Cómo resolver el rango de una matriz. Encuentra el rango de una matriz: métodos y ejemplos

Este artículo discutirá un concepto como el rango de una matriz y los conceptos adicionales necesarios. Daremos ejemplos y pruebas para encontrar el rango de una matriz, y también le diremos qué es una matriz menor y por qué es tan importante.

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Matriz menor

Para comprender cuál es el rango de una matriz, es necesario comprender el concepto de matriz menor.

Definición 1

Menorkmatriz de th orden - el determinante de una matriz cuadrada del orden k × k, que se compone de los elementos de la matriz A, ubicados en k-filas y k-columnas preseleccionadas, manteniendo la posición de los elementos de la matriz A.

En pocas palabras, si eliminamos (pk) filas y (nk) columnas en la matriz A, y hacemos una matriz de los elementos que quedan, manteniendo la disposición de los elementos de la matriz A, entonces el determinante de la matriz resultante es el menor de orden k de la matriz A.

Del ejemplo se sigue que los menores de primer orden de la matriz A son los elementos de la matriz mismos.

Podemos dar varios ejemplos de menores de 2º orden. Elijamos dos filas y dos columnas. Por ejemplo, 1ra y 2da fila, 3ra y 4ta columna.

Con esta elección de elementos, el menor de segundo orden será - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Otro menor de segundo orden de la matriz A es 0 0 1 1 = 0

Proporcionemos ilustraciones de la construcción de los menores de segundo orden de la matriz A:

El menor de 3er orden se obtiene eliminando la tercera columna de la matriz A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Una ilustración de cómo se obtiene el menor de 3er orden de la matriz A:

Para una matriz dada, no hay menores mayores que el tercer orden, porque

k ≤ metro yo norte (pags , norte) = metro yo norte (3 , 4) = 3

¿Cuántos menores de k-ésimo orden hay para una matriz A de orden p×n?

El número de menores se calcula mediante la siguiente fórmula:

C pags k × C norte k , gramo mi C pags k = pags ! k! (paquete) ! y C nk = n ! k! (n-k)! - el número de combinaciones de p a k, de n a k, respectivamente.

Después de haber decidido cuáles son los menores de la matriz A, podemos proceder a determinar el rango de la matriz A.

Rango de matriz: métodos de encontrar

Definición 2

Rango de matriz - el orden más alto de la matriz, distinto de cero.

Designación 1

Rango (A), Rg(A), Sonó(A).

De la definición del rango de una matriz y el menor de una matriz, queda claro que el rango de una matriz cero es igual a cero, y el rango de una matriz distinta de cero es diferente de cero.

Hallar el rango de una matriz por definición

Definición 3

Método de enumeración menor - un método basado en la determinación del rango de una matriz.

Algoritmo de actuaciones por enumeración de menores :

Es necesario encontrar el rango de la matriz A de orden pags× norte. Si hay al menos un elemento distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos igual a uno ( porque es un menor de 1er orden que no es igual a cero).

Luego sigue la enumeración de los menores de 2° orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango es igual a uno. Si existe al menos un menor distinto de cero de 2° orden, se debe pasar a la enumeración de menores de 3° orden, y el rango de la matriz, en este caso, será al menos dos.

Hagamos lo mismo con el rango de 3er orden: si todos los menores de la matriz son iguales a cero, entonces el rango será igual a dos. Si hay al menos un menor de tercer orden distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos tres. Y así sucesivamente, por analogía.

Ejemplo 2

Encuentre el rango de una matriz:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Dado que la matriz es distinta de cero, su rango es al menos igual a uno.

El menor de segundo orden - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 es distinto de cero. Esto implica que el rango de la matriz A es al menos dos.

Clasificamos los menores de tercer orden: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 piezas.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Los menores de 3er orden son cero, por lo que el rango de la matriz es dos.

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz por el método de franjas menores

Definición 3

Método de franjas menores - un método que le permite obtener un resultado con menos trabajo de cálculo.

menor de edad - menor M ok (k + 1) -ésimo orden de la matriz A, que bordea la menor M de orden k de la matriz A, si la matriz que corresponde a la menor M ok "contiene" la matriz que corresponde a la menor METRO.

