Doğrusal cebirsel denklemlerin dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemlerinin çözümü üzerine. Doğrusal cebirsel denklemlerin kötü koşullandırılmış sistemlerini çözme Doğrusal olmayan denklemleri ve doğrusal olmayan denklem sistemlerini çözme

8.2.3. Dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemler

Yukarıda ele alınan "iyi" durumun aksine (bkz. Bölüm 8.D), özel bir yaklaşım gerektiren, MxN boyutunda bir kare matris A ile SLAE Ax=b'ye tekrar dönelim. İki benzer SLAE türüne dikkat edelim:

• dejenere sistem (sıfır determinantlı |A|=0);
• kötü koşullandırılmış sistem (determinant A sıfıra eşit değildir, ancak koşul sayısı çok büyüktür).

Bu tür denklem sistemlerinin birbirinden önemli ölçüde farklı olmasına rağmen (ilki için çözüm yoktur, ikincisi için yalnızca bir tane vardır), bilgisayarın pratik bakış açısından bakıldığında, aralarında pek çok ortak nokta vardır. onlara.

Dejenere SLAE'ler

Dejenere bir sistem, sıfır determinantlı |A|=0 (tekil matris) bir matris tarafından tanımlanan bir sistemdir. Böyle bir sistemde yer alan bazı denklemler diğer denklemlerin doğrusal birleşimiyle temsil edildiğinden, aslında sistemin kendisi eksik belirlenmiştir. Sağ taraftaki b vektörünün spesifik türüne bağlı olarak ya sonsuz sayıda çözüm olduğunu ya da hiç çözüm olmadığını anlamak kolaydır. İlk seçenek normal bir sözde çözüm oluşturmaya (yani sonsuz sayıda çözüm kümesinden belirli bir vektöre, örneğin sıfıra en yakın olanı seçmeye) gelir. Bu durum bölümde ayrıntılı olarak ele alınmıştır. 8.2.2 (bkz. 8.11-8.13 listeleri).

Pirinç. 8.7. Tekil matrisli iki denklemden oluşan tutarsız bir sistemin grafiksel gösterimi

Tekil kare matris A'ya sahip SLAE Aх=b'nin tek bir çözümü olmadığı ikinci durumu ele alalım. Böyle bir problemin bir örneği (iki denklemli bir sistem için) Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.7, üst kısmında A matrisi ve b vektörü tanıtılır ve isolve fonksiyonunu kullanarak sistemi çözmek için bir girişimde bulunulur (A matrisi tekil olduğu için başarısız olur). Şeklin ana kısmını kaplayan grafik, sistemi tanımlayan iki denklemin (x0,xi) düzleminde iki paralel doğruyu tanımladığını göstermektedir. Doğrular koordinat düzleminde herhangi bir noktada kesişmez ve dolayısıyla sistemin çözümü yoktur.

NOT

İlk olarak, 2x2 boyutunda tekil olmayan bir kare matris tarafından tanımlanan bir SLAE'nin düzlemde bir çift kesişen çizgiyi tanımladığına dikkat edin (bkz. aşağıdaki Şekil 8.9). İkinci olarak, eğer sistem tutarlı olsaydı, denklemlerin geometrik temsili sonsuz sayıda çözümü tanımlayan iki çakışan çizgi olurdu.

Pirinç. 8.8. Artık fonksiyonunun bölümlerinin grafiği f (x) = |Ax-b|

Sistemin |Ax-b| tutarsızlığını en aza indiren sözde çözümlerinin dikkate alınan tekil durumunda bunu tahmin etmek kolaydır. , sonsuz sayıda olacak ve bunlar, Şekil 2'de gösterilen iki düz çizgiye paralel üçüncü düz çizgi üzerinde uzanacaklar. 8.7 ve aralarında ortada yer alıyor. Bu, Şekil 2'de gösterilmektedir. 8.8, f(x) = = | fonksiyonunun çeşitli bölümlerini göstermektedir. Balta-b | , aynı derinlikte bir minimum ailesinin varlığını gösterir. Bunları bulmak için yerleşik Minimize fonksiyonunu kullanmaya çalışırsanız, sayısal yöntemi her zaman belirtilen çizginin herhangi bir noktasını bulacaktır (başlangıç ​​koşullarına bağlı olarak). Bu nedenle, benzersiz bir çözüm belirlemek için, tüm sözde çözümler kümesinden en küçük norma sahip olanın seçilmesi gerekir. Bu çok boyutlu minimizasyon problemini, yerleşik Minimize fonksiyonlarının kombinasyonlarını kullanarak Mathcad'de formüle etmeyi deneyebilirsiniz, ancak daha verimli bir yol, düzenlileştirme (aşağıya bakın) veya ortogonal matris ayrıştırmalarını (bkz. Bölüm 8.3) kullanmak olacaktır.

Koşulsuz sistemler

Kötü koşullandırılmış bir sistem, A determinantının sıfıra eşit olmadığı, ancak |A -1 | koşul numarasının eşit olduğu bir sistemdir. |A| çok büyük. Kötü koşullandırılmış sistemlerin benzersiz bir çözümü olmasına rağmen, pratikte bu çözümü aramanın çoğu zaman bir anlamı yoktur. İki özel örnek kullanarak kötü koşullandırılmış SLAE'lerin özelliklerini ele alalım (Liste 8.14).

Listeleme 8.14. İki yakın kötü koşullandırılmış SLAE'nin çözümü

Liste 8.14'ün her satırı iki çok yakın kötü koşullandırılmış SLAE'nin çözümünü içerir (aynı sağ taraf b ve biraz farklı A matrisleri ile). Yakınlıklarına rağmen bu sistemlerin kesin çözümleri birbirinden çok uzak çıkmaktadır. İki denklemli bir sistem için kesin bir çözümün elde edilmesinin kolay olduğu, ancak yüksek boyutlu bir SLAE'yi çözerken, hesaplamalar sırasında kaçınılmaz olarak biriken küçük yuvarlama hatalarının ("kesin" Gauss algoritması dahil) büyük hatalara yol açtığı unutulmamalıdır. Sonuçta. Şu soru ortaya çıkıyor: Sorunun istikrarsızlığı nedeniyle tamamen yanlış olabileceği önceden biliniyorsa, sayısal bir çözüm aramak mantıklı mı?

Bizi kötü koşullandırılmış SLAE'leri çözmek için özel yöntemler aramaya zorlayan başka bir husus (Liste 8.14'te örnek olarak verilen iki denklem sistemi bile) bunların deneysel sonuçlar olarak fiziksel olarak yorumlanmasıyla ilişkilidir. Başlangıçta girdi verilerinin bir miktar hatayla elde edildiği biliniyorsa, modeldeki küçük hatalar (matris A ve vektör b) çözümde büyük hatalara yol açtığından, kötü koşullandırılmış sistemleri çözmenin hiçbir anlamı yoktur. Bu tür özelliklerle ilgili problemlere kötü pozlama denir.

Yanlışlığın nedenini daha iyi anlamak için, iyi (Şekil 8.9) ve kötü (Şekil 8.10) koşullandırılmış iki denklem sisteminin grafiksel yorumunu karşılaştırmak yararlı olacaktır. Sistemin çözümü, denklemlerin her birini temsil eden iki düz çizginin kesişme noktasıyla görselleştirilir.

