Düzenli bir dörtgen prizmanın kesiti. Düzenli bir dörtgen prizmadaki bölüm Düzenli bir dörtgen prizmadaki bölüm abcda1b1c1d1

Düzgün bir dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1, tabanın kenarları 2 ve yan kenarları 5'tir. E noktası AA 1 kenarı üzerinde işaretlenir, böylece AE: EA 1 = 3: 2. Bulun ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açı ...

Çözüm. D 1 E doğrusu AD doğrusunu K noktasında kessin. O zaman ABC ve BED 1 düzlemleri KB doğrusu boyunca kesişecektir.

E noktasından EH dikeyini KB doğrusuna bırakırız, o zaman AH doğru parçası (EH izdüşüm) KB doğrusuna dik olacaktır (üç dikte teorem).

AHE açısı, ABC ve BED 1 düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının lineer açısıdır.

AE: EA 1 = 3: 2 olduğundan, şunu elde ederiz:.

A 1 D 1 E ve AKE üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: .

A dik açılı bir AKB üçgeninde: AB = 2, AK = 3,; yükseklik nerede
.

A dik açılı AHE dik açılı üçgenden şunu elde ederiz: ve ∠ AHE = arktan (√13 / 2).

Cevap: arktg (√13 / 2).

için atamalar bağımsız karar

1. içinde dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 = 2, AD = AA 1 = 1. AB doğrusu ile ABC 1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. Düz bir altıgen prizmada ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 tüm açılar 1'e eşittir. B noktasından DEA 1 düzlemine olan mesafeyi bulun.

3. Dikdörtgen paralel yüzlü bir ABCDA'da 1 B 1 C 1 D 1 AB = 1, AA 1 = 2. AB 1 doğrusu ile ABC 1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Egzersiz yapmak.

doğru dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tabanın kenarları 3 ve yan kenarları 4'tür. E noktası AA 1 kenarı üzerinde işaretlenir, böylece AE: EA 1 = 1: 3 olur.

a) ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesişim doğrusunu oluşturunuz.

b) ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm:

a) Düz bir düzlem kesişme çizgisi oluşturunABC veYATAK 1.

BED 1 uçağını yapalım. E ve D 1 noktaları aynı düzlemdedir, dolayısıyla ED 1 doğrusunu çizeriz.

E ve B noktaları aynı düzlemdedir, bu nedenle EB doğrusu çiziyoruz. Böylece düzgün dörtgen prizmanın yüzleri paraleldir, BB 1 C 1 C yüzüne ED 1 düz çizgisine paralel BF düz çizgisini çizin. F ve D 1 noktaları aynı düzlemdedir, bu nedenle FD 1 doğrusu çizeriz. İstenen uçak BED 1'i aldım.

ED 1 düz çizgisi ve AD düz çizgisi aynı ADD 1 düzleminde yer aldığından, ABC düzleminde uzanan K noktasında kesişirler. K ve B noktaları ABC ve BED 1 düzlemlerinde bulunur, bu nedenle ABC ve BED 1 düzlemleri KB düz çizgisi boyunca kesişir. ABC ve BED 1 düzlemlerinin aranan kesişim çizgisi oluşturulur.

b) Düzlemler arasındaki açıyı bulunABC veYATAK 1

AE segmenti ABC düzlemine diktir, E noktasından EH dikini KB çizgisine indiririz. H noktası ABC düzleminde yer alır, o zaman AH, EH'nin ABC düzlemine izdüşümüdür. Eğimli EH'ye dik olan düz bir çizgi H noktasından geçer, daha sonra, üç dik üzerindeki teoreme göre, AH doğru parçası KB düz çizgisine diktir.

∠EHA açısı, ABC ve BED 1 düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının lineer açısıdır. Açı ∠EHA - ABC ve BED 1 düzlemleri arasında istenen açı. Bu açının değerini bulalım.

Düşünmek sağ üçgen EHA (∠А = 90˚):

AE koşuluna göre: EA 1 = 1: 3, ardından AE: AA 1 = 1: 4.

