مثلث احمقانه مثلث احمقانه گوشه را با آن قرار دهید

1. نوع مثلث (حاد، احمقانه یا مستطیلی) را با احزاب 8، 6 و 11 سانتی متر تعیین کنید (شکل 126). (یکی)

تصمیم گیری زاویه بزرگتر مثلث را از طریق آن نشان دهید؟ بدیهی است، او در مقابل 11 سانتیمتر قرار دارد، زیرا زاویه بزرگتر مثلث در برابر طرف اصلی قرار دارد. توسط قضیه Cosine 112 \u003d 82 + 62- 2؟ 8؟ 6؟

ممکن بود به طور متفاوتی بحث شود. اگر زاویه؟ برابر با 90 درجه بود، سپس بخش بزرگی از قضیه Pythagore برابر خواهد بود

طول عمر 1 سانتیمتر به طور خودکار افزایش می یابد و زاویه زیر صورت - آن را بی حوصله می شود.

پاسخ: احمقانه

2. پایه مثلث برابر با 6 سانتیمتر است، یکی از زوایای پایه 105 درجه است، دیگری 45 درجه است. پیدا کردن طول سمت چپ در برابر زاویه 45 درجه (شکل 127). (یکی)

تصمیم گیری فرض کنید در مثلث ABC AC \u003d 6 سانتی متر،؟ a \u003d 45 درجه،؟ c \u003d 105 درجه. طول سمت خورشید را از طریق X نشان دهید. ما باید آن را پیدا کنیم. ما از قضیه سینوسی استفاده می کنیم:

با توجه به این که مجموع زاویه در مثلث 180 درجه است، ما به دست می آوریم :؟ B \u003d 180 درجه -؟ a -؟ c \u003d 180 درجه - 45 درجه - 105 ° \u003d 30 درجه.

3. منطقه مثلث را با احزاب 2، 5 و 3 پیدا کنید (شکل 128). (یکی)

تصمیم گیری شما می توانید از فرمول Gerona استفاده کنید:

در مورد ما:

سمتر:

این کار ساده تر خواهد بود. توسط قضیه Cosine:

از آنجا که منطقه مثلث برابر با نیمی از کار دو طرف در سینوس گوشه بین آنها است، پس از آن:

4. در مثلث ABC، جایی که ACB \u003d 120 درجه، یک میانگین انجام شد. اگر اسپیر \u003d 6، خورشید \u003d 4 (شکل 129) طول آن را پیدا کنید. (2)

تصمیم گیری ما از فرمول طول متوسط \u200b\u200bاستفاده می کنیم

ما A \u003d Sun \u003d 4، B \u003d AC \u003d 6. باقی مانده است برای پیدا کردن c \u003d ab. اعمال به مثلث محور محور قضیه COSINE: C2 \u003d AV2 \u003d AC2 + BC 2-2AC؟ قبل از میلاد مسیح؟ COS (؟ DC) \u003d 62+ 42-2؟ 6؟ چهار؟ 120 ° \u003d 36 + 16-48؟ (- 1/2) \u003d 76.

5. طول دو طرف از ABC مثلث حاد زاویه ای ABC را پیدا کنید، اگر خورشید \u003d 8 باشد و طول های ارتفاع آن به ترتیب 6، 4 و 4 به ترتیب 6، 4 و 4 باشد (شکل 130 ) (2)

تصمیم گیری تنها زاویه مثلث، که باقی مانده "دست نخورده"، گوشه C.

از مثلث مستطیل شکل نیروی دریایی به شرح زیر است:

و اکنون در قضیه کوزین به مثلث ABC اعمال می شود:

پاسخ: AB \u003d؟ 41؛ ac \u003d 5

6. در یک مثلث، یکی از زوایای آن برابر تفاوت بین دو نفر دیگر است، طول سمت کوچکتر برابر با 1، و مجموع مربعات مربع ساخته شده در دو طرف دیگر، دو بار منطقه منطقه ای که در نزدیکی مثلث دایره شرح داده شده است. طول قسمت بزرگتر مثلث را پیدا کنید (شکل 131). (2)

راه حل: از طریق آن نشان داده شود؟ کوچکترین گوشه ای در مثلث و از طریق؟ بزرگترین گوشه سپس گوشه سوم برابر است؟ -؟ -؟ تحت شرایط کار؟ -؟ \u003d؟ -؟ -؟ (یک زاویه بزرگتر نمی تواند برابر تفاوت دو زوایای دیگر باشد). این به این معنی است که 2؟ \u003d؟؛ ؟ \u003d؟ / 2. بنابراین مثلث مستطیل شکل است. هدر دادن هواپیما در برابر یک زاویه کوچکتر، برابر با شرایط 1، به این معنی است که رول دوم AV CTG است، و Hypotenuse Au 1 / گناه است؟ بنابراین، مجموع مربعات مربع ساخته شده بر روی hypotenuse و nutta بزرگتر است:

