План

1. Понятие сплошной среды. Общие свойства жидкостей и газов. Идеальная и вязкая жидкость. Уравнение Бернулли. Ламинарное и турбулентное течение жидкостей. Формула Стокса. Формула Пуазейля.

2. Упругие напряжения. Энергия упруго деформированного тела.

Тезисы

1. Объем газа определяется объемом того сосуда, который газ занимает. В жидкостях в отличие от газов среднее расстояние между молекулами остается практически постоянным, поэтому жидкость обладает практически неизменным объемом. В механике с большой степенью точно­сти жидкости и газы рассматриваются как сплошные, непрерывно распределенные в занятой ими части пространства. Плот­ность жидкости мало зависит от давления. Плотность же газов от давления зависит существенно. Из опыта известно, что сжи­маемостью жидкости и газа во многих за­дачах можно пренебречь и пользоваться единым понятием несжимаемой жидкости, плотность которой всюду одинакова и не изменяется со временем. Идеаль­ная жидкость - физическая абстракция, т. е. воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения. Идеаль­ная жидкость - воображаемая жидкость, в которой от­сутствуют силы внутреннего трения. Ей противоречит вязкая жидкость. Физическая величина, определяемая нормальной силой, действующей со сторо­ны жидкости на единицу площади, назы­вается давлением р жидкости . Единица давления - паскаль (Па): 1 Па равен давлению, создаваемому си­лой 1 Н, равномерно распределенной по нормальной к ней поверхности площадью 1 м 2 (1 Па=1 Н/м 2). Давление при равновесии жидкостей (газов) подчиняется закону Паскаля: давление в любом месте покоящейся жид­кости одинаково по всем направлениям, причем давление одинаково передается по всему объему, занятому покоящейся жид­костью.

Давление изменяется линейно с высо­той. Давление Р=rgh называется гидростати­ческим. Сила давле­ния на нижние слои жидкости боль­ше, чем на верхние, поэтому на тело, по­груженное в жидкость, действует выталки­вающая сила, определяемая законом Архимеда: на тело, погруженное в жид­кость (газ), действует со стороны этой жидкости направленная вверх выталкива­ющая сила, равная весу вытесненной те­лом жидкости (газа) , где r - плотность жидкости, V - объем погруженного в жидкость тела.

Движение жидкостей называется течени­ем, а совокупность частиц движущейся жидкости - потоком. Графически движе­ние жидкостей изображается с помощью линий тока, которые проводятся так, что касательные к ним совпадают по направ­лению с вектором скорости жидкости в со­ответствующих точках пространства (рис. 45). По картине линий тока можно су­дить о направлении и модуле скорости в разных точках пространства, т. е. можно определить состояние движения жидкости. Часть жидкости, ограниченную линия­ми тока, называют трубкой тока. Течение жидкости называется установившимся (или стационарным), если форма и распо­ложение линий тока, а также значения скоростей в каждой ее точке со временем не изменяются.

Рассмотрим какую-либо трубку тока. Выберем два ее сечения S 1 и S 2 , перпенди­кулярные направлению скорости (рис. 46). Ес­ли жидкость несжимаема (r=const), то через сечение S 2 пройдет за 1 с такой же объем жидкости, как и через сечение S 1 , т. е. Произведение скоро­сти течения несжимаемой жидкости на поперечное сечение трубки тока есть ве­личина постоянная для данной трубки то­ка. Соотношение называется урав­нением неразрывности для несжимаемой жидкости. - уравне­ние Бернулли - выражение закона сохранения энергии применительно к уста­новившемуся течению идеальной жидко­сти (здесь р - статическое давление (давление жидкости на поверхность обтекаемого ею тела), величина - динамическое давление, - гидростатическое давление). Для горизонтальной трубки тока уравнение Бернулли записывается в виде , где левая часть называется полным давлением. - форму­ла Торричелли

Вязкость - это свой­ство реальных жидкостей оказывать со­противление перемещению одной части жидкости относительно другой. При пере­мещении одних слоев реальной жидкости относительно других возникают силы внутреннего трения, направленные по ка­сательной к поверхности слоев. Сила внутреннего трения F тем боль­ше, чем больше рассматриваемая площадь поверхности слоя S, и зависит от того, насколько быстро меняется скорость течения жидкости при переходе от слоя к слою. Величина Dv/Dx показывает, как быстро меняется скорость при перехо­де от слоя к слою в направлении х, пер­пендикулярном направлению движения слоев, и называется градиентом скорости. Таким образом, модуль силы внутреннего трения равен , где коэффициент пропорциональности h, зависящий от природы жидкости, называ­ется динамической вязкостью (или просто вязкостью). Единица вязкости - паскаль секунда (Па с) (1 Па с=1 Н с/м 2). Чем больше вязкость, тем сильнее жидкость отличается от идеальной, тем большие силы внутреннего трения в ней возникают. Вязкость зависит от темпера­туры, причем характер этой зависимости для жидкостей и газов различен (для жидкостей с увеличением температуры уменьшается, у газов, наоборот, увеличи­вается), что указывает на различие в них механизмов внутреннего трения. Особенно сильно от температуры зависит вязкость масел. Методы определения вязкости:

1) формула Стокса ; 2) формула Пуазейля

2. Деформация называется упругой, если после прекращения действия внешних сил тело принимает первоначальные размеры и форму. Деформации, которые сохраняются в теле после прекращения действия внешних сил, называются пластическими. Сила, действующая на единицу пло­щади поперечного сечения, называется на­пряжением и измеряется в паскалях. Количественной мерой, характеризую­щей степень деформации, испытываемой телом, является его относительная дефор­мация. Относительное изменение дли­ны стержня (продольная деформация) , относительное поперечное растяжение (сжатие) , где d -- диаметр стержня. Деформации e и e" всегда имеют раз­ные знаки , где m - положительный коэффициент, за­висящий от свойств материала, называе­мый коэффициентом Пуассона.

