobieństwo
P (A.) = 1 - p (ā) = 1 – 24/91 = 67/91.

1.2.5. Warunkowe prawdopodobieństwo. Twierdzenie mnożenia prawdopodobieństwa

Warunkowe prawdopodobieństwo P (B./ALE) Nazywa się prawdopodobieństwem wydarzenia w obliczonym przy założeniu, że wydarzenie już przybyło.
Twierdzenie. Prawdopodobieństwo wspólnego wygląd dwóch zdarzeń jest równe produktowi prawdopodobieństwu jednego z nich na warunkowym prawdopodobieństwie drugiego, obliczonego przy założeniu, że pierwsze wydarzenie już przybyło:
P (A.∙C) \u003d p (a) ∙ p ( W/ALE). (2.2)
Dwa wydarzenia są nazywane niezależnymi, jeśli pojawienie się któregokolwiek z nich nie zmienia prawdopodobieństwa drugiego, tj.
P (a) \u003d p (a / in) Or P (B.) = P (B./ALE). (2.3)
Jeśli wydarzenia. ALE i W Niezależny, a następnie z formuł (2.2) i (2.3) następuje
P (A.∙C) \u003d p (a)∙P (B.). (2.4)
Oświadczenie sprawiedliwego i odwrotnego, tj. Jeśli równość (2.4) jest wykonywana dla dwóch zdarzeń, zdarzenia te są niezależne. W rzeczywistości, z formuł (2.4) i (2.2) przepływa
P (A.∙C) \u003d p (a)∙P (B.) = P (A.) × P (B./ALE), Z P (A.) = P (B./ALE).
Formuła (2.2) przyznaje uogólnienie w przypadku skończonej liczby zdarzeń ALE 1 , ALE 2 ,…,N.:
P (A. 1 ∙ALE 2 ∙…∙N.)=P (A. 1)∙P (A. 2 /ALE 1)∙P (A. 3 /ALE 1 ALE 2)∙…∙P (i n/ALE 1 ALE 2 …N. -1).
Zadanie 1.11.. Z urna, w którym 5 białych i 10 czarnych kulek, wyjmij dwie kulki z rzędu. Znajdź szansę, że obie białe kulki (wydarzenie ALE).
Decyzja . Rozważmy wydarzenia: W - Pierwsza objawiona biel bali; Z - Drugi ujawnił Biały Biały. Następnie A \u003d Sun..
Doświadczenie może odbywać się na dwa sposoby:
1) Wraz z powrotem: objawiona piłka po naprawieniu koloru powraca do Urna. W tym przypadku wydarzenia W i Zniezależny:
P (a) \u003d p (w)∙P (S.) \u003d 5/15 × 5/15 \u003d 1/9;
2) Bez powrotu: miska jest zdeponowana z boku. W tym przypadku wydarzenia W i Z zależny:
P (a) \u003d p (w)∙P (S./W).
Na wydarzenie W warunki były i dla Z Sytuacja się zmieniła. Wystąpił WDlatego w Urn pozostał 14 kulek, wśród 4 białych.
Więc, .
Zadanie 1.12.. Wśród 50 żarówek 3 niestandardowych. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwa niestandardowe żarówki podjęte w tym samym czasie.
Decyzja . Rozważmy wydarzenia: ALE - Pierwsza lampa jest niestandardowa, W - Druga lampa jest niestandardowa, Z - Oba żarówki. Jest oczywiste, że C \u003d A.∙W. Zdarzenie ALE 3 przypadki są korzystne od 50 możliwych, tj. P (A.) \u003d 3/50. Jeśli wydarzenie ALE już przyszedł, to wydarzenie W Dwa przypadki korzystnie z 49 możliwe, tj. P (B./ALE) \u003d 2/49. W związku z tym,
.
Zadanie 1.13. . Dwóch sportowców niezależnie strzelają jeden cel. Prawdopodobieństwo uderzenia w cel pierwszego zawodnika wynosi 0,7, a druga wynosi 0,8. Jakie jest prawdopodobieństwo, że cel będzie zdumiony?
Decyzja . Cel będzie zdumiony, jeśli albo pierwsze strzałki wpadnie do niego, albo drugi, lub zarówno razem, tj. Wystąpi wydarzenie A + B.Gdzie wydarzenie ALE Leży w pierwszym zawodowym w celu, a wydarzenie W - Druga. Następnie
P (A.+W)=P (A.)+P (B.)–P (A.∙W)=0, 7+0, 8–0, 7∙0,8=0,94.
Zadanie 1.14.W czytelni znajduje się sześć podręczników na teorii prawdopodobieństw, z których są trzy w wiązaniu. Bibliotekarz błotnisty wziął dwa podręczniki. Znajdź prawdopodobieństwo, że dwa podręczniki będą w wiązaniu.
Decyzja. Przedstawiamy oznaczenia wydarzeń : A. - Pierwszy samouczek ma wiązanie, W - Drugi podręcznik ma wiązanie. Prawdopodobieństwo, że pierwszy podręcznik ma wiązanie,
P (A.) = 3/6 = 1/2.
Prawdopodobieństwo, że drugi podręcznik ma wiązanie, pod warunkiem, że pierwszy samouczek był w wiążącym, tj. Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia WTakie jest: P (B./ALE) = 2/5.
Pożądane prawdopodobieństwo, że oba podręczniki mają wiązanie, na mnożenia twierdzenia zdarzeń zdarzeń jest równy
P (ab.) = P (A.) ∙ P (B./ALE) \u003d 1/2 · ∙ 2/5 \u003d 0,2.
Zadanie 1.15. W warsztacie znajduje się 7 mężczyzn i 3 kobiet. Trzy osoby zostały wybrane na numery tabletów. Znajdź prawdopodobieństwo, że wszystkie wybrane osoby będą mężczyznami.
Decyzja. Wprowadzamy notację zdarzeń: ZA. - pierwszy jest człowiekiem, W - Drugi jest wybrany człowiek, Z - Trzeci wybrany mężczyzna. Prawdopodobieństwo, że człowiek będzie pierwszym, który zostanie wybrany, P (A.) = 7/10.
Prawdopodobieństwo, że drugi jest wybierany przez mężczyznę, pod warunkiem, że mężczyzna był już pierwszy wybrany, tj. Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia W Kolejny : P (b / a) = 6/9 = 2/3.
Prawdopodobieństwo, że trzecia zostanie wybrana przez mężczyznę, pod warunkiem, że wybrano już dwóch mężczyzn, tj. Warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia Z Takie jest: P (C./Au.) = 5/8.
Pożądane prawdopodobieństwo, że wszystkie trzy wybrane osoby będą mężczyznami, P (abc) \u003d p (a) P (B./ALE) P (C./Au.) \u003d 7/10 · 2/3 · 5/8 \u003d 7/24.

1.2.6. Formuła pełnego prawdopodobieństwa i Wayes Formula

Zostawiać B. 1 , B. 2 ,…, B n. - pary niekompletnych zdarzeń (hipotezy) i ALE - wydarzenie, które może się zdarzyć tylko razem z jednym z nich.
Niech, oprócz, wiemy P (b i) JA. P (A./B I.) (jA. = 1, 2, …, n.).
W tych warunkach formuły są ważne:
(2.5)
(2.6)
Formuła (2.5) nazywa się formuła pełne prawdopodobieństwo . Oblicza prawdopodobieństwo wydarzenia. ALE (pełne prawdopodobieństwo).
Wezwany jest formuła (2.6) formuła Bayes. . Pozwala przywrócić prawdopodobieństwa hipotez, jeśli wydarzenie ALE wystąpił.
Przy przygotowywaniu przykładów wygodnie założyć, że hipoteza tworzy pełną grupę.
Zadanie 1.16.. W jabłkach kosza z czterema drzewami jednej różnorodności. Od pierwszych - 15% wszystkich jabłek, od drugiego - 35%, od trzeciego - 20%, od czwartego - 30%. Dojrzałe jabłka są odpowiednio 99%, 97%, 98%, 95%.
a) Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo jabłko będzie dojrzałe (wydarzenie ALE).
b) pod warunkiem, że losowo jabłko było dojrzałe, oblicz prawdopodobieństwo, że z pierwszego drzewa.
Decyzja. a) Mamy 4 hipotezy:
B 1 - w poszarpanym jabłku pobranym z pierwszego drzewa;
B 2 - w poszarpanym jabłku z 2 drzewa;
B 3 - w poszarpanym jabłku pobranym z trzeciego drzewa;
B 4 - W poszarpanym jabłku z 4 drzewa.
Ich prawdopodobieństwa pod warunkiem: P (B. 1) = 0,15; P (B. 2) = 0,35; P (B. 3) = 0,2; P (B. 4) = 0,3.
Wydarzenie prawdopodobieństwa warunkowego ALE:
P (A./B. 1) = 0,99; P (A./B. 2) = 0,97; P (A./B. 3) = 0,98; P (A./B. 4) = 0,95.
Prawdopodobieństwo, że granica podjęta jabłko będzie dojrzała, jest w pełnym prawdopodobieństwie wzorze:
P (A.)=P (B. 1)∙P (A./B. 1)+P (B. 2)∙P (A./B. 2)+P (B. 3)∙P (A./B. 3)+P (B. 4)∙P (A./B. 4)=0,969.
b) Formuła Bayes dla naszego przypadku ma formularz:
.
Zadanie 1.17. W Urn, zawierającym dwie kulki, obniżono białą kulę, po której jedna piłka została z niego usunięta. Znalezienie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200busunięta kulka będzie biała, jeśli wszystkie możliwe założenia dotyczące oryginalnej kompozycji kulek (w kolorze) są równe.
Decyzja. Oznaczać ALE Wydarzenie - biała kulka ekstrahowana. Następujące założenia (hipotezy) są możliwe w początkowej kompozycji piłek: B 1. - Brak białych kulek, O 2. - jedna biała piłka W 3. - Dwie białe kulki.
Ponieważ wszystkie istnieją trzy hipotezy, a prawdopodobieństwo hipotez wynosi 1 (ponieważ tworzą pełną grupę zdarzeń), to prawdopodobieństwo każdego z hipotez wynosi 1/3, czyli.
P (B. 1) = P (B. 2) \u003d P (b 3) = 1/3.
Warunkowe prawdopodobieństwo, że biała piłka zostanie wyodrębniona, pod warunkiem że była to pierwotnie białe kulki w Urn, P (A./B. 1) \u003d 1/3. Warunkowe prawdopodobieństwo, że biała piłka zostanie wyodrębniona, pod warunkiem, że początkowo w Urnie była jedną białą piłką, P (A./B. 2) \u003d 2/3. Warunkowe prawdopodobieństwo, że biała piłka zostanie ekstrahowana, pod warunkiem, że pierwotne kulki były początkowo w Urn P (A./B. 3)=3/ 3=1.
Pożądane prawdopodobieństwo, że biała piłka zostanie usunięta, znajdziemy formułę, aby uzyskać pełne prawdopodobieństwo:
R.(ALE)=P (B. 1)∙P (A./B. 1)+P (B. 2)∙P (A./B. 2)+P (B. 3)∙P (A./B. 3) \u003d 1/3 · 1/3 + 1/3 · 2/3 + 1/3 · 1 \u003d 2/3 .
Zadanie 1.18.. Dwóch automatów produkują te same szczegóły, które przychodzą do ogólnego przenośnika. Wydajność pierwszego maszyny dwukrotnie większą wydajność drugiego. Pierwsza automatyczna maszyna wytwarza średnio 60% szczegółów doskonałej jakości, a druga wynosi 84%. Powiększanie z przenośnika, szczegóły okazały się doskonałą jakością. Znajdź szansę, że ten element jest wykonany przez pierwszą maszynę.
Decyzja. Oznaczać ALE Wydarzenie - szczegół doskonałej jakości. Możesz zrobić dwa założenia: B 1. - część jest wykonana przez pierwszy automat, a ponieważ pierwsza maszyna wytwarza dwa razy więcej niż drugi) P (A./B. 1) = 2/3; B. 2 - część jest wykonana przez drugi automat i P (B. 2) = 1/3.
Warunkowe prawdopodobieństwo, że przedmiot będzie doskonała jakość, jeśli jest wykonana przez pierwszą maszynę, P (A./B. 1)=0,6.
Warunkowe prawdopodobieństwo, że przedmiot będzie doskonała jakość, jeśli jest wykonana przez drugą automatykę, P (A./B. 1)=0,84.
Prawdopodobieństwo, że granica podjęta szczegółowo będzie doskonałą jakość, zgodnie z formułą całkowitego prawdopodobieństwa jest równe
P (A.)=P (B. 1) ∙P (A./B. 1)+P (B. 2) ∙P (A./B. 2) \u003d 2/3 · 0,6 + 1/3 · 0,84 \u003d 0,68.
Pożądane prawdopodobieństwo, że doskonały produkt wykonany jest pierwszym automatem, formuła Bayesa jest równa

