Можливість достовірної події приклад. Ймовірність події

Ймовірністюподії називається відношення числа елементарних результатів, які сприяють даній події, до всіх рівноможливих результатів досвіду в якому може з'явитися ця подія. Імовірність події А позначають через Р(А) (тут Р – перша літера французького слова probabilite – ймовірність). Відповідно до визначення
(1.2.1)
де - Число елементарних результатів, що сприяють події А; - Число всіх рівноможливих елементарних результатів досвіду, що утворюють повну групу подій.
Це визначення ймовірності називають класичним. Воно виникло початковому етапі розвитку теорії ймовірностей.

Імовірність події має такі властивості:
1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці. Позначимо достовірну подію літерою. Для достовірної події , тому
(1.2.2)
2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю. Позначимо неможливу подію літерою. Для неможливої ​​події , тому
(1.2.3)
3. Імовірність випадкової події виражається позитивним числом, меншим за одиницю. Оскільки для випадкової події виконуються нерівності , або , то
(1.2.4)
4. Імовірність будь-якої події задовольняє нерівності
(1.2.5)
Це випливає із співвідношень (1.2.2) -(1.2.4).

приклад 1.У урні 10 однакових за розмірами та вагою куль, з яких 4 червоні та 6 блакитні. з урни витягується одна куля. Яка ймовірність того, що витягнута куля виявиться блакитною?

Рішення. Подія "витягнута куля виявилася блакитною" позначимо буквою А. Дане випробування має 10 рівноможливих елементарних результатів, з яких 6 сприяють події А. Відповідно до формули (1.2.1) отримуємо

приклад 2.Усі натуральні числа від 1 до 30 записані на однакових картках та поміщені до скриньки. Після ретельного перемішування карток із урни витягується одна картка. Яка ймовірність того, що число на взятій картці виявиться кратним 5?

Рішення.Позначимо через А подію "число на взятій картці кратно 5". У цьому випробуванні є 30 рівноможливих елементарних результатів, у тому числі події А сприяють 6 результатів (числа 5, 10, 15, 20, 25, 30). Отже,

приклад 3.Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Знайти ймовірність події, що полягає в тому, що на верхніх гранях кубиків в сумі буде 9 очок.

Рішення.У цьому випробуванні всього 62 = 36 рівноможливих елементарних результатів. Події У сприяють 4 результати: (3; 6), (4; 5), (5; 4), (6; 3), тому

Приклад 4. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 10. Яка ймовірність того, що це число є простим?

Рішення.Позначимо літерою З подія "вибране число є простим". У разі n = 10, m = 4 (прості числа 2, 3, 5, 7). Отже, шукана ймовірність

Приклад 5.Підкидаються дві симетричні монети. Чому дорівнює ймовірність того, що на верхніх сторонах обох монет опинилися цифри?

Рішення.Позначимо літерою D подію "на верхній стороні кожної монети виявилася цифра". У цьому випробуванні 4 рівноможливі елементарні результати: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запис (Г, Ц) означає, що у першій монеті герб, другого - цифра). Події D сприяє один елементарний результат (Ц, Ц). Оскільки m = 1, n = 4, то

Приклад 6.Яка ймовірність того, що в навмання обраному двозначному числі цифри однакові?

Рішення.Двозначними числами є числа від 10 до 99; всього таких чисел 90. Однакові цифри мають 9 чисел (це числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99). Так як у цьому випадку m = 9, n = 90, то
,
де А - подія "число з однаковими цифрами".

Приклад 7.З літер слова диференціалнавмання вибирається одна літера. Яка ймовірність того, що ця літера буде: а) гласною, б) згодною, в) літерою год?

Рішення. У слові диференціал 12 букв, з них 5 голосних і 7 приголосних. Літери году цьому слові немає. Позначимо події: А - "голосна буква", В - "згодна буква", С - "літера годЧисло сприятливих елементарних результатів: -для події А, - для події В, - для події С. Оскільки n = 12, то
, та .

Приклад 8.Підкидається два гральні кубики, відзначається число очок на верхній грані кожного кубика. Знайти ймовірність того, що на обох кубиках випало однакове число очок.

Рішення.Позначимо цю подію буквою А. Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1;]), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Усього рівноможливих елементарних результатів, що утворюють повну групу подій, у разі n=6 2 =36. Отже, шукана ймовірність

Приклад 9.У книзі 300 сторінок. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання відкрита сторінка матиме порядковий номер, кратний 5?