Pirinç. 8.9. İyi koşullandırılmış iki denklem sisteminin grafiği

Pirinç. 8.10. İki denklemden oluşan kötü koşullu bir sistemin grafiği

Şek. 8.10'da, kötü koşullandırılmış SLAE'ye karşılık gelen düz çizgilerin birbirine yakın (neredeyse paralel) konumlandırıldığı açıktır. Bu bağlamda, çizgilerin her birinin konumundaki küçük hatalar, iyi koşullandırılmış bir sistemin aksine, kesişme noktalarının (SLAE çözümleri) lokalizasyonunda önemli hatalara yol açabilir. çizgilerin eğiminin kesişme noktalarının konumu üzerinde çok az etkisi vardır (Şekil 8.9).

NOT

Aşırı belirlenmiş (tutarsız) SLAE'ler tarafından belirtilen deneysel verilerin (örneğin tomografi problemlerinde) yeniden yapılandırılması sırasında matrisin zayıf koşullandırılması da tipiktir. Bir sonraki bölümde gösterilen durum budur (bkz. aşağıdaki Liste 8.16).

Düzenlileştirme yöntemi

Kötü konumlanmış sorunları, özellikle dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'leri çözmek için, düzenlileştirme adı verilen çok etkili bir teknik geliştirilmiştir. Pratik durumlarda sıklıkla mevcut olan, çözümün yapısı (önsel tahmin xo'nun vektörü) hakkında ek ön bilgilerin dikkate alınmasına dayanmaktadır. Çünkü düzenleme konusu Bölüm'de ayrıntılı olarak ele alınmıştır. 6.3.3'te sadece SLAE Ax=b çözüm probleminin Tikhonov fonksiyonelinin minimumunu bulma problemiyle değiştirilebileceğini hatırlıyoruz:

Ω (x,λ) = |Ax-b| 2 +λ |x-x0| 2. (8.3)

Burada R, optimal bir şekilde seçilmesi gereken küçük bir pozitif düzenleme parametresidir. Tikhonov fonksiyonelini en aza indirme probleminin, başka bir SLAE çözümüne indirgenebileceği gösterilebilir:

(AT A+ λ I)-x=A T B+λ x0, (8.4)

hangi saatte λ ->0 orijinal kötü koşullandırılmış sisteme gider ve büyük x için, iyi koşullandırılmış olarak, x 0 çözümüne sahiptir. Açıkçası, A'nın bazı ara değerleri, kabul edilebilir koşulluluk ile orijinal soruna yakınlık arasında belirli bir uzlaşma sağlayarak optimal olacaktır. Düzenlileştirme yaklaşımının, kötü konumlanmış sorunu, problemin doğrusallığı nedeniyle benzersiz ve kararlı olan sisteme (8.4) bir çözüm bulma şeklindeki koşullu olarak iyi konumlanmış (Tikhonov'a göre) soruna indirgediğine dikkat edin.

Gereksiz yorumlar yapmadan, Şekil 2'de sunulan dejenere sistemin düzenlileştirilmiş bir çözümünü sunalım. 8.8. Liste 8.15, soruna (8.4) bir çözüm bulmayı gösterir ve kalıntının ve çözümün kendisinin düzenlileştirme parametresi R'ye olan bağımlılığı Şekil 2'de gösterilmektedir. Sırasıyla 8.11 ve 8.12. Orijinal sistemin ve dolayısıyla sistemin (8.4) çözümlerinin de vurgulanması önemlidir. λ =0 bulunmuyor.

Listeleme 8.15 Dejenere bir SLAE'nin düzenlenmesi

Düzenlileştirmenin son adımı en uygun olanı seçmektir λ . Kalıntının bağımlılığına dayalı olarak bir düzenleme parametresinin seçilebileceği en az iki husus vardır. Söz konusu örnekte, belirleme kriterini uyguluyoruz. λ , girdi verilerinin belirlenmesindeki hataların önceden tahminine eşit artık normun seçimine dayalıdır: A matrisi ve b vektörü, yani | değeri | δA | + |5λ|. Örneğin, artık normu ve buna göre parametreyi seçebilirsiniz. λ ve çözüm x( λ ), Şekil 2'de işaretlenmiştir. 8.11 ve 8.12 noktalı çizgiler.

NOT 1

Diğer seçenek λ Model hatalarına ilişkin herhangi bir ön değerlendirme gerektirmeyen, Bölüm'de tartışılan sözde optimal yöntemdir. 6.3.3.

NOT 2

Doğrusal bir problem durumunda formül (8.4)'ün genel formül (8.3) ile aynı sonucu verdiğini doğrulamak faydalıdır. Bunun için Liste 8.15'teki SLAE (8.4) çözümünü ifade eden son satırı, Liste 8.16'da gösterildiği gibi sayısal yöntemle minimizasyon uygulayan kodla değiştirmek yeterlidir. Hesaplamalar (önemli ölçüde daha fazla bilgisayar zamanı gerektirir), Şekil 2'de gösterilenle aynı sonucu verir. 8.11 ve 8.12.

NOT 3

Liste 8.15 ve 8.16'daki hesaplamaları farklı, örneğin daha gerçekçi, önsel bir çözüm tahmini almaya çalışın (bunlarda kullanılan sıfır vektörü x0 yerine) ve bunun sonucu nasıl etkilediğini görün.

Pirinç. 8.11. Dejenere bir SLAE'nin düzenlileştirilmiş çözümünün kalıntısının A parametresine bağımlılığı (Liste 8.15'in devamı)

NOT 4

Tikhonov fonksiyoneli olarak formül (8.3) yerine başka bir bağımlılığın kullanılması da ilginçtir: Ω(x,λ ) = |Ax-b|+ λ |x-x0 | . CD'de hesaplamaların ilgili bir örneğini bulacaksınız.

Pirinç. 8.12. λ'ya bağlı olarak düzenlileştirilmiş çözüm (Liste 8.15'in devamı)

Listeleme 8.16. Bir minimizasyon algoritması kullanılarak SLAE'lerin düzenlenmesi (Liste 8.15'in devamı)

Gerekli vektör

Eğer öyleyse, sistem (1)'e kötü koşullu denir. Bu durumda matris katsayılarındaki ve sağ taraftaki hatalar veya hesaplamalardaki yuvarlama hataları çözümü büyük ölçüde bozabilir.

Birçok problemin çözümünde sistemin (1) sağ tarafı ve A matrisinin katsayıları yaklaşık olarak bilinmektedir. Bu durumda, tam sistem (1) yerine başka bir sistemimiz var

öyle ki

ve d değerlerinin bilindiğini varsayalım.

Sistem (1) yerine sistem (2) elimizde olduğundan, sistem (1) için yalnızca yaklaşık bir çözüm bulabiliriz. Sistem (1)'in yaklaşık çözümünü oluşturma yöntemi, başlangıç ​​verilerindeki küçük değişikliklere karşı kararlı olmalıdır.

Sistem (1)'in sahte çözümü, tüm uzaydaki tutarsızlığı en aza indiren bir vektördür.

X 1'in, genellikle problem bildirimi tarafından belirlenen, 'den sabit bir vektör olmasına izin verin.

Sistem (1)'in x1 vektörüne göre normal bir çözümü, minimum normlu bir sözde çözüm x0'dır; yani

burada F, sistem (1)'in tüm sözde çözümlerinin kümesidir.

