Rozwiązanie stosowanych zadań jest zmniejszone do obliczenia całkowania, ale nie zawsze jest możliwe dokładnie. Czasami konieczne jest poznanie wartości konkretnej integralnej z pewnym stopniem dokładności, na przykład do tysięcznej.

Istnieją zadania, gdy należy znaleźć przybliżoną wartość konkretnej integralności z niezbędną dokładnością, a następnie integracja numeryczna jest stosowana jako sposób prostoty, trapezów, prostokątów. Nie wszystkie przypadki pozwalają obliczyć go z pewną dokładnością.

Niniejszy artykuł uważa zastosowanie formuły Newtona-Labender. Jest to konieczne, aby dokładnie obliczyć określoną integralną. Zostaną podane szczegółowe przykłady, zastąpienie zmiennej w określonej integralnej zostanie uwzględnione i znajdzie wartości określonej integralnej podczas integracji w częściach.

Formuła Newton Labitsa.

Definicja 1.

Gdy funkcja Y \u003d Y (X) jest ciągła z segmentu [A; b], a f (x) jest jedną z pierwszych funkcji tego segmentu, formuła Newton Labitsa. Uważane. Piszemy to tak ∫ a b f (x) d x \u003d f (b) - f (a).

Ta formuła wierzy główna formuła zintegrowanego rachunku.

Aby uzyskać dowód tego formuły, konieczne jest użycie koncepcji integralnej z istniejącą górną granicą.

Gdy funkcja Y \u003d F (X) jest ciągła z segmentu [A; b], następnie wartość argumentu X ∈ A; b, a integralna ma formę ∫ A X F (T) D T i jest uważany za funkcję górnej granicy. Konieczne jest przyjęcie oznaczenia funkcji weźmie formularz ∫ AXF (T) DT \u003d φ (x), jest ciągły, a dla niego nierówność formularza ∫ AXF (T) DT "\u003d φ" ( x) \u003d f (x) jest prawdą.

Naprawiamy, że przyrost funkcji φ (X) odpowiada przyrostowi argumentu Δ X, konieczne jest stosowanie piątej właściwości pierwotnej konkretnej integralnej i uzyskać

Φ (x + Δ x) - φ x \u003d ∫ AX + Δ XF (T) DT - ∫ AXF (T) DT \u003d \u003d ∫ AX + Δ XF (t) dt \u003d f (c) · x + Δ x - x \u003d F (c) Δ x

gdzie jest wartość C ∈ x; X + Δ x.

Napraw równość w postaci φ (x + Δ x) - φ (x) Δ x \u003d f (c). Z definicji funkcji pochodnej należy przenieść się do limitu w Δ X → 0, a następnie otrzymujemy wzór formularza φ "(x) \u003d f (x). Otrzymujemy, że φ (x) jest jednym z Prymitywne gatunki dla funkcji Y \u003d F (X), znajdujące się na [A; B]. W przeciwnym razie wyrażenie może być rejestrowane

F (x) \u003d φ (x) + c \u003d ∫ a x f (t) d t + c, gdzie wartość C jest stała.

Oblicz F (a) za pomocą pierwszej właściwości określonej integralnej. Wtedy to dostajemy

F (A) \u003d φ (A) + C \u003d ∫ A A F (T) D T + C \u003d 0 + C \u003d C, stąd otrzymujemy, że C \u003d F (A). Wynik ma zastosowanie przy obliczaniu F (b) i uzyskać:

F (b) \u003d φ (b) + c \u003d ∫ abf (t) dt + c \u003d ∫ abf (t) dt + f (a), innymi słowy, f (b) \u003d ∫ abf (t) dt + f (a). Równość dowodzi formuły Newton Labilica ∫ A B F (X) D X + F (b) - F (A).

Przyrost funkcji jest przyjmowany jako f x a b \u003d f (b) - f (a). Przy wyznaczeniu formuły Newton-Leibnia, przyjmuje formularz ∫ a b f (x) d x \u003d f x a b \u003d f (b) - f (a).

Aby zastosować formułę, konieczne jest znanie jednego z prymitywnych Y \u003d F (x) funkcji integrandi Y \u003d F (X) z segmentu [A; b] Oblicz przyrost prymitywu z tego segmentu. Rozważmy nieznaczny przykład przy użyciu formuły Newton-Labender.

Przykład 1.

Oblicz określony integralny ∫ 1 3 x 2 d x zgodnie z formułą Newton-Labender.

Decyzja

Rozważ, że zintegrowana funkcja formularza Y \u003d X 2 jest ciągła z segmentu [1; 3], a następnie zintegrować w tym segmencie. Według tabeli niepewnych integli, widzimy, że funkcja Y \u003d X 2 ma wiele prymitywnych dla wszystkich prawidłowych wartości x, co oznacza X ∈ 1; 3 zostanie zapisane jako f (x) \u003d ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + C. Konieczne jest podjęcie prymitywu z C \u003d 0, a następnie otrzymujemy, że F (x) \u003d x 3 3.

Używamy formuły Newton Labnic i otrzymujemy, że obliczenie konkretnej integralnej będzie przyjmować formularz ∫ 1 3 x 2 d x \u003d x 3 3 1 3 \u003d 3 3 3 - 1 3 \u003d 26 3.

Odpowiedź: ∫ 1 3 x 2 d x \u003d 26 3

Przykład 2.

Oblicz specyficzną integralną ∫ - 1 2 x · E x 2 + 1 D x przez formułę Newtona-Leibice.

Decyzja

Określona funkcja jest ciągła z segmentu [- 1; 2] Oznacza to, że jest to integrowane. Konieczne jest znalezienie wartości nieokreślonej integralnej ∫ x · ex 2 + 1 DX przy użyciu metody zgłoszenia do znaku różnicowego, a następnie otrzymujemy ∫ X · Ex 2 + 1 DX \u003d 1 2 ∫ Ex 2 + 1 D ( x 2 + 1) \u003d 1 2 2 + 1 + C.

Stąd mamy wiele prymitywnych funkcji Y \u003d X · E x 2 + 1, które są ważne dla wszystkich X, X ∈ - 1; 2.

Konieczne jest podjęcie prymitywu, gdy C \u003d 0 i zastosuj formułę Newton-Labender. Potem dostajemy wyraz

∫ - 1 2 x · Ex 2 + 1 DX \u003d 1 2 Ex 2 + 1 - 1 2 \u003d 1 2 E 2 + 1 - 1 2 E (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 E (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Odpowiedź: ∫ - 1 2 x · E x 2 + 1 d x \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Przykład 3.

Oblicz całki ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x i ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 d x.