مرکز دایره ای که در نزدیکی مثلث مستطیلی توصیف شده است، در وسط هیپوتنوز قرار دارد و شعاع آن برابر است:

و منطقه برابر است:

با استفاده از شرایط کار، ما یک معادله داریم:

طول بیشتر قسمت مثلث برابر است

7. طول های جانبی A، B، از مثلث برابر با 2، 3 و 4. فاصله بین مراکز دایره های شرح داده شده و نوشته شده را پیدا کنید. (2)

تصمیم گیری برای حل مشکل، حتی نقاشی مورد نیاز نیست. ما به طور مداوم پیدا کردیم: نیمه اندازه گیری

فاصله بین مراکز دایره ها:

8. در مثلث ABC، مقدار زاویه برابر است؟ / 3، طول ارتفاع، پایین تر از بالا با طرف AB، برابر با 3 سانتی متر است، و شعاع دایره شرح داده شده است نزدیک به مثلث ABC 5 سانتی متر است. طول های طرف مقابل مثلث ABC را پیدا کنید (شکل 132). (3)

راه حل: اجازه دهید CD ارتفاع مثلث ABC باشد، که از اجلاس سران پایین تر شده است. سه مورد ممکن است. پایه D ارتفاع CD می شود:

1) در بخش AV؛

2) ادامه بخش AV در هر نقطه در؛

3) به نقطه V.

با این وضعیت، شعاع دایره ای که در نزدیکی مثلث ABC توضیح داده شده است 5 سانتی متر است. در نتیجه، در هر سه مورد:

در حال حاضر روشن است که نقطه D با نقطه در، از زمان خورشید همخوانی ندارد؟ سی دی با استفاده از قضیه فیثاگورا به مثلث ACD و BCD، ما این را پیدا می کنیم

این به این معنی است که نقطه D بین نقاط A و B قرار دارد، اما سپس Av \u003d AD + BD (1 + 6؟ 2)، ببینید

پاسخ: Av \u003d (6؟ 2 + 1) سانتی متر، خورشید \u003d 5؟ 3 سانتی متر، AC \u003d 2 سانتی متر.

9. در مثلث ABC و A1B1C1، طول جانبی AV برابر با طول جانبی A1B1 است، طول سمت بلندگو برابر با طول A1C1 جانبی است، مقدار زاویه شما 60 درجه است و مقدار زاویه B1A1C1 120 درجه است. شناخته شده است که نسبت طول B1C1 به طول خورشید برابر است؟ n (جایی که n یک عدد صحیح است). نسبت طول Au را به طول Au پیدا کنید. تحت ارزش های N وظیفه حداقل یک راه حل دارد (شکل 133)؟ (3)

راه حل: اجازه دهید ABC و A1B1C1 داده های مربوط به وضعیت کار مثلث باشد. با استفاده از قضیه Cosine به مثلث ABC و A1B1C1، ما داریم:

T. K. تحت شرایط کار B1C1: Sun \u003d؟ n، سپس

از آنجا که A1B1 \u003d AB و A1C1 \u003d Au، پس از آن، عددی را جدا می کند و عددی از کسری را در سمت چپ برابری (1) در AC2I جدا می کند، نشان دهنده AB: Au از طریق X، ما برابری می کنیم:

جایی که روشن است که نسبت مطلوب طول Au به طول به عنوان ریشه معادله است

x2 (n - 1) - x (n + 1) + n - 1 \u003d 0. (2)

T. K. B1C1\u003e خورشید، سپس n\u003e 1. در نتیجه، معادله (2) مربع است. تبعیض آن برابر با (n + 1) 2- 4 (n - 1) 2 \u003d - 3n2 + 10n - 3 است.

معادله (2) آیا راه حل خواهد داشت اگر - 3N2 + 10N - 3؟ 0، I.E. در -1/3؟ n؟ 3. T. k. n یک عدد طبیعی است، بیش از 1، سپس معادله (2) دارای راه حل های موجود در n \u003d 2 و n \u003d 3. با n \u003d 3، معادله (2) دارای ریشه x \u003d 1؛ برای n \u003d 2، معادله ریشه دارد

پاسخ: نسبت طول AB به طول بلندگو برابر است

در n \u003d 2؛ برابر با 1 در n \u003d 3؛ با راه حل های باقی مانده N وجود دارد.