Рішення.З умови завдання випливає, що всіх рівноможливих елементарних наслідків, що утворюють повну групу подій, буде n = 300. З них m = 60 сприяють настанню вказаної події. Дійсно, номер, кратний 5, має вигляд 5k, де k -натуральне число, причому , звідки . Отже,
, де А - подія "сторінка" має порядковий номер, кратний 5".

Приклад 10. Підкидаються два гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше -отримати в сумі 7 або 8?

Рішення. Позначимо події: А – "випало 7 очок", В – "випало 8 очок". Події А сприяють 6 елементарних результатів: (1; 6), (2; 5), (3; 4), (4; 3), (5; 2), (6; 1), а події - 5 результатів: (2; 6), (3; 5), (4; 4), (5; 3), (6; 2). Усіх рівноможливих елементарних результатів n = 6 2 = 36. Значить, та .

Отже, Р(А)>Р(В), тобто одержати в сумі 7 очок - більш імовірну подію, ніж одержати в сумі 8 очок.

Завдання

1. Навмання вибрано натуральне число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число кратне 3?
2. В урні aчервоних та bблакитних куль, однакових за розмірами та вагою. Чому дорівнює ймовірність того, що навмання витягнута куля з цієї урни виявиться блакитною?
3. Наудачу вибрано число, що не перевищує 30. Яка ймовірність того, що це число є дільником зо?
4. У урні аблакитних та bчервоних куль, однакових за розмірами та вагою. З цієї урни витягають одну кулю і відкладають убік. Ця куля виявилася червоною. Після цього з урни виймають ще одну кулю. Знайти ймовірність того, що друга куля також червона.
5. Наудачу вибрано наryральне число, що не перевищує 50. Яка ймовірність того, що це число є простим?
6. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок на верхніх гранях. Що найімовірніше - отримати в сумі 9 чи 10 очок?
7. Підкидається три гральні кубики, підраховується сума очок, що випали. Що найімовірніше - отримати у сумі 11 (подія А) чи 12 очок (подія В)?

Відповіді

1. 1/3. 2 . b/(a+b). 3 . 0,2. 4 . (b-1)/(a+b-1). 5 .0,3.6 . p 1 = 25/216 - можливість отримати у сумі 9 очок; p 2 = 27/216 - можливість отримати у сумі 10 очок; p 2 > p 1 7 . Р(А) = 27/216, Р(В) = 25/216, Р(А) > Р(В).

Запитання

1. Що називають ймовірністю події?
2. Чому дорівнює ймовірність достовірної події?
3. Чому дорівнює ймовірність неможливої ​​події?
4. У яких межах є можливість випадкової події?
5. У яких межах є можливість будь-якої події?
6. Яке визначення ймовірності називають класичним?

Зрозуміло, що кожна подія має той чи інший рівень можливості свого наступу (своєї реалізації). Щоб кількісно порівнювати між собою події за рівнем їхньої можливості, очевидно, потрібно з кожною подією пов'язати певне число, яке тим більше, чим можливіша подія. Таке число називається ймовірністю події.

Ймовірність події– є чисельний захід ступеня об'єктивної можливості настання цієї події.

Розглянемо стохастичний експеримент та випадкову подію А, що спостерігається в цьому експерименті. Повторимо цей експеримент n разів і нехай m(A) – кількість експериментів, у яких подія відбулася.

Відношення (1.1)

називається відносною частотоюподії А у проведеній серії експериментів.

Легко переконатися у справедливості властивостей:

якщо А та В несумісні (АВ= ), то ν(А+В) = ν(А) + ν(В) (1.2)

Відносна частота визначається лише після проведення серії експериментів і, взагалі кажучи, може змінюватись від серії до серії. Однак досвід показує, що у багатьох випадках зі збільшенням кількості дослідів відносна частота наближається до деякого числа. Цей факт стійкості відносної частоти неодноразово перевірявся і можна вважати експериментально встановленим.

приклад 1.19.. Якщо кинути одну монету, ніхто не зможе передбачити, якою стороною вона впаде вгору. Але якщо кинути дві тонни монет, кожен скаже, що приблизно одна тонна впаде догори гербом, тобто відносна частота випадання герба приблизно дорівнює 0,5.

Якщо зі збільшенням числа дослідів відносна частота події ν(А) прагне деякому фіксованому числу, то кажуть, що подія А статистично стійкаа це число називають ймовірністю події А.

