Когато статистиката се отклонява от принципите на Байес Английски статистик и биолог на име Роналд Еймлер (Р. А.) Фишер е може би основният интелектуален съперник на Томас Байес, въпреки че е роден през 1890 г., почти 120 години след смъртта му. Той показа

Математика за съдбата Сигурност Какво се цени най -много в науката? Очевидно фактът, че тя може да предскаже бъдещето. Именно на тази основа повечето хора разграничават „науката“ от „ненауката“. Ако кажете: „Може да е по този начин, въпреки че може да е различно“, на вас

ТЕОРИТЕ НА ЧААДАЕВ Мейсън. Френскоговорящ писател. Той написа триста страници, отпечата тридесет, от които много са прочели десет; за които десет страници се подозират за русофобия; наказан. “Имаше нещо като бележка, сякаш отклонение от темата на речта:

Форми за събития пълна групаако поне един от тях задължително ще възникне в резултат на експеримента и е несъвместим по двойки.

Да предположим събитие Аможе да възникне само заедно с едно от няколкото несъвместими по двойки събития, които образуват пълна група. Ще наричаме събития ( i= 1, 2,…, н) хипотезидопълнителен опит (априори). Вероятността за настъпване на събитие А се определя от формулата пълна вероятност :

Пример 16.Има три урни. Първата урна съдържа 5 бели и 3 черни топки, втората съдържа 4 бели и 4 черни топки, а третата съдържа 8 бели топки. Една от урните е избрана на случаен принцип (това може да означава например, че се прави избор от помощна урна, където има три топки с номера 1, 2 и 3). От тази урна се изтегля топка на случаен принцип. Каква е вероятността той да се окаже черен?

Решение.Събитие А- черната топка се отстранява. Ако беше известно от коя урна е изтеглена топката, тогава желаната вероятност би могла да се изчисли според класическото определение на вероятността. Нека въведем предположения (хипотези) коя урна е избрана за извличане на топката.

Топката може да бъде извлечена или от първата урна (хипотеза), или от втората (хипотеза), или от третата (хипотеза). Тъй като има равни шансове да изберете някоя от урните, тогава.

Оттук следва, че

Пример 17.Електрическите лампи се произвеждат в три завода. Първият завод произвежда 30% от общия брой електрически лампи, вторият - 25%,
а третото е останалото. Продуктите от първото растение съдържат 1%дефектни крушки, второто - 1,5%, третото - 2%. Магазинът получава продукти и от трите завода. Каква е вероятността лампата, купена в магазин, да е дефектна?

Решение.Трябва да се направят предположения в коя фабрика е произведена крушката. Знаейки това, можем да открием вероятността тя да е дефектна. Нека въведем нотация за събития: А- закупената крушка се оказа дефектна, - лампата е направена от първия завод, - лампата е направена от втория завод,
- лампата е произведена от третия завод.

Намираме необходимата вероятност по формулата за обща вероятност:

Формулата на Байес. Нека бъде пълна група от двойки несъвместими събития (хипотези). А- случайно събитие. Тогава,

Последната формула, която дава възможност да се надценят вероятностите за хипотези след резултата от теста, в резултат на което събитието А се появява, става известно, се нарича Формулата на Байес .

Пример 18.Средно 50% от пациентите с болестта се приемат в специализирана болница ДА СЕ, 30% - със заболяване L, 20 % –
с болест М... Вероятността за пълно излекуване на болестта Кравно на 0,7 за болести Lи Мтези вероятности са съответно 0,8 и 0,9. Пациентът, който е приет в болницата, е изписан здрав. Намерете вероятността този пациент да е имал медицинско състояние К.

Решение.Нека въведем хипотези: - пациентът е страдал от заболяване ДА СЕ L, - пациентът е страдал от заболяване М.

Тогава, според условието на проблема, имаме. Нека въведем събитие А- пациентът, който е приет в болницата, е изписан здрав. По условие

По формулата на общата вероятност получаваме:

Според формулата на Байес.

Пример 19.Нека в урната има пет топки и всички предположения за броя на белите топки са еднакво възможни. От урната на случаен принцип е взета топка, оказа се бяла. Какво е най -вероятното предположение за първоначалния състав на урната?

Решение.Нека бъде хипотезата, че в урната има бели топки, тоест е възможно да се направят шест предположения. Тогава, според условието на проблема, имаме.

Нека въведем събитие А- топката, взета на случаен принцип, е бяла. Нека изчислим. Тъй като тогава, съгласно формулата на Байес, имаме:

По този начин най -вероятната хипотеза е, тъй като.

Пример 20.Два от трите независимо работещи елемента на изчислителното устройство се повредиха. Намерете вероятността първият и вторият елемент да се провалят, ако вероятностите за повреда на първия, втория и третия елемент са съответно равни на 0,2; 0,4 и 0,3.

