La fórmula de la derivada logarítmica. Derivada de función

La derivada del logaritmo natural de x es igual a uno dividido por x:
(1) (lnx)′ =.

La derivada del logaritmo en base a es igual a uno dividido por la variable x multiplicado por el logaritmo neperiano de a:
(2) (registro x)′ =.

Prueba

Sea algún número positivo distinto de uno. Considere una función que depende de la variable x , que es un logaritmo base:
.
Esta función se define con . Encontremos su derivada con respecto a x. Por definición, la derivada es el siguiente límite:
(3) .

Transformemos esta expresión para reducirla a propiedades y reglas matemáticas conocidas. Para ello, necesitamos conocer los siguientes datos:
A) Propiedades del logaritmo. Necesitamos las siguientes fórmulas:
(4) ;
(5) ;
(6) ;
B) Continuidad del logaritmo y propiedad de los límites para una función continua:
(7) .
Aquí, hay una función que tiene un límite y este límite es positivo.
V) El significado del segundo límite maravilloso:
(8) .

Aplicamos estos hechos a nuestro límite. Primero transformamos la expresión algebraica
.
Para ello, aplicamos las propiedades (4) y (5).

.

Usamos la propiedad (7) y el segundo límite notable (8):
.

Y finalmente, aplicar la propiedad (6):
.
logaritmo básico mi llamado logaritmo natural. Está marcado así:
.
Entonces ;
.

Así, hemos obtenido la fórmula (2) para la derivada del logaritmo.

Derivada del logaritmo natural

Una vez más, escribimos la fórmula para la derivada del logaritmo en base a:
.
Esta fórmula tiene la forma más simple para el logaritmo natural, para el cual , . Entonces
(1) .

Debido a esta simplicidad, el logaritmo natural se usa mucho en cálculo y otras áreas de las matemáticas relacionadas con el cálculo diferencial. Las funciones logarítmicas con otras bases se pueden expresar en términos del logaritmo natural usando la propiedad (6):
.

La derivada base del logaritmo se puede encontrar a partir de la fórmula (1) si la constante se quita del signo de diferenciación:
.

Otras formas de probar la derivada del logaritmo

Aquí asumimos que conocemos la fórmula para la derivada del exponente:
(9) .
Entonces podemos derivar la fórmula para la derivada del logaritmo natural, dado que el logaritmo es el inverso del exponente.

Demostremos la fórmula de la derivada del logaritmo natural, aplicando la fórmula para la derivada de la función inversa:
.
En nuestro caso . El inverso del logaritmo natural es el exponente:
.
Su derivado está determinado por la fórmula (9). Las variables se pueden denotar con cualquier letra. En la fórmula (9), reemplazamos la variable x con y:
.
Porque entonces
.
Entonces
.
La fórmula ha sido probada.

Ahora demostramos la fórmula para la derivada del logaritmo natural usando reglas para diferenciar una función compuesta. Como las funciones y son inversas entre sí, entonces
.
Derive esta ecuación con respecto a la variable x :
(10) .
La derivada de x es igual a uno:
.
Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja:
.
Aquí . Sustituye en (10):
.
De aquí
.

Ejemplo

encontrar derivadas de en 2x, en 3x y en nx.

Solución

Las funciones originales tienen una forma similar. Por lo tanto, encontraremos la derivada de la función y = registro nx. Luego sustituimos n = 2 y n = 3 . Y, así, obtenemos fórmulas para derivados de en 2x y en 3x .

Entonces, buscamos la derivada de la función
y = registro nx .
Representemos esta función como una función compleja que consta de dos funciones:
1) Funciones dependientes de variables : ;
2) Funciones dependientes de variables : .
Entonces la función original se compone de las funciones y :
.

Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable x:
.
Encontremos la derivada de la función con respecto a la variable:
.
Aplicamos la fórmula para la derivada de una función compleja.
.
Aquí hemos sustituido.

