Дайте понятие координатных векторов. Как найти координаты вектора

Координатами вектора

Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой

Как образуется базис на плоскости

Как образуется базис в пространстве

Базисом векторного пространства называется упорядоченная максимальная линейно независимая система векторов из этого пространства.

Определение Система векторов a1, a2, . . . , an из векторного пространства V называется системой образующих этого пространства, если любой вектор из V линейно выражается через векторы a1, a2, . . . , an.

Упорядоченная система векторов является базисом векторного пространства V тогда и только тогда, когда она является линейно независимой системой образующих этого пространства

Что называется декартовым базисом

Если векторы e1, e2, e3 взаимно ортогональны и по модулю равны единице, то они называются ортами прямоугольной декартовой системы координат, а сам базис ортонормированным декартовым базисом.

Сформулировать свойства координат векторов в декартовом базисе

Что называется координатами точки

Расстояния точки от координатных плоскостей называют координатами точки.
Расстояние АА 1 точки от плоскости П 1 называют аппликатой точки и обозначают у А, расстояние АА 2 точки от плоскости П 2 - ординатой точки и обозначают - у А, расстояние АА 3 точки от плоскости П 3 - абсциссой точки и обозначают х А.
Очевидно, координата точки аппликата z A есть высота АА 1 , координата точки ордината у A - глубина АА 2 , координата точки абсцисса х А - широтаАА 3 .

Как вычисляются координаты вектора если известны координаты его конца и начала

Как вычислять расстояние между двумя точками если известны их координаты

Сама знаешь что АВ (x1-x2;y1-y2)
Расстояние между точками это длина вектора АВ.

Что такое направляющие косинусы

Направляющие косинусы вектора – это косинусы углов, которые вектор образует с положительными полуосями координат.

Направляющие косинусы однозначно задают направление вектора.

Что называется проекцией вектора на ось, доказать свойства проекций.

Проекцией вектора на ось l () называется длина его компоненты на ось l , взятая со знаком «плюс», если направление компоненты совпадает с направлением оси l , и со знаком «минус», если направление компоненты противоположно направлению оси.

Если = , то полагают = .

Теорема I Проекция вектора на ось l равна произведению его модуля на косинус угла между этим вектором и осью l.

Доказательство. Так как вектор = свободный, то можно предположить, что начало его О лежит на оси l (рис. 34).

Если угол острый, то направление компоненты = , вектора совпадает с направлением оси l (рис 34,а).

В этом случае имеем = + = . Если же угол (рис. 34, б), то направление компоненты = вектора противоположно направлению оси l. Тогда получаем = = cos( - ) = сos

То же - на вектор.

Что такое скалярное произведение векторов

Скалярным произведением двух ненулевых векторов а и b называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.

Сформулировать условие ортогональности векторов

Условие ортогональности векторов.Два вектора a и b ортогональны (перпендикулярны) , если их скалярное произведение равно нулю.

Доказать свойства скалярного произведения векторов

Свойства скалярного произведения векторов

Скалярное произведение вектора самого на себя всегда больше или равно нуля:

Скалярное произведение вектора самого на себя равно нулю тогда и только тогда, когда вектор равен нулевому вектору:

a · a = 0 <=> a = 0

Скалярное произведение вектора самого на себя равно квадрату его модуля:

Операция скалярного умножения коммуникативна:

Если скалярное произведение двух не нулевых векторов равно нулю, то эти вектора ортогональны:

a ≠ 0, b ≠ 0, a · b = 0 <=> a ┴ b

(αa) · b = α(a · b)
Операция скалярного умножения дистрибутивна:

(a + b) · c = a · c + b · c

Вывести выражение скалярного произведения через координаты

Сформулировать свойства векторного произведения

ТОЛЬКО 1 ФОРМУЛУ

Сверху это определитель.

Аналитическая геометрия

1. Доказать теоремы об общем уравнении прямой на плоскости

2. Провести исследование общего уравнения прямой на плоскости

3. Вывести уравнение прямой на плоскости с угловым коэффициентом и уравнение прямой в отрезках на осях

4. Вывести каноническое уравнение прямой на плоскости, записать параметрические уравнения, вывести уравнение прямой, проходящей через две заданные точки

5. Как определяют угол между прямыми на плоскости, если они заданы каноническими уравнениями или уравнениями с угловым коэффициентом?