Роберт Гук экспериментально установил, что для малых деформаций относительное уд­линение e и напряжение s прямо про­порциональны друг другу: , где коэффициент пропорциональности Е называется модулем Юнга.

Модуль Юнга определяется напряжением, вызывающим относительное удлинение, равное единице . Тогда закон Гука можно записать так , где k - коэффициент упругости: удлинение стержня при упругой деформации пропорционально действующей на стержень силе. Потенциальная энергия упруго растянутого (сжатого) стержня Деформации твердых тел подчиняются закону Гука только для упругих деформаций. Связь между деформацией и напряжением пред­ставляется в виде диаграммы напряже­ний (рис. 35). Из рисунка видно, что линейная зависимость s (e), установленная Гуком, выполняется лишь в очень узких пределах до так на­зываемого предела пропорциональности (s п). При дальнейшем увеличении напря­жения деформация еще упругая (хотя за­висимость s (e) уже не линейна) и до пре­дела упругости (s у) остаточные деформа­ции не возникают. За пределом упругости в теле возникают остаточные деформации и график, описывающий возвращение тела в первоначальное состояние после прекра­щения действия силы, изобразится не кри­вой ВО, а параллельной ей - CF. Напря­жение, при котором появляется заметная остаточная деформация (~=0,2 %), назы­вается пределом текучести (s т) - точка С на кривой. В области CD деформация возрастает без увеличения напряжения, т. е. тело как бы «течет». Эта область называется областью текучести (или об­ластью пластических деформаций). Мате­риалы, для которых область текучести значительна, называются вязкими, для ко­торых же она практически отсутствует - хрупкими. При дальнейшем растяжении (за точку D) происходит разрушение тела. Максимальное напряжение, возникающее в теле до разрушения, называется преде­лом прочности (s p).

7.1. Общие свойства жидкостей и газов. Кинематическое описание движения жидкости. Векторные поля. Поток и циркуляция векторного поля. Стационарное течение идеальной жидкости. Линии и трубки тока. Уравнения движения и равновесия жидкости. Уравнение неразрывности для несжимаемой жидкости

Механика сплошных сред – это раздел механики, посвященный изучению движения и равновесия газов, жидкостей, плазмы и деформируемых твердых тел. Основное допущение механики сплошных сред состоит в том, что вещество можно рассматривать как непрерывную сплошную среду, пренебрегая его молекулярным (атомным) строением, и одновременно считать непрерывным распределение в среде всех ее характеристик (плотности, напряжений, скоростей частиц).

Жидкость – это вещество в конденсированном состоянии, промежуточном между твердым и газообразным. Область существования жидкости ограничена со стороны низких температур фазовым переходом в твердое состояние (кристаллизация), а со стороны высоких температур – в газообразное (испарение). При изучении свойств сплошной среды сама среда представляется состоящей из частиц, размеры которых много больше размеров молекул. Таким образом, каждая частица включает в себя огромное количество молекул.

Чтобы описать движение жидкости, можно задать положение каждой частицы жидкости как функцию времени. Такой способ описания разрабатывался Лагранжем. Но можно следить не за частицами жидкости, а за отдельными точками пространства, и отмечать скорость, с которой проходят через каждую точку отдельные частицы жидкости. Второй способ называется методом Эйлера.

Состояние движения жидкости можно определить, указав для каждой точки пространства вектор скорости как функцию времени.

Совокупность векторов ,заданных для всех точек пространства, образует поле вектора скорости, которое можно изобразить следующим образом. Проведем в движущейся жидкости линии так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпала по направлению с вектором(рис.7.1). Эти линии называются линиями тока. Условимся проводить линии тока так, чтобы их густота (отношение числа линий
к величине перпендикулярной к ним площадки
, через которую они проходят) была пропорциональна величине скорости в данном месте. Тогда по картине линий тока можно будет судить не только о направлении, но и о величине векторав разных точках пространства: там, где скорость больше, линии тока будут гуще.

Число линий тока, проходящих через площадку
, перпендикулярную к линиям тока, равно
, если площадка ориентирована произвольно к линиям тока, число линий тока равно, где
- угол между направлением вектораи нормалью к площадке. Часто используют обозначение
. Число линий тока через площадкуконечных размеров определяется интегралом:
. Интеграл такого вида называется потоком векторачерез площадку.

Величина и направление вектораменяется со временем, следовательно, и картина линий не остается постоянной. Если в каждой точке пространства вектор скорости остается постоянным по величине и направлению, то течение называется установившимся или стационарным. При стационарном течении любая частица жидкости проходит данную точку пространства с одним и тем же значением скорости. Картина линий тока в этом случае не меняется, и линии тока совпадают с траекториями частиц.

Поток вектора через некоторую поверхность и циркуляция вектора по заданному контуру позволяют судить о характере векторного поля. Однако эти величины дают среднюю характеристику поля в пределах объема, охватываемого поверхностью, через которую определяется поток, или в окрестности контура, по которому берется циркуляция. Уменьшая размеры поверхности или контура (стягивая их в точку), можно придти к величинам, которые будут характеризовать векторное поле в данной точке.