به طور کلی، مثلث ساده ترین شکل تمام چند ضلعی موجود است. این با کمک سه امتیاز، که در هواپیما 1 قرار دارد، تشکیل شده است، اما در عین حال آنها در راستای اول دروغ نمی گویند و جفت ها به یکدیگر متصل می شوند. مثلث انواع مختلفی هستند و بنابراین با خواص مختلف مشخص می شوند. بسته به نوع زاویه، مثلث ممکن است به یکی از 3 نوع مربوط باشد - به شدت زاویه ای، مستطیل یا احمقانه باشد. مثلث احمق یک مثلث است که دارای یک زاویه احمقانه است. در عین حال، احمقانه چنین زاویه ای نامیده می شود، که دارای مقدار نود و درجه بیشتر است، اما کمتر از صد هشتاد درجه است.

به عبارت دیگر، یک مثلث احمق ساده ترین چند ضلعی است که حاوی زاویه احمقانه است - برخی از گوشه های آن در عرض 90-180 درجه است.

وظیفه: آیا یک مثلث وجود دارد یا نه احمقانه زمانی که:

• زاویه ABC در آن برابر با 65 درجه است؛
• زاویه BCA آن 95 درجه است؛
• زاویه کابین - 20 درجه.

راه حل: کابین CAB و ABC کمتر از 90 درجه است، اما با زاویه BCA بیش از 90 درجه است. بنابراین، چنین مثلث احمقانه است.

چگونه می توان دو طرف یک مثلث احمقانه احمق را پیدا کرد

یک مثلث احمقانه است، ما در بالا مورد رسیدگی قرار گرفتیم. در حال حاضر باید آن را با یک مثلث به عنوان یک به طور مساوی در نظر گرفته شده است.

به همان اندازه مثل مثلث نامیده می شود، که دارای 2 طرف کاملا برابر است. این طرف ها به نام طرف نامیده می شوند، قسمت سوم مثلث پایه نامیده می شود.

رأس های مثلث معمولا توسط حروف لاتین سرمایه نشان داده می شود - یعنی A، B و C. مقادیر گوشه های آن به ترتیب، رأس ها توسط حروف یونانی تعیین می شود، یعنی α، β، γ. طول طرف مقابل مثلث، حروف لاتین سرمایه هستند، یعنی a، b، c.

یک کار ساده: محیط یک مثلث احمقانه احمقانه 25 سانتیمتر است، تفاوت 2 طرف آن 4 سانتی متر است و 1 ساله از گوشه های خارجی مثلث تیز است. چگونه می توان چنین مثلثی را پیدا کرد؟

راه حل: زاویه مجاور که زاویه حاد مثلث احمقانه است. در یک مثلث از چنین برنامه ای، زاویه خفیف ممکن است به طور انحصاری زاویه ای باشد که در برابر بنیاد آن است. بر این اساس، پایه بزرگترین طرف چنین مثلث است. اگر پایه این مثلث را برای X بیاورید، سپس برای حل این مشکل، باید از فرمول زیر استفاده کنید:

پاسخ: اساس یک مثلث احمقانه زنجیره ای 11 سانتی متر است و هر دو طرف آن 7 سانتیمتر هستند.

فرمول هایی که می توانید دو طرف یک مثلث احمقانه احمقانه را پیدا کنید

نماد مورد استفاده:

• ب - این طرف پایه مثلث است
• a - طرف مقابل او
• α - زاویه در پایه مثلث
• β - زاویه ای است که توسط احزاب برابر آن شکل گرفته است
• √ - ریشه مربع

1. فرمول های طول پایه (B):

• b \u003d 2A SIN (β / 2) \u003d a√2-2COSβ
• b \u003d 2a cos α

2. فرمول طول دو طرف مساوی مثلث (ها):

2sin (β / 2) √2-2COS β

چگونه می توان یک زاویه کوزین را در یک مثلث احمقانه پیدا کرد اگر ارتفاع آن شناخته شده باشد

برای شروع، آن را به درک با اصطلاحات اصلی که در این موضوع استفاده می شود، صدمه دیده است: آنچه که ارتفاع مثلث نامیده می شود و زاویه کوزین چیست.

ارتفاع مثلث عمود بر در نظر گرفته شده است، که از بالای آن به خط انجام می شود که شامل طرف مقابل این مثلث است. Consine یک تابع مثلثاتی شناخته شده است که یکی از وظایف اصلی مثلثات است.

