Açıortay teoreminin bir sonucunu formüle edin. Bir üçgenin açıortayı

Tekrar merhaba! Bu videoda sizlere göstermek istediğim ilk şey bisektör teoreminin ne olduğu, ikincisi ise ispatını vermek. Yani, keyfi bir üçgenimiz var, ABC üçgeni. Ve bu üst köşenin açıortayını buraya çizeceğim. Bu, üç köşeden herhangi biri için yapılabilir, ancak ben en üsttekini seçtim (bu, teoremin kanıtını biraz daha kolaylaştıracak). Şimdi bu açının açıortayını çizelim, ABC. Ve şimdi bu sol köşe bu sağ köşeye eşit. Bisektörün AC D kenarı ile kesişme noktasına diyelim. Bisektör teoremi, bu açıortay tarafından ayrılan kenarların oranının olduğunu söylüyor ... Şey, görüyorsunuz: Bir açıortay çizdim - ve büyük ABC üçgeninden iki küçük üçgen döndü dışarı. Böylece, açıortay teoremine göre, bu daha küçük üçgenlerin diğer iki kenarı arasındaki oranlar (yani açıortay tarafı hariç) eşit olacaktır. Onlar. bu teorem, AB/AD oranının BC/CD oranına eşit olacağını söylüyor. Farklı renklerle işaretleyeceğim. AB'nin (bu taraf) AD'ye (bu tarafa) oranı, BC'nin (bu taraf) CD'ye (bu tarafa) oranına eşit olacaktır. İlginç! Bu tarafın bu tarafa oranı, bu tarafın bu tarafa oranına eşittir... Mükemmel bir sonuç, ancak benim sözüme inanmanız pek mümkün değil ve bunu kendimiz için kanıtladığımızdan emin olmak istiyorsunuz. Ve belki de tahmin etmişsinizdir, şu anda bazı yerleşik en-boy oranlarına sahibiz, o zaman teoremi üçgenlerin benzerliğini kullanarak ispatlayacağız. Ne yazık ki bizim için bu iki üçgen mutlaka benzer değildir. Bu iki açının eşit olduğunu biliyoruz, ancak örneğin bu açının (BAD) buna (BCD) eşit olup olmadığını bilmiyoruz. Bu tür varsayımları bilmiyoruz ve yapamayız. Böyle bir eşitlik oluşturmak için, bu şekildeki üçgenlerden birine benzer başka bir üçgen oluşturmamız gerekebilir. Ve bunu yapmanın bir yolu başka bir çizgi çizmektir. Açıkçası, bu konuyu ilk çalıştığımda bu kanıt benim için anlaşılmazdı, bu yüzden şimdi sizin için anlaşılmazsa, sorun değil. Bu açının açıortayını tam burada uzatırsak ne olur? Uzatalım... Diyelim ki süresiz devam ediyor. AB'ye paralel bir doğru çizersek, belki bu üçgen gibi bir üçgen oluşturabiliriz, BDA? Bunu yapmaya çalışalım. Paralel çizgilerin özelliği ile, eğer C noktası AB parçasına ait değilse, o zaman C noktasından AB parçasına paralel bir doğru çizmek her zaman mümkündür. O zaman burada başka bir bölüm alalım. Bu noktaya F diyelim. Bu FC doğru parçasının AB doğru parçasına paralel olduğunu varsayalım. FC segmenti AB segmentine paraleldir... Bunu yazacağım: FC AB'ye paraleldir. Ve şimdi burada bazı ilginç noktalarımız var. AB doğru parçasına paralel bir doğru parçası çizerek BDA üçgenine benzer bir üçgen oluşturduk. Bakalım nasıl olmuş. Benzerlikten bahsetmeden önce, burada oluşan açılardan bazıları hakkında bildiklerimizi düşünelim. Burada iç çaprazlama köşeleri olduğunu biliyoruz. Aynı paralel doğruları alın... AB'nin sonsuza kadar devam ettiğini ve FC'nin süresiz olarak devam ettiğini hayal edebilirsiniz. Ve bu durumda BF segmenti bir sekanttır. O zaman bu açı ne olursa olsun, ABD, bu açı, CFD ona eşit olacaktır (iç çapraz açıların özelliği ile). Paralel doğruların bir keseyi kestiğinde oluşan açılardan bahsettiğimizde bu tür açılarla çok kez karşılaşmışızdır. Yani bu iki açı birbirine eşit olacaktır. Ancak bu açı, DBC ve bu açı, CFD de eşit olacaktır, çünkü ABD ve DBC açıları eşittir. Sonuçta BD bir açıortaydır, yani ABD açısı DBC açısına eşittir. Yani, bu iki açı ne olursa olsun, HAD açısı onlara eşit olacaktır. Bu da ilginç bir sonuca yol açar. Bu daha büyük BFC üçgeninde tabandaki açıların eşit