Determinar el rango de un ejemplo de matriz. Encuentra el rango de una matriz: métodos y ejemplos

Este artículo discutirá un concepto como el rango de una matriz y los conceptos adicionales necesarios. Daremos ejemplos y pruebas para encontrar el rango de una matriz, y también le diremos qué es una matriz menor y por qué es tan importante.

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Matriz menor

Para comprender cuál es el rango de una matriz, es necesario comprender el concepto de matriz menor.

Definición 1

Menorkmatriz de th orden - el determinante de una matriz cuadrada del orden k × k, que se compone de los elementos de la matriz A, ubicados en k-filas y k-columnas preseleccionadas, manteniendo la posición de los elementos de la matriz A.

En pocas palabras, si eliminamos (pk) filas y (nk) columnas en la matriz A, y hacemos una matriz de los elementos que quedan, manteniendo la disposición de los elementos de la matriz A, entonces el determinante de la matriz resultante es el menor de orden k de la matriz A.

Del ejemplo se sigue que los menores de primer orden de la matriz A son los elementos mismos de la matriz.

Podemos dar varios ejemplos de menores de 2º orden. Elijamos dos filas y dos columnas. Por ejemplo, 1ra y 2da fila, 3ra y 4ta columna.

Con esta elección de elementos, el menor de segundo orden será - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Otro menor de segundo orden de la matriz A es 0 0 1 1 = 0

Proporcionemos ilustraciones de la construcción de los menores de segundo orden de la matriz A:

El menor de 3er orden se obtiene eliminando la tercera columna de la matriz A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Una ilustración de cómo se obtiene el menor de 3er orden de la matriz A:

Para una matriz dada, no hay menores mayores que el tercer orden, porque

k ≤ metro yo norte (pags , norte) = metro yo norte (3 , 4) = 3

¿Cuántos menores de k-ésimo orden hay para una matriz A de orden p×n?

El número de menores se calcula mediante la siguiente fórmula:

C pags k × C norte k , gramo mi C pags k = pags ! k! (paquete) ! y C nk = n ! k! (n-k)! - el número de combinaciones de p a k, de n a k, respectivamente.

Después de haber decidido cuáles son los menores de la matriz A, podemos proceder a determinar el rango de la matriz A.

Rango de matriz: métodos de encontrar

Rango de matriz - el orden más alto de la matriz, distinto de cero.

Designación 1

Rango (A), Rg(A), Sonó(A).

De la definición del rango de una matriz y el menor de una matriz, queda claro que el rango de una matriz cero es igual a cero, y el rango de una matriz distinta de cero es diferente de cero.

Hallar el rango de una matriz por definición

Método de enumeración menor - un método basado en la determinación del rango de una matriz.

Algoritmo de actuaciones por enumeración de menores :

Es necesario encontrar el rango de la matriz A de orden pags× norte. Si hay al menos un elemento distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos igual a uno ( porque es un menor de 1er orden que no es igual a cero).

Luego sigue la enumeración de los menores de 2° orden. Si todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces el rango es igual a uno. Si existe al menos un menor distinto de cero de 2° orden, se debe pasar a la enumeración de menores de 3° orden, y el rango de la matriz, en este caso, será al menos dos.

Hagamos lo mismo con el rango de 3er orden: si todos los menores de la matriz son iguales a cero, entonces el rango será igual a dos. Si hay al menos un menor de tercer orden distinto de cero, entonces el rango de la matriz es al menos tres. Y así sucesivamente, por analogía.

Ejemplo 2

Encuentre el rango de una matriz:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Dado que la matriz es distinta de cero, su rango es al menos igual a uno.

El menor de segundo orden - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 es distinto de cero. Esto implica que el rango de la matriz A es al menos dos.

Clasificamos los menores de tercer orden: C 3 3 × C 5 3 \u003d 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 piezas.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Los menores de 3er orden son cero, por lo que el rango de la matriz es dos.