Рассмотрим поле вектора скорости несжимаемой неразрывной жидкости. Поток вектора скорости через некоторую поверхность равен объему жидкости, протекающей через эту поверхность в единицу времени. Построим в окрестности точки Р воображаемую замкнутую поверхность S (рис.7.2). Если в объеме V , ограниченном поверхностью, жидкость не возникает и не исчезает, то поток, вытекающий наружу через поверхность, будет равен нулю. Отличие потока от нуля будет указывать на то, что внутри поверхности имеются источники или стоки жидкости, т.е.точки, в которых жидкость поступает в объем (источники) или удаляется из объема (стоки).Величина потока определяет суммарную мощность источников и стоков. При преобладании источников над стоками поток положительный, при преобладании стоков – отрицательный.

Частное от деления потока на величину объема, из которого поток вытекает,
, есть средняя удельная мощность источников, заключенных в объемеV. Чем меньше объем V, включающий в себя точку Р, тем ближе это среднее значение к истинной удельной мощности в этой точке. В пределе при
, т.е. при стягивании объема в точку, мы получим истинную удельную мощность источников в точкеР, называемую дивергенцией (расхождением) вектора :
. Полученное выражение справедливо для любого вектора. Интегрирование ведется по замкнутой поверхностиS, ограничивающей объем V . Дивергенция определяется поведением векторной функции вблизи точкиР. Дивергенция - это скалярная функция координат, определяющих положение точкиР в пространстве.

Найдем выражение для дивергенции в декартовой системе координат. Рассмотрим в окрестности точки Р(x,y,z) малый объем в виде параллелепипеда с ребрами, параллельными осям координат (рис.7.3). В виду малости объема (его будем стремить к нулю) значения
в пределах каждой из шести граней параллелепипеда можно считать неизменными. Поток через всю замкнутую поверхность образуется из потоков, текущих через каждую из шести граней в отдельности.

Найдем поток через пару граней, перпендикулярных ост Х на рис.7.3 грани 1 и 2). Внешняя нормаль к грани 2 совпадает с направлением осиХ . Поэтому
и поток через грань 2 равен
.Нормальимеет направление, противоположное осиХ. Проекции вектора на осьХ и на нормальимеют противоположные знаки,
, и поток через грань 1 равен
. Суммарный поток в направленииХ равен
. Разность
представляет собой приращение при смещении вдоль оси Х на
. Ввиду малости

. Тогда получаем
. Аналогично, через пары граней, перпендикулярных осямY и Z , потоки равны
и
. Полный поток через замкнутую поверхность. Разделив это выражение на
, найдем дивергенцию вектора в точкеР :

.

Зная дивергенцию вектора в каждой точке пространства, можно вычислить поток этого вектора через любую поверхность конечных размеров. Для этого разобьем объем, ограниченный поверхностьюS , на бесконечно большое число бесконечно малых элементов
(рис.7.4).

Для любого элемента
поток вектора через поверхность этого элемента равен
. Просуммировав по всем элементам
, получаем поток через поверхностьS , ограничивающую объем V :
, интегрирование производится объемуV, или

.

Это теорема Остроградского – Гаусса. Здесь
,- единичный вектор нормали к поверхностиdS в данной точке.

Вернемся к течению несжимаемой жидкости. Построим контур . Представим себе, что мы каким-то образом заморозили мгновенно жидкость во всем объеме за исключением очень тонкого замкнутого канала постоянного сечения, включающего в себя контур(рис.7.5). В зависимости от характера течения жидкость в образовавшемся канале окажется либо неподвижной, либо движущейся (циркулирующей) вдоль контура в одном из возможных направлений. В качестве меры этого движения выбирается величина, равная произведению скорости жидкости в канале и длины контура,
. Эта величина называется циркуляцией векторапо контуру(так как канал имеет постоянное сечение и модуль скорости не меняется). В момент затвердевания стенок у каждой частицы жидкости в канале будет гаситься составляющая скорости, перпендикулярная к стенке и останется лишь составляющая, касательная к контуру. С этой составляющей связан импульс
, модуль которого для частицы жидкости, заключенной в отрезке канала длиной
, равен
, где- плотность жидкости,- сечение канала. Жидкость идеальная – трения нет, поэтому действие стенок может изменить только направление
, его величина останется постоянной. Взаимодействие между частицами жидкости вызовет такое перераспределение импульса между ними, которое выровняет скорости всех частиц. При этом алгебраическая сумма импульсов сохраняется, поэтому
, где - скорость циркуляции, - касательная составляющая скорости жидкости в объеме
в момент времени, предшествовавший затвердеванию стенок. Разделив на
, получим
.

Циркуляция характеризует свойства поля, усредненные по области с размерами порядка поперечника контура. Чтобы получить характеристику поля в точкеР , нужно уменьшит размеры контура, стягивая его в точку Р . При этом в качестве характеристики поля берут предел отношения циркуляции вектора по плоскому контуру, стягивающемуся в точкуР , к величине плоскости контура S :
. Величина этого предела зависит не только от свойств поля в точке Р , но и от ориентации контура в пространстве, которая может быть задана направлением положительной нормали к плоскости контура (положительной считается нормаль, связанная с направлением обхода контура правилом правого винта). Определяя этот предел для разных направлений, мы получим разные его значения, причем для противоположный направлений нормаль эти значения отличаются знаком. Для некоторого направления нормали величина предела будет максимальной. Таким образом, величина предела ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Максимальное значение предела определяет модуль этого вектора, а направление положительной нормали, при котором достигается максимум, дает направление вектора. Этот вектор называется ротором или вихрем вектора:
.