olduğu ortaya çıktığı için. Bu da BFC üçgeninin ikizkenar olduğu anlamına gelir. O zaman BC kenarı, FC kenarına eşit olmalıdır. BC, FC'ye eşit olmalıdır. İyi! BFC üçgeninin ikizkenar olduğunu ve dolayısıyla BC ve FC kenarlarının eşit olduğunu göstermek için sekant tarafından oluşturulan iç çapraz açıların özelliğini kullandık. Ve bu bizim için yararlı olabilir, çünkü. bunu biliyoruz... Eğer bilmiyorsak, en azından bu iki üçgenin benzer olacağını hissediyoruz. Henüz kanıtlayamadık. Ancak az önce kanıtladığımız şey, VS tarafı hakkında bir şeyler öğrenmemize nasıl yardımcı olabilir? BC kenarının FC kenarına eşit olduğunu az önce kanıtladık. AB/AD oranının FC/CD oranına eşit olduğunu kanıtlayabilirsek, işin yapıldığını düşünün, çünkü BC = FC olduğunu az önce kanıtlamış olduk. Ama teoreme dönmeyelim - ispatın bir sonucu olarak ona gelelim. Böylece, FC doğru parçasının AB'ye paralel olması, BFC üçgeninin ikizkenar olduğunu ve BC ile FC kenarlarının eşit olduğunu bulmamıza yardımcı oldu. Şimdi burada diğer açılara bakalım. ABD (bu) üçgenine ve FDC üçgenine bakarsak, bunların bir çift eşit açıya sahip olduklarını zaten bulduk. Ama aynı zamanda ABD üçgeninin bu açısı, FDC üçgeninin bu açısına göre dikeydir, yani bu açılar eşittir. Ve biliyoruz ki, bir üçgenin iki açısı sırasıyla diğerinin iki açısına eşitse (peki, o zaman üçüncü karşılık gelen açılar da eşit olacaktır), o zaman iki açıdaki üçgenlerin benzerliğinin işaretiyle, bu ikisinin olduğu sonucuna varabiliriz. üçgenler benzerdir. Onu yazacağım. Ve yazarken köşelerin birbirine karşılık geldiğinden emin olmanız gerekir. Yani, iki köşenin benzerliğine dayanarak biliyoruz ki... Ve yeşille işaretlenmiş köşeyle başlayacağım. B üçgenini biliyoruz... Sonra mavi ile işaretlenmiş köşeye git... BDA üçgeni bir üçgene benziyor... Ve yine yeşil ile işaretlenmiş köşeden başla: F (sonra mavi ile işaretlenmiş köşeye git) ... Bir üçgen FDC'ye benzer. Şimdi bisektör teoremine geri dönelim. AB/AD en boy oranıyla ilgileniyoruz. AB'nin AD'ye oranı... Bildiğimiz gibi, benzer üçgenlerin karşılık gelen kenarlarının oranları eşittir. Veya benzer bir üçgenin iki kenarının oranını bulabilir ve bunu başka bir benzer üçgenin karşılık gelen kenarlarının oranıyla karşılaştırabilir. Onlar da eşit olmalıdır. Yani, BDA ve FDC üçgenleri benzer olduğu için, AB ilişkisi... Bu arada, üçgenler iki açıda benzer, o yüzden buraya yazacağım. Çünkü üçgenler benzerdir, o zaman AB/AD oranının olacağını biliyoruz... Ve karşılık gelen kenarları bulmak için burada benzerlik ifadesine bakabiliriz. AB'ye karşılık gelen kenar CF kenarıdır. Onlar. AB/AD eşittir CF bölü... AD tarafı CD tarafıdır. Yani CF/CD. Böylece şu oranı elde ettik: AB/AD=CF/CD. Ancak (BFC bir ikizkenar üçgen olduğundan) CF'nin BC'ye eşit olduğunu zaten kanıtladık. Yani burada CF'yi BC ile değiştirebiliriz. Kanıtlanması gereken buydu. AB/AD=BC/CD olduğunu kanıtladık. Dolayısıyla, bu teoremi kanıtlamak için öncelikle bir tane daha üçgen oluşturmak gerekir, bu üçgen. AB ve CF parçalarının paralel olduğunu varsayarsak, iki üçgenin karşılık gelen iki eşit açısını elde edebilirsiniz - bu da üçgenlerin benzerliğini gösterir. Başka bir üçgen kurduktan sonra, burada benzer iki üçgen olmasına ek olarak, bu daha büyük üçgenin ikizkenar olduğunu da kanıtlayabileceğiz. Ve sonra şunu söyleyebiliriz: benzer bir üçgenin bu kenarı ile bu kenarı arasındaki oran, başka bir benzer üçgenin karşılık gelen kenarlarının (bu ve bu) oranına eşittir. Bu, bu kenar ile bu kenar arasındaki oranın BC/CD oranına eşit olduğunu kanıtladığımız anlamına gelir. Q.E.D. Görüşürüz!