Решение.Нека обозначим с Асъбитие - два елемента се провалиха. Могат да се направят следните хипотези:

- първият и вторият елемент са се провалили, а третият е в действие. Тъй като елементите работят независимо, се прилага теоремата за умножение :.

Тъй като при хипотези събитието Ае надежден, тогава съответните условни вероятности са равни на единица :.

Съгласно формулата за обща вероятност:

Според формулата на Байес, търсената вероятност първият и вторият елемент да се провалят.

Цел на работата:да се формират умения за решаване на проблеми в теорията на вероятностите, като се използва формулата за обща вероятност и формулата на Байес.

Формула на общата вероятност

Вероятност за събитие А, което може да възникне само ако се появи едно от несъвместимите събития B x, B 2, ..., B p,образуването на пълна група е равно на сумата от произведенията на вероятностите на всяко от тези събития от съответната условна вероятност за събитие А:

Тази формула се нарича формула на общата вероятност.

Вероятност за хипотези. Формула на Байес

Нека събитието Аможе да възникне, ако се случи едно от несъвместимите събития B b B 2, ..., B p,образуване на цялостна група. Тъй като не е известно предварително кое от тези събития ще се случи, те се наричат ​​хипотези. Вероятност за събитие Асе определя по формулата на общата вероятност:

Да кажем, че е извършен тест, в резултат на което събитието се е появило А... Изисква се да се определи как са се променили (поради факта, че събитието Авече се е случило) вероятностите за хипотези. Условните вероятности за хипотези се намират по формулата

В тази формула индексът / = 1,2

Тази формула се нарича формула на Байес (по името на английския математик, който я е извел; публикувана през 1764 г.). Формулата на Bayes ви позволява да надценявате вероятностите за хипотези, след като резултатът от теста стане известен, в резултат на което се появи събитие А.

Цел 1.Фабриката произвежда определен вид детайл, всяка част има дефект с вероятност 0,05. Частта се проверява от един инспектор; той открива дефект с вероятност 0,97 и ако не се открие дефект, той предава частта в крайния продукт. Освен това инспекторът може погрешно да отхвърли част, която няма дефект; вероятността за това е 0,01. Намерете вероятностите за следните събития: А - частта ще бъде отхвърлена; Б - частта ще бъде отхвърлена, но погрешно; В - частта ще бъде предадена в готовия продукт с дефект.

Решение

Нека посочим хипотезите:

З= (стандартна част ще бъде получена за контрол);

З= (нестандартна част ще бъде получена за контрол).

Събитие А =(частта ще бъде отхвърлена).

От условието на задачата намираме вероятностите

R N (A) = 0,01; Pfi (A) = 0,97.

По формулата за обща вероятност получаваме

Вероятността част да бъде отхвърлена по грешка е

Нека да намерим вероятността частта да бъде предадена в готовия продукт с дефект:

Отговор:

Цел 2.Продуктът се проверява за стандартизация от един от тримата стокови експерти. Вероятността продуктът да стигне до първия търговец е 0,25, до втория - 0,26 и до третия - 0,49. Вероятността продуктът да бъде разпознат от стандартния първи стоков експерт е 0,95, вторият - 0,98, третият - 0,97. Намерете вероятността стандартен елемент да е бил проверен от втори инспектор.

Решение

Нека определим събития:

Л. =(продуктът ще отиде при търговеца за проверка); / = 1, 2, 3;

В =(продуктът ще се счита за стандартен).

По условието на задачата са известни вероятностите:

Условните вероятности също са известни

Използвайки формулата на Байес, ние откриваме вероятността стандартен продукт да бъде проверен от втори инспектор:

Отговор:"0,263.

Задача 3. Две автоматични машини произвеждат части, които отиват на общ конвейер. Вероятността за получаване на нестандартна част на първата машина е 0,06, а на втората - 0,09. Производителността на втората машина е два пъти по -добра от тази на първата. От конвейера е взета нестандартна част. Намерете вероятността тази част да е произведена от втората машина.

Решение

Нека определим събития:

А. =(частта, взета от конвейера, се произвежда от / -тата машина); / = 1,2;

V= (взетата част ще бъде нестандартна).

Условните вероятности също са известни

Използвайки формулата за обща вероятност, откриваме

Използвайки формулата на Байес, намираме вероятността взетата нестандартна част да бъде произведена от втората машина:

Отговор: 0,75.

Задача 4.Тества се устройство, състоящо се от две единици, чиято надеждност е съответно 0,8 и 0,9. Възлите се провалят независимо един от друг. Устройството се повреди. Намерете, като вземете това предвид, вероятността от хипотези:

• а) само първият възел е дефектен;
• б) само вторият възел е дефектен;
• в) и двата възела са дефектни.

