Bir noktadan geçen bir düzlemin parametrik denklemi. Uzayda düzlem ve doğru: düzlemin genel ve parametrik denklemi

– genel denklem uzayda uçaklar

Düzlemin normal vektörü

Düzlemin normal vektörü, düzlemde bulunan her vektöre dik sıfır olmayan bir vektördür.

Belirli bir normal vektöre sahip bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi

Verilen bir normal vektör ile M0 noktasından geçen düzlemin denklemi

Uçağın yön vektörleri

Düzlemine paralel doğrusal olmayan iki vektöre düzlemin yön vektörleri denir.

Parametrik düzlem denklemleri

- vektör biçiminde düzlemin parametrik denklemi

- koordinatlarda düzlemin parametrik denklemi

Belirli bir noktadan geçen bir düzlemin denklemi ve iki yön vektörü

-Sabit nokta

- sadece bir nokta lol

- eş düzlemli, yani karışık çarpımları 0'a eşittir.

Verilen üç noktadan geçen bir düzlemin denklemi

- uçağın üç noktadan denklemi

Düzlemin doğru bölümlerinde denklemi

- segmentlerde düzlemin denklemi

Kanıt

Kanıt için, uçağımızın A, B, C ve normal vektörden geçtiği gerçeğini kullanıyoruz.

Noktanın koordinatlarını ve n vektörünü normal vektörle düzlemin denkleminde değiştirin

Her şeyi böl ve al

O zaman o gider.

Düzlemin normal denklemi

O'dan giden düzleme öküz ve normal vektör arasındaki açıdır.

- O'dan giden düzleme oy ve normal vektör arasındaki açı.

O'dan giden düzleme oz ve normal vektör arasındaki açıdır.

Orijinden düzleme olan mesafedir.

Kanıt ya da böyle bir saçmalık

D.'nin karşısında.

Benzer şekilde kosinüslerin geri kalanı için. Son.

Noktadan düzleme uzaklık

S noktası, düzlem

- S noktasından düzleme yönlendirilmiş mesafe

Eğer, o zaman S ve O düzlemin zıt taraflarında bulunuyorsa

S ve O aynı taraftaysa

n ile çarp

uzayda iki düz çizginin göreli konumu

düzlemler arasındaki açı

Geçerken, iki çift dikey dihedral açı oluşur, en küçüğüne düzlemler arasındaki açı denir.

Uzayda düz

Uzayda düz bir çizgi şu şekilde belirtilebilir:

İki uçağın kesişimi:

Düz bir çizginin parametrik denklemleri

- vektör biçiminde düz bir çizginin parametrik denklemi

- koordinatlarda düz bir çizginin parametrik denklemi

kanonik denklem

- düz çizginin kanonik denklemi.

Verilen iki noktadan geçen bir doğrunun denklemi

- vektör biçiminde düz bir çizginin kanonik denklemi;

uzayda iki düz çizginin göreli konumu

Düz bir çizginin ve bir düzlemin uzaydaki göreli konumu

Doğru ile düzlem arasındaki açı

Uzayda noktadan çizgiye olan uzaklık

a, çizgimizin yön vektörüdür.

- belirli bir düz çizgiye ait keyfi bir nokta

- mesafeyi aradığımız nokta.

İki çapraz düz çizgi arasındaki mesafe

İki paralel düz çizgi arasındaki mesafe

М1 - ilk düz çizgiye ait nokta

М2 - ikinci düz çizgiye ait nokta

İkinci dereceden eğriler ve yüzeyler

Bir elips, düzlemdeki noktalar kümesidir, verilen iki noktaya (odak) olan uzaklıkların toplamı sabit bir değerdir.

Kanonik Elips Denklemi

İle değiştirin

Bölmek

Elips özellikleri

Koordinat eksenleri ile kesişme

simetri bağı

koordinatların kökeni

Bir elips, düzlemin sınırlı bir bölümünde uzanan bir eğridir.

Bir çemberden, onu gererek veya sıkıştırarak bir elips elde edilebilir.

Parametrik elips denklemi:

- yönetmenler

Hiperbol

Bir hiperbol, verilen 2 noktaya (odaklar) olan mesafelerdeki fark modülünün sabit bir değer olduğu düzlemin noktaları kümesidir (2a)

Her şeyi elips ile aynı şekilde yapıyoruz,

İle değiştirin

Bölünür

hiperbol özellikleri

;

- yönetmenler

asimptot

Asimptot, eğrinin sonsuzca yaklaştığı ve sonsuza doğru uzaklaştığı düz bir çizgidir.

Parabol

Parabot özellikleri

Elips, hiperbol ve parabol arasındaki ilişki.

Bu eğriler arasındaki ilişkinin cebirsel bir açıklaması vardır: hepsi ikinci dereceden denklemlerle verilir. Herhangi bir koordinat sisteminde, bu eğrilerin denklemleri şu şekildedir: a, b, c, d, e, f sayılar olmak üzere ax 2 + bxy + cy 2 + dx + ey + f = 0

Dikdörtgen Kartezyen Koordinat Sistemlerini Dönüştürme

Koordinat sisteminin paralel çevirisi

-O 'eski koordinat sisteminde

–Eski koordinat sistemindeki noktanın koordinatları

–Yeni koordinat sistemindeki noktanın koordinatları

Yeni koordinat sistemindeki noktanın koordinatları.