Bir doğrunun orta noktasının ne olduğunu biliyor musunuz? Tabii ki. Ve dairenin merkezi? Fazla.

Bir açının orta noktası nedir?

Bunun olmayacağını söyleyebilirsiniz. Ama neden, segment ikiye bölünebilir, ancak açı bölünemez? Oldukça mümkün - sadece bir nokta değil, ama .... astar.

Şakayı hatırlıyor musun: bisektör, köşelerde koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir. Yani bisektörün gerçek tanımı şu fıkraya çok benzer:

Bir üçgenin açıortayı bu açının köşesini karşı taraftaki bir nokta ile birleştiren bir üçgenin açıortayının bir parçasıdır.

Bir zamanlar, eski gökbilimciler ve matematikçiler, açıortayın birçok ilginç özelliğini keşfettiler. Bu bilgi, insanların hayatlarını büyük ölçüde basitleştirdi.

Bu konuda yardımcı olacak ilk bilgi...

Bu arada, tüm bu terimleri hatırlıyor musun? Birbirlerinden nasıl farklı olduklarını hatırlıyor musunuz? Değil? Korkutucu değil. Şimdi çözelim.

• Bir ikizkenar üçgenin tabanı- bu, diğerine eşit olmayan taraftır. Resme bakın, sizce hangi taraf? Bu doğru - bu bir taraf.
• Medyan, bir üçgenin tepe noktasından çizilen ve karşı tarafı ikiye bölen bir çizgidir (yine bu). "İkizkenar üçgenin medyanı" demediğimize dikkat edin. Neden biliyor musun? Çünkü bir üçgenin köşesinden çizilen medyan HERHANGİ bir üçgende karşı tarafı ikiye böler.
• Yükseklik, üstten çizilen ve tabana dik olan bir çizgidir. Fark ettin? Yine sadece bir ikizkenardan değil, herhangi bir üçgenden bahsediyoruz. HERHANGİ bir üçgende yükseklik her zaman tabana diktir.

Peki, anladın mı? Hemen hemen.

Bisektörün, medyanın ve yüksekliğin ne olduğunu daha iyi anlamak ve sonsuza kadar hatırlamak için ihtiyaçları vardır. birbirleriyle karşılaştırmak ve nasıl benzer olduklarını ve birbirlerinden nasıl farklı olduklarını anlayın.

Aynı zamanda, daha iyi hatırlamak için her şeyi “insan dili” ile anlatmak daha iyidir.

O zaman matematiğin diliyle kolayca işleyeceksiniz ama ilk başta bu dili anlamıyorsunuz ve her şeyi anlamanız gerekiyor. kendi dilinizde.

Peki nasıl benzerler?

Bisektör, medyan ve yükseklik - hepsi üçgenin tepe noktasından "dışarı çıkar" ve zıt yönde dayanır ve ya çıktıkları açıyla ya da karşı tarafla "bir şeyler yapar".

Bence basit, değil mi?

Ve nasıl farklılık gösterirler?

• Bisektör, çıktığı açıyı ikiye böler.
• Medyan karşı tarafı ikiye böler.
• Yükseklik daima karşı tarafa diktir.

Bu kadar. Anlamak kolaydır. Bir kez anladığında, hatırlayabilirsin.

Şimdi sıradaki soru.

O halde neden bir ikizkenar üçgen söz konusu olduğunda, açıortay aynı anda hem ortanca hem de yükseklik oluyor?

Sadece şekle bakabilir ve medyanın tamamen eşit iki üçgene ayrıldığından emin olabilirsiniz.

Bu kadar! Ancak matematikçiler gözlerine inanmaktan hoşlanmazlar. Her şeyi kanıtlamaları gerekiyor.

Korkunç kelime?

Böyle bir şey yok - her şey basit! Bakın: ve eşit taraflara sahipler ve ortak bir yanları var ve. (- bisektör!) Böylece iki üçgenin iki eşit kenarı ve aralarında bir açı olduğu ortaya çıktı.

Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini hatırlıyoruz (hatırlamayın, konuya bakın) ve bunun anlamının = ve olduğu sonucuna varıyoruz.

Bu zaten iyi - medyan olduğu ortaya çıktı.

Ama bu ne?

Resme bakalım -. Ve anladık. Yani, çok! Sonunda, yaşasın! Ve.

Bu kanıtı zor buldunuz mu? Resme bakın - iki özdeş üçgen kendileri için konuşur.

Her durumda, lütfen unutmayın:

Şimdi daha zor: sayacağız herhangi bir üçgende bisektörler arasındaki açı! Korkma, o kadar da zor değil. Resme bak:

Hadi sayalım. Bunu hatırlıyor musun bir üçgenin iç açılarının toplamı?

Bu şaşırtıcı gerçeği uygulayalım.

Bir yandan, gelen:

yani

Şimdi bakalım:

Ama bisektörler, bisektörler!

Şunu hatırlayalım:

Şimdi mektuplar aracılığıyla

Şaşırtıcı değil mi?

Anlaşıldı ki iki açının açıortayları arasındaki açı sadece üçüncü açıya bağlıdır!

Şey, iki bisektöre baktık. Ya üç tane varsa??!! Hepsi aynı noktada kesişecek mi?

Yoksa olacak mı?

Nasıl düşünüyorsun? Burada matematikçiler düşündü, düşündü ve kanıtladı:

Gerçekten harika?

Bunun neden olduğunu bilmek ister misin?

Bir sonraki seviyeye geçin - bisektör hakkında yeni bilgi zirvelerini fethetmeye hazırsınız!

AÇIORTAY. ORTALAMA SEVİYE

Bisektörün ne olduğunu hatırlıyor musun?

Bir açıortay, bir açıyı ikiye bölen bir çizgidir.

Problemdeki bisektörle tanıştınız mı? Aşağıdaki harika özelliklerden birini (ve bazen birkaçını) uygulamaya çalışın.

1. Bir ikizkenar üçgende Bisektör.

"Teorem" kelimesinden korkuyor musun? Eğer korkuyorsan, o zaman - boşuna. Matematikçiler, diğer, daha basit ifadelerden bir şekilde çıkarsanabilecek herhangi bir ifadeyi, bir matematik teoremi olarak adlandırmaya alışkındır.

Yani, dikkat, teorem!

kanıtlayalım bu teorem, yani, bunun neden olduğunu anlayacağız? İkizkenarlara bakın.

Onlara dikkatlice bakalım. Ve sonra göreceğiz ki

1. - Genel.

Ve bu şu anlama gelir (daha doğrusu, üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini hatırlayın!), Bu.

Ne olmuş? Öyle söylemek ister misin? Ve bu üçgenlerin üçüncü kenarlarına ve kalan açılarına henüz bakmamış olmamız.

Ve şimdi görelim. Bir kez, o zaman kesinlikle tam olarak ve hatta ek olarak.

öyle oldu yani

1. tarafı ikiye böldü, yani medyan çıktı
2. , bu, her ikisinin de açık olduğu anlamına gelir, çünkü (şekle tekrar bakın).

Böylece bir bisektör ve bir yükseklik olduğu ortaya çıktı!

