نمونه های توزیع پواسون توزیع و فرمول پواسون

در بسیاری از مسائل عملی، باید با متغیرهای تصادفی که بر اساس قانون خاصی توزیع شده اند، سروکار داشت که به آن می گویند. قانون پواسون

یک متغیر تصادفی ناپیوسته را در نظر بگیرید ایکس، که فقط می تواند مقادیر صحیح غیر منفی بگیرد:

علاوه بر این، توالی این مقادیر از نظر تئوری محدود نیست. متغیر تصادفی گفته می شود ایکسبر اساس قانون پواسون توزیع می شود اگر احتمال آن مقدار معینی را بگیرد تی،با فرمول بیان می شود

جایی که آ- مقداری ارزش مثبت، نامیده می شود پارامترقانون پواسون

سری توزیع یک متغیر تصادفی ایکس،توزیع شده بر اساس قانون پواسون، به شکل زیر است:

اول از همه، اجازه دهید مطمئن شویم که دنباله احتمالات داده شده با فرمول (5.9.1) می تواند یک سری توزیع باشد، یعنی. مجموع همه احتمالات پی تیبرابر با یک است. ما داریم:

ولی

شکل 5.9.1 چند ضلعی های توزیع یک متغیر تصادفی را نشان می دهد ایکس،بر اساس قانون پواسون، مربوط به مقادیر مختلف پارامتر توزیع می شود آ.جدول 8 پیوست مقادیر را نشان می دهد پی تیبرای مختلف آ.

بیایید ویژگی های اصلی - انتظارات ریاضی و واریانس - یک متغیر تصادفی را تعریف کنیم ایکس، طبق قانون پواسون توزیع می شود. با تعریف انتظار ریاضی

برنج. 5.9.1.

اولین ترم جمع (مرتبط با t = 0) برابر با صفر است، بنابراین می توان جمع بندی را از آن شروع کرد t = 1:

نشان می دهیم t - 1 = k;سپس

بنابراین پارامتر آچیزی بیش از انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی نیست ایکس.

برای تعیین واریانس، ابتدا دومین لحظه اولیه کمیت را پیدا می کنیم ایکس:

طبق آنچه قبلاً ثابت شده است بعلاوه، از این رو،

بدین ترتیب، واریانس یک متغیر تصادفی, طبق قانون پواسون توزیع می شود, برابر است با انتظارات ریاضی الف.

این ویژگی توزیع پواسون اغلب در عمل برای تصمیم گیری در مورد اینکه آیا فرضیه یک متغیر تصادفی است استفاده می شود ایکسطبق قانون پواسون توزیع می شود. برای این، ویژگی های آماری از تجربه - انتظارات ریاضی و واریانس - یک متغیر تصادفی تعیین می شود. اگر مقادیر آنها نزدیک باشد، این ممکن است به عنوان استدلالی به نفع فرضیه توزیع پواسون باشد. تفاوت شدید در این ویژگی ها، برعکس، بر خلاف فرضیه گواهی می دهد.

اجازه دهید برای یک متغیر تصادفی تعریف کنیم ایکس،بر اساس قانون پواسون توزیع می شود، احتمال اینکه مقداری کمتر از یک داده را بگیرد به.ما این احتمال را نشان می دهیم R k:

بدیهی است احتمال R kرا می توان به صورت مجموع محاسبه کرد

با این حال، تعیین آن از روی احتمال رویداد مخالف بسیار آسان تر است:

به طور خاص، احتمال اینکه مقدار ایکسیک مقدار مثبت می گیرد که با فرمول بیان می شود

قبلاً اشاره کردیم که بسیاری از مشکلات عملی منجر به توزیع پواسون می شود. بیایید یکی از کارهای معمولی از این نوع را در نظر بگیریم.

بگذارید نقاط به طور تصادفی بر روی محور آبسیسا Ox توزیع شوند (شکل 5.9.2). فرض کنید توزیع تصادفی امتیازات شرایط زیر را برآورده می کند:

برنج. 5.9.2

• 1. احتمال برخورد تعداد معینی از نقاط در یک قطعه / فقط به طول این قطعه بستگی دارد، اما به موقعیت آن در محور آبسیسا بستگی ندارد. به عبارت دیگر نقاط بر روی محور آبسیسا با چگالی متوسط ​​یکسان توزیع می شوند. این چگالی (یعنی انتظار ریاضی تعداد نقاط در واحد طول) را با نشان می دهیم ایکس.
• 2. نقاط بر روی محور آبسیسا به طور مستقل از یکدیگر توزیع می شوند، i.e. احتمال ضربه زدن به یک یا چند نقطه در یک بخش معین به تعداد آنها بستگی ندارد که روی هر بخش دیگری که با آن همپوشانی ندارد، بیفتد.
• 3. احتمال اصابت یک تبر کوچک دو یا چند نقطه در مقایسه با احتمال برخورد یک نقطه ناچیز است (این شرط به معنای عدم امکان عملی همزمانی دو یا چند نقطه است).

بیایید روی محور آبسیسا یک قطعه مشخص از طول / انتخاب کنیم و یک متغیر تصادفی گسسته را در نظر بگیریم. ایکس- تعداد نقاطی که روی این بخش می افتد. مقادیر احتمالی کمیت خواهد بود

از آنجایی که نقاط به طور مستقل از یکدیگر روی بخش قرار می گیرند، از نظر تئوری ممکن است که به تعداد دلخواه شما وجود داشته باشد، یعنی. سری (5.9.6) به طور نامحدود ادامه دارد.

اجازه دهید ثابت کنیم که متغیر تصادفی است ایکستوزیع پواسون دارد. برای این، ما احتمال را محاسبه می کنیم پی تیاز این واقعیت که دقیقا تینکته ها.

بیایید ابتدا یک مشکل ساده تر را حل کنیم. یک بخش کوچک Ax روی محور Ox در نظر بگیرید و احتمال اینکه حداقل یک نقطه روی این بخش بیفتد را محاسبه کنید. ما به شرح زیر استدلال خواهیم کرد. انتظار ریاضی تعداد نقاطی که در این بخش می افتد بدیهی است برابر است متعجب(از آنجایی که واحد طول به طور متوسط ​​کاهش می یابد ایکسنکته ها). طبق شرط 3، برای یک قطعه کوچک Ax، امکان سقوط دو یا چند نقطه روی آن قابل چشم پوشی است. بنابراین، انتظارات ریاضی متعجبتعداد نقاطی که روی بخش Ax می افتد تقریباً برابر با احتمال سقوط یک نقطه روی آن خواهد بود (یا در شرایط ما معادل حداقل یک است).