Dikdörtgen Kartezyen koordinat sisteminde döndürme

–Yeni koordinat sistemi

Eski temelden yeniye geçiş matrisi

- (ilk sütunun altında ben’ , ikinci altında - J’ ) temelden geçiş matrisi ben,Jüsse ben’ ,J’

Genel dava

seçenek 1

Koordinat sistemini döndürme

seçenek 2

Koordinat sistemini döndürme
Kökenin paralel çevirisi

İkinci mertebeden doğruların genel denklemi ve kanonik forma indirgenmesi

– Genel form ikinci dereceden eğri denklemleri

İkinci dereceden eğrilerin sınıflandırılması

elipsoid

Elipsoid bölümler

- elips

devrim elipsoidleri

Döndürdüğümüz şeye bağlı olarak, devrim elipsoidleri ya düzleştirilmiş ya da uzun kürelerdir.

Tek şeritli hiperboloid

Tek şeritli bir hiperboloidin bölümleri

- gerçek y ekseni ile hiperbol

- gerçek eksenli hiperbol oh

Herhangi bir h için bir elips çıkıyor. O zaman o gider.

Tek şeritli devrim hiperboloidleri

Hiperbolün hayali ekseni etrafında döndürülmesiyle tek yapraklı bir hiperboloit dönüş elde edilebilir.

İki yapraklı hiperboloid

İki yapraklı bir hiperboloidin bölümleri

- aksiyonlu hiperbol. Eksenoz

- gerçek eksen oz ile hiperbol

koni

- bir çift kesişen düz çizgi

eliptik paraboloid

- parabol

Rotasyonlar

Bu durumda eliptik paraboloid, parabolün simetri ekseni etrafında dönmesiyle oluşan bir dönüş yüzeyidir.

hiperbolik paraboloid

Parabol

- parabol

h> 0 hiperbol, gerçek ekseni oh'a paralel

H<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох

Silindirin altında, doğrunun uzayda hareket ettiği, yönünü değiştirmeyen, düz çizgi oz'a göre hareket ederse elde edilecek yüzeyi kastediyoruz, o zaman silindirin denklemi, xoy ile bölümün denklemidir. uçak.

eliptik silindir

hiperbolik silindir

parabolik silindir

İkinci dereceden yüzeylerin doğrusal jeneratörleri

Tamamen yüzey üzerinde uzanan düz çizgilere yüzeyin doğrusal generatrisleri denir.

devrim yüzeyleri

siktir git salak

Görüntülemek

görüntüleyerek A kümesinin her bir öğesinin B kümesinin bir veya daha fazla öğesiyle ilişkilendirilmesine göre kuralı çağıralım. Her birine B kümesinin benzersiz bir elemanı atanırsa, eşleme denir. açık, aksi halde belirsiz.

dönüşüm set, bir setin kendi üzerine bire bir eşlenmesidir

Enjeksiyon

Bir A kümesinin bir B kümesine enjeksiyonu veya birebir eşlenmesi

(a'nın farklı öğeleri B'nin farklı öğelerine karşılık gelir) örneğin y = x ^ 2

Surjection

Bir A kümesinin bir B kümesine tabi tutulması veya eşlenmesi

Her B için en az bir A vardır (örneğin bir sinüs)

B kümesinin her elemanı, A kümesinin yalnızca bir elemanına karşılık gelir. (örneğin, y = x)

"Düz doğrunun düzlemde denklemi" konusunun alt konularından biri, düz bir doğrunun parametrik denklemlerinin bir düzlem üzerinde dikdörtgen koordinat sisteminde çizilmesi sorusudur. Aşağıdaki makale, bu tür denklemleri bilinen belirli verilerle oluşturma ilkesini tartışmaktadır. Parametrik denklemlerden farklı türden denklemlere nasıl geçileceğini gösterelim; Tipik görevlerin çözümünü analiz edelim.

Bu doğruya ait bir nokta ve doğrunun yön vektörü belirtilerek belirli bir doğru belirlenebilir.

Diyelim ki bize O x y dikdörtgen şeklinde bir koordinat sistemi verildi. Ve ayrıca üzerinde yatan M 1 (x 1, y 1) noktasının bir göstergesi olan düz bir çizgi a ve belirli bir düz çizginin yön vektörü verilmiştir. a → = (a x, a y) . Verilen a doğrusunun denklemlerini kullanarak bir tanımını verelim.

Rasgele bir M (x, y) noktası kullanıyoruz ve vektörü alıyoruz M1M →; koordinatlarını başlangıç ve bitiş noktalarının koordinatlarına göre hesaplayın: M 1 M → = (x - x 1, y - y 1). Elde edileni tanımlayalım: bir dizi M (x, y) noktası tarafından verilen bir doğru, M 1 (x 1, y 1) noktasından geçer ve bir yön vektörüne sahiptir. a → = (a x, a y) . Belirtilen küme, yalnızca M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) ve a → = (a x, a y) vektörleri eşdoğrusal ise bir düz çizgi tanımlar.

Vektörlerin eşdoğrusallığı için gerekli ve yeterli bir koşul vardır, bu durumda M 1 M → = (x - x 1, y - y 1) ve a → = (ax, ay) vektörleri için şu şekilde yazılabilir: denklem:

M 1 M → = λ · a →, burada λ bir gerçek sayıdır.

tanım 1

M 1 M → = λ · a → denklemine doğrunun vektör-parametrik denklemi denir.

Koordinat formunda, şu forma sahiptir:

M 1 M → = λ a → ⇔ x - x 1 = λ bir x y - y 1 = λ bir y ⇔ x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ

Ortaya çıkan x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ sisteminin denklemlerine, dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemde düz bir çizginin parametrik denklemleri denir. Adın özü aşağıdaki gibidir: düz çizginin tüm noktalarının koordinatları, tüm gerçek değerler üzerinde yinelenirken x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ şeklindeki düzlemdeki parametrik denklemlerle belirlenebilir. λ parametresinin

Yukarıdakilere göre, x = x 1 + ax vektörü düzlemindeki bir doğrunun parametrik denklemleri a → = (a x, a y) . Bu nedenle, doğrunun bir noktasının koordinatları ve yön vektörünün koordinatları verilirse, verilen doğrunun parametrik denklemlerini hemen yazmak mümkündür.