به منظور پیدا کردن کوزین زاویه در یک مثلث احمقانه با رأس A، B و C، با توجه به اینکه ارتفاع شناخته شده است، شما باید ارتفاع را از طرف بلندگوها پایین بیاورید. نقطه ای که ارتفاع آن با یک طرف AU متقاطع می شود، باید توسط D نشان داده شود و مثلث AVD را که مستطیل شکل است، در نظر بگیرید. در این مثلث AB، که یک طرف از مثلث اصلی است، هیپوتنوز است. لذیذ ارتفاع مثلث اصلی، و همچنین بخش آگهی، که متعلق به طرف AU است. در عین حال، کنسانتره زاویه ای که مربوط به رأس A برابر با نگرش آگهی به AB است، از آنجا که AD Catat مجاور گوشه در بالای AV در مثلث AV است. در مورد زمانی که شناخته شده است دقیقا نسبت به سهم Au با ارتفاع VD تقسیم می شود و این ارتفاع آن چیست، پس از آن کنوزیت زاویه مربوط به رأس A، یافت می شود.

سوال 1.چه زاویه ای مجاور نامیده می شود؟
پاسخ.دو زاویه در مجاورت نامیده می شود، اگر آنها یک طرف مشترک داشته باشند، و احزاب دیگر این زاویه ها نیمی از آنها هستند.
در شکل 31، زاویه (1 ب) و (2 ب) مجاور. آنها به طور کلی طرف B دارند، و احزاب 1 و A 2 نیمکره های اضافی هستند.

سوال 2.ثابت کنید که مجموع زاویه های مجاور 180 درجه است.
پاسخ. قضیه 2.1.مجموع زاویه های مجاور 180 درجه است.
شواهد و مدارک. اجازه دهید یک زاویه (1 ب) و زاویه (A 2 B) - این زاویه مجاور (نگاه کنید به شکل 31). پرتو B بین دو طرف 1 و 2 گوشه مستقر می شود. بنابراین، مجموع زاویه ها (1 ب) و (2 ب) برابر با گوشه مستقر شده است، I.E. 180 درجه. Q.E.D.

سوال 3ثابت کنید که اگر دو زاویه برابر باشند، سپس زاویه های مجاور نیز برابر هستند.
پاسخ.

از قضیه 2.1 این به این معنی است که اگر دو زاویه برابر باشند، زاویه مجاور برابر است.
فرض کنید زاویه ها (1 b) و (c 1 d) برابر هستند. ما باید ثابت کنیم که زاویه ها (A 2 B) و (C 2 D) نیز برابر هستند.
مجموع زاویه های مجاور 180 درجه است. از این رو از این است که a 1 b + a 2 b \u003d 180 ° و C 1 d + C 2 d \u003d 180 درجه است. از این رو، A 2 B \u003d 180 درجه - A 1 B و C 2 d \u003d 180 ° - C 1 D. از آنجا که زاویه (a 1 b) و (c 1 d) برابر هستند، ما دریافت می کنیم که 2 \u003d 180 درجه - A 1 B \u003d C 2 D. با توجه به اموال Transitivity نشانه برابری، به این معنی است که 2 B \u003d C 2 D. Q.E.D.

سوال 4چه زاویه مستقیم (تیز، احمقانه) نامیده می شود؟
پاسخ. زاویه ای برابر با 90 درجه یک زاویه مستقیم نامیده می شود.
زاویه کمتر از 90 درجه زاویه تیز نامیده می شود.
زاویه بیش از 90 درجه و کوچکتر 180 درجه نامیده می شود احمقانه است.

سوال 5 ثابت کنید که زاویه، مجاور مستقیم، یک زاویه مستقیم است.
پاسخ.از قضیه در مجموع زاویه های مجاور آن را دنبال می کند که زاویه، مجاور زاویه مستقیم، یک زاویه مستقیم است: x + 90 ° \u003d 180 °، x \u003d 180 ° - 90 °، x \u003d 90 °.

سوال 6چه زاویه ای عمودی نامیده می شود؟
پاسخ.دو زاویه عمودی نامیده می شود، اگر طرفین زاویه ی مشابهی نیمه به سادگی دیگر از طرف دیگر باشد.