Yaşasın! Teoremi kanıtladık. Ama tahmin edin, hepsi bu kadar değil. Sadık ve converse teoremi:

Kanıt? İlgilenir misiniz? Bir sonraki teori seviyesini okuyun!

Ve eğer ilgilenmiyorsan, o zaman sıkıca hatırla:

Neden hatırlamak zor? Nasıl yardımcı olabilir? Bir göreviniz olduğunu hayal edin:

Verilen: .

Bulmak: .

Hemen düşünürsünüz, bisektör ve bakın, o tarafı ikiye böldü! (şartla…). Bunun olacağını kesin olarak hatırlıyorsan sadece bir ikizkenar üçgende, o zaman şu sonuca varırsınız, yani cevabı yazın:. Harika, değil mi? Tabii ki, tüm görevler o kadar kolay olmayacak, ancak bilgi kesinlikle yardımcı olacaktır!

Ve şimdi bir sonraki mülk. Hazır?

2. Bir açının açıortayı, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

Korkmuş? Aslında, endişelenecek bir şey yok. Tembel matematikçiler dördü iki satıra sakladılar. Peki, bu ne anlama geliyor, "Bisector - noktaların yeri"? Bu da hemen idam edildikleri anlamına gelir. 2ifadeler:

1. Bir açıortay üzerinde bir nokta varsa, bu noktadan açının kenarlarına olan mesafeler eşittir.
2. Bir noktada açının kenarlarına olan mesafeler eşitse, o zaman bu nokta mutlaka bisektör üzerinde yatıyor.

1 ve 2 numaralı ifadeler arasındaki farkı görüyor musunuz? Değilse, o zaman "Alice Harikalar Diyarında" daki Şapkacı'yı hatırlayın: "Yani hala söyleyecek iyi bir şeyiniz var, sanki "ne yediğimi görüyorum" ve "gördüğümü yiyorum" aynı şeymiş gibi!

Öyleyse, 1. ve 2. ifadeleri ve ardından ifadeyi kanıtlamamız gerekiyor: "ortay, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir" ispatlanacak!

1 neden doğru?

Bisektörün herhangi bir noktasını alın ve arayın.

Bu noktadan açının kenarlarına dik açılar bırakalım.

Ve şimdi ... dik üçgenlerin eşitlik işaretlerini hatırlamaya hazırlanın! Bunları unuttuysanız, bölüme bakın.

Yani ... iki dik üçgen: ve. Onlar sahip:

• ortak hipotenüs.
• (çünkü - bisektör!)

Yani - açı ve hipotenüs ile. Bu nedenle, bu üçgenlerin karşılık gelen bacakları eşittir! yani

Noktanın açının kenarlarından eşit olarak (veya eşit olarak) uzaklaştırıldığını kanıtladık. 1. madde işlendi. Şimdi 2. maddeye geçelim.

2 neden doğru?

Ve noktaları birleştirin.

Yani, bisektörde yatıyor!

Bu kadar!

Bütün bunlar problem çözmeye nasıl uygulanabilir? Örneğin, görevlerde genellikle böyle bir ifade vardır: "Daire açının kenarlarına dokunur ...". Bir şey bulmalısın.

bunu çabuk anlarsın

Ve eşitliği kullanabilirsiniz.

3. Bir üçgende üç bisektör bir noktada kesişir

Bisektörün, açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeri olma özelliğinden aşağıdaki ifade çıkar:

Tam olarak nasıl akıyor? Ama bakın: iki bisektör kesinlikle kesişecek, değil mi?

Ve üçüncü bisektör şöyle gidebilir:

Ama aslında, her şey çok daha iyi!

İki bisektörün kesişim noktasını ele alalım. Onu arayalım.

Burada iki kere ne kullandık? Evet paragraf 1, elbette! Bir nokta açıortay üzerinde bulunuyorsa, açının kenarlarından eşit uzaklıkta demektir.

Ve böylece oldu.

Ama bu iki eşitliğe dikkatlice bakın! Sonuçta, onlardan ve bu nedenle, .

Ve şimdi işe yarayacak 2. nokta: açının kenarlarına olan mesafeler eşitse, nokta hangi açının açıortayı üzerindedir? Resme tekrar bakın:

ve açının kenarlarına olan mesafelerdir ve eşittirler, bu da noktanın açının açıortayı üzerinde olduğu anlamına gelir. Üçüncü bisektör aynı noktadan geçti! Üç bisektörün hepsi bir noktada kesişiyor! Ve ek bir hediye olarak -

yarıçap yazılıçevreler.

(Sadakat için başka bir konuya bakın).

Eh, şimdi asla unutmayacaksın:

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, içinde yazılı dairenin merkezidir.

Bir sonraki mülke geçelim ... Vay be, bisektörün birçok özelliği var, değil mi? Ve bu harika, çünkü daha fazla özellik, açıortay ile ilgili sorunları çözmek için daha fazla araç.

4. Bisektör ve paralellik, bitişik açıların bisektörleri

Bisektörün açıyı ikiye ayırması bazı durumlarda tamamen beklenmedik sonuçlara yol açar. Örneğin,

Dava 1

Harika, değil mi? Nedenini anlayalım.

Bir yandan bisektör çiziyoruz!

Ancak öte yandan, - çapraz uzanan köşeler gibi (konuyu hatırlayın).

Ve şimdi ortaya çıkıyor; ortayı atmak: ! - ikizkenar!

2. durum

Bir üçgen hayal edin (veya bir resme bakın)

Nokta nokta devam edelim. Şimdi iki köşe var:

• - iç köşe
• - dış köşe - dışarıda, değil mi?

Yani, şimdi birileri bir değil, aynı anda iki bisektör çizmek istedi: için ve için. Ne olacak?