Decyzja

Cięcie - 4; - 1 2 sugeruje, że funkcja pod znakiem integralnym jest ciągła, oznacza to, że jest zintegrowany. Stąd znajdziemy wiele prymitywnych funkcji Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2. Dostajemy to

∫ 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d 4 ∫ x D x + 2 ∫ x - 2 D x \u003d 2 x 2 - 2 x + C

Konieczne jest prymitywne f (x) \u003d 2 x 2 - 2 x, a następnie stosując formułę Newton-Labender, otrzymujemy integralną, która oblicza:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 DX \u003d 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 \u003d 2 - 1 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 \u003d 1 2 + 4 - 32 - 1 2 \u003d - 28

Produkujemy przejście do obliczenia drugiej integralności.

Z segmentu [- 1; 1] Mamy, że zintegrowana funkcja jest uważana za nieograniczona, ponieważ LIM X → 0 4 x 3 + 2 x 2 \u003d + ∞, a następnie wynika z tego, że niezbędny warunek integracji z segmentu. Następnie f (x) \u003d 2 x 2 - 2 x nie jest prymitywny dla y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 z segmentu [- 1; 1], ponieważ punkt O należy do segmentu, ale nie jest zawarty w obszarze definicji. Oznacza to, że istnieje pewna integralna z Riemanna i Newton Leibher dla funkcji Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 z segmentu [- 1; jeden].

Odpowiedź: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 d x \u003d - 28,istnieje określona integralna z Riemann i Newton Labnice dla funkcji Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 segmentu [- 1; jeden].

Przed użyciem formuły Newton-Labitsa musisz dokładnie wiedzieć o istnieniu konkretnej integralności.

Wymiana zmiennej w określonej integralnej

Gdy funkcja Y \u003d F (X) jest zdefiniowana i ciągła z segmentu [A; b], a następnie istniejący zestaw [A; b] jest uważany za obszar wartości funkcji X \u003d G (Z) zdefiniowany w segmencie α; β z istniejącą ciągłą pochodną, \u200b\u200bgdzie G (α) \u003d A i G β \u003d B, otrzymujemy, że ∫ A B F (X) D X \u003d ∫ α β (g (z)) · g "(z) d z.

Ta formuła jest używana, gdy konieczne jest obliczenie całkowania ∫ A B F (x) D X, gdzie integalna nieokreślona ma formularz ∫ f (x) d x, obliczając metodę substytucyjną.

Przykład 4.

Oblicz określoną integralną część formularza ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 D x.

Decyzja

Integransa jest uważana za ciągłą integrację w interkom, co oznacza, że \u200b\u200bpewna integralna ma miejsce na istnienie. Dajemy oznaczenie, które 2 x - 9 \u003d z ⇒ x \u003d g (z) \u003d z2 + 9 2. Wartość X \u003d 9 oznacza, że \u200b\u200bZ \u003d 2 · 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3, a przy x \u003d 18 otrzymujemy, że z \u003d 2 · 18 - 9 \u003d 27 \u003d 3 3, a następnie g α \u003d g (3) \u003d 9, g β \u003d g 3 3 \u003d 18. Przy zamiemieniu wartości otrzymanych we wzorze ∫ A B F (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z, otrzymujemy to

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 DX \u003d ∫ 3 3 3 1 Z2 + 9 2 · Z · z2 + 9 2 "DZ \u003d ∫ 3 3 3 1 Z2 + 9 2 · Z · Zdz \u003d ∫ 3 3 3 2 Z2 + 9 DZ

Według tabeli niepewnych integli, mamy, że jedna z prymitywnych funkcji 2 z2 + 9 ma wartość 2 3 A R C T G Z 3. Następnie, stosując formułę Newton-LaBitsa, otrzymujemy to

∫ 3 3 3 2 Z2 + 9 D Z \u003d 2 3 ARCTGZ 3 3 3 3 \u003d 2 3 ARCTG 3 3 3 - 2 3 ARCTG 3 3 \u003d 2 3 ARCTG 3 - ARCTG 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18.

Znajdowanie może być wykonane bez użycia wzoru ∫ A B F (x) d x \u003d ∫ α β f (g (z)) · g "(z) d z.

Jeśli przy użyciu metody wymiany należy użyć całkowania formularza ∫ 1 x 2 x - 9 D x, a następnie można dojść do wyniku ∫ 1 x 2 x - 9 D x \u003d 2 3 ARC TG 2 x - 9 3 + c.

Stąd obliczymy formułę Newton Etykiety i obliczymy konkretne integralne. Dostajemy to

∫ 9 18 2 Z2 + 9 DZ \u003d 2 3 ARCTGZ 3 9 18 \u003d 2 3 3 ARCTG 2 · 18 - 9 3 - ARCTG 2 · 9 - 9 3 \u003d 2 3 3 ARCTG 3 - ARCTG 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Wyniki zbiegły się.

Odpowiedź: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 D x \u003d π 18

Integracja w częściach przy obliczaniu określonej integralności

Jeśli w segmencie [A; b] zdefiniowane i ciągłe funkcje U (X) i V (X), następnie ich pochodne pierwszego rzędu V "(X) · U (X) są integrowane, a zatem z tego segmentu dla funkcji integrowanej U" (X) · V (x) równość ∫ abv "(x) · u (x) dx \u003d (u (x) · v (x)) ab - ∫ abu" (x) · v (x) dx jest ważny.

Wtedy można użyć formuły, konieczne jest obliczenie całkowania ∫ A B F (x) D X, a ∫ F (x) D X musi być poszukiwane przy użyciu integracji w częściach.

Przykład 5.

Oblicz specyficzną integralną ∫ - π 2 3 π 2 x · grzech x 3 + π 6 d x.

Decyzja

Funkcja X · Sin x 3 + π 6 jest integrować się na segmencie - π 2; 3 π 2 Oznacza to, że jest ciągły.

Niech (x) \u003d x, a następnie d (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d sin x 3 + π 6 dx i d (u (x)) \u003d u" (x) dx \u003d dx, i v (x) \u003d - 3 cos π 3 + π 6. Z formuły ∫ A B V "(X) · U (x) d x \u003d U (x) · v (x)) a b - ∫ a b u" (x) · v (x) d x Dostajemy to

∫ - π 2 3 π 2 x · grzech x 3 + π 6 dx \u003d - 3 x · cos x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 cos x 3 + π 6 dx \u003d \u003d - 3 · 3 π 2 · COS π 2 + π 6 - - 3 · - π 2 · Cos - π 6 + π 6 + 9 Sin x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 SIN π 2 + π 6 - SIN - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Przykładowe rozwiązanie może być wykonywane w inny sposób.