En pocas palabras, la matriz correspondiente al menor bordeado M se obtiene a partir de la matriz correspondiente al bordeado menor M o k eliminando los elementos de una fila y una columna.

Ejemplo 3

Encuentre el rango de una matriz:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Para encontrar el rango, tomamos el menor de segundo orden M = 2 - 1 4 1

Anotamos todos los menores limítrofes:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Para fundamentar el método de bordear menores, presentamos un teorema cuya formulación no requiere base de demostración.

Teorema 1

Si todos los menores que bordean el k-ésimo menor de orden de una matriz A de orden p por n son iguales a cero, entonces todos los menores de orden (k + 1) de la matriz A son iguales a cero.

Algoritmo de acción :

Para encontrar el rango de una matriz, no es necesario pasar por todos los menores, solo mirar los bordes.

Si los menores limítrofes son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es cero. Si existe al menos un menor que no es igual a cero, entonces consideramos menores limítrofes.

Si todos son cero, entonces el rango (A) es dos. Si hay al menos un menor limítrofe distinto de cero, entonces procedemos a considerar sus menores limítrofes. Y así sucesivamente, de manera similar.

Ejemplo 4

Encuentre el rango de una matriz por el método de franjas menores

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

¿Cómo decidir?

Como el elemento a 11 de la matriz A no es igual a cero, entonces tomamos el menor de 1er orden. Empecemos a buscar un menor limítrofe que no sea cero:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Hemos encontrado un menor limítrofe de segundo orden que no es igual a cero 2 0 4 1 .

Enumeremos los menores limítrofes - (hay (4 - 2) × (5 - 2) = 6 piezas).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz por el método de Gauss (usando transformaciones elementales)

Recuerda qué son las transformaciones elementales.

Transformaciones elementales:

reorganizando las filas (columnas) de la matriz;
multiplicando todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número k arbitrario distinto de cero;

sumando a los elementos de cualquier fila (columna) elementos que corresponden a otra fila (columna) de la matriz, que se multiplican por un número arbitrario k.

Definición 5

Encontrar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss - un método basado en la teoría de la equivalencia de matrices: si la matriz B se obtiene de la matriz A utilizando un número finito de transformaciones elementales, entonces Rango(A) = Rango(B).

La validez de esta afirmación se deriva de la definición de la matriz:

en el caso de una permutación de las filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Si es igual a cero, entonces al permutar filas o columnas permanece igual a cero;
en el caso de multiplicar todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario k, que no es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original, que se multiplica por k;

en el caso de sumar a los elementos de una determinada fila o columna de la matriz los elementos correspondientes de otra fila o columna, que se multiplican por el número k, no cambia su determinante.

La esencia del método de las transformaciones elementales. : reducir la matriz, cuyo rango se va a encontrar, a una trapezoidal usando transformaciones elementales.

¿Para qué?

El rango de matrices de este tipo es bastante fácil de encontrar. Es igual al número de filas que tienen al menos un elemento no nulo. Y dado que el rango no cambia durante las transformaciones elementales, este será el rango de la matriz.

Ilustremos este proceso:

para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es mayor que el número de columnas:

UN ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 norte - 1 segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 norte - 2 segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 norte 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R ank (A) = norte

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ segundo 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k

para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es menor que el número de columnas:

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 pb 1 pag + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 pb 2 pag + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn , R ank (A) = pags

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ segundo 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

para matrices cuadradas A de orden n por n:

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 norte - 1 segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 norte - 1 segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 norte 0 0 0 ⋯ 0 1 , Rango (A) = n

Ejemplo 5

Encuentre el rango de la matriz A usando transformaciones elementales:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

¿Cómo decidir?

Dado que el elemento a 11 no es cero, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz A por 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

A los elementos de la 2ª fila le sumamos los elementos correspondientes de la 1ª fila, que se multiplican por (-3). A los elementos de la 3ª fila le sumamos los elementos de la 1ª fila, que se multiplican por (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

El elemento a 22 (2) es distinto de cero, entonces multiplicamos los elementos de la 2da fila de la matriz A por A (2) por a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

A los elementos de la 3ra fila de la matriz resultante, sumamos los elementos correspondientes de la 2da fila, que se multiplican por 3 2 ;
a los elementos de la 4ª fila - los elementos de la 2ª fila, que se multiplican por 9 2 ;
a los elementos de la quinta fila: los elementos de la segunda fila, que se multiplican por 3 2 .

