Dikdörtgen paralel yüzlü. Eğik paralel yüzlü: bir matematik öğretmeninin özellikleri, formülleri ve görevleri Köşegenleri olan temel dikdörtgen paralel yüzlü eşkenar dörtgen

Paralel uçlu denir dörtgen prizma, tabanlarında paralelkenarlar vardır. Paralel borunun yüksekliği, tabanlarının düzlemleri arasındaki mesafedir. Şekilde, yükseklik çizgi ile gösterilmiştir. ... İki tür paralelyüz vardır: düz ve eğik. Kural olarak, bir matematik öğretmeni önce prizma için uygun tanımları verir ve ardından bunları paralel bir yüze aktarır. Biz de aynısını yapacağız.

Bir prizmanın yan kenarları tabanlara dik ise düz, diklik yoksa eğik prizma denildiğini hatırlatmama izin verin. Paralel uçlu da bu terminolojiyi devralır. Düz bir paralelyüz, yan kenarı yükseklikle çakışan bir tür düz prizmadan başka bir şey değildir. Çokyüzlülerin tüm ailesinde ortak olan yüz, kenar ve tepe gibi kavramların tanımları korunur. Karşı taraflar kavramı ortaya çıkıyor. Paralel borunun 3 çift zıt yüzü, 8 köşesi ve 12 kenarı vardır.

Bir paralelyüzün köşegeni (bir prizmanın köşegeni), bir çokyüzlülüğün iki köşesini birbirine bağlayan ve hiçbir yüzünde yer almayan bir parçadır.

Çapraz bölüm - köşegeninden ve tabanının köşegeninden geçen paralel borunun bir bölümü.

Eğik Kutu Özellikleri:
1) Tüm yüzleri paralelkenardır ve karşıt yüzler eşit paralelkenardır.
2)Paralel yüzün köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktada yarıya iner.
3)Her paralel yüzlü, eşit hacimli altı üçgen piramitten oluşur. Bunları öğrenciye göstermek için, matematik öğretmeninin paralelepdodan köşegen bölümünün yarısını kesmesi ve ayrı ayrı 3 piramide ayırması gerekir. Tabanları, orijinal paralel borunun farklı yüzlerine uzanmalıdır. Bir matematik öğretmeni bu özelliğin analitik geometride bir uygulamasını bulacaktır. Karışık bir vektör ürünü aracılığıyla bir piramidin hacmini çıkarmak için kullanılır.

Paralel boru için hacim formülleri:
1), tabanın alanı nerede, h yüksekliğidir.
2) Paralel yüzün hacmi, yan kenarın kesit alanının ürününe eşittir.
matematik öğretmeni: Bildiğiniz gibi formül tüm prizmalar için ortaktır ve eğer hoca bunu ispatlamışsa paralelyüz için aynı şeyi tekrarlamanın bir anlamı yoktur. Ancak orta düzeyde bir öğrenciyle çalışırken (zayıf bir formül işe yaramaz), öğretmenin tam tersini yapması tavsiye edilir. Prizmayı kendi haline bırakın ve paralelyüz için düzgün bir ispat yapın.
3), paralel borunun oluştuğu altı üçgen piramitten birinin hacmi nerede.
4) Eğer, o zaman

Paralel borunun yan yüzeyinin alanı, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır:
Paralel yüzün tam yüzeyi, tüm yüzlerinin alanlarının toplamıdır, yani alan + tabanın iki alanı:.

Eğik paralel yüzlü bir öğretmenin çalışması hakkında:
Bir matematik öğretmeni, genellikle eğik bir paralelyüz üzerindeki problemlerle ilgilenmez. Birleşik Devlet Sınavında görünme olasılıkları oldukça küçüktür ve didaktik müstehcen derecede zayıftır. Eğimli bir paralel borunun hacmindeki az çok iyi bir sorun, H noktasının konumunun - yüksekliğinin tabanının belirlenmesiyle ilgili ciddi sorunlara neden olur. Bu durumda, matematik öğretmenine, paralelyüzlü altı piramidinden (3 numaralı özellikte tartışılan) birine kesmesi, hacmini bulmaya çalışması ve 6 ile çarpması tavsiye edilebilir.

Paralel borunun yan kenarı varsa eşit açılar H, tabanın kenarlarıyla birlikte ABCD tabanının A açısının açıortayı üzerindedir. Ve örneğin, ABCD bir eşkenar dörtgen ise, o zaman

Matematik Öğretmeni Görevleri:
1) Paralel yüzün kenarları, 2 cm'lik bir kenar ve bir dar açı ile eşit kaburgalardır. Paralel yüzün hacmini bulun.
2) Eğimli bir paralel boruda yan kenar 5 cm'dir. Buna dik olan bölüm, uzunlukları 6 cm ve 8 cm olan karşılıklı olarak dik köşegenleri olan bir dörtgendir.Paralel borunun hacmini hesaplayın.
3) Eğimli bir paralelyüzde ve ABCD'de 2 cm kenarlı ve açılı bir eşkenar dörtgen olduğu bilinmektedir. Kutunun hacmini belirleyin.