örnek 1

Bir düzlem üzerindeki düz bir doğrunun kendisine ait M 1 (2, 3) noktası ve yön vektörü verilmişse, dikdörtgen bir koordinat sisteminde parametrik denklemlerini oluşturmak gerekir. a → = (3, 1).

Çözüm

İlk verilere dayanarak şunları elde ederiz: x 1 = 2, y 1 = 3, a x = 3, a y = 1. Parametrik denklemler şöyle görünecektir:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + 1 λ ⇔ x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Açıkça örnekleyelim:

Cevap: x = 2 + 3 λ y = 3 + λ

Şuna dikkat edilmelidir: eğer vektör a → = (a x, a y) a düz çizgisinin yön vektörü olarak işlev görür ve M 1 (x 1, y 1) ve M 2 (x 2, y 2) noktaları bu düz çizgiye aittir, daha sonra parametrik denklemler belirtilerek belirlenebilir. form: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ve ayrıca bu seçenek: x = x 2 + ax λ y = y 2 + ay λ.

Örneğin, bize düz bir doğrunun yönlendirici bir vektörü verilmiştir. a → = (2, - 1) ve bu hatta ait olan М 1 (1, - 2) ve М 2 (3, - 3) noktaları. Daha sonra düz çizgi parametrik denklemlerle belirlenir: x = 1 + 2 · λ y = - 2 - λ veya x = 3 + 2 · λ y = - 3 - λ.

Aşağıdaki gerçeğe dikkat edilmelidir: eğer a → = (a x, a y) a düz çizgisinin yön vektörüdür, o zaman yön vektörü vektörlerden herhangi biri olacaktır μ a → = (μ a x, μ a y), burada μ ϵ R, μ ≠ 0.

Böylece, bir dikdörtgen koordinat sistemindeki düzlemdeki düz çizgi a, parametrik denklemlerle tanımlanabilir: x = x 1 + μax λ y = y 1 + μ a y λ, sıfır dışında herhangi bir μ değeri için.

a çizgisinin x = 3 + 2 · λ y = - 2 - 5 · λ parametrik denklemleriyle verildiğini varsayalım. Sonra a → = (2, - 5) - bu çizginin yön vektörü. Ayrıca μ a → = (μ 2, μ - 5) = 2 μ, - 5 μ, μ ∈ R, μ ≠ 0 vektörlerinden herhangi biri verilen doğru için yön vektörü olacaktır. Netlik için, belirli bir vektörü düşünün - 2 a → = (- 4, 10), μ = - 2 değerine karşılık gelir. Bu durumda verilen doğru, x = 3 - 4 · λ y = - 2 + 10 · λ parametrik denklemleriyle de belirlenebilir.

Düzlemdeki bir düz çizginin parametrik denklemlerinden belirli bir düz çizginin diğer denklemlerine geçiş ve bunun tersi

Bazı problemlerin çözümünde parametrik denklemlerin kullanılması en iyi seçenek değildir, o zaman düz bir çizginin parametrik denklemlerini farklı türden bir düz çizginin denklemlerine çevirmek gerekli hale gelir. Bunu nasıl yapacağımıza bir bakalım.

x = x 1 + ax · λ y = y 1 + ay · λ şeklindeki düz bir çizginin parametrik denklemleri, x - x 1 ax = y - y 1 a y düzlemindeki düz bir çizginin kanonik denklemine karşılık gelecektir. .

Parametrik denklemlerin her birini λ parametresine göre çözelim, elde edilen eşitliklerin sağ taraflarını eşitleyelim ve verilen doğrunun kanonik denklemini elde edelim:

x = x 1 + a x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ λ = x - x 1 a x λ = y - y 1 a y ⇔ x - x 1 a x = y - y 1 a y

Bu durumda, a x veya a y'nin sıfıra eşit olması utanç verici olmamalıdır.

Örnek 2

x = 3 y = - 2 - 4 · λ düz çizgisinin parametrik denklemlerinden kanonik denkleme geçiş yapmak gerekir.

Çözüm

Verilen parametrik denklemleri aşağıdaki formda yazıyoruz: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ

λ parametresini denklemlerin her birinde ifade edelim: x = 3 + 0 λ y = - 2 - 4 λ ⇔ λ = x - 3 0 λ = y + 2 - 4

Denklem sisteminin sağ taraflarını eşitleyelim ve düzlemde bir doğrunun gerekli kanonik denklemini elde edelim:

x - 3 0 = y + 2 - 4

Cevap: x - 3 0 = y + 2 - 4

Düzlemdeki bir doğrunun parametrik denklemleri verilirken, A x + B y + C = 0 biçimindeki bir doğrunun denklemini yazmak gerektiğinde, önce aşağıdakileri yapmak gerekir: kanonik denkleme ve ardından düz çizginin genel denklemine geçiş. Tüm eylem sırasını yazalım:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ λ = x - x 1 eksen λ = y - y 1 ay ⇔ x - x 1 eksen = y - y 1 ay ⇔ ⇔ ay (x - x 1) = eksen (y - y 1) ⇔ A x + B y + C = 0

Örnek 3

Doğrunun genel denklemini, onu tanımlayan parametrik denklemler verilmişse yazmak gerekir: x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ

Çözüm

Başlangıç olarak, kanonik denkleme geçiş yapalım:

x = - 1 + 2 λ y = - 3 λ ⇔ λ = x + 1 2 λ = y - 3 ⇔ x + 1 2 = y - 3

Ortaya çıkan oran, eşitlikle aynıdır - 3 · (x + 1) = 2 · y. Parantezleri açalım ve doğrunun genel denklemini alalım: - 3 x + 1 = 2 y ⇔ 3 x + 2 y + 3 = 0.