AKE ve A 1 D 1 E üçgenleri benzerdir, o zaman

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 - AE = 3

AKB dik açılı bir üçgen düşünün (∠A = 90˚).

Eğitim CMM'lerinden başka bir iki noktalı stereometrik görevi ele alalım.

Görev.Düzenli bir dörtgen prizmada ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tabanın AB kenarı 5'e ve AA 1'in yan kenarı beşin kareköküne eşittir. Uçağın kaburgalarında ve C 1 D 1 işaretli noktalar K ve L sırasıyla, CK = 2 ve C 1 L = 1. Uçak GB hattına paralel NS ve K noktalarını içerir ve L.

a) А 1 С doğrusunun düzleme dik olduğunu kanıtlayınG.

b) Tepesi A1 noktası ve tabanı verilen prizmanın düzleme göre kesiti olan piramidin hacmini bulunuz.G.

Çözüm.a) Çizimi dikkatlice uygulayın ve verileri analiz edin. Çünkü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taban anlamına gelen düzenli dörtgen prizma ABCD - kenarlı kare 5. Yanal nervürler tabanlara diktir. uçaktan beriGK noktasından geçer ve B doğrusuna paraleldir NS , sonra düzlemin kesişme çizgisiGve ABC düzlemi B düz çizgisine paraleldir NS (Bu düzleme paralel bir düz çizgiden başka bir düzlem çizilirse, bu düzlemlerin kesişim çizgisi bu düzleme paralel olacaktır.).

K noktasından B'ye paralel düz bir çizgi çiziyoruz. NS geçmeden önce CD M noktasında. Yani KM, AS'ye diktir ( Çünkü bir karenin köşegenleri BD ve AC diktir ).

BCD Üçgenler ve SCM benzerdir (hem dikdörtgen hem de ikizkenar), bu da CM = KS = 2 anlamına gelir. Pisagor teoremine göre, CKM üçgeninden KM = 2√2 olduğunu buluruz., ve üçgenden BCD BD = 5 √2 ... Karenin köşegenleri eşittir, yani AC = BD = 5 √2.

Şimdi, nokta üzerinden L düz bir paralel B çiziyoruz NS geçmeden önce B 1 C 1 T noktasında. T segmenti boyunca L uçak KM L üst tabanı geçecek ( İki paralel düzlem üçüncü bir düzlemle kesişirse, kesişme çizgileri paralel olacaktır.). Yani T C 1 = C 1 L = 1. T üçgeninden LC1 Pisagor teoremi T L = √2.

İkizkenar yamuk BT L M noktası H - üst tabanın ortası, nokta n - alt tabanın ortası, ardından H n - yamuk yüksekliği, N n CM'ye dik. Bu, KM'nin A 1 C düz çizgisi de dahil olmak üzere AA 1 C düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

Dikdörtgen prizmanın köşegen bölümünü düşünün AA 1 C 1 C. H noktasından AC dikini bırakalım. Sonra N E = EC = H C 1 = 0,5 √2. DEĞİL = C C 1 = √5.

AA 1 C üçgenlerinde ve n PC açısı PCA - ortak. AA 1 C açısının tanjantı 5'tir√2: √5 = √10 H N açısının tanjantı H üçgeninden E N E eşittir √5: 0,5 √2 = √10 ... Dolayısıyla AA 1 C ve H açıları n E eşittir. Ama sonra kalan açılar A 1 AC = N РС = 90 ⁰ ... H düz çizgilerine dik A 1 C var n ve KM, bu nedenle A 1 C, yamuk KT düzlemine diktir L M. Neyi kanıtlamak gerekiyordu.

A 1 CT piramidinin hacmini bulmak için L M, yamuk CT alanını bulmanız gerekiyor L M ve yükseklik A 1 R. H üçgeninden n Pisagor teoremi H tarafından E N2 = 5.5. BT yamuk alanı L M, H N * (T L + KM) / 2 = √5.5 * (√2 + 2 √2) / 2 = 1.5 √11'e eşittir.