Чтобы найти проекции ротора на оси декартовой система координат, нужно определить значения предела для таких ориентаций площадки S , при которых нормаль к площадке совпадает с одной из осейX,Y,Z. Если, например, направить по оси Х , найдем
. Контуррасположен в этом случае в плоскости, параллельнойYZ , возьмем контур в виде прямоугольника со сторонами
и
. При
значенияина каждой из четырех сторон контура можно считать неизменными. Участок 1 контура (рис.7.6) противоположен осиZ , поэтому на этом участке совпадает с
, на участке 2
, на участке 3
, на участке 4
. Для циркуляции по этому контуру получаем значение: . Разность
представляет собой приращение при смещении вдоль Y на
. Ввиду малости
это приращение можно представить в виде
.Аналогично, разность
. Тогда циркуляция по рассматриваемому контуру
,

где
- площадь контура. Разделив циркуляцию на
, найдем проекцию ротора на ось Х :
. Аналогично,
,
. Тогда ротор вектора определяется выражением:

+
,

или
.

Зная ротор вектора в каждой точке некоторой поверхностиS , можно вычислить циркуляцию этого вектора по контуру , ограничивающему поверхностьS . Для этого разобьем поверхность на очень малые элементы
(рис.7.7). Циркуляция по контуру, ограничивающему
равна
, где - положительная нормаль к элементу
. Просуммировав эти выражения по всей поверхности S и подставив выражение для циркуляции, получим
. Это теорема Стокса.

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока. Вектор ,будучи в каждой точке касательным к линии тока, будет касательным к поверхности трубки тока, и частицы жидкости не пересекают стенок трубки тока.

Рассмотрим перпендикулярное к направлению скорости сечение трубки тока S (рис.7.8.). Будем считать, что скорость частиц жидкости одинакова во всех точках этого сечения. За время
через сечениеS пройдут все частицы, расстояние которых в начальный момент не превышает значения
. Следовательно, за время
через сечениеS
, а за единицу времени через сечениеS пройдет объем жидкости, равный
.. Будем считать, что трубка тока настолько тонкая, что скорость частиц в каждом ее сечении можно считать постоянной. Если жидкость несжимаемая (т.е. ее плотность всюду одинакова и не меняется), то количество жидкости между сечениямии(рис.7.9.) будет оставаться неизменным. Тогда объемы жидкости, протекающие за единицу времени через сеченияи, должны быть одинаковыми:

.

Таким образом, для несжимаемой жидкости величина
в любом сечении одной и той же трубки тока должна быть одинакова:

.Это утверждение называется теоремой о неразрывности струи.

Движение идеальной жидкости описывается уравнением Навье-Стокса:

,

где t - время, x,y,z – координаты жидкой частицы,

- проекции объемной силы, р – давление, ρ – плотность среды. Это уравнение позволяет определить проекции скорости частицы среды как функции координат и времени. Чтобы замкнуть систему, к уравнению Навье- Стокса добавляют уравнение неразрывности, которое является следствием теоремы о неразрывности струи:

. Для интегрирования этих уравнений требуется задать начальные (если движение не является стационарным) и граничные условия.

Жидкости и газы во многом схожи по своим свойствам. Они текучи и принимают форму того сосуда, в котором находятся. Они подчиняются законам Паскаля и Архимеда.

При рассмотрении движения жидкостей можно пренебречь силами трения между слоями и считать их абсолютно несжимаемыми. Такая абсолютно невязкая и абсолютно несжимаемая жидкость называется идеальной .

Движение жидкости можно описать, если показать траектории движения ее частиц таким образом, чтобы касательная в любой точке траектории совпадала с вектором скорости. Эти линии называются линиями тока . Линии тока принято проводить так, чтобы их густота была больше там, где больше скорость течения жидкости (рис.2.11).

Величина и направление вектора скорости V в жидкости могут меняться со временем, то и картина линий тока может непрерывно меняться. Если же вектора скорости в каждой точке пространства не меняются, то течение жидкости называют стационарным .

Часть жидкости, ограниченная линиями тока, называется трубкой тока . Частицы жидкости, двигаясь внутри трубки тока, не пересекают ее стенок.

Рассмотрим одну трубку тока и обозначим через S 1 и S 2 площади поперечного сечения в ней (рис.2.12). Тогда за единицу времени через S 1 и S 2 протекают одинаковые объемы жидкости:

S 1 V 1 =S 2 V 2 (2.47)

это применимо к любому сечению трубки тока. Следовательно, для идеальной жидкости величина SV=const в любом сечении трубки тока. Это соотношение называется неразрывностью струи . Из него следует:

т.е. скорость V стационарного течения жидкости обратно пропорциональна площади сечения S трубки тока, а это может быть обусловлено градиентом давления в жидкости вдоль трубки тока. Теорема о неразрывности струи (2.47) применима и к реальным жидкостям (газам) при их течении в трубах разного сечения, если силы трения невелики.

Уравнение Бернулли . Выделим в идеальной жидкости трубку тока переменного сечения (рис.2.12). В силу неразрывности струи через S 1 и S 2 за одно время протекают одинаковые объемы жидкости ΔV.