Dahası

burada ¾ x vektörünün bileşenleridir.

(1) tipindeki herhangi bir sistem için normal bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir. Koşulları kötü olan bir sisteme (1) normal bir çözüm bulma sorunu yanlış bir şekilde ortaya konmuştur.

Sistem (1)'e yaklaşık normal bir çözüm bulmak için düzenlileştirme yöntemini kullanırız.

Bu yönteme göre formun yumuşatma fonksiyonelini oluşturuyoruz.

ve bu fonksiyoneli en aza indiren vektörü bulun. Ayrıca, düzenlileştirme parametresi a, koşuldan benzersiz bir şekilde belirlenir.

Nerede .

Dejenere ve kötü koşullandırılmış sistemler belirli bir doğrulukla ayırt edilemeyebilir. Ancak (1) sisteminin çözülebilirliği hakkında bilgi varsa, o zaman koşul (5) yerine aşağıdaki koşul kullanılmalıdır:

Bileşenler vektörler, fonksiyonel (4)'ün minimum koşulundan elde edilen bir doğrusal cebirsel denklem sisteminin çözümleridir.

ve benziyor

burada E birim matristir,

¾Hermit eşlenik matrisi.

Uygulamada bir vektörün seçilmesi ek hususların dikkate alınmasını gerektirir. Eğer mevcut değillerse =0 olduğunu varsayalım.

=0 için sistem (7)’yi formda yazıyoruz.

Nerede

Bulunan vektör, sistem (1)'in yaklaşık normal çözümü olacaktır.

A parametresini seçmeye odaklanalım. a=0 ise sistem (7) kötü koşullandırılmış bir sisteme dönüşür. Eğer a büyükse, sistem (7) iyi koşullandırılmış olacaktır ancak düzenlileştirilmiş çözüm, sistem (1) için istenen çözüme yakın olmayacaktır. Bu nedenle çok büyük veya çok küçük a uygun değildir.

Genellikle pratikte hesaplamalar a parametresinin bir takım değerleri ile yapılır. Örneğin,

a'nın her değeri için fonksiyonel (4)'ü en aza indiren elemanı bulun. Düzenlileştirme parametresinin istenen değeri, (5) veya (6) eşitliğinin gerekli doğrulukla karşılandığı a sayısı olarak alınır.

III. EGZERSİZ YAPMAK

1. Değeri 10-6 düzeyinde olan bir determinant ile üç bilinmeyenli üç denklemden oluşan bir doğrusal cebirsel denklem sistemi oluşturun.

2. Birinciye benzer, ancak birinci sistemin serbest koşullarından 0,00006 farklı olan diğer serbest terimlere sahip ikinci bir sistem oluşturun.

3. Oluşturulan sistemleri düzenlileştirme yöntemini (=0 ve d=10 -4 varsayarak) ve başka bir yöntemi (örneğin, Gauss yöntemi) kullanarak çözün.

4. Elde edilen sonuçları karşılaştırın ve kullanılan yöntemlerin uygulanabilirliği hakkında sonuçlar çıkarın.

IV. RAPORUN FORMÜLASYONU

Rapor şunları sunmalıdır:

1. Eserin başlığı.

2. Sorunun beyanı.

3. Çözüm algoritmasının açıklaması (yöntem).

4. Açıklama içeren programın metni.

5. Programın sonuçları.

BİBLİYOGRAFİK LİSTE

1. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Kötü konumlanmış problemleri çözme yöntemleri. - M .: Nauka, 1979. 286 s.

2. Bakhvalov N.S., Zhidkov N.P., Kobelkov G.M. Sayısal yöntemler. - M.: BİNOM. Bilgi Laboratuvarı, 2007 636 s.

Laboratuvar çalışması No. 23

Koleksiyon çıktısı:

DOĞRUSAL CEBİRSEL DENKLEMLERİN KÖTÜ KOŞULLU SEYİR SİSTEMLERİNİN KRYLOV ALUZAYI KULLANILARAK ÇÖZÜMÜ

Guseva Yulia Sergeyevna

Samara Devlet Havacılık ve Uzay Üniversitesi öğrencisi S.P. Kraliçe,

Samara

E-posta:

Gogoleva Sofya Yurievna

Samara Devlet Havacılık ve Uzay Üniversitesi Doçenti S.P. Kraliçe,

Samara

E-posta:

giriiş

Birçok pratik problemin matematiksel modelleri, çoğu elemanın sıfıra eşit olduğu, büyük ve seyrek katsayılı matrislere sahip SLAE'lerin çözümüne yol açar. Bir matrise seyreklik özelliği atfetmek, onun seyrekliğini kullanan bir algoritmanın varlığını iddia etmeye eşdeğerdir. Bir matrisin katsayılarının büyük bir kısmı sıfırlardan oluştuğunda, bu sıfırların tamamını bilgisayarın belleğinde saklamak istemeyeceğimiz oldukça açıktır. Bu nedenle matris algoritmaları, yalnızca sıfır olmayan elemanların işleneceği ve sıfır olmayan elemanların konumuna ilişkin ön bilgiye dayalı olarak sıfırla toplama veya sıfırla çarpma gibi işlemlerden kaçınılacak şekilde tasarlanmalıdır. Bu nedenle, algoritmayı çalıştırırken makinenin gerçekleştirdiği işlemlerin sayısı, matrisin tüm öğelerinin sayısıyla değil, sıfır olmayan öğelerin sayısıyla orantılıdır. Seyrek matrislerle çalışırken ciddi bir sorun sayısal kararlılıktır.

Gauss eliminasyonu gibi yöntemler denklem sistemlerini çözmek için çok fazla zaman veya bellek gerektirdiğinde yinelemeli yöntemler kullanılır. Kötü koşullandırılmış seyrek SLAE'leri çözerken, kesin bir sonuç elde edilmesini ve çözme sırasında en az doldurmayı (sıfır olmayan yeni öğelerin ortaya çıkması) sağlayacak bir yöntemin seçilmesi gerekli hale gelir. Bu tür denklem sistemlerini çözmek için yinelemeli yöntemler arasında en etkili ve kararlı olanı, projeksiyon yöntemleri olarak adlandırılan yöntemlerdir ve özellikle bunların Krylov alt uzaylarına projeksiyonla ilişkili sınıfıdır. Bu yöntemlerin birçok avantajı vardır: kararlıdırlar, verimli paralelleştirmeye izin verirler, çeşitli satır (sütun) formatlarıyla ve farklı türdeki ön koşullayıcılarla çalışırlar.

Sorunun formülasyonu

Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi düşünün

Burada: - kötü koşullandırılmış seyrek matris,

.

Bu makale, kötü koşullandırılmış seyrek SLAE'leri çözmeye yönelik yinelemeli yöntemlerin karşılaştırmalı bir analizini sağlar. Aşağıdaki yöntemler seçilmiştir: eşlenik gradyan yöntemi (CG), minimum kalıntı yöntemi (MinRes), ikili eşlenik yön yöntemi (CGS) ve yarı minimum artıklar (QMR).

SLAE'leri çözmek için bir veya başka bir yöntem seçerken, A matrisinin yapısını dikkate almak önemlidir. Bunun nedeni, her yöntemin belirli bir doğrusal denklem sistemi için garantili bir sonuç elde etmeyi mümkün kılmamasıdır.