Ve ortaya çıkacak dikdörtgen!

Şaşırtıcı bir şekilde, tam olarak bu.

Anlıyoruz.

Sizce miktar nedir?

Tabii ki, hepsi birlikte öyle bir açı yaptıkları için düz bir çizgi olduğu ortaya çıkıyor.

Ve şimdi bunu hatırlıyoruz ve açıortaylar ve açının içinde tam olarak olduğunu göreceğiz. yarım dört açının toplamından: ve - - yani, tam olarak. Denklem olarak da yazılabilir:

Yani, inanılmaz ama gerçek:

Üçgenin iç ve dış açılarının açıortayı arasındaki açı eşittir.

vaka 3

Burada her şeyin iç ve dış köşelerle aynı olduğunu görüyor musunuz?

Yoksa bunun neden böyle olduğunu tekrar mı düşünüyoruz?

Yine bitişik köşelere gelince,

(paralel bazlara karşılık gelen şekilde).

Ve yine makyaj tam olarak yarısı toplamdan

Çıktı: Problemde bisektörler varsa ilişkili açılar veya bisektörler saygılı paralelkenar veya yamuk açıları, o zaman bu problemde kesinlikle bir dik üçgen ve hatta bütün bir dikdörtgen söz konusudur.

5. Bisektör ve karşı taraf

Bir üçgenin açıortayının karşı tarafı bir şekilde değil, özel ve çok ilginç bir şekilde böldüğü ortaya çıktı:

yani:

Şaşırtıcı gerçek, değil mi?

Şimdi bu gerçeği kanıtlayacağız, ama hazır olun: eskisinden biraz daha zor olacak.

Yine - "uzaya" bir çıkış - ek bir bina!

Düz gidelim.

Ne için? Şimdi göreceğiz.

Bisektörü çizgiyle kesişmeye devam ediyoruz.

Tanıdık bir resim mi? Evet, evet, evet, 4. paragraftaki ile tamamen aynı, durum 1 - ortaya çıktı ki (- bisektör)

Çapraz yalan söylemek gibi

Yani, bu da öyle.

Şimdi üçgenlere bakalım ve.

Onlar hakkında ne söylenebilir?

Onlar benzer. Evet, açıları dikey olarak eşittir. Yani iki köşe.

Şimdi ilgili tarafların ilişkilerini yazma hakkımız var.

Ve şimdi kısa gösterimle:

Ah! Bana bir şeyi hatırlatıyor, değil mi? Kanıtlamak istediğimiz de bu değil miydi? Evet, evet, bu kadar!

"Uzay yürüyüşünün" ne kadar harika olduğunu görüyorsunuz - ek bir düz çizginin inşası - onsuz hiçbir şey olmazdı! Ve böylece kanıtladık

Artık güvenle kullanabilirsiniz! Bir üçgenin açılarının açıortaylarının bir özelliğini daha analiz edelim - korkma, şimdi en zor şey bitti - daha kolay olacak.

anladık

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Neyse konu kapandı. Bu satırları okuyorsanız çok iyisiniz demektir.

Çünkü insanların sadece %5'i kendi başlarına bir konuda ustalaşabiliyor. Ve sonuna kadar okuduysanız, %5'lik dilimdesiniz!

Şimdi en önemli şey.

Bu konudaki teoriyi anladınız. Ve tekrar ediyorum, bu... bu süper! Zaten yaşıtlarının büyük çoğunluğundan daha iyisin.

Sorun şu ki, bu yeterli olmayabilir ...

Ne için?

Sınavı başarıyla geçmek, enstitüye bütçeden kabul edilmek ve EN ÖNEMLİ olarak ömür boyu.

Seni hiçbir şeye ikna etmeyeceğim, sadece bir şey söyleyeceğim ...

İyi bir eğitim almış insanlar, almayanlara göre çok daha fazla kazanırlar. Bu istatistik.

Ama asıl mesele bu değil.

Ana şey, DAHA MUTLU olmalarıdır (böyle çalışmalar var). Belki de önlerinde çok daha fazla fırsat açıldığı ve hayat daha parlak hale geldiği için? Bilmemek...

Ama kendin düşün...

Sınavda diğerlerinden daha iyi olmak ve nihayetinde ... daha mutlu olmak için ne gerekiyor?

ELİNİZİ DOLDURUN, BU KONUDAKİ SORUNLARI ÇÖZÜN.

Sınavda size teori sorulmayacak.

İhtiyacın olacak sorunları zamanında çözmek.

Ve eğer onları çözmediyseniz (ÇOK!), bir yerde kesinlikle aptalca bir hata yapacaksınız ya da zamanında yapamayacaksınız.

Sporda olduğu gibi - kesin olarak kazanmak için birçok kez tekrarlamanız gerekir.

İstediğiniz yerde bir koleksiyon bulun mutlaka çözümlerle, detaylı analizlerle ve karar ver, karar ver, karar ver!

Görevlerimizi kullanabilirsiniz (gerekli değildir) ve kesinlikle tavsiye ederiz.

Görevlerimizin yardımıyla yardım almak için, şu anda okumakta olduğunuz YouClever ders kitabının ömrünü uzatmaya yardımcı olmanız gerekir.

Nasıl? İki seçenek var:

1. Bu makaledeki tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın -
2. Eğitimin 99 makalesinin tümünde tüm gizli görevlere erişimin kilidini açın - Bir ders kitabı satın alın - 899 ruble

Evet, ders kitabında bu tür 99 makalemiz var ve tüm görevlere ve içindeki tüm gizli metinlere erişim anında açılabilir.

Tüm gizli görevlere erişim, sitenin tüm ömrü boyunca sağlanır.