Cevap: 3 x + 2 y + 3 = 0

Yukarıdaki eylem mantığının ardından, eğimli bir düz çizginin denklemini, segmentlerde düz bir çizginin denklemini veya düz bir çizginin normal denklemini elde etmek için, düz bir çizginin genel denklemini elde etmek gerekir. , ve ondan başka bir geçiş gerçekleştirmek için.

Şimdi karşıt eylemi ele alacağız: bu düz çizginin denklemlerinin verilen başka bir formu için düz çizginin parametrik denklemlerini yazmak.

En kolay geçiş: kanonik bir denklemden parametrik bir denkleme. Şu formun kanonik bir denklemi olsun: x - x 1 a x = y - y 1 a y. Bu eşitliğin her bir ilişkisini λ parametresine eşit olarak alıyoruz:

x - x 1 bir x = y - y 1 bir y = λ ⇔ λ = x - x 1 bir x λ = y - y 1 bir y

x ve y değişkenleri için elde edilen denklemleri çözelim:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ

Örnek 4

Düzlemdeki bir düz çizginin kanonik denklemi biliniyorsa, düz bir çizginin parametrik denklemlerini yazmak gerekir: x - 2 5 = y - 2 2

Çözüm

Bilinen denklemin kısımlarını λ parametresine eşitleyin: x - 2 5 = y - 2 2 = λ. Elde edilen eşitlikten düz çizginin parametrik denklemlerini elde ederiz: x - 2 5 = y - 2 2 = λ ⇔ λ = x - 2 5 λ = y - 2 5 ⇔ x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Cevap: x = 2 + 5 λ y = 2 + 2 λ

Bir doğrunun verilen bir genel denkleminden, bir doğrunun eğimli bir denkleminden veya bir doğrunun segmentler halindeki bir denkleminden parametrik denklemlere geçiş yapmak gerektiğinde, orijinal denklemi şuna indirgemek gerekir: kanonik olanı ve ardından parametrik denklemlere geçin.

Örnek 5

Bu doğrunun bilinen genel denklemi ile doğrunun parametrik denklemlerini yazmak gerekir: 4 x - 3 y - 3 = 0.

Çözüm

Verilen genel denklemi kanonik formun bir denklemine dönüştürüyoruz:

4 x - 3 y - 3 = 0 ⇔ 4 x = 3 y + 3 ⇔ ⇔ 4 x = 3 y + 1 3 ⇔ x 3 = y + 1 3 4

Eşitliğin her iki tarafını da λ parametresine eşitleyelim ve doğrunun gerekli parametrik denklemlerini elde edelim:

x 3 = y + 1 3 4 = λ ⇔ x 3 = λ y + 1 3 4 = λ ⇔ x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Cevap: x = 3 λ y = - 1 3 + 4 λ

Düzlemdeki bir doğrunun parametrik denklemleriyle ilgili örnekler ve problemler

Dikdörtgen bir koordinat sistemindeki bir düzlemde düz bir çizginin parametrik denklemlerini kullanan en yaygın problem türlerini düşünün.

Birinci tip problemlerde, parametrik denklemlerle tanımlanan düz bir çizgiye ait olsun ya da olmasın, noktaların koordinatları verilir.

Bu tür problemlerin çözümü şu gerçeğe dayanmaktadır: x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ parametrik denklemlerinden bazı gerçek λ değeri için belirlenen sayılar (x, y) bir noktanın koordinatlarıdır. düz çizgiye bu parametrik denklemleri tanımladı.

Örnek 6

λ = 3'te x = 2 - 1 6 · λ y = - 1 + 2 · λ parametrik denklemleri ile tanımlanan düz çizgi üzerinde bulunan bir noktanın koordinatlarını belirlemek gerekir.

Çözüm

Bilinen λ = 3 değerini verilen parametrik denklemlerde yerine koyun ve gerekli koordinatları hesaplayın: x = 2 - 1 6 3 y = - 1 + 2 3 ⇔ x = 1 1 2 y = 5

Cevap: 1 1 2 , 5

Aşağıdaki problem de mümkündür: bir düzlem üzerinde bir M 0 (x 0, y 0) noktasının bir dikdörtgen koordinat sisteminde verilmesine izin verin ve bu noktanın x = x parametrik denklemleriyle tanımlanan bir düz çizgiye ait olup olmadığını belirlemek gerekir. 1 + eksen λ y = y 1 + ay λ.

Benzer bir problemi çözmek için, verilen bir noktanın koordinatlarını, doğrunun bilinen parametrik denklemleriyle değiştirmek gerekir. Her iki parametrik denklemin de doğru olduğu λ = λ 0 parametresinin böyle bir değerinin mümkün olduğu belirlenirse, verilen nokta verilen doğruya aittir.

Örnek 7

M 0 (4, - 2) ve N 0 (- 2, 1) noktaları ayarlanır. Bunların x = 2 · λ y = - 1 - 1 2 · λ parametrik denklemleri tarafından tanımlanan düz çizgiye ait olup olmadığını belirlemek gerekir.

Çözüm

М 0 (4, - 2) noktasının koordinatlarını verilen parametrik denklemlerle değiştirin:

4 = 2 λ - 2 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = 2 λ = 2 ⇔ λ = 2

М 0 noktasının belirli bir düz çizgiye ait olduğu sonucuna varıyoruz, çünkü λ = 2 değerine karşılık gelir.

