Hangi sayılar rasyoneldir ve hangileri irrasyonel örneklerdir. Sayılar

Rasyonel sayı- pay m'nin bir tam sayı ve payda n'nin doğal bir sayı olduğu sıradan bir m / n kesri ile temsil edilen bir sayı. Herhangi bir rasyonel sayı, periyodik bir sonsuz ondalık kesir olarak temsil edilebilir. Rasyonel sayılar kümesi Q ile gösterilir.

Gerçek sayı rasyonel değilse, o zaman irrasyonel sayı... İrrasyonel sayıları ifade eden ondalık kesirler sonsuzdur ve periyodik değildir. İrrasyonel sayılar kümesi genellikle büyük harf I ile gösterilir.

Gerçek numara denir cebirsel rasyonel katsayıları olan bazı polinomların (sıfır olmayan dereceli) bir kökü ise. Cebirsel olmayan herhangi bir sayı denir transandantal.

Bazı özellikler:

Rasyonel sayılar kümesi her yerde yoğun olarak sayı ekseninde bulunur: herhangi iki farklı rasyonel sayı arasında en az bir rasyonel sayı (dolayısıyla sonsuz bir rasyonel sayı kümesi) vardır. Bununla birlikte, Q rasyonel sayılar kümesinin ve N doğal sayılar kümesinin eşdeğer olduğu, yani aralarında bire bir yazışma kurulabileceği ortaya çıktı (rasyonel sayılar kümesinin tüm öğeleri yeniden numaralandırılabilir) .

Rasyonel sayılar kümesi Q toplama, çıkarma, çarpma ve bölmeye göre kapalıdır, yani iki rasyonel sayının toplamı, farkı, çarpımı ve bölümü de rasyonel sayılardır.

Tüm rasyonel sayılar cebirseldir (tersi doğru değildir).

Her gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.

Her irrasyonel sayı ya cebirsel ya da aşkındır.

İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusunda her yerde yoğundur: herhangi iki sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır (dolayısıyla sonsuz bir irrasyonel sayılar kümesi).

İrrasyonel sayılar kümesi sayılamaz.

Problemleri çözerken, a + b√ c irrasyonel sayısıyla birlikte (a, b rasyonel sayılardır, c bir doğal sayının karesi olmayan bir tamsayıdır), “eşlenik” sayısını dikkate almak uygundur a - b√ c: toplamı ve orijinali ile çarpımı - rasyonel sayılar. Yani a + b√ c ve a - b√ c tamsayı katsayılı ikinci dereceden bir denklemin kökleridir.

Çözümlerle ilgili sorunlar

1. Bunu kanıtlayın

a) sayı √ 7;

b) lg 80 sayısı;

c) √ 2 + 3 √ 3 ​​sayısı;

irrasyoneldir.

a) √ 7 sayısının rasyonel olduğunu varsayalım. O halde √ 7 = p / q olacak şekilde p ve q asalları vardır, buradan p 2 = 7q 2 elde ederiz. p ve q asal olduğundan, p 2'dir ve dolayısıyla p 7'ye bölünebilir. O halde p = 7k, burada k bir doğal sayıdır. Dolayısıyla q 2 = 7k 2 = pk, bu da p ve q'nun asal olduğu gerçeğiyle çelişir.

Yani varsayım yanlıştır, yani √ 7 sayısı irrasyoneldir.

b) lg 80 sayısının rasyonel olduğunu varsayalım. O zaman lg 80 = p / q veya 10 p = 80 q olacak şekilde p ve q doğal sayıları vardır, buradan 2 p – 4q = 5 q – p elde ederiz. 2 ve 5 sayılarının aralarında asal olduğunu hesaba katarsak, son eşitliğin sadece p – 4q = 0 ve q – p = 0 için mümkün olduğunu görürüz. Buradan p = q = 0, imkansızdır, çünkü p ve q vardır. doğal seçilmiş.

Dolayısıyla varsayım yanlıştır, bu da lg 80 sayısının irrasyonel olduğu anlamına gelir.

c) Bu sayıyı x ile gösterelim.