بنابراین، تا حد بی نهایت کوچک بالاتر در Ax - »0، می توانیم احتمال سقوط یک (حداقل یک) نقطه بر روی بخش Ax را در نظر بگیریم، برابر با متعجب،و احتمال برخورد نکردن به هیچ کدام برابر با 1 - هه.

ما از این برای محاسبه احتمال استفاده خواهیم کرد پی تیضربه زدن به بخش / دقیقا تینکته ها. بخش / را به تقسیم کنید NSطول قسمت های مساوی اجازه دهید موافقت کنیم که بخش ابتدایی Axe را "خالی" بنامیم.

اگر به یک نقطه نخورد و "مشغول" اگر حداقل یک نقطه را خورد. با توجه به موارد فوق، احتمال "اشغال" قطعه Ax تقریباً برابر است با; احتمال

این که معلوم شود «خالی» است برابر است با

از آنجایی که، طبق شرط 2، ضربه های نقاط در بخش های غیر همپوشانی مستقل هستند، پس ما NSبخش ها را می توان به عنوان NS"آزمایش های" مستقل، که در هر یک از آنها می توان بخش را با احتمال "شغول" کرد. اجازه دهید این احتمال را پیدا کنیم که در بین NSبخش ها دقیقا خواهد بود

تی"مشغول". با قضیه تکرار آزمایش ها، این احتمال برابر است با

یا، نشان می دهد XI = a،

با اندازه کافی بزرگ NSاین احتمال تقریباً برابر با احتمال ضربه زدن به بخش / دقیقاً است تیامتیاز، از آنجایی که ضربه دو یا چند نقطه در قطعه Ax احتمال ناچیزی دارد. برای یافتن مقدار دقیق پی تی،لازم است در عبارت (5.9.7) به حد در عبور شود NS-> اوو:

بیایید عبارت زیر علامت حد را تبدیل کنیم:

کسر اول و مخرج آخرین کسر در بیان (5.9.9) در NS -> اوه، بدیهی است که تمایل به وحدت دارند. بیان از NSوابسته نیست. شمارنده آخرین کسر را می توان به صورت زیر تبدیل کرد:

در و بیان (5.9.10) تمایل دارد f ~ a.

بنابراین ثابت شده است که احتمال ضربه دقیقاً وجود دارد تینقطه به یک بخش / با فرمول بیان می شود

جایی که a = XI،آن ها اندازه ایکسبر اساس قانون پواسون با پارامتر توزیع شده است آ = XI.

توجه داشته باشید که مقدار آدر معنی میانگین تعداد نقاط در هر بخش است من.

بزرگی R،(احتمال این که کمیت ایکسمقدار مثبت می گیرد) در این مورد بیان می کند احتمال, که حداقل یک نقطه روی قطعه I بیفتد:

بنابراین، ما مطمئن شدیم که توزیع پواسون در جایی اتفاق می‌افتد که برخی از نقاط (یا عناصر دیگر) مستقل از یکدیگر موقعیت تصادفی را اشغال می‌کنند و تعداد این نقاط که در ناحیه‌ای قرار می‌گیرند شمارش می‌شود. در مورد ما، چنین "منطقه" قطعه / در محور آبسیسا بود. با این حال، نتیجه گیری ما را می توان به راحتی در مورد توزیع نقاط در یک صفحه (یک میدان مسطح تصادفی از نقاط) و در فضا (یک میدان فضایی تصادفی از نقاط) گسترش داد. اثبات اینکه در صورت رعایت شرایط زیر دشوار نیست:

• 1) نقاط از نظر آماری به طور مساوی در میدان با چگالی متوسط ​​توزیع شده اند NS
• 2) نقاط به صورت مستقل در مناطق غیر همپوشانی قرار می گیرند.
• 3) نقاط یک به یک ظاهر می شوند و نه به صورت جفت، سه تایی و غیره، سپس تعداد نقاط ایکس،افتادن به هر منطقه ای دی(مسطح یا فضایی)، طبق قانون پواسون توزیع شده است:

جایی که آمیانگین تعداد نقاطی است که در منطقه می افتد دی

برای کیس تخت

جایی که SD- مساحت منطقه دیبرای فضایی

جایی که V D- حجم منطقه دی

توجه داشته باشید که برای وجود توزیع پواسون از تعداد نقاطی که در یک قطعه یا منطقه قرار می گیرند، شرط چگالی ثابت (X = const) ضروری نیست. اگر دو شرط دیگر برآورده شوند، قانون پواسون همچنان پابرجاست، فقط پارامتر آبیان متفاوتی به خود می گیرد: با یک ضرب ساده چگالی به دست نمی آید ایکسدر طول، مساحت یا حجم منطقه، اما با ادغام چگالی متغیر بر روی یک بخش، مساحت یا حجم (برای جزئیات بیشتر به بخش 19.4 مراجعه کنید).

وجود نقاط تصادفی پراکنده روی یک خط، روی صفحه یا حجم تنها شرطی نیست که تحت آن توزیع پواسون رخ می دهد. به عنوان مثال، می توان ثابت کرد که قانون پواسون حد توزیع دوجمله ای است:

اگر به طور همزمان تعداد آزمایش ها را هدایت کنیم n بهبی نهایت و احتمال R -به صفر، و محصول آنها NSمقدار ثابت را حفظ می کند:

در واقع، این ویژگی محدودکننده توزیع دو جمله ای را می توان به صورت زیر نوشت:

اما شرط (5.9.13) دلالت بر آن دارد

با جایگزینی (5.9.15) به (5.9.14)، برابری را بدست می آوریم

که به تازگی در فرصتی دیگر توسط ما ثابت شده است.

