یک دایره را با استفاده از یک معادله رسم کنید. روی صفحه مختصات دایره کنید

عملکرد ساخت

ما خدماتی را برای ترسیم نمودارهای عملکرد به صورت آنلاین مورد توجه شما قرار می دهیم که کلیه حقوق آن متعلق به شرکت است دسموس... برای وارد کردن توابع از ستون سمت چپ استفاده کنید. می توانید آن را به صورت دستی یا با استفاده از صفحه کلید مجازی در پایین پنجره وارد کنید. برای بزرگ کردن پنجره با نمودار، می توانید هم ستون سمت چپ و هم صفحه کلید مجازی را پنهان کنید.

مزایای ترسیم نمودار آنلاین

• نمایش بصری توابع وارد شده
• ساخت نمودارهای بسیار پیچیده
• ایجاد نمودارها، به طور ضمنی (به عنوان مثال، بیضی x ^ 2/9 + y ^ 2/16 = 1)
• امکان ذخیره نمودارها و دریافت لینک به آنها که در اینترنت در دسترس همه قرار می گیرد
• کنترل مقیاس، رنگ خط
• امکان رسم نمودارها بر اساس نقاط، با استفاده از ثابت ها
• ساخت همزمان چندین نمودار از توابع
• رسم در مختصات قطبی (استفاده از r و θ (\ تتا))

ساختن نمودارهایی با پیچیدگی های مختلف به صورت آنلاین با ما آسان است. ساخت و ساز به صورت آنی انجام می شود. این سرویس برای یافتن نقاط تقاطع توابع، نمایش نمودارها برای حرکت بیشتر آنها در سند Word به عنوان تصاویر هنگام حل مسائل، برای تجزیه و تحلیل ویژگی های رفتاری نمودارهای تابع مورد تقاضا است. مرورگر بهینه برای کار با نمودارها در این صفحه از سایت، گوگل کروم است. عملکرد با سایر مرورگرها تضمین نمی شود.

اگر یک دایره عدد واحد را روی یک صفحه مختصات قرار دهید، می توان مختصاتی را برای نقاط آن پیدا کرد. دایره عددی طوری قرار می گیرد که مرکز آن با نقطه مبدا هواپیما، یعنی نقطه O (0؛ 0) منطبق باشد.

معمولاً در دایره شماره واحد، نقاطی مطابق با مبدا روی دایره مشخص می شوند

• چهارم - 0 یا 2π، π / 2، π، (2π) / 3،
• اواسط یک چهارم - π / 4، (3π) / 4، (5π) / 4، (7π) / 4،
• یک سوم چهارم - π / 6، π / 3، (2π) / 3، (5π) / 6، (7π) / 6، (4π) / 3، (5π) / 3، (11π) / 6.

در صفحه مختصات با محل بالا دایره واحد روی آن، می توانید مختصات مربوط به این نقاط دایره را بیابید.

یافتن مختصات انتهای محله ها بسیار آسان است. در نقطه 0 دایره، مختصات x 1 است و y 0 است. می توان آن را به صورت A (0) = A (1؛ 0) نشان داد.

پایان سه ماهه اول روی محور y مثبت قرار خواهد گرفت. بنابراین، B (π / 2) = B (0؛ 1).

پایان سه ماهه دوم روی نیم محور منفی است: C (π) = C (-1؛ 0).

پایان کوارتر سوم: D ((2π) / 3) = D (0; -1).

اما چگونه می توان مختصات نقاط میانی یک چهارم را پیدا کرد؟ برای این کار یک مثلث قائم الزاویه بسازید. هیپوتانوس آن قطعه ای از مرکز دایره (یا مبدأ) تا نقطه میانی یک چهارم دایره است. این شعاع دایره است. از آنجایی که دایره واحد است، هیپوتانوس 1 است. سپس، یک عمود از نقطه دایره به هر محوری رسم می شود. بگذارید به سمت محور x باشد. یک مثلث قائم الزاویه به دست می آید که طول پاهای آن مختصات x و y نقطه دایره است.