Ймовірністю події Аназивається деяке фіксоване число Р(А), якого прагне відносна частота ν(А) цієї події при збільшенні числа дослідів, тобто,

Це визначення називають статистичним визначенням ймовірності .

Розглянемо якийсь стохастичний експеримент і нехай простір його елементарних подій складається з кінцевої або нескінченної (але лічильної) множини елементарних подій ω 1 , ω 2 , …, ω i , … . припустимо, що кожній елементарній події ω i прописано деяке число - р i , що характеризує ступінь можливості появи даної елементарної події і задовольняє наступним властивостям:

Таке число p i називається ймовірністю елементарної подіїω i.

Нехай тепер А-випадкова подія, що спостерігається в цьому досвіді, і йому відповідає деяка безліч

У такій постановці ймовірністю події А називають суму ймовірностей елементарних подій, що сприяють А(що входять до відповідної множини А):

Введена таким чином ймовірність має ті ж властивості, що і відносна частота, а саме:

І якщо АВ = (А і В несумісні),

то P(A+B) = P(A) + P(B)

Дійсно, згідно (1.4)

В останньому співвідношенні ми скористалися тим, що жодна елементарна подія не може сприяти одночасно двом несумісним подіям.

Особливо відзначимо, що теорія ймовірностей не вказує способів визначення р i їх треба шукати з міркувань практичного характеру або отримувати з відповідного статистичного експерименту.

Як приклад розглянемо класичну схему теорії ймовірностей. І тому розглянемо стохастичний експеримент, простір елементарних подій якого складається з кінцевого (n) числа елементів. Припустимо додатково, що це елементарні події рівноможливі, тобто ймовірності елементарних подій рівні p(ω i)=p i =p. Звідси слідує що

Приклад 1.20. При киданні симетричної монети випадання герба та «решки» рівноможливі, їх ймовірності дорівнюють 0,5.

Приклад 1.21. При киданні симетричного кубика всі грані рівноможливі, їх ймовірність дорівнює 1/6.

Нехай тепер події А сприяє m елементарних подій, їх зазвичай називають результатами, що сприяють події А. Тоді

Отримали класичне визначення ймовірності: ймовірність Р(А) події А дорівнює відношенню числа наслідків, що сприяють події А, до загального числа наслідків

Приклад 1.22. У урні лежить m білих куль і n чорних. Чому дорівнює можливість витягнути білу кулю?

Рішення. Усього елементарних подій m+n. Вони все рівноймовірні. Сприятливих для події А з них m. Отже, .

З визначення ймовірності випливають такі властивості:

Властивість 1. Імовірність достовірної події дорівнює одиниці.

Справді, якщо подія є достовірною, то кожен елементарний результат випробування сприяє події. В цьому випадку т=п,отже,

P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)

Властивість 2. Імовірність неможливої ​​події дорівнює нулю.

Справді, якщо подія неможлива, то жоден з елементарних результатів випробування не сприяє події. В цьому випадку т= 0, отже, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)

Властивість 3.Імовірність випадкової події є позитивним числом, укладеним між нулем і одиницею.

Справді, випадковому події сприяє лише частина із загальної кількості елементарних результатів испытания. Тобто, 0≤m≤n, отже, 0≤m/n≤1, отже, ймовірність будь-якої події задовольняє подвійну нерівність 0≤ P(A) ≤1. (1.8)

Порівнюючи визначення ймовірності (1.5) та відносної частоти (1.1), укладаємо: визначення ймовірності не вимагає, щоб випробування проводилисяв дійсності; визначення ж відносної частоти передбачає, що випробування були здійснені фактично. Іншими словами, ймовірність обчислюють до досвіду, а відносну частоту після досвіду.

Однак, обчислення ймовірності вимагає наявності попередньої інформації про кількість або ймовірності елементарних результатів, що сприяють даній події. У разі відсутності такої попередньої інформації визначення ймовірності вдаються до емпіричних даних, тобто, за результатами стохастичного експерименту визначають відносну частоту події.

Приклад 1.23. Відділ технічного контролю виявив 3нестандартні деталі в партії з 80 випадково відібраних деталей. Відносна частота появи нестандартних деталей r (А)= 3/80.

Приклад 1.24. З мети. 24 пострілу, причому було зареєстровано 19 влучень. Відносна частота ураження цілі. r (А)=19/24.

Тривалі спостереження показали, що й у однакових умов виробляють досліди, у кожному у тому числі число випробувань досить велике, то відносна частота виявляє властивість стійкості. Ця властивість полягає в тому, що у різних дослідах відносна частота змінюється мало (тим менше, що більше проведено випробувань), коливаючись біля деякого постійного числа.Виявилося, що це постійне число можна сприйняти як наближене значення ймовірності.