این ویژگی محدود کننده قانون دوجمله ای اغلب در عمل اعمال می شود. اجازه دهید فرض کنیم که تعداد زیادی آزمایش مستقل انجام شده است. NS،که در هر کدام یک رویداد آاحتمال بسیار کمی دارد آر.سپس برای محاسبه احتمال R t "کدام واقعه آدقیقا ظاهر خواهد شد تیبارها می توانید از فرمول تقریبی استفاده کنید

جایی که pr = aپارامتر قانون پواسون است که تقریباً جایگزین توزیع دوجمله ای می شود.

از این ویژگی قانون پواسون - برای بیان توزیع دوجمله ای برای تعداد زیادی آزمایش و احتمال کم یک رویداد - نام آن است که اغلب در کتاب های درسی آماری استفاده می شود: قانون پدیده های نادر

بیایید به چند مثال مربوط به توزیع پواسون از حوزه های مختلف عمل نگاه کنیم.

مثال 1.سانترال تماس های با چگالی متوسط ​​را دریافت می کند بهتماس در ساعت با فرض اینکه تعداد تماس ها در هر بازه زمانی بر اساس قانون پواسون توزیع شده است، این احتمال را پیدا کنید که دقیقاً سه تماس در عرض دو دقیقه به ایستگاه برسد.

راه حل.میانگین تعداد تماس در دو دقیقه عبارت است از:

طبق فرمول (5.9.1) احتمال رسیدن دقیقاً سه تماس

مثال 2. در شرایط مثال قبلی، احتمال اینکه حداقل یک تماس در عرض دو دقیقه برسد را پیدا کنید.

راه حل.با فرمول (5.9.4) داریم:

مثال 3. در شرایط یکسان، احتمال رسیدن حداقل سه تماس در دو دقیقه را پیدا کنید.

راه حل.با فرمول (5.9.4) داریم:

مثال 4.در ماشین بافندگی، نخ به طور متوسط ​​0.375 بار در هر ساعت کار بافندگی می‌شکند. این احتمال را پیدا کنید که برای یک شیفت (8 ساعت) تعداد شکستن نخ ها در محدوده 2 و 4 (حداقل 2 و حداکثر 4 شکست) باشد.

راه حل.به طور مشخص،

ما داریم:

مطابق جدول 8 پیوست در آ = 3

مثال 5. از یک کاتد گرم شده در واحد زمان، به طور متوسط، q (t)الکترون ها، جایی که تی- زمان سپری شده از آغاز آزمایش. این احتمال را بیابید که برای بازه زمانی t از لحظه شروع می شود t 0،دقیقاً از کاتد خارج می شود تیالکترون ها

راه حل.ما میانگین تعداد الکترون‌های a را که از کاتد برای یک دوره زمانی معین گسیل می‌شوند، پیدا می‌کنیم. ما داریم:

بر اساس a محاسبه شده، احتمال مورد نظر را تعیین می کنیم:

مثال 6.تعداد قطعاتی که به یک هدف کوچک در یک موقعیت معین از نقطه شکست برخورد می کنند طبق قانون پواسون توزیع می شود. میانگین چگالی میدان تکه تکه شدن که در آن هدف در یک موقعیت معین از نقطه انفجار قرار دارد 3 osk است. / متر 2. منطقه مورد نظر است S = 0.5 متر مربع. برای اصابت به هدف کافی است حداقل با یک ترکش به آن ضربه بزنید. احتمال اصابت به هدف را در یک موقعیت معین از نقطه شکست پیدا کنید.

راه حل، a = XS = 1.5. با استفاده از فرمول (5.9.4)، احتمال برخورد حداقل یک قطعه را پیدا می کنیم:

(برای محاسبه مقدار تابع نمایی e ~ aما از جدول استفاده می کنیم 2 پیوست.)

مثال 7.میانگین چگالی میکروب های بیماری زا در یک متر مکعب هوا 100 است. برای نمونه 2 dm 3 هوا گرفته می شود. احتمال یافتن حداقل یک میکروب در آن را پیدا کنید. راه حل.با فرضیه توزیع پواسون تعداد میکروب ها در حجم، متوجه می شویم:

مثال 8.برای برخی از اهداف، 50 شلیک مستقل شلیک می شود. احتمال اصابت به هدف با یک شلیک 0.04 است. با استفاده از خاصیت محدودکننده توزیع دو جمله ای (فرمول (5.9.17))، احتمال تقریبی را پیدا کنید که حتی یک پوسته به هدف، یک پوسته، دو پوسته برخورد نکند.

راه حل.ما داریم a = pr = 50 0.04 = 2. طبق جدول 8 پیوست، احتمالات را پیدا می کنیم:

• برای روش‌های تعیین تجربی این ویژگی‌ها، به بخش‌های 7 و 14 زیر مراجعه کنید.

رایج ترین مورد انواع مختلف توزیع احتمال، توزیع دو جمله ای است. اجازه دهید از جهانشمول بودن آن برای تعیین انواع خاصی از توزیع‌ها استفاده کنیم.

توزیع دو جمله ای

بگذارید یک رویداد A رخ دهد. احتمال وقوع رویداد A است پ، احتمال عدم وقوع رویداد A 1 است - پ، گاهی اوقات به عنوان نشان داده می شود q... بگذار باشد n- تعداد تست ها مترآیا فراوانی وقوع رویداد A در اینها است nتست ها

مشخص است که احتمال کل همه ترکیبات ممکن از نتایج برابر با یک است، یعنی:

1 = پ n + n · پ n- 1 (1 - پ) + سی n n- 2 پ n- 2 (1 - پ) 2 + ... + سی n متر · پ متر(1 - پ) n – متر+ ... + (1 - پ) n .

پ nآیا این احتمال وجود دارد که در nnیک بار؛ n · پ n- 1 (1 - پ) آیا این احتمال وجود دارد که در nn- 1) یک بار و یک بار اتفاق نخواهد افتاد. سی n n- 2 پ n- 2 (1 - پ) 2 آیا این احتمال وجود دارد که در nرویداد آزمایشی A رخ خواهد داد ( n- 2) بار و 2 بار اتفاق نخواهد افتاد. پ متر = سی n متر · پ متر(1 - پ) n – متر آیا این احتمال وجود دارد که در nرویداد آزمایشی A رخ خواهد داد متربارها و اتفاق نخواهد افتاد ( n – متر) یک بار؛ (1 - پ) nآیا این احتمال وجود دارد که در nتست رویداد A حتی یک بار هم رخ نخواهد داد. - تعداد ترکیبات nبر متر .