Sonuç olarak...

Görevlerimizi beğenmiyorsanız, başkalarını bulun. Sadece teori ile durma.

“Anlaşıldı” ve “Nasıl çözüleceğini biliyorum” tamamen farklı becerilerdir. İkisine de ihtiyacın var.

Sorunları bulun ve çözün!

Bu dersimizde açının açıortayı üzerinde bulunan noktaların ve doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunan noktaların hangi özelliklere sahip olduğunu detaylı olarak ele alacağız.

Tema: Daire

Ders: Bir doğru parçasının açıortay ve dik açıortay özellikleri

Açıortay üzerinde uzanan bir noktanın özelliklerini düşünün (bkz. Şekil 1).

Pirinç. 1

Bir açı verildiğinde, onun açıortayı AL, M noktası açıortayı üzerindedir.

teorem:

M noktası açının açıortayı üzerinde bulunuyorsa, açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, yani M noktasından AC'ye ve açının kenarlarının BC'ye olan uzaklıkları eşittir.

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik açılı üçgenlerdir ve eşittirler çünkü. ortak bir AM hipotenüsüne sahiptir ve AL açının açıortayı olduğundan, açılar ve eşittir. Böylece, dik açılı üçgenler hipotenüs ve dar açı bakımından eşittir, dolayısıyla kanıtlanması gereken . Böylece, bir açının açıortayı üzerindeki bir nokta, o açının kenarlarından eşit uzaklıktadır.

Ters teoremi doğrudur.

Bir nokta, genişlemeyen bir açının kenarlarından eşit uzaklıktaysa, açıortayı üzerinde bulunur.

Pirinç. 2

Açılmamış bir açı verilmiştir, M noktası, bu noktadan açının kenarlarına olan mesafe aynı olacaktır (bkz. Şekil 2).

M noktasının açının açıortayı üzerinde olduğunu kanıtlayın.

Kanıt:

Bir noktadan bir çizgiye olan mesafe, dikin uzunluğudur. M noktasından MK diklerini AB kenarına ve MP'yi AC kenarına çizin.

Üçgenleri düşünün ve . Bunlar dik açılı üçgenlerdir ve eşittirler çünkü. ortak bir hipotenüs AM'ye sahip, bacaklar MK ve MR koşula göre eşittir. Böylece, dik üçgenler hipotenüs ve bacakta eşittir. Üçgenlerin eşitliğinden, karşılık gelen elemanların eşitliği gelir, eşit açılar eşit bacaklara karşı uzanır, böylece, , bu nedenle, M noktası verilen açının açıortayı üzerindedir.

Doğrudan ve ters teoremler birleştirilebilir.

teorem

Genişletilmemiş bir açının açıortayı, verilen açının kenarlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

teorem

Üçgenin açıortayı AA 1 , BB 1 , CC 1 bir O noktasında kesişir (bakınız Şekil 3).

Pirinç. 3

Kanıt:

İlk iki açıortay BB 1 ve СС 1'i ele alalım. Kesişirler, kesişme noktası O vardır. Bunu kanıtlamak için tersini varsayalım - verilen açıortayların kesişmemesine izin verin, bu durumda paraleldirler. O zaman BC doğrusu bir kesendir ve açıların toplamı bu, üçgenin bütününde açıların toplamının olduğu gerçeğiyle çelişir.

Böylece, iki açıortayın kesiştiği O noktası vardır. Özelliklerini düşünün:

O noktası açıortayı üzerinde yer alır, yani BA ve BC kenarlarından eşit uzaklıktadır. OK, BC'ye dikse, OL BA'ya dikse, bu diklerin uzunlukları -'ye eşittir. Ayrıca, O noktası açının açıortayı üzerinde yer alır ve CB ve CA kenarlarından eşit uzaklıktadır, OM ve OK dikmeleri eşittir.

Aşağıdaki eşitlikleri elde ettik:

yani O noktasından üçgenin kenarlarına bırakılan üç dikmenin hepsi birbirine eşittir.

OL ve OM diklerinin eşitliği ile ilgileniyoruz. Bu eşitlik, O noktasının açının kenarlarından eşit uzaklıkta olduğunu, dolayısıyla AA 1 ortay üzerinde bulunduğunu söyler.

Böylece, bir üçgenin üç bisektörünün hepsinin bir noktada kesiştiğini kanıtladık.

Segmentin, dik açıortayının ve dik açıortay üzerinde bulunan noktanın özelliklerinin ele alınmasına dönelim.

AB segmenti verilmiştir, p dik açıortaydır. Bu, p doğrusunun AB doğru parçasının orta noktasından geçtiği ve ona dik olduğu anlamına gelir.

teorem

Pirinç. 4

Dik açıortay üzerinde bulunan herhangi bir nokta, parçanın uçlarından eşit uzaklıktadır (bkz. Şekil 4).

Kanıtla

Kanıt:

Üçgenleri düşünün ve . Dikdörtgen ve eşittirler çünkü. ortak bir OM bacağı var ve AO ve OB'nin bacakları koşul olarak eşittir, bu nedenle, iki ayakta eşit iki dik açılı üçgenimiz var. Buradan, üçgenlerin hipotenüslerinin de eşit olduğu, yani kanıtlanması gerektiği sonucu çıkar.

AB segmentinin birçok daire için ortak bir akor olduğuna dikkat edin.

Örneğin, M noktasında ortalanmış ve MA ve MB yarıçapında ilk daire; N noktasında ortalanmış ikinci daire, yarıçap NA ve NB.

Böylece, bir doğru parçasına dik açıortayda bir nokta bulunuyorsa, bu noktanın parçanın uçlarından eşit uzaklıkta olduğunu kanıtladık (bkz. Şekil 5).

