Teorema de Pitágoras qué sujeto. Teorema de Pitágoras: el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los catetos al cuadrado

Cuando empezaste a aprender raíces cuadradas y cómo resolver ecuaciones irracionales (ecuaciones que contienen una incógnita bajo el signo de la raíz), probablemente tuviste tu primera idea de su uso práctico. La capacidad de extraer la raíz cuadrada de números también es necesaria para resolver problemas sobre la aplicación del teorema de Pitágoras. Este teorema conecta las longitudes de los lados de cualquier triángulo rectángulo.

Sean las longitudes de los catetos de un triángulo rectángulo (aquellos dos lados que convergen en ángulos rectos) con las letras y, y la longitud de la hipotenusa (el lado más largo del triángulo opuesto al ángulo recto) con una carta. Entonces las longitudes correspondientes están relacionadas por la siguiente relación:

Esta ecuación te permite encontrar la longitud del lado de un triángulo rectángulo en el caso de que se conozca la longitud de sus otros dos lados. Además, te permite determinar si el triángulo en cuestión es rectángulo, siempre que se conozcan de antemano las longitudes de los tres lados.

Resolver problemas usando el teorema de Pitágoras

Para consolidar el material, resolveremos los siguientes problemas sobre la aplicación del teorema de Pitágoras.

Entonces, dado:

La longitud de uno de los catetos es 48, la hipotenusa es 80.
La longitud del cateto es 84, la hipotenusa es 91.

Empecemos a resolver:

a) La sustitución de datos en la ecuación anterior da los siguientes resultados:

48 2 + B 2 = 80 2

2304 + B 2 = 6400

B 2 = 4096

B= 64 o B = -64

Dado que la longitud del lado de un triángulo no se puede expresar como un número negativo, la segunda opción se descarta automáticamente.

Respuesta a la primera cifra: B = 64.

b) La longitud del cateto del segundo triángulo se encuentra de la misma manera:

84 2 + B 2 = 91 2

7056 + B 2 = 8281

B 2 = 1225

B= 35 o B = -35

Como en el caso anterior, se descarta la decisión negativa.

Respuesta a la segunda figura: B = 35

Se nos da:

Las longitudes de los lados menores del triángulo son 45 y 55, respectivamente, y los mayores son 75.
Las longitudes de los lados menores del triángulo son 28 y 45, respectivamente, y los mayores son 53.

Resolvemos el problema:

a) Hay que comprobar si la suma de los cuadrados de las longitudes de los lados menores del triángulo dado es igual al cuadrado de la longitud del mayor:

45 2 + 55 2 = 2025 + 3025 = 5050

Por lo tanto, el primer triángulo no es rectángulo.

b) Se realiza la misma operación:

28 2 + 45 2 = 784 + 2025 = 2809

Por lo tanto, el segundo triángulo es rectángulo.

Primero, encuentra la longitud del segmento más grande formado por los puntos con coordenadas (-2, -3) y (5, -2). Para ello, utilizamos la conocida fórmula para hallar la distancia entre puntos en un sistema de coordenadas rectangulares:

De manera similar, encontramos la longitud del segmento encerrado entre los puntos con coordenadas (-2, -3) y (2, 1):

Finalmente, determinamos la longitud del segmento entre los puntos con coordenadas (2, 1) y (5, -2):

Como se cumple la igualdad:

entonces el triángulo correspondiente es rectángulo.

Así, podemos formular la respuesta al problema: como la suma de los cuadrados de los lados de menor longitud es igual al cuadrado del lado de mayor longitud, los puntos son los vértices de un triángulo rectángulo.

La base (ubicada estrictamente horizontalmente), la jamba (ubicada estrictamente verticalmente) y el cable (extendido en diagonal) forman un triángulo rectángulo, respectivamente, el teorema de Pitágoras se puede usar para encontrar la longitud del cable:

Así, la longitud del cable será de aproximadamente 3,6 metros.

Dado: la distancia del punto R al punto P (cateto del triángulo) es 24, del punto R al punto Q (hipotenusa) - 26.