ربع دایره 90 درجه است. و نیم ربع 45 درجه است. از آنجایی که هیپوتنوز به نقطه وسط یک چهارم کشیده می شود، زاویه بین هیپوتنوز و ساق که از مبدأ امتداد می یابد 45 درجه است. اما مجموع زوایای هر مثلث 180 درجه است. بنابراین، زاویه بین هیپوتنوز و پای دیگر نیز 45 درجه است. یک مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین پیدا می شود.

از قضیه فیثاغورث معادله x 2 + y 2 = 1 2 را به دست می آوریم. از آنجایی که x = y و 1 2 = 1، معادله به x 2 + x 2 = 1 ساده شده است. با حل آن، x = √½ = 1 / √2 = √2 / 2 به دست می آوریم.

بنابراین، مختصات نقطه M 1 (π / 4) = M 1 (√2 / 2؛ √2 / 2) است.

در مختصات نقاط میانی ربع های دیگر، فقط علائم تغییر می کند و مدول مقادیر ثابت می ماند، زیرا مثلث قائم الزاویه فقط معکوس می شود. ما گرفتیم:
M 2 ((3π) / 4) = M 2 (-√2 / 2؛ √2 / 2)
M 3 ((5π) / 4) = M 3 (-√2 / 2؛ -√2 / 2)
M 4 ((7π) / 4) = M 4 (√2 / 2؛ -√2 / 2)

هنگام تعیین مختصات قسمت های سوم ربع های دایره، یک مثلث قائم الزاویه نیز ساخته می شود. اگر نقطه π / 6 را بگیریم و عمود بر محور x رسم کنیم، زاویه بین هیپوتنوز و پایی که روی محور x قرار دارد 30 درجه خواهد بود. مشخص است که پایی که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد برابر با نیمی از هیپوتنوز است. بنابراین، ما مختصات y را پیدا کردیم، برابر با ½ است.

با دانستن طول هایپوتنوس و یکی از پاها، طبق قضیه فیثاغورث، یک پایه دیگر پیدا می کنیم:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 = 1 - ¼ = ¾
x = √3/2

بنابراین، T 1 (π / 6) = T 1 (√3 / 2؛ ½).

برای نقطه یک سوم دوم ربع اول (π / 3) بهتر است عمود بر محور را به محور y رسم کنید. سپس زاویه مبدا مختصات نیز 30 درجه خواهد بود. در اینجا مختصات x برابر با ½ و y به ترتیب √3 / 2 خواهد بود: T 2 (π / 3) = T 2 (½؛ √3 / 2).

برای سایر نقاط سه ماهه سوم، علائم و ترتیب مقادیر مختصات تغییر می کند. تمام نقاطی که به محور x نزدیک‌تر هستند، مدول مختصات x √3/2 خواهند داشت. نقاطی که به محور y نزدیکتر هستند دارای مقدار y √3/2 در مقدار مطلق خواهند بود.
T 3 ((2π) / 3) = T 3 (-½؛ √3 / 2)
T 4 ((5π) / 6) = T 4 (-√3 / 2؛ ½)
T 5 ((7π) / 6) = T 5 (-√3 / 2؛ -½)
T 6 ((4π) / 3) = T 6 (-½؛ -√3 / 2)
T 7 ((5π) / 3) = T 7 (½؛ -√3 / 2)
T 8 ((11π) / 6) = T 8 (√3 / 2; -½)

هندسه تحلیلی تکنیک های یکسانی برای حل مسائل هندسی ارائه می دهد. برای این کار تمامی نقاط و خطوط مشخص و مورد نیاز به یک سیستم مختصات ارجاع داده می شود.

در سیستم مختصات، هر نقطه را می توان با مختصات خود و هر خط را با معادله ای با دو مجهول مشخص کرد که نمودار آن این خط است. بنابراین، یک مسئله هندسی به یک مسئله جبری کاهش می یابد، جایی که تمام تکنیک های محاسبه به خوبی توسعه یافته است.