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz por el método de franjas menores

Método de franjas menores - un método que le permite obtener un resultado con menos trabajo de cálculo.

menor de edad - menor M ok (k + 1) -ésimo orden de la matriz A, que bordea la menor M de orden k de la matriz A, si la matriz que corresponde a la menor M ok "contiene" la matriz que corresponde a la menor METRO.

En pocas palabras, la matriz correspondiente al menor bordeado M se obtiene a partir de la matriz correspondiente al bordeado menor M o k eliminando los elementos de una fila y una columna.

Ejemplo 3

Encuentre el rango de una matriz:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

Para encontrar el rango, tomamos el menor de segundo orden M = 2 - 1 4 1

Anotamos todos los menores limítrofes:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

Para fundamentar el método de bordear menores, presentamos un teorema cuya formulación no requiere base de demostración.

Teorema 1

Si todos los menores que bordean el k-ésimo menor de orden de una matriz A de orden p por n son iguales a cero, entonces todos los menores de orden (k + 1) de la matriz A son iguales a cero.

Algoritmo de acción :

Para encontrar el rango de una matriz, no es necesario pasar por todos los menores, solo mirar los bordes.

Si los menores limítrofes son iguales a cero, entonces el rango de la matriz es cero. Si existe al menos un menor que no es igual a cero, entonces consideramos menores limítrofes.

Si todos son cero, entonces el rango (A) es dos. Si hay al menos un menor limítrofe distinto de cero, entonces procedemos a considerar sus menores limítrofes. Y así sucesivamente, de manera similar.

Ejemplo 4

Encuentre el rango de una matriz por el método de franjas menores

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

¿Cómo decidir?

Como el elemento a 11 de la matriz A no es igual a cero, entonces tomamos el menor de 1er orden. Empecemos a buscar un menor limítrofe que no sea cero:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Hemos encontrado un menor limítrofe de segundo orden que no es igual a cero 2 0 4 1 .

Enumeremos los menores limítrofes - (hay (4 - 2) × (5 - 2) = 6 piezas).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Respuesta : Rango (A) = 2.

Encontrar el rango de una matriz por el método de Gauss (usando transformaciones elementales)

Recuerda qué son las transformaciones elementales.

Transformaciones elementales:

• reorganizando las filas (columnas) de la matriz;
• multiplicando todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número k arbitrario distinto de cero;

sumando a los elementos de cualquier fila (columna) elementos que corresponden a otra fila (columna) de la matriz, que se multiplican por un número arbitrario k.

Definición 5

Encontrar el rango de una matriz utilizando el método de Gauss - un método basado en la teoría de la equivalencia de matrices: si la matriz B se obtiene de la matriz A utilizando un número finito de transformaciones elementales, entonces Rango(A) = Rango(B).

La validez de esta afirmación se deriva de la definición de la matriz:

• en el caso de una permutación de las filas o columnas de una matriz, su determinante cambia de signo. Si es igual a cero, entonces al permutar filas o columnas permanece igual a cero;
• en el caso de multiplicar todos los elementos de cualquier fila (columna) de la matriz por un número arbitrario k, que no es igual a cero, el determinante de la matriz resultante es igual al determinante de la matriz original, que se multiplica por k;

en el caso de sumar a los elementos de una determinada fila o columna de la matriz los elementos correspondientes de otra fila o columna, que se multiplican por el número k, no cambia su determinante.

La esencia del método de las transformaciones elementales. : reducir la matriz, cuyo rango se va a encontrar, a una trapezoidal usando transformaciones elementales.

¿Para qué?

El rango de matrices de este tipo es bastante fácil de encontrar. Es igual al número de filas que tienen al menos un elemento no nulo. Y dado que el rango no cambia durante las transformaciones elementales, este será el rango de la matriz.