Sonra (x - √ 2) 3 = 3 veya x 3 + 6x - 3 = √ 2 · (3x 2 + 2). Bu denklemin karesini aldıktan sonra, x'in denklemi sağlaması gerektiğini buluruz.

x 6 - 6x 4 - 6x 3 + 12x 2 - 36x + 1 = 0.

Yalnızca 1 ve –1 sayıları rasyonel kökleri olabilir. Kontrol etmek, 1 ve –1'in kök olmadığını gösterir.

Yani verilen √ 2 + 3 √ 3 ​​sayısı irrasyoneldir.

2. a, b, sayılarının olduğu bilinmektedir. √ a –√ b,- mantıklı. Kanıtla √ a ve √ b Ayrıca rasyonel sayılardır.

Ürünü düşünün

(√ a - √ b) (√ a + √ b) = a - b.

Numara √ a + √ b, a - b sayılarının oranına eşittir ve √ a –√ b, rasyoneldir, çünkü iki rasyonel sayının bölünmesinin bölümü bir rasyonel sayıdır. iki rasyonel sayının toplamı

½ (√ a + √ b) + ½ (√ a - √ b) = √ a

- rasyonel sayı, farkları,

½ (√ a + √ b) - ½ (√ a - √ b) = √ b,

gerektiği gibi rasyonel bir sayıdır.

3. a b sayısının doğal olduğu pozitif a ve b irrasyonel sayıları olduğunu kanıtlayın.

4. Eşitliği sağlayan a, b, c, d rasyonel sayıları var mı?

(a + b √ 2) 2n + (c + d√ 2) 2n = 5 + 4√ 2,

nerede n bir doğal sayıdır?

Koşulda verilen eşitlik geçerliyse ve a, b, c, d sayıları rasyonel ise, eşitlik şu şekilde olur:

(a - b √ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n = 5 - 4√ 2.

Ancak 5 - 4√ 2 (a - b√ 2) 2n + (c - d√ 2) 2n> 0. Ortaya çıkan çelişki, orijinal eşitliğin imkansız olduğunu kanıtlar.

cevap: yok.

5. Uzunlukları a, b, c olan parçalar bir üçgen oluşturuyorsa, tüm n = 2, 3, 4 için. ... ... uzunlukları n √ a, n √ b, n √ c olan parçalar da bir üçgen oluşturur. Kanıtla.

Uzunlukları a, b, c olan parçalar bir üçgen oluşturuyorsa, üçgen eşitsizliği aşağıdakileri verir:

Bu nedenle

(n √ a + n √ b) n> a + b> c = (n √ c) n,

N √ a + n √ b> n √ c.

Üçgen eşitsizliğini kontrol etme durumlarının geri kalanı, sonucun takip ettiği benzer şekilde değerlendirilir.

6. Sonsuz ondalık kesir 0.1234567891011121314 ... (bir satırdaki ondalık nokta tüm doğal sayılar sırayla yazıldıktan sonra) irrasyonel bir sayı olduğunu kanıtlayın.

Bildiğiniz gibi rasyonel sayılar, belirli bir işaretten başlayarak bir periyodu olan ondalık kesirlerle ifade edilir. Bu nedenle, verilen kesrin herhangi bir işaretten periyodik olmadığını kanıtlamak yeterlidir. Durumun böyle olmadığını ve n basamaktan oluşan bazı T dizisinin, m. ondalık haneden başlayarak kesrin bir periyodu olduğunu varsayalım. m. basamaktan sonraki rakamlar arasında sıfır olmayanlar olduğu açıktır, bu nedenle T basamak dizisinde sıfır olmayan bir basamak vardır. Bu, ondalık noktadan sonraki m'inci basamaktan başlayarak, art arda herhangi bir n basamak arasında sıfır olmayan bir basamak olduğu anlamına gelir. Ancak bu kesrin ondalık gösteriminde, k> m ve k> n olmak üzere 100 ... 0 = 10 k sayısının ondalık gösterimi olmalıdır. Bu girişin m'inci basamağın sağında olacağı ve arka arkaya n'den fazla sıfır içerdiği açıktır. Böylece ispatı tamamlayan bir çelişki elde ederiz.