Bu nedenle, SLAE'leri çözmek için yinelemeli yöntemleri karşılaştırma kriteri şu şekilde olacaktır: sonuçların hatası, yakınsama hızı ve matrisin yapısı.

Sayısal çalışmaların sonuçları, SLAE'leri simetrik/asimetrik ve normal denklemlere iyi koşullandırılmış bir A matrisiyle çözmek için CG yöntemini kullanmanın daha iyi olduğunu göstermiştir. A matrisi simetrik ve kötü koşullanmışsa MinRes yöntemi en iyi yakınsamayı gösterdi. A için - asimetrik, kötü koşullanmış - neredeyse minimum artıklar yöntemi.

Yinelemeli yöntemlerin yakınsama oranını arttırmak için sistem matrisinin önkoşullanması kullanılır. Böyle bir ön koşullandırma matrisinin, SLAE'yi çözme prosedürünün fazla emek yoğun ve sayısal olarak kararlı olmayacağı şekilde seçilmesi gerçeğinde yatmaktadır. Spesifik soruna bağlı olarak ön koşullayıcının doğru seçimi yakınsamayı büyük ölçüde hızlandırabilir. Aslında, yinelemeli bir yöntemin yakınsaması için genellikle iyi bir önkoşullayıcı gereklidir.

Bu yazıda, seyrek kötü koşullandırılmış matrislere sahip yarı minimum artıklar yöntemi için çeşitli ön koşullandırma türleri dikkate alınmıştır: QR ayrıştırmasını kullanarak sol ve sağ ön koşullandırma, LU ayrıştırmasını kullanarak sol ve sağ ön koşullandırma ve ayrıca LU ayrıştırmasının bir modifikasyonunu kullanma .

Tablo 1.

Ön koşullayıcıların göreceli hatasının karşılaştırılması

Matris	LU.- ayrışma		LU.- ayrışma (modifikasyon)	QR- ayrışma
	(sol)	(Sağ)		(sol)	(Sağ)

Çözüm

Makale, seyrek, kötü koşullandırılmış SLAE'lerin çözümüne ilişkin yarı minimum artıklar yöntemini ve bir ön koşullayıcı seçimine yönelik çeşitli seçenekleri değerlendirdi. LU ayrıştırmasının değiştirilmesiyle elde edilen bir önkoşullayıcının kullanımına dayanan yarı-minimum artıklar yöntemi, sayısal kararlılık açısından en iyi sonucu verdi.

Kaynakça:

1. Golub J., Van Loon Bölüm Matris hesaplamaları / Ed. V.V. Voyvodina. - M .: "Mir", 1999. - 548 s.

2. Demmel J. Hesaplamalı doğrusal cebir. Teori ve uygulamalar / Çev. İngilizce H.D. Ikramova. - M .: “Mir”, 2001. - 430 s.

3. Pissanetski S. Seyrek matrislerin teknolojisi / Ed. H.D. Ikramova - M .: “Mir”, 1988. - 410 s.

4.Stankevich, I.V. Sonlu elemanlar teknolojisinde seyrek matrislerin depolanması ve kullanımı. Dergi "Bilim ve Eğitim". - 2005. - 10 Ekim.

5. Tewarson R. Seyrek matrisler / Ed. H.D. Ikramova. - M .: “Mir”, 1977. - 172 s.

6.Bucker Martin, Basermann Achim. Dağıtılmış bellek makinesinde QMR, CGS ve TFQMR'nin karşılaştırılması / Bucker Martin //Hesaplama matematiği. - 1994 - 31 Mayıs

7.Harwell-Boeing Koleksiyonu - [Elektronik kaynak] – Erişim modu. - URL: http://math.nist.gov/MatrixMarket/data/Harwell-Boeing/ (erişim tarihi: 12/15/2012)

8. Roland W. Freund, Noel M. Nachtigal. QMR: Hermitsel Olmayan Doğrusal Sistemler için Yarı Minimal Artık Yöntemi / Roland W. Freund, Noel M. Nachtigal // Journal Math. - 1991. - Sayı 60. - P. 315-339.

9.Saad, Y. Seyrek doğrusal sistemler için yinelemeli yöntemler / Y. Saad. //SIAM. - 2003. - 447 s.

Deşifre metni

1 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'ler 1 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'ler Şimdi MxM boyutunda bir kare matris A'ya sahip iki tür SLAE'yi (27) ele alalım: dejenere sistem (sıfır determinantı A =0 ile); kötü koşullandırılmış sistem (determinant A sıfıra eşit değildir, ancak koşul sayısı çok büyüktür). Bu tür denklem sistemlerinin birbirinden önemli ölçüde farklı olmasına rağmen (ilki için çözüm yoktur, ikincisi için yalnızca bir tane vardır), bilgisayarın pratik bakış açısından bakıldığında, aralarında pek çok ortak nokta vardır. onlara. Dejenere bir sistem, sıfır determinantı A =0 (tekil matris) olan bir matris tarafından tanımlanan bir sistemdir. Böyle bir sistemde yer alan bazı denklemler diğer denklemlerin doğrusal birleşimi ile temsil edildiğinden, aslında sistemin kendisi eksik belirlenmiştir. Sağ taraftaki b vektörünün spesifik türüne bağlı olarak ya sonsuz sayıda çözüm olduğunu ya da hiç çözüm olmadığını anlamak kolaydır. Tekil kare matris A'ya sahip SLAE A x=b'nin tek bir çözümü olmadığı ilk durumu ele alalım. Bu seçenek normal bir sözde çözüm oluşturmaya (yani sonsuz çözüm kümesinden belirli bir vektöre, örneğin sıfıra en yakın olanı seçmeye) indirgenir. Böyle bir probleme örnek verelim (iki denklemli bir sistem için) A= , b= (37) SLAE (37) Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 19, sistemi tanımlayan iki denklemin (x 1, x 2) düzleminde iki paralel çizgiyi tanımladığını göstermektedir. Doğrular hiçbir noktada kesişmiyor

2 2 6. Koordinat düzleminin bir noktasında dejenere ve kötü koşullanmış SLAE'ler vardır ve buna bağlı olarak sistemin hiçbir çözümü yoktur. 2x2 boyutunda tekil olmayan bir kare matrisle tanımlanan SLAE'nin, düzlemde bir çift kesişen çizgiyi tanımladığını unutmayın (aşağıdaki şekle bakın). Şunu da söylemek gerekir ki, eğer sistem tutarlı olsaydı, denklemlerin geometrik temsili, sonsuz sayıda çözümü tanımlayan iki çakışan çizgi olurdu. Pirinç. 19. Uyumsuz bir SLAE'nin grafiksel gösterimi Şekil 1. 20. x 1'e bağlı f(x)= A x b artıklarının kesitlerinin grafiği İncelenen tekil durumda, (37) sisteminin A x b kalıntısını minimuma indiren sonsuz sayıda sözde çözümünün olacağını tahmin etmek kolaydır, ve Şekil 2'de gösterilen ikiye paralel üçüncü düz çizgi üzerinde uzanacaklar. 19 ve ikisinin ortasında yer alır. Bu, Şekil 2'de gösterilmektedir. Şekil 20, f(x) = A x b kalıntı fonksiyonunun birkaç bölümünü gösterir; bu, aynı derinliğe sahip bir minimum ailesinin varlığını gösterir. Benzersiz bir çözüm belirlemek için, tüm sözde çözümler kümesinden aşağıdaki özelliklere sahip olanı seçilmelidir:

