Demostraciones de teoremas sobre ángulos asociados a una circunferencia. Problemas para la demostración de hechos geométricos a partir de gia Prueba de ángulos iguales

El triángulo es el tipo de polígono más simple, tiene tres ángulos y tres lados. Los lados están formados por segmentos, que se unen entre sí por tres puntos en el plano, formando así una forma rígida. Igualdad 2do triangulos se puede confirmar de varias maneras.

Instrucción

1. Si triangulos ABC y DEF dos lados son iguales, y el ángulo ?, que se encuentra entre los dos lados del triángulo ABC, es igual al ángulo ?, que se encuentra entre los lados correspondientes del triángulo DEF, entonces estos dos triángulos son iguales el uno al otro

2. Si triangulos ABC y DEF el lado AB es igual al lado DE, y los ángulos adyacentes al lado AB son iguales a los ángulos adyacentes al lado DE, entonces estos triángulos se consideran iguales.

3. Si triangulos Los lados ABC, AB, BC y CD son iguales a los lados correspondientes del triángulo DEF, entonces estos triángulos son congruentes.

¡Nota!
Si se requiere confirmar la igualdad entre 2 triángulos rectángulos, entonces esto se puede hacer usando los siguientes signos iguales de triángulos rectángulos: - a lo largo de uno de los catetos y la hipotenusa; - a lo largo de los dos famosos catetos; - a lo largo uno de los catetos y el ángulo agudo adyacente a él; - a lo largo de la hipotenusa y uno de los ángulos agudos Los triángulos son agudos (si todos sus ángulos son menores de 90 grados), obtusos (si uno de sus ángulos es mayor de 90 grados) ), equilátero e isósceles (si sus dos lados son iguales).

Aviso util
Además de la igualdad de los triángulos entre sí, estos mismos triángulos son semejantes. Los triángulos semejantes son aquellos en los que los ángulos son iguales entre sí y los lados de un triángulo son proporcionales a los lados de otro. Vale la pena señalar que si dos triángulos son similares entre sí, esto no garantiza su igualdad. Al dividir lados similares de triángulos entre sí, se calcula el llamado índice de similitud. Además, este indicador se puede obtener dividiendo las áreas de triángulos semejantes.

Desde la antigüedad hasta nuestros días, la búsqueda de signos de igualdad de figuras se considera una tarea básica, que es la base de los fundamentos de la geometría; cientos de teoremas se prueban usando pruebas de igualdad. La capacidad de demostrar la igualdad y la similitud de las figuras es una tarea importante en todas las áreas de la construcción.

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Poner en práctica la habilidad

Supongamos que tenemos una figura dibujada en una hoja de papel. Al mismo tiempo, tenemos una regla y un transportador, con los que podemos medir las longitudes de los segmentos y los ángulos entre ellos. Cómo trasladar una figura del mismo tamaño a una segunda hoja de papel o al doble de su escala.

Sabemos que un triángulo es una figura formada por tres segmentos, llamados lados, que forman ángulos. Por lo tanto, hay seis parámetros, tres lados y tres ángulos, que definen esta figura.

Sin embargo, habiendo medido el tamaño de los tres lados y ángulos, transferir esta figura a otra superficie será una tarea difícil. Además, tiene sentido hacer la pregunta: ¿no es suficiente saber los parámetros de dos lados y una esquina, o solo tres lados?

Habiendo medido la longitud de los dos lados y entre ellos, coloque este ángulo en una nueva hoja de papel, para que podamos recrear completamente el triángulo. Averigüemos cómo hacer esto, aprendamos cómo probar los signos por los cuales se pueden considerar iguales y decidamos cuál es la cantidad mínima de parámetros que es suficiente saber para tener la certeza de que los triángulos son iguales.

¡Importante! Las figuras se llaman iguales si los segmentos que forman sus lados y ángulos son iguales entre sí. Son figuras semejantes aquellas cuyos lados y ángulos son proporcionales. Así, la igualdad es una semejanza con un factor de proporcionalidad de 1.

Cuáles son los signos de igualdad de los triángulos, daremos su definición:

el primer signo de igualdad: dos triángulos pueden considerarse iguales si dos de sus lados son iguales, así como el ángulo entre ellos.
el segundo signo de la igualdad de los triángulos: dos triángulos serán iguales si dos ángulos son iguales, así como el lado correspondiente entre ellos.
tercer signo de igualdad de triangulos : Los triángulos son congruentes cuando todos sus lados tienen la misma longitud.

Cómo probar que los triángulos son congruentes. Presentamos una demostración de la igualdad de triángulos.

Prueba 1 signo

Durante mucho tiempo, entre los primeros matemáticos, esta característica se consideró un axioma, pero resultó que se puede probar geométricamente en base a axiomas más básicos.

Considere dos triángulos: KMN y K 1 M 1 N 1 . El lado KM tiene la misma longitud que K 1 M 1 y KN = K 1 N 1. Y el ángulo MKN es igual a los ángulos KMN y M 1 K 1 N 1 .