7. Size sonsuz bir ondalık kesir 0, a 1 a 2 .... Ondalık gösterimindeki sayıların, elde edilen kesir rasyonel bir sayı ifade edecek şekilde yeniden düzenlenebileceğini kanıtlayın.

Bir kesrin, ancak ve ancak belirli bir işaretle başlayarak periyodik ise rasyonel bir sayı ifade ettiğini hatırlayın. 0'dan 9'a kadar olan sayıları iki sınıfa ayırırız: birinci sınıfa orijinal kesirde sonlu sayıda bulunan sayıları, ikinci sınıfa orijinal kesirde sonsuz sayıda meydana gelenleri dahil ederiz. Sayıların orijinal permütasyonundan elde edilebilecek periyodik kesri yazmaya başlayalım. İlk olarak, sıfır ve virgülden sonra, birinci sınıftaki tüm sayıları rastgele sırayla yazarız - her biri ilk kesirde olduğu kadar. Kaydedilen birinci sınıf rakamlar, ondalık kesirdeki noktadan önce gelir. Ayrıca, ikinci sınıftan sayıları bir kez bir sıraya göre yazıyoruz. Bu kombinasyonu bir periyot olarak ilan edeceğiz ve sonsuz sayıda tekrarlayacağız. Böylece, belirli bir rasyonel sayıyı ifade eden gerekli periyodik kesri yazdık.

8. Her sonsuz ondalık kesirde, kesrin genişlemesinde sonsuz kez meydana gelen, keyfi uzunlukta bir ondalık basamak dizisi olduğunu kanıtlayın.

m keyfi olarak verilen bir doğal sayı olsun. Verilen sonsuz ondalık kesri, her birinde m basamak olan bölümlere ayıralım. Böyle sonsuz sayıda segment olacak. Öte yandan, m basamak, yani sonlu sayıdan oluşan sadece 10 m farklı sistemler vardır. Sonuç olarak, bu sistemlerden en az biri burada sonsuz defa tekrarlanmalıdır.

Yorum Yap. İrrasyonel sayılar için √ 2, π veya e Onları temsil eden sonsuz ondalık kesirlerde hangi basamağın sonsuz kez tekrarlandığını bile bilmiyoruz, ancak bu sayıların her biri, kolayca kanıtlanabileceği gibi, böyle en az iki farklı basamak içeriyor.

9. Denklemin pozitif kökünün

irrasyoneldir.

x> 0 için, denklemin sol tarafı artan x ile artar ve x = 1.5 için 10'dan küçük ve x = 1.6 için 10'dan büyük olduğunu görmek kolaydır. Bu nedenle, tek pozitif kök denklemin değeri (1.5 ; 1.6) aralığı içinde yer alır.

Kökü, indirgenemez bir p / q kesri olarak yazarız, burada p ve q bazı asal doğal sayılardır. O zaman x = p / q için denklem aşağıdaki formu alacaktır:

p 5 + pq 4 = 10q 5,

Buradan p'nin 10'un bir böleni olduğu çıkar, bu nedenle p, 1, 2, 5, 10 sayılarından birine eşittir. Bununla birlikte, 1, 2, 5, 10 paylarıyla kesirleri yazarken, hemen hiçbirinin olmadığını fark ederiz. (1.5; 1.6) aralığının içine düşer.

Bu nedenle, orijinal denklemin pozitif kökü sıradan bir kesir olarak temsil edilemez, bu da onun irrasyonel bir sayı olduğu anlamına gelir.