Ilustremos este proceso:

• para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es mayor que el número de columnas:

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 norte - 1 segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 norte - 2 segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 norte 0 0 0 ⋯ 0 1 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R ank (A) = norte

UN ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ segundo 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k

• para matrices rectangulares A de orden p por n, cuyo número de filas es menor que el número de columnas:

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 pb 1 pag + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 pb 2 pag + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bpp + 1 ⋯ bpn , R ank (A) = pags

UN ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ segundo 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• para matrices cuadradas A de orden n por n:

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 norte - 1 segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 norte - 1 segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 1 norte 0 0 0 ⋯ 0 1 , Rango (A) = n

UNA ~ 1 segundo 12 segundo 13 ⋯ segundo 1 kb 1 k + 1 ⋯ segundo 1 norte 0 1 segundo 23 ⋯ segundo 2 kb 2 k + 1 ⋯ segundo 2 norte ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bkk + 1 ⋯ segundo 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k , k< n

Ejemplo 5

Encuentre el rango de la matriz A usando transformaciones elementales:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

¿Cómo decidir?

Dado que el elemento a 11 no es cero, es necesario multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz A por 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

A los elementos de la 2ª fila le sumamos los elementos correspondientes de la 1ª fila, que se multiplican por (-3). A los elementos de la 3ª fila le sumamos los elementos de la 1ª fila, que se multiplican por (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

El elemento a 22 (2) es distinto de cero, entonces multiplicamos los elementos de la 2da fila de la matriz A por A (2) por a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• A los elementos de la 3ra fila de la matriz resultante, sumamos los elementos correspondientes de la 2da fila, que se multiplican por 3 2 ;
• a los elementos de la 4ª fila - los elementos de la 2ª fila, que se multiplican por 9 2 ;
• a los elementos de la quinta fila: los elementos de la segunda fila, que se multiplican por 3 2 .

Todos los elementos de la fila son cero. Así, con la ayuda de transformaciones elementales, hemos reducido la matriz a una forma trapezoidal, de la cual se puede ver que R a n k (A (4)) = 2 . De ello se deduce que el rango de la matriz original también es igual a dos.

Comentario

Si realiza transformaciones elementales, ¡no se permiten valores aproximados!

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Rango de matriz es el orden más grande de sus menores distintos de cero. El rango de una matriz se denota por o .

Si todos los menores de orden de una matriz dada son cero, entonces todos los menores de orden superior de esta matriz también son cero. Esto se sigue de la definición del determinante. Esto implica un algoritmo para encontrar el rango de una matriz.

Si todos los menores de primer orden (elementos de la matriz) son iguales a cero, entonces . Si al menos uno de los menores de primer orden es diferente de cero, y todos los menores de segundo orden son iguales a cero, entonces . Además, es suficiente mirar solo aquellos menores de segundo orden, que limitan con el menor distinto de cero de primer orden. Si hay un menor de segundo orden distinto de cero, se investigan los menores de tercer orden que rodean al menor de segundo orden distinto de cero. Esto continúa hasta que se llega a uno de dos casos: o bien todos los menores de orden que bordean el menor distinto de cero del -ésimo orden son iguales a cero, o no existen tales menores. Entonces .

Ejemplo 10 Calcular el rango de la matriz.

El menor de primer orden (elemento ) es diferente de cero. El menor que lo rodea también es distinto de cero.

Todos estos menores son iguales a cero, entonces .

El algoritmo anterior para encontrar el rango de una matriz no siempre es conveniente, ya que implica el cálculo de una gran cantidad de determinantes. Al calcular el rango de una matriz, es más conveniente usar transformaciones elementales, con la ayuda de las cuales la matriz se reduce a una forma tan simple que es obvio cuál es su rango.

Transformaciones de matrices elementales llama a las siguientes transformaciones:

Ø multiplicación de cualquier fila (columna) de la matriz por un número distinto de cero;

Ø adición a una fila (columna) de otra fila (columna), multiplicada por un número arbitrario.

medio jordan transformación de fila de matriz:

con un elemento de resolución, el siguiente conjunto de transformaciones con filas de matriz se llama:

Ø agregar u multiplicado por un número a la primera línea, etc.;

Ø agregue u multiplicado por el número a la última línea.

Transformación Semi-Jordan de columnas de matriz con un elemento de resolución se llama el siguiente conjunto de transformaciones con columnas de matriz:

Ø a la primera columna sumar th, multiplicado por un número, etc.;

Ø a la última columna sumar th, multiplicado por el número.