Todos los elementos de la fila son cero. Así, con la ayuda de transformaciones elementales, hemos reducido la matriz a una forma trapezoidal, de la cual se puede ver que R a n k (A (4)) = 2 . De ello se deduce que el rango de la matriz original también es igual a dos.

Comentario

Si realiza transformaciones elementales, ¡no se permiten valores aproximados!

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Teorema (sobre la corrección de la definición de rangos). Que todos los menores de matriz UN metro × norte (\displaystyle A_(m\times n)) pedido k (\ estilo de visualización k) son iguales a cero ( METRO k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Entonces ∀ METRO k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0) si existen. Patrón: / marco

Definiciones relacionadas

Propiedades

Teorema (sobre la base menor): Dejar r = sonó ⁡ UN , METRO r (\displaystyle r=\operatorname (sonó) A,M_(r))- base menor de la matriz A (\ estilo de visualización A), entonces:
Consecuencias:
Teorema (sobre la invariancia de rango bajo transformaciones elementales): Introduzcamos una notación para matrices obtenidas unas de otras mediante transformaciones elementales. Entonces el enunciado es verdadero: Si A ∼ B (\displaystyle A\sim B), entonces sus rangos son iguales.
Teorema Kronecker - Cappelli: Un sistema de ecuaciones algebraicas lineales es consistente si y solo si el rango de su matriz principal es igual al rango de su matriz extendida. En particular:
- El número de variables principales del sistema es igual al rango del sistema.
- Se definirá un sistema consistente (su solución es única) si el rango del sistema es igual al número de todas sus variables.
Desigualdad Sylvester : Si A y B matrices de tamaño m x norte y n x k, entonces

r un norte k UN segundo ≥ r un norte k UN + r un norte k segundo - norte (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

Este es un caso especial de la siguiente desigualdad.

Desigualdad Frobenius : Si AB, BC, ABC están bien definidos, entonces

r un norte k UN segundo C ≥ r un norte k UN segundo + r un norte k segundo C - r un norte k segundo (\displaystyle rangoABC\geq rangoAB+rangoBC-rangoB)

Transformación lineal y rango de matriz

Dejar A (\ estilo de visualización A)- matriz de tamaño m × n (\displaystyle m\times n) sobre el campo C (\ estilo de visualización C)(o R (\ estilo de visualización R)). Dejar T (\ estilo de visualización T) es una transformación lineal correspondiente a A (\ estilo de visualización A) en la base estándar; esto significa que T (x) = UN x (\displaystyle T(x)=Ax). Rango de matriz A (\ estilo de visualización A) es la dimensión del rango de transformación T (\ estilo de visualización T).

Métodos

Hay varios métodos para encontrar el rango de una matriz:

Método de transformaciones elementales

El rango de una matriz es igual al número de filas distintas de cero en la matriz después de que se haya reducido a una forma escalonada usando transformaciones elementales sobre las filas de la matriz.

Método de franjas menores

Deja en la matriz A (\ estilo de visualización A) menor distinto de cero encontrado k (\ estilo de visualización k)-th orden M (\ estilo de visualización M). Considere a todos los menores (k + 1) (\displaystyle (k+1)) orden, incluyendo (alrededor) menor M (\ estilo de visualización M); si todos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es k (\ estilo de visualización k). En caso contrario, entre los menores limítrofes hay uno distinto de cero, y se repite todo el procedimiento.

Definición. Rango de matriz es el número máximo de filas linealmente independientes consideradas como vectores.

Teorema 1 sobre el rango de una matriz. Rango de matriz es el orden máximo de un menor distinto de cero de una matriz.