Znajdź wiele funkcji prymitywnych X · Sin x 3 + π 6 Korzystanie z integracji w częściach przy użyciu formuły Newton-Leibnia:

∫ x · Sin xx 3 + π 6 dx \u003d u \u003d x, dv \u003d sin x 3 + π 6 dx ⇒ du \u003d dx, v \u003d - 3 cos x 3 + π 6 \u003d \u003d - 3 COS x 3 + π 6 + 3 ∫ COS X 3 + π 6 DX \u003d - 3 x COS X 3 + π 6 + 9 Sin x 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 x · Sin x 3 + π 6 dx \u003d - 3 cos x 3 + π 6 + 9 SINCOS X 3 + π 6 - - - 3 · - π 2 · Cos - π 6 + π 6 + 9 SIN - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Odpowiedź: ∫ x · grzech x x 3 + π 6 d x \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Jeśli zauważysz błąd w tekście, wybierz go i naciśnij Ctrl + Enter

Pochodne wyższych zamówień

W tej lekcji nauczysz się znaleźć pochodne wyższych zamówień, a także rejestrować ogólny formułę pochodnej Anny. Ponadto wzorze Leibnia zostanie uwzględnione i liczne prośby - pochodne wyższych zamówień z niejawnie określona funkcja. Proponuję natychmiast przejść przez mini test:

Oto funkcja: A oto jego pierwsza pochodna:

W przypadku, gdy masz jakiekolwiek trudności / nieporozumienie o tym przykładzie, zacznij od dwóch podstawowych artykułów mojego kursu: Jak znaleźć pochodną? i Funkcja złożona pochodna. Po opracowaniu podstawowych pochodnych polecam zapoznać się z lekcją Najprostsze zadania z pochodnągdzie wymyśliliśmy, w szczególności z druga pochodna.

Łatwo jest nawet odgadnąć, że druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej:

Zasadniczo druga pochodna jest już uważana za pochodną najwyższego porządku.

Podobnie: Trzecia pochodna jest pochodną drugiej pochodnej:

Czwarta pochodna pochodzi od trzeciej pochodnej:

Piąta pochodna: i oczywiste jest, że wszystkie pochodne wyższych zamówień będzie również zero:

Oprócz numeracji rzymskiej w praktyce, często używana jest następująca notacja:
Pochodna zamówienia "Enin" jest oznaczona. Jednocześnie indeks tenski musi być skonfigurowany w nawiasach - odróżnić pochodną z "Gry" do stopnia.

Czasami jest taki wpis: - Po trzecie, czwarty, piąty, ..., "enons" pochodne, odpowiednio.

Naprzód bez strachu i wątpliwości:

Przykład 1.

Funkcja Dany. Znaleźć .

Decyzja: Co skrzywdziłeś ... - do przodu na czwartą pochodną :)

Cztery uderzenia nie są już akceptowane, więc idziemy do indeksów numerycznych:

Odpowiedź:

Cóż, a teraz pomyśl o takim pytaniu: Co zrobić, jeśli według stanu konieczne jest znalezienie 4, ale na przykład 20-te pochodną? Jeśli dla pochodnej 3-4-5-letnich (maksymalnie 6-7th) Procedura decyzji jest dość szybka, wtedy przed pochodnymi wyższymi rozkazami "robimy" och, jak szybko. Nie pisz, w rzeczywistości 20 linii! W takiej sytuacji musimy przeanalizować kilka różnych instrumentów pochodnych, aby zobaczyć wzór i wprowadzić formułę pochodnej Annna. Tak więc, w przykładzie numer 1 Łatwo jest zrozumieć, że z każdym kolejnym różnicowaniem przed wykładnikiem "wyskakuje" dodatkową "Troikę" "pojawi się", a na każdym kroku stopień "Troika" jest równa Numer pochodny, dlatego:

Gdzie - arbitralny numer naturalny.

I rzeczywiście, jeśli okazuje się dokładnie pierwszą pochodną: Jeśli - wtedy drugi: itd. W ten sposób pochodna dwudziesta jest określana natychmiast: - i nie "blachy kilometrów"!

Ciepliśmy się:

Przykład 2.

Znajdź funkcje. Umieść kolejność pochodną

Rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Po ożywiającym treningu uważamy bardziej złożone przykłady, w których opracujemy powyższy algorytm rozwiązania. Ci, którzy udało się zapoznać się z lekcją Limit sekwencji.będzie nieco łatwiej:

Przykład 3.

Znajdź funkcję.

Decyzja: Wyjaśnienie sytuacji znajdzie kilka pochodnych:

Otrzymane liczby mnożą się w pośpiechu! ;-)


Być może wystarczy. ... nawet przeniósł się trochę.

W następnym kroku najlepiej jest utworzyć pochodną formuły "Anna" (Od czasu wkrótce warunek tego nie wymaga, możesz zrobić Chernivik). W tym celu patrzymy na wyniki i ujawniamy wzorce, które otrzymuje się każda następna pochodna.

Po pierwsze, są alternatywne. Wyrównanie zapewnia "Błyskowy"A ponieważ pierwsza pochodna jest pozytywna, następujący mnożnik wejdzie do ogólnego wzoru: . Jest odpowiedni i równoważny opcji, ale osobiście, jako optymisty, kochaj znak "Plus" \u003d)

Po drugie, w liczniku "Nawijanie" factorialA on "opóźnia się za" z liczby pochodnej na jednostkę:

Po trzecie, stopień "dwóch" rośnie w liczniku, który jest równy liczbie pochodnej. To samo można powiedzieć o stopniu mianowniku. Wreszcie:

W celach testowych zastąpimy kilka wartości "EN", na przykład i:

Cudowne, teraz zezwalaj na błąd - tylko grzech:

Odpowiedź:

Bardziej prosta funkcja dla rozwiązań samodzielnych:

Przykład 4.

Znajdź funkcje.

A zadanie rośnie:

Przykład 5.

Znajdź funkcje.

Po raz kolejny powtarzamy procedurę:

1) Najpierw znajdziemy kilka pochodnych. Aby złapać wzory zwykle chwyta trzy lub cztery.

2) Następnie zdecydowanie zalecamy tworzenie (przynajmniej na projekcie) Pochodna "Anna" - zagwarantowane będzie zaoszczędzić błędy. Ale możesz zrobić bez, tj. Aby oszacować psychicznie i natychmiast spalić, na przykład dwudziestą lub ósmą pochodną. Co więcej, niektórzy ludzie są na ogromnym, aby rozwiązywać zadania określane ustnie. Należy jednak pamiętać, że "szybkie" metody są obarczone, a lepiej jest być powstrzymywane.

3) Na końcowym etapie wykonaj inspekcję pochodnej "Enno" - weź kilka wartości "EN" (lepiej sąsiedni) i wykonać substytucję. A nawet bardziej niezawodny - sprawdź wszystkie wcześniej znalezione pochodne. Następnie zastępujemy w żądanej wartości, na przykład lub starannie posiadając wynik.

