Düzenli bir dörtgen prizmanın kesiti. Düzgün dörtgen prizmadaki bölüm Düzgün dörtgen prizmadaki bölüm abcda1b1c1d1

Düzgün bir dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'de, taban kenarları 2'ye ve yan kenarlar 5'e eşittir. E noktası AA 1 kenarı üzerinde işaretlenir, böylece AE: EA 1 = 3: 2 olur. ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm. D 1 E doğrusu AD doğrusunu K noktasında kessin. O zaman ABC ve BED 1 düzlemleri KB doğrusu boyunca kesişecektir.

E noktasından KB doğrusuna EH dikini düşürürüz, o zaman AH segmenti (EH'nin izdüşümü) KB hattına dik olacaktır (üç dik teoremi).

AHE açısı, ABC ve BED 1 düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının lineer açısıdır.

AE: EA 1 = 3: 2 olduğundan, şunu elde ederiz: .

A 1 D 1 E ve AKE üçgenlerinin benzerliğinden şunu elde ederiz: .

A dik açısına sahip bir AKB dik üçgeninde: AB = 2, AK = 3, ; yükseklik nerede
.

A dik açısına sahip AHE dik üçgeninden şunu elde ederiz: ve ∠AHE = yaytg(√13/2).

Cevap: arktg(√13/2).

için görevler bağımsız çözüm

1. İçinde küboid ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB 1 \u003d 2, AD \u003d AA 1 \u003d 1. AB çizgisi ile ABC 1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

2. ABCDEFA 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 altıgen dik prizmada tüm açılar 1'e eşittir. B noktasından DEA 1 düzlemine olan uzaklığı bulun.

3. Dikdörtgen paralel yüzlü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AB \u003d 1, AA 1 \u003d 2. AB 1 çizgisi ile ABC 1 düzlemi arasındaki açıyı bulun.

Eğitim KIM'lerinden başka bir iki noktalı stereometrik problemi ele alalım.

Bir görev.Sağda dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tabanın AB kenarı 5'e, AA 1 yan kenarı ise beşin kareköküne eşittir. Güneşin kaburgalarında ve C 1 D 1 puan K ve L işaretlenmiştir sırasıyla ve SC=2 ve C1 L =1. Uçak GB hattına paralel D ve K noktalarını içerir ve L.

a) A 1 C doğrusunun düzleme dik olduğunu kanıtlayınG.

b) Tepesi A 1 noktası ve tabanı verilen prizmanın düzleme göre kesiti olan piramidin hacmini bulunuz.G.

Çözüm.a) Çizimi dikkatlice yürütün ve verileri analiz edin. Çünkü ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - taban anlamına gelen düzenli bir dörtgen prizma ABCD - bir kenarı 5 olan bir kare. Yan kenarlar tabanlara diktir. uçaktan beriGK noktasından geçer ve B doğrusuna paraleldir D , sonra düzlemin kesişme çizgisiGve ABC düzlemi B çizgisine paraleldir D (Belirli bir düzleme paralel bir çizgiden başka bir düzlem çizilirse, bu düzlemlerin kesişme çizgisi verilen çizgiye paralel olacaktır.).

K noktasından B noktasına paralel bir çizgi çizin. D ile kesişme noktasına CD M noktasında. Dolayısıyla, KM, AC'ye diktir ( Çünkü bir karenin köşegenleri BD ve AC diktir ).

Üçgenler BCD ve SKM benzerdir (hem dikdörtgen hem de ikizkenar), dolayısıyla CM=KS=2. SKM üçgeninden Pisagor teoremi ile KM=2√2 olduğunu buluruz., ve üçgenden BCD BD=5 √2 . Bir karenin köşegenleri eşittir, bu nedenle AC = BD =5 √2 .

Şimdi, nokta aracılığıyla L paralel düz bir çizgi çiz D ile kesişme noktasına B 1 C 1 T noktasında. T segmenti boyunca L uçak KM L üst tabanı geçer ( İki paralel düzlem üçüncü bir düzlemle kesişirse, kesişim çizgileri paralel olacaktır.). Yani T C 1 = C 1 L =1. T üçgeninden LC1 Pisagor teoremine göre T L = √2.