Ya hemos discutido el concepto de menor en la lección sobre determinantes, y ahora lo generalizaremos. Tomemos algunas filas y algunas columnas en la matriz, y este "algo" debería ser menor que el número de filas y columnas de la matriz, y para filas y columnas este "algo" debería ser el mismo número. Luego, en la intersección de cuántas filas y cuántas columnas habrá una matriz de un orden más pequeño que nuestra matriz original. El determinante de esta matriz será un orden k-ésimo menor si el "algo" mencionado (el número de filas y columnas) se denota por k.

Definición. menor ( r+1)-ésimo orden, dentro del cual se encuentra el menor elegido r-th orden, se llama lindero para el menor dado.

Los dos métodos más utilizados encontrar el rango de una matriz. Esta forma de franquear a los menores y método de transformaciones elementales(por el método de Gauss).

El método de bordear menores utiliza el siguiente teorema.

Teorema 2 sobre el rango de una matriz. Si es posible componer un menor a partir de los elementos de la matriz r th orden, que no es igual a cero, entonces el rango de la matriz es igual a r.

Con el método de las transformaciones elementales se utiliza la siguiente propiedad:

Si mediante transformaciones elementales se obtiene una matriz trapezoidal equivalente a la original, entonces el rango de esta matriz es el número de líneas en él, excepto las líneas que consisten completamente en ceros.

Encontrar el rango de una matriz por el método de bordear menores

Un menor limítrofe es un menor de orden superior con relación al dado, si ese menor de orden superior contiene al menor dado.

Por ejemplo, dada la matriz

Tomemos un menor

ribeteado serán tales menores:

Algoritmo para encontrar el rango de una matriz Siguiente.

1. Encontramos menores de segundo orden que no son iguales a cero. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango de la matriz será igual a uno ( r =1 ).

2. Si existe al menos un menor de segundo orden que no sea igual a cero, entonces componemos menores de tercer orden limítrofes. Si todos los menores limítrofes de tercer orden son cero, entonces el rango de la matriz es dos ( r =2 ).

3. Si al menos uno de los menores limítrofes de tercer orden no es igual a cero, entonces componemos los menores limítrofes. Si todos los menores de cuarto orden limítrofes son cero, entonces el rango de la matriz es tres ( r =2 ).

4. Continúe hasta que el tamaño de la matriz lo permita.

Ejemplo 1 Encontrar el rango de una matriz

Solución. Menor de segundo orden .

Lo enmarcamos. Habrá cuatro menores limítrofes:

Así, todos los menores de tercer orden limítrofes son iguales a cero, por lo tanto, el rango de esta matriz es dos ( r =2 ).

Ejemplo 2 Encontrar el rango de una matriz

Solución. El rango de esta matriz es 1, ya que todos los menores de segundo orden de esta matriz son iguales a cero (en esto, como en los casos de los menores limítrofes en los siguientes dos ejemplos, se invita a los queridos estudiantes a comprobar por sí mismos, quizás usando las reglas para el cálculo de determinantes), y entre los menores de primer orden, es decir, entre los elementos de la matriz, no hay igual a cero.

Ejemplo 3 Encontrar el rango de una matriz

Solución. El menor de segundo orden de esta matriz es, y todos los menores de tercer orden de esta matriz son cero. Por tanto, el rango de esta matriz es dos.

Ejemplo 4 Encontrar el rango de una matriz

Solución. El rango de esta matriz es 3 porque el único tercer orden menor de esta matriz es 3.

Encontrar el rango de una matriz por el método de transformaciones elementales (por el método de Gauss)

Ya en el Ejemplo 1, se puede ver que el problema de determinar el rango de una matriz por el método de bordear menores requiere el cálculo de un gran número de determinantes. Sin embargo, existe una forma de reducir al mínimo la cantidad de cálculo. Este método se basa en el uso de transformaciones de matrices elementales y también se denomina método de Gauss.

Las transformaciones elementales de una matriz significan las siguientes operaciones:

1) multiplicación de cualquier fila o cualquier columna de la matriz por un número distinto de cero;

2) sumando a los elementos de cualquier fila o columna de la matriz los elementos correspondientes de otra fila o columna, multiplicados por el mismo número;

3) intercambiar dos filas o columnas de una matriz;

4) eliminación de filas "nulas", es decir, aquellas cuyos elementos son todos iguales a cero;

5) supresión de todas las líneas proporcionales, excepto una.