ارزش مورد انتظار متوزیع دو جمله ای برابر است با:

م = n · پ ,

جایی که n- تعداد تست ها پ- احتمال وقوع رویداد A.

ریشه میانگین انحراف مربع σ :

σ = sqrt ( n · پ(1 - پ)) .

مثال 1. محاسبه احتمال که یک رویداد با یک احتمال پ= 0.5، اینچ n= 10 چالش رخ خواهد داد متر= 1 بار ما داریم: سی 10 1 = 10 و بیشتر: پ 1 = 10 0.5 1 (1 - 0.5) 10 - 1 = 10 0.5 10 = 0.0098... همانطور که می بینید، احتمال وقوع این رویداد نسبتاً کم است. این اولاً با این واقعیت توضیح داده می شود که کاملاً مشخص نیست که آیا این رویداد اتفاق می افتد یا خیر ، زیرا احتمال 0.5 است و شانس در اینجا "50 به 50" است. و ثانیاً باید محاسبه شود که رویداد دقیقاً یک بار (نه بیشتر و نه کمتر) از ده اتفاق می افتد.

مثال 2. محاسبه احتمال که یک رویداد با یک احتمال پ= 0.5، اینچ n= 10 چالش رخ خواهد داد متر= 2 بار ما داریم: سی 10 2 = 45 و بیشتر: پ 2 = 45 0.5 2 (1 - 0.5) 10 - 2 = 45 0.5 10 = 0.044... احتمال وقوع این رویداد افزایش یافته است!

مثال 3. بیایید احتمال خود رویداد را افزایش دهیم. بیایید احتمال آن را بیشتر کنیم. محاسبه احتمال که یک رویداد با یک احتمال پ= 0.8، اینچ n= 10 چالش رخ خواهد داد متر= 1 بار ما داریم: سی 10 1 = 10 و بیشتر: پ 1 = 10 0.8 1 (1 - 0.8) 10 - 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.000004... احتمال کمتر از مثال اول شده است! پاسخ، در نگاه اول، عجیب به نظر می رسد، اما از آنجایی که این رویداد احتمال نسبتاً بالایی دارد، بعید است که فقط یک بار اتفاق بیفتد. بیشتر از یک بار اتفاق می افتد. در واقع، شمارش پ 0 , پ 1 , پ 2 , پ 3، ...، پ 10 (احتمالی که رویداد در n= 10 تست 0، 1، 2، 3، ...، 10 بار رخ خواهد داد)، خواهیم دید:

سی 10 0 = 1 , سی 10 1 = 10 , سی 10 2 = 45 , سی 10 3 = 120 , سی 10 4 = 210 , سی 10 5 = 252 ,
سی 10 6 = 210 , سی 10 7 = 120 , سی 10 8 = 45 , سی 10 9 = 10 , سی 10 10 = 1 ;

پ 0 = 1 0.8 0 (1 - 0.8) 10 - 0 = 1 1 0.2 10 = 0.0000;
پ 1 = 10 0.8 1 (1 - 0.8) 10 - 1 = 10 0.8 1 0.2 9 = 0.0000;
پ 2 = 45 0.8 2 (1 - 0.8) 10 - 2 = 45 0.8 2 0.2 8 = 0.0000;
پ 3 = 120 0.8 3 (1 - 0.8) 10 - 3 = 120 0.8 3 0.2 7 = 0.0008;
پ 4 = 210 0.8 4 (1 - 0.8) 10 - 4 = 210 0.8 4 0.2 6 = 0.0055;
پ 5 = 252 0.8 5 (1 - 0.8) 10 - 5 = 252 0.8 5 0.2 5 = 0.0264;
پ 6 = 210 0.8 6 (1 - 0.8) 10 - 6 = 210 0.8 6 0.2 4 = 0.0881;
پ 7 = 120 0.8 7 (1 - 0.8) 10 - 7 = 120 0.8 7 0.2 3 = 0.2013;
پ 8 = 45 0.8 8 (1 - 0.8) 10 - 8 = 45 0.8 8 0.2 2 = 0.3020(بیشترین احتمال!)
پ 9 = 10 0.8 9 (1 - 0.8) 10 - 9 = 10 0.8 9 0.2 1 = 0.2684;
پ 10 = 1 0.8 10 (1 - 0.8) 10 - 10 = 1 0.8 10 0.2 0 = 0.1074

البته پ 0 + پ 1 + پ 2 + پ 3 + پ 4 + پ 5 + پ 6 + پ 7 + پ 8 + پ 9 + پ 10 = 1 .

توزیع نرمال

اگر مقادیر را به تصویر بکشیم پ 0 , پ 1 , پ 2 , پ 3، ...، پ 10، که در مثال 3 محاسبه کردیم، در نمودار، معلوم می شود که توزیع آنها شکلی نزدیک به قانون توزیع نرمال دارد (شکل 27.1 را ببینید) (به سخنرانی 25 مراجعه کنید. مدل سازی متغیرهای تصادفی با توزیع نرمال).

برنج. 27.1. نوع توزیع دو جمله ای
احتمالات برای m های مختلف در p = 0.8، n = 10

اگر احتمال وقوع و عدم وقوع رویداد A تقریباً یکسان باشد، قانون دوجمله ای به یک قانون عادی تبدیل می شود، یعنی به صورت مشروط می توانیم بنویسیم: پ≈ (1 - پ) ... مثلا بگیر n= 10 و پ= 0.5 (یعنی پ= 1 - پ = 0.5 ).

اگر مثلاً بخواهیم به صورت نظری محاسبه کنیم که از هر 10 فرزندی که در یک روز در یک زایشگاه متولد می شوند، چند پسر و چند دختر وجود دارد، به چنین مشکلی معنادار خواهیم رسید. به طور دقیق تر، پسر و دختر را نمی شمریم، بلکه احتمال اینکه فقط پسر به دنیا بیاید، 1 پسر و 9 دختر، 2 پسر و 8 دختر و غیره حساب نمی کنیم. بیایید برای سادگی فرض کنیم که احتمال تولد یک پسر و یک دختر یکسان و برابر با 0.5 است (اما در واقع، صادقانه بگویم، اینطور نیست، به دوره "مدل سازی سیستم های هوش مصنوعی" مراجعه کنید).