10. a) Düzlemde, herhangi bir X noktası için XA, XB ve XC bölümlerinden en az birinin uzunluğu irrasyonel olacak şekilde üç A, B ve C noktası var mı?

b) Üçgenin köşelerinin koordinatları rasyoneldir. Çevrel çemberinin merkezinin koordinatlarının da rasyonel olduğunu kanıtlayın.

c) Üzerinde tam olarak bir rasyonel nokta bulunan böyle bir küre var mıdır? (Bir rasyonel nokta, üç Kartezyen koordinatın hepsinin rasyonel sayılar olduğu bir noktadır.)

a) Evet, var. AB doğru parçasının orta noktası C olsun. Sonra XC 2 = (2XA 2 + 2XB 2 - AB 2) / 2. AB 2 sayısı irrasyonel ise, XA, XB ve XC sayıları aynı anda rasyonel olamaz.

b) (a 1; b 1), (a 2; b 2) ve (a 3; b 3) üçgenin köşelerinin koordinatları olsun. Çevrelenmiş çemberinin merkezinin koordinatları bir denklem sistemi ile verilir:

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 2) 2 + (y - b 2) 2,

(x - a 1) 2 + (y - b 1) 2 = (x - a 3) 2 + (y - b 3) 2.

Bu denklemlerin lineer olup olmadığını kontrol etmek kolaydır, bu da dikkate alınan denklem sisteminin çözümünün rasyonel olduğu anlamına gelir.

c) Böyle bir küre vardır. Örneğin, denklemi olan bir küre

(x - √ 2) 2 + y 2 + z 2 = 2.

(0; 0; 0) koordinatlı O noktası, bu küre üzerinde uzanan rasyonel bir noktadır. Kürenin geri kalan noktaları irrasyoneldir. Hadi kanıtlayalım.

Tersini varsayalım: (x; y; z) kürenin O noktasından farklı rasyonel bir noktası olsun. x = 0'da tek bir çözüm olduğundan (0; 0) x'in 0'dan farklı olduğu açıktır. ; 0) şimdi ilgilenmiyoruz. Parantezleri genişletelim ve √ 2'yi ifade edelim:

x 2 - 2√ 2 x + 2 + y 2 + z 2 = 2

√ 2 = (x 2 + y 2 + z 2) / (2x),

rasyonel x, y, z ve irrasyonel √ 2 için olamaz. Dolayısıyla, O (0; 0; 0), ele alınan küre üzerindeki tek rasyonel noktadır.

Çözümü olmayan görevler

1. Sayının olduğunu kanıtlayın

\ [\ kare (10+ \ kare (24) + \ kare (40) + \ kare (60)) \]

irrasyoneldir.

2. (5 + 3√ 2) m = (3 + 5√ 2) n eşitliği hangi m ve n tam sayıları için geçerlidir?

3. a - √ 3 ve 1 / a + √ 3 sayıları tam sayı olacak şekilde bir a sayısı var mıdır?

4. 1, √ 2, 4 sayıları aritmetik bir dizilimin (mutlaka bitişik olması gerekmez) üyeleri olabilir mi?

5. Herhangi bir n doğal sayı için (x + y√ 3) 2n = 1 + √ 3 denkleminin (x; y) rasyonel sayılarda çözümü olmadığını kanıtlayın.

İrrasyonel sayılar nelerdir? Neden böyle anılıyorlar? Nerede kullanılırlar ve nelerdir? Çok az kişi bu soruları tereddüt etmeden cevaplayabilir. Ama aslında, herkesin ihtiyacı olmasa da ve çok nadir durumlarda onlara cevaplar oldukça basittir.

Öz ve atama

İrrasyonel sayılar sonsuz periyodik değildir Bu kavramı tanıtma ihtiyacı, daha önce var olan gerçek veya gerçek, tamsayı, doğal ve rasyonel sayı kavramlarının ortaya çıkan yeni sorunları çözmek için yeterli olmamasından kaynaklanmaktadır. Örneğin 2'nin karesini hesaplamak için periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirler kullanmanız gerekir. Ek olarak, en basit denklemlerin çoğu, irrasyonel sayı kavramını ortaya koymadan da bir çözüme sahip değildir.