2 = 2 λ 1 = - 1 - 1 2 λ ⇔ λ = - 1 λ = - 4

Açıktır ki, N 0 noktasının karşılık geleceği böyle bir λ parametresi yoktur. Yani verilen doğru N 0 (- 2, 1) noktasından geçmez.

Cevap:М 0 noktası belirli bir düz çizgiye aittir; N 0 noktası belirli bir düz çizgiye ait değildir.

İkinci tip problemlerde, düz bir çizginin parametrik denklemlerini bir düzlem üzerinde dikdörtgen bir koordinat sisteminde oluşturmak gerekir. Böyle bir problemin en basit örneği (bir doğrunun bir noktasının bilinen koordinatları ve bir yön vektörü ile) yukarıda ele alındı. Şimdi önce yön vektörünün koordinatlarını bulmanız ve ardından parametrik denklemleri yazmanız gereken örneklere bakalım.

Örnek 8

M 1 1 2, 2 3 noktası belirtilir. Bu noktadan geçen ve x 2 = y - 3 - 1 doğrusuna paralel olan doğrunun parametrik denklemlerini oluşturmak gerekir.

Çözüm

Problemin durumuna göre denklemi önüne geçmemiz gereken doğru, x 2 = y - 3 - 1 doğrusuna paraleldir. Daha sonra, belirli bir noktadan geçen düz bir çizginin yönlendirici vektörü olarak, x 2 = y - 3 - 1 düz çizgisinin yönlendirici vektörünü kullanmak mümkündür, bunu şu şekilde yazıyoruz: a → = (2, - 1). Artık gerekli parametrik denklemleri oluşturmak için gerekli tüm verileri biliyoruz:

x = x 1 + ax λ y = y 1 + ay λ ⇔ x = 1 2 + 2 λ y = 2 3 + (- 1) λ ⇔ x = 1 2 + x λ y = 2 3 - λ

Cevap: x = 1 2 + x · λ y = 2 3 - λ.

Örnek 9

Nokta М 1 (0, - 7) ayarlanır. 3 x - 2 y - 5 = 0 doğrusuna dik bu noktadan geçen bir doğrunun parametrik denklemlerini yazmak gerekir.

Çözüm

Denklemi oluşturulması gereken doğrunun yönlendirici vektörü olarak 3 x - 2 y - 5 = 0 doğrunun normal vektörünü almak mümkündür. Koordinatları (3, - 2)'dir. Doğrunun gerekli parametrik denklemlerini yazalım:

x = x 1 + bir x λ y = y 1 + bir y λ ⇔ x = 0 + 3 λ y = - 7 + (- 2) λ ⇔ x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Cevap: x = 3 λ y = - 7 - 2 λ

Üçüncü tip problemlerde, belirli bir düz çizginin parametrik denklemlerinden onu belirleyen diğer denklem türlerine geçiş yapmak gerekir. Yukarıda bu tür örneklerin çözümünü düşündük, bir tane daha vereceğiz.

Örnek 10

Dikdörtgen bir koordinat sisteminde bir düzlemde düz bir çizgi verilir, x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ parametrik denklemleri ile belirlenir. Bu doğrunun herhangi bir normal vektörünün koordinatlarını bulmak gerekir.

Çözüm

Normal vektörün istenen koordinatlarını belirlemek için parametrik denklemlerden genel denkleme geçişi gerçekleştireceğiz:

x = 1 - 3 4 λ y = - 1 + λ ⇔ λ = x - 1 - 3 4 λ = y + 1 1 ⇔ x - 1 - 3 4 = y + 1 1 ⇔ ⇔ 1 x - 1 = - 3 4 y + 1 ⇔ x + 3 4 y - 1 4 = 0

x ve y değişkenlerinin katsayıları bize normal vektörün gerekli koordinatlarını verir. Böylece x = 1 - 3 4 · λ y = - 1 + λ çizgisinin normal vektörü 1, 3 4 koordinatlarına sahiptir.

Cevap: 1 , 3 4 .

Metinde bir hata fark ederseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşlarına basın

Şimdiye kadar, koordinat eksenleri X, Y, Z olan uzayda bir yüzeyin denklemini açık veya örtük biçimde düşündük.

Yüzeyin denklemlerini, noktalarının koordinatlarını iki bağımsız değişken parametresinin fonksiyonları şeklinde ifade ederek parametrik biçimde yazmak mümkündür ve

Bu fonksiyonların tek değerli, sürekli ve bazı parametreler aralığında ikinci mertebeye kadar sürekli türevleri olduğunu varsayacağız.

Bu koordinat ifadelerini u ve v cinsinden denklemin (37) sol tarafında yerine koyarsak, o zaman u ve V'ye göre bir özdeşlik elde etmeliyiz. Bu özdeşliği u ve v bağımsız değişkenlerine göre türevini alarak, sahip olacağız

Bu denklemleri, bahsi geçen cebirsel lemmaya göre iki homojen denklem olarak ele alarak ve uygulayarak elde ederiz.

burada k bir orantı katsayısıdır.

k faktörünün ve son formüllerin sağ taraflarındaki farklardan en az birinin sıfır olmadığına inanıyoruz.

Kısaca, aşağıdaki gibi yazılan üç farkı gösteririz:

Bilindiği gibi yüzeyimize bir noktada teğet düzlemin denklemi (x, y, z) şeklinde yazılabilir.

veya orantılı büyüklüklerle değiştirerek, teğet düzlemin denklemini aşağıdaki gibi yeniden yazabiliriz:

Bu denklemdeki katsayıların, normalin yüzeye olan yön kosinüsleriyle orantılı olduğu bilinmektedir.