Zadanie 1.19.. Istnieją trzy partie części do 20 części każdy. Liczba standardowych części w pierwszej, drugiej i osób trzecich jest równa 20, 15, 10. z wybranej partii, szczegółowy, który okazał się standardowy, zostaną usunięte. Szczegóły są zwracane na imprezę, a drugi raz z tej samej partii, pobrano szczegóły, co również okazuje się standardowo. Znajdź prawdopodobieństwo, że szczegóły zostały wyodrębnione z osoby trzeciej.
Decyzja. Oznaczać ALE Wydarzenie - w każdym z dwóch testów (z powrotem) została pobrana standardowa część. Możesz dokonać trzech założeń (hipotezy): B. 1 - Szczegóły są wyodrębnione z pierwszej partii, W 2 - Szczegóły są wyodrębnione z drugiej gry, W 3 - Szczegóły są wyodrębnione z osoby trzeciej.
Szczegóły zostały usunięte przez granicę z podjętych partii, dlatego prawdopodobieństwa hipotezy są takie same: P (B. 1) = P (B. 2) = P (B. 3) = 1/3.
Znajdź prawdopodobieństwo warunkowe P (A./B. 1), tj. Prawdopodobieństwo, że dwie standardowe części będą konsekwentnie pobierane z pierwszej partii. To wydarzenie jest niezawodnie, ponieważ W pierwszej partii wszystkie szczegóły są standardowe, więc P (A./B. 1) = 1.
Znajdź prawdopodobieństwo warunkowe P (A./B. 2), tj. Prawdopodobieństwo, że z drugiej partii zostanie konsekwentnie wyodrębnione (z powrotem) dwa standardowe szczegóły: P (A./B. 2)= 15/20 ∙ 15/20 = 9/16.
Znajdź prawdopodobieństwo warunkowe P (A./B. 3), tj. Prawdopodobieństwo, że od strony trzeciej będzie konsekwentnie wyodrębnione (z powrotem) dwa standardowe szczegóły: P (A./B. 3) \u003d 10/20 · 10/20 \u003d 1/4.
Pożądane prawdopodobieństwo, że oba wyodrębnione szczegóły są pobierane ze strony trzeciej, przez Wakularz Bayes jest równy

1.2.7. Powtarzające się testy

Jeśli istnieje kilka testów, prawdopodobieństwo wydarzenia ALEw każdym badaniu nie zależy od wyników innych testów, wówczas testy są nazywane niezależny na wydarzenie A. W różnych niezależnych testach ALEmoże mieć różne prawdopodobieństwa lub to samo prawdopodobieństwo. Rozważnie rozważy tylko takie niezależne testy, w których wydarzenie ALEma takie samo prawdopodobieństwo.
Niech zostanie wyprodukowany p.niezależne testy w każdym z nich to wydarzenie ALEmoże pojawić się albo nie pojawiają się. Zgódź się uwierzyć, że prawdopodobieństwo wydarzenia ALEw każdym teście, to samo, mianowicie, jest równe r.W związku z tym prawdopodobieństwo nieuzasadnionego wydarzenia ALEw każdym badaniu jest również stały i równy 1- r. Taki program probabilistyczny jest nazywany schemat Bernoulli.. Wyznaczamy sobie zadanie, aby obliczyć prawdopodobieństwo p.testy na imprezie Schematu Bernoulli ALE Dokładny Rivne. k. Pewnego razu ( k. - liczba sukcesu) i dlatego nie będzie p- czas. Ważne jest, aby podkreślić, że nie jest to konieczne ALEpowtórzony dokładnie k. Raz w określonej sekwencji. Pożądane prawdopodobieństwo jest oznaczone P p (k). Na przykład symbol R. 5 (3) oznacza prawdopodobieństwo, że w pięciu testach, zdarzenie pojawi się dokładnie 3 razy, a zatem nie wystąpi 2 razy.
Zadanie można rozwiązać za pomocą tak zwanego formuły Bernoulliego. który ma formularz:
.
Zadanie 1.20.Prawdopodobieństwo, że zużycie energii elektrycznej w kontynuacji jednego dnia nie przekroczy ustalonej normy, jest równe r.\u003d 0,75. Znajdź szansę, że w ciągu najbliższych 6 dni zużycie energii elektrycznej przez 4 dni nie przekroczy normy.
Decyzja. Prawdopodobieństwo normalnego zużycia energii elektrycznej w kontynuacji każdego z 6 dni jest stałe i równe r.\u003d 0,75. W związku z tym prawdopodobieństwo przeliczania energii elektrycznej każdego dnia jest również stałe i równe q \u003d.1–r.=1–0,75=0,25.
Pożądane prawdopodobieństwo formuły Bernoulli jest równe
.
Zadanie 1.21.. Dwie równoważne szachy grają w szachy. Co jest bardziej prawdopodobne: wygrać dwie partie czterech lub trzech stron z sześciu (nie brane pod uwagę)?
Decyzja. Zagraj w odpowiedników szachowców, więc prawdopodobieństwo wygranej r. \u003d 1/2, zatem prawdopodobieństwo utraty p. Równa się również 1/2. Dlatego We wszystkich stronach prawdopodobieństwo wygranej jest stały i obojętny, w jakiej kolejności zostanie wygrana, formuła Bernoulliego zostanie zastosowana.
Uważamy, że dwie strony z czterech zostanie wygranych:

Znajdujemy prawdopodobieństwo, że trzy imprezy z sześciu zostanie wygrane:

Dlatego P. 4 (2) > P. 6 (3), prawdopodobnie wygra dwie strony czterech niż trzy z sześciu.
Jeden podobny do zobaczenia, aby użyć formuły Bernoulli dla dużych wartości n. Jest to dość trudne, ponieważ formuła wymaga działań na ogromnych liczbach, a zatem w procesie obliczeń gromadzą błędy; W rezultacie końcowy wynik może się znacznie różnić od prawdziwego.
Aby rozwiązać ten problem, istnieje kilka twierdzeń granicznych, które są wykorzystywane w przypadku dużej liczby testów.
1. Twierdzenie Poissona.
Przy wykonywaniu dużej liczby testów zgodnie z schemacją Bernoulli (kiedy n. \u003d\u003e ∞) i z małą liczbą korzystnych wyników k. (Zakłada się, że prawdopodobieństwo sukcesu p. Mala), Formuła Bernoulliego zbliża się do formuły Poissona
.
Przykład 1.22. Prawdopodobieństwo małżeństwa przy wytwarzaniu jednostki przedsiębiorstwa jest równe p.\u003d 0,001. Jakie jest prawdopodobieństwo, że produkcja 5000 jednostek produktów będzie mniejsza niż 4 uszkodzona (wydarzenie ALE Decyzja. Dlatego n. Świetnie, używamy lokalnego Laplace Twierdzenie:

Oblicz x.:
Funkcjonować - Nawet, dlatego φ (-1.67) \u003d φ (1,67).
Zgodnie z tabelą dodatku, ust. 1, znajdziemy φ (1,67) \u003d 0,0989.
Mówiąc prawdopodobieństwo P. 2400 (1400) = 0,0989.
3. Integralny twierdzenie Laplace
Jeśli prawdopodobieństwo r. Wygląd zdarzeń ZA. W każdym badaniu zgodnie z stałą schematu Bernoulliego i różnią się od zera i jednostek, a następnie z dużą liczbą testów n. prawdopodobieństwo P p (k 1 K. 2) Wydarzenia ZA. W tych testach k. 1 be. k. 2 razy w przybliżeniu równe
P.(k. 1 K. 2) \u003d φ ( x "") – Φ ( x "), gdzie
- Funkcja Laplace,

Specyficzna integralna w funkcji Laplace nie jest obliczana na klasie funkcji analitycznych, więc służy do obliczenia go. P.2, pokazany w aplikacji.
Przykład 1.24.Prawdopodobieństwo zdarzenia w każdej stu niezależnych testów jest stałe i równe p. \u003d 0,8. Znajdź prawdopodobieństwo, że wydarzenie pojawi się: a) co najmniej 75 razy i nie więcej niż 90 razy; b) co najmniej 75 razy; c) nie więcej niż 74 razy.
Decyzja. Używamy integralnego twierdzenia Laplace:
P.(k. 1 K. 2) \u003d φ ( x "") – Φ( x "), gdzie f ( x.) - Funkcja Laplace,

a) pod warunkiem n. = 100, p. = 0,8, p. = 0,2, k. 1 = 75, k. 2 \u003d 90. Oblicz x "" i x " :


Biorąc pod uwagę, że funkcja Laplace'a jest dziwna, tj. F (- x.) \u003d - f ( X.), dostajemy
P. 100 (75; 90) \u003d F (2,5) - F (-1,25) \u003d φ (2,5) + F (1,25).
Stół. P. Zastosowania znajdą:
F (2.5) \u003d 0,4938; F (1,25) \u003d 0,3944.
Mówiąc prawdopodobieństwo
P. 100 (75; 90) = 0,4938 + 0,3944 = 0,8882.
b) Wymóg, aby zdarzenie pojawia się co najmniej 75 razy, wskazuje, że liczba zdarzeń może wynosić 75 lub 76, ... lub 100. Tak więc w rozważanym przypadku należy podjąć k. 1 = 75K. 2 \u003d 100. Następnie

.
Stół. P. Zastosowania znajdą F (1,25) \u003d 0,3944; F (5) \u003d 0,5.
Mówiąc prawdopodobieństwo
P. 100 (75;100) = (5) – (–1,25) = (5) + (1,25) = 0,5 + 0,3944 = 0,8944.
c) Wydarzenie - " ALE pojawił się co najmniej 75 razy "i" ALE nie więcej niż 74 razy pojawił się "naprzeciwko, dlatego suma prawdopodobieństw tych zdarzeń wynosi 1. W konsekwencji pożądane prawdopodobieństwo
P. 100 (0;74) = 1 – P. 100 (75; 100) = 1 – 0,8944 = 0,1056.

Teoria prawdopodobieństwa jest dość dużą niezależną sekcją matematyki. W roku szkolnym teoria prawdopodobieństwa jest uważane za bardzo powierzchownie, jednak istnieją zadania dla tego tematu. Jednak nie jest to trudne do rozwiązania zadań kursu szkoły (przynajmniej to, co dotyczy operacji arytmetycznych) - tutaj nie musisz rozważyć instrumentów pochodnych, biorąc integralni i rozwiązywać złożone transformacje trygonometryczne - główną rzeczą jest móc obsłużyć proste liczby i frakcje.

Teoria prawdopodobieństwa - Warunki podstawowe

Główne warunki teorii prawdopodobieństwa testują, wynik i zdarzenie losowe. Test w teorii prawdopodobieństwa jest nazywany eksperymentem - rzucenie monet, pociągnij kartę, wyciągnąć rysunek - wszystkie te testy. Wynik testu, jak już się domyśliłeś, nazywa się wynikiem.