واضح است که توزیع متقارن خواهد بود، زیرا احتمال 3 پسر و 7 دختر برابر با احتمال 7 پسر و 3 دختر است. احتمال تولد 5 پسر و 5 دختر بیشتر است. این احتمال برابر با 0.25 است، اتفاقاً از نظر قدر مطلق زیاد نیست. علاوه بر این، احتمال اینکه 10 یا 9 پسر به طور همزمان به دنیا بیایند بسیار کمتر از احتمال تولد 1±5 پسر از هر 10 فرزند است. این توزیع دو جمله ای است که به ما در انجام این محاسبه کمک می کند. بنابراین.

سی 10 0 = 1 , سی 10 1 = 10 , سی 10 2 = 45 , سی 10 3 = 120 , سی 10 4 = 210 , سی 10 5 = 252 ,
سی 10 6 = 210 , سی 10 7 = 120 , سی 10 8 = 45 , سی 10 9 = 10 , سی 10 10 = 1 ;

پ 0 = 1 0.5 0 (1 - 0.5) 10 - 0 = 1 1 0.5 10 = 0.000977;
پ 1 = 10 0.5 1 (1 - 0.5) 10 - 1 = 10 0.5 10 = 0.009766;
پ 2 = 45 0.5 2 (1 - 0.5) 10 - 2 = 45 0.5 10 = 0.043945;
پ 3 = 120 0.5 3 (1 - 0.5) 10 - 3 = 120 0.5 10 = 0.117188;
پ 4 = 210 0.5 4 (1 - 0.5) 10 - 4 = 210 0.5 10 = 0.205078;
پ 5 = 252 0.5 5 (1 - 0.5) 10 - 5 = 252 0.5 10 = 0.246094;
پ 6 = 210 0.5 6 (1 - 0.5) 10 - 6 = 210 0.5 10 = 0.205078;
پ 7 = 120 0.5 7 (1 - 0.5) 10 - 7 = 120 0.5 10 = 0.117188;
پ 8 = 45 0.5 8 (1 - 0.5) 10 - 8 = 45 0.5 10 = 0.043945;
پ 9 = 10 0.5 9 (1 - 0.5) 10 - 9 = 10 0.5 10 = 0.009766;
پ 10 = 1 0.5 10 (1 - 0.5) 10 - 10 = 1 0.5 10 = 0.000977

البته پ 0 + پ 1 + پ 2 + پ 3 + پ 4 + پ 5 + پ 6 + پ 7 + پ 8 + پ 9 + پ 10 = 1 .

اجازه دهید مقادیر را روی نمودار منعکس کنیم پ 0 , پ 1 , پ 2 , پ 3، ...، پ 10 (شکل 27.2 را ببینید).

برنج. 27.2. نمودار توزیع دوجمله ای با پارامترها
p = 0.5 و n = 10، آن را به قانون عادی نزدیکتر می کند

بنابراین، تحت شرایط متر ≈ n/ 2 و پ≈ 1 - پیا پ≈ 0.5 به جای توزیع دو جمله ای، می توان از توزیع نرمال استفاده کرد. برای مقادیر بزرگ nنمودار به سمت راست جابه جا می شود و هر چه بیشتر مسطح می شود، زیرا انتظارات ریاضی و واریانس با افزایش افزایش می یابد. n : م = n · پ , دی = n · پ(1 - پ) .

به هر حال، قانون دوجمله ای به سمت نرمال و با افزایش میل می کند n، که طبق قضیه حد مرکزی کاملاً طبیعی است (به سخنرانی 34 مراجعه کنید. تثبیت و پردازش نتایج آماری).

حال اجازه دهید در نظر بگیریم که چگونه قانون دوجمله ای در مورد زمانی تغییر می کند پ ≠ q، به این معنا که پ-> 0. در این حالت نمی‌توان فرضیه نرمال بودن توزیع را اعمال کرد و توزیع دوجمله‌ای به توزیع پواسون تبدیل می‌شود.

توزیع پواسون

توزیع پواسون یک مورد خاص از توزیع دوجمله ای است (برای n>> 0 و برای پ-> 0 (رویدادهای نادر)).

از ریاضیات، فرمولی شناخته شده است که به شما امکان می دهد تقریباً مقدار هر عضوی از توزیع دو جمله ای را محاسبه کنید:

جایی که آ = n · پ - پارامتر پواسون (انتظار ریاضی) و واریانس برابر با انتظار ریاضی است. اجازه دهید محاسبات ریاضی توضیح دهنده این انتقال را ارائه کنیم. قانون توزیع دوجمله ای

پ متر = سی n متر · پ متر(1 - پ) n – متر

را می توان با گذاشتن نوشت پ = آ/n ، مانند

زیرا پبسیار کوچک است، پس فقط باید اعداد را در نظر گرفت متر، کوچک در مقایسه با n... کار کنید

خیلی نزدیک به یکی همین امر در مورد ارزش نیز صدق می کند

بزرگی

بسیار نزدیک به ه – آ... از اینجا فرمول را دریافت می کنیم:

یک مثال. جعبه حاوی n= 100 قطعه، هم با کیفیت و هم معیوب. احتمال به دست آوردن یک محصول معیوب است پ= 0.01. فرض کنید محصول را بیرون می آوریم، معیوب بودن یا نبودن آن را تشخیص می دهیم و دوباره می گذاریم. با این کار مشخص شد از 100 محصولی که رفتیم، دو محصول معیوب بودند. احتمال وقوع این اتفاق چقدر است؟

با توزیع دو جمله ای به دست می آوریم:

با توزیع پواسون، به دست می آوریم:

همانطور که می بینید، مقادیر نزدیک به نظر می رسد، بنابراین، در مورد رویدادهای نادر، استفاده از قانون پواسون کاملا قابل قبول است، به خصوص که به هزینه های محاسباتی کمتری نیاز دارد.