دایره مکانی از نقاط با یک ویژگی خاص است (هر نقطه از یک دایره از یک نقطه فاصله دارد که مرکز نامیده می شود). معادله دایره باید این ویژگی را منعکس کند، این شرط را برآورده کند.

تفسیر هندسی معادله دایره، خط دایره است.

اگر یک دایره را در یک سیستم مختصات قرار دهید، تمام نقاط دایره یک شرط را برآورده می کنند - فاصله آنها تا مرکز دایره باید یکسان و برابر دایره باشد.

دایره در مرکز نقطه آ و شعاع آر در صفحه مختصات قرار دهید.

اگر مختصات مرکز (الف؛ ب) ، و مختصات هر نقطه از دایره (x; y) ، سپس معادله دایره به شکل زیر است:

اگر مربع شعاع یک دایره برابر با مجموع مجذورات اختلاف مختصات متناظر هر نقطه از دایره و مرکز آن باشد، این معادله معادله دایره در یک سیستم مختصات مسطح است.

اگر مرکز دایره با نقطه مبدا منطبق باشد، مربع شعاع دایره برابر است با مجموع مجذور مختصات هر نقطه از دایره. در این حالت معادله دایره به شکل زیر در می آید:

در نتیجه، هر شکل هندسی به عنوان منبع نقاط توسط معادله ای که مختصات نقاط آن را به هم متصل می کند، تعیین می شود. برعکس، معادله اتصال مختصات NS و در ، یک خط را به عنوان مکان نقطه ای از صفحه تعریف کنید که مختصات آن معادله داده شده را برآورده می کند.

نمونه هایی از حل مسائل مربوط به معادله دایره

وظیفه. یک دایره داده شده را برابر کنید

یک دایره را با مرکز O (2; -3) و شعاع 4 برابر کنید.

راه حل.
اجازه دهید به فرمول معادله دایره بپردازیم:
R 2 = (x-a) 2 + (y-b) 2

بیایید مقادیر را به فرمول اضافه کنیم.
شعاع دایره R = 4
مختصات مرکز دایره (در صورت لزوم)
a = 2
b = -3

ما گرفتیم:
(x - 2) 2 + (y - (-3)) 2 = 4 2
یا
(x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16.

وظیفه. آیا یک نقطه به معادله یک دایره تعلق دارد؟

بررسی کنید که آیا نقطه تعلق دارد A (2; 3)معادله دایره (x - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16 .

راه حل.
اگر نقطه ای متعلق به یک دایره باشد، مختصات آن معادله دایره را برآورده می کند.
برای بررسی اینکه آیا نقطه با مختصات داده شده متعلق به دایره است، مختصات نقطه را در معادله دایره داده شده جایگزین می کنیم.

در معادله ( ایکس - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
ما طبق شرط مختصات نقطه A (2; 3) را جایگزین می کنیم
x = 2
y = 3

اجازه دهید صحت برابری به دست آمده را بررسی کنیم
(ایکس - 2) 2 + (y + 3) 2 = 16
(2 - 2) 2 + (3 + 3) 2 = 16
0 + 36 = 16 برابری اشتباه است

بنابراین نقطه داده شده است تعلق نداشتنمعادله داده شده دایره

بگذارید دایره شعاع داشته باشد ، و مرکز آن در نقطه است
... نقطه
روی دایره قرار می گیرد اگر و فقط اگر مدول بردار باشد
برابر است با ، به این معنا که. آخرین برابری اگر و فقط اگر برقرار است

معادله (1) معادله مورد نظر دایره است.

معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین عمود بر یک بردار معین می گذرد

عمود بر بردار
.

نقطه

و
عمود بر بردارها
و
عمود هستند اگر و فقط اگر حاصل ضرب نقطه آنها صفر باشد، یعنی
... با استفاده از فرمول محاسبه حاصل ضرب اسکالر بردارها با مختصات آنها معادله خط مستقیم مورد نظر را به صورت می نویسیم.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.معادله خط مستقیم عبوری را بیابید

اگر مختصات نقاط به ترتیب برابر با A (1; 6)، B (5; 4) باشد، وسط قطعه AB بر این قطعه عمود است.