Después de realizar estas transformaciones, la matriz resultante es:

La transformación Semi-Jordan de filas o columnas de una matriz cuadrada no cambia su determinante.

Las transformaciones elementales de una matriz no modifican su rango. Mostremos un ejemplo de cómo calcular el rango de una matriz usando transformaciones elementales. filas (columnas) son linealmente dependientes.

Sea dada alguna matriz:

.

Seleccione en esta matriz líneas arbitrarias y columnas arbitrarias
. Entonces el determinante th orden, compuesto por elementos de la matriz
ubicado en la intersección de filas y columnas seleccionadas se llama menor matriz de -ésimo orden
.

Definición 1.13. Rango de matriz
es el orden mayor del menor distinto de cero de esta matriz.

Para calcular el rango de una matriz, se deben considerar todos sus menores de menor orden y, si al menos uno de ellos es distinto de cero, proceder a la consideración de los menores de mayor orden. Este enfoque para determinar el rango de una matriz se denomina método de borde (o método de bordes menores).

Tarea 1.4. Por el método de bordear menores, determinar el rango de una matriz
.

.

Considere el borde de primer orden, por ejemplo,
. Luego pasamos a la consideración de algún borde de segundo orden.

Por ejemplo,
.

Finalmente, analicemos la bordeación del tercer orden.

.

Entonces, el orden más alto de un menor distinto de cero es 2, por lo tanto
.

Al resolver el Problema 1.4, se puede notar que las series de menores limítrofes de segundo orden son distintas de cero. En este sentido, se produce la siguiente noción.

Definición 1.14. La base menor de una matriz es cualquier menor distinto de cero cuyo orden es igual al rango de la matriz.

Teorema 1.2.(Teorema menor básico). Las filas básicas (columnas básicas) son linealmente independientes.

Tenga en cuenta que las filas (columnas) de una matriz son linealmente dependientes si y solo si al menos una de ellas puede representarse como una combinación lineal de las otras.

Teorema 1.3. El número de filas de matriz linealmente independientes es igual al número de columnas de matriz linealmente independientes y es igual al rango de la matriz.

Teorema 1.4.(Condición necesaria y suficiente para que el determinante sea igual a cero). Para que el determinante -th orden es igual a cero, es necesario y suficiente que sus filas (columnas) sean linealmente dependientes.

Calcular el rango de una matriz en función de su definición es demasiado engorroso. Esto se vuelve especialmente importante para matrices de alto orden. Al respecto, en la práctica, el rango de una matriz se calcula con base en la aplicación de los Teoremas 10.2 - 10.4, así como el uso de los conceptos de equivalencia de matrices y transformaciones elementales.

Definición 1.15. dos matrices
y se llaman equivalentes si sus rangos son iguales, es decir
.

Si matrices
y son equivalentes, entonces tenga en cuenta
 .

Teorema 1.5. El rango de una matriz no cambia de transformaciones elementales.

Llamaremos transformaciones elementales de la matriz
cualquiera de las siguientes acciones en la matriz:

Sustitución de filas con columnas y columnas con filas correspondientes;

Permutación de filas de matrices;

Tachar una línea, cuyos elementos son todos iguales a cero;

Multiplicar cualquier cadena por un número distinto de cero;

Sumar a los elementos de una fila los elementos correspondientes de otra fila multiplicados por el mismo número
.

Corolario del Teorema 1.5. Si la matriz
obtenido de la matriz usando un número finito de transformaciones elementales, entonces las matrices
y son equivalentes.

Al calcular el rango de una matriz, debe reducirse a una forma trapezoidal utilizando un número finito de transformaciones elementales.

Definición 1.16. Llamaremos trapezoidal a tal forma de representación de una matriz, cuando en el borde menor del orden mayor distinto de cero, todos los elementos debajo de los diagonales desaparecen. Por ejemplo:

.

Aquí
, elementos de la matriz
volver a cero. Entonces la forma de representación de tal matriz será trapezoidal.