3 6. En küçük norma göre dejenere ve kötü koşullanmış SLAE'ler 3. Bu nedenle, tekil durumda, ayırt edici bir çözüm elde etmek için çok boyutlu bir minimizasyon probleminin sayısal olarak çözülmesi gerekir. Ancak daha sonra göreceğimiz gibi, daha etkili bir yol düzenlileştirme veya ortogonal matris ayrıştırmalarını kullanmaktır (sırasıyla bkz. 7 ve 10). Şimdi kötü koşullandırılmış sistemlere dönelim; Determinantı sıfıra eşit olmayan ancak A -1 A koşul sayısı büyük olan A matrisli SLAE. Kötü koşullandırılmış sistemlerin benzersiz bir çözümü olmasına rağmen, pratikte bu çözümü aramanın çoğu zaman bir anlamı yoktur. Aynı sağ taraf b'ye ve biraz farklı A ve B matrislerine sahip çok yakın kötü koşullandırılmış SLAE'lerin iki spesifik örneğini kullanarak kötü koşullandırılmış SLAE'lerin özelliklerini ele alalım: A= B=, b=, 3 5. (38 ) Bu sistemlerin yakınlığına rağmen kesin çözümlerinin birbirinden çok uzak olduğu ortaya çıkıyor, yani: y A = , y B = (39) Gürültünün varlığını hatırlarsak, yani. Giriş verilerinde her zaman mevcut olan hata hakkında, kötü koşullandırılmış sistemleri standart yöntemler kullanarak çözmenin hiçbir anlam ifade etmediği ortaya çıkıyor. Küçük model hatalarının (matris A ve vektör b) büyük çözüm hatalarına yol açtığı problemlere yanlış denildiğini hatırlayın. Bu nedenle, kötü koşullandırılmış SLAE'ler, kötü oluşturulmuş sorunların tipik bir örneğidir. Ek olarak, iki denklemli bir sistem için kesin bir çözüm elde etmenin kolay olduğu, ancak yüksek boyutlu bir SLAE'yi çözerken ("kesin" algoritma dahil) unutulmamalıdır.

4 4 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış Gauss SLAE'leri) hesaplamalar sırasında kaçınılmaz olarak biriken küçük yuvarlama hataları bile sonuçlarda büyük hatalara yol açar. Şu soru ortaya çıkıyor: Sorunun istikrarsızlığı nedeniyle tamamen yanlış olabileceği önceden biliniyorsa, sayısal bir çözüm aramak mantıklı mı? Yanlışlığın nedenini daha iyi anlamak için, iki denklemin iyi (Şekil 21) ve kötü (Şekil 22) koşullandırılmış sisteminin grafiksel yorumunu karşılaştırmak yararlı olacaktır. Sistemin çözümü, denklemlerin her birini temsil eden iki düz çizginin kesişme noktasıyla görselleştirilir. Pirinç. 21. İyi koşullandırılmış bir SLAE'nin grafiği Şekil 2. 22. Şekil 2'deki kötü koşullandırılmış SLAE grafiği. Şekil 22'de, kötü koşullandırılmış SLAE'ye karşılık gelen düz çizgilerin birbirine yakın (neredeyse paralel) konumlandırıldığı görülebilir. Bu bağlamda, çizgilerin her birinin konumundaki küçük hatalar, iyi koşullandırılmış bir sistemin aksine, kesişme noktalarının (SLAE çözümleri) lokalizasyonunda önemli hatalara yol açabilir. çizgilerin eğiminin kesişme noktalarının konumu üzerinde çok az etkisi vardır (Şekil 21).

5 6. Dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'ler 5 Aşırı belirlenmiş (uyumsuz) SLAE'ler (örneğin tomografi problemlerinde) tarafından verilen deneysel verileri yeniden yapılandırırken kötü koşullandırılmış matrisin de tipik olduğunu unutmayın. Kötü konumlanmış sorunları, özellikle dejenere ve kötü koşullandırılmış SLAE'leri çözmek için, düzenlileştirme adı verilen çok etkili bir yöntem geliştirilmiştir. Pratik durumlarda sıklıkla mevcut olan, çözümün yapısı hakkında ek ön bilgilerin dikkate alınmasına dayanmaktadır.

10. QR- ve SVD ayrıştırmaları: “kötü” SLAE'ler 1 10. QR- ve SVD ayrıştırmaları: “kötü” SLAE'ler Matris ayrıştırmaları arasında, matris ayrıştırmalarının normunu koruma özelliğine sahip olan ortogonal olanlar özel bir rol oynar. vektör. Size hatırlatalım

7. Düzenlileştirme 1 7. Düzenlileştirme Kötü konumlanmış problemleri çözmek için Sovyet matematikçi Tikhonov, düzenlileştirme adı verilen ve dahil etmeye dayanan basit ama son derece etkili bir yöntem önerdi.

Örnek: tartım 1 Örnek: tartım Bir deneyin sonuçlarının işlenmesiyle ilgili ters problemin daha basit bir yorumunu verelim, örneğin iki tür nesnenin tartılması

Konu Lineer cebirin sayısal yöntemleri - - Konu Lineer cebirin sayısal yöntemleri Sınıflandırma Lineer cebirin dört ana bölümü vardır: Lineer cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözme

UDC 55 Isabekov KA Madanbekova EE YSU, KTynystanov'un adını almıştır. LİNEER CEBİRSEL DENKLEMLERİN KÖTÜ KOŞULLARI SİSTEMLERİNİN YAKLAŞIK ÇÖZÜMÜ HAKKINDA Bu makale, kötü çözüm için iki yöntem için algoritmalar sunmaktadır.

Bilimsel araştırma ile özel hesaplama atölyesi Nikolai Matveevich Andrushevsky, Bilgisayar Bilimleri Fakültesi, Moskova Devlet Üniversitesi Özet Atölye, matrislerin tekil değer ayrıştırması yöntemi ve uygulamasının ayrıntılı bir çalışmasına dayanmaktadır.

Aşırı belirlenmiş doğrusal denklem sistemleri Skalko Yuriy Ivanovich Tsybulin Ivan Shevchenko Alexander Aşırı Belirlenmiş SLAE'ler Aşırı Belirlenmiş SLAE'ler SLAE Ax = b'yi düşünün, ancak daha fazla denklem olduğu durumda,

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri Temel kavramlar Bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (SLAE), a a a, a a a, a a a biçiminde bir sistemdir. Bir matris denklemi olarak temsil edilebilir.