Pirinç. beş

Ters teoremi doğrudur.

teorem

Bir M noktası bir doğru parçasının uçlarından eşit uzaklıktaysa, bu doğru parçasına dik açıortay üzerinde bulunur.

AB segmenti verilmiştir, medyan ona diktir, M noktası segmentin uçlarından eşit uzaklıktadır (bkz. Şekil 6).

M noktasının doğru parçasına dik açıortay üzerinde olduğunu kanıtlayın.

Pirinç. 6

Kanıt:

Bir üçgen düşünelim. Duruma göre ikizkenardır. Üçgenin medyanını düşünün: O noktası AB tabanının orta noktasıdır, OM medyanıdır. Bir ikizkenar üçgenin özelliğine göre, tabanına çizilen medyan hem yükseklik hem de açıortaydır. Dolayısıyla bunu takip eder. Ancak p doğrusu AB'ye de diktir. AB doğru parçasına tek bir dikin O noktasına çizilebileceğini biliyoruz, bu da OM ve p doğrularının çakıştığı anlamına gelir, dolayısıyla M noktasının p doğrusuna ait olduğu ve bunun kanıtlanması gerektiği sonucu çıkar.

Doğrudan ve ters teoremler genelleştirilebilir.

teorem

Bir doğru parçasının dik açıortay, uçlarından eşit uzaklıkta bulunan noktaların geometrik yeridir.

Bildiğiniz gibi bir üçgen üç parçadan oluşur, yani içine üç dik açıortay çizilebilir. Bir noktada kesiştikleri ortaya çıktı.

Bir üçgenin dik açıortayları bir noktada kesişir.

Bir üçgen verilir. Kenarlarına dik: P 1 BC tarafına, P 2 AC tarafına, P 3 AB tarafına (bkz. Şekil 7).

Р 1 , Р 2 ve Р 3 diklerinin O noktasında kesiştiğini kanıtlayın.

Tataristan Cumhuriyeti Eğitim ve Bilim Bakanlığı

Eğitim Dairesi Yürütme Kurulu

Tataristan Cumhuriyeti'nin Bugulma belediye bölgesi

Bugülma

Bireysel konuların derinlemesine çalışıldığı 1 numaralı MBOU ortaokulu

Sınıf: 9 A

Araştırma çalışması

Başlık:Bir üçgenin açıortay

Öğrenci: Aleksandrov A.A.

Başkan: Chukanova I.I.

Bugülma, 2012

İçerik.

1. Giriş …………………………………………………………………………3

2. Ana kısım:

2.1. Teoremin bir üçgenin açıortayına göre formülasyonu……………...4

2.2. Üçgen açıortay teoremini kanıtlamanın çeşitli yolları……………………………………………………………………………..

2.21. Benzerlik yöntemi……………………………………………………………

2.22. Alan Yöntemi……………………………………………………………5

2.23. Sınırlı daire …………………………………………………..

2.24 Sinüs teoremi. ……………………………………………………...6

2.25.Vektör yöntemi………………………………………………………………7

2.26. Eksenel simetri kullanarak ispat……………………

2.3. Uygulamaya yönelik problem çözme…………………………………………………..8

2.31. Ders kitabından problem çözme………………………………………………..

2.32. Olimpiyat Problemlerini Çözme………………………………………………….

3. Sonuç ………………………………………………………………...........10

4. Kullanılan literatür …………………………………………………….11

1. Giriş.

İlk geometrik kavramlar tarih öncesi zamanlarda ortaya çıktı. İnsan sadece doğayı pasif olarak gözlemlemekle kalmadı, aynı zamanda zenginliklerini pratik olarak ustalaştırdı ve kullandı. Maddi ihtiyaçlar insanları alet yapmaya, taş kesmeye ve konut inşa etmeye, çanak çömlek yapmaya ve bir yay bağlamaya sevk etti. İnsanlar yaylarını gerdiler, düz kenarlı çeşitli nesneler yaptılar ve yavaş yavaş soyut düz çizgi kavramına ulaştılar.

Pratik insan etkinliği, uzun bir soyut kavramlar geliştirme, en basit geometrik bağımlılıkları ve ilişkileri keşfetme sürecinin temelini oluşturdu.

Zamanla, çok sayıda geometrik gerçek biriktiğinde, insanlar genelleme yapmaya, bazı unsurların diğerlerine bağımlılığını netleştirmeye, mantıksal bağlantılar ve kanıtlar kurmaya ihtiyaç duyarlar. geometri oldubilim, ancak içindeki teoremlerin ve kanıtların ortaya çıkmasından sonra.

Temel geometrik gerçekler arasında, bir üçgenin açıortayı üzerindeki teoremi de içermelidir.

Üçgen açıortay teoremi genellikle geometrik problemlerin çözümünde kullanılır. Teorem, kanıtlamak için birçok yöntem olması bakımından ilginçtir (benzerlik yöntemi, alan yöntemi, hareket yöntemi vb.). Bu yazıda, bu dikkate değer teoremi kanıtlamanın sadece 4 yolu önerilmiştir.

Çalışmanın amacı ve hedefleri:

Üçgen açıortay teoreminin ispatlarını incelemek.

Çizimlerle çalışmayı öğrenin.

Teoremin uygulanmasına ilişkin problemleri çözer.

Pratik içerikli problemler oluşturun ve çözün.

Ana bölüm.

2.1. Üçgen açıortay teoreminin ifadesi.

Teorem: Bir üçgenin bir iç açısının açıortayı böler

karşı taraf orantılı parçalara

üçgenin bitişik kenarları.

