Пропорційні відрізки у трикутнику доказ. Урок "пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику"

Ознака подоби прямокутних трикутників

Введемо для початку ознаку подоби прямокутних трикутників.

Теорема 1

Ознака подоби прямокутних трикутників: два прямокутні трикутники подібні тоді, коли у них є по одному рівному гострому кутку (рис. 1).

Малюнок 1. Подібні прямокутні трикутники

Доведення.

Нехай нам дано, що $ angle B = angle B_1 $. Оскільки трикутники прямокутні, то $angle A=angle A_1=(90)^0$. Отже, вони подібні за першою ознакою подібності до трикутників.

Теорему доведено.

Теорема про висоту у прямокутному трикутнику

Теорема 2

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібні прямокутні трикутники, кожен з яких подібний до цього трикутника.

Доведення.

Нехай нам дано прямокутний трикутник $ ABC $ з прямим кутом $ C $. Проведемо висоту $CD$ (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 2

Доведемо, що трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні до трикутника $ABC$ і що трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні між собою.

Оскільки $\angle ADC=(90)^0$, то трикутник $ACD$ прямокутний. У трикутників $ACD$ і $ABC$ кут $A$ загальний, отже, за теоремою 1, трикутники $ACD$ і $ABC$ подібні.

Оскільки $\angle BDC=(90)^0$, то трикутник $BCD$ прямокутний. У трикутників $BCD$ і $ABC$ кут $B$ загальний, отже, за теоремою 1, трикутники $BCD$ і $ABC$ подібні.

Розглянемо тепер трикутники $ACD$ і $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Отже, за теоремою 1 трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні.

Теорему доведено.

Середнє пропорційне

Теорема 3

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє для відрізків, на які висота ділить гіпотенузу даного трикутника.

Доведення.

За теоремою 2, маємо, що трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні, отже

Теорему доведено.

Теорема 4

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеною з вершини кута.

Доведення.

У доказі теореми користуватимемося позначеннями з малюнка 2.

За теоремою 2, маємо, що трикутники $ACD$ і $ABC$ подібні, отже

Теорему доведено.

Урок 40. Пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику. С. b. a. h. С. bc. Н. ac. А. В. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, ділить трикутник на 2 подібних прямокутних трикутника, кожен з яких подібний до цього трикутника. Ознака подібності до прямокутних трикутників. Два прямокутні трикутники подібні, якщо вони мають по рівному гострому кутку. Відрізок XY називається середнім пропорційним (середнім геометричним) для відрізків АВ і CD, якщо Властивість 1. Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє між проекціями катетів на гіпотенузу. Властивість 2. Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і проекцією цього катета на гіпотенузу.

Геометрія 8 клас

"Рішення задач на теорему Піфагора" - Трикутник АВС рівнобедрений. Практичне застосування теореми Піфагора. АВСД – чотирикутник. Площа квадрата. Знайти НД. Доведення. Підстави рівнобедреної трапеції. Розглянути теорему Піфагора. Площа чотирикутника. Прямокутні трикутники. Теорема Піфагора. Квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

«Знаходження площі паралелограма» - Підстава. Висота. Визначення висоти паралелограма. Ознаки рівності прямокутних трикутників. Площа паралелограма. Знайдіть площу трикутника. Властивості площ. Усні вправи. Знайдіть площу паралелограма. Висота паралелограма. Знайдіть периметр квадрата. Площа трикутника. Знайдіть площу квадрата. Знайдіть площу прямокутника. Площа квадрата.

"Квадрат" 8 клас - Чорний квадрат. Завдання для усної роботи на периметрі квадрата. Площа квадрата. Ознаки квадрата. Квадрат серед нас. Квадрат це прямокутник, у якого всі сторони рівні. Квадрат. Сумка з квадратною основою. Усні завдання. Скільки квадратів зображено малюнку. Властивості квадрата. Багатий торговець. Завдання для усної роботи на площі квадрата. Периметр квадрата.

"Визначення осьової симетрії" - Точки, що лежать на одному перпендикулярі. Накресліть дві прямі. Побудова. Побудуйте крапки. Підказка. Фігури, що не мають осьової симетрії. Відрізок. Пропущені координати. Фігура. Фігури мають більше двох осей симетрії. Симетрія. Симетрія у поезії. Побудуйте трикутники. Осі симетрії. Побудова відрізка. Побудова точки. Фігури, що мають дві осі симетрії. Народи. Трикутники. Пропорційність.

