Линейното диференциално уравнение от 2-ри ред (LDE) има следната форма:

където , , и са дадени функции, които са непрекъснати в интервала, на който се търси решението. Приемайки, че a 0 (x) ≠ 0, разделяме (2.1) на и след въвеждане на нови обозначения за коефициентите, записваме уравнението във формата:

Нека приемем без доказателство, че (2.2) има единствено решение на някакъв интервал, който удовлетворява всякакви начални условия , , ако на разглеждания интервал функциите , и са непрекъснати. Ако , тогава уравнение (2.2) се нарича хомогенно, а уравнение (2.2) се нарича нехомогенно в противен случай.

Нека да разгледаме свойствата на разтворите на жила от 2-ри ред.

Определение.Линейна комбинация от функции е изразът , където са произволни числа.

Теорема.Ако и – решение

тогава тяхната линейна комбинация също ще бъде решение на това уравнение.

Доказателство.

Нека поставим израза в (2.3) и покажем, че резултатът е идентичността:

Нека пренаредим условията:

Тъй като функциите са решения на уравнение (2.3), тогава всяка от скобите в последното уравнение е идентично равна на нула, което трябваше да се докаже.

Следствие 1.От доказаната теорема следва, че ако е решение на уравнение (2.3), то има и решение на това уравнение.

Следствие 2.Ако приемем, виждаме, че сумата от две решения на Lod също е решение на това уравнение.

Коментирайте.Свойството на решенията, доказано в теоремата, остава валидно за проблеми от всякакъв ред.

§3. Определителят на Вронски.

Определение.Система от функции се нарича линейно независима на определен интервал, ако нито една от тези функции не може да бъде представена като линейна комбинация от всички останали.

В случай на две функции това означава, че , т.е. . Последното условие може да бъде пренаписано като или . Детерминантата в числителя на този израз е се нарича детерминант на Вронски за функциите и . По този начин детерминантът на Вронски за две линейно независими функции не може да бъде идентично равен на нула.

Позволявам е детерминантата на Wronski за линейно независими решения и уравнение (2.3). Нека се уверим чрез заместване, че функцията удовлетворява уравнението. (3.1)

Наистина ли, . Тъй като функциите и удовлетворяват уравнение (2.3), тогава, т.е. – решение на уравнение (3.1). Нека намерим това решение: ; . Където , . , , .

От дясната страна на тази формула трябва да вземете знака плюс, тъй като само в този случай се получава идентичност. По този начин,

(3.2)

Тази формула се нарича формула на Лиувил. По-горе беше показано, че детерминантът на Вронски за линейно независими функции не може да бъде идентично равен на нула. Следователно има точка, в която детерминантата за линейно независими решения на уравнение (2.3) е различна от нула. Тогава от формулата на Лиувил следва, че функцията ще бъде различна от нула за всички стойности в разглеждания интервал, тъй като за всяка стойност и двата фактора от дясната страна на формула (3.2) са различни от нула.

§4. Структура на общото решение на жилище от 2-ри ред.

Теорема.Ако и са линейно независими решения на уравнение (2.3), тогава тяхната линейна комбинация , където и са произволни константи, ще бъде общото решение на това уравнение.

Доказателство.

Какво е решение на уравнение (2.3), следва от теоремата за свойствата на решенията на Лодо от 2-ри ред. Просто трябва да покажем това решение ще общ, т.е. необходимо е да се покаже, че за всякакви начални условия, човек може да избере произволни константи по такъв начин, че да удовлетворява тези условия. Нека запишем началните условия във формата:

Константите и от тази система от линейни алгебрични уравнения се определят уникално, тъй като детерминантата на тази система е стойността на детерминантата на Wronski за линейно независими решения на Lodu при:

,

и такъв детерминант, както видяхме в предишния параграф, е различен от нула. Теоремата е доказана.

Пример.Докажете, че функцията , където и са произволни константи, е общо решение на Lod.

Решение.