Jakie jest wydarzenie losowe? W teorii prawdopodobieństwa zakłada się, że test jest przeprowadzany przez wiele razy wiele wyników. Wydarzenie Losowe nazywa się dużą ilością wyników testowych. Na przykład, jeśli rzucisz monetę, mogą wystąpić dwa losowe zdarzenia - upadki Eagle lub Rush.

Nie mylić wyniku i zdarzenia losowego. Wynik to jeden wynik jednego testu. Wydarzenie Losowe jest różnorodne możliwe wyniki. Przy okazji i takim terminem jako niemożliwe wydarzenie. Na przykład wydarzenie "upuściło numer 8" na standardowej kostce gry jest niemożliwe.

Jak znaleźć prawdopodobieństwo?

Wszyscy rozumiemy, co jest prawdopodobieństwo, a dość często używają tego słowa w swoim słownictwie. Ponadto, możemy nawet dokonać konkretnych wniosków dotyczących prawdopodobieństwa konkretnego wydarzenia, na przykład, jeśli za oknem śniegu możemy prawdopodobnie powiedzieć, że teraz nie jest lato. Jednak jak wyrazić to numerycznie założenie?

Aby wprowadzić formułę do znalezienia prawdopodobieństwa, przedstawiamy inną koncepcję - korzystny wynik, tj. Wynik, który jest korzystny dla konkretnego wydarzenia. Definicja jest oczywiście dość niejednoznaczna, jednak przez warunek problemu, jest zawsze jasny, który z wyników jest korzystny.

Na przykład: w klasie 25 osób, trzy z nich Kati. Nauczyciel mianuje obowiązek olya, a ona potrzebuje partnera. Jakie jest prawdopodobieństwo, że partner będzie katya?

W tym przykładzie, korzystny wynik - partner Katyi. Nieco później rozwiążymy to zadanie. Ale najpierw przedstawiamy za pomocą dodatkowej formuły definicji do znalezienia prawdopodobieństwa.

• P \u003d A / N, gdzie p jest prawdopodobieństwem, a liczba korzystnych wyników, n jest całkowitą liczbą wyników.

Wszystkie wyzwania szkolne wirują się wokół jednego z tej formuły, a główna trudność polega na znalezieniu wyników. Czasami są proste do znalezienia, czasami - niezbyt.

Jak rozwiązać zadania dotyczące prawdopodobieństwa?

Zadanie 1.

Więc teraz zdecydujmy powyższe zadanie.

Liczba korzystnych wyników (nauczyciel wybiera Katya) jest równa trzeciej, ponieważ kot w klasie trzy, a łączne wyniki - 24 (25-1, ponieważ olya jest już wybrana). Następnie prawdopodobieństwo jest równe: p \u003d 3/2 \u003d 1/8 \u003d 0,125. Tak więc prawdopodobieństwo, że Katya okaże się 12,5%. To jest łatwe? Zastanawajmy się coś bardziej wszechstronnym.

Zadanie 2.

Moneta została wyrzucona dwukrotnie, jakie jest prawdopodobieństwo kombinacji: jeden orzeł i jeden pośpiech?

Rozważamy więc całkowite wyniki. W jaki sposób monety mogą wypadnąć - Eagle / Eagle, Rushka / Rushka, Eagle / Rush, Rushka / Eagle? Więc łączna liczba wyników - 4. Ile korzystnych wyników? Dwa - Eagle / Rush and Rush / Eagle. Tak więc prawdopodobieństwo kombinacji orła / pośpiechu jest równe:

• P \u003d 2/4 \u003d 0,5 lub 50 procent.

A teraz rozważ tak zadanie. Masha w kieszeni 6 monet: Dwa - denominacja 5 rubli i cztery - denominacja 10 rubli. Masha przesunęła 3 monety do innej kieszeni. Jakie jest prawdopodobieństwo, że monety 5-rublowe będą w różnych kieszeniach?

Dla prostoty oznaczamy monety z liczbami - 1,2 - monety pięcioosobowe, 3,4,5,6 - monety dziesięciokrotne. Jak więc monety mogą się położyć w kieszeni? W sumie jest 20 kombinacji:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

Na pierwszy rzut oka może się wydawać, że niektóre kombinacje zniknęły, na przykład 231, jednak w naszym przypadku kombinacje 123, 231 i 321 są równoważne.

Teraz uważamy, ile mamy korzystne wyniki. Dla nich bierzemy te kombinacje, w których istnieją albo liczba 1, albo liczba 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Są one 12. Tak więc, Prawdopodobieństwo jest równe:

• P \u003d 12/20 \u003d 0,6 lub 60%.

Zadania na temat teorii prezentowanych tutaj prawdopodobieństwa są dość proste, ale nie sądzą, że teoria prawdopodobieństwa jest prostą sekcją matematyki. Jeśli zdecydujesz się kontynuować edukację na Uniwersytecie (z wyjątkiem specjałów humanitarnych), na pewno będziesz miał kilka wyższych matematyki, na których będziesz znać bardziej złożone warunki tej teorii, a zadania będą znacznie trudniejsze .

Krótka teoria

W przypadku ilościowego porównania zdarzeń w stopniu możliwości ich wyglądu należy wprowadzić środek numeryczny, który nazywany jest prawdopodobieństwem wydarzenia. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego Numer, który jest wyrazem środka obiektywnej możliwości pojawienia się wydarzenia.

Wartości, które określają, w jaki sposób znaczące podstawy obiektywne mają liczyć na zdarzenia, charakteryzują się prawdopodobieństwem wydarzenia. Konieczne jest podkreślenie, że prawdopodobieństwo jest wartością obiektywną istniejącą niezależnie od uczenia się i ze względu na cały zestaw warunków, które przyczyniają się do pojawienia się wydarzenia.

Wyjaśnienia, które daliśmy koncepcję prawdopodobieństwa, nie są definicją matematyczną, ponieważ nie określają tej koncepcji ilościowo. Istnieje kilka definicji prawdopodobieństwa przypadkowego zdarzenia, które są szeroko stosowane w rozwiązywaniu konkretnych zadań (klasyczna, geometryczna definicja prawdopodobieństwa, statystycznego itp.).

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia Obsługuje tę koncepcję do bardziej elementarnej koncepcji zdarzeń równowagi, który nie jest już zdefiniowany i zakłada się, że jest intuicyjny. Na przykład, jeśli kość gra jest jednorodną kostką, wtedy opadanie dowolnej z krawędzi tej kostki będzie równy zdarzeń.

Niech niezawodny zdarzenie rozpad się na przypadkach równowagi, której ilość daje wydarzenie. Oznacza to, że przypadki, z których rozpad się, są nazywane sprzyjającym wydarzeniu, ponieważ pojawienie się jednego z nich zapewnia ofensywę.

Prawdopodobieństwo zdarzeń zostanie oznaczone symbolem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia jest równe stosowności liczby przypadków sprzyjającej do niego z całkowitej liczby jedynych, równych i niespójności na numer, tj.

Jest to klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Zatem, aby znaleźć prawdopodobieństwo zdarzenia, konieczne jest, aby rozważyć różne wyniki testu, aby znaleźć zestaw jedynych możliwych, równych i niespójnych przypadków, aby obliczyć całkowitą liczbę N, liczba przypadków M sprzyja To zdarzenie, a następnie oblicz obliczenie zgodnie z powyższym wzorem.

Prawdopodobieństwo zdarzenia równego stosunku liczby korzystnych zdarzeń doświadczeń doświadczeń w całkowitej liczbie wyników doświadczeń jest nazywany klasyczne prawdopodobieństwo Zdarzenie losowe.

Określenie przepływa następujące właściwości prawdopodobieństwa:

Właściwość 1. Prawdopodobieństwo niezawodnego zdarzenia jest równe.

Nieruchomość 2. Prawdopodobieństwo imprezy niemożliwej wynosi zero.

Nieruchomość 3. Prawdopodobieństwo przypadkowego zdarzenia jest liczbą dodatnią zawartą między zerową a jednostką.

Nieruchomość 4. Prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń tworzącego pełną grupę jest równa jednej.

Nieruchomość 5 Prawdopodobieństwo odwrotnego wydarzenia jest zdefiniowane w taki sam sposób, jak prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia A.

Liczba przypadków sprzyja wyglądem odwrotnego wydarzenia. Stąd prawdopodobieństwo odwrotnego wydarzenia jest równe różnicy między jednostką a prawdopodobieństwem wydarzenia A:

Ważną zaletą klasycznej definicji prawdopodobieństwa wydarzenia jest to, że przy pomocy, prawdopodobieństwo zdarzenia można określić bez uciekania się do eksperymentu i na podstawie logicznego rozumowania.

Podczas wykonywania kompleksu warunków, niezawodne wydarzenie na pewno się wydarzy, a niemożliwe niekoniecznie wystąpi. Wśród wydarzeń, które przy tworzeniu kompleksu mogą wystąpić kompleks warunków, i może się nie zdarzyć, na temat wyglądu niektórych może liczyć na dużą bazę, do wyglądu innych z mniejszą podstawą. Jeśli na przykład, w Urnie białych kulek więcej niż czarny, wtedy nadzieję na pojawienie się białej miski podczas wyjmowania z Urn o wiele więcej powodów niż pojawienie się czarnej miski.

Uważa się na następną stronę.

Przykład rozwiązania problemu

Przykład 1.

W pudełku jest 8 białych, 4 czarnych i 7 czerwonych kulek. Trasa pobrała 3 kulki. Znajdź prawdopodobieństwa następujących zdarzeń: - Wyodrębnia co najmniej 1 czerwona piłka - jest co najmniej 2 kulki jednego koloru, - jest co najmniej 1 czerwona i 1 biała piłka.

Rozwiązanie problemu

Łączna liczba wyników testowych znajdzie jako szereg kombinacji 19 (8 + 4 + 7) elementów 3:

Znajdź prawdopodobieństwo wydarzenia - Wyodrębniono co najmniej 1 czerwoną piłkę (1,2 lub 3 czerwone kulki)

Pożądane prawdopodobieństwo:

Pozwól wydarzeniu - Jest co najmniej 2 miseczki jednego koloru (2 lub 3 białe kulki, 2 lub 3 czarne kulki i 2 lub 3 czerwone kulki)

Liczba wyników sprzyjających wydarzeniom:

Pożądane prawdopodobieństwo:

Pozwól wydarzeniu - Jest co najmniej jedna czerwona i 1 biała piłka

(1 czerwony, 1 biały, 1 czarny lub 1 czerwony, 2 biały lub 2 czerwony, 1 biały)

Liczba wyników sprzyjających wydarzeniom:

Pożądane prawdopodobieństwo:

Odpowiedź:P (a) \u003d 0,773; p (c) \u003d 0,7688; P (d) \u003d 0,6068

Przykład 2.

Wrzucono dwa kości gry. Znajdź prawdopodobieństwo, że ilość punktów nie jest mniejsza niż 5.

Decyzja

Niech wydarzenie - ilość punktów co najmniej 5

Używamy klasycznego definicji prawdopodobieństwa:

Całkowita liczba możliwych wyników testowych

Liczba testów sprzyjających zainteresowanym wydarzeniu

Na upadłej twarzy pierwszego grania kostki może pojawić się jeden punkt, dwa punkty ..., sześć punktów. Podobnie, sześć wyników jest możliwe podczas rzucania drugiego kostki. Każda z wyników rzucania pierwszych kości można łączyć z każdym z wyników drugiego. W związku z tym całkowita liczba możliwych podstawowych wyników testowych jest równa liczbie miejsc docelowych z powtórzeniami (wybór z umieszczeniem 2 elementów z zestawu objętości 6):

Znajdź prawdopodobieństwo odwrotnego wydarzenia - ilość punktów jest mniejsza niż 5

Ulubione wydarzenie będzie następującymi kombinacjami świecących punktów:

Cena silnie wpływa na pilność roztworu (od dnia do kilku godzin). Pomoc online na egzaminie / stoiskach jest wykonywana na spotkanie.