İkizkenar yamuk BT'de L M noktası H - üst tabanın ortası, nokta n - alt tabanın ortası, yani H n – yamuk yüksekliği, N n KM'ye dik. Bu, KM'nin, A 1 C düz çizgisi dahil, AA 1 C düzlemine dik olduğu anlamına gelir.

Bir prizma dikdörtgeninin köşegen bölümünü düşünün AA 1 C 1 C. H noktasından AC'ye bir dik açı bırakıyoruz. O zamanlar N E \u003d EU \u003d H C 1 \u003d 0,5 √2. DEĞİL \u003d C C 1 \u003d √5.

AA 1 C üçgenlerinde ve n PC açısı PCA yaygındır. AA 1 C açısının tanjantı 5'tir.√2 : √5 = √10 H N açısının tanjantı H üçgeninden E N E eşittir √5: 0,5 √2 = √10 . AA 1 C ve H açıları n E eşittir. Ama sonra kalan açılar A 1 AC \u003d N PC=90 ⁰ . H düz çizgilerine dik A 1 C var n ve KM, yani A 1 C yamuk CT düzlemine diktir L M. Kanıtlanması gereken şey.

A 1 CT piramidinin hacmini bulmak için L M, yamuk KT alanını bulmanız gerekiyor L M ve yükseklik A 1 R. H üçgeninden n Pisagor teoremi H tarafından E N2 =5.5. Trapez alanı BT L M, H N * (T L + KM) / 2 \u003d √5.5 * (√2 + 2 √2) / 2 \u003d 1.5 √11'e eşittir.

Görev.

Düzgün bir dörtgen prizma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1'de, tabanın kenarları 3'e ve kenar kenarları 4'e eşittir. E noktası AA 1 kenarı üzerinde işaretlenir, böylece AE: EA 1 = 1 olur. : 3.

a) ABC ve BED 1 düzlemlerinin kesişim doğrusunu oluşturunuz.

b) ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki açıyı bulun.

Çözüm:

a) Düzlemlerin kesiştiği bir çizgi oluşturunABC veyatak 1.

Bir uçak yapalım BED 1 . E ve D 1 noktaları aynı düzlemdedir, bu nedenle ED 1 düz bir çizgi çizeriz.

E ve B noktaları aynı düzlemdedir, bu nedenle bir EB doğrusu çiziyoruz. Düzgün dörtgen prizmanın yüzleri paralel olduğundan, BB 1 C 1 C yüzüne ED 1 çizgisine paralel bir BF çizgisi çiziyoruz. F ve D 1 noktaları aynı düzlemdedir, bu yüzden FD 1 düz bir çizgi çizelim. Gerekli uçak BED 1'i aldık.

ED 1 doğrusu ve AD doğrusu aynı ADD 1 düzleminde olduğundan, ABC düzleminde uzanan K noktasında kesişirler. K ve B noktaları ABC ve BED 1 düzlemlerinde bulunur, bu nedenle ABC ve BED 1 düzlemleri KB düz çizgisi boyunca kesişir. ABC ve BED 1 düzlemlerinin istenen kesişim çizgisi oluşturulur.

b) Düzlemler arasındaki açıyı bulunABC veyatak 1

AE segmenti ABC düzlemine diktir, E noktasından EH dikini KB çizgisine bırakıyoruz. H noktası ABC düzleminde yer alır, o zaman AH, EH'nin ABC düzlemine izdüşümüdür. H noktasından, EH eğimli çizgisine dik bir çizgi geçer, daha sonra teorem tarafından üç dik üzerindeki AH doğru parçası KB çizgisine diktir.

∠EHA açısı, ABC ve BED 1 düzlemlerinin oluşturduğu dihedral açının lineer açısıdır. Açı ∠EHA, ABC ve BED 1 düzlemleri arasındaki gerekli açıdır. Bu açının değerini bulalım.

Düşünmek sağ üçgen EHA (∠A = 90˚):

AE koşuluna göre: EA 1 = 1: 3, ardından AE: AA 1 = 1: 4.

AKE ve A 1 D 1 E üçgenleri benzerdir, bu durumda

A 1 D 1 = 3, AE = 1, A 1 E = AA 1 - AE = 3

Bir dik üçgen AKB (∠А = 90˚) düşünün.