Докладніше і точніше зв'язок між відносною частотою та ймовірністю буде викладено далі. Тепер проілюструємо властивість стійкості на прикладах.

Приклад 1.25. За даними шведської статистики, відносна частота народження дівчаток за 1935 р. по місяцях характеризується такими числами (числа розташовані в порядку прямування місяців, починаючи з Січня): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473

Відносна частота коливається близько числа 0,481, яке можна сприйняти за наближене значення ймовірності народження дівчаток.

Зауважимо, що статистичні дані різних країн дають приблизно те значення відносної частоти.

приклад 1.26.Багаторазово проводилися досліди кидання монети, у яких підраховували появу «герба». Результати кількох дослідів наведені у таблиці.

Теорія ймовірності - досить великий самостійний розділ математики. У шкільному курсі теорія ймовірності розглядається дуже поверхово, проте в ЄДІ та ДІА є завдання на цю тему. Втім, вирішувати завдання шкільного курсу не так уже й складно (принаймні те, що стосується арифметичних операцій) - тут не треба вважати похідні, брати інтеграли і вирішувати складні тригонометричні перетворення - головне, вміти поводитися з простими числами та дробами.

Теорія ймовірності – основні терміни

Головні терміни теорії ймовірності – випробування, результат та випадкова подія. Випробуванням теоретично ймовірності називають експеримент - підкинути монету, витягнути карту, провести жеребкування - усе це випробування. Результат випробування, як ви вже здогадалися, називається результатом.

А що таке випадковість події? Теоретично ймовірності передбачається, що випробування проводиться жодного разу і результатів багато. Випадковою подією називають безліч наслідків випробування. Наприклад, якщо ви кидаєте монету, може статися дві випадкові події – випаде орел чи решка.

Не плутайте поняття результат та випадкова подія. Результат – це один результат одного випробування. Випадкова подія – це безліч можливих наслідків. Існує, до речі, і такий термін, як неможлива подія. Наприклад, подія "випала кількість 8" на стандартному ігровому кубику є неможливою.

Як знайти ймовірність?

Всі ми приблизно розуміємо, що таке ймовірність, і досить часто використовуємо це слово у своєму лексиконі. Крім того, ми можемо навіть робити деякі висновки щодо ймовірності тієї чи іншої події, наприклад, якщо за вікном сніг ми з великою ймовірністю можемо сказати, що зараз не літо. Однак як висловити це припущення чисельно?

Для того щоб ввести формулу для знаходження ймовірності, введемо ще одне поняття - сприятливий результат, тобто результат, який є сприятливим для тієї чи іншої події. Визначення досить двозначне, звісно, ​​проте за умовою завдання завжди зрозуміло, який результат сприятливий.

Наприклад: У класі 25 осіб, троє з них – Каті. Вчитель призначає чергову Олю, і їй потрібен напарник. Яка ймовірність того, що партнером стане Катя?

У цьому прикладі сприятливий результат - партнер Катя. Трохи згодом ми вирішимо це завдання. Але спочатку введемо з допомогою додаткового визначення формулу знаходження ймовірності.

• Р = А/N, де P – ймовірність, A – число сприятливих результатів, N – загальна кількість результатів.

Всі шкільні завдання крутяться навколо цієї формули, і головна труднощі зазвичай полягає у знаходженні результатів. Іноді їх знайти просто, іноді не дуже.

Як вирішувати завдання на ймовірність?

Завдання 1

Отже, тепер давайте вирішимо поставлене вище завдання.

Число сприятливих результатів (вчитель вибере Катю) дорівнює трьом, адже Кать у класі три, а загальних результатів - 24 (25-1, адже Оля вже обрана). Тоді ймовірність дорівнює: P = 3/24 = 1/8 = 0,125. Таким чином, ймовірність того, що партнером Олі виявиться Катя, становить 12,5%. Нескладно, правда? Давайте розберемо дещо складніше.

Завдання 2

Монету кинули двічі, якою є ймовірність випадання комбінації: один орел і одна решка?

Отже, рахуємо загальні результати. Як можуть випасти монети - орел/орел, решка/рішка, орел/рішка, решка/орел? Значить, загальна кількість наслідків - 4. Скільки сприятливих наслідків? Два - орел/рішка та решка/орел. Таким чином, ймовірність випадання комбінації орел/рішка дорівнює:

• P = 2/4 = 0,5 або 50 відсотків.