Aplikacja może pozostać bezpośrednio na czacie, po uprzednio wyrzuceniu stanu zadań i informowania potrzebnych decyzji. Czas odpowiedzi - kilka minut.

Początkowo będąc tylko spotkaniem informacji i empirycznymi obserwacjami gry w kości, teoria prawdopodobieństwa stała się solidną nauką. Pierwszy, który dał jej matematyczne ramy, była gospodarstwo i Pascal.

Od myślenia o wiecznej teorii prawdopodobieństwa

Dwie osobowości, które są zobowiązane przez wiele podstawowych formuł, Blaise Pascal i Thomas Bayes, są znani jako głęboko wierzący, tym ostatni był kapłanem Prezbiteriańskim. Najwyraźniej pragnienie tych dwóch naukowców do udowodnienia błędu poglądów na jakimś fortunie, dając powodzenia w swoich zwierzętach, dał impuls do badań w tej dziedzinie. W rzeczywistości każdy hazard z wygranami i stratami jest tylko symfonią zasad matematycznych.

Dzięki Azart Cavaller, który był równie graczem i osobą, która nie jest obojętna dla nauki, Pascal został zmuszony znaleźć sposób na obliczenie prawdopodobieństwa. Deverage był zainteresowany takim pytaniem: "Ile razy powinieneś rzucić dwie kości w parach, tak że prawdopodobieństwo uzyskania 12 punktów przekroczyło 50%?". Drugie pytanie jest niezwykle zainteresowany Cavallar: "Jak dzielić się zakładem między uczestnikami niedokończonej gry?" Oczywiście Pascal z powodzeniem odpowiedział na oba pytania, które stały się mimowolnym impulsem na rozwój teorii prawdopodobieństwa. Co ciekawe, osoba osoby pozostała znana w dziedzinie, a nie w literaturze.

Wcześniej żaden matematyk nie podjął jeszcze prób obliczenia prawdopodobieństw wydarzeń, ponieważ uważano, że jest to tylko decyzja Gady. Blaise Pascal dał pierwszą definicję prawdopodobieństwa zdarzenia i wykazało, że jest to specyficzna postać, która może być uzasadniona środkami matematycznymi. Teoria prawdopodobieństwa stała się podstawą statystyk i jest szeroko stosowana we współczesnej nauce.

Co to jest wypadki

Jeśli rozważymy test, który możesz powtórzyć nieskończoną liczbę razy, a następnie możesz zdefiniować zdarzenie losowe. Jest to jeden z prawdopodobnych wyników doświadczeń.

Doświadczenie jest wdrażaniem konkretnych działań w stałych warunkach.

Aby pracować z wynikami doświadczenia, wydarzenia są zwykle oznaczone literami A, B, C, D, E ...

Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

Więc możesz rozpocząć matematyczną część prawdopodobieństwa, musisz zdefiniować wszystkie jego składniki.

Prawdopodobieństwo wydarzenia jest wymawiane w formie numerycznej środka wyglądu określonego wydarzenia (A lub B) w wyniku doświadczenia. Wskazano prawdopodobieństwo, że wskazano P (A) lub P (b).

W teorii prawdopodobieństwa rozróżnij:

• niezawodny Wydarzenie jest zagwarantowane w wyniku eksperymentu P (Ω) \u003d 1;
• niemożliwy Wydarzenie nigdy nie wystąpi p (Ø) \u003d 0;
• losowy Wydarzenie polega na niezawodnym i niemożliwym, czyli prawdopodobieństwo jego wyglądu jest możliwe, ale nie gwarantowane (prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest zawsze w odległości 0≤p (a) ≤ 1).

Relacje między wydarzeniami

Rozważmy zarówno tak samo, jak i suma zdarzeń A + B, gdy zdarzenie jest liczone we wdrażaniu co najmniej jednego ze składników, A lub B, lub zarówno - A, jak i V.

W odniesieniu do siebie wydarzenia mogą być:

• Równowaga.
• Zgodny.
• Niekompatybilny.
• Naprzeciwko (wzajemnie wyłączny).
• Zależny.

Jeśli dwa zdarzenia mogą wystąpić z równym prawdopodobieństwem, to oni równowaga.

Jeśli pojawienie się wydarzenia i nie zmniejsza prawdopodobieństwa wyglądu wydarzenia B, to oni zgodny.

Jeśli wydarzenia A i B nigdy nie zdarzają się jednocześnie w tym samym doświadczeniu, nazywają się niekompatybilny. Monety rzucające jest dobrym przykładem: pojawienie się pośpiechu jest automatycznie błędem orła.

Prawdopodobieństwo ilości takich niezgodnych wydarzeń składa się z prawdopodobieństwa każdego z wydarzeń:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Jeśli początek jednego wydarzenia uniemożliwia wystąpienie innym, są one nazywane odwrotnie. Wtedy jeden z nich jest wyznaczony jako A, a drugi - ā (czytaj jako "nie"). Wygląd zdarzenia oznacza, że \u200b\u200bnie miało miejsce. Te dwa zdarzenia tworzą kompletną grupę z sumą prawdopodobieństwa równej 1.

Zdarzenia zależne mają wzajemny wpływ, zmniejszając lub zwiększając swoje prawdopodobieństwo.

Relacje między wydarzeniami. Przykłady.

Przykłady są znacznie łatwiejsze do zrozumienia zasad teorii prawdopodobieństwa i kombinacji wydarzeń.

Doświadczenie, które zostanie przeprowadzone, jest wyciągnięcie piłek z pudełka, a wynik każdego doświadczenia jest elementem elementarnym.

Wydarzenie jest jednym z możliwych wyników doświadczeń - czerwona piłka, niebieska piłka, piłka z sześć lat itp.

Testuj numer 1. Zaangażowane są 6 kulki, z których trzy są malowane w niebieskie, numery nieparzyste są na nich stosowane, a trzy inne są czerwone z liczbami nawet.

Testuj numer 2. Zaangażowane są 6 kulki niebieskiego z liczbami od jednego do sześciu.

Na podstawie tego przykładu możesz dzwonić do kombinacji:

• Niezawodne wydarzenie. W №2 Zdarzenie "Get A Blue Ball" jest niezawodne, ponieważ prawdopodobieństwo jego wyglądu jest równe 1, ponieważ wszystkie kulki niebieskie i nie mogą być. Podczas gdy zdarzenie "dostanie piłkę z numerem 1" jest losowe.
• Niemożliwe wydarzenie. W №1 Z Błękitnymi i czerwonymi kulkami Wydarzenie "Get the Purple Ball" jest niemożliwe, ponieważ prawdopodobieństwo jego wyglądu wynosi 0.
• Równe wydarzenia. W №1 Uzyskaj piłkę z numerem 2 "i" Uzyskaj piłkę z równowagą numeryczną ", a wydarzenia" Pobierz piłkę z numerem parzystym "i" Get ball z numerem 2 "ma inne prawdopodobieństwo .
• Kompatybilne wydarzenia. Dwa razy w rzędzie, aby uzyskać sześć w procesie rzucania kości gry - są to kompatybilne wydarzenia.
• Niezgodne wydarzenia. W tej samej ISP. №1 Zdarzenia "Get The Red Ball" i "Get ball z numerem nieparzystym" nie można łączyć w tym samym doświadczeniu.
• Naprzeciwko imprez. Najbardziej uderzającym przykładem jest rzucenie monet, gdy orzeł ciągnięcie jest równoznaczny z niewoli rzeki, a suma ich prawdopodobieństw jest zawsze 1 (pełna grupa).
• Wydarzenia zależne. Więc na ISP. №1 Można ustawić cel, aby usunąć czerwony balon dwa razy z rzędu. Jego wydobycie lub nieznane po raz pierwszy wpływa na prawdopodobieństwo wyodrębniania po raz drugi.

Można zauważyć, że pierwsze zdarzenie znacząco wpływa na prawdopodobieństwo drugiego (40% i 60%).

Formuła prawdopodobieństwa zdarzenia

Przejście od refleksji pakietu do dokładnych danych wynika z motywu tłumaczenia do samolotu matematycznego. Oznacza to osądy o zdarzeniu losowym, takie jak "wysokie prawdopodobieństwo" lub "minimalne prawdopodobieństwo", mogą być przenoszone do określonych danych numerycznych. Taki materiał jest dopuszczalny do oceny, porównywania i wprowadzania do bardziej złożonych obliczeń.

Z punktu widzenia obliczenia definicja prawdopodobieństwa zdarzenia jest stosunek liczby podstawowych dodatnich wyników do wysokości wszystkich możliwych wyników doświadczeń stosunkowo określonego wydarzenia. Jest wskazywany przez prawdopodobieństwo p (a), gdzie r oznacza słowo "probibilite", który jest tłumaczony z francuskiego jako "prawdopodobieństwo".

Więc wydarzenie o formule prawdopodobieństwa:

Gdzie m jest liczbą korzystnych wyników dla wydarzenia A, N - suma wszystkich możliwych dla tego doświadczenia. W tym przypadku prawdopodobieństwo wydarzeń zawsze leży między 0 a 1:

0 ≤ p (a) ≤ 1.

Obliczanie prawdopodobieństwa zdarzenia. Przykład

Weź zaklęcie. №1 Z piłkami, która jest wcześniej opisana: 3 niebieskie kulki z liczbami 1/3/5 i 3 czerwone numery 2/4/6.

Na podstawie tego testu można oglądać kilka różnych zadań:

• A - utrata czerwonej miski. Czerwone kulki 3 i całkowite opcje 6. Jest to najprostszy przykład, w którym prawdopodobieństwo zdarzenia jest p (a) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• B - Utrata liczby parzystej. W sumie numery nawet 3 (2,4,6), a całkowita liczba możliwych wariantów numerycznych wynosi 6. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia jest p (b) \u003d 3/6 \u003d 0,5.
• C jest utratą liczby większej niż 2. Całkowite opcje 4 (3,4,5,6) z całkowitej ilości możliwych wyników 6. Prawdopodobieństwo zdarzenia równe P (C) \u003d 4/6 \u003d 0,67 .

Jak widać z obliczeń, zdarzenie C ma większe prawdopodobieństwo, ponieważ liczba prawdopodobnych dodatnich wyników jest wyższa niż w A i V.

Nieprawidłowe wydarzenia.

Takie wydarzenia nie mogą jednocześnie pojawiać się w tym samym doświadczeniu. Jak w №1 Nie można jednocześnie osiągnąć niebieską i czerwoną piłkę. To znaczy, możesz dostać niebieską lub czerwoną piłkę. W ten sam sposób w kości, a nawet nieparzysta może być w tym samym czasie.

Prawdopodobieństwo dwóch zdarzeń jest uważane za prawdopodobieństwo ich sumy lub pracy. Ilość takich zdarzeń A + B uważa się za takie wydarzenie, które polega na pojawieniu się zdarzenia A lub B, a prace ich AW jest w pojawieniu się obu. Na przykład pojawienie się dwóch szóstek natychmiast na krawędziach dwóch kostek w jednym rzucie.

Suma kilku wydarzeń jest wydarzeniem obejmującym pojawienie się przynajmniej jednego z nich. Praca kilku wydarzeń jest wspólnym wyglądem ich wszystkich.

W teorii prawdopodobieństwa, z reguły, stosowanie związku "i" oznacza kwotę, związek "lub" - mnożenie. Formuły z przykładami pomogą zrozumieć logikę dodawania i mnożenia w teorii prawdopodobieństwa.