Лесно е да се провери чрез заместване, че функциите и удовлетворяват това уравнение. Тези функции са линейно независими, тъй като . Следователно, съгласно теоремата за структурата на общото решение, 2-ри ред лод е общо решение на това уравнение.

Линейно диференциално уравнение от втори ред наречено уравнение на формата

г"" + стр(х)г" + р(х)г = f(х) ,

Където ге функцията, която трябва да се намери, и стр(х) , р(х) И f(х) - непрекъснати функции на определен интервал ( а, б) .

Ако дясната страна на уравнението е нула ( f(х) = 0), тогава уравнението се извиква линейно хомогенно уравнение . Практическата част на този урок ще бъде посветена основно на такива уравнения. Ако дясната страна на уравнението не е равна на нула ( f(х) ≠ 0), тогава уравнението се нарича .

В задачите, от които се изисква да решим уравнението за г"" :

г"" = −стр(х)г" − р(х)г + f(х) .

Линейните диференциални уравнения от втори ред имат уникално решение Проблеми на Коши .

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред и неговото решение

Разгледайте линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред:

г"" + стр(х)г" + р(х)г = 0 .

Ако г1 (х) И г2 (х) са конкретни решения на това уравнение, тогава следните твърдения са верни:

1) г1 (х) + г 2 (х) - също е решение на това уравнение;

2) Cy1 (х) , Където ° С- произволна константа (константа), също е решение на това уравнение.

От тези две твърдения следва, че функцията

° С1 г 1 (х) + ° С 2 г 2 (х)

също е решение на това уравнение.

Възниква справедлив въпрос: това решение ли е общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред , тоест такова решение, при което за различни стойности ° С1 И ° С2 Възможно ли е да се получат всички възможни решения на уравнението?

Отговорът на този въпрос е: може, но при определени условия. Това условие какви свойства трябва да притежават конкретните решения г1 (х) И г2 (х) .

И това условие се нарича условие за линейна независимост на частичните решения.

Теорема. функция ° С1 г 1 (х) + ° С 2 г 2 (х) е общо решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред, ако функциите г1 (х) И г2 (х) линейно независими.

Определение. Функции г1 (х) И г2 (х) се наричат ​​линейно независими, ако съотношението им е константа, различна от нула:

г1 (х)/г 2 (х) = к ; к = конст ; к ≠ 0 .

Въпреки това, определянето по дефиниция дали тези функции са линейно независими често е много трудоемко. Има начин да се установи линейна независимост, като се използва детерминантата на Wronski У(х) :

Ако детерминантата на Вронски не е равна на нула, тогава решенията са линейно независими . Ако детерминантата на Wronski е нула, тогава решенията са линейно зависими.

Пример 1.Намерете общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение.

Решение. Ние интегрираме два пъти и, както е лесно да се види, за да бъде разликата между втората производна на функция и самата функция равна на нула, решенията трябва да бъдат свързани с експонента, чиято производна е равна на себе си. Тоест, частичните решения са и .

От детерминанта на Вронски

не е равно на нула, тогава тези решения са линейно независими. Следователно общото решение на това уравнение може да бъде написано като

.

Линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти: теория и практика

Линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти наречено уравнение на формата

г"" + py" + qy = 0 ,

Където стрИ р- постоянни стойности.

Фактът, че това е уравнение от втори ред, се показва от наличието на втората производна на желаната функция, а нейната хомогенност е обозначена с нула от дясната страна. Вече споменатите по-горе стойности се наричат ​​постоянни коефициенти.

Да се решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти , първо трябва да решите така нареченото характеристично уравнение на формата

к² + pq + р = 0 ,

което, както се вижда, е обикновено квадратно уравнение.

В зависимост от решението на характеристичното уравнение са възможни три различни варианта решения на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти , които сега ще анализираме. За пълна категоричност ще приемем, че всички отделни решения са тествани от детерминантата на Вронски и тя не е равна на нула във всички случаи. Съмняващите се обаче могат сами да проверят това.