Podsumowanie 4 i 5 przykładów na końcu lekcji.

W niektórych zadaniach, aby uniknąć problemów, musisz usiąść przez funkcję:

Przykład 6.

Decyzja: Rozróżnia proponowaną funkcję, wcale nie chce, ponieważ okazuje się "złe" frakcję, która znacznie znajdą następujące instrumenty pochodne.

W związku z tym wskazane jest wykonywanie wstępnych transformacji: użyj formuła różnicy kwadratowej i logarytm nieruchomości :

Inne rzeczy:

I stare dziewczyny:

Myślę, że wszystko jest widoczne. Należy pamiętać, że druga frakcja jest naprzemienna, a 1st - nie. Skonstruuj polecenie pochodnej:

Kontrola:

Cóż, dla piękna przyniosę czynnik do nawiasów:

Odpowiedź:

Ciekawe zadanie dla samotnych rozwiązań:

Przykład 7.

Napisz procedurę zlecenia pochodnego dla funkcji

A teraz o niezachwianym porządku okrężnym, co nawet włoska mafia zazdrości:

Przykład 8.

Funkcja Dany. Znaleźć

Osiemna pochodna w punkcie. Właśnie.

Decyzja: Najpierw, najwyraźniej musisz znaleźć. Udać się:

Sinus zaczął zatokować i przyszedł. Jest oczywiste, że z dalszym różnicowaniem cykl ten będzie kontynuowany w nieskończoność, a poniższe pytanie pojawi się: jak najlepiej "uzyskać" do osiemnastej pochodnej?

Metoda "Amatorka": Szybko nagrywanie prawa w liczbie kolejnych pochodnych:

W ten sposób:

Ale działa, jeśli kolejność pochodnej nie jest zbyt duża. Jeśli chcesz znaleźć, powiedz, stu pochodna, powinieneś użyć podziału o 4. Sto dzieli się na 4 bez pozostałości i łatwo jest zobaczyć, że takie numery znajdują się w dolnej linii, więc :.

Nawiasem mówiąc, 18. pochodna może być również określona z podobnych rozważań:
W drugiej linii znajdują się liczby podzielone przez 4 z pozostałością 2.

Kolejna, bardziej akademicka metoda opiera się na częstotliwość zatok i formuły odlewu. Używamy gotowego formuły "Enna" pochodnej sinus W którym żądana liczba jest po prostu podstawiona. Na przykład:
(formuła odlewu ) ;
(formuła odlewu )

W naszym przypadku:

(1) Ponieważ zatok jest okresową funkcją z okresem, a następnie argument może być bezboleśnie "odkręcić" 4 okresy (tj.

Pochodna zamówienia z pracy dwóch funkcji można znaleźć według wzoru:

W szczególności:

Specjalnie nic nie pamiętam, ponieważ więcej formuł, które znasz - tym mniej rozumiesz. Jest o wiele przydatny do zapoznania się binom Newton.Ponieważ formuła Leibnia jest bardzo podobna do niego. Cóż, ci ludzie, którzy otrzymają pochodną z zamówień 7 lub wyższych (Co jednak mało prawdopodobne)zostanie zmuszony do tego zrobić. Jednak kiedy cherode dotrą kombinatoryka - Nadal będzie miała \u003d)

Znajdź trzecią funkcję pochodną. Używamy formuły Leibnitsa:

W tym przypadku: . Pochodne są łatwe do przesadzenia:

Teraz starannie i starannie przeprowadzaj podstawienie i uprościć wynik:

Odpowiedź:

Podobne zadanie dla samotnych rozwiązań:

Przykład 11.

Znajdź funkcje

Jeśli w poprzednim przykładzie decyzja "w czole" konkurowała nawet o wzorze Leibnitsa, będzie to naprawdę nieprzyjemne tutaj. A jeszcze bardziej nieprzyjemne - w przypadku pochodnej wyższego rzędu:

Przykład 12.

Znajdź pochodną określonej kolejności

Decyzja: Pierwsza i niezbędna uwaga - zdecydować to, prawdopodobnie nie jest potrzebne \u003d) \u003d)

Piszemy funkcje i znajdziemy ich pochodne do 5 rzędu włącznie. Zakładam, że pochodne prawej kolumny stały się dla ciebie ustne:

W lewej kolumnie "żyjące" pochodne szybko "zakończyły się" i jest bardzo dobra - w formule, Leibnia jest przesiedlona przez trzy terminy:

Zatrzymam się ponownie na dylemat, który pojawił się w artykule złożone pochodne: Uprość wynik? Zasadniczo możesz wyjść, a więc - nauczyciel będzie jeszcze łatwiej sprawdzić. Ale może potrzebować decyzji o uwadze. Z drugiej strony uproszczenie z własnej inicjatywy jest obarczona błędami algebraicznymi. Jednak mamy odpowiedź uzyskaną przez "prymitywną" metodę \u003d) (patrz odniesienie na początku)Mam nadzieję, że jest poprawny:

Świetnie, wszystko wyszło.

Odpowiedź:

Szczęśliwe zadanie dla samotnych rozwiązań:

Przykład 13.

Dla funkcji:
a) Znajdź różnicowanie bezpośrednie;
b) Znajdź formułę LABITSA;
c) obliczyć.

Nie, nie jestem sadysta - przedmiot "A" jest całkiem prosty \u003d)

A jeśli poważnie, "bezpośrednie" rozwiązanie spójnego zróżnicowania ma również "prawo do życia" - w niektórych przypadkach jego złożoność jest porównywalna z złożonością stosowania wzoru Labendy. Użyj, jeśli uważasz za właściwe - jest mało prawdopodobne, aby była podstawa do wadliwych zadań.

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Podnieść ostateczny akapit, musisz być w stanie różnicuj ukryte funkcje:

Pochodne wyższych zamówień z funkcji zdefiniowanych domyślnie

Wielu z nas spędziło długie godziny, dni i tygodnie życia do nauki kółka, parabol., hiperbol - a czasami wydawało się to kara. Więc pomścijmy i pasujmy do nich w następujący sposób!

Zacznijmy w niej od "szkoły" paraboli pozycja kanoniczna:

Przykład 14.

Równanie jest podane. Znaleźć .

Decyzja: Pierwszy krok jest dobrze zapoznany:

Fakt, że funkcja i jej pochodna są niejawne ukryte, że istotą sprawy nie zmienia się, druga pochodna jest pochodną pierwszej pochodnej:

Istnieją jednak ich zasady gry: instrumenty pochodne 2 i wyższych zamówień są akceptowane do wyrażania tylko za pomocą "x" i "igarek". W związku z tym, w wyniku uzyskanej 2-pochodnej substytucji:

Trzecia pochodna pochodzi z drugiej pochodnej:

Podobnie, zastąpimy:

Odpowiedź:

"Szkoła" hiperbolia w pozycja kanoniczna - Dla niezależnej pracy:

Przykład 15.

