La característica que se muestra en la Figura 1.5 b es un relé de tres posiciones en el que una posición adicional se debe a insensibilidad. La ecuación de tal característica.

La característica que se muestra en la Figura 1.5c es un relé de dos posiciones con histéresis. También se le llama "relé con memoria". "Recuerda" su estado anterior y dentro de x en< a сохраняет это своё значение. Уравне-

tal característica

La característica que se muestra en la figura 1.5d es un relé de tres posiciones con histéresis, en el que una posición adicional se debe a la zona muerta. La ecuación de tal característica.

Se puede ver en las ecuaciones anteriores que, en ausencia de un bucle de histéresis, la acción de salida del relé depende únicamente del valor x in o x out = f (x in).

En presencia de un bucle de histéresis, el valor de x out también depende de la derivada con respecto a x in o x out = f (x in, x & in ) , donde x & in caracteriza la presencia de una "memoria" en el relevo.

1.4 Análisis de métodos para estudiar sistemas no lineales.

Para resolver los problemas de análisis y síntesis de un sistema no lineal, en primer lugar es necesario construir su modelo matemático, que caracteriza la conexión de las señales de salida del sistema con las señales que reflejan los efectos aplicados al sistema. Como resultado, obtenemos una ecuación diferencial no lineal de alto orden, a veces con varias relaciones lógicas. La tecnología informática moderna permite resolver cualquier ecuación no lineal, y será necesario resolver una cantidad increíblemente grande de estas ecuaciones diferenciales no lineales. Entonces elige el mejor. Pero al mismo tiempo no se puede estar seguro de que la solución elegida sea realmente óptima y no se sabe cómo mejorarla. Por tanto, uno de los problemas de la teoría del control es el siguiente.

Creación de métodos de diseño de sistemas de control que permitan determinar la mejor estructura y relaciones óptimas de los parámetros del sistema.

Para realizar esta tarea es necesario métodos de cálculo que

permiten de una forma bastante simple determinar las relaciones matemáticas de los parámetros de un sistema no lineal con los indicadores dinámicos del proceso de control.

leniya. Y al mismo tiempo sin encontrar solución a una ecuación diferencial no lineal. Para resolver el problema, las características no lineales de los elementos reales del sistema se reemplazan por algunas características aproximadas idealizadas. El cálculo de sistemas no lineales según tales características da resultados aproximados, pero lo principal es que las dependencias obtenidas nos permiten relacionar la estructura y parámetros del sistema con sus propiedades dinámicas.

En los casos más simples, y principalmente para un sistema no lineal de segundo orden, se utiliza método de trayectoria de fase, que le permite mostrar visualmente la dinámica del movimiento de un sistema no lineal para varios tipos de enlace no lineal, teniendo en cuenta las condiciones iniciales. Sin embargo, con este método es difícil tener en cuenta diversas influencias externas.

Para un sistema de orden superior, utilice método de linealización armónica. Con la linealización convencional, una característica no lineal se trata como lineal y pierde algunas de sus propiedades. Con la linealización armónica, se conservan las propiedades específicas del enlace no lineal. Pero este método es aproximado. Se utiliza cuando se cumplen una serie de condiciones, que se mostrarán al calcular un sistema no lineal utilizando este método. Una propiedad importante de este método es que vincula directamente los parámetros del sistema con los indicadores dinámicos del proceso de regulación.

Para determinar el error estadístico de regulación bajo influencias aleatorias, utilizamos método de linealización estadística. La esencia de este método es que el elemento no lineal se reemplaza por un elemento lineal equivalente, que transforma los dos primeros momentos estadísticos de la función aleatoria de la misma manera que el elemento no lineal: la expectativa matemática (valor medio) y la varianza (o desviación estándar). Existen otros métodos para analizar sistemas no lineales. Por ejemplo, método de parámetro pequeño en forma B.V. Bulgákov. Método asintótico de N.M. Krylov y N.N. bogolyubov analizar el proceso en el tiempo cerca de la solución periódica. Analítico de gráficos El método permite reducir un problema no lineal a uno lineal. Método de equilibrio armónico que utilizó L.S. Goldfarb para el análisis de la estabilidad de sistemas no lineales mediante el criterio de Nyquist. Métodos gráficos, entre los cuales el D.A. Bashkirov. De la variedad de métodos de investigación en este tutorial se considerarán: el método de trayectorias de fase, el método de transformaciones puntuales, el método de linealización armónica E.P. Popov, método analítico de gráficos L.S. Goldfarb, el criterio de estabilidad absoluta de V.M. Popova, método de linealización estadística.