Корените на характеристичното уравнение са реални и различни

С други думи, . В този случай решението на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата

.

Пример 2. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Пример 3. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Решение. Характеристичното уравнение има формата , неговите корени и са реални и различни. Съответните частични решения на уравнението са: и . Общото решение на това диференциално уравнение има формата

.

Корените на характеристичното уравнение са реални и равни

Това е, . В този случай решението на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата

.

Пример 4. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Решение. Характеристично уравнение има равни корени. Съответните частични решения на уравнението са: и . Общото решение на това диференциално уравнение има формата

Пример 5. Решаване на линейно хомогенно диференциално уравнение

.

Решение. Характеристичното уравнение има равни корени. Съответните частични решения на уравнението са: и . Общото решение на това диференциално уравнение има формата

Образователна институция „Беларуска държава

селскостопанска академия"

Катедра Висша математика

Насоки

за изучаване на темата „Линейни диференциални уравнения от втори ред“ от студенти от счетоводния факултет за задочно обучение (NISPO)

Горки, 2013 г

Линейни диференциални уравнения

втори ред с константикоефициенти

1. Линейни хомогенни диференциални уравнения

Линейно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти наречено уравнение на формата

тези. уравнение, което съдържа търсената функция и нейните производни само на първа степен и не съдържа техните произведения. В това уравнение И
- някои числа и функция
дадени на определен интервал
.

Ако
на интервала
, тогава уравнение (1) ще приеме формата

, (2)

и се нарича линеен хомогенен . В противен случай се извиква уравнение (1). линейни нехомогенни .

Разгледайте сложната функция

, (3)

Където
И
- реални функции. Ако функция (3) е комплексно решение на уравнение (2), тогава реалната част
, и имагинерната част
решения
отделно са решения на едно и също хомогенно уравнение. По този начин всяко сложно решение на уравнение (2) генерира две реални решения на това уравнение.

Решенията на хомогенно линейно уравнение имат следните свойства:

Ако е решение на уравнение (2), тогава функцията
, Където СЪС– произволна константа също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако И има решения на уравнение (2), след това функцията
също ще бъде решение на уравнение (2);

Ако И има решения на уравнение (2), след това тяхната линейна комбинация
също ще бъде решение на уравнение (2), където И
– произволни константи.

Функции
И
са наречени линейно зависими на интервала
, ако има такива числа И
, не равно на нула в същото време, че на този интервал равенството

Ако равенство (4) възниква само когато
И
, след това функциите
И
са наречени линейно независими на интервала
.

Пример 1 . Функции
И
са линейно зависими, тъй като
на цялата числова ос. В този пример
.

Пример 2 . Функции
И
са линейно независими на всеки интервал, тъй като равенството
е възможно само в случай, когато
, И
.

1. Построяване на общо решение на линейно хомогенно

уравнения

За да намерите общо решение на уравнение (2), трябва да намерите две от неговите линейно независими решения И . Линейна комбинация от тези решения
, Където И
са произволни константи и ще дадат общо решение на линейно хомогенно уравнение.

Ще търсим линейно независими решения на уравнение (2) във формата

, (5)

Където – определено число. Тогава
,
. Нека заместим тези изрази в уравнение (2):

Или
.

защото
, Че
. Така че функцията
ще бъде решение на уравнение (2), ако ще задоволи уравнението

. (6)

Уравнение (6) се нарича характеристично уравнение за уравнение (2). Това уравнение е алгебрично квадратно уравнение.

Позволявам И има корени на това уравнение. Те могат да бъдат или реални и различни, или сложни, или реални и равни. Нека разгледаме тези случаи.

Нека корените И характеристичните уравнения са реални и различни. Тогава решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
И
. Тези решения са линейно независими, тъй като равенството
може да се извърши само когато
, И
. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата

,

Където И
- произволни константи.

Пример 3
.