«Визначення подібних трикутників» - багатокутники. Пропорційні відрізки. Відношення площ таких трикутників. Два трикутники називаються подібними. умови. Побудувати трикутник за цими двома кутами і бісектрисом при вершині. Допустимо, треба визначити відстань до стовпа. Третя ознака подібності трикутників. Побудуємо якийсь трикутник. АВС. Трикутники АВС та АВС дорівнюють по трьох сторонах. Визначення висоти предмета.

"Рішення теореми Піфагора" - Частини вікон. Найпростіший доказ. Хаммурабі. Діагональ. Повноцінний доказ. Доказ методом віднімання. Піфагорійці. Підтвердження шляхом розкладання. Історія теореми. Діаметр. Підтвердження шляхом доповнення. Доказ Епштейна. Кантор. Трикутники. Послідовники. Програми теореми Піфагора. Теорема Піфагора. Формулювання теореми. Підтвердження Перигаля. Застосування теореми.

Цілі уроку:

1. запровадити поняття середнього пропорційного (середнього геометричного) двох відрізків;
2. розглянути задачу про пропорційні відрізки у прямокутному трикутнику: властивість висоти прямокутного трикутника, проведеної з вершини прямого кута;
3. формувати в учнів навички використання вивченої теми у процесі розв'язання завдань.

Тип уроку:урок вивчення нового матеріалу

План:

1. Оргмомент.
2. Актуалізація знань.
3. Вивчення якості висоти прямокутного трикутника, проведеної з вершини прямого кута:
   - підготовчий етап;
   - Вступ;
   - Засвоєння.
4. Введення поняття середнього пропорційного двох відрізків.
5. Засвоєння поняття середнього пропорційного двох відрізків.
6. Доказ наслідків:
   - Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є середнє пропорційне між відрізками, на які ділиться гіпотенуза цієї висотою;
   - Катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою.
7. Вирішення задач.
8. Підбиття підсумків.
9. Постановка домашнього завдання.

Хід уроку

I. ОРГМОМЕНТ

– Здрастуйте хлопці, сідайте. Чи всі готові до уроку?

Розпочинаємо роботу.

ІІ. АКТУАЛІЗАЦІЯ ЗНАНЬ

- З яким важливим математичним поняттям ви познайомилися на попередніх уроках? ( з поняттям подоби трикутників)

- Давайте пригадаємо, які два трикутники називаються подібними? (Два трикутники називаються подібними, якщо їх кути відповідно рівні і сторони одного трикутника пропорційні подібним сторонам іншого трикутника)

– Чим ми користуємося за доказ подібності двох трикутників? (

– Сформулюйте ці ознаки (Формулюють три ознаки подоби трикутників)

ІІІ. ВИВЧЕННЯ ВЛАСТИВОСТІ ВИСОТИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА, ПРОВЕДЕНОЇ З ВЕРШИНИ ПРЯМОГО КУТА

а) підготовчий етап

- Діти, подивіться будь ласка на перший слайд. ( додаток) Тут зображені два прямокутні трикутники – і . і – висоти та відповідно. .

Завдання 1. а)Визначте, чи подібні і .

– Що ми використовуємо за доказом подібності трикутників? ( ознаки подоби трикутників)

(перша ознака, тому що в задачі нічого невідомо про сторони трикутників)

. (Дві пари: 1. ∟В= ∟В1 (прямі),2. ∟A= ∟A 1)

– Зробіть висновок. за першою ознакою подоби трикутників ~)

Завдання 1. б)Визначте, чи подібні і .

– Яку ознаку подоби використовуватимемо і чому? (перша ознака, тому що в задачі нічого невідомо про сторони трикутників)

– Скільки пар рівних кутів нам потрібно знайти? Знайдіть ці пари (т.к. трикутники прямокутні, достатньо однієї пари рівних кутів: ∟A= ∟A 1)

– Зробіть висновок. (за першою ознакою подібності трикутників укладаємо, що ці трикутники подібні).

В результаті розмови слайд 1 виглядає так:

б) відкриття теореми

Завдання 2.

– Визначте, чи подібні і , і . В результаті розмови вибудовуються відповіді, які відображені на слайді.

– На малюнку було зазначено, що . Чи ми використовували цей градусний захід при відповідях на запитання завдань? ( Ні, не використовували)

– Діти, зробіть висновок: на які трикутники поділяє прямокутний трикутник висота, проведена з вершини прямого кута? (роблять висновок)

- Виникає питання: а чи будуть ці два прямокутні трикутники, на які висота розбиває прямокутний трикутник, подібні між собою? Спробуймо знайти пари рівних кутів.