А тепер розглянемо таке завдання. Маша має в кишені 6 монет: дві - номіналом 5 рублів і чотири - номіналом 10 рублів. Маша переклала 3 монети в іншу кишеню. Яка ймовірність того, що 5-рублеві монети опиняться у різних кишенях?

Для простоти позначимо монети цифрами – 1,2 – п'ятирублеві монети, 3,4,5,6 – десятирублеві монети. Отже, як можуть лежати монети у кишені? Усього є 20 комбінацій:

• 123, 124, 125, 126, 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256, 345, 346, 356, 456.

На перший погляд може здатися, що деякі комбінації зникли, наприклад, 231, однак у нашому випадку комбінації 123, 231 та 321 рівнозначні.

Тепер рахуємо, скільки у нас сприятливих результатів. За них беремо ті комбінації, в яких є або цифра 1, або цифра 2: 134, 135, 136, 145, 146, 156, 234, 235, 236, 245, 246, 256. Їх 12. Таким чином, ймовірність

• P = 12/20 = 0,6 чи 60%.

Завдання з теорії ймовірності, представлені тут, досить прості, проте думайте, що теорія ймовірності - це простий розділ математики. Якщо ви вирішите продовжувати освіту у вузі (за винятком гуманітарних спеціальностей), у вас обов'язково будуть пари з вищої математики, на яких вас ознайомлять з більш складними термінами цієї теорії, і завдання там будуть набагато складнішими.

У завданнях ЄДІ з математики зустрічаються і більш складні завдання на ймовірність (ніж ми розглядали в частині 1), де доводиться застосовувати правило додавання, множення ймовірностей, розрізняти спільні та несумісні події.

Отже, теорія.

Спільні та несумісні події

Події називаються несумісними, якщо поява одного з них унеможливлює появу інших. Тобто, може відбутися лише одна певна подія або інша.

Наприклад, кидаючи гральну кістку, можна назвати такі події, як випадання парного числа очок і випадання непарного числа очок. Ці події несумісні.

Події називаються спільними, якщо настання одного з них не виключає настання іншого.

Наприклад, кидаючи гральну кістку, можна виділити такі події, як випадання непарного числа очок і випадання числа очок, кратних трьом. Коли випадає три, реалізуються обидві події.

Сума подій

Сумою (або об'єднанням) кількох подій називається подія, що полягає в настанні хоча б однієї з цих подій.

При цьому сума двох несумісних подій є сума ймовірностей цих подій:

Наприклад, ймовірність випадання 5 або 6 очок на гральному кубику при одному кидку, буде , тому що обидві події (випадання 5, випадіння 6) несумісні і ймовірність реалізації однієї чи другої події обчислюється таким чином:

Імовірність ж суми двох спільних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій без урахування їхньої спільної появи:

Наприклад, у торговому центрі два однакові автомати продають каву. Імовірність того, що до кінця дня в автоматі закінчиться кава, дорівнює 0,3. Імовірність того, що кава закінчиться в обох автоматах, дорівнює 0,12. Знайдемо ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоча б в одному з автоматів (тобто або в одному або в іншому, або в обох відразу).

Імовірність першої події «кава закінчиться в першому автоматі» так само як і ймовірність другої події «кава закінчиться в другому автоматі» за умовою дорівнює 0,3. Події є спільними.

Імовірність спільної реалізації перших двох подій за умовою дорівнює 0,12.

Значить, ймовірність того, що до кінця дня кава закінчиться хоча б в одному з автоматів.

Залежні та незалежні події

Дві випадкові події А і В називаються незалежними, якщо настання одного з них не змінює ймовірність наступу іншого. В іншому випадку події А та В називають залежними.

Наприклад, при одночасному кидку двох кубиків випадання одному з них, скажімо 1, і другому 5, – незалежні події.

Добуток ймовірностей

Твором (або перетином) кількох подій називається подія, що полягає у спільній появі всіх цих подій.

Якщо відбуваються два незалежні подіїА і В з ймовірностями відповідно до Р(А) і Р(В), то ймовірність реалізації подій А і В одночасно дорівнює добутку ймовірностей:

Наприклад, нас цікавить випадання на гральному кубику двічі поспіль шістки. Обидві події незалежні і можливість реалізації кожного з них окремо – . Імовірність того, що відбудуться обидві ці події, буде обчислюватися за зазначеною вище формулою: .

Добірку завдань на відпрацювання теми дивіться.