Решение . Характеристичното уравнение за този диференциал ще бъде
. След като решихме това квадратно уравнение, намираме неговите корени
И
. Функции
И
са решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение е
.

Комплексно число наречен израз на формата
, Където И са реални числа и
наречена въображаема единица. Ако
, след това числото
се нарича чисто въображаемо. Ако
, след това числото
се идентифицира с реално число .

Номер се нарича реална част от комплексно число и - въображаема част. Ако две комплексни числа се различават едно от друго само по знака на въображаемата част, тогава те се наричат ​​спрегнати:
,
.

Пример 4 . Решаване на квадратно уравнение
.

Решение . Дискриминантно уравнение
. Тогава . по същия начин,
. По този начин това квадратно уравнение има спрегнати комплексни корени.

Нека корените на характеристичното уравнение са комплексни, т.е.
,
, Където
. Решенията на уравнение (2) могат да бъдат записани във формата
,
или
,
. Според формулите на Ойлер

,
.

Тогава , . Както е известно, ако сложна функция е решение на линейно хомогенно уравнение, тогава решенията на това уравнение са както реалната, така и въображаемата част на тази функция. Така решенията на уравнение (2) ще бъдат функциите
И
. От равенството

може да се изпълни само ако
И
, тогава тези решения са линейно независими. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата

Където И
- произволни константи.

Пример 5 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Уравнението
е характерен за даден диференциал. Нека да го решим и да получим сложни корени
,
. Функции
И
са линейно независими решения на диференциалното уравнение. Общото решение на това уравнение има формата .

Нека корените на характеристичното уравнение са реални и равни, т.е.
. Тогава решенията на уравнение (2) са функциите
И
. Тези решения са линейно независими, тъй като изразът може да бъде идентично равен на нула само когато
И
. Следователно общото решение на уравнение (2) има формата
.

Пример 6 . Намерете общото решение на диференциалното уравнение
.

Решение . Характеристично уравнение
има равни корени
. В този случай линейно независими решения на диференциалното уравнение са функциите
И
. Общото решение има формата
.

Хомогенните линейни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти имат формата

където p и q са реални числа. Нека да разгледаме примери за това как се решават хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти.

Решението на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред зависи от корените на характеристичното уравнение. Характеристичното уравнение е уравнението k²+pk+q=0.

1) Ако корените на характеристичното уравнение са различни реални числа:

тогава общото решение на линейно хомогенно диференциално уравнение от втори ред с постоянни коефициенти има формата

2) Ако корените на характеристичното уравнение са равни реални числа

(например с дискриминант равен на нула), тогава общото решение на хомогенно диференциално уравнение от втори ред е

3) Ако корените на характеристичното уравнение са комплексни числа

(например с дискриминант, равен на отрицателно число), тогава общото решение на хомогенно диференциално уравнение от втори ред се записва във формата

Примери за решаване на линейни хомогенни диференциални уравнения от втори ред с постоянни коефициенти

Намерете общи решения на хомогенни диференциални уравнения от втори ред:

Съставяме характеристичното уравнение: k²-7k+12=0. Неговият дискриминант е D=b²-4ac=1>0, така че корените са различни реални числа.

Следователно, общото решение на този хомогенен DE от 2-ри ред е

Нека съставим и решим характеристичното уравнение:

Корените са реални и различни. Следователно имаме общо решение на това хомогенно диференциално уравнение:

В този случай характеристичното уравнение

Корените са различни и валидни. Следователно общото решение на хомогенно диференциално уравнение от 2-ри ред е тук

Характеристично уравнение

Тъй като корените са реални и равни, за това диференциално уравнение записваме общото решение като

Характеристичното уравнение е тук

Тъй като дискриминантът е отрицателно число, корените на характеристичното уравнение са комплексни числа.

Общото решение на това хомогенно диференциално уравнение от втори ред има формата

Характеристично уравнение

От тук намираме общото решение на този диференциал. уравнения:

Примери за самопроверка.