Bu küme I olarak gösterilir. Ve zaten açık olduğu gibi, bu değerler payında bir tamsayı olacak ve paydada basit bir kesir olarak temsil edilemez -

İlk kez, öyle ya da böyle, Hintli matematikçiler bu fenomenle 7. yüzyılda bazı niceliklerin kareköklerinin açıkça gösterilemeyeceğini keşfettiklerinde karşılaştılar. Ve bu tür sayıların varlığının ilk kanıtı, bunu bir ikizkenar dik açılı üçgeni inceleme sürecinde yapan Pisagor Hippasus'a atfedilir. Çağımızdan önce yaşamış bazı bilim adamlarının bu kümenin araştırılmasına ciddi katkıları olmuştur. İrrasyonel sayılar kavramının tanıtılması, mevcut matematiksel sistemin gözden geçirilmesini gerektirdi, bu yüzden çok önemliler.

adın kökeni

Latince oran "kesir", "oran" ise, "ir" öneki
bu kelimeye zıt anlam verir. Böylece bu sayılar kümesinin adı, tam veya kesirli sayılarla ilişkilendirilemeyeceklerini, ayrı bir yere sahip olduklarını gösterir. Bu onların özünden kaynaklanmaktadır.

Genel sınıflandırmada yer

İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılarla birlikte, sırayla karmaşık olan gerçek veya gerçek sayılar grubuna aittir. Alt küme yoktur, ancak aşağıda tartışılacak olan cebirsel ve aşkın çeşitler vardır.

Özellikleri

İrrasyonel sayılar gerçek sayılar kümesinin bir parçası olduğundan, aritmetikte incelenen tüm özellikleri (bunlara temel cebir yasaları da denir) onlar için geçerlidir.

a + b = b + a (değiştirilebilirlik);

(a + b) + c = a + (b + c) (çağrışımsallık);

a + (-a) = 0 (zıt sayının varlığı);

ab = ba (yer değiştirme yasası);

(ab) c = a (bc) (dağıtılabilirlik);

a (b + c) = ab + ac (dağıtım yasası);

a x 1 / a = 1 (karşılığın varlığı);

Karşılaştırma ayrıca genel yasalara ve ilkelere göre yapılır:

a> b ve b> c ise, o zaman a> c (ilişkinin geçişliliği) ve. vb.

Elbette, tüm irrasyonel sayılar temel aritmetik kullanılarak dönüştürülebilir. Bunun için özel kurallar yoktur.

Ek olarak, Arşimet aksiyomunun eylemi irrasyonel sayılara kadar uzanır. Herhangi iki a ve b niceliği için, a'yı yeterli sayıda terim olarak alarak b'yi aşabileceğiniz ifadesinin doğru olduğunu söylüyor.

kullanma

Sıradan yaşamda onlarla uğraşmak zorunda kalmamanıza rağmen, irrasyonel sayılar sayılmaz. Birçoğu var, ama neredeyse görünmezler. Her yerde irrasyonel sayılarla çevriliyiz. Herkesin aşina olduğu örnekler pi, eşittir 3.1415926 ... veya esasen doğal logaritmanın temeli olan e, 2.718281828 ... Cebir, trigonometri ve geometride sürekli kullanılmaları gerekir. Bu arada, "altın oranın" ünlü anlamı, yani hem büyük kısmın küçüğe oranı hem de tam tersi,

bu kümeye atıfta bulunur. Daha az bilinen "gümüş" de.

Sayı doğrusunda, çok yoğun bir şekilde yer alırlar, böylece rasyonel olanlar kümesine atıfta bulunulan herhangi iki miktar arasında, irrasyonel olana mutlaka rastlanır.

Şimdiye kadar, bu setle ilgili çözülmemiş birçok sorun var. Mantıksızlığın ölçüsü ve bir sayının normalliği gibi kriterler vardır. Matematikçiler, bir gruba veya diğerine ait olmak için en önemli örnekleri incelemeye devam ediyor. Örneğin, e'nin normal bir sayı olduğu kabul edilir, yani kaydında farklı rakamların görünme olasılığı aynıdır. Pi'ye gelince, üzerinde araştırmalar devam ediyor. İrrasyonellik ölçüsü, belirli bir sayının rasyonel sayılarla ne kadar iyi tahmin edilebileceğini gösteren bir niceliktir.

Cebirsel ve aşkın

Daha önce de belirtildiği gibi, irrasyonel sayılar geleneksel olarak cebirsel ve aşkın olarak ayrılır. Şartlı olarak, kesinlikle konuşursak, bu sınıflandırma C kümesini bölmek için kullanılır.