Como regla general, las matrices se reducen a una forma trapezoidal utilizando el algoritmo de Gauss. La idea del algoritmo de Gauss es que, al multiplicar los elementos de la primera fila de la matriz por los factores correspondientes, logran que todos los elementos de la primera columna ubicados debajo del elemento
, se convertiría en cero. Luego, multiplicando los elementos de la segunda columna por los multiplicadores correspondientes, logramos que todos los elementos de la segunda columna ubicados debajo del elemento
, se convertiría en cero. Más adelante proceda de manera similar.

Tarea 1.5. Determine el rango de una matriz reduciéndola a una forma trapezoidal.

.

Para la comodidad de aplicar el algoritmo gaussiano, puede intercambiar la primera y la tercera fila.








.

obviamente aquí
. Sin embargo, para llevar el resultado a una forma más elegante, se pueden continuar las transformaciones sobre las columnas.










.

El número r se denomina rango de la matriz A si:
1) la matriz A contiene un menor distinto de cero de orden r;
2) todos los menores de orden (r + 1) y superiores, si existen, son iguales a cero.
De lo contrario, el rango de una matriz es el orden más alto de un menor distinto de cero.
Designaciones: rangA , r A o r .
De la definición se deduce que r es un número entero positivo. Para una matriz nula, el rango se considera cero.

Asignación de servicios. La calculadora en línea está diseñada para encontrar rango de matriz. La solución se guarda en formato Word y Excel. ver ejemplo de solución.

Instrucción. Seleccione la dimensión de la matriz, haga clic en Siguiente.

Definición . Sea dada una matriz de rango r. Cualquier matriz menor que cero y de orden r se denomina básica, y las filas y columnas de sus componentes se denominan filas y columnas básicas.
Según esta definición, la matriz A puede tener varias bases menores.

El rango de la matriz identidad E es n (número de filas).

Ejemplo 1 . Dadas dos matrices, y sus menores , . ¿Cuál de ellos se puede tomar como base?
Solución. La menor M 1 =0, por lo que no puede ser base de ninguna de las matrices. Menor M 2 =-9≠0 y tiene orden 2, por lo que puede tomarse como base las matrices de A o/y B, siempre que tengan rangos iguales a 2 . Como detB=0 (como determinante con dos columnas proporcionales), entonces rangB=2 y M 2 pueden tomarse como la base menor de la matriz B. El rango de la matriz A es 3, debido a que detA=-27≠ 0 y, por tanto, el orden de la base menor de esta matriz debe ser 3, es decir, M 2 no es base de la matriz A . Nótese que la matriz A tiene una única base menor igual al determinante de la matriz A .

Teorema (sobre el menor básico). Cualquier fila (columna) de una matriz es una combinación lineal de sus filas (columnas) básicas.
Consecuencias del teorema.

1. Cualquier (r+1) columnas (filas) de una matriz de rango r son linealmente dependientes.
2. Si el rango de una matriz es menor que el número de sus filas (columnas), entonces sus filas (columnas) son linealmente dependientes. Si rangA es igual al número de sus filas (columnas), entonces las filas (columnas) son linealmente independientes.
3. El determinante de una matriz A es igual a cero si y solo si sus filas (columnas) son linealmente dependientes.
4. Si se agrega otra fila (columna) multiplicada por cualquier número que no sea cero a una fila (columna) de una matriz, entonces el rango de la matriz no cambiará.
5. Si tacha una fila (columna) en la matriz, que es una combinación lineal de otras filas (columnas), entonces el rango de la matriz no cambiará.
6. El rango de una matriz es igual al número máximo de sus filas (columnas) linealmente independientes.
7. El número máximo de filas linealmente independientes es el mismo que el número máximo de columnas linealmente independientes.

Ejemplo 2 . Encontrar el rango de una matriz .
Solución. En base a la definición del rango de una matriz, buscaremos un menor de mayor orden que sea diferente de cero. Primero, transformamos la matriz a una forma más simple. Para hacer esto, multiplique la primera fila de la matriz por (-2) y súmela a la segunda, luego multiplíquela por (-1) y súmela a la tercera.