Teorema. La transformación elemental no cambia el rango de la matriz. En otras palabras, si usamos transformaciones elementales de la matriz A ir a matriz B, entonces .

El rango de una matriz es una característica numérica importante. El problema más característico que requiere encontrar el rango de una matriz es comprobar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. En este artículo, daremos el concepto del rango de una matriz y consideraremos métodos para encontrarlo. Para una mejor asimilación del material, analizaremos en detalle las soluciones de varios ejemplos.

Navegación de página.

Determinación del rango de una matriz y conceptos adicionales necesarios.

Antes de expresar la definición del rango de una matriz, uno debe tener una buena comprensión del concepto de menor, y encontrar los menores de una matriz implica la capacidad de calcular el determinante. Por lo tanto, recomendamos, si es necesario, recordar la teoría del artículo, los métodos para encontrar el determinante de la matriz, las propiedades del determinante.

Tome una matriz A de orden . Sea k un número natural que no exceda al menor de los números m y n, es decir, .

Definición.

Orden k-ésimo menor la matriz A es el determinante de la matriz cuadrada de orden , compuesta por los elementos de la matriz A, que están en k filas y k columnas preseleccionadas, y se conserva la ubicación de los elementos de la matriz A.

En otras palabras, si eliminamos (p–k) filas y (n–k) columnas en la matriz A y formamos una matriz con los elementos restantes, manteniendo la disposición de los elementos de la matriz A, entonces el determinante de la matriz resultante es un menor de orden k de la matriz A.

Veamos la definición de una matriz menor usando un ejemplo.

Considere la matriz .

Escribamos varios menores de primer orden de esta matriz. Por ejemplo, si elegimos la tercera fila y la segunda columna de la matriz A, entonces nuestra elección corresponde a un menor de primer orden . En otras palabras, para obtener este menor, tachamos la primera y segunda fila, así como la primera, tercera y cuarta columna de la matriz A, y formamos el determinante del elemento restante. Si elegimos la primera fila y la tercera columna de la matriz A, entonces obtenemos una menor .

Ilustremos el procedimiento para la obtención de los considerados menores de primer orden
y .

Por lo tanto, los menores de primer orden de una matriz son los propios elementos de la matriz.

Mostremos varios menores de segundo orden. Seleccione dos filas y dos columnas. Por ejemplo, tome la primera y la segunda fila y la tercera y cuarta columna. Con esta elección, tenemos un menor de segundo orden . Este menor también podría formarse eliminando la tercera fila, la primera y la segunda columna de la matriz A.

Otro menor de segundo orden de la matriz A es .

Ilustremos la construcción de estos menores de segundo orden
y .

Los menores de tercer orden de la matriz A se pueden encontrar de manera similar. Como solo hay tres filas en la matriz A, las seleccionamos todas. Si seleccionamos las primeras tres columnas para estas filas, obtenemos un menor de tercer orden

También se puede construir eliminando la última columna de la matriz A.

Otro menor de tercer orden es

obtenido al eliminar la tercera columna de la matriz A.

Aquí hay un dibujo que muestra la construcción de estos menores de tercer orden.
y .

Para una matriz A dada, no existen menores de orden superior al tercero, ya que .

¿Cuántos k-ésimo orden menores de la matriz A de orden existen?

El número de k menores de orden se puede calcular como , donde y - el número de combinaciones de p a k y de n a k, respectivamente.

¿Cómo construir todos los menores de orden k de la matriz A de orden p sobre n?

Necesitamos muchos números de fila de matriz y muchos números de columna. grabando todo combinaciones de p elementos por k(corresponderán a las filas seleccionadas de la matriz A al construir una menor de orden k). A cada combinación de números de fila, agregamos secuencialmente todas las combinaciones de n elementos por k números de columna. Estos conjuntos de combinaciones de números de fila y números de columna de la matriz A ayudarán a componer todos los menores de orden k.

Tomemos un ejemplo.

Ejemplo.

Encuentre todos los menores de segundo orden de la matriz.

Solución.

Como el orden de la matriz original es de 3 por 3, entonces el total de menores de segundo orden será .