اجازه دهید به صورت گرافیکی شکل قانون پواسون را نشان دهیم. بیایید پارامترها را به عنوان مثال در نظر بگیریم پ = 0.05 , n= 10. سپس:

سی 10 0 = 1 , سی 10 1 = 10 , سی 10 2 = 45 , سی 10 3 = 120 , سی 10 4 = 210 , سی 10 5 = 252 ,
سی 10 6 = 210 , سی 10 7 = 120 , سی 10 8 = 45 , سی 10 9 = 10 , سی 10 10 = 1 ;

پ 0 = 1 0.05 0 (1 - 0.05) 10 - 0 = 1 1 0.95 10 = 0.5987;
پ 1 = 10 0.05 1 (1 - 0.05) 10 - 1 = 10 0.05 1 0.95 9 = 0.3151;
پ 2 = 45 0.05 2 (1 - 0.05) 10 - 2 = 45 0.05 2 0.95 8 = 0.0746;
پ 3 = 120 0.05 3 (1 - 0.05) 10 - 3 = 120 0.05 3 0.95 7 = 0.0105;
پ 4 = 210 0.05 4 (1 - 0.05) 10 - 4 = 210 0.05 4 0.95 6 = 0.00096;
پ 5 = 252 0.05 5 (1 - 0.05) 10 - 5 = 252 0.05 5 0.95 5 = 0.00006;
پ 6 = 210 0.05 6 (1 - 0.05) 10 - 6 = 210 0.05 6 0.95 4 = 0.0000;
پ 7 = 120 0.05 7 (1 - 0.05) 10 - 7 = 120 0.05 7 0.95 3 = 0.0000;
پ 8 = 45 0.05 8 (1 - 0.05) 10 - 8 = 45 0.05 8 0.95 2 = 0.0000;
پ 9 = 10 0.05 9 (1 - 0.05) 10 - 9 = 10 0.05 9 0.95 1 = 0.0000;
پ 10 = 1 0.05 10 (1 - 0.05) 10 - 10 = 1 0.05 10 0.95 0 = 0.0000

البته پ 0 + پ 1 + پ 2 + پ 3 + پ 4 + پ 5 + پ 6 + پ 7 + پ 8 + پ 9 + پ 10 = 1 .

برنج. 27.3. نمودار توزیع پواسون در p = 0.05 و n = 10

در n-> ∞ طبق قضیه حد مرکزی، توزیع پواسون به قانون عادی می رود (ر.ک.

توزیع پواسون - مورد دو جمله ای زمانی که تعداد تست ها nبه اندازه کافی بزرگ، و احتمال پتحولات آکم اهمیت ().

توزیع پواسون توزیع رویداد نادر نیز نامیده می شود. مثلا تولد سه یا چهار قلو در سال، قانون توزیع یکسان تعداد اتم های پوسیده یک ماده رادیواکتیو در واحد زمان و غیره دارد.

احتمال وقوع حوادث نادر با استفاده از فرمول پواسون محاسبه می شود :

,

جایی که مترشماره وقوع رویداد آ;

مقدار متوسط ​​توزیع پواسون؛

ه= 2.7183 پایه لگاریتم طبیعی است.

قانون پواسون به یک پارامتر بستگی دارد - λ (لامبدا) که معنای آن به شرح زیر است: هم انتظار ریاضی و هم واریانس یک متغیر تصادفی است که طبق قانون پواسون توزیع شده است.

شرایط برای توزیع پواسون

شرایطی را در نظر بگیرید که در آن توزیع پواسون رخ می دهد.

در ابتدا، توزیع پواسون حد توزیع دوجمله ای است زمانی که تعداد آزمایشات nبه طور نامحدود افزایش می یابد (به بی نهایت تمایل دارد) و در عین حال احتمال پموفقیت در یک آزمایش به طور نامحدود کاهش می یابد (به سمت صفر می رود)، اما به گونه ای که محصول آنها npدر حد ثابت و برابر می ماند λ (لامبدا):

در تحلیل ریاضی ثابت شده است که توزیع پواسون با پارامتر λ = npمی توان تقریباً به جای دو جمله ای، زمانی که تعداد آزمایش ها استفاده می شود nخیلی زیاد ولی احتمالش پبسیار کوچک، یعنی در هر فردی یک رویداد را تجربه کند آبسیار به ندرت ظاهر می شود.

ثانیاً توزیع پواسون زمانی اتفاق می افتد که جریانی از رویدادها وجود داشته باشد که ساده ترین (یا جریان پواسون ثابت) نامیده می شود. ... جریان رویدادها دنباله ای از لحظاتی مانند رسیدن تماس ها به مرکز ارتباطی، ورود بازدیدکنندگان به فروشگاه، ورود قطارها به حیاط مارشالینگ و مواردی از این دست است. جریان پواسون دارای ویژگی های زیر است:

• ثابت بودن: احتمال وقوع متررویدادها در یک دوره زمانی مشخص ثابت است و به شروع شمارش زمان بستگی ندارد، بلکه فقط به طول بخش زمانی بستگی دارد.
• معمولی: احتمال وقوع دو یا چند رویداد در یک بازه زمانی کوچک در مقایسه با احتمال وقوع یک رویداد در آن ناچیز است.
• بدون نتیجه: احتمال وقوع متررویدادها در یک دوره زمانی خاص به تعداد رویدادهای دوره قبل بستگی ندارد.

ویژگی های یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون پواسون

ویژگی های یک متغیر تصادفی توزیع شده بر اساس قانون پواسون:

ارزش مورد انتظار

انحراف معیار ؛

واریانس

توزیع و محاسبات پواسون در MS Excel

احتمال توزیع پواسون پ(متر) و مقادیر تابع انتگرال اف(متر) را می توان با استفاده از تابع MS Excel POISSON.DIST محاسبه کرد. پنجره محاسبه مربوطه در زیر نشان داده شده است (برای بزرگنمایی، با دکمه سمت چپ ماوس کلیک کنید).

MS Excel به داده های زیر نیاز دارد تا وارد شود:

• ایکس- تعداد رویدادها متر;
• میانگین؛
• انتگرال - مقدار بولی: 0 - اگر نیاز به محاسبه احتمال دارید پ(متر) و 1 - در صورت احتمال اف(متر).

نمونه های توزیع پواسون

مثال 1.مدیر یک شرکت مخابراتی تصمیم گرفت احتمال رسیدن تماس های 0، 1، 2، ... را در مدت پنج دقیقه در یک شهر کوچک خاص محاسبه کند. فواصل تصادفی پنج دقیقه ای انتخاب شد، تعداد تماس ها در هر بازه شمارش شد و میانگین تعداد تماس ها محاسبه شد:.