Matematik öğretmeni, Alexander Kolpakov

Bu derste herkes "Dikdörtgen paralelyüz" konusunu inceleyebilecek. Dersin başında, keyfi ve düz bir paralelyüzün ne olduğunu tekrarlayacağız, karşıt yüzlerinin özelliklerini ve bir paralelyüzün köşegenlerini hatırlayacağız. Sonra dikdörtgen paralelyüzün ne olduğunu ele alacağız ve ana özelliklerini tartışacağız.

Konu: Doğruların ve düzlemlerin dikliği

Ders: Dikdörtgen Paralel boru

ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 iki eşit paralelkenar ve ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1 dört paralelkenardan oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü(şekil 1).

Pirinç. 1 paralel borulu

Yani: iki eşit paralelkenarımız var ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 (taban), paralel düzlemlerde uzanırlar, böylece AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 yan kenarları paralel olur. Bu nedenle paralelkenarlardan oluşan bir yüzeye denir. paralel yüzlü.

Böylece paralel yüzün yüzeyi, paralel yüzü oluşturan tüm paralelkenarların toplamıdır.

1. Kutunun karşılıklı yüzleri paralel ve eşittir.

(şekiller eşittir, yani bindirme ile birleştirilebilirler)

Örneğin:

ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1 (tanım gereği eşit paralelkenarlar),

AA 1 B 1 B = DD 1 C 1 C (AA 1 B 1 B ve DD 1 C 1 C paralel yüzün zıt yüzleri olduğundan),

AA 1 D 1 D = BB 1 C 1 C (AA 1 D 1 D ve BB 1 C 1 C paralel yüzün zıt yüzleri olduğundan).

2. Paralel yüzün köşegenleri bir noktada kesişir ve bu noktada yarıya iner.

Paralel yüzlü AC 1, B 1 D, A 1 C, D 1 B'nin köşegenleri bir O noktasında kesişir ve her köşegen bu nokta ile ikiye bölünür (Şekil 2).

Pirinç. 2 Paralel borunun köşegenleri kesişir ve kesişme noktası tarafından yarıya bölünür.

3. Üç dörtlü eşit ve paralel paralel yüzlü kenarlar vardır.: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Tanım. Yan kenarları tabanlara dik ise paralel boru düz olarak adlandırılır.

Yan kenar AA 1 tabana dik olsun (Şekil 3). Bu, AA 1 düz çizgisinin, taban düzleminde uzanan AD ve AB düz çizgilerine dik olduğu anlamına gelir. Bu, dikdörtgenlerin yan yüzlerde olduğu anlamına gelir. Ve bazlarda keyfi paralelkenarlar vardır. ∠KÖTÜ = φ olsun, φ açısı herhangi biri olabilir.

Pirinç. 3 Düz paralel yüzlü

Dolayısıyla, düz bir paralelyüz, yan kenarların paralelyüzün tabanlarına dik olduğu bir paralelyüzdür.

Tanım. Paralel yüzlü dikdörtgen olarak adlandırılır, yan kaburgaları tabana dik ise. Tabanlar dikdörtgendir.

Paralel borulu ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - dikdörtgen (Şekil 4), eğer:

1. AA 1 ⊥ ABCD (taban düzlemine dik yan kenar, yani düz paralelyüzlü).

2. ∠KÖTÜ = 90° yani tabanda dikdörtgen vardır.

Pirinç. 4 Dikdörtgen paralel yüzlü

Dikdörtgen paralelyüz, keyfi bir paralelyüzün tüm özelliklerine sahiptir. Ama orada ek özellikler tanımından türetilen dikdörtgen paralel yüzlü.

Yani, dikdörtgen paralel yüzlü tabana dik yan kenarları olan bir paralel borudur. Dikdörtgen paralel borunun tabanı bir dikdörtgendir..

1. Dikdörtgen paralelyüzde, altı yüzün tümü dikdörtgendir.

ABCD ve A 1 B 1 C 1 D 1 - tanım gereği dikdörtgenler.

2. Yan kaburgalar tabana diktir... Bu, dikdörtgen paralel borunun tüm yan yüzlerinin dikdörtgen olduğu anlamına gelir.

3. Dikdörtgen paralel borunun tüm dihedral köşeleri düzdür.

Örneğin, AB kenarına sahip bir dikdörtgen paralel yüzlünün dihedral açısını, yani ABB 1 ve ABC düzlemleri arasındaki dihedral açıyı düşünün.