Escribamos todas las combinaciones de 3 a 2 números de fila de la matriz A: 1, 2; 1, 3 y 2, 3. Todas las combinaciones de 3 por 2 números de columna son 1, 2; 1, 3 y 2, 3.

Tome la primera y segunda fila de la matriz A. Seleccionando la primera y segunda columna para estas filas, la primera y tercera columna, la segunda y tercera columna, obtenemos los menores, respectivamente

Para la primera y tercera fila, con una elección similar de columnas, tenemos

Queda por agregar la primera y segunda, primera y tercera, segunda y tercera columna a la segunda y tercera fila:

Entonces, se encuentran los nueve menores de segundo orden de la matriz A.

Ahora podemos pasar a determinar el rango de la matriz.

Definición.

Rango de matriz es el orden más alto de la matriz menor distinta de cero.

El rango de la matriz A se denota como Rank(A) . También puede ver las designaciones Rg(A) o Rang(A) .

De las definiciones del rango de una matriz y el menor de una matriz, podemos concluir que el rango de una matriz cero es igual a cero, y el rango de una matriz distinta de cero es al menos uno.

Encontrar el rango de una matriz por definición.

Entonces, el primer método para encontrar el rango de una matriz es método de enumeración menor. Este método se basa en determinar el rango de la matriz.

Necesitamos encontrar el rango de una matriz A de orden .

Describa resumidamente algoritmo solución de este problema por el método de enumeración de menores.

Si hay al menos un elemento de la matriz distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos igual a uno (ya que hay un menor de primer orden que no es igual a cero).

A continuación, iteramos sobre los menores de segundo orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a uno. Si existe al menos un menor de segundo orden distinto de cero, entonces pasamos a la enumeración de los menores de tercer orden, y el rango de la matriz es al menos igual a dos.

De manera similar, si todos los menores de tercer orden son cero, entonces el rango de la matriz es dos. Si hay al menos un menor de tercer orden distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos tres, y procedemos a la enumeración de los menores de cuarto orden.

Tenga en cuenta que el rango de una matriz no puede exceder el menor de p y n.

Ejemplo.

Encontrar el rango de una matriz .

Solución.

Dado que la matriz es distinta de cero, su rango no es menor que uno.

Menor de segundo orden es diferente de cero, por lo tanto, el rango de la matriz A es al menos dos. Pasamos a la enumeración de los menores de tercer orden. Todos ellos cosas.

Todos los menores de tercer orden son iguales a cero. Por tanto, el rango de la matriz es dos.

Respuesta:

Rango (A) = 2 .

Encontrar el rango de una matriz por el método de franjas menores.

Existen otros métodos para encontrar el rango de una matriz que le permiten obtener el resultado con menos trabajo de cálculo.

Uno de estos métodos es método marginal marginal.

vamos a tratar con la noción de menor limítrofe.

Se dice que la menor M ok de (k+1)ésimo orden de la matriz A rodea a la menor M de orden k de la matriz A si la matriz correspondiente a la menor M ok "contiene" la matriz correspondiente a la menor m

En otras palabras, la matriz correspondiente al menor bordeado M se obtiene de la matriz correspondiente al bordeado menor M ok eliminando los elementos de una fila y una columna.

Por ejemplo, considere la matriz y tomar un menor de segundo orden. Anotemos todos los menores limítrofes:

El método de bordear a los menores se justifica por el siguiente teorema (presentamos su formulación sin demostración).

Teorema.

Si todos los menores que bordean el k-ésimo menor de orden de una matriz A de orden p por n son iguales a cero, entonces todos los menores de orden (k + 1) de la matriz A son iguales a cero.

Así, para encontrar el rango de una matriz, no es necesario enumerar todos los menores que son bastante limítrofes. El número de menores que bordean el k-ésimo menor de orden de la matriz A de orden se encuentra mediante la fórmula . Tenga en cuenta que no hay más menores que bordeen el orden k-ésimo menor de la matriz A que los menores de orden (k + 1)-ésimo de la matriz A. Por lo tanto, en la mayoría de los casos, utilizar el método de delimitación de menores es más rentable que la simple enumeración de todos los menores.

Procedamos a encontrar el rango de una matriz por el método de franjas menores. Describa resumidamente algoritmo este método.