Entonces, ayudamos a Vitya a resolver el problema. Dado que se supone que los lados del triángulo que se muestra en la figura forman un triángulo rectángulo, se puede usar el teorema de Pitágoras para encontrar la longitud del tercer lado:

Entonces, el ancho del estanque es de 10 metros.

sergey valerievich

Pitágoras es un científico griego que vivió hace unos 2500 años (564-473 a. C.).

Sea un triángulo rectángulo cuyos lados a, B y Con(figura 267).

Construyamos cuadrados en sus lados. Las áreas de estos cuadrados son respectivamente iguales. a 2 , B 2 y Con 2. Probemos que Con 2 = un 2 + segundo 2 .

Construyamos dos cuadrados MKOR y M'K'O'R' (Fig. 268, 269), tomando como lado de cada uno de ellos un segmento igual a la suma de los catetos de un triángulo rectángulo ABC.

Habiendo completado las construcciones mostradas en las Figuras 268 y 269 en estos cuadrados, veremos que el cuadrado ICOR fue dividido en dos cuadrados con áreas a 2 y B 2 y cuatro triángulos rectángulos iguales, cada uno de los cuales es igual al triángulo rectángulo ABC. El cuadrado M'K'O'R 'se dividió en un cuadrilátero (está sombreado en la Figura 269) y cuatro triángulos rectángulos, cada uno de los cuales también es igual al triángulo ABC. El cuadrilátero sombreado es un cuadrado, ya que sus lados son iguales (cada uno es igual a la hipotenusa del triángulo ABC, es decir, Con), y los ángulos son rectas ∠1 + ∠2 = 90 °, de donde ∠3 = 90 °).

Así, la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre las patas (en la Figura 268 estos cuadrados están sombreados) es igual al área del cuadrado ICOR sin la suma de las áreas de cuatro triángulos iguales, y el área de el cuadrado construido sobre la hipotenusa (en la Figura 269 este cuadrado también está sombreado) es igual al área del cuadrado M'K'O'R', igual al cuadrado de la ICOR, sin la suma de las áreas de cuatro de los mismos triángulos. Por tanto, el área de un cuadrado construido sobre la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos.

Obtenemos la fórmula Con 2 = un 2 + segundo 2, donde Con- hipotenusa, a y B- catetos de un triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras se formula brevemente de la siguiente manera:

El cuadrado de la hipotenusa de un triángulo rectángulo es igual a la suma de los cuadrados de los catetos.

De la fórmula Con 2 = un 2 + segundo 2 puedes obtener las siguientes fórmulas:

a 2 = Con 2 - B 2 ;

b 2 = Con 2 - a 2 .

Estas fórmulas se pueden usar para encontrar el lado desconocido de un triángulo rectángulo a partir de dos lados dados.

Por ejemplo:

a) si se dan piernas a= 4 centímetros, B= 3 cm, entonces puedes encontrar la hipotenusa ( Con):

Con 2 = un 2 + segundo 2, es decir Con 2 = 4 2 + 3 2; con 2 = 25, de donde Con= √25 = 5 (cm);

b) si se da la hipotenusa Con= 17 cm y pierna a= 8 cm, entonces puedes encontrar otra pata ( B):

B 2 = Con 2 - a 2, es decir B 2 = 17 2 - 8 2 ; B 2 = 225, de donde B= √225 = 15 (cm).

Corolario: Si en dos triángulos rectángulos ABC y A 1 B 1 C 1 hipotenusa Con y Con 1 son iguales, y la pierna B triángulo ABC más cateto B 1 triángulo A 1 B 1 C 1,

entonces pierna a triángulo ABC menos cateto a 1 triángulo A 1 B 1 C 1.

De hecho, basándonos en el teorema de Pitágoras, obtenemos:

a 2 = Con 2 - B 2 ,

a 1 2 = Con 1 2 - B 1 2

En las fórmulas escritas, las restas son iguales, y lo restado en la primera fórmula es mayor que lo restado en la segunda fórmula, por lo tanto, la primera diferencia es menor que la segunda,

es decir. a 2 a 1 2. Donde a un 1

Historia

Chu-pei 500-200 a.C. Inscripción izquierda: la suma de los cuadrados de las longitudes de la altura y la base es el cuadrado de la longitud de la hipotenusa.