Si consideramos KM y K 1 M 1, KN y K 1 N 1 como dos rayos que salen de un punto, entonces podemos decir que los ángulos entre estos pares de rayos son iguales (esto viene dado por la condición de la teorema). Hagamos una traslación paralela de los rayos K 1 M 1 y K 1 N 1 desde el punto K 1 al punto K. Como resultado de esta transferencia, los rayos K 1 M 1 y K 1 N 1 coincidirán completamente. Tracemos en el rayo K 1 M 1 un segmento de longitud KM, que se origina en el punto K. Dado que, según la condición, el segmento resultante y será igual al segmento K 1 M 1, entonces los puntos M y M 1 coincido. Análogamente con los segmentos KN y K 1 N 1 . Así, moviendo K 1 M 1 N 1 de modo que los puntos K 1 y K coincidan, y los dos lados se superpongan, obtenemos una coincidencia completa de las figuras mismas.

¡Importante! En Internet existen demostraciones de la igualdad de triángulos en dos lados y un ángulo utilizando identidades algebraicas y trigonométricas con los valores numéricos de los lados y ángulos. Sin embargo, histórica y matemáticamente, este teorema fue formulado mucho antes que el álgebra y antes que la trigonometría. Para probar esta característica del teorema, es incorrecto usar algo más que los axiomas básicos.

Prueba 2 signos

Probemos el segundo criterio de igualdad en dos ángulos y un lado, basándonos en el primero.

Prueba 2 signos

Considere KMN y PRS. K es igual a P, N es igual a S. El lado de KN tiene la misma longitud que PS. Es necesario probar que KMN y PRS son lo mismo.

Reflejemos el punto M con respecto a la semirrecta KN. El punto resultante se llamará L. En este caso, la longitud del lado KM = KL. NKL es igual a PRS. KNL es igual a RSP.

Dado que la suma de los ángulos es 180 grados, entonces KLN es igual a PRS, lo que significa que PRS y KLN son iguales (similares) en ambos lados y en el ángulo, según el primer criterio.

Pero como KNL es igual a KMN, entonces KMN y PRS son dos cifras idénticas.

Prueba 3 signos

Cómo establecer que los triángulos son iguales. Esto se sigue directamente de la demostración del segundo criterio.

Longitud KN = PS. Como K = P, N = S, KL=KM, mientras que KN = KS, MN=ML, entonces:

Esto significa que ambas figuras son similares entre sí. Pero como sus lados son iguales, también son iguales.

Muchas consecuencias se derivan de los signos de igualdad y semejanza. Una de ellas es que para determinar si dos triángulos son iguales o no, es necesario conocer sus propiedades, si son iguales:

los tres lados;
ambos lados y el ángulo entre ellos;
ambas esquinas y el lado entre ellas.

Usar el signo de igualdad de triángulos para resolver problemas

Consecuencias de la primera señal.

En el curso de la demostración, se puede llegar a varios corolarios interesantes y útiles.

. El hecho de que el punto de intersección de las diagonales de un paralelogramo las divida en dos partes idénticas es una consecuencia de los signos de igualdad y es bastante susceptible de demostración. Los lados del triángulo adicional (con una construcción de espejo, como en las demostraciones que realizamos) son los lados del principal (lados del paralelogramo).
Si hay dos triángulos rectángulos que tienen los mismos ángulos agudos, entonces son semejantes. Si al mismo tiempo el cateto del primero es igual al cateto del segundo, entonces son iguales. Es bastante fácil de entender esto: cualquier triángulo rectángulo tiene un ángulo recto. Por tanto, los signos de igualdad para ellos son más sencillos.
Dos triángulos con ángulos rectos, en los que dos catetos tienen la misma longitud, pueden considerarse iguales. Esto se debe al hecho de que el ángulo entre dos patas es siempre de 90 grados. Por tanto, según el primer signo (en dos lados y el ángulo entre ellos), todos los triángulos con ángulos rectos y los mismos catetos son iguales.
Si hay dos triángulos rectángulos, y tienen un cateto y la hipotenusa son iguales, entonces los triángulos son iguales.

Demostremos este simple teorema.

Hay dos triángulos rectángulos. Un lado tiene a, b, c, donde c es la hipotenusa; a, b - piernas. El segundo lado tiene n, m, l, donde l es la hipotenusa; m, n - piernas.

Según el teorema de Pitágoras, uno de los catetos es igual a:

;

Por lo tanto, si n \u003d a, l \u003d c (igualdad de las piernas y las hipotenusas), respectivamente, las segundas piernas serán iguales. Las figuras, respectivamente, serán iguales según el tercer criterio (en tres lados).

Notemos otro corolario importante. Si hay dos triángulos iguales, y son semejantes con un coeficiente de similitud k, es decir, las razones por pares de todos sus lados son iguales a k, entonces la razón de sus áreas es igual a k2.

El primer signo de igualdad de triángulos. Video lección sobre geometría grado 7.

Geometría 7 El primer signo de la igualdad de triángulos

Conclusión

El tema que hemos considerado ayudará a cualquier estudiante a comprender mejor los conceptos geométricos básicos y mejorar sus habilidades en el mundo más interesante de las matemáticas.

La geometría como materia separada comienza con los escolares en el 7º grado. Hasta ese momento se han ocupado de problemas geométricos de forma bastante liviana y principalmente con lo que se puede ver en ejemplos ilustrativos: el área de una habitación, un terreno, la longitud y altura de paredes en habitaciones, plano objetos, y así sucesivamente. Al comienzo del estudio de la geometría en sí, aparecen las primeras dificultades, como por ejemplo, el concepto de línea recta, ya que no es posible tocar esta línea recta con las manos. En cuanto a los triángulos, este es el tipo de polígono más simple, que contiene solo tres ángulos y tres lados.

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compañeros de clase

El tema de los triángulos es uno de los principales importante y grandes temas del currículo escolar en geometría grados 7-9. Dominándolo bien, es posible resolver problemas muy complejos. En este caso, inicialmente puede considerar una figura geométrica completamente diferente y luego dividirla por conveniencia en partes triangulares adecuadas.

Para trabajar en la prueba de igualdad. ∆ ABC y ∆A1B1C1 necesitas dominar bien los signos de igualdad de cifras y poder usarlos. Antes de estudiar los signos, debes aprender definir la igualdad lados y ángulos de polígonos simples.

Para probar que los ángulos de los triángulos son iguales, las siguientes opciones ayudarán:

∠ α = ∠ β a partir de la construcción de figuras.
Dado en la tarea.
Con dos rectas paralelas y la presencia de una secante, se pueden formar tanto cruces internos como ∠ α = ∠ β correspondientes.
Al sumar (restar) a (de) ∠ α = ∠ β ángulos iguales.
Siempre verticales similares ∠ α y ∠ β
General ∠ α, perteneciente simultáneamente a ∆MNK y ∆MNH .
La bisectriz divide ∠ α en dos equivalentes.
Adyacente a ∠ 90°- ángulo igual al original.
Los ángulos iguales adyacentes son iguales.
La altura forma dos adyacentes ∠ 90° .
en isósceles ∆MNK en la base ∠ α = ∠ β.
Igual ∆MNK y ∆SDH correspondiente ∠α = ∠β.
La igualdad previamente probada ∆MNK y ∆SDH .

Esto es interesante: Cómo encontrar el perímetro de un triángulo.

3 signos de igualdad de triángulos

Prueba de igualdad ∆ ABC y ∆A1B1C1 muy conveniente de producir, basado en el básico señales identidades de estos polígonos más simples. Hay tres de esos signos. Son muy importantes para resolver muchos problemas geométricos. Vale la pena considerar cada uno.

Los signos enumerados anteriormente son teoremas y se prueban por el método de imponer una figura sobre otra, conectando los vértices de los ángulos correspondientes y el comienzo de los rayos. La evidencia de la igualdad de los triángulos en el 7º grado se describe de forma muy accesible, pero es difícil de estudiar para los escolares en la práctica, ya que contienen una gran cantidad de elementos indicados con letras latinas mayúsculas. Esto no es del todo habitual para muchos estudiantes en el momento del inicio del estudio de la materia. Los adolescentes se confunden con los nombres de lados, rayos, ángulos.

Un poco más adelante, aparece otro tema importante "Semejanzas de triángulos". La definición misma de "similitud" en geometría significa similitud de forma con diferentes tamaños. Por ejemplo, puedes tomar dos cuadrados, el primero de 4 cm de lado y el segundo de 10 cm, estos tipos de cuadriláteros serán similares y, al mismo tiempo, tendrán una diferencia, ya que el segundo será más grande y cada lado se amplía el mismo número de veces.

Al considerar el tema de la similitud, también se dan 3 signos:

El primero es sobre dos ángulos correspondientemente iguales de las dos figuras triangulares bajo consideración.
El segundo es sobre el ángulo y los lados que lo forman. ∆MNK, que son iguales a los elementos correspondientes ∆SDH .
El tercero - indica la proporcionalidad de todos los lados correspondientes de las dos figuras deseadas.

¿Cómo puedes probar que los triángulos son semejantes? Es suficiente usar una de las características anteriores y describir correctamente todo el proceso de prueba de la tarea. tema de similitud ∆MNK y ∆SDH los escolares lo perciben más fácilmente en función del hecho de que, en el momento en que se estudia, los estudiantes ya usan libremente las designaciones de elementos en construcciones geométricas, no se confunden en una gran cantidad de nombres y saben cómo leer dibujos.

Completando el paso del extenso tema de las formas geométricas triangulares, los estudiantes ya deberían saber perfectamente cómo probar la igualdad. ∆MNK = ∆SDH en dos lados, establecer dos triángulos iguales o no. Teniendo en cuenta que un polígono con exactamente tres ángulos es una de las figuras geométricas más importantes, la asimilación del material debe abordarse con seriedad, prestando especial atención incluso a los hechos más pequeños de la teoría.