Si la matriz A es distinta de cero, entonces tomamos cualquier elemento de la matriz A que sea diferente de cero como un menor de primer orden. Consideramos a sus limítrofes menores de edad. Si todos son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es igual a uno. Si hay al menos un menor limítrofe distinto de cero (su orden es igual a dos), entonces se pasa a la consideración de sus limítrofes menores. Si todos son cero, entonces Rank(A) = 2 . Si al menos un menor limítrofe es distinto de cero (su orden es igual a tres), entonces consideramos sus limítrofes menores. Etc Como resultado, Rank(A) = k si todos los menores limítrofes del (k + 1)-ésimo orden de la matriz A son iguales a cero, o Rank(A) = min(p, n) si existe un valor distinto de cero. menor bordeando un menor de orden (min( p, n) – 1) .

Analicemos el método de bordear menores para encontrar el rango de una matriz usando un ejemplo.

Ejemplo.

Encontrar el rango de una matriz por el método de los menores limítrofes.

Solución.

Como el elemento a 1 1 de la matriz A es distinto de cero, lo tomamos como un menor de primer orden. Comencemos a buscar un menor limítrofe que no sea cero:

Se encuentra un menor de segundo orden limítrofe distinto de cero. Enumeremos sus menores limítrofes (sus cosas):

Todos los menores que lindan con el menor de segundo orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz A es igual a dos.

Respuesta:

Rango (A) = 2 .

Ejemplo.

Encontrar el rango de una matriz con la ayuda de los menores limítrofes.

Solución.

Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 1 de la matriz A . Flecos menores de segundo orden no es igual a cero. Este menor está bordeado por un menor de tercer orden.
. Como no es igual a cero y no tiene límite menor, el rango de la matriz A es igual a tres.

Respuesta:

Rango (A) = 3 .

Encontrar el rango usando transformaciones elementales de la matriz (por el método de Gauss).

Considere otra forma de encontrar el rango de una matriz.

Las siguientes transformaciones matriciales se denominan elementales:

permutación de las filas (o columnas) de la matriz;
multiplicación de todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario k diferente de cero;
sumando a los elementos de cualquier fila (columna) los elementos correspondientes de otra fila (columna) de la matriz, multiplicados por un número arbitrario k.

La matriz B se llama equivalente a la matriz A, si B se obtiene de A con la ayuda de un número finito de transformaciones elementales. La equivalencia de matrices se denota con el símbolo "~", es decir, se escribe A ~ B.

Encontrar el rango de una matriz usando transformaciones de matrices elementales se basa en la declaración: si la matriz B se obtiene de la matriz A usando un número finito de transformaciones elementales, entonces Rank(A) = Rank(B) .

La validez de esta declaración se deriva de las propiedades del determinante de la matriz:

Cuando se permutan las filas (o columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. Si es igual a cero, entonces al permutar las filas (columnas), permanece igual a cero.
Al multiplicar todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario k diferente de cero, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original, multiplicado por k. Si el determinante de la matriz original es igual a cero, luego de multiplicar todos los elementos de cualquier fila o columna por el número k, el determinante de la matriz resultante también será igual a cero.
Sumar a los elementos de una cierta fila (columna) de la matriz los elementos correspondientes de otra fila (columna) de la matriz, multiplicados por un cierto número k, no cambia su determinante.

La esencia del método de las transformaciones elementales. es llevar la matriz, cuyo rango necesitamos encontrar, a un trapezoide (en un caso particular, a un triangular superior) usando transformaciones elementales.

¿Para qué sirve? El rango de matrices de este tipo es muy fácil de encontrar. Es igual al número de filas que contienen al menos un elemento no nulo. Y dado que el rango de la matriz no cambia durante las transformaciones elementales, el valor resultante será el rango de la matriz original.

Damos ilustraciones de matrices, una de las cuales debe obtenerse después de las transformaciones. Su forma depende del orden de la matriz.

Estas ilustraciones son plantillas a las que transformaremos la matriz A.

describamos algoritmo de método.

Supongamos que necesitamos encontrar el rango de una matriz A distinta de cero de orden (p puede ser igual a n).