En el antiguo libro chino Chu-pei ( inglés) (chino 周髀算經) hace referencia a un triángulo pitagórico de lados 3, 4 y 5. En el mismo libro se propone un dibujo que coincide con uno de los dibujos de la geometría hindú de Bashara.

Alrededor del 400 a. e., según Proclus, Platón dio un método para encontrar trillizos pitagóricos, combinando álgebra y geometría. Alrededor del 300 a. mi. la prueba axiomática más antigua del teorema de Pitágoras apareció en los "Elementos" de Euclides.

La redacción

Formulación geométrica:

Inicialmente, el teorema se formuló de la siguiente manera:

Formulación algebraica:

Es decir, denotando la longitud de la hipotenusa del triángulo por, y las longitudes de los catetos por y:

Ambos enunciados del teorema son equivalentes, pero el segundo enunciado es más elemental, no requiere el concepto de área. Es decir, la segunda afirmación se puede comprobar sin saber nada del área y midiendo únicamente las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo.

El teorema de Pitágoras inverso:

Para todo triple de números positivos, y, tal que, existe un triángulo rectángulo con catetos y una hipotenusa.

Prueba

Hasta el momento, se han registrado 367 demostraciones de este teorema en la literatura científica. Probablemente el teorema de Pitágoras es el único teorema con un número tan impresionante de demostraciones. Esta variedad sólo puede explicarse por el significado fundamental del teorema de la geometría.

Por supuesto, conceptualmente todos ellos se pueden dividir en un pequeño número de clases. El más famoso de ellos: pruebas por el método del área, pruebas axiomáticas y exóticas (por ejemplo, usando ecuaciones diferenciales).

A través de triángulos semejantes

La siguiente demostración de la formulación algebraica es la más simple de las demostraciones construidas directamente a partir de los axiomas. En particular, no utiliza el concepto de área de una figura.

Dejar A B C hay un triangulo rectangulo con un angulo recto C... Dibujemos la altura desde C y denote su base por H... Triángulo CCA como un triangulo A B C en dos esquinas. Del mismo modo, el triángulo CBH es similar A B C... Introducción a la notación

obtenemos

cual es el equivalente

Sumando, obtenemos

, que se requiere para probar

Prueba de áreas

Las siguientes demostraciones, a pesar de su aparente sencillez, no son tan sencillas. Todos ellos utilizan las propiedades del área, cuya demostración es más difícil que la demostración del propio teorema de Pitágoras.

Prueba de complementariedad igual

Coloque cuatro triángulos rectángulos iguales como se muestra en la Figura 1.
Cuadrilátero con lados C es un cuadrado, ya que la suma de dos ángulos agudos es 90°, y el ángulo desplegado es 180°.
El área de toda la figura es, por un lado, el área de un cuadrado de lados (a+b), y por otro lado, la suma de las áreas de cuatro triángulos y el área de la plaza interior.

QED

prueba de Euclides

La idea detrás de la prueba de Euclides es la siguiente: intentemos demostrar que la mitad del área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es igual a la suma de las mitades de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos, y luego las áreas de los cuadrados grandes y dos pequeños son iguales.

Considere el dibujo de la izquierda. En él, construimos cuadrados en los lados de un triángulo rectángulo y dibujamos un rayo s desde el vértice del ángulo recto C perpendicular a la hipotenusa AB, corta el cuadrado ABIK, construido sobre la hipotenusa, en dos rectángulos - BHJI y HAKJ, respectivamente. Resulta que las áreas de estos rectángulos son exactamente iguales a las áreas de los cuadrados construidos sobre las patas correspondientes.

Intentemos demostrar que el área del cuadrado DECA es igual al área del rectángulo AHJK Para esto usamos una observación auxiliar: El área de un triángulo con la misma altura y base que este rectángulo es igual a la mitad del área del rectángulo dado. Esto es consecuencia de la definición del área de un triángulo como la mitad del producto de la base por la altura. De esta observación se deduce que el área del triángulo ACK es igual al área del triángulo AHK (no mostrado en la figura), que, a su vez, es igual a la mitad del área del rectángulo AHJK .