6. Вывести условия параллельности, совпадения и перпендикулярности прямых на плоскости

7. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до прямой на плоскости

8. Доказать теоремы об общем уравнении плоскости

9. Сформулировать и доказать теорему о взаимном расположении пары плоскостей

10. Провести исследование общего уравнения плоскости

11. Получить уравнение плоскости в отрезках и уравнение плоскости, проходящей через две заданные точки

12. Получить формулу для вычисления расстояния от точки до плоскости

13. Как вычисляется угол между плоскостями?

14. Вывести условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей

15. Записать общий вид уравнений прямой в пространстве, получить канонический вид уравнений прямой в пространстве

16. Вывести параметрические уравнения прямой в пространстве, а также прямой, проходящей через две точки пространства.

17. Как определятся угол между двумя прямыми в пространстве? Записать условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве

18. Как определяется угол между прямой и плоскостью? Записать условия перпендикулярности и параллельности прямой и плоскости

19. Получить условие принадлежности двух прямых одной плоскости

Математический анализ

1. Что такое функция, каковы способы ее задания?

2. Что такое чётная и нечетная функции, как строить их графики

3. Что такое периодическая и обратная функции, как строить их графики

4. Изобразить в графиках показательную и логарифмическую функции при a>1, a<1.

5. Что такое гармоническая зависимость, каков вид ёё графика?

6. Изобразить графики y=arcsinx, y=arccosx, y=arctgx, y=arcctgx

7. Что такое элементарная функция. Графики основных элементарных функций

8. Как строить графики вида y=cf(x), y=f(cx), y=f(x)+c, y=f(x+c)

9. Что такое числовая последовательность, каковы способы ее задания?

10. Что такое монотонная и ограниченная последовательность?

11. Что называется пределом последовательности? Записать определение того, что данное число не является пределом данной последовательности

12. Сформулировать свойства пределов последовательностей

13. Доказать два основных свойства сходящихся последовательностей

14. Какое из них дает необходимое условие сходимости?

15. Сформулировать теорему, которая дает достаточное условие сходимости последовательности

16. Доказать любое из свойств пределов последовательностей

17. Что такое бесконечно малая (большая) последовательность?

18. Сформулировать свойства бесконечно малых последовательностей

19. Что называется пределом функции?

20. Сформулировать свойства пределов функций

21. Что называется односторонним пределом?

22. Записать первый замечательный предел и вывести его следствие

23. Записать второй замечательный предел и вывести его следствия

24. Какие функции называют бесконечно малой, ограниченной, бесконечно большой?

25. Сформулировать свойства бесконечно малых функций, доказать любое из них

26. Какие понятия вводятся для сравнения бесконечно малых функций, дать их определения

27. Какая функция называется непрерывной в заданной точке?

28. Сформулировать критерий непрерывности и охарактеризовать виды разрывов

29. Что такое производная функции в фиксированной точке?

30. Что называется односторонними производными?

31. Что такое дифференциал функции и как он связан с приращением функции?

32. Физический смысл первой и второй производных

33. Что такое производная функция от функции?

34. Перечислить свойства производных, доказать два из них (u+v)" и (uv)"

35. Записать таблицу производных, доказать любые две формулы

36. Каков геометрический смысл производной и дифференциала?

37. Вывести уравнение касательной и нормали к графику функции

38. Доказать теорему о производной сложной функции

39. Вывести производную обратной функции (привести пример её нахождения)

40. Обосновать теорему об исчислении производных

41. Доказать все теоремы о среднем для дифференцируемых функций

42. Сформулировать и доказать правило Лопиталя

43. Какие функции называются возрастающими и убывающими на интервале?

44. Доказать теоремы о связи производной с возрастанием функции

45. Что такое точки экстремума?

46. Обосновать необходимое условие экстремума

47. Вывести два вида достаточного условия экстремума

48. Как находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке?

49. Что называется выпуклой и вогнутой функцией?

50. Как исследовать функцию на выпуклость и вогнутость? Что называется точками перегиба?

51. Асимптоты - дать определения, пояснить способы нахождения

52. Вывести формулу нахождения производной (первой и второй) параметрически заданной функции

53. Что такое вектор-функция, её годограф и его механический смысл?

54. Охарактеризовать по величине и направлению скорость и ускорение материальной точки при равномерном движении по окружности

55. Охарактеризовать по величине и направлению скорость и ускорение материальной точки при неравномерном движении по окружности

56. Получить производные функции y=e x , y=sinx, y=cosx, y=tgx, y=lnx, y=arcsinx, y=arccosx

Что называется координатами вектора

Координатами вектора называются проекции и данного вектора на оси и соответственно:

Величина называется абсциссой вектора , а число - его ординатой . То, что вектор имеет координаты и , записывается следующим образом: .

Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

Определение 1

Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается O x y , где O x и O y – оси коорднат. Ось O x называют осью абсцисс, а ось O y – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось O z , которая перпендикулярна и O x и O y).

Пример 1

Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат O x y на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i → и j → , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей O x и O y , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i → и j → являются координатными векторами.

Координатные векторы

Определение 2

Векторы i → и j → называются координатными векторами для заданной системы координат.

Пример 2

Откладываем от начала координат произвольный вектор a → . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a → может быть представлен в виде a → = a x · i → + a y · j → , где коэффициенты a x и a y - единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

Разложение вектора

Определение 3

Разложением вектора a → по координатным векторам i → и j → на плоскости называется представление вида a → = a x · i → + a y · j → .

Определение 4

Коэффициенты a x и a y называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a → = (2 ; - 3) означает, что вектор a → имеет координаты (2 ; - 3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i → и j → как a → = 2 · i → - 3 · j → .

Замечание

Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i → и j → имеют координаты (1 ; 0) и (0 ; 1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i → = 1 · i → + 0 · j → ; j → = 0 · i → + 1 · j → .

Также имеет место быть нулевой вектор 0 → с координатами (0 ; 0) и разложением 0 → = 0 · i → + 0 · j → .

Равные и противоположные векторы

Определение 5

Векторы a → и b → равны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

Определение 6

Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, - a → = (- a x ; - a y) .

Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i → , j → , k → , а произвольный вектор a → раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a → = a x · i → + a y · j → + a z · k → , а коэффициенты этого разложения (a x ; a y ; a z) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i → = (1 ; 0 ; 0) , j → = (0 ; 1 ; 0) , k → = (0 ; 0 ; 1) , координаты нулевого вектора также равны нулю 0 → = (0 ; 0 ; 0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равны a → = b → ⇔ a x = b x , a y = b y , a z = b z , и координаты противоположного вектора a → противоположны соответствующим координатам вектора a → , то есть, - a → = (- a x ; - a y ; - a z) .

Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат O x y и на ней задана произвольная точка M с координатами M (x M ; y M) .

Определение 7

Вектор O M → называется радиус-вектором точки M .

Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

Вектор O M → имеет вид суммы O M → = O M x → + O M y → = x M · i → + y M · j → , где точки M x и M y это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i → и j → - координатные векторы, следовательно, вектор O M → имеет координаты (x M ; y M) в данной системе координат.

Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M (x M ; y M ; z M) разлагается по координатным векторам как O M → = O M x → + O M y → + O M z → = x M · i → + y M · j → + z M · k → , следовательно, O M → = (x M ; y M ; z M) .

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

До сих пор считалось, что векторы рассматриваются в пространстве. Начиная с этого момента будим считать, что все векторы рассматриваются на плоскости. Будем также полагать, что на плоскости задана Декартова система координат (даже если об этом не говорится), представляющая две взаимно перпендикулярные числовые оси – горизонтальная ось и вертикальная ось. Тогда каждой точке
на плоскости ставится в соответствие пара чисел
, которые являются ее координатами. Обратно, каждой паре чисел
соответствует точка плоскости такая, что пара чисел
являются ее координатами.

Из элементарной геометрии известно, что если на плоскости имеются две точки
и
, то расстояние
между этими точками выражается через их координаты по формуле

Пусть на плоскости задана Декартова система координат. Орт оси будем обозначать символом, а орт осисимволом. Проекцию произвольноговекторана осьбудем обозначать символом
, а проекцию на осьсимволом
.

Пусть - произвольный вектор на плоскости. Имеет место следующая теорема.

Теорема 22.

Для любого вектора на плоскости существует пара чисел

При этом
,
.

Доказательство.

Пусть дан вектор. Отложим векторот начала координат. Обозначим черезвектор-проекцию векторана ось, а черезвектор-проекцию векторана ось. Тогда, как видно из рисунка 21, имеет место равенство

Согласно теореме 9,

Обозначим
,
. Тогда получаем

Итак, доказано, что для любого вектора существует пара чисел
таких, что справедливо равенство

При другом расположении вектора относительно осей доказательство аналогично.

Определение.

Пара чисел итаких, что
, называются координатами вектора. Числоназывается иксовой координатой, а числоигрековой координатой.

Определение.

Пара ортов осей координат
называется ортонормированным базисом на плоскости. Представление любого векторав виде
называется разложением векторапо базису
.

Непосредственно из определения координат вектора следует, что если координаты векторов равны, то равны и сами векторы. Справедливо также и обратное утверждение.

Теорема.

Равные векторы имеют равные координаты.

Доказательство.

и
. Докажем, что
,
.

Из равенства векторов следует, что

Допустим, что
, а
.

Тогда
и значит
, что не верно. Аналогично, если
, но
, то
. Отсюда
, что не верно. Наконец, если допустить, что
и
, то получаем, что

Это означает, что векторы иколлинеареы. Но это не верно, так как они перпендикулярны. Следовательно, остается, что
,
, что и требовалось доказать.

Таким образом, координаты вектора полностью определяют сам вектор. Зная координаты ивектораможно построить сам вектор, построив векторы
и
и сложив их. Поэтому часто сам векторобозначают в виде пары его координат и пишут
. Такая запись означает, что
.

Непосредственно из определения координат вектора следует следующая теорема.

Теорема.

При сложении векторов их координаты складываются а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число. Записываются эти утверждения в виде

Доказательство.

Теорема.

Пусть
, причем начало вектора точкаимеет координаты
, а конец вектора есть точка
. Тогда координаты вектора связаны с координатами его концов следующими соотношениями

Доказательство.

Пусть
и пусть вектор-проекция векторана осьсонаправлен с осью(см. рис. 22). Тогда

так как длина отрезка на числовой осиравна координате правого конца минус координата левого конца. Если вектор

противонаправлен оси(как на Рис. 23), то

Рис. 23.

Если
, то в этом случае
и тогда получаем

Таким образом, при любом расположении вектора
относительно осей координат его координатаравна

Аналогично доказывается, что

Пример.

Даны координаты концов вектора
:
. Найти координаты вектора
.

Решение.

В следующей теореме приводится выражение длины вектора через его координаты.

Теорема 15.

Пусть
.Тогда

Доказательство.

Пусть и- вектор-проекции векторана осии, соответственно. Тогда, как показано при доказательстве теоремы 9, имеет место равенство

При этом, векторы ивзаимно перпендикулярны. При сложении этих векторов по правилу треугольника получаем прямоугольный треугольник (см. Рис. 24).

По теореме Пифагора имеем

Следовательно

Пример.

.Найти.

Введем понятие направляющих косинусов вектора.

Определение.

Пусть вектор
составляет с осьюугол, а с осьюугол(см. Рис. 25).

Следовательно,

Так как для любого вектора имеет место равенство

Где - орт вектора, то есть вектор единичной длины, сонаправленный с вектором, то

Вектор определяет направление вектора. Его координаты
и
называются направляющими косинусами вектора. Направляющие косинусы вектора можно выразить через его координаты по формулам

Имеет место соотношение

До настоящего момента в этом параграфе считалось, что все векторы располагаются в одной и той же плоскости. Теперь сделаем обобщение для векторов в пространстве.

Будем считать, что в пространстве задана Декартова система координат с осями ,и.

Орты осей ,ибудем обозначать символами,и, соответственно (Рис. 26).

Можно показать, что все понятия и формулы, которые были получены для векторов на плоскости, обобщаются для

Рис. 26.

векторов в пространстве. Тройка векторов
называется ортонормированным базисом в пространстве.

Пусть ,и- вектор-проекции векторана оси,и, соответственно. Тогда

В свою очередь

Если обозначить

То получаем равенство

Коэффициенты перед базисными векторами ,иназываются координатами вектора. Таким образом, для любого векторав пространстве существует тройка чисел,,, называемых координатами векторатаких, что для этого вектора справедливо представление

Вектор в этом случае также обозначают в виде
. При этом, координаты вектора равны проекциям этого вектора на координатные оси

где - угол между вектороми осью,- угол между вектороми осью,- угол между вектороми осью.

Длина вектора выражается через его координаты по формуле

Справедливы утверждения о том, что равные векторы имеют равные координаты, при сложении векторов их координаты складываются, а при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.
,
и
называются направляющими косинусами вектора. Они связаны с координатами вектора формулами

,
,
.

Отсюда следует соотношение

Если концы вектора
имеют координаты
,
, то координаты вектора
связаны с координатами концов вектора соотношениями

Пример.

Даны точки
и
. Найти координаты вектора
.

На оси абсцисс и ординат называются координатами вектора . Координаты вектора общепринято указывать в виде (х, у) , а сам вектор как: =(х, у).

Формула определения координат вектора для двухмерных задач.

В случае двухмерной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1) и B(x 2 ; y 2 ) можно вычислить:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1).

Формула определения координат вектора для пространственных задач.

В случае пространственной задачи вектор с известными координатами точек A(х 1 ;у 1 ; z 1 ) и B(x 2 ; y 2 ; z 2 ) можно вычислить применив формулу:

= (x 2 - x 1 ; y 2 - y 1 ; z 2 - z 1 ).

Координаты дают всеобъемлющую характеристику вектора, поскольку по координатам есть возможность построить и сам вектор. Зная координаты, легко вычислить и длину вектора . (Свойство 3, приведенное ниже).

Свойства координат вектора.

1. Любые равные векторы в единой системе координат имеют равные координаты .

2. Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. При условии, что ни один из векторов не равен нулю.

3. Квадрат длины любого вектора равен сумме квадратов его координат .

4.При операции умножения вектора на действительное число каждая его координата умножается на это число.

5. При операции сложения векторов вычисляем сумму соответствующие координаты векторов .

6. Скалярное произведение двух векторов равняется сумме произведений их соответствующих координат.

Нахождение координат вектора довольно часто встречаемое условие многих задач в математике. Умение находить координаты вектора поможет вам в других, более сложных задачах со схожей тематикой. В данной статье мы рассмотрим формулу нахождения координат вектора и несколько задач.

Нахождение координат вектора в плоскости

Что такое плоскость? Плоскостью считается двухмерное пространство, пространство с двумя измерениями (измерение x и измерение y). К примеру, бумага – плоскость. Поверхность стола – плоскость. Какая-нибудь необъемная фигура (квадрат, треугольник, трапеция) тоже является плоскостью. Таким образом, если в условии задачи нужно найти координаты вектора, который лежит на плоскости, сразу вспоминаем про x и y. Найти координаты такого вектора можно следующим образом: Координаты AB вектора = (xB – xA; yB – xA). Из формулы видно, что от координат конечной точки нужно отнять координаты начальной точки.

Пример:

Вектор CD имеет начальные (5; 6) и конечные (7; 8) координаты.
Найти координаты самого вектора.
Используя вышеупомянутую формулу, получим следующее выражение: CD = (7-5; 8-6) = (2; 2).
Таким образом, координаты CD вектора = (2; 2).
Соответственно, x координата равна двум, y координата – тоже двум.

Нахождение координат вектора в пространстве

Что такое пространство? Пространство это уже трехмерное измерение, где даны 3 координаты: x, y, z. В случае, если нужно найти вектор, который лежит в пространстве, формула практически не меняется. Добавляется только одна координата. Для нахождения вектора нужно от координат конца отнять координаты начала. AB = (xB – xA; yB – yA; zB – zA)

Пример:

Вектор DF имеет начальные (2; 3; 1) и конечные (1; 5; 2).
Применяя вышеупомянутую формулу, получим: Координаты вектора DF = (1-2; 5-3; 2-1) = (-1; 2; 1).
Помните, значение координат может быть и отрицательным, в этом нет никакой проблемы.

Как найти координаты вектора онлайн?

Если по каким-то причинам вам не хочется находить координаты самостоятельно, можно воспользоваться онлайн калькулятором . Для начала, выберите размерность вектора. Размерность вектора отвечает за его измерения. Размерность 3 означает, что вектор находится в пространстве, размерность 2 – что на плоскости. Далее вставьте координаты точек в соответствующие поля и программа определит вам координаты самого вектора. Все очень просто.

Нажав на кнопку, страница автоматически прокрутится вниз и выдаст вам правильный ответ вместе с этапами решения.

Рекомендовано хорошо изучить данную тему, потому что понятие вектора встречается не только в математике, но и в физике. Студенты факультета Информационных Технологий тоже изучают тему векторов, но на более сложном уровне.