Bu atama, gerçek veya gerçek içeren karmaşık sayıları gizler.

Dolayısıyla cebirsel, özdeş olarak sıfır olmayan bir polinomun kökü olan bir değerdir. Örneğin, x 2 - 2 = 0 denkleminin çözümü olduğu için 2'nin karekökü bu kategoride olacaktır.

Bu koşulu sağlamayan diğer tüm gerçek sayılara aşkınsal denir. Bu çeşitlilik, en ünlü ve daha önce bahsedilen örnekleri içerir - pi sayısı ve doğal logaritma e'nin tabanı.

İlginç bir şekilde, ne biri ne de ikincisi bu kapasitede matematikçiler tarafından başlangıçta çıkarılmadı, mantıksızlıkları ve aşkınlıkları, keşiflerinden yıllar sonra kanıtlandı. Pi için, ispat 1882'de sunuldu ve 1894'te basitleştirildi ve dairenin karesini alma sorunu üzerine 2.500 yıllık tartışmayı sona erdirdi. Hala tam olarak anlaşılmamıştır, bu nedenle modern matematikçilerin üzerinde çalışacakları bir şey vardır. Bu arada, bu değerin ilk yeterince doğru hesaplanması Arşimet tarafından yapıldı. Ondan önce, tüm hesaplamalar çok kabaydı.

e (Euler veya Napier numarası) için, 1873'te aşkınlığının kanıtı bulundu. Logaritmik denklemleri çözmek için kullanılır.

Diğer örnekler, herhangi bir cebirsel sıfır olmayan değer için sinüs, kosinüs ve tanjant değerlerini içerir.

Tüm doğal sayılar kümesi N harfi ile gösterilir. Doğal sayılar nesneleri saymak için kullandığımız sayılardır: 1,2,3,4, ... Bazı kaynaklarda 0 sayısı doğal sayılar olarak da adlandırılır.

Tüm tam sayılar kümesi Z harfi ile gösterilir. Tam sayıların tümü doğal sayılardır, sıfır ve negatif sayılardır:

1,-2,-3, -4, …

Şimdi tüm tamsayılar kümesine tüm sıradan kesirler kümesini ekliyoruz: 2/3, 18/17, -4/5, vb. Sonra tüm rasyonel sayıların kümesini elde ederiz.

rasyonel sayılar kümesi

Tüm rasyonel sayılar kümesi Q harfi ile gösterilir. Tüm rasyonel sayılar kümesi (Q) m / n, -m / n biçimindeki sayılardan ve 0 sayısından oluşan kümedir. Herhangi bir doğal sayı kullanılabilir n, m olarak Tüm rasyonel sayıların sonlu veya sonsuz bir PERİYODİK ondalık kesir olarak temsil edilebileceğine dikkat edilmelidir. Bunun tersi de doğrudur, herhangi bir sonlu veya sonsuz periyodik ondalık kesir bir rasyonel sayı olarak yazılabilir.

Peki ya örneğin, 2.0100100010 sayısı ...? Sonsuz AKTARMAYAN ondalık kesirdir. Ve rasyonel sayılar için geçerli değildir.

Okul cebir dersinde sadece gerçek (veya gerçek) sayılar çalışılır. Tüm gerçek sayılar kümesi R harfi ile gösterilir. R kümesi tüm rasyonel ve tüm irrasyonel sayılardan oluşur.

İrrasyonel sayılar

İrrasyonel sayıların tümü sonsuz ondalık periyodik olmayan kesirlerdir. İrrasyonel sayıların özel bir tanımı yoktur.

Örneğin, doğal sayıların karesi olmayan doğal sayıların karekökü çıkarılarak elde edilen tüm sayılar irrasyonel olacaktır. (√2, √3, √5, √6, vb.).

Ancak irrasyonel sayıların sadece kareköklerin çıkarılmasıyla elde edildiğini düşünmeyin. Örneğin, "pi" sayısı da irrasyoneldir ve bölünerek elde edilir. Ve ne kadar uğraşırsanız uğraşın, herhangi bir doğal sayının karekökünü alarak elde edemezsiniz.