سوال 7ثابت کنید که زاویه های عمودی برابر هستند.
پاسخ. تئوری 2.2. زاویه های عمودی برابر هستند.
شواهد و مدارک.اجازه دهید (1 ب 1) و (2 ب 2) - این زاویه عمودی (شکل 34). زاویه (A 1 B 2) مجاور با زاویه (1 b 1) و با زاویه (2 b 2) است. از این رو قضیه در مجموع زاویه های مجاور، نتیجه می گیریم که هر یک از زاویه ها (1 b 1) و (a 2 b 2) زاویه (1 b 2) تا 180 درجه را تکمیل می کند. زاویه ها (1 ب 1) و (A 2 B 2) برابر هستند. Q.E.D.

سوال 8ثابت کنید که اگر با تقاطع دو خط مستقیم یکی از گوشه های خط، پس از آن سه زاویه باقی مانده نیز مستقیما است.
پاسخ.فرض کنید که مستقیم AB و CD از یکدیگر عبور می کنند. فرض کنید زاویه AOD 90 درجه است. از آنجا که مجموع زاویه های مجاور 180 درجه است، ما دریافت می کنیم که AOC \u003d 180 درجه -AOD \u003d 180 درجه 90 درجه 90 درجه است. زاویه COB زاویه عمودی AOM، به طوری که آنها برابر هستند. یعنی زاویه COB \u003d 90 درجه. زاویه CoA زاویه گوشه عمودی بدن، به طوری که آنها برابر هستند. این، زاویه BOD \u003d 90 درجه است. بنابراین، تمام زاویه ها 90 درجه است، یعنی همه آنها مستقیم هستند. Q.E.D.

سوال 9مستقیما به عنوان عمود بر نامیده می شود؟ چه نشانه ای برای اشاره به عمود بر مستقیم استفاده می شود؟
پاسخ.دو خط مستقیم به نام عمودی هستند اگر آنها در زوایای راست تقاطع شوند.
عمود بر این مستقیم توسط علامت نشان داده شده است. ضبط \\ (A \\ porp b \\) می نویسد: "مستقیم به عمود بر مستقیم B".

سوال 10ثابت کنید که از طریق هر نقطه ای که مستقیما می تواند توسط فردی عمود بر آن انجام شود، و تنها یک.
پاسخ. قضیه 2.3.از طریق هر مستقیم می تواند به طور مستقیم انجام شود، و تنها یک.
شواهد و مدارک.اجازه دهید این مستقیم و A باشد - این نقطه بر روی آن است. با یک نقطه شروع یک نیمه رسانایی با یک نقطه شروع A (شکل 38) نشان داده می شود. ما از زاویه نیمه نیمه مرکزی (1 ب 1)، برابر با 90 درجه به تعویق می افتیم. سپس مستقیم حاوی پرتو B 1 عمود بر مستقیم A خواهد بود.

فرض کنید که یک خط مستقیم دیگر وجود دارد، همچنین از طریق نقطه A و عمود بر خط مستقیم A عبور می کند. نشان دادن C 1، نیمه محور این خط مستقیم، دروغ گفتن در یک نیمه هواپیما با پرتو B 1.
زاویه (a 1 b 1) و (1 درجه سانتیگراد)، برابر هر 90 درجه، در یک نیمه هواپیما از نیمه ساده 1 به تعویق افتاده است. اما از نیمه اموال 1 در این نیمه هواپیما، تنها یک زاویه را می توان به ترتیب 90 درجه به تعویق افتاد. بنابراین، به طور مستقیم مستقیم از طریق نقطه A و عمود بر عمق مستقیم a. قضیه ثابت شده است.

سوال 11عمود بر خط مستقیم چیست؟
پاسخ. عمود بر این مستقیم، یک خط مستقیم نامیده می شود، عمود بر این، که یکی از آن ها از آن به پایان می رسد نقطه تقاطع خود را. این پایان بخش نامیده می شود پایه عمود بر

سوال 12توضیح دهید که اثبات تند و زننده.
پاسخ. روش شواهدی که ما در قضیه 2.3 اعمال کردیم، اثبات حریف نامیده می شود. این روش شواهد این است که ما در ابتدا فرض کنیم که مخالف آنچه که توسط قضیه تایید شده است، فرض می شود. سپس، با استدلال، تکیه بر اصول و قضیه اثبات شده، به نتیجه گیری می رسند که بر خلاف شرایط قضیه یا یکی از محرومیت ها یا یک قضیه قبلا اثبات شده است. بر این اساس، ما نتیجه گرفتیم که فرض ما نادرست بود، و بنابراین بیانیه قضیه درست است.

سوال 13زاویه زاویه نامیده می شود؟
پاسخ.بیسکوکتور زاویه یک پرتو نامیده می شود که از بالای گوشه عبور می کند، بین احزاب آن عبور می کند و نیمه را به نصف تقسیم می کند.