Prawdopodobieństwo niekompletnych zdarzeń

Jeśli uważa się, że prawdopodobieństwo niespójnych zdarzeń, prawdopodobieństwo ilości zdarzeń jest równe dodaniu ich prawdopodobieństwa:

P (a + c) \u003d p (a) + p (c)

Na przykład: obliczam prawdopodobieństwo, że na komputerze. Nr 1 z niebieskimi i czerwonymi kulkami, liczba 1 i 4. Oblicz nie w jednej akcji, ale suma prawdopodobieństw podstawowych elementów. Tak więc w tym doświadczeniu tylko 6 piłek lub 6 wszystkich możliwych wyników. Liczby spełniające warunki - 2 i 3. Prawdopodobieństwo Figura 2 wynosi 1/6, prawdopodobieństwo figury 3 wynosi również 1/6. Prawdopodobieństwo, że cyfra spadnie między 1 a 4 to:

Prawdopodobieństwo niezgodnych zdarzeń kompletnej grupy jest równe 1.

Tak więc, jeśli w eksperymencie z kostką, połóż prawdopodobieństwa opadu wszystkich numerów, w wyniku czego otrzymujemy jednostkę.

Jest to również prawdą dla naprzeciwko zdarzeń, na przykład, doświadczenie z monetą, gdzie jedna strona jest zdarzeniem A, a drugi jest odwrotny wydarzenie ā, jak wiadomo,

P (a) + p (ā) \u003d 1

Prawdopodobieństwo pracy wydarzeń niepojnych

Mnożenie prawdopodobieństw stosuje się, gdy rozważają pojawienie się dwóch lub więcej niepełnych zdarzeń w jednej obserwacji. Prawdopodobieństwo, że wydarzenia A i B będą wyświetlane jednocześnie, równi produktowi ich prawdopodobieństw lub:

P (a * b) \u003d p (a) * p (b)

Na przykład prawdopodobieństwo, że na ISP. №1 W wyniku dwóch prób, niebieska piłka pojawi się dwa razy, równa

Oznacza to, że prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzenia, gdy w wyniku dwóch prób usuwania piłek, tylko błękitne kulki zostaną wyodrębnione, równe 25%. Bardzo łatwo jest robić praktyczne eksperymenty tego zadania i sprawdzić, czy tak naprawdę jest.

Wspólne wydarzenia.

Wydarzenia są uważane za wspólnie, gdy pojawienie się jednego z nich może zbiegać się z pojawieniem się innego. Pomimo faktu, że są one wspólne, prawdopodobieństwo rozważania niezależnych wydarzeń. Na przykład rzucanie dwoma kościami grającymi może dać wynik, gdy numer 6 spadnie na obu. Chociaż zdarzenia zbiegły się i pojawiły się jednocześnie, są one niezależne od siebie - tylko jeden sześć, druga kość nie ma na to wpływu .

Prawdopodobieństwo wspólnych wydarzeń jest uważane za prawdopodobieństwo ich sumy.

Prawdopodobieństwo sumy wspólnych wydarzeń. Przykład

Prawdopodobieństwo ilości zdarzeń A i B, która w odniesieniu do siebie nawzajem równa się sumą prawdopodobieństwa zdarzenia z potrąceniem prawdopodobieństwa ich pracy (to znaczy ich wspólną realizację):

P staw. (A + c) \u003d p (a) + p (b) - p (av)

Przypuśćmy, że prawdopodobieństwo wejścia do celu z jednym strzałem wynosi 0,4. Następnie wydarzenie a - uderzając w cel w pierwszej próbie, w - w drugim. Wydarzenia te są stawem, ponieważ możliwe jest, że cel może zostać trafiony i od pierwszego i z drugiego strzału. Ale wydarzenia nie są zależne. Jakie jest prawdopodobieństwo wystąpienia porażki docelowej z dwóch strzałów (co najmniej jeden)? Według wzoru:

0,4+0,4-0,4*0,4=0,64

Odpowiedź na pytanie jest następująca: "Prawdopodobieństwo wejścia do celu z dwóch strzałów wynosi 64%".

Ta formuła prawdopodobieństwa zdarzeń może być również stosowana do niepełnych zdarzeń, gdzie prawdopodobieństwo wyglądu zdarzenia p (AV) \u003d 0. Oznacza to, że prawdopodobieństwo niekompletnych zdarzeń można uznać za szczególny przypadek proponowanej formuły.

Geometria prawdopodobieństwa dla jasności

Co ciekawe, prawdopodobieństwo ilości wspólnych zdarzeń może być reprezentowany jako dwa regiony A i B, które przecinają się razem. Jak widać z obrazu, obszar ich stowarzyszenia jest równa całkowitej powierzchni na minutę ich obszarów przecięcia. To geometryczne wyjaśnienie ma bardziej zrozumiałe nielogiczne na pierwszym formule spojrzenia. Należy pamiętać, że roztwory geometryczne nie są rzadkością w teorii prawdopodobieństwa.

Określenie prawdopodobieństwa suma zestawu (więcej niż dwóch) wspólnych wydarzeń jest dość kłopotliwe. Aby go obliczyć, musisz użyć formuł, które są dostępne dla tych przypadków.

Wydarzenia zależne

Zdarzenia zależne są nazywane, jeśli ofensywa z nich (a) z nich wpływa na prawdopodobieństwo innego (b). Ponadto uwzględniono wpływ zarówno wydarzeń A, jak i jego usterki. Chociaż wydarzenia są nazywane uzależnione od definicji, ale zależy tylko jeden z nich (b). Zwykłe prawdopodobieństwo zostało wyznaczone jako p (b) lub prawdopodobieństwo niezależnych wydarzeń. W przypadku zależnego wprowadzono nową koncepcję - warunkowe prawdopodobieństwo p (b), które jest prawdopodobieństwem zdarzenia zależnego w pod warunkiem, że zdarzenie A (hipoteza) miała miejsce, z którego zależy.

Ale w końcu wydarzenie jest również przypadkowo, więc ma również szansę, że potrzebujesz i można je brać pod uwagę w obliczonej obliczeniach. Następnie przykład zostanie przedstawiony, jak pracować z wydarzeniami zależnymi i hipotezą.

Przykład obliczania prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych

Dobrym przykładem obliczania zdarzeń zależnych może być standardowym pokładem kart.

Na przykładzie pokładu w 36 kartach, rozważ zdarzenia zależne. Konieczne jest określenie prawdopodobieństwa, że \u200b\u200bdruga karta wydobyta z pokładu będzie tamburynowym, jeśli pierwsza ekstrahowana:

1. Bubnovy.
2. Inny garnitur.

Jest oczywiste, że prawdopodobieństwo drugiego zdarzenia zależy od pierwszego A. Więc, jeśli pierwsza opcja jest prawdziwa, że \u200b\u200btalia stała się 1 kartą (35) i 1 tamburyn (8) mniej, prawdopodobieństwo zdarzenia w:

P a (b) \u003d 8/35 \u003d 0,23

Jeśli druga opcja jest sprawiedliwi, talia stała się 35 kart, a całkowita liczba tamburyn (9) jest nadal zachowana, wówczas prawdopodobieństwo następnego wydarzenia w:

P a (b) \u003d 9/35 \u003d 0,26.

Można zauważyć, że jeśli wydarzenie zostanie uzgodnione w fakcie, że pierwsza karta jest tamburynowym, a potem prawdopodobieństwo zdarzenia w zmniejszeniu i odwrotnie.

Mnożenie zdarzeń zależnych

Kierując się poprzedniego rozdziału, akceptujemy pierwsze wydarzenie (a) jako fakt, ale jeśli mówimy w istocie, ma losowy charakter. Prawdopodobieństwo tego zdarzenia, a mianowicie ekstrakcję tamburynowej z talii kart, jest równe:

P (a) \u003d 9/36 \u003d 1/4

Ponieważ teoria nie istnieje sama, ale ma na celu służyć do celów praktycznych, ma prawo zauważyć, że prawdopodobieństwo produktu zdarzeń zależnych jest najczęściej potrzebny.

Zgodnie z twierdzeniem prawdopodobieństwa prawdopodobieństwa zdarzeń zależnych, prawdopodobieństwo wyglądu współzależnych zdarzeń A i B są równe prawdopodobieństwach jednego zdarzenia A, pomnożone przez warunkowe prawdopodobieństwo zdarzenia w (zależne a):

P (ab) \u003d p (a) * p a (b)

Następnie w przykładzie z pokładem prawdopodobieństwo wyodrębniania dwóch kart z mahimią tamburynowym jest:

9/36 * 8/35 \u003d 0,0571 lub 5,7%

A prawdopodobieństwo wydobywania nie jest pierwszym tamburynem, a następnie tamburynowie są równe:

27/36 * 9/35 \u003d 0,19 lub 19%

Można zauważyć, że prawdopodobieństwo pojawienia się zdarzenia większe, pod warunkiem że pierwsza karta ekstrakcyjna jest ekstrahowana z tamburynowej. Wynik ten jest dość logiczny i zrozumiały.

Pełne prawdopodobieństwo zdarzenia

Gdy problem z warunkowymi prawdopodobieństwami staje się wieloaspektowy, niemożliwe jest obliczenie zwykłych metod. Gdy hipotezy są więcej niż dwa, a mianowicie A1, A2, ... i N,. Chłodzenie pełnej grupy podanych wydarzeń:

• P (a)\u003e 0, I \u003d 1,2, ...
• A I ∩ A J \u003d Ø, I ≠ J.
• Σ k a k \u003d Ω.

Tak więc formuła pełnego prawdopodobieństwa imprezy w pełnej grupie zdarzeń losowych A1, A2, ... i N to:

Spojrzenie w przyszłość

Prawdopodobieństwo przypadkowego wydarzenia jest niezwykle konieczne w wielu dziedzinach nauki: ekonometryczne, statystyki, fizyki itp. Ponieważ niektóre procesy nie mogą być określone, jak sami mają naturę probabilistyczną, potrzebne są specjalne metody pracy. Teoria prawdopodobieństwa zdarzenia może być stosowana w dowolnej sferze technologicznej jako sposób na określenie możliwości błędu lub awarii.

Można powiedzieć, że, ucząc się prawdopodobieństwem, robimy w jakiś sposób w przyszłości, patrząc na nią przez pryzmat formuły.

RozdziałJA.. Wydarzenia losowe. PRAWDOPODOBIEŃSTWO

1.1. Wzór i losowość, losowa zmienność w dokładnych naukach, biologii i medycynie

Teoria prawdopodobieństwa jest obszarem matematyki, który badania wzorców w przypadkowych zjawiskach. Zjawisko losowe jest zjawiskiem, że z powtarzającym się reprodukcją tego samego eksperymentu może płynąć za każdym razem inaczej.

Oczywiście w naturze nie ma pojedynczego zjawiska w naturze, w taki czy inny sposób, ale w różnych sytuacjach bierzemy pod uwagę je na różne sposoby. Tak więc, w wielu praktycznych problemach, mogą być zaniedbane i rozpatrywane zamiast prawdziwego zjawiska, jego uproszczony program - "Model", zakładając, że w tych warunkach doświadczenia zjawisko przebiega w określony sposób. Podkreśla to najważniejsze, decydujące czynniki charakteryzujące fenomen. Jest to taki schemat studiowania zjawisk najczęściej stosowanych w fizyce, techniku, mechanice; W ten sposób wykryto główny wzór. , Prograny z tym zjawiskiem i daje możliwość przewidywania wyniku doświadczenia określonych warunków źródłowych. A działanie losowego, wtórnego, czynniki w wyniku doświadczenia uwzględniane są przez przypadkowe błędy pomiarów (rozważymy metodę obliczeń).

Jednak opisany klasyczny schemat tzw. Dokładnych nauk jest słabo przystosowany do rozwiązywania wielu zadań, w których liczne, ściśle splecione czynniki losowe odgrywają zauważalną (często określaną) rolę. Tutaj losowy charakter zjawiska, który nie jest już zaniedbany. Zjawisko to musi być zbadane z punktu widzenia wzorów związanych zarówno z fenomeniem przypadkowym. W fizyce przykłady takich zjawisk są ruchu Brown, rozkład radioaktywny, szereg procesów mechanicznych kwantowych itp.