M değişken noktasının yüzeydeki konumu, u ve v parametrelerinin değerleri ile karakterize edilir ve bu parametrelere genellikle yüzey noktalarının koordinatları veya koordinat parametreleri denir.

ve ve v parametrelerine sabit değerler vererek, yüzeyde, yüzeyin koordinat çizgileri olarak adlandıracağımız iki çizgi ailesi elde ederiz: boyunca sadece v'nin değiştiği koordinat çizgileri ve sadece boyunca koordinat çizgileri. ve değişim. Bu iki koordinat çizgisi ailesi, yüzeyde bir koordinat ızgarası sağlar.

Örnek olarak, merkezi ve yarıçapı R olan bir küre düşünün. Böyle bir kürenin parametrik denklemleri şu şekilde yazılabilir:

Koordinat çizgileri, bu durumda, açıkçası, küremizin paralellerini ve meridyenlerini temsil eder.

Koordinat eksenlerinden yola çıkarak, yüzeyi, sabit bir O noktasından yüzeyimizin değişken bir M noktasına giden değişken bir yarıçap vektörü ile karakterize edebiliriz. Bu yarıçap vektörünün parametrelere göre kısmi türevleri açıkça koordinat çizgilerine teğetler boyunca yönlendirilmiş vektörler verecektir. Bu vektörlerin eksenler boyunca bileşenleri

tanjant düzleminin (39) denklemindeki katsayıların vektör ürününün bileşenleri olduğu buradan ve buradan görülebilecektir. yüzeye normal. Bu vektörün uzunluğunun karesi, açıkça vektörün skaler çarpımı ile, yani daha basit olarak, bu vektörün (1) karesi ile ifade edilir. Bundan sonra, yüzeyin birim normal vektörü, açıkça şu şekilde yazabileceğimiz önemli bir rol oynayacaktır.

Yazılı vektör ürünündeki faktörlerin sırasını değiştirerek, vektör (40) için ters yön elde ederiz. Bundan sonra, faktörlerin sırasını belirli bir şekilde sabitleyeceğiz, yani normalin yönünü belirli bir şekilde yüzeye sabitleyeceğiz.

Yüzeyde bir M noktası alın ve bu noktadan yüzeyde uzanan bir eğri (L) çizin. Genel olarak konuşursak, bu eğri bir koordinat çizgisi değildir ve hem Kuyu hem de v onun boyunca değişecektir. Bu eğriye teğetin yönü, (L) boyunca nokta civarında v parametresinin türevi olan bir fonksiyon olduğunu varsayarsak, vektör tarafından belirlenecektir. Buradan, bu eğrinin herhangi bir M noktasında yüzeyde çizilen eğriye teğetin yönünün, bu noktadaki değer ile tamamen karakterize edildiği görülebilir. Teğet Düzlemi belirlerken ve denklemini (39) türetirken, söz konusu noktada ve çevresinde (38) fonksiyonlarının sürekli kısmi türevleri olduğunu ve denklem (39) katsayılarından en az birinin noktada sıfır olmadığını varsaydık. göz önünde bulundurulmaktadır.

Koordinatlara göre birinci dereceden herhangi bir denklem x, y, z

Balta + By + Cz + D = 0 (3.1)

bir düzlem tanımlar ve bunun tersi de geçerlidir: herhangi bir düzlem denklem (3.1) ile temsil edilebilir. düzlem denklemi.

Vektör n(A, B, C) düzleme dik denir normal vektör uçak. (3.1) denkleminde, A, B, C katsayıları aynı anda 0'a eşit değildir.

Özel denklem durumları (3.1):

1. D = 0, Ax + By + Cz = 0 - düzlem orijinden geçer.

2. C = 0, Ax + By + D = 0 - düzlem Oz eksenine paraleldir.

3. C = D = 0, Ax + By = 0 - düzlem Oz ekseninden geçer.

4. B = C = 0, Ax + D = 0 - düzlem Oyz düzlemine paraleldir.

Koordinat düzlemlerinin denklemleri: x = 0, y = 0, z = 0.

Uzayda düz bir çizgi belirtilebilir:

1) iki düzlemin kesişme çizgisi olarak, yani. denklem sistemi:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0; (3.2)

2) M 1 (x 1, y 1, z 1) ve M 2 (x 2, y 2, z 2) iki noktası ile, içlerinden geçen düz çizgi denklemlerle verilir:

3) kendisine ait olan M 1 (x 1, y 1, z 1) noktası ve vektör a(m, n, p), ona paralel. Daha sonra düz çizgi denklemlerle belirlenir:

Denklemler (3.4) denir çizginin kanonik denklemleri.

Vektör a aranan düz çizginin yönlendirici vektörü.

Düz bir çizginin parametrik denklemleri(3.4) bağıntılarının her birini t parametresine eşitleyerek elde ederiz:

x = x 1 + mt, y = y 1 + nt, z = z 1 + р t. (3.5)

Bilinmeyenlere göre lineer denklemler sistemi olarak sistem (3.2) çözme x ve y, içinde düz çizginin denklemlerine ulaşırız projeksiyonlar veya düz çizginin indirgenmiş denklemleri :

x = mz + a, y = nz + b. (3.6)

Denklemlerden (3.6), aşağıdakileri bularak kanonik denklemlere geçilebilir: z her denklemden ve elde edilen değerleri eşitleyerek:

Genel denklemlerden (3.2), bu düz çizginin bir noktasını ve yön vektörünü bulursak, kanonik ve başka bir şekilde geçilebilir. n= [n 1 , n 2], nerede n 1 (A 1, B 1, C 1) ve n 2 (A 2, B 2, C 2) - verilen düzlemlerin normal vektörleri. Paydalardan biri ise m, n veya r denklemlerde (3.4) sıfıra eşit olduğu ortaya çıkar, o zaman karşılık gelen kesrin payı sıfıra eşit ayarlanmalıdır, yani. sistem

sisteme eşdeğerdir; böyle bir düz çizgi Öküz eksenine diktir.