EğerBDbisektördür ∆ABC, sonra eşitlik.

2.2. Bisektör Teoremini Kanıtlamanın Farklı Yolları

üçgenin köşesi.

2.21. benzerlik yöntemi

Düz bir çizgi çekelimmbisektöre paralelBD.

ABD =  DBC(ÇünküBD- bisektör).

DBC = BCD₁ (Çünkümǁ BDVeM.Ö- sekant).

BD₁ C = ABD(Çünkümǁ BDVeBD₁ - sekant).

BCD₁ = BD₁ C.

yani ∆BCD₁ - ikizkenar=> M.Ö= BD₁ .

∆ABD ∆ AD₁ C(iki köşe).

Sonuç olarak:

Q.E.D.

2.22. alan yöntemi.

∆ düşününABDve ∆MİA.

S ∆ ABD : S ∆ MİA = AD : DC (çünküH- toplam yükseklik).

BDbisektördür ∆ABC. Bisektörün her noktasıBDeşit uzaklıkta

partiler ∆ ABC. Anlamına geliyorD.H. = DM- yükseklikler ∆ ABDve ∆MİA.

S ∆ ABD : S ∆ MİA = AB : M.Ö.

böyle:AB:BC=AD:DİTİBAREN=> AB:AD=BC:DİTİBAREN.

Q.E.D.

2.23 Sınırlandırılmış daire.

Etrafı tarif edelim ∆ABCDaire. Devam edelimBDile kesişme noktasına

E noktasındaki daire

∆BAE∆ bdc(iki köşe). Anlamına geliyor: (1).

∆M.Ö.∆ kötü(iki köşe). Anlamına geliyor: (2).

∆'den beriACE- ikizkenar, sonraAE = CE. O zamanlarAB ∙ DC = BC ∙ AD=>

Q.E.D.

2.24. Sinüs yasasına göre.

bir üçgendeABCABD =  DBC = β (ÇünküBDbisektördür ∆ABC).

∆ düşününABD. Sinüs yasasına göre: (1).

∆ düşününBCD. Sinüs yasasına göre:

(2).

Sonuç olarak:.

Q.E.D.

2.25.Vektör yöntemi.

AC doğru parçasının herhangi bir D noktası için, vektör ,

neredek = ve 1-k = .

Yok canım,

Bizim durumumuzda, vektör vektöre paralel ∙ + ∙ ,

ve bu nedenle = : , sonra = , nerede = .

Q.E.D.

2.26 Eksenel simetri.

Eksenel simetri gerçekleştirinSüçgenABCNispetenBD,

alırızS BD (A)=A 1 , S BD (C)=C 1 VeS BD (B)=B.

sonra ∆HKM 1 ∆ AD 1 (iki köşede) ve ∆ SS 1 B ∆ AA 1 B(iki köşe).

AB = A 1 B(çünkü ∆ABA 1 - ikizkenar).

O zamanlar Ve . Sonuç olarak, .

Q.E.D.

2.3 Uygulama için problem çözme.

2.31 Ders kitabından görev.

Ortanca ve yükseklik üçgeni üç eşit parçaya böler. Üçgenin açılarını bulun.

∆ ACH=∆ AÇSbacak ve akut açı boyunca.

Bu nedenle, ∆ACM - ikizkenar, AN=NM. AH = HM = a, MB = 2a olsun.

Bisektör SM'nin mülkü ile ∆HGüneş var: . O halde CB = 2CH,

RVH=30⁰ , РВСН= 60⁰ , β =30 ⁰ , РС=90⁰

Cevap: 30⁰ , 60 ⁰ , 90 ⁰ .

2.32 Olimpiyat görevi.

ABC üçgeninde, AB ve BC kenarlarında sırasıyla M ve N noktaları işaretlenmiştir ve BM = BN. M noktasından BC'ye dik bir çizgi çizilir ve N noktasından AB'ye dik bir çizgi çizilir. Bu doğrular O noktasında kesişir. BO doğru parçasının uzantısı AC tarafını P noktasında keser ve onu AP = 5 ve PC = 4 parçalarına ayırır. BC = 6 olduğunu biliyorsanız, BP parçasının uzunluğunu bulun.

Verilen:

BC=6cm, VC=4cm, VC açıortayı ∆ ABC'dir.

KS=3cm,r ∆ BKC=1cm.S ∆ ABC=60cm².

Bul: AB.

Çözüm:

1. 3. Eşit yüksekliklere sahip üçgenlerin alanları şu şekilde ilişkilidir:

Bu çalışmada bu ispatın çeşitli yollarını vererek teoremin ne kadar evrensel olduğunu gösterdim.

Anlaması kolaydır, ancak aynı zamanda çok karmaşık ve karmaşık sorunları çözmeme yardımcı olur.

Bu teoremi inceledikten sonra kendim için birçok yeni şey keşfettim, bilgimi genişlettim ve daha fazla geometri çalışmamın yolunu açtığımı düşünüyorum..

4. Kullanılan literatür.

QUANT No. 1/1995 dergisine ek.

Makaleler: LN Smolyakov. Teoremin diğer 13 ispatı

bisektör.//Quantum, No. 2, 1985.

S.R. Sefibekov. teoremin dört ispatı

bisektör.//Quantum, No. 8, 1983.

L.S. Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev, E.G. Poznyak, I.I.

Yudin. Eğitim kurumları için ders kitabı.

Aydınlanma, 2003.

I.F. Sharygin. Geometri notları 7-9. Moskova, Yayınevi

Bustard, 1997.

Birleşik DER koleksiyonu.

G.K.Pak. "Açıortay". Seri: Matematiğe Hazırlanmak

olimpiyat. Vladimir, 2003.