Entonces encontramos:
(11) .
Vemos que la derivada no depende de n. Este resultado es bastante natural si transformamos la función original utilizando la fórmula del logaritmo del producto:
.
- es una constante. Su derivada es cero. Entonces, según la regla de diferenciación de la suma, tenemos:
.

Respuesta

; ; .

Derivada del logaritmo módulo x

Busquemos la derivada de otra función muy importante: el logaritmo natural del módulo x:
(12) .

Consideremos el caso. Entonces la función se ve así:
.
Su derivada está determinada por la fórmula (1):
.

Ahora considere el caso. Entonces la función se ve así:
,
donde .
Pero también encontramos la derivada de esta función en el ejemplo anterior. No depende de n y es igual a
.
Entonces
.

Combinamos estos dos casos en una fórmula:
.

En consecuencia, para el logaritmo en base a, tenemos:
.

Derivadas de orden superior del logaritmo natural

Considere la función
.
Encontramos su derivada de primer orden:
(13) .

Hallemos la derivada de segundo orden:
.
Encontremos la derivada de tercer orden:
.
Encontremos la derivada de cuarto orden:
.

Se puede ver que la derivada de n-ésimo orden tiene la forma:
(14) .
Probemos esto por inducción matemática.

Prueba

Sustituyamos el valor n = 1 en la fórmula (14):
.
Como , entonces para n = 1 , la fórmula (14) es válida.

Supongamos que la fórmula (14) se cumple para n = k. Probemos que de esto se sigue que la fórmula es válida para n = k + 1 .

En efecto, para n = k tenemos:
.
Diferenciar con respecto a x :

.
Así que tenemos:
.
Esta fórmula coincide con la fórmula (14) para n = k + 1 . Así, del supuesto de que la fórmula (14) es válida para n = k, se sigue que la fórmula (14) es válida para n = k + 1 .

Por tanto, la fórmula (14), para la derivada de n-ésimo orden, es válida para cualquier n.

Derivadas de orden superior del logaritmo en base a

Para encontrar la n-ésima derivada del logaritmo base a, necesitas expresarla en términos del logaritmo natural:
.
Aplicando la fórmula (14), encontramos la n-ésima derivada:
.

¿Crees que todavía queda mucho tiempo antes del examen? ¿Es un mes? ¿Dos? ¿Año? La práctica muestra que el estudiante se adapta mejor al examen si comenzó a prepararse con anticipación. Hay muchas tareas difíciles en el Examen estatal unificado que se interponen en el camino de un estudiante y un futuro solicitante para obtener los puntajes más altos. Estos obstáculos deben aprenderse a superar, además, no es difícil hacerlo. Debe comprender el principio de trabajar con varias tareas a partir de tickets. Entonces no habrá problemas con los nuevos.

Los logaritmos a primera vista parecen increíblemente complejos, pero tras un análisis más detallado, la situación se vuelve mucho más simple. Si desea aprobar el examen con la puntuación más alta, debe comprender el concepto en cuestión, lo que le proponemos hacer en este artículo.

Primero, separemos estas definiciones. ¿Qué es un logaritmo (log)? Este es un indicador de la potencia a la que debe elevarse la base para obtener el número especificado. Si no está claro, analizaremos un ejemplo elemental.

En este caso, la base de abajo debe elevarse a la segunda potencia para obtener el número 4.

Ahora vamos a tratar con el segundo concepto. La derivada de una función en cualquier forma se llama un concepto que caracteriza el cambio en una función en un punto reducido. Sin embargo, este es un plan de estudios escolar, y si experimenta problemas con estos conceptos por separado, vale la pena repetir el tema.

Derivada del logaritmo

En las asignaciones de USE sobre este tema, se pueden citar varias tareas como ejemplo. Comencemos con la derivada logarítmica más simple. Necesitamos encontrar la derivada de la siguiente función.

Necesitamos encontrar la siguiente derivada.

Hay una fórmula especial.

En este caso x=u, log3x=v. Sustituye los valores de nuestra función en la fórmula.

La derivada de x será igual a uno. El logaritmo es un poco más difícil. Pero entenderá el principio si simplemente sustituye los valores. Recuerda que la derivada lg x es la derivada del logaritmo decimal, y la derivada ln x es la derivada del logaritmo natural (en base e).

Ahora simplemente sustituya los valores obtenidos en la fórmula. Pruébelo usted mismo, luego verifique la respuesta.

¿Cuál podría ser el problema aquí para algunos? Hemos introducido el concepto de logaritmo natural. Hablemos de eso y, al mismo tiempo, descubramos cómo resolver problemas con él. No verá nada complicado, especialmente cuando comprenda el principio de su funcionamiento. Debe acostumbrarse, ya que se usa a menudo en matemáticas (especialmente en instituciones de educación superior).

Derivada del logaritmo natural

En esencia, esta es la derivada del logaritmo en base e (este es un número irracional que equivale aproximadamente a 2,7). De hecho, ln es muy simple, por lo que se usa a menudo en las matemáticas en general. En realidad, resolver el problema con él tampoco será un problema. Vale la pena recordar que la derivada del logaritmo natural en base e será igual a uno dividido por x. La solución del siguiente ejemplo será la más indicativa.

Imagínese como una función compleja que consiste en dos simples.

suficiente para transformar

Buscamos la derivada de u con respecto a x

Su privacidad es importante para nosotros. Por esta razón, hemos desarrollado una Política de privacidad que describe cómo usamos y almacenamos su información. Lea nuestra política de privacidad y háganos saber si tiene alguna pregunta.

Recopilación y uso de información personal

La información personal se refiere a los datos que se pueden utilizar para identificar a una persona específica o contactarla.

Es posible que se le solicite que proporcione su información personal en cualquier momento cuando se comunique con nosotros.

Los siguientes son algunos ejemplos de los tipos de información personal que podemos recopilar y cómo podemos usar dicha información.

Qué información personal recopilamos:

• Cuando envía una solicitud en el sitio, podemos recopilar información diversa, incluido su nombre, número de teléfono, dirección de correo electrónico, etc.

Cómo usamos tu información personal:

• La información personal que recopilamos nos permite comunicarnos con usted e informarle sobre ofertas únicas, promociones y otros eventos y próximos eventos.
• De vez en cuando, podemos usar su información personal para enviarle avisos y comunicaciones importantes.
• También podemos utilizar la información personal para fines internos, como realizar auditorías, análisis de datos y diversas investigaciones para mejorar los servicios que brindamos y brindarle recomendaciones sobre nuestros servicios.
• Si participa en un sorteo, concurso o incentivo similar, podemos utilizar la información que proporcione para administrar dichos programas.

Divulgación a terceros

No divulgamos la información que recibimos de usted a terceros.

Excepciones:

• En caso de que sea necesario, de conformidad con la ley, orden judicial, en procedimientos judiciales y/o en base a solicitudes públicas o solicitudes de organismos estatales en el territorio de la Federación Rusa, divulgar su información personal. También podemos divulgar información sobre usted si determinamos que dicha divulgación es necesaria o apropiada por razones de seguridad, aplicación de la ley u otras razones de interés público.
• En el caso de una reorganización, fusión o venta, podemos transferir la información personal que recopilamos al tercero sucesor correspondiente.

Protección de datos personales

Tomamos precauciones, incluidas las administrativas, técnicas y físicas, para proteger su información personal de pérdida, robo y uso indebido, así como del acceso, divulgación, alteración y destrucción no autorizados.

Mantener su privacidad a nivel de empresa

Para garantizar que su información personal esté segura, comunicamos las prácticas de privacidad y seguridad a nuestros empleados y hacemos cumplir estrictamente las prácticas de privacidad.

Dejar
(1)
es una función diferenciable de x . Primero, lo consideraremos sobre el conjunto de valores de x para los cuales y toma valores positivos: . A continuación, mostraremos que todos los resultados obtenidos también son aplicables para valores negativos de .

En algunos casos, para encontrar la derivada de la función (1), es conveniente tomar preliminarmente el logaritmo
,
y luego calcular la derivada. Entonces, de acuerdo con la regla de diferenciación de una función compleja,
.
De aquí
(2) .

La derivada del logaritmo de una función se llama derivada logarítmica:
.

La derivada logarítmica de la función y = f(x) es la derivada del logaritmo natural de esta función: (log f(x))′.

El caso de valores negativos de y

Ahora considere el caso cuando la variable puede tomar valores tanto positivos como negativos. En este caso, tome el logaritmo del módulo y encuentre su derivada:
.
De aquí
(3) .
Es decir, en el caso general, necesitas encontrar la derivada del logaritmo del módulo de la función.

Comparando (2) y (3) tenemos:
.
Es decir, el resultado formal de calcular la derivada logarítmica no depende de si tomamos módulo o no. Por lo tanto, al calcular la derivada logarítmica, no tenemos que preocuparnos por qué signo tiene la función.

Esta situación se puede aclarar con la ayuda de números complejos. Sea, para algunos valores de x, negativos: . Si consideramos solo números reales, entonces la función no está definida. Sin embargo, si introducimos los números complejos en consideración, obtenemos lo siguiente:
.
Es decir, las funciones y se diferencian por una constante compleja:
.
Como la derivada de una constante es cero, entonces
.

Propiedad de la derivada logarítmica

De tal consideración se sigue que la derivada logarítmica no cambia si la función se multiplica por una constante arbitraria :
.
En efecto, aplicando propiedades del logaritmo, fórmulas suma derivada y derivada de una constante, tenemos:

.

Aplicación de la derivada logarítmica

Es conveniente utilizar la derivada logarítmica en los casos en que la función original consiste en un producto de potencias o funciones exponenciales. En este caso, la operación logarítmica convierte el producto de funciones en su suma. Esto simplifica el cálculo de la derivada.

Ejemplo 1

Encuentra la derivada de una función:
.

Solución

Tomamos el logaritmo de la función original:
.

Diferenciar con respecto a x .
En la tabla de derivadas encontramos:
.
Aplicamos la regla de diferenciación de una función compleja.
;
;
;
;
(P1.1) .
Multipliquemos por:

.

Entonces, encontramos la derivada logarítmica:
.
A partir de aquí encontramos la derivada de la función original:
.

Nota

Si queremos usar solo números reales, entonces debemos tomar el logaritmo del módulo de la función original:
.
Entonces
;
.
Y obtuvimos la fórmula (A1.1). Por lo tanto, el resultado no ha cambiado.

Respuesta

Ejemplo 2

Usando la derivada logarítmica, encuentre la derivada de una función
.

Solución

Logaritmo:
(P2.1) .
Diferenciar con respecto a x :
;
;

;
;
;
.

Multipliquemos por:
.
De aquí obtenemos la derivada logarítmica:
.

Derivada de la función original:
.

Nota

Aquí la función original es no negativa: . Se define en . Si no asumimos que el logaritmo se puede determinar para valores negativos del argumento, entonces la fórmula (A2.1) debe escribirse de la siguiente manera:
.
En la medida en

y
,
no afectará el resultado final.

Respuesta

Ejemplo 3

Encuentra la derivada
.

Solución

La diferenciación se realiza utilizando la derivada logarítmica. Logaritmo, dado que:
(P3.1) .

Al diferenciar, obtenemos la derivada logarítmica.
;
;
;
(P3.2) .

Porque entonces

.

Nota

Hagamos los cálculos sin asumir que el logaritmo se puede definir para valores negativos del argumento. Para hacer esto, tome el logaritmo del módulo de la función original:
.
Entonces en lugar de (A3.1) tenemos:
;

.
Comparando con (A3.2) vemos que el resultado no ha cambiado.