Podmiotem do studiowania biologów i lekarzy - organizmu życia, pochodzenia, rozwoju i istnienia, którego zależy od bardzo wielu i różnorodnych, często przez przypadkowe czynniki zewnętrzne i wewnętrzne. Dlatego zjawiska i wydarzenia światowego świata znajdują się na wiele sposobów również natury.

Elementy niepewności, złożoności, multi-zasięg nieodłączny w przypadkowych zjawiskach określają potrzebę tworzenia specjalnych metod matematycznych do badania tych zjawisk. Opracowanie takich metod, ustanowienie konkretnych wzorów charakterystycznych dla zjawisk przypadkowych, - wyzwania teorii prawdopodobieństwa. Charakterystyczne jest to, że te wzory są wykonywane tylko z masą przypadkowych zjawisk. Ponadto poszczególne cechy poszczególnych przypadków są wzajemnie spłacane, a średni wynik na masę losowych zjawisk nie jest już przypadkowy, ale dość naturalny . W dużej mierze ta okoliczność była powodem powszechnego rozpowszechniania probabilistycznych metod badawczych w biologii i medycynie.

Rozważ podstawowe koncepcje teorii prawdopodobieństwa.

1.2. Prawdopodobieństwo zdarzenia losowego

Każda nauka rozwijająca ogólną teorię jakichkolwiek kręgów zjawisk opiera się na wielu podstawowych pojęć. Na przykład w geometrii - to koncepcje punktu, linii prostej; W mechanice - koncepcje siły, masy, prędkości itp. Istnieją główne koncepcje w teorii prawdopodobieństw, jeden z nich jest zdarzeniem losowym.

Random Event to każde zjawisko (fakt), co w wyniku doświadczenia (test) może wystąpić lub nie nastąpić.

Wydarzenia losowe są oznaczone literami A, b, z ... itd. Dajmy kilka przykładów przypadkowych wydarzeń:

ALE- Orzeł (herb) przy rzucaniu standardową monetą;

W - narodziny dziewczyny w tej rodzinie;

Z - narodziny dziecka z określoną masą ciała;

RE. - pojawienie się choroby epidemii w regionie w pewnym okresie czasu itp.

Główną cechą ilościową zdarzenia losowego jest jej prawdopodobieństwo. Zostawiać ALE - Niektóre przypadkowe wydarzenie. Prawdopodobieństwo przypadkowego zdarzenia A jest wartością matematyczną, która określa możliwość jego wyglądu.Jest oznaczony R.(ALE).

Rozważ dwie podstawowe metody określania tej wartości.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa zdarzenia losowegozwykle opiera się na wynikach analizy eksperymentów spekulacyjnych (testów), którego istotą jest określona przez warunek zadania. W takim przypadku prawdopodobieństwo przypadkowego wydarzenia R (a)równy:

gdzie m. - liczba przypadków, które sprzyjają wydarzenia ALE; n. - Całkowita liczba przypadków równowagi.

Przykład 1. Szczur laboratoryjny jest umieszczony w labiryncie, w którym tylko jedna z czterech możliwych ścieżek prowadzi do zachęcania w formie żywności. Określ prawdopodobieństwo wyboru szczura takiej ścieżki.

Decyzja: Pod warunkiem problemu czterech przypadków równowagi ( n.\u003d 4) wydarzenie ALE(Szczur znajduje jedzenie)
to jest tylko jedna sprzyja m. \u003d 1 Następnie. R.(ALE) = R. (Szczur uważa żywność) \u003d \u003d 0,25 \u003d 25%.

Przykład 2. W Urnie 20 czarnych i 80 białych kulek. Jedna piłka jest z niego usunięta. Określ prawdopodobieństwo, że ta piłka będzie czarna.

Decyzja: Liczba wszystkich kulków w Urn jest całkowitą liczbą przypadków równowagi n., tj. n. = 20 + 80 = 100, z czego wydarzenie ALE (Czarna ekstrakcja kulowa) jest możliwa tylko przy 20, tj. m. \u003d 20. Następnie. R.(ALE) = R.(h. sh.) \u003d \u003d 0,2 \u003d 20%.

Wymieniamy właściwości prawdopodobieństwa po jego klasycznej definicji - wzorze (1):

1. Prawdopodobieństwo przypadkowego zdarzenia jest wartość wymiaru.

2. Prawdopodobieństwo losowego zdarzenia jest zawsze pozytywne i mniej niż jeden, tj. 0< P. (ZA.) < 1.

3. Prawdopodobieństwo niezawodnego wydarzenia, tj. Wydarzenia, które będą musiały występować w wyniku doświadczenia ( m. = n.) jest równy.

4. Prawdopodobieństwo imprezy niemożliwej ( m. \u003d 0) równa zero.

5. Prawdopodobieństwo jakiejkolwiek zdarzenia nie jest negatywne i nieprzekraczające jednego:
0 £ P. (ZA.) 1 GBP.

Statystyczna definicja prawdopodobieństwa przypadkowego wydarzeniajest używany, gdy jest to niemożliwe do useClassical definicji (1). To często odbywa się w biologii i medycynie. W takim przypadku prawdopodobieństwo R.(ALE) Określenie przez uogólnienie wyników faktycznie przeprowadzonej serii testowej (eksperymentów).

Przedstawiamy koncepcję względnej częstotliwości występowania zdarzenia losowego. Niech serię składania się N. eksperymenty (liczba N. można wybrać z góry); Wydarzenie, jesteś zainteresowany ALE zdarzyło się M. z nich ( M. < N.). Postawa liczby doświadczeń M.W którym zdarzenie miało miejsce do całkowitej liczby eksperymentów N. Zadzwoń do względnej częstotliwości przypadkowego zdarzenia ALE W tej serii eksperymentów - R.* (ALE)

R *(ALE) = .

Ustalono eksperymentalnie, że jeśli seria testów (eksperymentów) przeprowadza się w takich samych warunkach iw każdej z nich liczba N. wystarczająco duży, wtedy częstotliwość względna wykrywa własność stabilności : Z serii do serii zmienia się nieco , Zbliża się ze wzrostem liczby eksperymentów do pewnej stałej wartości . Jest akceptowany do statystycznego prawdopodobieństwa zdarzenia losowego. ALE:

R.(ALE) \u003d LIM, z N. , (2)

Więc prawdopodobieństwo statystyczne R.(ALE) Zdarzenie losowe ALE nazywają limit, do którego względna częstotliwość wyglądu tego wydarzenia ma na celu z nieograniczonym wzrostem liczby testów (kiedy N. → ∞).

W przybliżeniu statystyczne prawdopodobieństwo zdarzenia losowego jest równe względnej częstotliwości wyglądu tego zdarzenia z dużą liczbą testów:

R.(ALE) ≈ p *(ALE) \u003d (w dużych N.) (3)

Na przykład, w eksperymentach na obsadzie monet względną częstotliwość emblematu herbu w 12000 razy była równa 0,5016, a na 24 000 rzutów - 0.5005. Zgodnie ze wzorem (1):

P.(Herb) \u003d \u003d 0,5 \u003d 50%

Przykład . W badaniu lekarskim 500 osób odwiedziło ich guz w płucach (o l.). Określ względną częstotliwość i prawdopodobieństwo tej choroby.

Decyzja: Pod warunkiem zadania M. = 5, N. \u003d 500, częstotliwość względna R.* (o. l.) \u003d M./N. \u003d 5/500 \u003d 0,01; ISOFAR AS. N. Jest wystarczająco duży, możliwe jest wierzyć z dobrą dokładnością, że prawdopodobieństwo obecności nowotworu w płucach jest równa względnej częstotliwości tego zdarzenia:

R.(o l.) \u003d R.* (o. l.) \u003d 0,01 \u003d 1%.

Poprzednio wymienione właściwości prawdopodobieństwa zdarzenia losowego są konserwowane przy ustalaniu statystycznym tej wartości.

1.3. Rodzaje przypadkowych zdarzeń. Główne twierdzenia teorii prawdopodobieństwa

Wszystkie losowe zdarzenia można podzielić na:

¾ niekompletny;

¾ niezależny;

¾ zależne.

Dla każdego rodzaju zdarzeń charakterystyczne są ich cechy i twierdzenia teorii prawdopodobieństwa.

1.3.1. Niekompletne zdarzenia losowe. Twierdzenie o prawdopodobieństwie prawdopodobieństwa

Wydarzenia losowe (A, B, C,RE. ...) Nazywane są niekompletnym , jeśli pojawienie się jednego z nich eliminuje pojawienie się innych zdarzeń w tym samym teście.

Przykład 1 . Moneta została dodana. Z upadkiem pojawienie się "herbu" wyklucza wygląd "dania" (napisy określające cenę monety). Wydarzenia "wypadł płaszcz" i "upuścił się pośpiechu" niekompletne.

Przykład 2. . Uzyskanie ucznia na pojedynczym egzaminie "2" lub "3", lub "4" lub "5" - niespójności wydarzeń, ponieważ jedna z tych szacunków wyklucza inny na tym samym egzaminie.

W przypadku niekompletnych zdarzeń losowych prawdopodobieństwo dodawania Twierdzenie: Prawdopodobieństwo wyglądu jeden, ale co z kilku niepełnych wydarzeń A1, A2, A3 ... Ak. równy sumie ich prawdopodobieństwa:

P (A1i A2 ... lubk.) \u003d P (A1) + p (A2) + ... + P (Ak.). (4)

Przykład 3. W Urn jest 50 kulek: 20 białych, 20 czerwień czerwieni. Znajdź prawdopodobieństwo białego (wydarzenie ALE) lub czerwona piłka (wydarzenie W) Gdy miska losowa wychodzi z Urna.

Rozwiązanie: R.(A lub B.) \u003d R.(ALE) + R.(W);

R.(ALE) = 20/50 = 0,4;

R.(W) = 10/50 = 0,2;

R.(ALE lub W) \u003d R.(b. sh. lub do. sh.) = 0,4 + 0,2 = 0,6 = 60%.

Przykład 4. . W klasie 40 dzieci. Z nich w wieku od 7 do 7,5 lat, 8 chłopców ( ALE) i 10 dziewczyn ( W). Znajdź prawdopodobieństwo obecności w klasie dzieci w tym wieku.

Rozwiązanie: R.(ALE) \u003d 8/40 \u003d 0,2; R.(W) = 10/40 = 0,25.

P (A lub C) \u003d 0,2 + 0,25 \u003d 0,45 \u003d 45%

Następna ważna koncepcja - pełna grupa zdarzeń: kilka niespójnych zdarzeń tworzą pełną grupę zdarzeń, jeśli tylko jeden z zdarzeń tej grupy może pojawić się w wyniku każdego testu i żadnego innego.

Przykład 5. . Strzałki wykonały strzał celu. Jedno z następujących wydarzeń odbędzie się: Wejście do "TOP dziesięć", w "dziewięciu", w "osiem", w "jednostce" lub brakuje. Te 11 niekompletnych zdarzeń tworzą pełną grupę.

Przykład 6. . Na egzaminie na Uniwersytecie student może uzyskać jeden z następujących czterech szacunków: 2, 3, 4 lub 5. Te cztery imprezy nieograniczone również tworzą pełną grupę.

Jeśli niekompletne zdarzenia A1, A2 ... Ak. Uformuj pełną grupę, wówczas suma prawdopodobieństw tych zdarzeń jest zawsze równa pierwszej:

R.(A1.) + R.(A2.)+ ... R.(ALEk.) = 1, (5)

To stwierdzenie jest często używane w rozwiązywaniu wielu zadań zastosowanych.

Jeśli dwa wydarzenia są pojedyncze i niespójne, nazywane są odwrotnie i oznaczają ALE i . Takie wydarzenia uzupełniają pełną grupę, więc suma ich prawdopodobieństw jest zawsze równa jednej:

R.(ALE) + R.() = 1. (6)

Przykład 7. Lej R.(ALE) - prawdopodobieństwo śmierci z pewną chorobą; Jest znany i jest równy 2%. Następnie prawdopodobieństwo zamożnego wyniku w tej chorobie wynosi 98% ( R.() = 1 – R.(ALE) \u003d 0,98), ponieważ R.(ALE) + R.() = 1.

1.3.2. Niezależne zdarzenia losowe. Twierdzenie mnożenia prawdopodobieństwa

Wydarzenia losowe są nazywane niezależnie, jeśli pojawienie się jednego z nich nie wpływa na prawdopodobieństwo innych wydarzeń.

Przykład 1. . Jeśli są dwa lub więcej urn z kolorowymi kulkami, wyciąganie każdej kuli z jednej gałęzi nie wpłynie na prawdopodobieństwo wydobycia innych kulek z pozostałych URN.

W przypadku niezależnych zdarzeń jest ważny Prawdopodobieństwo Twierdzenie mnożenia: Prawdopodobieństwo stawu(jednoczesny) Wygląd kilku niezależnych zdarzeń losowych jest równy produktowi ich prawdopodobieństwa:

P (A1i A2 i A3 ... i Ak.) \u003d P (A1) ∙ p (A2) ∙ ... ∙ p (ak.). (7)

Staw (jednoczesny) wygląd zdarzeń oznacza, że \u200b\u200bzdarzenia występują i A1, i A2,i A3.... JA. ALEk. .

Przykład 2. . Istnieją dwa urny. Jeden jest 2 czarne i 8 białe kulki, w drugim - 6 czarne i 4 białe. Pozwól wydarzeniu ALE - szef białej miski pierwszego urna, W - Od drugiego. Jakie jest prawdopodobieństwo wyboru w tym samym czasie z tych URN na białej kuli, tj. Co jest równe R. (ALE i W)?

Decyzja: Prawdopodobieństwo uzyskania białej piłki z pierwszego urna
R.(ALE) \u003d \u003d 0,8 od drugiego - R.(W) \u003d \u003d 0,4. Prawdopodobieństwo jednocześnie przenosi białą piłkę z obu urnów -
R.(ALE i W) = R.(ALE)· R.(W) = 0,8∙ 0,4 = 0,32 = 32%.

Przykład 3. Dieta o obniżonej zawartości jodu powoduje wzrost gruczołu tarczycy na 60% zwierząt o dużej populacji. Dla eksperymentu potrzebne są 4 powiększone gruczoły. Znajdź prawdopodobieństwo, że 4 losowo wybrane zwierzęta będą miały zwiększenie gruczołu tarczycy.

Decyzja: Zdarzenie losowe ALE - Wybór zwierzęcia surowego ze zwiększoną gruczołem tarczycy. Pod warunkiem zadania prawdopodobieństwo tego wydarzenia R.(ALE) \u003d 0,6 \u003d 60%. Następnie prawdopodobieństwo wspólnego wyglądu czterech niezależnych zdarzeń jest wybór przypadkowych 4 zwierząt o wzrosnej gruczolu tarczycy - będzie równa:

R.(ALE1 I. ALE2 I. ALE3 I. ALE4) = 0,6 ∙ 0,6 ∙0,6 ∙ 0,6=(0,6)4 ≈ 0,13 = 13%.

1.3.3. Zdarzenia zależne. Prawdopodobieństwo twierdzenia mnożenia dla zdarzeń zależnych

Wydarzenia losowe A i B są nazywane zależnymi, jeśli pojawienie się jednego z nich, na przykład i zmienia prawdopodobieństwo powstania innego zdarzenia - V.Dlatego dwie prawdopodobieństwa są używane do zdarzeń zależnych: bezwarunkowe i warunkowe prawdopodobieństwo .

Jeśli ALE i W wydarzenia zależne, wówczas prawdopodobieństwo wydarzenia W pierwszy (tj. Przed wydarzeniem ALE) Nazywa bezwarunkowy prawdopodobieństwo To wydarzenie jest wskazane R.(W). Prawdopodobieństwo wydarzenia W pod warunkiem, że wydarzenie ALE już się wydarzył warunkowe prawdopodobieństwo Wydarzenia W I oznacza R.(W/ALE) Or R.(W).

To samo znaczenie ma bezwarunkowe - R.(ALE) i warunkowe - R.(A / B.) Prawdopodobieństwo zdarzenia ALE.

Prawdopodobieństwo Twierdzenie mnożenia dla dwóch zdarzeń zależnych: Prawdopodobieństwo jednoczesnego występowania dwóch zdarzeń zależnych A i B jest równe bezsporne prawdopodobieństwo pierwszego zdarzenia w warunkowej prawdopodobieństwie drugiego:

R.(A i B.) \u003d R.(ALE) ∙ R.(V / A.) , (8)

ALElub.

R.(A i B.) \u003d R.(W) ∙ R.(A / C), (9)

jeśli pojawi się pierwszy wydarzenie W.

Przykład 1. W Urnie 3 czarnych kulek i 7 białych. Znajdź prawdopodobieństwo, że z tego urna jeden po drugim (a pierwsza piłka nie zostanie zwrócona do urna) 2 białe kulki zostaną wyjęte.

Decyzja: Prawdopodobieństwo uzyskania pierwszej białej piłki (wydarzenie ALE) Równa 7/10. Po usunięciu 9 kulek pozostaje w Urnie, z czego 6 jest biały. Potem prawdopodobieństwo pojawienia się drugiej białej piłki (wydarzenie W) Równy R.(W/ALE{!LANG-4d80f131c7d4d61b4f74da467ab77437!}

R.(ALE i W) = R.(ALE)∙R.(W/ALE) = = 0,47 = 47%.

{!LANG-21052485544f08f44823760f3b569446!}

R.(ALEi {!LANG-d8ad5985031a23f23242ed3936785046!}i {!LANG-0835fa868f22dd9b3cdab5d40f496659!}) \u003d R.(ALE){!LANG-4b08d458f2c0fdf6f558332b8b6859c0!}(V / A.){!LANG-4b08d458f2c0fdf6f558332b8b6859c0!}({!LANG-daf8f7482bcb106387eaca9cacdeee05!}). (10)

{!LANG-f9f4371fa70ece15f36c7d4d476f5fcc!}

{!LANG-647fb10f412d71571e55c78b3879d393!} ALE{!LANG-d6ec57d8ccc66516ad4134c913a126a2!} W).

{!LANG-561829c38c901dfade93231e2c630d4f!} Z{!LANG-d3951ac29bf1b13e795c69c1ca754397!} RE.{!LANG-348c8dca6999e606b448c546de54fcf2!} {!LANG-4a60b344e75cf5d278fd2000ae9e9060!}).

Decyzja. {!LANG-7825252080980117d2c35ca494feaabf!}

R.(ALE i W) = R.(ALE) ∙ R.(W/ALE) = = 0,1 = 10%.

{!LANG-3ba2ca7f9606ba96d1daa6360a0ff85f!}

R.(Z i RE. i {!LANG-4a60b344e75cf5d278fd2000ae9e9060!}) = R.(Z) ∙ R.(RE./{!LANG-b39bfc0e26a30024c76e4dcb8a1eae87!}) ∙ R.({!LANG-4a60b344e75cf5d278fd2000ae9e9060!}/{!LANG-3a9334fdb39fd04400e4163ea4e3ef96!}) = = 5%.

{!LANG-4666ebe634fb6c7b8f6f5a1ebe08661e!}

{!LANG-0af4e6db192fc450f2e894a586e68a79!} ALE i W{!LANG-12abf01dcf09b5af16094bc608584a41!} R.(ALEi {!LANG-d8ad5985031a23f23242ed3936785046!}) \u003d R.(ALE) ∙ R.(V / A.) \u003d R.(W) × R.(A / B.). {!LANG-8c26619e773cd66f9a18f1272eb7e80b!}

R.(V / A.) = (11)

{!LANG-785892621595bc7b7b0de83402cb67ae!}

{!LANG-21713e17ada9e754c81ecfc20a9e7d99!} n.{!LANG-87a098820251b596c97ffbc7f9208264!} {!LANG-9cfb64221a1076c6f02e36a33ed25a3e!}n.{!LANG-deacd4c28761768826e9ed421e940e97!} R.({!LANG-726913fa091173cc2c6fbd7d18118926!}){!LANG-3778ef2d038cfc11147fbca572d0b161!}({!LANG-6e44a1362960245cbf09e03533164d46!}){!LANG-0b5cc613972ccad7a80a293b13b47e08!}({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}n.{!LANG-e0c979442e017ff968f731f9a37cccb8!}

{!LANG-1053213e3c5f215303fcc9942082e6c6!} ALE{!LANG-2cb18e454ca6a9b474cc1a4b36e959ea!} {!LANG-9cfb64221a1076c6f02e36a33ed25a3e!}n.{!LANG-4d44344d86941354165a7967b8964009!} ALE{!LANG-2b996806fe870fdc54d75324d337d3cd!} {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}jA.{!LANG-4a9a006740322bdf9ce6a3997a2e6bdb!} R.({!LANG-7e239500a51a46d65ec9411e522f3bf2!}){!LANG-3778ef2d038cfc11147fbca572d0b161!}({!LANG-46819926aa4e6f80cbe1eea7f7b31fd4!}){!LANG-0b5cc613972ccad7a80a293b13b47e08!}({!LANG-74967277e30aa34b291c8e1f9ab71b16!}n.{!LANG-a1ca96c68fcef9ad1e8bca8ca0c13007!} R.({!LANG-74967277e30aa34b291c8e1f9ab71b16!}jA.{!LANG-383be15ce58d3635eb6bddbc4aab0324!} ≠ 1.

{!LANG-a63d162637c57227f1bca874682dac2c!} {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}jA.{!LANG-2cfc429a1ca7bfae2071af651a4668a4!} ALE{!LANG-7275dbffa3152facd5d01df00f25a8dd!} ALE{!LANG-587db789c5f1042a66ea5719b1cd16d3!} :

{!LANG-93ec9706b7e37f8cd262e50360b92809!} .

{!LANG-ea27de14dbc1d38f1bc985f35ab9cce4!} {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}1,…, {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}n.{!LANG-20bf2accd0a126447a1485de76963a92!} ALE{!LANG-80dd75a8ed143aca68c5be30cb6f9ed0!} R.({!LANG-74967277e30aa34b291c8e1f9ab71b16!}jA.{!LANG-f85c47e064840e3049cc7516f9bc6b99!} {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}jA. (jA. = 1,2,3,…n.{!LANG-275db9aee2046cee678a63abee90f04a!} R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}jA.{!LANG-78713c262ed41d7cfbf4ec1d92d26e6b!}{!LANG-39d7bd2f6c082f20e5816c63e4a80892!} ALE{!LANG-b2d8a3e84f08d2b1ecf9d7b56e4dba8a!}

{!LANG-83b0fa7d655b14b4802749934d65d6f1!} {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}1, {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}2, {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-a0edd64692ccb6254f8a8757424195ac!} R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}1) = 0,5; R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}2) = 0,17; R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-d42373bc1f608b1771fc62dd15275018!} ALE{!LANG-40a78a588f67c4073fbac74dc152dfce!}

R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}1) = 0,1; R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}2) = 0,2; R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}3) = 0,9.

{!LANG-776f86bd4769b3d763f0c32aad7a8345!} ALE{!LANG-79e5e14ad7f219e75df0675f05cf3045!} R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}1/ALE) = 0,13; R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}2/ALE) = 0,09;
R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}3/ALE{!LANG-7e2fb904047b3a980d94ea050ea35a38!}

{!LANG-4679efde207401c6841129624b9df72a!}

{!LANG-9555b98fe1baf60f42656cc578fdff4b!}

Decyzja{!LANG-11bf366b28abf00ba9121372adfc8182!} {!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-dc89846e5d67687a4f0795e5e5a27c23!} R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-af3e39c4bd6c2da9800ff222e823ad7d!} {!LANG-6e44a1362960245cbf09e03533164d46!}{!LANG-dd641eb63fe5abdc37bd7f35b4e47675!} R.({!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}2) = 1 – 0,975 = 0,025 = 2,5 %.

{!LANG-e5cf82f92097240048a70848434ec5ab!} ALE{!LANG-d76baaa3818e5b1f4e9bcd11afba0a52!} R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-b0881904f31ddd51a28c94f2e43e276f!} R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-21e37bdd3a40159da23b995ca8ac42cb!} R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-b088121f09ad44e47302e804a505953f!}
R.(ALE/{!LANG-0407f93d642c4349aaf560037338096f!}{!LANG-523b4cf83bd306b227e88fa9a07a8d4d!}

{!LANG-74778c68bc9f07d4740c263ec35ec577!}

{!LANG-9dc38505159dd350b9252d1d91b9ade5!}

{!LANG-b46809a5bc04f720910d148e7c660b49!}

{!LANG-72573d63df58070b727d59e526c9f170!}

{!LANG-8dcfe245ab0d94573494641563ded740!}

{!LANG-98adbb74557d1207984538029ffa53cb!} {!LANG-5706d4630d8994aff6d379c92f4da816!}{!LANG-ef32ec0d001fd9c9e299116aebf8f5ca!}

{!LANG-3999aa7422de49bf1df2e4d6db6d55e3!} ALE{!LANG-41e66e7350690ea5aad09633cdd643e8!} {!LANG-62c44a534fdf1713cd44c13fd3b8cf70!} R.() » 1.

Rozdział{!LANG-561884418c8cd7ed1a49a30caf520595!}{!LANG-10f388dcf981e8da3bbd7429d686cf9c!}

{!LANG-07a646e0f2ff68d80c36595cc7d3a09a!}

{!LANG-a97588678c4d267ac5c2c8d85ff554c3!}

{!LANG-45aaaf0c620f548b58b46b868693bfbe!} {!LANG-52895d319fd1a2a84bcff3d974536e7c!}{!LANG-8e5ca12af91ab9f8b2216c1ebac64394!}

{!LANG-51c054bb50b617cc8f48a3f21c1da644!} .

{!LANG-ef32a438835267ae996cc137174a04d7!}

{!LANG-bfc4deec643b99b9f0c37f2618a9c2c3!}

{!LANG-1a07b33bddbd98d7edeaafa606aeeae0!}

{!LANG-023e78c29f4bb00a8897afeb61e49cdf!}

{!LANG-a62e3eb4adee46f44788fe4540c73b14!}

{!LANG-fae208a1ba7a79e884d3b59b20c07216!}

{!LANG-9c9a59b8a16923cfb389b6c85dd36aab!}*. {!LANG-0dea9fd02d31a58ef84834b26a255a6c!} r.{!LANG-c9f139f2f6ef28f8c6e9e03b67100b2e!}

{!LANG-1e105a497485d1ccc8648befec5f62a3!}

{!LANG-02f977720e21b967f46e4abc06f678a5!}

{!LANG-c2f2320a80346febc619dc187eac2300!}

{!LANG-dd9203a25e2ed7551c99786cf570e2a3!}

{!LANG-da9a8b29499ed867aba6a3ef9a89ad32!}

{!LANG-adc68dc03dcbb949bd71a21b43585fd0!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-661bdb6c0f989a804f78ecfad8c4d389!} h.jA.{!LANG-ae27d6f927571413fd214d68dc1d9ea8!} r.jA. *. {!LANG-75cf43fdcb76692d5c52ceb7c8799832!}

{!LANG-8e4d88cb3ececdbf076f9f22ff6a57b9!}{!LANG-5839bef9419186acdf20af4b334cfb7f!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-df6d1e1eb3f47383ce58f082243b210e!} R.({!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}):

{!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}

…..

…..

P.({!LANG-253bcac7dd806bb7cf57dc19f71f2fa0!})

…..

…..

{!LANG-53dee19d4ab3e6567ae26778f47d7fad!} r.jA.{!LANG-921f9a9c99316562a8d0fdf059116e86!}

r.jA. = p.1 + p.2 + ... + {!LANG-709b8a73ecd44d1c54f064821d8802a7!} = 1. (13)

{!LANG-7744182404e831d476b855e182ea111b!}{!LANG-cfe130db053b5c778e49698b5dcacea0!} h.jA., , {!LANG-20e5e53bb8d1da6ca9c9d6e37384f397!} r.jA.

{!LANG-b7710f76cc70fdfface8e1fe2a7a7a2c!}{!LANG-dec02c5b602d1e2cd8d1a39f8b6072d4!} {!LANG-ce81a2dfede1ad48123cd1fc73f8fc40!}{!LANG-4ec91cfc3c025eea69b307984b22be27!} n.{!LANG-b2dae1b3e1c8ef3a5aa6e117c2258517!} R.(n.) = n. {!LANG-20de7467143d7421122daecb28b0d727!}-1 × p.{!LANG-619f042ce33a01a2d041fea9173cc356!} p.{!LANG-f6d23804981ef6c4f13d5d814def25fd!}{!LANG-9663759be92cf2926d9d36c502b5e7e8!}

{!LANG-ec1009156082349d71cf458102599670!}

{!LANG-ce8e36c79eda071e87563d2cc5e551e4!}

{!LANG-3d4497313f64677fda6db28d055dcab9!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-0b8a23ea9212536ee5a8b5a2d9c477ee!} {!LANG-f2a8c2a3a335976bf8d1fcd64175fd57!}, {!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!})**. {!LANG-0e529969066c022ef9b0acb3a70a92f3!} {!LANG-cb307ed90f5e171c2efdb811f2c6b51f!}{!LANG-b8ae5e9b385facdbd6d2ee15e56555d7!} {!LANG-6ab0c676d8d8b994f98176b29b421c6d!}{!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!}{!LANG-cb52121ce1fe7cf3deecfe6d12efeacf!}

{!LANG-9e0c011328181e097a8abbf497af47ac!} R.({!LANG-4ce130e7b6c94faa4dccca1b650d8be4!}< Х < х2 {!LANG-1baacacf81d2a40c192beaa043937518!}
R.({!LANG-a9bcee85fa484cac07b23719cc5ed41c!}£ {!LANG-cc99cf20e89985951bf859d08745375c!}£ {!LANG-cd43d0bda1079885dcd239b3d8d2439c!}).

{!LANG-5834ab0957a2c47ad84a8ce1de93d332!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-39843604c54eb6327131b6feb1bb3983!} h.{!LANG-930d6f4a3a63649db4e3d2303d5a0759!} {!LANG-14a2032143669e6d289eedf48b9a717a!}RE.h.{!LANG-63a3f9e8764421e0c9a71bda8cbf92b3!} {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!}R.{!LANG-59cc11faf6dad5b71a920bf77b041dd8!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-6e6667fe642859e970bcd5f3b6a6b5d8!} {!LANG-eec10f58d0a5dc797ebf33dd8253763b!}RE.h.{!LANG-d713048d64405f6df77f53aa74e8b747!} RE.{!LANG-61e63feec04755d0f3ffc717e2e84602!}{!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!}R.~ RE.h.{!LANG-b2fc190f6b4660b485684d5aaae83bd1!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}{!LANG-0ecbbb536b9bac797b1f9cbac6b9b326!} h.{!LANG-cc481bee0588ca0667edb22cabdd1804!}

{!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!}{!LANG-090607b7df38e058345011fd4521d7c9!}{!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.) × {!LANG-2eab0deb7fa851fcaef7f3cd0c655fd8!} {!LANG-bbd84d266f5350db11f65f23f28cad1e!}{!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(x.) × {!LANG-4cf40ff574c8b3b3199471642fb2ee65!} (14)

{!LANG-c4ef0223ae3f4a4cca3d2a69d6563e3a!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.) Nazywa {!LANG-f7e17ddfcc23b232fa71b919a66c30f6!}{!LANG-67429742610b420e7f8d8fff1f1e80a0!} {!LANG-514be39f96bb7d0f06b09e7e391828ba!}{!LANG-493b72428770636c337dbdea3d48456d!} {!LANG-68f97a5c5900e99f10d5d6e6194f8c2a!}, {!LANG-48ca4c12907633bd35e9dc13339b9a5b!}{!LANG-9d6b799400ca0e3a0b68aa84d430b7ce!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-35db7999688c83a6f8239de2ebdc891c!} {!LANG-a9bcee85fa484cac07b23719cc5ed41c!},{!LANG-8c0cba9103400a46897ec7b8f9efff10!}:

R.({!LANG-a9bcee85fa484cac07b23719cc5ed41c!}<{!LANG-cc99cf20e89985951bf859d08745375c!}<{!LANG-cd43d0bda1079885dcd239b3d8d2439c!}) = {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.) {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!}{!LANG-c8061e633d81ec718e46c2e27e6bb73a!} (15)

{!LANG-3029c70e7de5da32daa3a064a5801539!} R.({!LANG-a9bcee85fa484cac07b23719cc5ed41c!}<{!LANG-cc99cf20e89985951bf859d08745375c!}<{!LANG-cd43d0bda1079885dcd239b3d8d2439c!}{!LANG-acb463d3b4958801052362cb45e841c2!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.{!LANG-33d10327be73c3cbd0a47c519ec302fb!} {!LANG-73d85e3f88bb25adda06e04baec0a363!}{!LANG-b3af655512f09591fd14936d3eb57a5b!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.{!LANG-3b9a3e73487dfec0a91dbef1a4d32361!}

{!LANG-bfb1fe1d4aeb7fc23528d7865ec54e42!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.), {!LANG-959d2e27ab8dfc78a63c2383524d6d04!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.{!LANG-a599a3f3c96e1002a302fcf447da05a9!}

{!LANG-0c2c67b601228d7b2b10c3190b396274!} {!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.{!LANG-ccc87c35f41e4077940331cc2d6aba0f!}

{!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.) {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!}{!LANG-57ef5ee1a978cd252fdb9ea0524ad689!} (16)

{!LANG-64834c65a51afe82c13f1e605d64cc5d!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-456ba3abf1ab730c65599ff2300a51c2!} {!LANG-6ab0c676d8d8b994f98176b29b421c6d!}{!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!}{!LANG-364d1762d08fd822b85363cbbeb07a72!}

{!LANG-9a8ad92c50cae39aa2c5604fd0ab6d8c!}(h.) {!LANG-e29311f6f1bf1af907f9ef9f44b8328b!}{!LANG-4221c506d18e02597c3028871ef37e11!}, (17)

{!LANG-63ed91dada047f5c4a18728d1a2c0c80!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-ec441bb0d7078b905ae69ee969e3f3ad!} {!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}{!LANG-0a71a5476a5ec80a04f695e5d7af54bb!} {!LANG-6ab0c676d8d8b994f98176b29b421c6d!}{!LANG-3b5d5c3712955042212316173ccf37be!}{!LANG-79dca02bd9804c65c0c2d9192247c428!} .

{!LANG-3ed1566b3a5e41453757d5b61bf6535a!}

{!LANG-f1d68565b34a1a2e71eb4f876366d6e5!}

{!LANG-ea54693f2122b04adf559ac06039ffba!}

{!LANG-6462161dfdee7d66ca05ab6fa3a46797!} {!LANG-99846f518106539499ec771d124cd0c8!}{!LANG-b26ab909dcaa29ad61e640ae8ba496ab!}

{!LANG-0d656416d7e4d8bc297e26797c96a7e4!} , {!LANG-f375108e61bc1de03820ab62f0229cc7!} M.({!LANG-1a50f56c1cb183beffb60597d8779183!}).