Entonces, . Multipliquemos todos los elementos de la primera fila de la matriz A por . En este caso, obtenemos una matriz equivalente, la denotamos A (1) :

A los elementos de la segunda fila de la matriz resultante A (1), sumamos los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por . A los elementos de la tercera fila, suma los elementos correspondientes de la primera fila, multiplicados por . Y así sucesivamente hasta la línea p-ésima. Obtenemos una matriz equivalente, la denotamos A (2) :

Si todos los elementos de la matriz resultante en las filas del segundo al p-ésimo son iguales a cero, entonces el rango de esta matriz es igual a uno y, en consecuencia, el rango de la matriz original es igual a uno .

Si hay al menos un elemento distinto de cero en las filas desde el segundo hasta el p-ésimo, entonces continuamos realizando transformaciones. Además, actuamos exactamente de la misma manera, pero solo con la parte de la matriz A marcada en la figura (2)

Si , entonces reorganizamos las filas y (o) las columnas de la matriz A (2) para que el "nuevo" elemento sea distinto de cero.

El número r se denomina rango de la matriz A si:
1) la matriz A contiene un menor distinto de cero de orden r;
2) todos los menores de orden (r + 1) y superiores, si existen, son iguales a cero.
De lo contrario, el rango de una matriz es el orden más alto de un menor distinto de cero.
Designaciones: rangA , r A o r .
De la definición se deduce que r es un número entero positivo. Para una matriz nula, el rango se considera cero.

Asignación de servicios. La calculadora en línea está diseñada para encontrar rango de matriz. La solución se guarda en formato Word y Excel. ver ejemplo de solución.

Instrucción. Seleccione la dimensión de la matriz, haga clic en Siguiente.

Definición . Sea dada una matriz de rango r. Toda matriz menor distinta de cero y de orden r se denomina básica, y las filas y columnas de sus componentes se denominan filas y columnas básicas.
Según esta definición, la matriz A puede tener varias bases menores.

El rango de la matriz identidad E es n (número de filas).

Ejemplo 1 . Dadas dos matrices, y sus menores , . ¿Cuál de ellos se puede tomar como base?
Solución. La menor M 1 =0, por lo que no puede ser base de ninguna de las matrices. Menor M 2 =-9≠0 y tiene orden 2, por lo que puede tomarse como base las matrices de A o/y B, siempre que tengan rangos iguales a 2 . Como detB=0 (como determinante con dos columnas proporcionales), entonces rangB=2 y M 2 pueden tomarse como la base menor de la matriz B. El rango de la matriz A es 3, debido a que detA=-27≠ 0 y, por tanto, el orden de la base menor de esta matriz debe ser 3, es decir, M 2 no es base de la matriz A . Nótese que la matriz A tiene una única base menor igual al determinante de la matriz A .

Teorema (sobre el menor básico). Cualquier fila (columna) de una matriz es una combinación lineal de sus filas (columnas) básicas.
Consecuencias del teorema.

Cualquier (r+1) columnas (filas) de una matriz de rango r son linealmente dependientes.
Si el rango de una matriz es menor que el número de sus filas (columnas), entonces sus filas (columnas) son linealmente dependientes. Si rangA es igual al número de sus filas (columnas), entonces las filas (columnas) son linealmente independientes.
El determinante de una matriz A es igual a cero si y solo si sus filas (columnas) son linealmente dependientes.
Si se agrega otra fila (columna) multiplicada por cualquier número que no sea cero a la fila (columna) de la matriz, entonces el rango de la matriz no cambiará.
Si tacha una fila (columna) en la matriz, que es una combinación lineal de otras filas (columnas), entonces el rango de la matriz no cambiará.
El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas (columnas) linealmente independientes.
El número máximo de filas linealmente independientes es el mismo que el número máximo de columnas linealmente independientes.

Ejemplo 2 . Encontrar el rango de una matriz .
Solución. En base a la definición del rango de una matriz, buscaremos un menor de mayor orden que sea diferente de cero. Primero, transformamos la matriz a una forma más simple. Para hacer esto, multiplique la primera fila de la matriz por (-2) y súmela a la segunda, luego multiplíquela por (-1) y súmela a la tercera.