Równanie jest podane. Znaleźć .

Powtarzam, że druga pochodna i wynik należy wyrażać tylko przez "X" / "Ikrar"!

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Po dzielnicach dzieci będziemy spojrzeć na niemiecki Subpartrix @ Fiu rozważmy więcej przykładów dorosłych, z których uczymy się innej ważnej techniki rozwiązań:

Przykład 16.

Elipsa samego siebie.

Decyzja: Znajdź pierwszą pochodną:

A teraz zatrzymamy się i analizujemy następną chwilę: frakcja ma być zróżnicowana, że \u200b\u200bw ogóle nie jest zadowolony. W tym przypadku oczywiście jest oczywiście proste, ale w rzeczywistych zadaniach takich prezentów dwa razy i odwróciły się. Czy istnieje sposób, aby uniknąć znalezienia nieporęcznej pochodnej? Istnieje! Podejmujemy równanie i korzystamy z tego samego odbioru, w którym znajdę pierwszą pochodną - uderzenia "Hang" na obu częściach:

Druga pochodna musi być wyrażona tylko przez i, więc teraz (teraz) Jest to wygodne, aby pozbyć się pierwszej pochodnej. Aby to zrobić, zastępujemy wynikające z tego równanie:

Aby uniknąć niepotrzebnych trudności technicznych, pomnóż obie części na:

I tylko na ostatnim etapie udekorowaliśmy frakcję:

Teraz patrzymy na początkowe równanie i zauważamy, że uzyskany wynik jest uproszczony:

Odpowiedź:

Jak znaleźć wartość drugiej pochodnej w dowolnym punkcie (który jest jasny, należy do elipsy), na przykład w punkcie ? Bardzo łatwe! Ten motyw już spotkał się na lekcji równanie normalne: W wyrażaniu drugiej pochodnej musisz zastąpić :

Oczywiście we wszystkich trzech przypadkach możliwe jest uzyskanie wyraźnie określonych funkcji i różnicowanie ich, ale następnie moralnie dostrojenie do pracy z dwiema funkcjami zawierającymi korzenie. Moim zdaniem rozwiązanie jest wygodniejsze do prowadzenia "wewnętrznego sposobu".

Końcowy przykład na roztwory:

Przykład 17.

Znajdź domyślnie określoną funkcję

Formuła Leiberna jest podana do obliczania pochodnej N-T Dwóch funkcji. Dostaje jego dowód na dwa sposoby. Rozważany jest przykład obliczania pochodnej N-rzędu.

Zawartość

Zobacz też: Porady pochodne dwóch funkcji

Formuła Leibniza.

Korzystając z formuły laboratoryjnej, możesz obliczyć pochodną NTH z produktu z dwóch funkcji. Posiada następujący formularz:
(1) ,
Gdzie
- współczynniki binomianów.

Współczynniki dwumianowe są współczynnikami rozkładu binoma w stopniach i:
.
Numer jest również liczbą kombinacji z N przez k.

Dowód formuły Leibniz

Stosujemy formułę do pochodnej pracy dwóch funkcji:
(2) .
Przepisujemy formułę (2) w następującym formularzu:
.
Oznacza to, że uważamy, że jedna funkcja zależy od zmiennej X, a drugą - z zmiennej Y. Pod koniec obliczenia zakładamy. Następnie poprzednia formuła może być napisana jako:
(3) .
Ponieważ pochodna jest równa ilościowi członków, a każdy członek jest produktem dwóch funkcji, a następnie obliczenie pochodnych najwyższych kolejności, mogą być konsekwentnie stosowane do reguły (3).

Następnie dla pochodnej N-rzędu mamy:

.
Biorąc pod uwagę, że mamy formułę Leibnitsa:
(1) .

Dowód przez indukcję

Przedstawiamy dowód formuły Leibera metodą indukcji matematycznej.

Po raz kolejny odpychaj formułę Leibnitsa:
(4) .
Dla n \u003d 1 mamy:
.
Jest to formuła produktu pochodnego dwóch funkcji. Ona jest uczciwa.

Załóżmy, że formuła (4) jest ważna dla pochodnej N-Order. Udowodni, że jest ważny dla pochodnej N + 1 - Zamówienie.

Różnice (4):
;



.
Więc znaleźliśmy:
(5) .

Substytut (5) i rozważ ::

.
Widać, że formuła (4) ma ten sam wygląd dla pochodnej N + 1 - Zamówienie.

Więc formuła (4) jest ważna dla n \u003d 1 . Z założenia, że \u200b\u200bjest wykonany, dla niektórych n \u003d m wynika z tego, że jest wykonywany dla n \u003d m + 1 .
Udowodniono formuły Leibnitsa.

Przykład

Oblicz funkcję pochodną N-T
.

Zastosuj formułę Leibnica.
(2) .
W naszym przypadku
;
.

Na tabeli pochodne mamy:
.
Zastosuj właściwości funkcji trygonometrycznych:
.
Następnie
.
Można zauważyć, że zróżnicowanie funkcji SINE prowadzi do zmiany. Następnie
.

Znajdujemy pochodne z funkcji.
;
;
;
, .

Ponieważ w formule Leiber jest inny niż zero tylko pierwszych trzech członków. Znalezimy współczynniki binomianów.
;
.

Przy formułę, Leibnia ma:

.

Zobacz też:

Tekst pracy jest umieszczony bez obrazów i formuł.
Pełna wersja pracy jest dostępna w zakładce "Pliki robocze" w formacie PDF

"Dla mnie też Binin Newton!»

z powieści "Master i Margarita"

"Trójkąt Pascala jest tak proste, że nawet dziesięcioletnie dziecko może to napisać. Jednocześnie płaci niewyczerpane skarby i wiąże różne aspekty matematyki, które nie mają nic wspólnego na pierwszy rzut oka. Takie niezwykłe właściwości umożliwiają rozważenie trójkąta Pascala jednego z najbardziej eleganckich schematów w całej matematyce "

Martin Gardner.

Cel pracy: Podsumować formułę skróconego mnożenia, pokaż ich zastosowanie do rozwiązywania problemów.

Zadania:

1) do eksploracji i systematyzacji informacji na ten temat;

2) Zdemontuj przykłady zadań do stosowania binoma Newtona i formuł ilości i różnicy stopni.

Obiekty badawcze: Binin Newton, formuła ilości i różnicy stopni.