AB bir kenardır, A 1 noktası bir düzlemdedir - ABB 1 düzleminde ve D noktası diğerinde - A 1 B 1 C 1 D 1 düzleminde. Daha sonra dikkate alınan dihedral açı şu şekilde de gösterilebilir: ∠A 1 ABD.

AB kenarındaki A noktasını alın. AA 1 - ABB-1 düzleminde AB kenarına dik, ABC düzleminde AB kenarına AD dik. Dolayısıyla, ∠А 1 АD, verilen dihedral açının lineer açısıdır. ∠А 1 АD = 90 °, bu, AB kenarındaki dihedral açının 90 ° olduğu anlamına gelir.

∠ (ABB 1, ABC) = ∠ (AB) = ∠A 1 ABD = ∠A 1 AD = 90 °.

Dikdörtgen paralelyüzlü herhangi bir dihedral açının düz olduğu benzer şekilde kanıtlanmıştır.

Dikdörtgen paralel borunun köşegeninin karesi toplamına eşittirüç boyutunun kareleri.

Not. Dikdörtgenin bir köşesinden çıkan üç kenarın uzunlukları, dikdörtgen paralel yüzün boyutlarıdır. Bazen uzunluk, genişlik, yükseklik olarak adlandırılırlar.

Verilen: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - dikdörtgen paralel yüzlü (Şekil 5).

İspat et: .

Pirinç. 5 Dikdörtgen paralel yüzlü

Kanıt:

Doğru CC 1, ABC düzlemine ve dolayısıyla AC düz çizgisine diktir. Bu, CC 1 A üçgeninin dikdörtgen olduğu anlamına gelir. Pisagor teoremi ile:

Düşünmek sağ üçgen ABC. Pisagor teoremi ile:

Ancak BC ve AD dikdörtgenin karşılıklı kenarlarıdır. Dolayısıyla, BC = AD. Sonra:

Çünkü , a , sonra. CC 1 = AA 1 olduğundan, kanıtlanması gereken şey buydu.

Dikdörtgen paralel yüzün köşegenleri eşittir.

Paralel yüzlü ABC'nin ölçümlerini a, b, c olarak belirleyelim (bkz. Şekil 6), sonra AC 1 = CA 1 = B 1 D = DB 1 =

veya (eşdeğeri) altı paralelkenar yüzlü bir çokyüzlü. Altıgen.

Paralel yüzü oluşturan paralelkenarlar şunlardır: yönler bu paralelyüzün kenarları, bu paralelkenarların kenarları paralel yüzün kenarları, ve paralelkenarların köşeleri zirveler paralel yüzlü... Bir paralelyüz için, her yüz paralelkenar.

Kural olarak, herhangi 2 karşıt yüz ayırt edilir ve çağrılır. paralel borunun temelleri ve kalan yüzler paralel borunun yan yüzleri... Kutunun tabanlara ait olmayan kenarları yan kaburgalar.

Ortak bir kenarı olan bir kutunun 2 yüzü ilgili, ve ortak kenarları olmayanlar - zıt.

1. yüze ait olmayan 2 köşeyi birleştiren doğru parçası paralel borunun köşegeni tarafından.

Dikdörtgen paralel yüzün paralel olmayan kenarlarının uzunlukları, doğrusal boyutlar (ölçümler) paralel yüzlü. Dikdörtgen paralel yüzlü bir 3 doğrusal boyuta sahiptir.

Paralel yüzlü türleri.

Birkaç tür paralel boru vardır:

doğrudan tabanın düzlemine dik bir kenarı olan bir paralel borudur.

Tüm 3 boyutun eşit büyüklükte olduğu dikdörtgen bir paralelyüz, küp... Küpün yüzlerinin her biri eşittir kareler.

Keyfi paralel yüzlü. Eğik bir paralelyüzdeki hacim ve oranlar esas olarak vektör cebiri kullanılarak belirlenir. Paralel yüzün hacmi eşittir mutlak değer paralelyüzün (bir tepe noktasından gelen) 3 tarafı tarafından belirlenen 3 vektörün karışık bir ürünü. Paralel yüzün kenar uzunlukları ile aralarındaki açılar arasındaki oran, bu 3 vektörün Gram determinantının bunların karelerine eşit olduğu ifadesini gösterir. karışık iş.

Kutu özellikleri.

• Paralel boru, köşegeninin ortasına göre simetriktir.
• Paralel yüzün yüzeyine ait olan ve köşegeninin ortasından geçen uçları olan herhangi bir segment, onunla iki eşit parçaya bölünür. Paralel yüzün tüm köşegenleri 1. noktada kesişir ve onunla iki eşit parçaya bölünür.
• Kutunun karşılıklı yüzleri paralel ve eşit büyüklüktedir.
• Dikdörtgen paralel borunun köşegen uzunluğunun karesi,