Probemos ahora que el área del triángulo ACK también es igual a la mitad del área del cuadrado DECA. Lo único que se debe hacer para esto es probar la igualdad de los triángulos ACK y BDA (ya que el área del triángulo BDA es igual a la mitad del área del cuadrado según la propiedad anterior). La igualdad es obvia: los triángulos son iguales en dos lados y en el ángulo entre ellos. Es decir, AB = AK, AD = AC, la igualdad de los ángulos CAK y BAD es fácil de demostrar por el método del movimiento: giramos el triángulo CAK 90 ° en sentido antihorario, entonces es obvio que los lados correspondientes de los dos triángulos debajo la consideración coincidirá (ya que el ángulo en el vértice del cuadrado es de 90°).

El razonamiento sobre la igualdad de las áreas del cuadrado BCFG y el rectángulo BHJI es completamente análogo.

Así, hemos probado que el área del cuadrado construido sobre la hipotenusa es la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre los catetos. La idea detrás de esta prueba se ilustra aún más con la animación anterior.

Prueba de Leonardo da Vinci

Los elementos principales de la demostración son la simetría y el movimiento.

Considere el dibujo, como se puede ver en la simetría, el segmento corta el cuadrado en dos partes idénticas (ya que los triángulos y son iguales en construcción).

Al girar 90 grados en sentido antihorario alrededor de un punto, vemos que las figuras sombreadas y son iguales.

Ahora está claro que el área de la figura sombreada es igual a la suma de las mitades de las áreas de los cuadrados pequeños (construidos sobre las piernas) y el área del triángulo original. Por otro lado, es igual a la mitad del área del cuadrado grande (construido sobre la hipotenusa) más el área del triángulo original. Así, la mitad de la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual a la mitad del área del cuadrado grande, y por lo tanto la suma de las áreas de los cuadrados construidos sobre las patas es igual al área del cuadrado construida sobre la hipotenusa.

Demostración por el método de infinitesimal

La siguiente demostración con ecuaciones diferenciales se atribuye a menudo al famoso matemático inglés Hardy, que vivió en la primera mitad del siglo XX.

Mirando el dibujo que se muestra en la figura y observando el cambio de lado a, podemos escribir la siguiente relación para incrementos infinitamente pequeños de los lados Con y a(usando la semejanza de triángulos):

Usando el método de separación de variables, encontramos

Una expresión más general para cambiar la hipotenusa en el caso de incrementos de ambos catetos

Integrando esta ecuación y usando las condiciones iniciales, obtenemos

Así llegamos a la respuesta deseada.

Como es fácil ver, la dependencia cuadrática en la fórmula final aparece por la proporcionalidad lineal entre los lados del triángulo y los incrementos, mientras que la suma está asociada a aportes independientes de los incrementos de diferentes catetos.

Se puede obtener una demostración más sencilla si suponemos que uno de los lados no experimenta un incremento (en este caso, el lado). Entonces para la constante de integración obtenemos

Variaciones y generalizaciones

Formas geométricas similares en tres lados.

Generalización para triángulos semejantes, área de formas verdes A + B = área de azul C

Teorema de Pitágoras usando triángulos rectángulos semejantes

La generalización del teorema de Pitágoras la hizo Euclides en su obra Principios, expandiendo las áreas de los cuadrados de los lados a las áreas de formas geométricas similares:

Si construyes formas geométricas similares (ver geometría euclidiana) en los lados de un triángulo rectángulo, entonces la suma de las dos figuras más pequeñas será igual al área de la figura más grande.

La idea principal de esta generalización es que el área de tal figura geométrica es proporcional al cuadrado de cualquiera de sus dimensiones lineales, y en particular al cuadrado de la longitud de cualquier lado. Por lo tanto, para figuras similares con áreas A, B y C construido en lados con longitud a, B y C, tenemos:

Pero, según el teorema de Pitágoras, a 2 + B 2 = C 2, entonces A + B = C.