Un sistema se considera no lineal si su orden >2 (n>2).

El estudio de sistemas lineales de orden superior está asociado a la superación de importantes dificultades matemáticas, ya que no existen métodos generales para resolver ecuaciones no lineales. Al analizar el movimiento de sistemas no lineales se utilizan métodos de integración numérica y gráfica, que permiten obtener una sola solución particular.

Los métodos de investigación se dividen en dos grupos. El primer grupo son los métodos basados ​​en encontrar soluciones exactas a ecuaciones diferenciales no lineales. El segundo grupo son los métodos aproximados.

El desarrollo de métodos exactos es importante tanto desde el punto de vista de la obtención de resultados directos como para el estudio de diversos regímenes especiales y formas de procesos dinámicos de sistemas no lineales que no pueden identificarse ni analizarse mediante métodos aproximados. Los métodos exactos son:

1. Método directo de Lyapunov

2. Métodos del plano de fase.

3. Método de ajuste

4. Método de transformaciones puntuales.

5. Método de secciones del espacio de parámetros.

6. Método de frecuencia para determinar la estabilidad absoluta.

Para resolver muchos problemas teóricos y prácticos, se utiliza tecnología de computación discreta y analógica, lo que permite utilizar métodos de modelado matemático en combinación con modelado seminatural y a escala real. En este caso, la tecnología informática se une a los elementos reales de los sistemas de control, con todas sus no linealidades inherentes.

Los métodos aproximados incluyen métodos analíticos y grafoanalíticos que permiten reemplazar un sistema no lineal por un modelo lineal equivalente, seguido del uso de métodos de la teoría lineal de sistemas dinámicos para su estudio.

Hay dos grupos de métodos aproximados.

El primer grupo se basa en el supuesto de que el sistema no lineal en estudio es similar en sus propiedades a uno lineal. Estos son métodos de un pequeño parámetro, cuando el movimiento del sistema se describe utilizando series de potencias con respecto a algún pequeño parámetro que está presente en las ecuaciones del sistema, o que se introduce artificialmente en estas ecuaciones.

El segundo grupo de métodos tiene como objetivo estudiar las oscilaciones periódicas naturales del sistema. Se basa en el supuesto de que las oscilaciones deseadas del sistema son cercanas a las armónicas. Estos son métodos de equilibrio armónico o linealización armónica. Cuando se utilizan, se realiza una sustitución condicional de un elemento no lineal, que se encuentra bajo la acción de una señal de entrada armónica, por elementos lineales equivalentes. La fundamentación analítica de la linealización armónica se basa en el principio de igualdad de las variables de salida de frecuencia, amplitud y fase, el elemento lineal equivalente y el primer armónico de la variable de salida de un elemento real no lineal.

El mayor efecto se obtiene mediante una combinación razonable de métodos aproximados y exactos.

Existen métodos exactos y aproximados para estudiar sistemas no lineales, entre los métodos exactos se encuentran los métodos de trayectorias de fase, transformaciones puntuales, el método de frecuencia de Popov, el método de secciones del espacio de parámetros, el método de ajuste, y los métodos aproximados incluyen el método de linealización armónica.

Fundamentos del método de trayectoria de fase.

El método de trayectorias de fase radica en el hecho de que el comportamiento del sistema no lineal estudiado se considera y describe no en el dominio del tiempo (en forma de ecuaciones de procesos en el sistema), sino en el espacio de fase del sistema (en el forma de trayectorias de fase).

El estado de un sistema de control automático no lineal se caracteriza utilizando las coordenadas de fase del sistema.

definir el vector de estado del sistema en el espacio de fase del sistema

Y (y1, y2, y3,...yn).

Al introducir las coordenadas de fase en consideración, una ecuación diferencial no lineal de orden n para un proceso libre en un sistema no lineal

se convierte a un sistema de n ecuaciones diferenciales de primer orden

Durante el proceso en el sistema, las coordenadas de fase yi cambian y el vector de estado del sistema Y describe la hodógrafa en el espacio de fase n-dimensional del sistema (Fig. 56). La hodógrafa del vector de estado (trayectoria de movimiento del punto representativo M correspondiente al final del vector) es la trayectoria de fase del sistema. La forma de la trayectoria de la fase está únicamente relacionada con la naturaleza del proceso en el sistema. Por tanto, las propiedades de un sistema no lineal pueden juzgarse a partir de sus trayectorias de fase.

La ecuación de la trayectoria de fase se puede obtener a partir del sistema anterior de ecuaciones de primer orden que relacionan las coordenadas de fase y tienen en cuenta las propiedades del sistema eliminando el tiempo. La trayectoria de fase no muestra el tiempo de los procesos en el sistema.

La relación entre la trayectoria de fase y(x) y el proceso x(t) se ilustra en la Fig. 57. La trayectoria de fase se construye en las coordenadas de fase 0XY, donde x es el valor de salida del sistema, y ​​es la tasa de cambio del valor de salida (la primera derivada de x’). El proceso transitorio x(t) se traza en coordenadas x–t (el valor de salida es el tiempo).

Método de transformaciones puntuales de superficies. le permite determinar todo tipo de movimiento (oscilaciones libres) de sistemas dinámicos no lineales después de cualquier desviación inicial. El método ha sido desarrollado para el análisis y síntesis de movimientos de sistemas descritos por ecuaciones diferenciales de bajo orden (segundo, tercero), así como para un sistema controlado por relé teniendo en cuenta el retardo.

La sustitución se realiza en secciones, para cada una de las cuales la parte no lineal de la característica está representada por un segmento lineal. Esto permite obtener una ecuación diferencial lineal integrable que refleja aproximadamente el proceso dentro de una sección determinada. Para un sistema descrito por una ecuación diferencial de segundo orden, el curso del cálculo se puede mostrar en el plano de fase, a lo largo de cuyos ejes se trazan la variable investigada l y su derivada temporal y. La solución del problema dinámico se reduce al estudio de la transformación puntual del semieje de coordenadas en sí mismo.

Fig.10.7. Método de transformación de puntos

método de frecuencia El científico rumano V.M. Popov, propuesto en 1960, resuelve el problema de la estabilidad absoluta de un sistema con una no linealidad de un solo valor, dada por el valor límite del coeficiente de transferencia k de un elemento no lineal. Si solo hay una no linealidad de valor único z=f(x) en el sistema de control, entonces al combinar todos los demás enlaces del sistema en una parte lineal, se puede obtener su función de transferencia Wlch(p), es decir obtenga el esquema de diseño Fig.7.1.
No hay restricciones en el orden de la parte lineal, es decir la parte lineal puede ser cualquiera. El contorno de la no linealidad puede ser desconocido, pero necesariamente debe ser inequívoco. Solo es necesario saber dentro de qué ángulo arctg k (Fig. 7.2) se encuentra, donde k es el coeficiente de transferencia límite (máximo) del elemento no lineal.

Fig.7.2. Característica de un elemento no lineal.

La interpretación gráfica del criterio de V.M.Popov está relacionada con la construcción de un a.f.ch. respuesta en frecuencia modificada de la parte lineal del sistema W*(jω), que se define de la siguiente manera:
W*(jω) = Re WLP(jω) + Im WLP(jω),
donde Re WLP(jω) e Im WLP(jω) son las partes real e imaginaria del sistema lineal, respectivamente.
El criterio de Popov se puede representar en forma algebraica o frecuencial, así como para los casos de parte lineal estable e inestable. La forma de frecuencia se usa más comúnmente.
La formulación del criterio de V.M. Popov en el caso de una parte lineal estable: para establecer la estabilidad absoluta de un sistema no lineal, basta con elegir dicha recta en el plano complejo W*(jω) que pasa por el punto (, j0) de modo que toda la curva W*(jω) se encuentra a la derecha de esta línea. Las condiciones para el cumplimiento del teorema se muestran en la fig. 7.3.

Arroz. 7.3. Interpretación gráfica de V.M. Popov para un sistema no lineal absolutamente estable

En la fig. 7.3 muestra el caso de estabilidad absoluta de un sistema no lineal para cualquier forma de no linealidad de un solo valor. Así, para determinar la estabilidad absoluta de un sistema no lineal utilizando el método de V.M. Popov, es necesario construir una respuesta de frecuencia modificada de la parte lineal del sistema W * (jω), determinar el valor límite del coeficiente de transferencia k de un elemento no lineal a partir de la condición y trazar una línea recta a través del punto (- ) en el eje real del plano complejo de modo que la característica W * (jω) se encuentre a la derecha de esta línea. Si no se puede trazar una línea tan recta, significa que la estabilidad absoluta de este sistema es imposible. Es posible que se desconozca el contorno de la no linealidad. Es aconsejable aplicar el criterio en los casos en que la no linealidad pueda cambiar durante el funcionamiento del ACS o se desconozca su descripción matemática.