Решение

Нека определим събития:

D = (7 -мият възел няма да се провали); i = 1,2;

D - съответстващи противоположни събития;

А= (по време на теста ще има повреда на устройството).

От условието на задачата получаваме: P (D) = 0,8; П (Л 2) = 0,9.

По свойството на вероятностите за противоположни събития

Събитие Аравна на сумата от продуктите на независими събития

Използвайки теоремата за добавяне на вероятностите за противоречиви събития и теоремата за умножение на вероятностите за независими събития, получаваме

Сега откриваме вероятностите за хипотези:

Отговор:

Задача 5.В завода болтовете се произвеждат на три машини, които произвеждат съответно 25%, 30% и 45% от общия брой болтове. При производството на металорежещи машини скрапът е съответно 4%, 3%и 2%. Каква е вероятността случайно взет болт от входящ продукт да бъде дефектен?

Решение

Нека определим събития:

4 = (случайно взет болтът е направен на / -тата машина); i = 1, 2, 3;

V= (случайно взет болт ще бъде дефектен).

От условието на задачата, използвайки формулата на класическата вероятност, намираме вероятностите на хипотези:

Също така, използвайки класическата вероятностна формула, намираме условните вероятности:

Използвайки формулата за обща вероятност, откриваме

Отговор: 0,028.

Задача 6.Електронната верига принадлежи на една от трите страни с вероятност 0,25; 0,5 и 0,25. Вероятността веригата да работи извън гарантирания експлоатационен живот за всяка партида е съответно 0,1; 0,2 и 0,4. Намерете вероятността произволно избрана схема да работи след гаранционния срок.

Решение

Нека определим събития:

4 = (произволно взета схема от r -та страна); i = 1, 2, 3;

V= (произволно избрана схема ще работи след гаранционния срок).

По условието на задачата са известни вероятностите на хипотезите:

Условните вероятности също са известни:

Използвайки формулата за обща вероятност, откриваме

Отговор: 0,225.

Задача 7.Устройството съдържа два блока, обслужването на всеки от които е необходимо за работата на устройството. Вероятността за работа без отказ за тези единици е съответно 0,99 и 0,97. Устройството не е в ред. Определете вероятността и двата блока да се провалят.

Решение

Нека определим събития:

D = (z-тата единица ще се провали); i = 1,2;

А= (устройството ще се провали).

От условието на задачата, по свойството на вероятностите за противоположни събития, получаваме: DD) = 1-0,99 = 0,01; DD) = 1-0,97 = 0,03.

Събитие Авъзниква само когато поне едно от събитията D или А 2.Следователно това събитие е равно на сумата от събития А= D + А 2 .

С теоремата за добавяне за вероятностите на съвместни събития получаваме

Използвайки формулата на Байес, ние откриваме вероятността устройството да се повреди поради повреда на двете единици.

Отговор:

Задачи за независимо решение Цел 1.В склада на телевизионното студио има 70% от ЕЛТ, произведени от завод № 1; други кинескопи са произведени от фабрика № 2. Вероятността кинескопът да не се повреди по време на гаранционния период е 0.8 за кинескопи от фабрика №1 и 0.7 за кинескопи от фабрика №2. Кинескопът е издържал гаранционния срок. Намерете вероятността той да е произведен от завод № 2.

Цел 2.Частите се доставят към монтажа от три автоматични машини. Известно е, че първата машина дава 0,3%от скрапа, втората - 0,2%, третата - 0,4%. Намерете вероятността да получите дефектна част за сглобяване, ако 1000 части са получени от първата машина, 2000 от втората и 2500 от третата.

Цел 3.Същите части се произвеждат на две машини. Вероятността частта, произведена на първата машина, да бъде стандартна, е 0,8, а на втората е 0,9. Производителността на втората машина е три пъти по -висока от тази на първата. Намерете вероятността стандартна част да бъде взета на случаен принцип от конвейер, който получава части от двете машини.

Задача 4.Ръководителят на компанията реши да използва услугите на две от трите транспортни компании. Вероятността за ненавременна доставка на стоки за първата, втората и третата фирма е съответно 0,05; 0,1 и 0,07. Сравнявайки тези данни с данни за безопасността на превоз на товари, ръководителят стигна до извода, че изборът е равен и реши да го направи по жребий. Намерете вероятността изпратеният товар да бъде доставен навреме.

Задача 5.Устройството съдържа два блока, обслужването на всеки от които е необходимо за работата на устройството. Вероятността за работа без отказ за тези единици е съответно 0,99 и 0,97. Устройството не е в ред. Определете вероятността вторият модул да се повреди.

Задача 6. Монтажният цех получава части от три автомати. Първата машина дава 3% от скрапа, втората - 1% и третата - 2%. Определете вероятността недефектна част да попадне в монтажа, ако съответно от всяка машина са получени 500, 200, 300 части.