Por el contrario, si podemos demostrar que A + B = C para tres figuras geométricas similares sin usar el teorema de Pitágoras, entonces podemos demostrar el teorema mismo, moviéndose en la dirección opuesta. Por ejemplo, el triángulo central inicial se puede reutilizar como un triángulo C sobre la hipotenusa, y dos triángulos rectángulos semejantes ( A y B), construido sobre los otros dos lados, que se forman como resultado de dividir el triángulo central por su altura. La suma de las dos áreas menores de los triángulos es entonces evidentemente igual al área del tercero, por tanto A + B = C y, realizando las demostraciones anteriores en orden inverso, obtenemos el teorema de Pitágoras a 2 + b 2 = c 2.

teorema del coseno

El teorema de Pitágoras es un caso especial del teorema del coseno más general, que relaciona las longitudes de los lados en un triángulo arbitrario:

donde θ es el ángulo entre los lados a y B.

Si θ es 90 grados entonces cos θ = 0 y la fórmula se simplifica al teorema de Pitágoras habitual.

Triángulo arbitrario

A cualquier esquina seleccionada de un triángulo arbitrario con lados a B C inscribiremos un triángulo isósceles de tal forma que ángulos iguales en su base θ sean iguales al ángulo elegido. Suponga que el ángulo elegido θ es opuesto al lado marcado C... Como resultado, obtuvimos un triángulo ABD con un ángulo θ, que se encuentra opuesto al lado a y fiestas r... El segundo triángulo está formado por el ángulo θ, que es opuesto al lado B y fiestas Con la longitud s, como se muestra en la imagen. Thabit Ibn Qurrah argumentó que los lados de estos tres triángulos están conectados de la siguiente manera:

A medida que el ángulo θ se acerca a π / 2, la base del triángulo isósceles disminuye y los dos lados r y s se superponen cada vez menos. Cuando θ = π / 2, ADB se convierte en un triángulo rectángulo, r + s = C y obtenemos el teorema de Pitágoras inicial.

Consideremos una de las razones. El triángulo ABC tiene los mismos ángulos que el triángulo ABD, pero en orden inverso. (Dos triángulos tienen un ángulo común en el vértice B, ambos tienen un ángulo θ y también tienen el mismo tercer ángulo, según la suma de los ángulos del triángulo.) En consecuencia, ABC es similar a la reflexión ABD del triángulo DBA, como se muestra en la figura inferior. Escribamos la razón entre los lados opuestos y adyacentes al ángulo θ,

También un reflejo de otro triángulo,

Multipliquemos las fracciones y sumamos estas dos razones:

QED

Generalización para triángulos arbitrarios a través de paralelogramos

Generalización para triángulos arbitrarios,
area de verde parcela = area azul

Prueba de la tesis de que en la imagen de arriba

Generalicemos aún más a triángulos no rectangulares usando paralelogramos en tres lados en lugar de cuadrados. (los cuadrados son un caso especial). La figura superior muestra que para un triángulo acutángulo, el área del paralelogramo en el lado mayor es igual a la suma de los paralelogramos en los otros dos lados, siempre que el paralelogramo en el lado largo se construye como se muestra en la figura (las dimensiones marcadas con flechas son las mismas y determinan los lados del paralelogramo inferior). Esta sustitución de cuadrados por paralelogramos guarda un claro parecido con el teorema inicial de Pitágoras, se cree que fue formulado por Pappus de Alejandría en el año 4 d.C. mi.

La figura inferior muestra el progreso de la prueba. Miremos el lado izquierdo del triángulo. El paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el lado izquierdo del paralelogramo azul porque tienen la misma base B y altura h... Además, el paralelogramo verde izquierdo tiene la misma área que el paralelogramo verde izquierdo de la figura superior porque tienen una base común (lado superior izquierdo del triángulo) y una altura total perpendicular a ese lado del triángulo. Argumentando de manera similar para el lado derecho del triángulo, demostramos que el paralelogramo inferior tiene la misma área que los dos paralelogramos verdes.