Metody badawcze:

Pracuj z literaturą edukacyjną i popularną, zasoby internetowe.

Obliczenia, porównanie, analiza, analogia.

Stosowność.Osoba często musi poradzić sobie z zadaniami, w których musisz obliczyć liczbę wszystkich możliwych sposobów lokalizacji niektórych przedmiotów lub liczby wszystkich możliwych metod wdrażania niektórych działań. Różne ścieżki lub opcje, które musisz wybrać osobę, są złożone w szeroką gamę kombinacji. I cała część matematyki, zwana kombinatoryką, jest zaangażowana w poszukiwanie odpowiedzi na pytania: Ile kombinacji jest w jednym lub innym.

Kombinatory mają do czynienia z wieloma specjalnościami: chemii naukowca, biolog, konstruktor, dyspozytora itp. Wzmocnienie zainteresowania kombinatoryki jest niedawno spowodowany przez szybki rozwój cybernetyki i sprzętu komputerowego.

Wprowadzenie

Kiedy chcą podkreślić, że rozmowy wyolbrzymia złożoność zadań, z którymi napotkał, mówią: "Dla mnie, Binin Newton!" Powiedz, tutaj Bin Nudon, jest trudny, a jakie masz problemy! Nawet ci ludzie, których zainteresowania nie są związane z matematyką, słyszano o biiniema Newtona.

Słowo "bin" oznacza biccoon, tj. Suma dwóch warunków. Z roku szkolnego znane są tak zwane formuły skróconego mnożenia:

( ale + b) 2 \u003d A. 2 + 2Ab + b 2 , (A + b) 3 \u003d A. 3 + 3a. 2 b + 3Ab. 2 + B. 3 .

Uogólnienie tych formuł jest formułą zwaną włókienką Newtona. Używany w rozkładzie szkolnych i formułowych na temat mnożników różnic kwadratowych, ilości i różnic kostek. Czy mają uogólnienie dla innych stopni? Tak, są takie wzory, są one często używane w rozwiązywaniu różnych zadań: na temat dowodów podzielności, zmniejszenie frakcji, przybliżone obliczenia.

Badaniem wzorów uogólniających jest rozwijanie dedukcyjno-matematyczne myślenia i ogólne umiejętności myślenia.

Sekcja 1. Formuła binoma Newtona

Kombinacje i ich właściwości

Niech x będzie zestawem składającym się z elementów n. Każdy podzbiór Y z zestawu X, zawierający elem elementy K, nazywana jest kombinacją elementów K z N, podczas gdy, k ≤ n.

Liczba różnych kombinacji elementów K z N jest oznaczona przez n K. Jednym z najważniejszych formuł dla kombinatorii jest następującą formułę liczby z n k:

Może być rejestrowany po oczywistych skurczach w następujący sposób:

W szczególności,

Jest to dość zgodne z faktem, że w zestawie X znajduje się tylko jeden podzbiór 0 elementów - pusty podzbiór.

Numery C n K mają wiele wspaniałych właściwości.

Formuła jest ważna z N K \u003d z N - K N, (3)

Znaczenie wzoru (3) jest to, że istnieje wzajemnie jednoznaczna korespondencja pomiędzy wielością wszystkich podzbiorów k-membranowych z X i zestawu wszystkich (N - K) -dded podzbiorów z X: W celu ustalenia tej korespondencji, jest wystarczający do każdego podzbioru K-członoży Y Dopasuj jego dodatek w zestawie X.

Formuła C 0 N + C1 N + C2 N + ... + z N N \u003d 2 N (4)

Kwota, która stoi w lewej stronie wyraża liczbę wszystkich podzbiorów zestawu X (C 0 N jest liczbą podzbiorów 0-członków, C1 N jest liczbą pojedynczych podzbiorów itp.).

Z dowolnym K, 1≤ K≤ N, równość jest sprawiedliwa

C K N \u003d C N -1 K + C N -1 K-1 (5)

Ta równość jest łatwa do uzyskania za pomocą formuły (1). W rzeczy samej,

1.2. Wyjście Formuły binoma Newton

Rozważ stopnie odbicia A +.b. .

n \u003d 0, (A +b. ) 0 = 1

n \u003d 1, (A +b. ) 1 \u003d 1A + 1b.

n \u003d 2,(A +.b. ) 2 \u003d 1a. 2 + 2a.b. +1 b. 2

n \u003d 3,(A +.b. ) 3 \u003d 1 A. 3 + 3a. 2 b. + 3a.b. 2 +1 b. 3

n \u003d 4,(A +.b. ) 4 \u003d 1a. 4 + 4a. 3 b. + 6a. 2 b. 2 + 4a.b. 3 +1 b. 4

n \u003d 5,(A +.b. ) 5 = 1a. 5 + 5a. 4 b. + 10a. 3 b. 2 + 10a. 2 b. 3 + 5a.b. 4 + 1 b. 5

Zwróć uwagę na następujące monomerity:

Liczba członków uzyskanej wielomianu na jednostkę jest większa niż wskaźnik stopnia binoma;

Wskaźnik stopnia pierwszego terminu zmniejsza się z N do 0, wskaźnik stopnia drugiego terminu wzrasta od 0 do N;

Stopnie wszystkich pojedynczych paneli są równe stopniu odbity w warunkach;

Każdy pojedynczy skrzydło jest produktem pierwszej i drugiej ekspresji w różnych stopniach i pewnej liczbie - współczynnik binominowy;

Współczynniki binominalne równe początku i końcu rozkładu są równe.

Uogólnienie tych formuł jest następującą formułą o nazwie Formuły binominy Newtona:

(zA. + b. ) n. = DO. 0 n. zA. n. b. 0 + DO. 1 n. zA. n. -1 b. + DO. 2 n. zA. n. -2 b. 2 + ... + DO. n. -1 n. ab n. -1 + DO. n. n. zA. 0 b. n. . (6)

W tym wzorze. n. Może każdy numer naturalny.

Czujemy o wzorze (6). Przede wszystkim piszemy:

(zA. + b. ) n. = (zA. + b. )(zA. + b. ) ... (zA. + b. ), (7)

gdzie liczba wsporników zmiennych jest równa n.. Z zwykłej zasady mnożenia kwoty w kwocie oznacza, że \u200b\u200bwyrażenie (7) jest równe sumie wszelkiego rodzaju prac, które mogą być następujące: każdy pierwszy podsumowanie a + B. pomnożone przez każdą drugą sumę a + B., trzecia suma kogokolwiek itp.