احتمال اینکه 6 تماس در عرض پنج دقیقه برسد را محاسبه کنید.

راه حل. با فرمول پواسون بدست می آوریم:

ما همان نتیجه را با استفاده از تابع MS Excel POISSON.DIST بدست می آوریم (مقدار انتگرال 0 است):

پ(6 ) = POISSON.DIST (6; 4.8; 0) = 0.1398.

بیایید این احتمال را محاسبه کنیم که بیش از 6 تماس در عرض پنج دقیقه نرسد (مقدار انتگرال 1 است):

پ(≤6 ) = POISSON.DIST (6؛ 4.8؛ 1) = 0.7908.

مثال را خودتان حل کنید و سپس راه حل را ببینید

مثال 2.سازنده 1000 تلویزیون تایید شده یعنی قابل سرویس را به برخی از شهرها ارسال کرد. احتمال خراب شدن تلویزیون در حین حمل و نقل 0.003 است. یعنی در این مورد قانون توزیع پواسون اعمال می شود. این احتمال را پیدا کنید که از بین تمام تلویزیون های تحویل داده شده، موارد زیر معیوب باشند: 1) دو تلویزیون. 2) کمتر از دو تلویزیون.

با هم به حل مثال ها ادامه می دهیم

مثال 3.مرکز تماس مشتریان جریانی از تماس ها را با شدت 0.8 تماس در دقیقه دریافت می کند. این احتمال را پیدا کنید که در عرض 2 دقیقه: الف) حتی یک تماس برقرار نشود. ب) دقیقاً یک تماس خواهد آمد. ج) حداقل یک تماس خواهد آمد.

نظریه مختصر

اجازه دهید تست های مستقلی انجام شود که در هر یک از آنها احتمال وقوع یک رویداد برابر است. برای تعیین احتمال وقوع یک رویداد در این آزمون ها از فرمول برنولی استفاده می شود. اگر بزرگ است، از یا استفاده کنید. با این حال، این فرمول اگر کوچک باشد غیر قابل استفاده است. در این موارد (بزرگ، کوچک) به مجانبی متوسل می شوند فرمول پواسون.

بیایید وظیفه خود را پیدا کنیم که این احتمال را پیدا کنیم که با تعداد بسیار زیادی آزمون، که در هر یک از آنها احتمال یک رویداد بسیار کم است، رویداد دقیقاً یک بار رخ دهد. بیایید یک فرض مهم داشته باشیم: کار ثابت می ماند، یعنی. این به این معنی است که میانگین تعداد وقوع یک رویداد در سری های آزمایشی مختلف، یعنی. در مقادیر مختلف، بدون تغییر باقی می ماند.

نمونه ای از حل مشکل

مشکل 1

این پایگاه 10000 لامپ الکتریکی دریافت کرد. احتمال شکستن لامپ در راه 0.0003 است. این احتمال را پیدا کنید که در بین لامپ های حاصل، پنج لامپ شکسته وجود داشته باشد.

راه حل

شرایط کاربرد برای فرمول پواسون:

اگر احتمال وقوع یک رویداد در یک آزمایش فردی به اندازه کافی نزدیک به صفر باشد، حتی برای مقادیر زیادی از تعداد آزمایش‌ها، احتمال محاسبه شده توسط قضیه لاپلاس محلی به اندازه کافی دقیق نیست. در چنین مواردی از فرمول مشتق شده توسط پواسون استفاده کنید.

اجازه دهید رویداد - 5 لامپ شکسته شود

بیایید از فرمول پواسون استفاده کنیم:

در مورد ما:

پاسخ

وظیفه 2

این شرکت دارای 1000 قطعه تجهیزات از یک نوع خاص است. احتمال خرابی یک دستگاه در یک ساعت 0.001 است. قانون توزیع تعداد خرابی تجهیزات را ظرف یک ساعت تنظیم کنید. مشخصه های عددی را پیدا کنید.

راه حل

متغیر تصادفی - تعداد خرابی های تجهیزات، می تواند مقادیری را بگیرد

بیایید از قانون پواسون استفاده کنیم:

بیایید این احتمالات را پیدا کنیم:

.

انتظارات ریاضی و واریانس یک متغیر تصادفی که طبق قانون پواسون توزیع شده است برابر با پارامتر این توزیع است:

قیمت به شدت تحت تأثیر فوریت تصمیم (از یک روز تا چند ساعت) است. کمک آنلاین برای آزمون / آزمون با قرار قبلی در دسترس است.

شما می توانید برنامه را مستقیماً در چت ترک کنید و قبلاً شرایط کارها را کنار گذاشته اید و شرایط راه حل مورد نیاز خود را به شما اطلاع می دهید. زمان پاسخگویی چند دقیقه است.

جایی که λ برابر است با میانگین تعداد وقوع رویدادها در همان آزمون‌های مستقل، یعنی. λ = n × p، که در آن p احتمال یک رویداد در یک آزمون است، e = 2.71828.

سری توزیع قانون پواسون به شکل زیر است:

هدف خدمات... ماشین حساب آنلاین برای ساخت توزیع پواسون و محاسبه تمام ویژگی های سری استفاده می شود: انتظارات ریاضی، واریانس و انحراف استاندارد. گزارش با راه حل در قالب Word تهیه شده است.

در موردی که n بزرگ است و λ = p · n> 10، فرمول پواسون یک تقریب بسیار تقریبی را به دست می دهد و از قضایای محلی و انتگرالی مویور-لاپلاس برای محاسبه Pn (m) استفاده می شود.

ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی X

انتظار توزیع پواسون
M [X] = λ

واریانس توزیع پواسون
D [X] = λ

مثال شماره 1. دانه ها حاوی 0.1 درصد علف های هرز هستند. احتمال یافتن 5 بذر علف هرز در انتخاب تصادفی 2000 بذر چقدر است؟
راه حل.
احتمال p کوچک است، اما عدد n بزرگ است. np = 2 P (5) = λ 5 e -5 / 5! = 0.03609
ارزش مورد انتظار: M [X] = λ = 2
پراکندگی: D [X] = λ = 2

مثال شماره 2. در بین دانه های چاودار 0.4 درصد بذر علف های هرز وجود دارد. قانون توزیع تعداد علف های هرز را با انتخاب تصادفی 5000 دانه ترسیم کنید. انتظارات ریاضی و واریانس این متغیر تصادفی را بیابید.
راه حل. انتظارات ریاضی: M [X] = λ = 0.004 * 5000 = 20. واریانس: D [X] = λ = 20
قانون توزیع:

ایکس	0	1	2	…	متر	…
پ	e -20	20e -20	200e -20	…	20 متر e -20 / متر!	…

مثال شماره 3. در مرکز تلفن، اتصال اشتباه با احتمال 1/200 رخ می دهد. احتمال اینکه از بین 200 اتصال رخ دهد را پیدا کنید:
الف) دقیقاً یک اتصال اشتباه؛
ب) کمتر از سه اتصال نادرست؛
ج) بیش از دو اتصال نادرست.
راه حل.با شرط مسئله، احتمال وقوع یک رویداد کم است، بنابراین از فرمول پواسون (15) استفاده می کنیم.
الف) داده می شود: n = 200، p = 1/200، k = 1. P 200 (1) را پیدا کنید.
ما گرفتیم: ... سپس P 200 (1) ≈ e -1 ≈ 0.3679.
ب) داده شده: n = 200، p = 1/200، k< 3. Найдем P 200 (k < 3).
داریم: a = 1.

ج) با توجه به: n = 200، p = 1/200، k> 2. P 200 (k> 2) را پیدا کنید.
این مشکل را می توان ساده تر حل کرد: احتمال رویداد مخالف را پیدا کنید، زیرا در این مورد لازم است تعداد کمتری را محاسبه کنید. با احتساب مورد قبلی داریم

موردی را در نظر بگیرید که n به اندازه کافی بزرگ و p به اندازه کافی کوچک باشد. قرار دادن np = a، که در آن a مقداری است. در این حالت، احتمال مورد نظر با فرمول پواسون تعیین می شود:

احتمال وقوع k رویداد در طول مدت زمان t را نیز می توان با استفاده از فرمول پواسون یافت:
که در آن λ شدت جریان رویدادها است، یعنی میانگین تعداد رویدادهایی که در واحد زمان ظاهر می شوند.

مثال شماره 4. احتمال معیوب بودن قطعه 0.005 است. 400 قطعه بررسی شده است. فرمول محاسبه احتمال معیوب بودن بیش از 3 قسمت را مشخص کنید.

مثال شماره 5. احتمال ظاهر شدن قطعات معیوب در تولید انبوه p است. احتمال اینکه یک دسته از N قسمت شامل الف) دقیقاً سه قسمت باشد را تعیین کنید. ب) بیش از سه قطعه معیوب نباشد.
p = 0.001; N = 4500
راه حل.
احتمال p کوچک است، اما عدد n بزرگ است. np = 4.5< 10. Значит случайная величина Х – распределена по Пуассоновскому распределению. Составим закон.
متغیر تصادفی X دارای محدوده ای از مقادیر (0،1،2، ...، m) است. احتمالات این مقادیر را می توان با فرمول پیدا کرد:

سری توزیع X را پیدا کنید.
در اینجا λ = np = 4500 * 0.001 = 4.5
P (0) = e - λ = e -4.5 = 0.01111
P (1) = λe -λ = 4.5e -4.5 = 0.04999

پس احتمال اینکه یک دسته از N قسمت دقیقاً شامل سه قسمت باشد، است:

سپس این احتمال وجود دارد که یک دسته از N قسمت بیش از سه قسمت معیوب نباشد:
P (x<3) = P(0) + P(1) + P(2) = 0,01111 + 0,04999 + 0,1125 = 0,1736

مثال شماره 6. یک مرکز تلفن خودکار به طور متوسط ​​N تماس در ساعت دریافت می کند. احتمال اینکه او در یک دقیقه معین دریافت کند را تعیین کنید: الف) دقیقاً دو تماس. ب) بیش از دو تماس.
N = 18
راه حل.
برای یک دقیقه، ATC به طور متوسط ​​λ = 18/60 دقیقه دریافت می کند. = 0.3
با فرض اینکه یک شماره تصادفی X از تماس ها در یک دقیقه به PBX می رسد،
از قانون پواسون پیروی می کند، با فرمول احتمال لازم را پیدا می کنیم

سری توزیع X را پیدا کنید.
در اینجا λ = 0.3
P (0) = e - λ = e -0.3 = 0.7408
P (1) = λe -λ = 0.3e -0.3 = 0.2222

احتمال اینکه در یک دقیقه معین دقیقاً دو تماس دریافت کند:
P (2) = 0.03334
احتمال اینکه در یک دقیقه معین بیش از دو تماس دریافت کند:
P (x> 2) = 1 - 0.7408 - 0.2222 - 0.03334 = 0.00366

مثال شماره 7. دو عنصر در نظر گرفته می شود که مستقل از یکدیگر کار می کنند. uptime دارای توزیع نمایی با پارامتر λ1 = 0.02 برای عنصر اول و λ2 = 0.05 برای عنصر دوم است. این احتمال را پیدا کنید که در 10 ساعت: الف) هر دو عنصر بدون نقص کار کنند. ب) فقط احتمال اینکه عنصر شماره 1 در 10 ساعت خراب نشود:
اعلامیه.
P 1 (0) = e -λ1 * t = e -0.02 * 10 = 0.8187

احتمال اینکه در 10 ساعت عنصر شماره 2 خراب نشود:
P 2 (0) = e -λ2 * t = e -0.05 * 10 = 0.6065

الف) هر دو عنصر بی عیب و نقص کار خواهند کرد.
P (2) = P 1 (0) * P 2 (0) = 0.8187 * 0.6065 = 0.4966
ب) فقط یک عنصر از کار خواهد افتاد.
P (1) = P 1 (0) * (1-P 2 (0)) + (1-P 1 (0)) * P 2 (0) = 0.8187 * (1-0.6065) + (1-0.8187) * 0.6065 = 0.4321

مثال شماره 7. تولید 1 درصد قراضه می دهد. احتمال اینکه از 1100 موردی که برای تحقیق گرفته می شود، 17 مورد بیشتر رد نشود چقدر است؟
توجه داشته باشید: از آنجایی که در اینجا n * p = 1100 * 0.01 = 11> 10، پس لازم است از