Números complejos

El teorema de Pitágoras se usa para encontrar la distancia entre dos puntos en un sistema de coordenadas cartesianas, y este teorema es cierto para todas las coordenadas verdaderas: distancia s entre dos puntos ( un, b) y ( CD) es igual

No hay problema con la fórmula si tratas los números complejos como vectores con componentes reales X + yo = (X, y). ... Por ejemplo distancia s entre 0 + 1 I y 1 + 0 I calculamos como el módulo del vector (0, 1) − (1, 0) = (−1, 1), o

No obstante, para operaciones con vectores de coordenadas complejas, es necesario realizar una cierta mejora en la fórmula pitagórica. Distancia entre puntos con números complejos ( a, B) y ( C, D); a, B, C, y D todo complejo, lo formularemos usando valores absolutos. Distancia s basado en la diferencia de vectores (a − C, B − D) de la siguiente forma: sea la diferencia a − C = pags+ yo q, donde pags- la parte real de la diferencia, q es la parte imaginaria, y i = √ (−1). Del mismo modo, deja B − D = r+ yo s... Entonces:

donde es el número complejo conjugado de. Por ejemplo, la distancia entre puntos (a, B) = (0, 1) y (C, D) = (I, 0) , calcularemos la diferencia (a − C, B − D) = (−I, 1) y como resultado obtendríamos 0 si no se usaran conjugados complejos. Por lo tanto, usando la fórmula mejorada, obtenemos

El módulo se define de la siguiente manera:

estereometría

Una generalización significativa del teorema de Pitágoras para el espacio tridimensional es el teorema de de Gua, llamado así por J.-P. de Gua: si el tetraedro tiene un ángulo recto (como en un cubo), entonces el cuadrado del área de la cara que se encuentra frente al ángulo recto es igual a la suma de los cuadrados de las áreas de las otras tres caras. Esta conclusión puede resumirse como “ norte teorema de Pitágoras bidimensional":

El teorema de Pitágoras en el espacio tridimensional conecta la diagonal AD con tres lados.

Otra generalización: el teorema de Pitágoras se puede aplicar a la estereometría de la siguiente forma. Considere un paralelepípedo rectangular como se muestra en la figura. Encontremos la longitud de la diagonal BD por el teorema de Pitágoras:

donde los tres lados forman un triángulo rectángulo. Usamos la diagonal horizontal BD y la arista vertical AB para encontrar la longitud de la diagonal AD, para esto usamos nuevamente el teorema de Pitágoras:

o, si todo está escrito en una ecuación:

Este resultado es una expresión 3D para determinar la magnitud de un vector v(diagonal AD) expresada en términos de sus componentes perpendiculares ( v k) (tres lados mutuamente perpendiculares):

Esta ecuación puede verse como una generalización del teorema de Pitágoras para el espacio multidimensional. Sin embargo, el resultado no es más que una aplicación repetida del teorema de Pitágoras a una secuencia de triángulos rectángulos en planos sucesivamente perpendiculares.

espacio vectorial

En el caso de un sistema ortogonal de vectores, se cumple la igualdad, que también se denomina teorema de Pitágoras:

Si es la proyección del vector sobre los ejes de coordenadas, entonces esta fórmula coincide con la distancia euclidiana y significa que la longitud del vector es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de sus componentes.

Un análogo de esta igualdad en el caso de un sistema infinito de vectores se llama igualdad de Parseval.

Geometría no euclidiana

El teorema de Pitágoras se deriva de los axiomas de la geometría euclidiana y, de hecho, no es válido para la geometría no euclidiana, en la forma en que está escrito anteriormente. (Es decir, el teorema de Pitágoras resulta ser una especie de equivalente al postulado de paralelismo de Euclides). En otras palabras, en geometría no euclidiana, la relación entre los lados de un triángulo necesariamente tendrá una forma diferente del teorema de Pitágoras. . Por ejemplo, en geometría esférica, los tres lados de un triángulo rectángulo (digamos a, B y C), que limitan el octante (octava parte) de la esfera unitaria, tienen longitud π / 2, lo que contradice el teorema de Pitágoras, porque a 2 + B 2 ≠ C 2 .

Considere aquí dos casos de geometría no euclidiana: geometría esférica e hiperbólica; en ambos casos, como en el espacio euclidiano para triángulos rectángulos, del teorema del coseno se sigue un resultado que reemplaza al teorema de Pitágoras.