Энергия каждой частицы жидкости складывается из ее кинетической энергии и потенциальной энергии. Тогда при переходе от одного сечения трубки токи к другому приращение энергии жидкости будет:

В идеальной жидкости приращение ΔW должно равняться работе сил давления на изменение объема ΔV, т.е. А=(Р 1 -Р 2)· ΔV .

Приравнивая ΔW=A и сокращая на ΔVи учитывая, что (ρ -плотность жидкости), получим:

т.к. сечение трубки тока взяты произвольно, то для идеальной жидкости вдоль любой линии тока выполняется:

. (2.48)

где Р -статическое давление в определенном сечении S трубки тока;

Динамическое давление для этого сечения; V-скорость протекания жидкости через это сечение;

ρgh -гидростатическое давление.

Уравнение (2.48) называется уравнением Бернулли .

Вязкая жидкость . В реальной жидкости при перемещении ее слоев относительно друг друга возникают силы внутреннего трения (вязкость). Пусть два слоя жидкости отстоят друг от друга на расстояние Δх и движутся со скоростями V 1 и V 2 (рис.2.13).

Тогда сила внутреннего трения между слоями (закон Ньютона):

, (2.49)

где η -коэффициент динамической вязкости жидкости:

Средняя арифметическая скорость молекул;

Средняя длина свободного пробега молекул;

Градиент скорости слоев; ΔS – площадь соприкасающихся слоев.

Слоистое течение жидкости называется ламинарным . При возрастании скорости слоистый характер течения нарушается, происходит перемешивание жидкости. Такое течение называют турбулентным .

При ламинарном течении поток жидкости Q в трубе радиуса R пропорционален перепаду давления на единице длины трубы ΔР/ℓ :

Формула Пуазейля. (2.51)

В реальных жидкостях и газах движущиеся тела испытывают действия силы сопротивления. Например, сила сопротивления, действующая на шарик, равномерно движущийся в вязкой среде, пропорциональна его скорости V:

Формула Стокса, (2.52)

где r -радиус шарика.

При увеличении скорости движения обтекание тела нарушается, позади тела образуются завихрения, на что дополнительно тратится энергия. Это приводит к возрастанию лобового сопротивления.

Завершением космичес­кого полета считается посадка на планету. К настоящему времени только три страны научились возвращать на Землю космические аппараты: Россия, США и Китай.

Для планет с атмосферой (рис. 3.19) проблема посадки сводится главным образом к решению трех задач: преодоление высокого уровня перегрузок; защита от аэродинамического нагрева; управление временем достижения планеты и координатами точки посадки.

Рис. 3,19. Схема спуска КА с орбиты и посадки на планету с атмосферой:

N - включение тормозного двигателя; А - сход КА с орбиты; М - отделение СА от орбитального КА; В - вход СА в плотные слои атмосферы; С - начало работы пара­шютной системы посадки; D - посадка на поверхность планеты;

1 – баллистичес­кий спуск; 2 – планирующий спуск

При посадке на планету без атмосферы (рис. 3.20, а , б ) снимается проблема защиты от аэродинамического нагрева.

КА, находящийся на орбите искусственного спутника планеты или приближающийся к планете с атмосферой для совершения посадки на нее обладает большим запасом кинетической энергии, связанной со скоростью КА и его массой, и потенциальной энергии, обусловленной положением КА относительно поверхности планеты.

Рис. 3.20. Спуск и посадка КА на планету без атмосферы:

а - спуск на планету с предварительным выходом на орбиту ожидания;

б - мягкая посадка КА с тормозным двигателем и посадочным устройством;

I - гиперболичес­кая траектория подлета к планете; II - орбитальная траектория;

III - траектория спуска с орбиты; 1, 2, 3 - активные участки полета при торможении и мягкой по­садке

При входе в плотные слои атмосферы перед носовой частью СА возникает ударная волна, нагревающая газ до высокой температуры. По мере погружения в атмосферу СА тормозится, скорость его уменьшается, а раскаленный газ все больше нагревает СА. Кинетическая энергия аппарата превращается в тепло. При этом большая часть энергии отводится в окружающее пространство двумя путями: большая часть тепла отводится в окружающую атмосферу из-за действия сильных ударных волн и за счет теплоизлучения с нагретой поверхности СА.

Наиболее сильные ударные волны возникают при затупленной форме носовой части, вот почему для СА применяют затупленные формы, а не заостренные, характерные для полета при малых скоростях.

С ростом скоростей и температур большая часть тепла передается к аппарату не за счет трения о сжатые слои атмосферы, а за счет излучения и конвекции от ударной волны.

Для отвода тепла от поверхности СА применяются следующие методы:

– поглощения тепла теплозащитным слоем;

– радиационного охлаждения поверхности;

– применения уносимых покрытий.

До входа в плотные слои атмосферы траектория КА подчиняется законам небесной механики. В атмосфере на аппарат помимо гравитаци­онных сил действуют аэродинамические и центробежные силы, изменяющие форму траектории его движения. Сила притяжения направлена к центру планеты, сила аэродинамического сопротивления по направлению, противоположному вектору скорости, центробежная и подъемная силы – перпендикулярно направлению движения СА. Сила аэродинамического сопротивления уменьшает скорость аппарата, в то время как центробежная и подъемная силы сообщают ему ускорения в направлении, перпендикулярном его движению.