İrrasyonel sayı- bu gerçek Numara rasyonel olmayan, yani tamsayıların olduğu bir kesir olarak temsil edilemez. İrrasyonel bir sayı, sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir olarak temsil edilebilir.

Bir çok irrasyonel sayı, genellikle büyük Latince harfle kalın, doldurulmadan gösterilir. Böylece: yani irrasyonel sayılar kümesi reel ve rasyonel sayı kümeleri arasındaki fark.

İrrasyonel sayıların varlığı üzerine, daha doğrusu Birim uzunluktaki bir segmentle kıyaslanamaz segmentler eski matematikçiler tarafından zaten biliniyordu: örneğin, bir sayının irrasyonelliğine eşdeğer olan köşegenin ve bir karenin kenarının kıyaslanamazlığını biliyorlardı.

Özellikleri

• Herhangi bir gerçek sayı sonsuz bir ondalık kesir şeklinde yazılabilirken, irrasyonel sayılar ve sadece bunlar periyodik olmayan sonsuz ondalık kesirlerde yazılabilir.
• İrrasyonel sayılar, alt sınıfta en büyük sayıya sahip olmayan ve üst sınıfta en küçük sayıya sahip olmayan rasyonel sayılar kümesindeki Dedekind bölümlerini tanımlar.
• Her gerçek aşkın sayı irrasyoneldir.
• Her irrasyonel sayı ya cebirsel ya da aşkındır.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusunda her yerde yoğundur: Herhangi iki sayı arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayılamaz, ikinci kategorinin bir kümesidir.

Örnekleri

İrrasyonel:

Mantıksızlık kanıtı örnekleri

2'nin kökü

Tam tersini varsayalım: rasyonel, yani, bir tamsayı ve doğal bir sayı olan indirgenemez bir kesir olarak temsil edilir. Varsayılan eşitliğin karesini alalım:

Bundan bile, hatta ve anlamına gelir. Tamamı nerede olsun. Sonra

Bu nedenle, hatta ve anlamına gelir. Bunu aldık ve eşitiz, bu da kesrin indirgenemezliğiyle çelişiyor. Bu, ilk varsayımın yanlış olduğu ve - irrasyonel bir sayı olduğu anlamına gelir.

3'ün ikili logaritması

Tam tersini varsayalım: rasyonel, yani ve tamsayı olan bir kesir olarak temsil edilir. O zamandan beri ve pozitif olarak seçilebilir. Sonra

Ama eşit ve tuhaf. Bir çelişki elde ederiz.

e

Tarih

İrrasyonel sayılar kavramı, MÖ 7. yüzyılda Manava'nın (MÖ 750 - MÖ 690), 2 ve 61 gibi bazı doğal sayıların kareköklerinin açıkça ifade edilemeyeceğini keşfettiği zaman, Hintli matematikçiler tarafından örtük olarak benimsendi. .

İrrasyonel sayıların varlığının ilk kanıtı genellikle bu kanıtı pentagramın kenar uzunluklarını inceleyerek bulan bir Pisagorcu olan Metapontuslu Hippasus'a (MÖ 500) atfedilir. Pisagorcular zamanında, herhangi bir segmente tamsayı sayıda giren, yeterince küçük ve bölünemez tek bir uzunluk birimi olduğuna inanılıyordu. Ancak Hippasus, tek bir uzunluk birimi olmadığını kanıtladı, çünkü varlığının varsayımı bir çelişkiye yol açıyor. Bir ikizkenar dik açılı üçgenin hipotenüsü tam sayıda birim parça içeriyorsa, bu sayının aynı anda hem çift hem de tek olması gerektiğini gösterdi. Kanıt şöyle görünüyordu:

• Bir ikizkenar dik üçgende hipotenüsün uzunluğunun bacak uzunluğuna oranı şu şekilde ifade edilebilir: bir:b nerede bir ve b mümkün olan en küçük olarak seçilmiştir.
• Pisagor teoremi ile: bir² = 2 b².
• Gibi bir² bile, birçift ​​olmalıdır (çünkü tek bir sayının karesi tek olacaktır).
• kadarıyla bir:b indirgenemez b tuhaf olmalı.
• Gibi bir hatta, belirtmek bir = 2y.
• Sonra bir² = 4 y² = 2 b².
• b² = 2 y², bu nedenle b Eşittir, o zaman b hatta.
• Ancak kanıtlanmıştır ki b tuhaf. çelişki.