Sin embargo, el teorema de Pitágoras sigue siendo válido para la geometría hiperbólica y elíptica, si el requisito de la rectangularidad del triángulo se reemplaza por la condición de que la suma de los dos ángulos del triángulo debe ser igual al tercero, digamos A+B = C... Entonces la razón entre los lados se ve así: la suma de las áreas de círculos con diámetros a y B igual al área de un círculo con un diámetro C.

geometría esférica

Para cualquier triángulo rectángulo en una esfera de radio R(por ejemplo, si el ángulo γ en un triángulo es una línea recta) con lados a, B, C la relación entre las partes se verá así:

Esta igualdad se puede derivar como un caso especial del teorema del coseno esférico, que es cierto para todos los triángulos esféricos:

donde cosh es el coseno hiperbólico. Esta fórmula es un caso especial del teorema del coseno hiperbólico, que es válido para todos los triángulos:

donde γ es el ángulo cuyo vértice es opuesto al lado C.

donde gramo yo se llama tensor métrico. Puede ser una función de la posición. Dichos espacios curvos incluyen la geometría de Riemann como ejemplo general. Esta formulación también es adecuada para el espacio euclidiano cuando se utilizan coordenadas curvilíneas. Por ejemplo, para coordenadas polares:

Producto vectorial

El teorema de Pitágoras conecta dos expresiones para la magnitud de un producto vectorial. Un enfoque para definir un producto cruzado requiere que satisfaga la ecuación:

esta fórmula utiliza el producto escalar. El lado derecho de la ecuación se llama determinante de Gram para a y B, que es igual al área del paralelogramo formado por estos dos vectores. Con base en este requisito, así como el requisito de la perpendicularidad del producto vectorial a sus componentes a y B se deduce que, con la excepción de casos triviales del espacio de 0 y 1 dimensión, el producto vectorial se define solo en tres y siete dimensiones. Usamos la definición del ángulo en norte-espacio dimensional:

esta propiedad del producto vectorial da su valor de la siguiente forma:

A través de la identidad trigonométrica fundamental de Pitágoras, obtenemos otra forma de registrar su valor:

Un enfoque alternativo para definir un producto cruzado utiliza una expresión para su magnitud. Luego, argumentando en orden inverso, obtenemos una conexión con el producto escalar:

ver también

Notas (editar)

Tema de historia: el teorema de Pitágoras en las matemáticas babilónicas
(, pág. 351) pág. 351
(, Tomo I, pág. 144)
Una discusión de hechos históricos se da en (, p. 351) p. 351
Kurt Von Fritz (abril de 1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hippasus de Metapontum". Los Anales de Matemáticas, Segunda Serie(Anales de Matemáticas) 46 (2): 242–264.
Lewis Carroll, "Una historia con nudos", M., Mir, 1985, p. 7
asger aboe Episodios de la historia temprana de las matemáticas. - Asociación Matemática de América, 1997. - P. 51. - ISBN 0883856131
Proposición de Pitágoras, por Eliseo Scott Loomis
de Euclides Elementos: Libro VI, Proposición VI 31: "En los triángulos rectángulos, la figura del lado que subtiende el ángulo recto es igual a las figuras similares y descritas de manera similar en los lados que contienen el ángulo recto".
Lawrence S.Leff obra citada... - Serie Educativa de Barron - P. 326. - ISBN 0764128922
Howard Whitley vísperas§4.8: ... generalización del teorema de Pitágoras // Grandes momentos de las matemáticas (antes de 1650). - Asociación Matemática de América, 1983. - P. 41. - ISBN 0883853108
Tâbit ibn Qorra (nombre completo Thābit ibn Qurra ibn Marwan Al-Ṣābiʾ al-Ḥarrānī) (826-901 d. C.) fue un médico que vivió en Bagdad y escribió extensamente sobre los Elementos de Euclides y otros temas matemáticos.
Aydin Sayili (marzo de 1960). Generalización del Teorema de Pitágoras de "Thâbit ibn Qurra". isis 51 (1): 35–37. DOI: 10.1086 / 348837.
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Para los detalles de tal construcción, véase Jorge Jennings Figura 1.32: El teorema de Pitágoras generalizado // Geometría moderna con aplicaciones: con 150 cifras. - 3ro. - Springer, 1997. - Pág. 23. - ISBN 038794222X
Arlen Brown, Carl M. Pearcy Articulo C: Norma para un arbitrario norte-tuple ... // Una introducción al análisis. - Springer, 1995. - Pág. 124. - ISBN 0387943692 Consulte también las páginas 47-50.
Alfred Gray, Elsa Abbena, Simon Salamón Geometría diferencial moderna de curvas y superficies con Mathematica. - 3ro. - CRC Press, 2006. - Pág. 194. - ISBN 1584884487
Rajendra Bhatia Análisis matricial. - Springer, 1997. - Pág. 21. - ISBN 0387948465
Stephen W Hawking obra citada... - 2005. - Pág. 4. - ISBN 0762419229