Характер траектории спуска в атмосфере определяется в основном его аэродинамическими характеристиками. При отсутствии подъемной силы у СА траектория его движения в атмосфере называется баллистичес­кой (траектории спуска СА космических кораблей серий «Восток» и «Восход»), а при наличии подъемной силы – либо планирующей (СА КК Союз и «Аполлон», а также «Спейс Шаттл»), либо рикошети­рующей (СА КК Союз и «Аполлон»). Движение по планетоцентрической орбите не предъявляет высоких требований к точности наведения при входе в атмосферу, поскольку путем включения двигательной установки для торможения или ускорения сравнительно легко скорректировать траекторию. При входе в атмосферу со скоростью, превышающей первую космическую, ошибки в расчетах наиболее опасны, так как слишком крутой спуск может привести к разрушению СА, а слишком пологий – к удалению от планеты.

При баллистическом спуске вектор равнодействующей аэродинамических сил направлен прямо противоположно вектору скорости движения аппарата. Спуск по баллистической траектории не требует управления. Недостатком этого способа является большая крутизна траектории, и, как следствие, вхождение аппарата в плотные слои атмосферы на большой скорости, что приводит к сильному аэродинамическому нагреву аппарата и к перегрузкам, иногда превышающим 10g – близким к предельно-допустимым значениям для человека.

При аэродинамическом спуске внешний корпус аппарата имеет, как правило, коническую форму, причём ось конуса составляет некоторый угол (угол атаки) с вектором скорости аппарата, за счёт чего равнодействующая аэродинамических сил имеет составляющую, перпендикулярную к вектору скорости аппарата – подъёмную силу. Благодаря подъёмной силе, аппарат снижается медленнее, траектория его спуска становится более пологой, при этом участок торможения растягивается и по длине и во времени, а максимальные перегрузки и интенсивность аэродинамического нагрева могут быть снижены в несколько раз, по сравнению с баллистическим торможением, что делает планирующий спуск для людей более безопасным и комфортным.

Угол атаки при спуске меняется в зависимости от скорости полёта и текущей плотности воздуха. В верхних, разреженных слоях атмосферы он может достигать 40°, постепенно уменьшаясь со снижением аппарата. Это требует наличия на СА системы управления планирующим полётом, что усложняет и утяжеляет аппарат, и в случаях, когда он служит для спуска только аппаратуры, которая способна выдерживать более высокие перегрузки, чем человек, используется, как правило, баллистическое торможение.

Орбитальная ступень «Спейс Шаттл», при возврате на Землю выполняющий функцию спускаемого аппарата, планирует на всём участке спуска от входа в атмосферу до касания шасси посадочной полосы, после чего выпускается тормозной парашют.

После того, как на участке аэродинамического торможения скорость аппарата снизится до дозвуковой далее спуск СА может осуществляться с помощью парашютов. Парашют в плотной атмосфере гасит скорость аппарата почти до нуля и обеспечивает мягкую посадку его на поверхность планеты.

В разреженной атмосфере Марса парашюты менее эффективны, поэтому на заключительном участке спуска парашют отцепляется и включаются посадочные ракетные двигатели.

Спускаемые пилотируемые аппараты космических кораблей серии Союз ТМА-01М, предназначенные для приземления на сушу, также имеют твёрдотопливные тормозные двигатели, включающиеся за несколько секунд до касания земли, чтобы обеспечить более безопасную и комфортную посадку.

Спускаемый аппарат станции Венера-13 после спуска на парашюте до высоты 47 км сбросил его и возобновил аэродинамическое торможение. Такая программа спуска была продиктована особенностями атмосферы Венеры, нижние слои которой очень плотные и горячие (до 500° С), и парашюты из ткани не выдержали бы таких условий.

Следует отметить, что в некоторых проектах космических кораблей многоразового использования (в частности, одноступенчатых вертикального взлета и посадки, например, Delta Clipper) предполагается на конечном этапе спуска, после аэродинамического торможения в атмосфере, также производить беспарашютную моторную посадку на ракетных двигателях. Конструктивно спускаемые аппараты могут существенно отличаться друг от друга в зависимости от характера полезной нагрузки и от физических условий на поверхности планеты, на которую производится посадка.

При посадке на планету без атмосферы снимается проблема аэродинамического нагрева, но для осуществления посадки гашение скорости осуществляется с помощью тормозной двигательной установки, которая должна работать в режиме программируемой тяги, а масса топлива при этом может значительно превышать массу самого СА.

ЭЛЕМЕНТЫ МЕХАНИКИ СПЛОШНЫХ СРЕД

Сплошной считается среда, для которой характерно равномерное распределение вещества – т.е. среда с одинаковой плотностью. Таковыми являются жидкости и газы.

Поэтому в этом разделе мы рассмотрим основные законы, которые выполняются в этих средах.

Лекция 4. Элементы механики сплошных сред

Рассмотрим движение идеальной жидкости - сплошной среды, сжимаемостью и вязкостью которой можно пренебречь. Выделим в ней некоторый объем, в нескольких точках которого определены векторы скорости движения частиц жидкости в момент времени. Если картина векторного поля со временем остается неизменной, то такое движение жидкости называется установившимся. При этом траектории частиц представляют собой непрерывные и не пересекающиеся линии. Их называют линиями тока , а объем жидкости, ограниченный линиями тока, трубкой тока (рис.4.1).

Поскольку частицы жидкости не пересекают поверхность такой трубки, ее можно рассматривать как реальную трубку с неподвижными для жидкости стенками. Выделим в трубке тока произвольные сечения и перпендикулярные направлению скорости частиц в сечениях и, соответственно (рис.4.1).

За малый промежуток времени через эти сечения протекают объемы жидкости

. (4.1)

Так жидкость несжимаема и. И тогда для любого сечения трубки тока имеет место равенство

. (4.2)

Рис.4.1

Оно называется уравнением неразрывности струи. В соответствии с (4.2) там, где сечение меньше, скорость течения жидкости больше и наоборот.

Уравнение Бернулли. Пусть рассматриваемые сечения трубки тока идеальной жидкости малы, так что можно считать величины скорости и давления в них постоянными, т.е. и, в сечении и, в (рис. 4.2).

При движении жидкости за малый промежуток времени сечение, переместится в положение пройдя путь, а сечение - в положение, пройдя. Объем жидкости, заключенный между сечениями и вследствие уравнения неразрывности будет

равен объем жидкости, заключенному в промежутке

Рис. 4.2 между и. Трубка имеет некоторый наклон

и центры ее сечений и находятся на высотах и над заданным

горизонтальным уровнем. Учитывая, что и, изменение полной энергии выделенной массы жидкости, расположенной в начальный момент между сечениями и, может быть представлено в виде

. (4.3)

Это изменение, согласно закону сохранения энергии, обусловлено работой внешних сил. В данном случае это силы давления и, действующие, соответственно, на сечения и, где и соответствующие давления. Для любого сечения трубки тока

, (4.4)

где – плотность жидкости Равенство (4.4) выражает основной закон гидродинамики, которое называется также уравнением Бернулли по имени ученого, получившего его впервые.

Давление в потоке жидкости. Следует отметить, что в выражении (4.4) все слагаемые имеют размерность давления и соответственно называются: –динамическим, – гидростатическим или весовым, – статическим давлением, а их сумма полным давлением. С учетом этого соотношение (4.4) можно выразить словами: в стационарном течении идеальной жидкости полное давление в любом сечении трубки тока (в пределе- линии тока) – величина постоянная, а скорость потока

. (4.5)

Истечение жидкости из отверстия. Пусть отверстие находящееся вблизи дна сосуда заполненного жидкостью, открыто (рис. 4.3). Выделим трубку тока с сечениями - на уровне открытой поверхности жидкости в сосуде; - на уровне отверстия -. Для них уравнение Бернулли имеет вид

. (4.6)

Здесь, где - атмосферное давление. Поэтому из (4.6) имеем

(4.7)

Если, то и членом можно

Рис. 4.3 пренебречь. Тогда из (4.7) получим

Следовательно, скорость истечения жидкости будет равна:

, (4.8)

где. Формула (4.8) получена впервые Торричелли и носит его имя. За малый промежуток времени из сосуда вытекает объем жидкости. Соответствующая ему масса, где - плотность жидкости. Она имеет импульс. Следовательно, сосуд сообщает этот импульс вытекающей массе, т.е. действует силой

По третьему закону Ньютона на сосуд будет при этом действовать сила, т.е.

. (4.9)

Здесь - сила реакции текущей жидкости. Если сосуд находится на тележке, то он под действием силы придет в движение, которое называется реактивным движением.

Ламинарное и турбулентное течения. Вязкость. Течение жидкости, при котором каждый ее слой скользит относительно других таких же слоев, и отсутствует их перемешивание, называется ламинарным или слоистым . Если внутри жидкости происходит образование вихрей и интенсивное перемешивание слоев, то такое течение называется турбулентным.

Установившееся (стационарное) течение идеальной жидкости является ламинарным при любых скоростях. В реальных жидкостях между слоями возникают силы внутреннего трения, т.е. реальные жидкости обладают вязкостью. Поэтому, каждый из слоев тормозит движение соседнего слоя. Величина силы внутреннего трения пропорциональна площади соприкосновения слоев и градиенту скорости, т.е.

, (4.10)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом вязкости. Единицей его является (Паскаль- секунда). Вязкость зависит от рода жидкости и от температуры. С ростом температуры вязкость уменьшается.

Если сила внутреннего трения невелика и скорость течения мала, то движение практически является ламинарным. При больших силах внутреннего трения нарушается слоистый характер течения, начинается интенсивное перемешивание, т.е. происходит переход к турбулентности. Условия этого перехода при течении жидкости по трубам определяется величиной кр , называемой числом Рейнольдса

, (4.11)

где - плотность жидкости, - средняя по сечению трубы скорость течения, - диаметр трубы. Опыты показывают, что при течение ламинарное, при оно становится турбулентным. Для труб круглого сечения радиуса число Рейнольдса. Влияние вязкости приводит к тому, что при скорость течения по трубе круглого сечения у различных слоев оказывается разной. Ее среднее значение определяется формулой Пуазейля

, (4.12)

где - радиус трубы, ()- разность давлений на концах трубы, - ее длина.

Влияние вязкости обнаруживается и при взаимодействии потока с неподвижным телом. Обычно, в соответствии с механическим принципом относительности, рассматривается обратная задача, Например, Стоксом установлено, что при на шар, движущийся в жидкости, действует сила трения

, (4.13)

где r - радиус шарика, - скорость его движения. Формула Стокса (4.13) в лабораторном практикуме применяется для определения коэффициента вязкости жидкостей.