Sistem x = x 1, y = y 1 sistemine eşdeğerdir; düz çizgi Oz eksenine paraleldir.

Örnek 1.15... A noktasının (1, -1.3) orijinden bu düzleme çizilen dikmenin tabanı olduğunu bilerek düzlemi eşitleyin.

Çözüm. Problemin durumuna göre, vektör AE(1, -1,3) düzlemin normal vektörü ise denklemi şu şekilde yazılabilir:
x-y + 3z + D = 0. Uçağa ait A (1, -1,3) noktasının koordinatlarını değiştirerek D: 1 - (- 1) +3 × 3 + D = 0 Þ D = -11 buluruz. Yani x-y + 3z-11 = 0.

Örnek 1.16... Oz ekseninden geçen ve 2x + y- z-7 = 0 düzlemi ile 60 ° açı oluşturan düzlem için denklem kurunuz.

Çözüm. Oz ekseninden geçen düzlem, A ve B'nin aynı anda kaybolmadığı Ax + By = 0 denklemi ile verilir. B olmasın
0'a eşittir, A / Bx + y = 0. İki düzlem arasındaki açının kosinüsü formülüne göre

İkinci dereceden denklemi 3m 2 + 8m - 3 = 0 çözerek köklerini buluruz
m 1 = 1/3, m 2 = -3, buradan 1 / 3x + y = 0 ve -3x + y = 0 olmak üzere iki düzlem elde ederiz.

Örnek 1.17. Doğrunun kanonik denklemlerini yapın:
5x + y + z = 0, 2x + 3y - 2z + 5 = 0.

Çözüm. Doğrunun kanonik denklemleri:

nerede m, n, p- düz çizginin yönlendirici vektörünün koordinatları, x 1, y 1, z1- düz çizgiye ait herhangi bir noktanın koordinatları. Düz bir çizgi, iki düzlemin kesişme çizgisi olarak belirtilir. Düz bir çizgiye ait bir noktayı bulmak için koordinatlardan biri sabitlenir (en kolay yol, örneğin x = 0 koymaktır) ve ortaya çıkan sistem, iki bilinmeyenli bir lineer denklem sistemi olarak çözülür. Öyleyse, x = 0 olsun, sonra y + z = 0, 3y - 2z + 5 = 0, buradan y = -1, z = 1. Bu doğruya ait M (x 1, y 1, z 1) noktasının koordinatlarını bulduk: M (0, -1,1). Orijinal düzlemlerin normal vektörlerini bilerek, düz çizginin yön vektörünü bulmak kolaydır. n 1 (5,1,1) ve n 2 (2,3, -2). Sonra

Doğrunun kanonik denklemleri: x / (- 5) = (y + 1) / 12 =
= (z - 1) / 13.

Düzlemin vektör ve parametrik denklemleri. r 0 ve r sırasıyla М 0 ve M noktalarının yarıçap vektörleri olsun. O halde M 0 M = r - r 0 ve M noktasının M 0 noktasından geçen bir düzleme ait olduğu koşulu (5.1) sıfır olmayan vektör n (Şekil 5.2, a), kullanılarak yazılabilir nokta ürün oran olarak

n (r - r 0) = 0, (5.4)

hangi denir düzlemin vektör denklemi.

Uzayda sabit bir düzlem, kendisine paralel bir dizi vektöre karşılık gelir, yani. Uzay 2. Bu alanda seçim yapalım temel e 1, e 2, yani söz konusu düzleme paralel bir çift doğrusal olmayan vektör ve düzlemde bir M 0 noktası. M noktası düzleme aitse, bu, M 0 M vektörünün ona paralel olduğu gerçeğine eşdeğerdir (Şekil 5.2, b), yani. belirtilen alana V 2 aittir. Bu, var olduğu anlamına gelir M 0 M vektörünün bazda genişlemesi e 1, e 2, yani M 0 M = t 1 e 1 + t 2 e 2 olan t 1 ve t 2 sayıları vardır. Bu denklemin sol tarafını sırasıyla r 0 ve r noktaları M 0 ve M yarıçap vektörleri aracılığıyla yazarak elde ederiz. vektör parametrik düzlem denklemi

r = r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2, t 1, t 1 ∈ R. (5.5)

(5.5)'teki vektörlerin eşitliğinden, vektörlerinin eşitliğine geçmek için koordinatlar, (x 0; y 0; z 0), (x; y; z) ile gösteririz nokta koordinatları M 0, M ve boyunca (e 1x; e 1y; e 1z), (e 2x; e 2y; e 2z) e 1, e 2 vektörlerinin koordinatları. r ve r 0 + t 1 e 1 + t 2 e 2 vektörlerinin aynı koordinatlarını eşitleyerek, elde ederiz parametrik düzlem denklemleri