El teorema de Pitágoras establece:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

un 2 + segundo 2 = do 2,

a y B- piernas formando un ángulo recto.
Con- la hipotenusa del triángulo.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

a = \ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b = \ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c = \ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Demostración del teorema de Pitágoras

El área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la fórmula:

S = \frac (1) (2) ab

Para calcular el área de un triángulo arbitrario, la fórmula del área es:

pags- semiperímetro. p = \frac (1) (2) (a + b + c),
r Es el radio de la circunferencia inscrita. Para el rectángulo r = \ frac (1) (2) (a + b-c).

Luego igualamos los lados derechos de ambas fórmulas para el área de un triángulo:

\ frac (1) (2) ab = \ frac (1) (2) (a + b + c) \ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab = (a + b + c) (a + bc)

2 ab = \ izquierda ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \ derecha)

2 ab = a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 = a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) = un ^ (2) + b ^ (2)

El teorema de Pitágoras inverso:

Si el cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados, entonces el triángulo es rectángulo. Es decir, para cualquier triple de números positivos un, b y C tal que

un 2 + segundo 2 = do 2,

hay un triangulo rectangulo con catetos a y B e hipotenusa C.

Teorema de pitágoras- uno de los teoremas fundamentales de la geometría euclidiana, que establece la relación entre los lados de un triángulo rectángulo. Fue probado por el científico matemático y filósofo Pitágoras.

El significado del teorema en que se puede utilizar para probar otros teoremas y resolver problemas.

Material adicional:

El teorema de Pitágoras establece:

En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa:

un 2 + segundo 2 = do 2,

a y B- piernas formando un ángulo recto.
Con- la hipotenusa del triángulo.

Fórmulas del teorema de Pitágoras

a = \ sqrt (c ^ (2) - b ^ (2))
b = \ sqrt (c ^ (2) - a ^ (2))
c = \ sqrt (a ^ (2) + b ^ (2))

Demostración del teorema de Pitágoras

El área de un triángulo rectángulo se calcula mediante la fórmula:

S = \frac (1) (2) ab

Para calcular el área de un triángulo arbitrario, la fórmula del área es:

pags- semiperímetro. p = \frac (1) (2) (a + b + c),
r Es el radio de la circunferencia inscrita. Para el rectángulo r = \ frac (1) (2) (a + b-c).

Luego igualamos los lados derechos de ambas fórmulas para el área de un triángulo:

\ frac (1) (2) ab = \ frac (1) (2) (a + b + c) \ frac (1) (2) (a + b-c)

2 ab = (a + b + c) (a + bc)

2 ab = \ izquierda ((a + b) ^ (2) -c ^ (2) \ derecha)

2 ab = a ^ (2) + 2ab + b ^ (2) -c ^ (2)

0 = a ^ (2) + b ^ (2) -c ^ (2)

c ^ (2) = un ^ (2) + b ^ (2)

El teorema de Pitágoras inverso:

un 2 + segundo 2 = do 2,

hay un triangulo rectangulo con catetos a y B e hipotenusa C.

El significado del teorema en que se puede utilizar para probar otros teoremas y resolver problemas.

Material adicional: