В правильной треугольной призме все ребра. Правильная треугольная призма

1. Диагонали куба пересекаются в точке, являющейся центром вписанной и описанной сфер.

2. Радиус описанной около куба сферы равен .

3. Радиус вписанной в куб сферы равен .

Задачи

1. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

2. Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его площадь поверхности увеличится на 30. Найдите ребро куба.

3.В куб с ребром 6 вписан шар. Найдите объем шара, деленный на .

Ответ: 36.

4 . Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Ответ: 27.

5. Диагональ грани куба равна . Найдите его объем.

6.Если каждое ребро куба увеличить на 1, то его объем увеличится на 19. Найдите ребро куба.

7. Во сколько раз увеличится объем куба, если его ребра увеличить в три раза?

Ответ: 27.

8. Диагональ куба равна 1. Найдите площадь его поверхности.

9. Площадь поверхности куба равна 8. Найдите его диагональ.

10. Диагональ грани куба равна 3. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 27.

11. Площадь поверхности куба равна 48. Найдите диагональ грани куба.

12. Диагональ куба равна . Найдите его объем.

Ответ: 27.

13. Площадь поверхности куба равна 24. Найдите его объем.

14. Во сколько раз увеличится площадь поверхности куба, если его ребро увеличить в три раза?

15. Объем куба равен 27. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 54.

16. Объем куба равен 12. Найдите объем треугольной пирамиды, отсекаемой от него плоскостью, проходящей через середины двух ребер, выходящих из одной вершины и параллельной третьему ребру, выходящему из этой же вершины.

Ответ: 1,5.

Прямоугольный параллелепипед

Параллелепипед называется прямоугольным, если его боковые ребра перпендикулярны к основанию, а основания представляют собой прямоугольники.

Противоположные грани прямоугольного параллелепипеда – равные прямоугольники.

Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерении .

Задачи

1. Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна и образует углы 30о, 45о и 60о с плоскостями граней параллелепипеда. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 4,5.

2. Прямоугольный параллелепипед описан около цилиндра, радиус основания и высота которого равны 2. Найдите объем параллелепипеда.

3. Найдите объем многогранника, изображенного на рисунке, все двугранные углы которого равны 90о.

Ответ: 7.

4. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 24. Одно из его ребер равно 3. Найдите площадь грани параллелепипеда, перпендикулярной этому ребру.

Ответ: 8.

5. Объем прямоугольного параллелепипеда равен 60. Площадь одной его грани равна 12. Найдите ребро параллелепипеда, перпендикулярное этой грани.

Ответ: 5.

6. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 32.

7. Ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3, 4, 5. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 94.

8. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3 и 4. Площадь поверхности этого параллелепипеда равна 52. Найдите третье ребро, выходящее из той же вершины.

Ответ: 2.

9. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 4. Диагональ параллелепипеда равна 6. Найдите площадь поверхности параллелепипеда.

10. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 1, 2. Площадь поверхности параллелепипеда равна 16. Найдите его диагональ.

11. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2. Найдите площадь его поверхности.

Ответ: 96.

12. Прямоугольный параллелепипед описан около сферы радиуса 2. Найдите его объем.

13. Объем прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Ответ: 3.

14. Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда, описанного около сферы, равна 96. Найдите радиус сферы.

Ответ: 2.

15. Площадь грани прямоугольного параллелепипеда равна 12. Ребро, перпендикулярное этой грани, равно 4. Найдите объем параллелепипеда.

Ответ: 48.

16. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2 и 6. Объем параллелепипеда равен 48. Найдите третье ребро параллелепипеда, выходящее из той же вершины.

Ответ: 4.

17. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 2, 3. Объем параллелепипеда равен 36. Найдите его диагональ.

Ответ: 7.

Призма

Многогранник, две грани которого равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, а остальные грани параллелограммы, называется призмой.

Равные многоугольники, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями призмы. Остальные грани называются боковыми гранями. Они образуют боковую поверхность призмы. Различают ребра при основании и боковые ребра призмы (L).

Призма называется прямой, если боковые ребра перпендикулярны основаниям призмы.

Перпендикуляр, опущенный из любой токи верхнего основания на нижнее основание, называется высотой призмы (Н).

Название призмы зависит от многоугольника, лежащего в основании призмы.

Полная поверхность призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности.

Боковая поверхность призмы равна произведению периметра основания на высоту призмы.

(Или, произведению периметра перпендикулярного сечения на боковое ребро призмы ).

Объем призмы равен произведению площади основания на высоту призмы.

(Или, произведению площади перпендикулярного сечения на боковое ребро призмы ).

Призма, в основании которой лежит параллелограмм, называется параллелепипедом.

Все противоположные грани параллелепипеда равны и параллельны. Диагонали параллелепипеда пересекаются в одной точке и делятся в ней пополам. Точка пересечения диагоналей является центром симметрии параллелепипеда.

Параллелепипед, все грани которого прямоугольники, называется прямоугольным параллелепипедом.

Прямоугольный параллелепипед с равными ребрами называется кубом.

Прямая призма (треугольная правильная)

Призма, у которой боковые ребра перпендикулярны основаниям, а основания – правильные треугольники.

1. Боковые грани – равные прямоугольники

2. Сторона основания

Задачи

1. Найдите объем правильной треугольной призмы, все ребра которой равны .

Ответ: 2,25.

2. Объем правильной треугольной призмы равен 6. Каким будет объем призмы, если стороны ее основания увеличить в три раза, а высоту уменьшить в два раза?

3. Площадь поверхности правильной треугольной призмы равна 6. Какой будет площадь поверхности призмы, если все ее ребра увеличить в три раза?

4. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300 см3 воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см.

Найдите объем детали. Ответ выразите в см3.

5.В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Школьникам, которые готовятся к сдаче ЕГЭ по математике, обязательно стоит научиться решать задачи на нахождение площади прямой и правильной призмы. Многолетняя практика подтверждает тот факт, что подобные задания по геометрии многие учащиеся считают достаточно сложными.

При этом уметь находить площадь и объем правильной и прямой призмы должны старшеклассники с любым уровнем подготовки. Только в этом случае они смогут рассчитывать на получение конкурентных баллов по итогам сдачи ЕГЭ.

Основные моменты, которые стоит запомнить

• Если боковые ребра призмы перпендикулярны основанию, она называется прямой. Все боковые грани этой фигуры являются прямоугольниками. Высота прямой призмы совпадает с ее ребром.
• Правильной является призма, боковые ребра которой перпендикулярны основанию, в котором находится правильный многоугольник. Боковые грани этой фигуры - равные прямоугольники. Правильная призма всегда является прямой.

Подготовка к единому госэкзамену вместе со «Школково» - залог вашего успеха!

Чтобы занятия проходили легко и максимально эффективно, выбирайте наш математический портал. Здесь представлен весь необходимый материал, который поможет подготовиться к прохождению аттестационного испытания.

Специалисты образовательного проекта «Школково» предлагают пойти от простого к сложному: сначала мы даем теорию, основные формулы, теоремы и элементарные задачи с решением, а затем постепенно переходим к заданиям экспертного уровня.

Базовая информация систематизирована и понятно изложена в разделе «Теоретическая справка». Если вы уже успели повторить необходимый материал, рекомендуем вам попрактиковаться в решении задач на нахождение площади и объема прямой призмы. В разделе «Каталог» представлена большая подборка упражнений различной степени сложности.

Попробуйте рассчитать площадь прямой и правильной призмы или прямо сейчас. Разберите любое задание. Если оно не вызвало сложностей, можете смело переходить к упражнениям экспертного уровня. А если определенные трудности все же возникли, рекомендуем вам регулярно готовиться к ЕГЭ в онлайн-режиме вместе с математическим порталом «Школково», и задачи по теме «Прямая и правильная призма» будут даваться вам легко.

Во всех школах в старших классах проходят курс стереометрии, в котором рассматривают характеристики различных пространственных фигур. Данная статья посвящена изучению свойств одной из таких фигур. Рассмотрим, что такое правильная треугольная призма.

Призма в геометрии

Согласно стереометрическому является объемной фигурой, состоящей из n параллелограммов и двух одинаковых n-угольных оснований, где n - это целое положительное число. Оба основания расположены в параллельных плоскостях, а параллелограммы соединяют попарно их стороны в единую фигуру.

Любую призму можно получить следующим способом: следует взять плоский n-угольник и переместить его параллельно самому себе в другую плоскость. В процессе перемещения вершины n-угольника прочертят n отрезков, которые будут боковыми ребрами призмы.

Призмы могут быть выпуклыми и вогнутыми, прямыми и косоугольными, правильными и неправильными. Все эти виды фигур отличаются друг от друга формой n-угольников в основании, а также их расположением относительно перпендикулярного им отрезка, длина которого является высотой призмы. Ниже рисунок демонстрирует набор призм с разным числом углов в основании и количеством боковых граней.

Правильная треугольная призма

Первая призма на фотографии выше является правильной треугольной. Она состоит из двух одинаковых равносторонних треугольников и из трех прямоугольников. Прямоугольник является частным случаем параллелограмма, поэтому рассматриваемая фигура удовлетворяет изложенному ранее стереометрическому определению.

Помимо пяти граней, треугольная призма образована шестью вершинами, которые принадлежат обоим основаниям, и девятью ребрами, три из которых являются боковыми.

Важным свойством правильной треугольной призмы является то, что ее высота совпадает с длиной бокового ребра. Все эти ребра равны друг другу, а боковые прямоугольники пересекают основания под прямыми углами. Отметим, что прямые между основаниями и боковыми гранями приводят к тому, что параллелограммы наклонной призмы становятся прямоугольниками в прямой фигуре. Очевидно, что при определенных длинах ребер прямоугольники могут стать квадратами.

Важными свойствами любой объемной фигуры являются площадь ее поверхности и заключенный в ней объем пространства. Изучаемая призма не является исключением, поэтому рассмотрим ее подробные характеристики.

Площадь поверхности

Площадь правильной треугольной призмы образована площадями всех ее пяти граней. Известно, что площадь пространственных фигур проще рассматривать и изучать на плоскости, поэтому удобно сделать развертку призмы. Она показана ниже.

Развертка представлена пятью фигурами двух типов, которые в призме являлись гранями.

Для определения площади всех этих фигур введем следующие обозначения: будем считать длину стороны основания равной a, а высоту (длину бокового ребра) равной h. С учетом обозначений получаем площадь одного треугольника:

При записи этой формулы использовалось стандартное выражение для площади треугольника. Площадь одного прямоугольника равна:

С учетом числа треугольников и прямоугольников (см. развертку выше) получим формулу для площади полной поверхности изучаемой геометрической фигуры:

S = 2 × S 3 + 3 × S 4 = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h

Здесь первый член в правой части равенства описывает площадь двух оснований, второй член позволяет вычислить площадь поверхности боковой.

Напомним, что полученная для S формула справедлива только для прямой правильной треугольной призмы. Если бы мы рассматривали наклонную фигуру, то выражение для S имело бы другой вид.

Формула для определения объема фигуры

Объемом любой пространственной фигуры называется та часть пространства, которую ограничивают грани многогранника. Объем любой призмы, независимо от формы ее основания и боковых сторон, может быть определен по следующей формуле:

То есть достаточно умножить площадь одного основания на высоту всей фигуры, чтобы получить искомое значение объема.

Для случая треугольной правильной призмы получаем следующее выражение для V:

V = S 0 × h = S 3 × h = √3 / 4 × a 2 × h

Записанная формула для V, а также выражение для S в предыдущем пункте зависят всего от двух параметров фигуры: длин a и h. То есть знание всего двух любых линейных параметров позволяет рассчитать все свойства изучаемой призмы.

Решение задачи

В физике треугольная правильная призма, изготовленная из сплошного стекла, часто применяется для разложения электромагнитного потока в видимой области спектра на ряд частот с целью их изучения. Необходимо определить, какой объем стекла понадобится, чтобы изготовить призму с площадью поверхности 300 см 2 и длиной стороны основания 10 см.

Сначала определим высоту призмы h. Воспользуемся формулой для S, имеем:

S = √3 / 2 × a 2 + 3 × a × h =>

h = (S - √3 / 2 × a 2) / (3 × a) = (300 - √3 / 2 × 10 2) / (3 × 10) = 7,11 см

Поскольку мы знаем значения a и h, то для определения объема призмы воспользуемся формулой для V:

V = √3 / 4 × a 2 × h = √3 / 4 × 10 2 × 7,11 = 307,87 см 3

Таким образом, чтобы изготовить описанную призму, понадобится около 308 см 3 стекла.

Геометрические фигуры в пространстве являются объектом изучения стереометрии, курс которой проходят школьники в старших классах. Данная статья посвящена такому совершенному многограннику, как призма. Рассмотрим подробнее свойства призмы и приведем формулы, которые служат для их количественного описания.

Что это - призма?

Каждый представляет, как выглядит параллелепипед или куб. Обе фигуры являются призмами. Однако, класс призм гораздо более разнообразен. В геометрии этой фигуре дается следующее определение: призмой является всякий многогранник в пространстве, который образован двумя параллельными и одинаковыми многоугольными сторонами и несколькими параллелограммами. Одинаковые параллельные грани фигуры называются ее основаниями (верхним и нижним). Параллелограммы же - это боковые грани фигуры, соединяющие стороны основания друг с другом.

Вам будет интересно:

Если основание представлено n-угольником, где n - целое число, тогда фигура будет состоять из 2+n граней, 2*n вершин и 3*n ребер. Грани и ребра относятся к одному из двух типов: либо они принадлежат боковой поверхности, либо основаниям. Что касается вершин, то все они являются равноправными и относятся к основаниям призмы.

Виды фигур изучаемого класса

Изучая свойства призмы, следует перечислить возможные виды этой фигуры:

• Выпуклые и вогнутые. Разница между ними заключается в форме многоугольного основания. Если оно является вогнутым, то таковой также будет объемная фигура, и наоборот.
• Прямые и наклонные. У прямой призмы боковые грани представлены либо прямоугольниками, либо квадратами. У наклонной фигуры боковые грани являются параллелограммами общего типа или ромбами.
• Неправильные и правильные. Чтобы изучаемая фигура была правильной, она должна быть прямой и иметь правильное основание. Примером последнего являются такие плоские фигуры, как равносторонний треугольник или квадрат.

Название призмы образуется с учетом перечисленной классификации. Например, упомянутый выше параллелепипед с прямыми углами или куб, называются правильной четырехугольной призмой. Правильные призмы, ввиду их высокой симметрии, удобно изучать. Их свойства выражаются в виде конкретных математических формул.

Площадь призмы

Когда рассматривают такое свойство призмы, как ее площадь, то имеют в виду суммарную площадь всех ее граней. Представить эту величину проще всего, если сделать развертку фигуры, то есть разложить все грани на одну плоскость. Ниже на рисунке показаны для примера развертки двух призм.

Для произвольной призмы формула площади ее развертки в общем виде может быть записана так:

S = 2*So + b*Psr.

Поясним обозначения. Величина So - это площадь одного основания, b - длина бокового ребра, Psr - периметр среза, который перпендикулярен боковым параллелограммам фигуры.

Записанной формулой часто пользуются для определения площадей наклонных призм. В случае правильной призмы выражение для S приобретет конкретный вид:

S = n/2*a2*ctg(pi/n) + n*b*a .

Первое слагаемое в выражении представляет площадь двух оснований правильной призмы, второе слагаемое - это площадь боковых прямоугольников. Здесь a - длина стороны правильного n-угольника. Отметим, что длина бокового ребра b для правильной призмы является также ее высотой h, поэтому в формуле b можно заменить на h.

Как вычислить объем фигуры?

Призма представляет собой сравнительной простой полиэдр с высокой симметрией. Поэтому для определения ее объема существует весьма простая формула. Она имеет следующий вид:

Вычислить площадь основания и высоту может быть сложно, если рассматривается наклонная неправильная фигура. Решается такая задача с помощью последовательного геометрического анализа с привлечением информации о двугранных углах между боковыми параллелограммами и основанием.

Если призма является правильной, тогда формула для V приобретает вполне конкретный вид:

V = n/4*a2*ctg(pi/n)*h.

Как видно, площадь S и объем V для правильной призмы определяются однозначно, если известны два ее линейных параметра.

Призма треугольная правильная

Завершим статью, рассмотрев свойства треугольной призмы правильной. Образована она пятью гранями, три из которых являются прямоугольниками (квадратами), и две - треугольниками равносторонними. Призма имеет шесть вершин и девять ребер. Для этой призмы формулы объема и площади поверхности записаны ниже:

S3 = √3/2*a2 + 3*h*a

V3 = √3/4*a2*h.

Помимо этих свойств, также полезно привести формулу для апофемы основания фигуры, которая представляет собой высоту ha равностороннего треугольника:

Боковые стороны призмы - это одинаковые прямоугольники. Длины их диагоналей d равны:

d = √(a2 + h2).

Знание геометрических свойств призмы треугольной представляет не только теоретический, но и практический интерес. Дело в том, что эту фигуру, изготовленную из оптического стекла, применяют для изучения спектра излучения тел.

Проходя через стеклянную призму, свет разлагается на ряд составляющих цветов в результате явления дисперсии, что создает условия для изучения спектрального состава электромагнитного потока.

Является одной из частых объемных геометрических фигур, которые мы встречаем в нашей жизни. Например, в продаже можно встретить брелки и часы в форме нее. В физике эту фигуру, сделанную из стекла, используют для изучения спектра света. В данной статье освятим вопрос, касающийся развертки треугольной призмы.

Что собой представляет треугольная призма

Рассмотрим эту фигуру с геометрической точки зрения. Чтобы ее получить, следует взять треугольник, имеющий произвольные длины сторон, и параллельно самому себе перенести его в пространстве на некоторый вектор. После этого необходимо соединить одинаковые вершины исходного треугольника и треугольника, полученного переносом. Мы получили треугольную призму. Ниже фото демонстрирует один из примеров этой фигуры.

Из рисунка видно, что она образована 5-ю гранями. Две одинаковые треугольные стороны называются основаниями, три стороны, представленные параллелограммами, называются боковыми. У этой призмы можно насчитать 6 вершин и 9 ребер, из которых 6 лежат в плоскостях параллельных оснований.

Выше была рассмотрена треугольная призма общего типа. Она будет называться правильной, если выполняются следующих два обязательных условия:

1. Ее основание должно представлять правильный треугольник, то есть все его углы и стороны должны быть одинаковыми (равносторонний).
2. Угол между каждой боковой гранью и основанием должен быть прямым, то есть составлять 90 o .

На фото выше изображена рассматриваемая фигура.

Для правильной треугольной призмы удобно выполнять расчеты длины ее диагоналей и высоты, объема и площади поверхности.

Возьмем правильную призму, представленную на предыдущем рисунке, и проведем мысленно для нее следующие операции:

1. Разрежем сначала два ребра верхнего основания, которые ближе всего находятся к нам. Отогнем основание вверх.
2. Операции пункта 1 проделаем для нижнего основания, только отогнем его вниз.
3. Разрежем фигуру по ближайшему боковому ребру. Отогнем влево и вправо две боковые грани (два прямоугольника).

В итоге мы получим развертку треугольной призмы, которая представлена ниже.

Эту развертку удобно использовать для вычисления площади боковой поверхности и оснований фигуры. Если длина бокового ребра равна c, а длина стороны треугольника равна a, тогда для площади двух оснований можно записать формулу:

Площадь боковой поверхности будет равна трем площадям одинаковых прямоугольников, то есть:

Тогда полная площадь поверхности будет равна сумме S o и S b .