Колебания и волны

Колебательным движением, или просто колебанием, называется движение, характеризующееся той или иной степенью повторяемости во времени значений физических величин, определяющих это движение. С колебаниями мы встречаемся при изучении самых различных физических явлений: звука, света, переменных токов, радиоволн, качаний маятника и т.д. Несмотря на большое разнообразие колебательных процессов, все они совершаются по некоторым общим для них закономерностям. Наипростейшее из них- гармоническое колебательное движение. Колебательное движение называется гармоническим, если изменение физической величины х (смещения) происходит по закону косинуса (или синуса)

, (4.14)

где величина А – равная максимальному смещению х системы из положения равновесия, называется амплитудой колебания, (, определяет величину смещения х в данный момент времени и называется фазой колебания. В момент начала отсчета времени (фаза колебания равна. Поэтому величина называется начальной фазой. Фаза измеряется в радианах или градусах,- циклическая частота, равная числу полных колебаний, происходящих за время с.

Период - это время одного полного колебания. Он связан с циклической частотой следующим соотношением

. (4.15)

Очевидно, линейная частота (число колебаний в единицу времени) связана с периодом Т следующим образом

(4.16)

За единицу частоты принимается частота такого колебания, период которого равен 1с. Эту единицу называют герцем (Гц). Частота в 10 3 Гц называется килогерцем (кГц), в 10 6 Гц, мегагерцем (МГц).

Колебательное движение характеризуется не только смещением х, но также скоростью и ускорением а. Их значения могут быть определены из выражения (4.14).

Продифференцировав (4.14) по времени, получим формулу скорости

. (4.17)

Как видно из (4.17), скорость также изменяется по гармоническому закону, причем амплитуда скорости равна. Из сравнения (4.14) и (4.17) следует, что скорость опережает смещение по фазе на.

Продифференцировав (4.14) еще раз по времени, найдем выражение для ускорения

. (4.18)

Как следует из (4.14) и (4.18), ускорение и смещение находятся в противофазе. Это означает, что в тот момент, когда смещение достигает наибольшего положительного значения, ускорение достигает наибольшего по величине отрицательного значения, и наоборот.

Уравнение плоской бегущей волны

Уравнением волны называется выражение, описывающее зав и симость смещения колеблющейся частицы от координат и времени:

. (4.20)

Пусть точки, расположенные в плоскости, совершают колебания по закону. Колебания частиц среды в точке (рис.4.4), расположенной на рассто я нии от источника колебаний, будут происходить по тому же з а кону, но, будут отставать по времени от колебаний источн и ка на (где - скорость распространения волны). Уравнение колебания этих частиц имеет вид: (4.20)

Рис.4.4

Так как точка была выбрана произвольно, то уравнение (5.7) позволяет определить смещение любой точки среды, вовлеченной в колебательный процесс, в любой момент времени, поэтому называется уравнением плоской бегущей во л ны. В общем случае оно имеет вид: (4.21) где – амплитуда волны ; – фаза плоской волны ; – циклическая частота волны ; – начальная фаза колеб а ний .

Подставляя в уравнение (4.21) выражения для скорости () и циклической частоты (), п о лучим:

(4.22)

Если ввести волновое число, то уравнение плоской волны можно записать в виде:

. (4.23)

Скорость в этих уравнениях представляет собой ск о рость перемещения фазы волны, и ее называют фазовой скоростью . Действительно, пусть в волновом процессе фаза постоянна . Для нахождения скорости ее перемещения разделим выражение для фазы на и продифференцируем по врем е ни. Получим:

Откуда.

Стоячая волна. Если в среде одновременно распространяется несколько волн, то выполняется принцип суперпозиции (наложения ): к а ждая волна ведет себя так, как будто другие волны отсутствуют, а результиру ю щее смещение частиц среды в любой момент времени равно геометрической сумме смещений, которые получают част и цы, участвуя в каждом из слагающих волновых проце с сов.

Большой практический интерес представляет наложение двух плоских волн

И, (4.24)

с одинаковыми частотами и амплитудами, распространяющихся навстречу друг другу вдоль оси. Сложив эти уравнения, п о лучим уравнение результирующей волны, называемой стоячей во л н . (4.25)

Таблица 4.1

В бегущей волне	В стоячей волне
Амплитуда колебаний
Все точки среды колеблются с одинаков ыми ампл и туд ами	Все точки среды колеблются с разными а м плитудами
Фаза колебаний
Фаза колебаний зависит от координаты рассматр и ваемой точки	Все точки между двумя узлами колеблются в одинаков ой фаз е . При переходе через узел фаза кол е баний изменяется на.
Перенос энергии
Энергия колебательного движения переносится в направлении распр о странения волны.	Переноса энергии нет, лишь в пределах происходят взаимные превращения энергии.

В точках среды, где ампл и туда волны обращается в ноль (). Эти точки называются узлами () стоячей волны. Координаты узлов.

Расстояние между двумя соседними узлами (или между двумя с о седними пучностями), называемое длиной стоячей волны, равно половине длины бегущ ей волн ы . Таким образом, при сложении двух бегущих волн образуется стоячая волна, узлы и пучности которой находятся все время в одних и тех же местах.

Характеристики бегущей и стоячей волн приведены в табл.5.1.

Осн. 1 , 5 . 6

Доп. 18 , 22 [ 25-44]

Контрольные вопросы:

Осн. 1 , 8 .

Контрольные вопросы:

1. Может ли быть одинаковым давление в двух точках, лежащих на разных уровнях в установленной наклонно сужающейся трубке, по которой течет идеальная жидкость?

2. Почему струя жидкости, вытекающая из отверстия, по мере удаления от отверстия все больше сжимается?

3.Как соотносятся фазы колебания ускорения и смещения при гармонических колебаниях.