04-0 akademik yılında ekonomi lisansları için Ne LA sınavı, Ne (6 4; 6 8) vektörünü ve Ne DEMO seçeneği 0 (x; y)'yi bulun (bunun için Ne ve x< 0) такой, чтобы система векторов (x ; y) образовывала бы ортогональный

Uzayda bir doğrunun denklemi 1 Bir doğru iki düzlemin kesişimidir. Üç bilinmeyenli iki doğrusal denklem sistemi. Uzaydaki düz bir çizgi, iki düzlemin kesişimi olarak tanımlanabilir. İzin vermek

DERS 6 SPEKTRAL GÖREVLER. İniş yöntemleri Son derste varyasyonel tipteki yinelemeli yöntemler ele alındı. A = A olan Au = f sistemi için, fonksiyonel Φ(u, u) tanıtıldı

11. Lineer indirgeme 1 11. Lineer indirgeme Lineer ters problemler hakkındaki konuşmamızı indirgeme adı verilen başka bir yaklaşım sunarak bitirelim. Esasen, düzenlileştirmeye çok yakındır (bazılarında

01 1. Denklem sisteminin genel ve temel çözümlerini bulun: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, temel değişkenler olarak x ve x'i seçin. Cevap: Temel değişken olarak seçersek

Demo 01 1. Denklem sisteminin genel ve temel çözümlerini bulun: x + x + 3x = 26, 2x 12x x = 22, x + 3x + 2x = 20, temel değişkenler olarak x ve x'i seçin. 2. Sistemin temelini bulun

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi adını NE Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü ÀÍ Ê asiakov,

UDC 57.9 Igrunova S.V., Sosyoloji Bilimleri Adayı, Doçent, Rusya Bilgi Sistemleri Bölümü Doçenti, Belgorod Kichigina A.K. 4. sınıf öğrencisi, Mühendislik Teknolojileri ve Doğa Bilimleri Enstitüsü

6 Fonksiyon yaklaşım yöntemleri. En iyi yaklaşım. Son bölümde tartışılan yaklaşım yöntemleri, ızgara fonksiyonu düğümlerinin kesinlikle sonuçtaki ara değere ait olmasını gerektirir. eğer talep etmezsen

LİNEER CEBİR ELEMANLARI MATRİSLERİN SINIFLANDIRILMASI VE ÜZERİNDEKİ İŞLEMLER Bir matris tanımlama Matrislerin büyüklüklerine göre sınıflandırılması Sıfır ve birim matrisler nedir? Matrisler hangi koşullar altında eşit kabul edilir?

) SLAE kavramı) SLAE çözümü için Cramer kuralı) Gauss yöntemi 4) Matrisin sırası, Kronecker-Capelli teoremi 5) SLAE'nin matris tersinmesiyle çözümü, matrislerin koşullandırılması kavramı) SLAE kavramı O. SLAE sistemi

Tomografide paralel hesaplamalar Bilgisayarlı tomografinin cebirsel yöntemleri. Ayrık formda hesaplamalı tomografi problemi Ayrık formda hesaplamalı tomografi problemi. Tersine

DERS 2 SLAE'NİN SAYISAL ÇÖZÜMÜ Kural olarak, pratik problemlerin çoğunu çözerken, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE) çözme problemi bazı yardımcı alt görevler şeklinde ortaya çıkar.

LA Gauss yöntemindeki temel problem örnekleri Belirli doğrusal denklem sistemleri Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme x 6 y 6 8, 6 x 6 y 6 Gauss yöntemini kullanarak bir doğrusal denklem sistemini çözme 6

Yöneylem Araştırması Tanımı Bir işlem, belirli bir hedefe ulaşmayı amaçlayan, çeşitli olasılıklara ve bunların yönetimine izin veren bir olaydır. Tanım Yöneylem Araştırması bir dizi matematiksel

Ders 3. 3. Newton yöntemi (teğetler. Bazı başlangıç ​​yaklaşımları [,b] belirleyelim ve f( fonksiyonunu Taylor serisinin bir parçasını kullanarak komşuluk içinde doğrusallaştıralım f(= f(+ f "((-. (5) Denklem yerine) (Çözeriz

Doğru ve düzlem denklemleri Düzlem üzerinde doğru denklemi. Doğrunun genel denklemi. Çizgilerin paralellik ve diklik işareti. Kartezyen koordinatlarda Oksi düzlemindeki her düz çizgi tanımlanır

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi N.E. Bauman Temel Bilimler Fakültesi Matematiksel Modelleme Bölümü A.N. Kasikov,

Uzaktan eğitim sırasında test kağıtlarını tamamlama örnekleri Test kağıdı 1 (CR-1) Konu 1. Doğrusal cebir Görev 1 Görevde sunulan denklem sistemini Sabit parametreler formunda çözmek gerekir.

Moskova Devlet Teknik Üniversitesi adını almıştır. N.E. Bauman Fakültesi Temel Bilimler Bölümü Yüksek Matematik Analitik Geometri Modülü 1. Matris cebiri. Vektör cebiri Dersi

Bilet. Matrisler, üzerlerindeki eylemler. Kanonik koordinat sisteminde bir parabolün denklemi. Bilet. Matris işlemlerinin özellikleri Bir doğrunun ve bir düzlemin göreceli konumu. Aralarındaki açı, paralellik koşulları

3 İÇİNDEKİLER 1. Disiplinin amaç ve hedefleri 4. Disiplinin BOP yapısındaki yeri 4 3. Disiplinin yapısı ve içeriği 5 3.1. Disiplinin yapısı 5 3.. Disiplinin içeriği 6 4. Eğitimsel ve metodolojik materyallerin listesi

UYGULAMALI DERSLER Ders KOŞULSUZ BİR EXTREMUM İÇİN GEREKLİ VE YETERLİ KOŞULLAR Problemin Açıklaması X R kümesinde tanımlanan iki kez sürekli türevlenebilir bir f () fonksiyonu verildiğinde Araştırılması gerekli

İkinci dönem cebir problemlerinin çözümleri D.V. Gorkovets, F.G. Korablev, V.V. Korableva 1 Doğrusal vektör uzayları Problem 1. R4'teki vektörler doğrusal olarak bağımlı mıdır? a 1 = (4, 5, 2, 6), a 2 = (2, 2, 1,

Federal Devlet Eğitim Bütçe Yüksek Mesleki Eğitim Kurumu "Rusya Federasyonu Hükümeti Altındaki Mali Üniversite" (Finansal Üniversite) "MATEMATİK" BÖLÜMÜ

Xətti ər Rus) üui ithhn sullrı Gösterin ki vektör;;) ;;) ; ;) vektörün temelini oluşturur ve vektörün doğrusal bir kombinasyonunu yazın If;;) bu vektörler üzerinde denklemden X'i bulun ve vektörün olduğunu gösterin ;)

Kronecker-Capelli teoremi. Gauss yöntemini kullanarak SLAE'leri çözme. Matris sıralaması. m satırı ve sütunu olan dikdörtgen bir matris düşünün: A. m m m Bu matriste rastgele satır ve sütunlar seçelim. Elementler

İki değişkenli doğrusal denklem sistemleri Formdaki bir denklem sistemine, iki değişkenli doğrusal denklem sistemi denir. İki değişkenli bir denklem sisteminin çözümü bir değer çiftidir

LİNEER CEBİR Ders Uzayda çizgi ve düzlem İçerik: Bir düzlemin denklemi Düzlemlerin karşılıklı düzenlenmesi Bir doğrunun vektör-parametrik denklemi İki noktadan gelen bir doğrunun denklemleri Doğru

ST. PETERSBURG DEVLET ÜNİVERSİTESİ Uygulamalı Matematik Fakültesi Kontrol Süreçleri A. P. IVANOV, Y. V. OLEMSKÖY SAYISAL YÖNTEMLER ÜZERİNE İKİNCİ DERECEDEN FONKSİYONUN MİNİMİZASYONU UYGULAMASI Metodik