Yunan matematikçiler bu orantısız miktarlar oranı olarak adlandırdılar. aalogolar(anlatılamaz), ancak efsanelere göre Hippas'a hak ettiği saygıyı vermediler. Efsaneye göre Hippasus bir deniz yolculuğunda bir keşif yaptı ve diğer Pisagorcular tarafından "evrendeki tüm varlıkların tam sayılara ve onların ilişkilerine indirgenebileceği doktrinini reddeden evrenin bir öğesini yarattığı için" denize atıldı. Hippasus'un keşfi Pisagor matematiği için ciddi bir sorun teşkil etti ve sayıların ve geometrik nesnelerin bir ve ayrılmaz olduğu şeklindeki tüm teorinin altında yatan varsayımı yıktı.

Hangi sayılar irrasyoneldir? İrrasyonel sayı Rasyonel bir gerçek sayı değil, yani kesir olarak temsil edilemez (iki tam sayının oranı olarak), burada m- Bir tam sayı, n- doğal sayı . İrrasyonel sayı sonsuz periyodik olmayan ondalık kesir olarak düşünülebilir.

İrrasyonel sayı kesin olamaz. Yalnızca 3.333333 biçiminde…. Örneğin, ikinin karekökü irrasyonel bir sayıdır.

Hangi sayı irrasyoneldir? İrrasyonel sayı(rasyonel yerine) sonsuz ondalık periyodik olmayan kesir olarak adlandırılır.

Bir sürü irrasyonel sayı genellikle kalın harflerle büyük Latince harfle belirtilir, doldurulmadan. Böylece:

Şunlar. irrasyonel sayılar kümesi, gerçek ve rasyonel sayılar kümesi arasındaki farktır.

İrrasyonel sayıların özellikleri.

• Negatif olmayan 2 irrasyonel sayının toplamı bir rasyonel sayı olabilir.
• İrrasyonel sayılar, rasyonel sayılar kümesinde, en büyük sayıya sahip olmayan alt sınıfta, üst sınıfta ise daha küçüğü olmayan Dedekind bölümlerini tanımlar.
• Herhangi bir gerçek aşkın sayı irrasyonel bir sayıdır.
• Tüm irrasyonel sayılar ya cebirsel ya da aşkındır.
• İrrasyonel sayılar kümesi sayı doğrusunda her yerde yoğundur: Her sayı çifti arasında bir irrasyonel sayı vardır.
• İrrasyonel sayılar kümesindeki sıra, gerçek aşkın sayılar kümesindeki sıraya eşbiçimlidir.
• İrrasyonel sayılar kümesi sonsuzdur, 2. kategorinin bir kümesidir.
• Rasyonel sayılarla (0'a bölme hariç) her aritmetik işlemin sonucu bir rasyonel sayıdır. İrrasyonel sayılar üzerinde aritmetik işlemlerin sonucu hem rasyonel hem de irrasyonel sayı olabilir.
• Rasyonel ve irrasyonel sayıların toplamı her zaman bir irrasyonel sayı olacaktır.
• İrrasyonel sayıların toplamı bir rasyonel sayı olabilir. Örneğin,İzin vermek x mantıksız o zaman y = x * (- 1) ayrıca irrasyonel; x + y = 0, ve sayı 0 rasyonel (örneğin, herhangi bir 7 dereceli bir kök ekleyerek ve aynı derecede yedi olan bir kök eksi ekleyerek, rasyonel bir sayı 0 elde ederiz).

İrrasyonel sayılar, örnekler.

γ — ζ (3) — ρ — √2 — √3 — √5 — φ — δs — α — e — π — δ