Задача 7.Складът получава продукти от три компании. Освен това производството на първата компания е 20%, втората - 46%и третата - 34%. Известно е също, че средният процент на нестандартни продукти за първата компания е 5%, за втората - 2%и за третата - 1%. Намерете вероятността продуктът, взет на случаен принцип, да е произведен от втора компания, ако се окаже стандартен.

Задача 8.Дефект в продуктите на завода поради дефект ае 5%, а сред отхвърлените въз основа на апродуктите са дефектни в 10% от случаите Р.И в продукти без дефекти а, дефект Rсе среща в 1% от случаите. Намерете вероятността да срещнете дефект Rвъв всички продукти.

Задача 9.Компанията има 10 нови автомобила и 5 стари, които преди това бяха в ремонт. Вероятността за правилна работа за нов автомобил е 0,94, за стар - 0,91. Намерете вероятността избраната кола да работи правилно.

Задача 10.Два сензора изпращат сигнали към общ комуникационен канал, като първият от тях изпраща два пъти повече сигнали от втория. Вероятността за получаване на изкривен сигнал от първия сензор е 0,01, от втория - 0,03. Каква е вероятността да получите изкривен сигнал в общия комуникационен канал?

Проблем 11.Има пет партиди продукти: три партиди от 8 броя, от които 6 стандартни и 2 нестандартни, и две партиди от 10 броя, от които 7 стандартни и 3 нестандартни. Един от лотовете се избира на случаен принцип и част се взема от този лот. Определете вероятността взетата част да бъде стандартна.

Задача 12.Асемблерът получава средно 50% от частите от първото растение, 30% от второто предприятие и 20% от третото. Вероятността първата фабрична част да е с отлично качество е 0,7; за части от второто и третото растение съответно 0,8 и 0,9. Частта, взета на случаен принцип, се оказа с отлично качество. Намерете вероятността детайлът да е произведен от първата фабрика.

Проблем 13.Митническият преглед на превозните средства се извършва от двама инспектори. Средно от 100 автомобила 45 преминават през първия инспектор. Вероятността превозно средство, което отговаря на митническите разпоредби, да не бъде задържано по време на проверката е 0,95 за първия инспектор и 0,85 за втория. Намерете вероятността превозно средство, което отговаря на митническите разпоредби, да не бъде задържано.

Проблем 14.Частите, необходими за сглобяването на устройството, идват от две автоматични машини, чиято производителност е еднаква. Изчислете вероятността да получите стандартна част за сглобяване, ако една от машините даде средно 3% нарушение на стандарта, а другата - 2%.

Проблем 15.Треньорът по вдигане на тежести изчисли, че за да получи отборни точки в дадена тежест, спортист трябва да избута щанга от 200 кг. Иванов, Петров и Сидоров се борят за място в отбора. По време на тренировка Иванов се опита да вдигне такава тежест в 7 случая, а вдигна в 3 от тях. Петров вдигна 6 пъти от 13, а Сидоров има 35% шанс да се справи успешно с летвата. Треньорът на случаен принцип избира един спортист да се присъедини към отбора.

• а) Намерете вероятността избраният спортист да спечели точки за отбора.
• б) Отборът не получи точки. Намерете вероятността Сидоров да е говорил.

Проблем 16.В бяла кутия има 12 червени и 6 сини топки. В черно - 15 червени и 10 сини топки. Хвърлете заровете. Ако броят на точките е кратен на 3, тогава топката се взема на случаен принцип от бялата кутия. Ако друг брой точки падне, топката се взема на случаен принцип от черната кутия. Каква е вероятността да се появи червена топка?

Проблем 17.В две кутии има радиолампи. Първата кутия съдържа 12 лампи, от които 1 е нестандартна; във вторите 10 лампи, от които 1 е нестандартна. Лампата беше взета на случаен принцип от първата кутия и пренесена във втората. Намерете вероятността лампата, извадена от втората кутия на случаен принцип, да бъде нестандартна.

Проблем 18.Бяла топка се пуска в урна, съдържаща две топки, след което една топка се взема на случаен принцип от нея. Намерете вероятността извадената топка да се окаже бяла, ако всички възможни предположения за първоначалния състав на топките (по цвят) са еднакво възможни.

Проблем 19.Стандартна част се хвърля в кутия, съдържаща 3 еднакви части, след което една част се изважда на случаен принцип. Намерете вероятността стандартната част да бъде премахната, ако всички възможни допускания за броя на стандартните части, първоначално в полето, са еднакво вероятни.

Задача 20.За подобряване на качеството на радио комуникацията се използват два радиоприемника. Вероятността за получаване на сигнал от всеки приемник е 0,8 и тези събития (получаване на сигнал от приемника) са независими. Определете вероятността за приемане на сигнал, ако вероятността за работа без отказ по време на радиокомуникационната сесия за всеки приемник е 0,9.