Z tego, co jasne jest, że termin wyrażający (zA. + b. ) n. odpowiada (wzajemnie jednoznaczne) struny N, składające się z liter a i b. Wśród składników spełnią takich członków; Oczywiście, takich członków odpowiadają strumieniom zawierającym tę samą liczbę liter. ale. Ale liczba linii zawierających dokładnie k razy list aleRównie z n k. Oznacza to, że suma wszystkich członków zawierających literę i mnożnik jest dokładnie k razy, równa n k zA. n. - k. b. k. . Ponieważ K może przyjmować wartości 0, 1, 2, ..., N - 1, N, a następnie Formuła (6) wynika z naszego argumentu. Należy pamiętać, że (6) Możesz nagrywać krótszy: (8)

Chociaż formuła (6) nazywa się nazwą Newtona, w rzeczywistości została ujawniona przed Newtonem (na przykład Pascal It It). Zasługą Newton jest to, że znalazł uogólnienie tej formuły w przypadku nie całych wskaźników. To jest I.NYuton w 1664-1665. Przyniósł formułę, która wyraża skręcone na dowolne wskaźniki ułamkowe i negatywne.

Numery C 0 N, C1 N, ..., C N N, które są zawarte we wzorze (6), nazywane są współczynnikami binomianowymi, które są określane w następujący sposób:

Z formuły (6) można uzyskać wiele właściwości tych współczynników. Na przykład wierzył ale \u003d 1, b \u003d 1, otrzymujemy:

2 N \u003d C 0 N + C1 N + C2 N + C3 N + ... + C n N,

te. Formuła (4). Jeśli umieszcza się ale \u003d 1, b \u003d -1, to będziemy mieć:

0 \u003d C 0 N - C1 N + C2 N - C3 N + ... + (-1) N C N N

lub z 0 N + C2 N + C4 N + ... \u003d C1 N + C3 N + + C5 N + ....

Oznacza to, że suma współczynników członków aktywnych rozkładu jest równa sumie współczynników członków dziwnych rozkładu; Każdy z nich jest 2 N-1.

Współczynniki członków równoznaczne z końców rozkładu są równe. Właściwości te wynika z relacji: z n k \u003d z n n - k

Ciekawy prywatny przypadek

(x + 1) n \u003d C 0 n x N + C1 N x N-1 + ... + C K N x N - K + ... + C N N X 0

lub w krótkim (x +1) n \u003d σc n k x n - k.

1.3. Twierdzenie poliodomieniowe.

Twierdzenie.

Dowód.

Tak więc po ujawnieniu, wsporniki okazały się odwołane, musisz wybrać te wsporniki, z których jest podejmowane, te wsporniki, z których są brane itp. I te wsporniki z których są pobierane. Współczynnik w tym samym czasie, po wprowadzeniu takich członków jest równy liczbie sposobów, w jaki można wdrożyć taki wybór. Pierwszym etapem sekwencji wyborczej można przeprowadzić metodami, drugi krok - trzeci - itd., -Y krok na przeszkodzie. Pożądany współczynnik jest równy pracy

Sekcja 2. pochodne wyższych zamówień.

Pojęcie pochodnych wyższych zamówień.

Pozwól funkcji odróżnić w pewnym przedziale. Wtedy jego pochodna, ogólnie rzecz biorąc, zależy od h.to znaczy jest funkcja h.. W związku z tym, w związku z tym, możliwe jest podniesienie kwestii istnienia pochodnej.

Definicja . Wezwana jest pochodna pierwszej pochodnej pochodna drugiego rzutu lub druga pochodna i jest wskazana przez symbol lub, czyli,

Definicja . Pochodna drugiej pochodnej nazywana jest pochodna trzeciego rzędu lub trzecią pochodną i jest wskazywana przez symbol lub.

Definicja . Pochodnan. zamówieniefunkcje zwany pierwszą pochodną pochodnej (n. -1) Zamówienie tej funkcji i jest wskazywany przez symbol lub:

Definicja . Pochodne zamówienia powyżej pierwszych są nazywane najwyższe pochodne.

Komentarz. Podobnie możesz uzyskać formułę n. Funkcja pochodna:

Drugą pochodną funkcji określonej parametrycznie

Jeśli funkcja jest ustawiona przez równania parametryczne, konieczne jest wykorzystanie wyrażenia pierwszej pochodnej do znalezienia pochodnej drugiego rzędu, jako złożona funkcja zmiennej niezależnej.

Od tego czasu

i biorąc pod uwagę fakt, że

Dostajemy to.

Podobnie możesz znaleźć trzecią pochodną.

Suma różnicowa, działa i prywatnie.

Ponieważ różnicowy otrzymuje się z niezależnej pochodnej mnożenia zmiennej, znając, znając pochodne głównych funkcji podstawowych, a także zasady znalezienia pochodnych, można dojść do tych samych zasad dla znalezienia różnic.

1 0 . Stała różnicowa wynosi zero.

2 0 . Różnicę algebraicznej ilości skończonej liczby różniczkowych funkcji jest równa algebraicznej ilości różnicowych tych funkcji .

3 0 . Różnica prac dwóch różniczkowych funkcji jest równa ilościowi prac pierwszej funkcji do różnicy drugiej i drugiej funkcji na różnicy pierwszej .

Następstwo. Stały mnożnik można wyjąć z znaku różnicowego.

2.3. Funkcje określone parametrycznie, ich różnicowanie.

Definicja . Funkcja nazywana jest danym parametrycznym, jeśli oba zmienne h. i eS są zdefiniowane pojedynczo jako jednoznaczne funkcje z tej samej zmiennej pomocniczej - parametrt. :

gdziet. waha się.

Komentarz . Prezentujemy parametryczne koło i równania elipsy.

a) Okodząca centrum na początku współrzędnych i promienia r. Ma równania parametryczne:

b) Piszemy równania parametryczne dla elipsy:

Wykluczając parametr t. Od parametrycznych równań rozważanych linii, możliwe jest dojście do ich równań kanonicznych.

Twierdzenie . Jeśli funkcja u z argumentu x podaje się przez równania parametryczne, gdzie i różniczkowet. Funkcje i, to.

2.4. Formuła Leibniza.

Znaleźć pochodną n. -Oh zamówienie z pracy dwóch funkcji jest dużą praktyczną wartością formuły LABITSA.

Zostawiać u. i v. - Niektóre funkcje z zmiennej h.posiadanie pochodnych jakiejkolwiek kolejności i y. = uV. . Wyrazić n. Pochodne poprzez funkcje pochodne u. i v. .

Mamy sekwencyjne

Łatwo jest zauważyć analogię między wyrażeniami dla drugiego i trzeciego pochodnego i rozkładu binoma Newtona, w drugim i trzecim stopniu, ale zamiast wskaźników stopnia kosztują numer, który określa procedurę do pochodnej, I same funkcje można uznać za "pochodne zero-rzędu". Biorąc pod uwagę, otrzymujemy formułę Leibnitsa:

Formuła ta może być udowodniona przez indukcję matematyczną.

Sekcja 3. Zastosowanie formuły laboridowej.

Aby obliczyć pochodną dowolnej kolejności z produktu dwóch funkcji, omijając sekwencyjne zastosowanie formuły do \u200b\u200bobliczania pochodnej z produktu dwóch funkcji, ma zastosowanie formuła Leibniza..

Korzystając z tej formuły, należy rozważyć przykłady obliczania pochodnej zamówienia N-th z produktu dwóch funkcji.

Przykład 1.

Znajdź funkcję pochodnej drugiego rzędu

Zgodnie z definicją druga pochodna jest pierwszą pochodną pierwszej pochodnej, która jest

Dlatego najpierw znajdziemy pochodną pierwszego rzędu z danej funkcji zgodnie z zasady różnicowania i używanie pochodne stołowe:

Teraz znajdziemy pochodną pochodną pierwszego rzędu. Będzie to pożądane pochodne drugiego rzędu:

Odpowiedź:

Przykład 2.

Znajdź pochodną kolejności funkcji

Decyzja.

Konsekwentnie znajdziemy pochodne pierwszego, drugiego, trzeciego, a więc na kolejność określonej funkcji w celu ustalenia wzoru, które mogą być uogólnione przez pochodną.

Pochodne pierwszego rzędu Znajdź jak prywatna pochodna:

Tutaj wyrażenie nazywa się numerem czynnikiem. Właściwość liczby jest równa produktowi liczb od jednego do, to jest

Pochodna drugiego rzędu jest pierwszą pochodną pierwszej pochodnej, która jest

Pochodna trzeciego rzędu:

Czwarta pochodna:

Zwróć uwagę na wzór: W liczniku znajduje się czynnik liczby, który jest równy kolejności pochodnej, aw mianowniku wyrażenie w zakresie na jednostkę jest większa niż kolejność pochodnej, która jest

Odpowiedź.

Przykład 3.

Znajdź wartość trzeciej funkcji pochodnej w punkcie.

Decyzja.

Według pochodne stołowe wyższych zamówieńMamy:

W rozważanym przykładzie, że dostajemy

Zauważ, że taki wynik można uzyskać za pomocą spójnego odkrycia instrumentów pochodnych.

W danym punkcie trzecia pochodna jest równa:

Odpowiedź:

Przykład 4.

Znajdź drugą funkcję pochodną

Decyzja. Aby rozpocząć, znajdziemy pierwszą pochodną:

Aby znaleźć drugą pochodną, \u200b\u200bwyrażenie pierwszej pochodnej po raz kolejny ma być obojętny:

Odpowiedź:

Przykład 5.

Znajdź, jeśli

Ponieważ określona funkcja jest produktem dwóch funkcji, a następnie znaleźć pochodną czwartego zamówienia, będzie wskazane zastosowanie formuły Leibniza:

Znajdujemy wszystkie pochodne i rozważmy współczynniki komponentami.

1) Rozważ współczynniki na warunkach:

2) Znajdziemy pochodne z funkcji:

3) Znajdujemy pochodne z funkcji:

Odpowiedź:

Przykład 6.

Dano funkcję Y \u003d x 2 COS3X. Znaleźć pochodną trzeciego rzędu.

Niech u \u003d cos3x, v \u003d x 2 . Następnie przez formułę Labitsa znajdujemy:

Pochodne w tym wyrażeniu mają formularz:

(COS3X) '\u003d - 3SIN3X,

(COS3X) '' \u003d (- 3SIN3X) '\u003d - 9COS3X,

(COS3X) '' '\u003d (- 9COS3X)' \u003d 27sin3x,

(x2) '\u003d 2x,

(x2) '' \u003d 2,

(x2) '' '\u003d 0.

W związku z tym trzecia pochodna określonej funkcji jest równa

1 ⋅ 27sin3x ⋅ x2 + 3 ⋅ (-9cos3x) ⋅ 2x + 3 ⋅ (-3sin3x) ⋅ 2 + 1 ⋅ cos3x ⋅ 0

27x2SIn3x-54XCOS3X-18SIn3x \u003d (27x2-18) SIN3X-54XCOS3X.

Przykład 7.

Znajdź pochodnąn. - Funkcja zamówieniay \u003d x 2 cosx.

Używamy formuły Leibnitsa, wierzącu \u003d cosx., v \u003d x. 2 . Następnie

Pozostali członkowie wiersza wynoszą zero(x2) (I) \u003d 0 w I\u003e 2.

N. pochodna -O Zamów Cosino Funkcja:

W związku z tym pochodna naszej funkcji jest równa

Wniosek

Studia szkolne i używać tak zwanych formuł skróconych mnożenia: kwadraty i kostki sumy oraz różnicy dwóch wyrażeń i wzoru rozkładu na mnożnikach różnicy kwadratowej, ilości i różnicy kostek dwóch wyrażeń. Uogólnienie tych formuł jest formułą zwaną Formułą binoma Newton i formułą rozkładu włączenia ilości i różnicy stopni. Formuły te są często stosowane w rozwiązywaniu różnych zadań: na temat dowodów podzielności, zmniejszenie frakcji, przybliżone obliczenia. Ciekawe właściwości trójkąta Pascalu, które są ściśle związane z Binom Newton.

Informacje na ten temat są systematyczne w pracy, przykłady zadań do stosowania binoma Newtona i podano wzory ilości i różnicy stopni. Praca może być stosowana w pracy okręgu matematycznego, a także do samodzielnego badania tych, którzy lubią matematykę.

Lista używanych źródeł

1.Vilenkin n.ya. Kombinatoryka. - ed. "Nauka". - M., 1969

2. Nikolsky S.m., Potapov M.k., Reshetnikov N.n., Shevkin A.v. Algebra i początek analizy matematycznej. Klasa 10: badania. Na edukację ogólną. Organizacje Podstawowe i dogłębne poziomy - M.: Oświecenie, 2014. - 431 p.

3. Odpady statystyki, kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa. 7-9 cl / autor - kompilator V.n. Student. - ed. 2nd, SN. - Volgograd: Nauczyciel, 2009

4.Savushkina I.a., Hugaev K.D., Tishkin S.B. Równania algebraiczne o wyższych stopniach / instrukcji metodologicznej dla słuchaczy działu przygotowawczego Interniversity. - Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.f. Kurs opcjonalny w matematyce: rozwiązywanie problemów. Samouczek na 10 cl. Liceum. - m.: Oświecenie, 1989.

6.Nauka i życie, Binin Newton i Trójkąt Pascal [Zasób elektroniczny]. - Tryb dostępu: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/