Método de ajuste ha encontrado su aplicación en la construcción de retratos de fase de sistemas no lineales, que pueden representarse como partes lineales y no lineales (figura 11.10), además, la parte lineal es un sistema de segundo orden y la parte no lineal se caracteriza por una parte por partes. característica estática lineal.

parte lineal

parte no lineal

Arroz. 11.10 Diagrama estructural de un sistema no lineal.

Según este método, la trayectoria de fase se construye en partes, cada una de las cuales corresponde a una sección lineal de la característica estática. En la sección considerada, el sistema es lineal y su solución se puede encontrar integrando directamente la ecuación para la trayectoria de fase de esta sección. La integración de la ecuación al construir la trayectoria de fase se realiza hasta que esta última alcanza el límite de la siguiente sección. Los valores de las coordenadas de fase al final de cada sección de la trayectoria de fase son las condiciones iniciales para resolver la ecuación de la siguiente sección. En este caso, se dice que las condiciones iniciales están ajustadas, es decir el final del tramo anterior de la trayectoria de la fase es el comienzo de la siguiente. El límite entre las secciones se llama línea de conmutación.

Así, la construcción de un retrato de fase mediante el método de ajuste se realiza en la siguiente secuencia:

se eligen o establecen las condiciones iniciales;

el sistema de ecuaciones lineales se integra para ese tramo lineal, sobre el cual recayeron las condiciones iniciales, hasta el momento de alcanzar el límite del siguiente tramo;

Se ajustan las condiciones iniciales.

Método de linealización armónica

No existen métodos universales para estudiar sistemas no lineales: la variedad de no linealidades es demasiado grande. Sin embargo, para ciertos tipos de sistemas no lineales, se han desarrollado métodos eficaces de análisis y síntesis.

• El método de linealización armónica está diseñado para representar la parte no lineal del sistema mediante alguna función de transferencia equivalente, si las señales en el sistema pueden considerarse armónicas.

• Este método se puede utilizar eficazmente para estudiar las oscilaciones periódicas en sistemas automáticos, incluidas las condiciones para la ausencia de estas oscilaciones como dañinas.

La característica del método de linealización armónica es la consideración uno solo elemento no lineal. nordeste Puede ser dividido a estático Y dinámica. NE dinámico se describen mediante ecuaciones diferenciales no lineales y son mucho más complejas. NE estático se describen mediante la función F(x).

Estrictamente hablando, los sistemas lineales no existen en la naturaleza; todos los sistemas reales son no lineales. Varios sensores, detectores, discriminadores, amplificadores, convertidores analógico-digital y digital-analógico, dispositivos de control y actuadores tienen características no lineales.

No existe una teoría general para el análisis de sistemas no lineales. Los científicos han desarrollado diversos métodos para el análisis de sistemas no lineales, que permiten resolver problemas de análisis bajo determinadas condiciones y restricciones.

Caractericemos los métodos más comunes para analizar sistemas no lineales.

Método del plano de fases. Este método también se denomina método de retratos de fase o espacios de fase. Este método permite utilizar visualmente construcciones gráficas para analizar el comportamiento de sistemas no lineales descritos por ecuaciones diferenciales no lineales no superiores al segundo (tercer) orden.

Método de aproximación lineal por partes. Este método utiliza una aproximación lineal por partes de la característica de un elemento no lineal, el sistema se analiza como lineal para varios valores de señal y luego se "cosen" los resultados del análisis. El método se caracteriza por una alta complejidad de análisis y una baja precisión de los resultados, especialmente en los puntos de "reticulación".

Método de linealización armónica. Este método se utiliza en los casos en los que se incluye un filtro de paso bajo lineal después del elemento no lineal y el efecto de entrada es armónico.

Método de linealización estadística. Este método se utiliza en los casos en que un proceso aleatorio estacionario actúa como señal de entrada. En este método, un elemento no lineal real se reemplaza por un elemento lineal, en cuya salida la expectativa matemática y la varianza del proceso son las mismas que en la salida de un elemento no lineal real. Los métodos para determinar los parámetros de un elemento lineal equivalente pueden ser diferentes.

Método de procesos de Markov. Este método se utiliza para señales de entrada aleatorias no estacionarias, pero solo se puede encontrar una solución analítica para sistemas que no sean superiores al segundo orden.

Método de simulación por ordenador. Este método pretende ser universal, no tiene restricciones fundamentales sobre la naturaleza de la no linealidad y el orden del sistema. Actualmente, este es el método más común para analizar sistemas no lineales, el único inconveniente del método es la ausencia de resultados analíticos del análisis (en forma de fórmulas).

• Método de linealización armónica en el diseño de sistemas de control automático no lineales.[Djv-10.7M] Editado por Yu.I. Topcheeva. El equipo de autores.
  (Moscú: Editorial Mashinostroenie, 1970. - Serie "Sistemas de control automático no lineales")
  Escaneo: AAW, procesamiento, formato Djv: Ilya Sytnikov, 2014
• RESUMEN:
  Prefacio (5).
  Capítulo I. Fundamentos teóricos del método de linealización armónica (EP Popov) (13).
  Capitulo dos. Una nueva forma de linealización armónica para sistemas de control con características de histéresis no lineales (E.I. Khlypalo) (58).
  Capítulo III. Método de linealización armónica basado en la estimación de la sensibilidad de la solución periódica a armónicos superiores y parámetros pequeños (A.A. Vavilov) (88).
  Capítulo IV. Determinación de las características de amplitud y frecuencia de fase de sistemas no lineales (Yu.I. Topcheev) (117).
  Capítulo V. Métodos de frecuencia aproximada para analizar la calidad de los sistemas de control no lineales (Yu.I. Topcheev) (171).
  Capítulo VI. Aumento de la precisión del método de linealización armónica (VV Pavlov) (186).
  Capítulo VII. Aplicación del método de linealización armónica a sistemas de control discretos no lineales (S.M. Fedorov) (219).
  Capítulo VIII. Aplicación del método asintótico de N.M. Krylov y N.N. Bogolyubov en el análisis de sistemas de control no lineales (A.D. Maksimov) (236).
  Capítulo IX. Aplicación de la linealización armónica a sistemas de control autoajustables no lineales (Yu.M. Kozlov, S.I. Markov) (276).
  Capítulo X. Aplicación del método de linealización armónica a sistemas automáticos no lineales con autómatas finitos (M.V. Starikova) (306).
  Capítulo XI. Un método aproximado para estudiar procesos oscilatorios y modos de deslizamiento en sistemas automáticos con estructura variable (M.V. Starikova) (390).
  Capítulo XII. Estudio aproximado de un sistema de control por relé de impulsos (M.V. Starikova) (419).
  Capítulo XIII. Determinación de procesos oscilatorios en sistemas complejos no lineales con diferentes desviaciones iniciales (M.V. Starikova) (419).
  Capítulo XIV. Aplicación del método de linealización armónica a sistemas con no linealidades periódicas (LI Semenko) (444).
  Capítulo XV. Aplicación del método de linealización armónica a sistemas con dos no linealidades (VM Khlyamov) (467).
  Capítulo XVI. Características amplitud-fase de mecanismos de relé con motores de CC y CA, obtenidas mediante el método de linealización armónica (VV Tsvetkov) (485).
  Aplicaciones (518).
  Literatura (550).
  Índice alfabético (565).

Nota del editor: Este libro es parte de una serie de monografías sobre sistemas de control automático no lineales.
Se describe sistemáticamente, con suficiente detalle, la teoría de los sistemas de control automático no lineales, basados ​​en el método de linealización armónica. Se presta especial atención a los fundamentos teóricos del método de linealización armónica y sus aplicaciones prácticas a sistemas continuos, discretos y autoajustables, así como a sistemas con autómatas finitos y una estructura sintonizable. Se consideran métodos para aumentar la precisión del método de linealización armónica teniendo en cuenta la influencia de armónicos superiores. Los métodos propuestos se ilustran con numerosos ejemplos.
El libro está dirigido a científicos, ingenieros, profesores y estudiantes de posgrado de instituciones de educación superior que se ocupan de cuestiones de control automático.