Üç noktadan geçen bir uçak. M 1, M 2 ve M 3 noktalarının tek bir doğru üzerinde olmadığını varsayalım. Sonra bu noktaların ait olduğu benzersiz bir π düzlemi vardır. Verilen bir π düzleminde keyfi bir M noktasının üyeliği için kriteri formüle eden bu düzlemin denklemini bulalım. Daha sonra bu kriteri noktaların koordinatları üzerinden yazıyoruz. Belirtilen kriter, π düzleminin, M 1 M 2, M 1 M 3 ve M 1 M vektörlerinin olduğu M noktalarının bir kümesi olarak açıklamasıdır. aynı düzlemde... Üç vektörün eş düzlemlilik kriteri, sıfıra eşit olmalarıdır. karışık iş(bkz. 3.2). Karışık ürün kullanılarak hesaplanır üçüncü mertebenin belirleyicisi, çizgileri vektörlerin koordinatları olan ortonormal taban... Bu nedenle, eğer (xi; yx i; Zx i) Mx i, i = 1, 2, 3 ve (x; y; z) noktalarının koordinatları ise, M noktasının koordinatları ise, o zaman M 1 M = (х-x 1; yy 1; zz 1), M 1 M2 = (x 2 -x 1; y 2 -y 1; z 2 -z 1), M 1 M3 = (x 3 -x 1; y 3 -y 1; z 3 -z 1) ve bu vektörlerin karışık ürününün kaybolması koşulu şu şekildedir:

Determinantı hesaplayarak, doğrusal x, y, z'ye göre denklem olmak istenen düzlemin genel denklemi... örneğin, eğer determinantı 1. satırda genişlet, sonra alırız

Bu eşitlik, determinantlar hesaplandıktan ve parantezler genişletildikten sonra, düzlemin genel denklemine dönüştürülür.

Son denklemdeki değişkenlerin katsayılarının koordinatlarla çakıştığını unutmayın. vektör ürün M 1 M 2 × M 1 M 3. π düzlemine paralel iki doğrusal olmayan vektörün ürünü olan bu çapraz ürün, π'ye dik sıfır olmayan bir vektör verir, yani. ona normal vektör... Bu nedenle, vektör ürününün koordinatlarının, düzlemin genel denkleminin katsayıları olarak ortaya çıkması oldukça doğaldır.

Üç noktadan geçen bir uçağın aşağıdaki özel durumunu düşünün. M 1 (a; 0; 0), M 2 (0; b; 0), M 3 (0; 0; c), abc ≠ 0 noktaları, tek bir düz çizgi üzerinde uzanmaz ve parçaları kesen bir düzlem tanımlar sıfır olmayan uzunluktaki koordinat eksenlerinde (Şekil 5.3). Burada "parçaların uzunlukları", M i, i = 1,2,3 noktalarının yarıçap vektörlerinin sıfır olmayan koordinatlarının değeri anlamına gelir.

M 1 M 2 = (-a; b; 0), M 1 M 3 = (-a; 0; c), M 1 M = (x-a; y; z) olduğundan, denklem (5.7) şeklini alır

Determinantı hesapladıktan sonra bc (x - a) + acy + abz = 0'ı buluyoruz, elde edilen denklemi abc'ye bölüyoruz ve serbest terimi sağ tarafa aktarıyoruz,

x / a + y / b + z / c = 1.

Bu denklem denir düzlemin segmentlerdeki denklemi.

Örnek 5.2.(1; 1; 2) koordinatlı bir noktadan geçen ve koordinat eksenlerinden aynı uzunlukta parçalar kesen bir düzlemin genel denklemini bulalım.

Bir düzlemin parçalar halindeki denklemi, koordinat eksenlerinden eşit uzunlukta parçalar kesmesi koşuluyla, diyelim ki a ≠ 0, x / a + y / b + z / c = 1 biçimindedir. düzlemde bilinen koordinatlar (1; 1; 2), yani. 4 / a = 1 eşitliği geçerlidir.Bu nedenle, a = 4 ve gerekli denklem x + y + z - 4 = 0'dır.

Düzlemin normal denklemi. Uzayda bir π düzlemi düşünün. onun için düzeltiriz birim normal vektör n yönlendirildi Menşei"uçak yönünde" ve p ile koordinat sisteminin O başlangıç noktasından π düzlemine olan mesafeyi belirtin (Şekil 5.4). Düzlem koordinat sisteminin orijinden geçiyorsa, o zaman p = 0 olur ve iki olası olandan herhangi biri normal vektör n için yön olarak seçilebilir.

M noktası π düzlemine aitse, bu şu gerçeğe eşdeğerdir: vektör imla izdüşüm OM yön başına vektör n, p'ye eşittir, yani. nOM = pr n OM = p koşulu sağlanır, çünkü vektör uzunluğu n bire eşittir.

Bir M noktasının koordinatlarını (x; y; z) ile gösteriyoruz ve n = (cosα; cosβ; cosγ) olsun (bir birim vektör için n, yön kosinüsleri cosα, cosβ, cosγ aynı anda koordinatlarıdır). nOM = p eşitliğindeki skaler çarpımı koordinat formunda yazarsak, normal düzlem denklemi

xcosα + ycosbeta; + zcosγ - p = 0.

Düz bir çizginin düzlemdeki durumuna benzer şekilde, uzaydaki bir düzlemin genel denklemi, bir normalleştirme faktörüne bölünerek normal denklemine dönüştürülebilir.

Ax + By + Cz + D = 0 düzlem denklemi için normalleştirme faktörü, işareti D'nin işaretine zıt olarak seçilen ± √ (A 2 + B 2 + C 2) sayısıdır. Mutlak değerde, normalleştirme faktörü, normal vektör (A; B; C) düzleminin uzunluğudur ve işaret, düzlemin birim normal vektörünün istenen yönüne karşılık gelir. Uçak koordinat sisteminin orijinden geçiyorsa, yani. D = 0 ise normalleştirme faktörünün herhangi bir işareti seçilebilir.