ما به شرح زیر استدلال خواهیم کرد. برای یافتن معادله یک خط، باید نقطه ای که این خط از آن می گذرد و بردار عمود بر این خط را بدانیم. بردار عمود بر خط داده شده، بردار خواهد بود، زیرا طبق بیان مسئله، خط بر قطعه AB عمود است. نقطه
از شرطی تعریف کنید که خط مستقیم از AB وسط بگذرد. ما داریم. بدین ترتیب
و معادله شکل می گیرد.

اجازه دهید این سوال را روشن کنیم که آیا این خط از نقطه M می گذرد (7؛ 3).

بنابراین، این خط از نقطه مشخص شده عبور نمی کند.

معادله یک خط مستقیم که از یک نقطه معین به موازات یک بردار معین می گذرد

بگذارید خط از نقطه عبور کند
به موازات بردار
.

نقطه
روی خط مستقیم قرار می گیرد اگر و فقط اگر بردارها
و
خط خطی بردارها
و
خطی اگر و فقط اگر مختصات آنها متناسب باشد، یعنی

(3)

معادله حاصل معادله خط مستقیم مورد نظر است.

معادله (3) را می توان به صورت نمایش داد

، جایی که هر ارزشی را می گیرد
.

بنابراین، ما می توانیم بنویسیم

، جایی که
(4)

سیستم معادلات (4) را معادلات پارامتریک خط مستقیم می نامند.

بیایید به یک مثال نگاه کنیم.معادله خط مستقیمی که از نقاط عبور می کند را پیدا کنید. اگر نقطه و بردار را موازی یا عمود بر آن بدانیم می توانیم معادله یک خط مستقیم را بسازیم. دو نقطه در دسترس است. اما اگر دو نقطه روی یک خط مستقیم قرار گیرند، بردار متصل کننده آنها موازی با این خط مستقیم خواهد بود. بنابراین، از معادله (3) به عنوان بردار استفاده می کنیم
بردار
... ما گرفتیم

(5)

معادله (5) به معادله خط مستقیمی گفته می شود که از دو نقطه داده شده می گذرد.

معادله کلی خط مستقیم

تعریف.معادله کلی یک خط مرتبه اول در یک صفحه معادله ای از فرم است
، جایی که
.

قضیه.هر خط مستقیم در یک صفحه را می توان به شکل معادله یک خط مرتبه اول و هر معادله یک خط مرتبه اول معادله برخی از خطوط مستقیم در یک صفحه است.

اثبات بخش اول این قضیه آسان است. در هر خط مستقیم، می توانید نقطه ای را مشخص کنید
بردار عمود بر آن
... سپس مطابق (2) معادله چنین خط مستقیمی شکل می گیرد. نشان می دهیم
... سپس معادله شکل می گیرد
.

اکنون به قسمت دوم قضیه می پردازیم. اجازه دهید یک معادله وجود داشته باشد
، جایی که
... برای قطعیت، فرض می کنیم
.

بیایید معادله را به صورت زیر بنویسیم:

;

در هواپیما نقطه را در نظر بگیرید
، جایی که
... سپس معادله به دست آمده دارای فرم است و معادله خط مستقیمی است که از نقطه عبور می کند
عمود بر بردار
... قضیه ثابت می شود.

در مسیر اثبات قضیه، ما در طول مسیر ثابت کردیم

بیانیه.اگر معادله خط مستقیم شکل وجود داشته باشد
، سپس بردار
عمود بر این خط

معادله فرم
معادله کلی یک خط مستقیم در یک صفحه نامیده می شود.

بگذارید یک خط مستقیم وجود داشته باشد
و اشاره کنید
... تعیین فاصله از نقطه مشخص شده تا خط مستقیم الزامی است.

یک نکته دلخواه را در نظر بگیرید
روی یک خط مستقیم ما داریم
... فاصله از نقطه
به خط مستقیم برابر با مدول برآمدگی برداری است
در هر بردار
عمود بر این خط ما داریم

,

تبدیل کردن، ما فرمول را دریافت می کنیم:

اجازه دهید دو خط مستقیم داده شده توسط معادلات کلی وجود دارد

,
... سپس بردارها

به ترتیب بر خطوط مستقیم اول و دوم عمود هستند. تزریق
بین خطوط مستقیم برابر با زاویه بین بردارها است
,
.

سپس فرمول تعیین زاویه بین خطوط مستقیم:

.

شرط عمود بودن خطوط مستقیم:

.

خطوط موازی یا منطبق هستند اگر و فقط اگر بردارها باشند

خط خطی که در آن شرط انطباق خطوط مستقیم شکل دارد:
,

و شرط عدم تقاطع به صورت زیر نوشته می شود:
... دو شرط آخر را خودتان ثابت کنید.

اجازه دهید ماهیت رفتار خط مستقیم را با توجه به معادله کلی آن بررسی کنیم.

اجازه دهید معادله کلی خط داده شود
... اگر
، سپس خط مستقیم از مبدأ عبور می کند.

حالتی را در نظر بگیرید که هیچ یک از ضرایب برابر با صفر نباشد
... معادله را به شکل زیر بازنویسی می کنیم:

,

,

جایی که
... بیایید معنی پارامترها را دریابیم
... نقاط تلاقی خط مستقیم را با محورهای مختصات پیدا کنید. در
ما داریم
، و در
ما داریم
... به این معنا که
قطعاتی هستند که با یک خط مستقیم بر روی محورهای مختصات قطع می شوند. بنابراین معادله
معادله یک خط مستقیم در پاره ها نامیده می شود.

چه زمانی
ما داریم

... چه زمانی
ما داریم
... یعنی خط مستقیم موازی با محور خواهد بود .

به یاد بیاورید که شیب خط مستقیم مماس زاویه میل این خط مستقیم بر محور نامیده می شود
... اجازه دهید خط روی محور قطع شود بخش و دارای شیب است ... بگذارید نکته
با این نهفته است

سپس
==... و معادله خط مستقیم به صورت نوشته خواهد شد

.

بگذارید خط از نقطه عبور کند
و دارای شیب است ... بگذارید نکته
روی این خط مستقیم قرار دارد

سپس =
.

معادله به دست آمده معادله خط مستقیمی است که از نقطه معینی با شیب معین می گذرد.

دو خط داده شده است
,
... نشان می دهیم
- زاویه بین آنها بگذار باشد ,زوایای تمایل به محور X خطوط مستقیم مربوطه

سپس
=
,
.

سپس شرط موازی بودن خطوط مستقیم شکل می گیرد
و شرط عمود بودن

در پایان، دو مشکل را در نظر خواهیم گرفت.

وظیفه ... رئوس مثلث ABC دارای مختصاتی هستند: A (4; 2)، B (10; 10)، C (20; 14).

پیدا کنید: الف) معادله و طول میانه رسم شده از راس A.

ب) معادله و طول ارتفاع رسم شده از بالای A.

ج) معادله نیمساز برگرفته از راس A.

بیایید معادله میانه AM را تعریف کنیم.

نقطه М () وسط قطعه BC است.

سپس , ... در نتیجه، نقطه M دارای مختصات M است (15؛ 17). معادله میانه در زبان هندسه تحلیلی معادله یک خط مستقیم است که از نقطه A (4; 2) موازی با بردار = (11; 15) می گذرد. سپس معادله میانه شکل می گیرد. طول میانه AM = .

معادله ارتفاع AS معادله یک خط مستقیم است که از نقطه A (4; 2) عمود بر بردار = (10; 4) می گذرد. سپس معادله ارتفاع 10 (x-4) +4 (y-2) = 0.5x + 2y-24 = 0 است.

طول ارتفاع فاصله از نقطه A (4؛ 2) تا خط BC است. این خط از نقطه B (10; 10) موازی با بردار = (10; 4) عبور می کند. معادله آن شکل دارد ، 2x-5y + 30 = 0. بنابراین، فاصله AS از نقطه A (4؛ 2) تا خط BC برابر است با AS = .

برای تعیین معادله نیمساز، بردار موازی با این خط مستقیم را پیدا می کنیم. برای این کار از خاصیت مورب لوزی استفاده می کنیم. اگر از نقطه A بردارهای واحدی را که به طور مساوی از بردارها جهت داده شده اند کنار بگذاریم، بردار برابر با مجموع آنها موازی با نیمساز خواهد بود. سپس = + داریم.

={6;8}, , ={16,12}, .

سپس = بردار = (1؛ 1)، خطی به بردار داده شده، می تواند به عنوان بردار جهت خط مستقیم مورد نظر عمل کند. سپس معادله خط مستقیم مورد نیاز دیده شده است یا x-y-2 = 0.

وظیفه.رودخانه در یک خط مستقیم از نقاط A (4; 3) و B (20; 11) عبور می کند. کلاه قرمزی در نقطه C (4؛ 8) و مادربزرگش در نقطه D (13؛ 20) زندگی می کند. کلاه قرمزی هر روز صبح یک سطل خالی از خانه برمی‌دارد، به رودخانه می‌رود، آب را جمع می‌کند و برای مادربزرگ می‌برد. کوتاه ترین جاده را برای کلاه قرمزی پیدا کنید.

بیایید نقطه E را، متقارن با مادربزرگ، نسبت به رودخانه پیدا کنیم.

برای این کار ابتدا معادله خط مستقیمی که رودخانه در امتداد آن جریان دارد را پیدا می کنیم. این معادله را می توان معادله خط مستقیمی در نظر گرفت که از نقطه A (4; 3) موازی با بردار عبور می کند. سپس معادله خط AB شکل می گیرد.

در مرحله بعد، معادله خط مستقیم DE را که از نقطه D عمود بر AB عبور می کند، می یابیم. می توان آن را معادله یک خط مستقیم که از نقطه D عمود بر بردار عبور می کند در نظر گرفت
... ما داریم

اکنون نقطه S را پیدا می کنیم - طرح نقطه D بر روی خط AB، به عنوان محل تلاقی خطوط AB و DE. ما یک سیستم معادلات داریم

.

بنابراین نقطه S دارای مختصات S است (18؛ 10).

از آنجایی که S نقطه وسط قطعه DE است، پس.

به همین ترتیب.

در نتیجه، نقطه E دارای مختصات E (23; 0) است.

اجازه دهید با دانستن مختصات دو نقطه از این خط، معادله خط CE را پیدا کنیم

نقطه M را به عنوان محل تلاقی خطوط AB و CE پیدا می کنیم.

ما یک سیستم معادلات داریم

.

در نتیجه نقطه M مختصاتی دارد
.

مبحث 2.مفهوم معادله یک سطح در فضا. معادله کره. معادله صفحه ای که از یک نقطه معین می گذرد بر یک بردار معین عمود است. معادله کلی صفحه و بررسی آن شرایط موازی بودن دو صفحه. فاصله از نقطه به هواپیما. مفهوم معادله خط یک خط مستقیم در فضا. معادلات متعارف و پارامتریک یک خط مستقیم در فضا. معادلات یک خط مستقیم که از دو نقطه داده شده می گذرد. شرایط موازی بودن و عمود بودن یک خط مستقیم و یک صفحه.

ابتدا تعریفی از مفهوم معادله سطح در فضا ارائه می دهیم.

اجازه دهید در فضا
مقداری سطح داده شده است ... معادله
معادله سطح نامیده می شود در صورت تحقق دو شرط:

1. برای هر نقطه
با مختصات
دراز کشیدن روی سطح راضی است
، یعنی مختصات آن معادله سطح را برآورده می کند.

2-هر نقطه
که مختصات آن معادله را برآورده می کند
، روی خط دراز می کشد.