В результаті розмови вибудовується запис:

– А тепер давайте зробимо повний висновок. ВИСНОВОК: висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібних

– В.о. ми з вами сформулювали та довели теорему про властивість висоти прямокутного трикутника.

Встановимо структуру теореми та зробимо креслення. Що теоремі дано і що треба довести? Учні записують у зошит:

– Доведемо перший пункт теореми нового малюнка. Яку ознаку подібності використовуватимемо і чому? (Перший, тому що в теоремі нічого невідомо про сторони трикутників)

– Скільки пар рівних кутів нам потрібно знайти? Знайдіть ці пари. (У даному випадку достатньо однієї пари: ∟A-загальний)

– Зробіть висновок. Трикутники подібні. В результаті показується зразок оформлення теореми.

– Другий та третій пункти розпишіть удома самостійно.

в) засвоєння теореми

– Отже, сформулюйте ще раз теорему (Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібнихпрямокутних трикутника, кожен з яких подібний до цього)

– Скільки пар подібних трикутників у конструкції «у прямокутному трикутнику проведена висота з вершини прямого кута» дозволяє знайти цю теорему? ( Три пари)

Учням пропонується наступне завдання:

IV. ВСТУП ПОНЯТТЯ СЕРЕДНЬОГО ПРОПОРЦІОНАЛЬНОГО ДВОХ ВІДРІЗКІВ

– А зараз ми вивчимо з вами нове поняття.

Увага!

Визначення.Відрізок XYназивається середнім пропорційним (Середнім геометричним)між відрізками ABі CD, якщо

(Записують у зошит).

V. ЗАСвоєння ПОНЯТТЯ СЕРЕДНЬОГО ПРОПОРЦІОНАЛЬНОГО ДВОХ ВІДРІЗКІВ

– Тепер звернемося до наступного слайду.

Завдання 1.Знайдіть довжину середнього пропорційного відрізків MN та KP, якщо MN = 9 см, KP = 16 см.

– Що дано у завданні? ( Два відрізки та їх довжини: MN = 9 см, KP = 16 см)

– Що треба знайти? ( Довжину середнього пропорційного цих відрізків)

– Якою формулою виражається середня пропорційна і як ми її знайдемо?

(Підставляємо дані у формулу і знаходимо довжину ср.проп.)

Завдання №2.Знайдіть довжину відрізка AB, якщо середнє пропорційне відрізків AB і CD дорівнює 90 см і CD = 100 см

– Що дано у завданні? (Довжина відрізка CD = 100 см і середнє пропорційне відрізків AB і СD дорівнює 90 см)

– Що потрібно знайти у завданні? ( Довжину відрізка AB)

– Як вирішуватимемо завдання? (Запишемо формулу середнього пропорційного відрізків AB та СD, виразимо з неї довжину AB та підставимо дані завдання.)

VI. ВИСНОВОК Слідств

- Молодці, хлопці. А тепер повернімося до подоби трикутників, доведеної нами в теоремі. Сформулюйте ще раз теорему. ( Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібнихпрямокутних трикутника, кожен з яких подібний до цього)

– Давайте спочатку використовуватимемо подобу трикутників і . Що з цього випливає? ( За визначенням подібності сторони пропорційні подібним сторонам)

- Яка рівність вийде при використанні основної якості пропорції? ()

– Виразіть CD і зробіть висновок (;.

Висновок: висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє між відрізками, на які ділиться гіпотенуза цією висотою)

- А тепер доведіть самостійно, що катет прямокутного трикутника є середнє пропорційне між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою. )

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між…(-…гіпотенузою та відрізком гіпотенузи, укладеним між цим катетом та висотою )

– Де ми застосовуємо вивчені твердження? ( При вирішенні завдань)

IX. ПОСТАНОВКА ДОМАШНЬОГО ЗАВДАННЯ

д/з:№571, №572 (а, д), самостійна робота у зошиті, теорія.

Сьогодні до вашої уваги пропонується ще одна презентація з дивовижного та загадкового предмета - геометрії. У цій презентації ми вас познайомимо з новою якістю геометричних форм, зокрема, з поняттям пропорційних відрізків у прямокутних трикутниках.

Для початку слід згадати, що таке трикутник? Це найпростіший багатокутник, що складається із трьох вершин, з'єднаних трьома відрізками. Прямокутним називають трикутник, у якого один із кутів дорівнює 90 градусам. Докладніше з ними ви вже знайомилися у наших попередніх навчальних матеріалах, представлених до вашої уваги.