0 g 6 Bildiriler FORA UYGULANAN SORUNLARIN ÇÖZÜMÜNDE İSTİKRARIN GÖSTERGESİ OLARAK BİR MATRİS KOŞUL SAYISI R Tsey, MM Shumafov Adygea Devlet Üniversitesi, Maikop Bir matrisin koşul numarası

MATRİSLER, DETERMİNANTLAR, DOĞRUSAL DENKLEM SİSTEMLERİ Bir matrisin rütbesini bulmak için küçükleri sınırlama yöntemi A = m m m küçük Bir matrisin k mertebesinden küçük k'si A, bu matrisin k'inci mertebesinin herhangi bir determinantıdır,

DERS 4 SLAE ÇÖZÜMÜ İÇİN İTERATİF YÖNTEMLER Yuvarlamayla ilgili hatayı azaltmak için aşağıdaki algoritmaya başvurun. U sistemin tam çözümü, u sayısal çözüm olsun. Sonra tanıtıyoruz

1. Doğrusal sistemler ve matrisler 1. Matris çarpımını tanımlayın. Bu işlem değişmeli midir? Cevabı açıklayın. A ve B matrislerinin C çarpımı m p m p A B ij = A ik B kj olarak tanımlanır. İşlem değişmeli değildir.

RUSYA FEDERASYONU EĞİTİM VE BİLİM BAKANLIĞI TOMSK DEVLET KONTROL SİSTEMLERİ VE RADYO ELEKTRONİK ÜNİVERSİTESİ (TUSUR) Yu.E. Voskoboynikov A.A. Mitzel YANLIŞ MATEMATİK SORUNLARI

LİNEER CEBİRİN SAYISAL YÖNTEMLERİ “Doğrusal cebirin sayısal yöntemleri” bölümü, doğrusal cebirsel denklem sistemlerini (SLAE'ler) çözmek için sayısal yöntemleri ve problemleri çözmek için sayısal yöntemleri tartışmaktadır.

ANALİTİK GEOMETRİ 3 AKIŞ Öğr. Gör. P. V. Golubtsov 1.1. Vektörler. Sınavın ilk bölümü için soru listesi 1. Vektörler üzerinde doğrusal işlemlerin tanımını formüle edin. Doğrusal işlemlerin özelliklerini listeleme

Doğrusal cebirsel denklem sistemleri Bilinmeyenleri olan m doğrusal cebirsel denklemlerden oluşan bir sistem düşünün b b () m m m bm Tüm serbest terimleri b b b m eşitse sistem () homojen olarak adlandırılır

4. Doğrusal denklem sistemleri. Temel kavramlar Bir denklem, yalnızca birinci dereceye kadar bilinmeyenler içeriyorsa ve bilinmeyenlerin çarpımlarını içermiyorsa doğrusal olarak adlandırılır; eğer ++ + formuna sahipse

Lineer cebir Ders 7 Vektörler Giriş Matematikte iki tür nicelik vardır: skalerler ve vektörler Skaler bir sayıdır ve bir vektör sezgisel olarak büyüklüğü ve yönü olan bir nesne olarak anlaşılır. Vektör hesabı

Sayısal yöntemler sınavı soru listesi (28 Mayıs 2018) 0.1 Sayısal integral 1. Uygunsuz integrallerin hesaplanmasına yönelik yöntemleri listeleyin. İntegrali hesaplamak için karesel bir formül oluşturun

Tomografide paralel hesaplamalar Basit yineleme yöntemi. En dik iniş yöntemi. SANAT yöntemi. SIRT yöntemi. Basit yineleme yönteminde, gevşeme faktörleri τk ve matrisler Hk sayıya bağlı değildir.

Doğrusal Matris Cebirine Giriş. Tanım. m satır ve n sütundan oluşan m m n n mn formundaki m n sayıdan oluşan bir tabloya matris denir. Matrisin elemanları determinantın elemanlarına benzer şekilde numaralandırılır.

DERS 7 ENTERPOLASYON Son derste aşırı belirlenmiş bir sistemin çözümü sorunu ele alındı. Böyle bir sistem şu şekildedir: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x

TEORİ SORULARI I. MATRİSLER, DETERMİNANTLAR 1) Matrisin tanımını verin. Sıfır ve birim matrisler nedir? Matrisler hangi koşullar altında eşit kabul edilir? Transpozisyon operasyonu nasıl gerçekleştirilir? Ne zaman

Ders 7 İKİNCİ DERECEDEN BİR EĞRİYİ KANONİK FORM'A İNDİRMEK. Tabanların ve koordinatların düzlemde dönüşümü Düzlemde ortak orijinli iki dikdörtgen Kartezyen koordinat sistemi verilsin:

Lineer cebir Modül 1. Lineer ve Öklid uzayları. Doğrusal uzayda doğrusal operatörler Ders 1.4 Bir doğrusal operatörün soyut özvektörleri ve özdeğerleri, özellikleri.

UDC. TEMEL BİR MATEMATİK FONKSİYONU TARAFINDAN BELİRLENEN DARBE ÖZELLİKLERİNE GÖRE ÖZYİNELİ DİJİTAL FİLTRELERİN SENTEZİ Nikitin D.A., Khanov V.Kh. Giriş Özyinelemeli sentezleme yöntemlerinin modern cephaneliğinde

Bölüm 8 Fonksiyonlar ve grafikler Değişkenler ve aralarındaki bağımlılıklar. Oranları sabitse iki niceliğe doğru orantılı denir, yani = ise, değişikliklerle değişmeyen sabit bir sayı nerede

Gauss yöntemi (bilinmeyenleri eleme yöntemi) Çözümleri çakışıyorsa iki sisteme eşdeğer (eşdeğer) denir. Temel dönüşümleri kullanarak eşdeğer bir sisteme gidebilirsiniz

Doğrusal cebirsel denklemlerin kötü koşullandırılmış sistemlerini çözmenin ne gibi zorluklarla ilişkili olduğu bilinmektedir: bu tür sistemlerin sağ taraflarındaki küçük değişiklikler, çözümdeki büyük (kabul edilebilir sınırların ötesinde) değişikliklere karşılık gelebilir.

Denklem sistemini düşünün

Аz=u, (3; 2,1)

Nerede A -- a ij elemanlı matris , A=(a ij ), z -- z j koordinatlarıyla istenilen vektör , z=(z j ), Ve -- koordinatları olan bilinen vektör Ve Ben sen= (u ben ), i, j =1, 2, ..., P. Sistem (3; 2,1) denir dejenere, sistemin determinantı sıfır ise detA = 0. Bu durumda matris A sıfır özdeğere sahiptir. Bu tip kötü koşullandırılmış sistemler için matris A sıfıra yakın özdeğerlere sahiptir.

Hesaplamalar sonlu bir doğrulukla yapılıyorsa, bazı durumlarda belirli bir denklem sisteminin dejenere veya hatalı olup olmadığını tespit etmek mümkün olmayabilir. Bu nedenle, kötü koşullandırılmış ve dejenere sistemler belirli bir hassasiyetle ayırt edilemeyebilir. Açıkçası, bu durum matrisin olduğu durumlarda ortaya çıkar. A sıfıra oldukça yakın özdeğerlere sahiptir.

Pratik problemlerde sağ taraf genellikle Ve ve matris elemanları A, yani sistemin (3; 2,1) katsayıları yaklaşık olarak bilinmektedir. Bu durumlarda sistem yerine (3;2,1) başka bir sistemle uğraşıyoruz Az= Veöyle ki ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d, где смысл норм обычно определяется характером задачи. Имея вместо матрицы A A matrisi ile sistemin (3; 2.1) yozlaşması veya yozlaşmaması hakkında kesin bir yargıya varamayız.

Bu durumlarda, tam sistem hakkında Аz=uÇözümü belirlenmesi gereken , sadece matris için şunu biliyoruz A ve sağ taraf Ve eşitsizlikler ||A-A||<=h, ||u-u||<=--d. Но систем с такими исходными данными (Bir el) sonsuz sayıdadır ve bildiğimiz hata düzeyi dahilinde bunlar ayırt edilemez. Kesin sistem (3; 2.1) yerine yaklaşık bir sistemimiz olduğundan Аz= ve, o zaman ancak yaklaşık bir çözüm bulmaktan bahsedebiliriz. Ancak yaklaşık sistem Az=uçözünmez olabilir. Bir soru ortaya çıktı:

Tanımlanan durumda (3; 2.1) sisteminin yaklaşık çözümü olarak ne anlaşılmalıdır?

“Muhtemel kesin sistemler” arasında yozlaşmış olanlar da olabilir. Çözülebilirlerse sonsuz sayıda çözümleri vardır. Yaklaşık bulgudan hangisinden bahsetmeliyiz?

Bu nedenle, çok sayıda durumda, aralarında hem dejenere hem de çözülemez olabilen, birbirinden ayırt edilemeyen (belirli bir hata düzeyi dahilinde) bir denklem sistemleri sınıfını dikkate almamız gerekir. Bu sınıftaki sistemlerin yaklaşık çözümlerini oluşturma yöntemleri aynı ve genel olmalıdır. Bu çözümler başlangıç ​​verilerindeki küçük değişikliklere karşı dayanıklı olmalıdır (3; 2.1).

Bu tür yöntemlerin yapımı “seçim” fikrine dayanmaktadır. Seçim, problem bildiriminde yer alan özel, önceden belirlenmiş W[ z ] fonksiyonelleri kullanılarak gerçekleştirilebilir.

F'deki F'nin her yerde yoğun bir alt kümesi olan F 1 üzerinde tanımlanan negatif olmayan bir fonksiyonel W[ z ] olarak adlandırılır işlevselliği stabilize etme, Eğer:

• a) z T elemanı kendi tanım alanına aittir;
• b) herhangi bir d>0 sayısı için F 1 kümesi, F 1'den z elemanları;
• W[z]

Öyleyse, keyfi bir doğrusal cebirsel denklem sistemi (kısacası SLAE'ler) düşünelim.

az =sen, (3; 2,2)

burada z ve u vektörlerdir, z=(z 1, z 2, ...,z n)-OR n, Ve=(u 1 ,u 2 , ... ,u n)--VEYA m , A-- a ij elemanlı matris , A= (a ij ), burada j =1, 2, ..., n; i=1, 2, ..., T, ve sayı P sayıya eşit olmak zorunda değil T.

Bu sistem benzersiz bir şekilde çözülebilir, dejenere (ve sonsuz sayıda çözüme sahip) ve çözülemez olabilir.

Sözde çözüm(3; 2,2) sistemine tutarsızlığı en aza indiren z vektörü denir || Az - u || Rn alanının tamamı boyunca. (3; 2,2) sisteminin birden fazla sözde çözümü olabilir. F A'nın tüm sözde çözümlerinin kümesi ve z 1'in de bir sabit vektör olduğunu varsayalım. Rn, genellikle problemin ifadesine göre belirlenir.

Vektöre göre normal(3;2,2) sisteminin z 1 çözümüne minimum normlu z 0 sözde çözümü || z - z 1 ||, yani öyle ki

|| z 0 - z 1 || =

Burada. Aşağıda, gösterimin basitliği açısından, z 1 = 0 olduğunu ve z 1 = 0 vektörüne göre normal çözümün basitçe çağrılacağını varsayacağız. normal çözüm.

(3; 2,2) formundaki herhangi bir sistem için normal bir çözüm mevcuttur ve benzersizdir.

Açıklama 1. (3;2,2) sisteminin normal çözümü z°, z-z 1 vektörünün koordinatlarına göre belirli bir pozitif belirli ikinci dereceden formu en aza indiren bir sözde çözüm olarak da tanımlanabilir. Aşağıda sunulan tüm sonuçlar geçerliliğini korumaktadır.

Açıklama 2. Matrisin rütbesi A dejenere sistem (3; 2,1) eşittir r < n ve z r+1 ,z r+2 , … , z n - doğrusal uzayın temeli N A , z elemanlarından oluşan Аz=0, NA = ( z; AZ= 0). (3; 2,1) sisteminin z° çözümü, n-r diklik koşullarını karşılayan

(z 0 - z 1 , z S)= 0, S= r + 1, r + 2, .. ,n, (3; 2,3)

benzersiz olarak belirlenir ve normal çözümle çakışır.

(3; 2,2) sistemine normal bir çözüm bulma probleminin kötü bir şekilde ortaya konduğunu görmek kolaydır. Aslında izin ver A -- simetrik matris. Dejenere değilse ortogonal dönüşümle

z = Vz*, u = Vu*

o köşegen forma indirgenebilir ve dönüştürülen sistem şu forma sahip olacaktır:

l i z i *=u i * , i= 1, 2,. .., P,

burada ben matrisin özdeğerleridir A.

Simetrik matris ise A -- dejenere değildir ve r derecesine sahiptir, bu durumda özdeğerlerinin n - r'si sıfıra eşittir. İzin vermek

i=1, 2, ..., r için l i №0;

i=r+1,r+2, …, n için l ben =0.

(3; 2,2) sisteminin çözülebilir olduğunu varsayıyoruz. Bu durumda i =r + 1, ..., n için u i *= 0.

Sistemin “başlangıç ​​verileri” olsun (A Ve Ve) bir hatayla belirtildi, yani yerine A Ve Ve onların yaklaşıklıkları verilmiştir A Ve sen:

|| A - A ||<=h, ||u - u||<=d . При этом

bırak ben -- matris özdeğerleri A. Normdaki (3; 2.4) sürekli olarak A'ya bağımlı oldukları bilinmektedir. Sonuç olarak, özdeğerler l r+1 , l r+2 , …,l n yeterince küçük h için keyfi olarak küçük olabilir .

Sıfıra eşit değillerse, o zaman

Bu nedenle, yeterince küçük bir hatada sistemde bozulmalar olacaktır. A Ve Ve, bunun için bazı z i * önceden belirlenmiş herhangi bir değeri alacaktır. Bu, (3; 2,2) sistemine normal bir çözüm bulma probleminin kararsız olduğu anlamına gelir.

Aşağıda, sağ taraftaki kararlı ila küçük (normda (3; 2.4)) bozulmalara kadar sisteme (3; 2.2) normal bir çözüm bulma yönteminin bir açıklaması bulunmaktadır. Ve, düzenlileştirme yöntemini temel alır.