Отже, повертаючись до нашої сьогодення, по порядку позначимо, що висота прямокутного трикутника, проведена з кута 90 градусів, ділить його на два трикутники, які подібні як між собою, так і з вихідним. Всі малюнки, що вас цікавлять, і графіки наведені в запропонованій презентації, до них і рекомендуємо звертатися, супроводжуючи описуваним поясненням.

Графічний приклад вищеописаної тези можна побачити на другому слайді. Виходячи з першої ознаки подібності трикутників, трикутники подібні, оскільки мають два однакові кути. Якщо вказати більш докладно, то висота, опущена на гіпотенузу, утворює з нею прямий кут, тобто вже є однакові кути, також кожен з освічених кутів має вихідним по одному загальному куту. Підсумок – два кути, рівних один одному. Тобто трикутники подібні.

Також позначимо, що ж має на увазі поняття «середнє пропорційне» чи «середнє геометричне»? Це певний відрізок XY для відрізків AB і CD, що він дорівнює квадратному кореню добутку їх довжин.

З чого також випливає, що катет прямокутного трикутника є середнім геометричним між гіпотенузою та проекцією цього катета на гіпотенузу, тобто іншого катета.

Ще однією з властивостей прямого трикутника є те, що його висота, проведена з кута 90, є середнім пропорційним між проекціями катетів на гіпотенузу. Якщо ви звернетеся до запропонованої вашої уваги, презентації та інших матеріалів, то побачите, що там наведено доказ зазначеної тези в дуже простій та доступній формі. Раніше ми вже довели, що отримані трикутники подібні між собою і вихідним трикутником. Потім, використовуючи співвідношення катетів даних геометричних фігур, приходимо до того, що висота прямокутного трикутника прямо пропорційна квадратного кореня добутку відрізків, які утворилися в результаті опущення висоти прямого кута вихідного трикутника.

Останнім у презентації зазначено те, що катет прямокутного трикутника є середнім геометричним для гіпотенузи та її відрізка між катетом і висотою, проведеною з кута, рівного 90 градусів. Цей випадок слід розглядати з того боку, що ці трикутники подібні між собою, і катет одного з них виходить гіпотенузою іншого. Але докладніше ви з цим познайомитеся, вивчивши запропоновані матеріали.

Ознака подоби прямокутних трикутників

Введемо для початку ознаку подоби прямокутних трикутників.

Теорема 1

Ознака подоби прямокутних трикутників: два прямокутні трикутники подібні тоді, коли у них є по одному рівному гострому кутку (рис. 1).

Малюнок 1. Подібні прямокутні трикутники

Доведення.

Нехай нам дано, що $ angle B = angle B_1 $. Оскільки трикутники прямокутні, то $angle A=angle A_1=(90)^0$. Отже, вони подібні за першою ознакою подібності до трикутників.

Теорему доведено.

Теорема про висоту у прямокутному трикутнику

Теорема 2

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, поділяє трикутник на два подібні прямокутні трикутники, кожен з яких подібний до цього трикутника.

Доведення.

Нехай нам дано прямокутний трикутник $ ABC $ з прямим кутом $ C $. Проведемо висоту $CD$ (рис. 2).

Рисунок 2. Ілюстрація теореми 2

Доведемо, що трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні до трикутника $ABC$ і що трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні між собою.

Оскільки $\angle ADC=(90)^0$, то трикутник $ACD$ прямокутний. У трикутників $ACD$ і $ABC$ кут $A$ загальний, отже, за теоремою 1, трикутники $ACD$ і $ABC$ подібні.

Оскільки $\angle BDC=(90)^0$, то трикутник $BCD$ прямокутний. У трикутників $BCD$ і $ABC$ кут $B$ загальний, отже, за теоремою 1, трикутники $BCD$ і $ABC$ подібні.

Розглянемо тепер трикутники $ACD$ і $BCD$

\[\angle A=(90)^0-\angle ACD\] \[\angle BCD=(90)^0-\angle ACD=\angle A\]

Отже, за теоремою 1 трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні.

Теорему доведено.

Середнє пропорційне

Теорема 3

Висота прямокутного трикутника, проведена з вершини прямого кута, є пропорційне середнє для відрізків, на які висота ділить гіпотенузу даного трикутника.

Доведення.

За теоремою 2, маємо, що трикутники $ACD$ і $BCD$ подібні, отже

Теорему доведено.

Теорема 4

Катет прямокутного трикутника є середнім пропорційним між гіпотенузою і відрізком гіпотенузи, укладеним між катетом і висотою, проведеною з вершини кута.

Доведення.

У доказі теореми користуватимемося позначеннями з малюнка 2.

За теоремою 2, маємо, що трикутники $ACD$ і $ABC$ подібні, отже

Теорему доведено.