رهبنیک کوزنتسوف.
III نمودارها

وظیفه 7. مطالعه کامل عملکرد و ایجاد نمودار آن.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp قبل از شروع بارگیری گزینه های خود ، سعی کنید مشکل را مطابق مثال زیر در مورد گزینه 3 حل کنید. برخی از گزینه ها در قالب .rar بایگانی می شوند

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 مطالعه کامل عملکرد و ایجاد نمودار آن

راه حل.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 1) محدوده: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp یا & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp ، یعنی & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.
.
بنابراین: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) هیچ تقاطعی با محور گاو وجود ندارد. در واقع ، معادله & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp راه حلی ندارد.
هیچ تقاطعی با محور Oy وجود ندارد زیرا & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) تابع نه زوج است و نه فرد. هیچ تقارنی در مورد مرتب وجود ندارد. در مورد مبدا نیز تقارن وجود ندارد. زیرا
.
ما می بینیم که & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp و & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 4) عملکرد در دامنه پیوسته است
.

; .

; .
بنابراین ، نقطه & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp یک نقطه شکست از نوع دوم (وقفه بی نهایت) است.

5) مجانب عمودی:& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

مجانب مورب & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp را بیابید. اینجا

;
.
بنابراین ، ما مجانبی افقی داریم: y = 0... هیچ علامت مورب وجود ندارد.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 6) مشتق اول را پیدا کنید. مشتق اول:
.
و به همین دلیل
.
نقاط ثابت را پیدا کنید که مشتق صفر است ، یعنی
.

& nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7) مشتق دوم را پیدا کنید. مشتق دوم:
.
و به راحتی می توان در این مورد قانع شد ، زیرا

چگونه یک تابع را بررسی کرده و آن را ترسیم کنیم؟

به نظر می رسد که من در حال درک چهره روحانی و روحانی رهبر پرولتاریای جهان ، نویسنده آثار جمع آوری شده در 55 جلد هستم ... مسیر آهسته با اطلاعات ابتدایی در مورد شروع شد توابع و نمودارها، و اکنون کار بر روی یک موضوع پر زحمت با یک نتیجه طبیعی به پایان می رسد - مقاله در مورد مطالعه کامل عملکرد... وظیفه طولانی مدت به شرح زیر فرموله شده است:

تابع را با استفاده از روشهای حساب دیفرانسیل مورد بررسی قرار دهید و بر اساس نتایج مطالعه ، نمودار آن را بسازید

یا به طور خلاصه: عملکرد را بررسی کرده و نمودار را رسم کنید.

چرا تحقیق؟در موارد ساده ، کار با توابع ابتدایی برای ما دشوار نخواهد بود ، رسم نمودار بدست آمده با استفاده از تحولات هندسی اولیهو غیره. با این حال ، خواص و نمایش گرافیکی توابع پیچیده تر از آنچه واضح است دور است ، به همین دلیل است که به یک مطالعه کامل نیاز است.

مراحل اصلی راه حل در مواد مرجع خلاصه شده است نمودار مطالعه تابع، این راهنمای شما برای بخش است. آدمک ها نیاز به توضیح گام به گام موضوع دارند ، برخی از خوانندگان نمی دانند از کجا شروع کنند و چگونه مطالعه را سازماندهی کنند ، و دانشجویان پیشرفته ممکن است فقط به چند نکته علاقه مند شوند. بازدیدکننده گرامی ، هر کسی که باشید ، خلاصه پیشنهادی با اشاره به درس های مختلف در کوتاه ترین زمان ممکن ، شما را در جهت مورد علاقه راهنمایی و هدایت می کند. روبات ها اشک می ریزند =) دفترچه راهنما در قالب یک فایل pdf تنظیم شده است و جایگاه شایسته خود را در صفحه باز کرده است فرمولها و جداول ریاضی.

من مطالعه یک تابع را به 5-6 نقطه تقسیم می کنم:

6) نکات اضافی و نمودار بر اساس نتایج تحقیق.

به نظر اقدام نهایی ، من فکر می کنم همه همه چیز را درک می کنند - اگر در عرض چند ثانیه از خط خارج شود و کار بازنگری شود ، بسیار توهین آمیز خواهد بود. ترسیم صحیح و دقیق نتیجه اصلی تصمیم است! به احتمال زیاد ، نظارت های تحلیلی را "پنهان" می کند ، در حالی که یک برنامه نادرست و / یا شلوغ حتی با یک تحقیق کاملاً انجام شده مشکلاتی را ایجاد می کند.

لازم به ذکر است که در منابع دیگر ، تعداد نقاط تحقیق ، ترتیب اجرای آنها و سبک طراحی ممکن است با طرحی که من پیشنهاد کرده ام تفاوت قابل توجهی داشته باشد ، اما در بیشتر موارد کاملاً کافی است. ساده ترین نسخه مساله فقط شامل 2-3 مرحله است و چیزی شبیه به این فرموله شده است: "بررسی عملکرد با استفاده از مشتق و ساختن نمودار" یا "بررسی عملکرد با استفاده از مشتقات 1 و 2 ، ساختن نمودار".

به طور طبیعی ، اگر الگوریتم دیگری در دفترچه راهنمای شما به تفصیل مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد یا معلم شما به شدت از شما بخواهد که به سخنرانی های او پایبند باشید ، در این صورت مجبور خواهید بود راه حل را تعدیل کنید. به راحتی تعویض چنگال با قاشق اره برقی.

بیایید تابع را برای برابری زوج / فرد بررسی کنیم:

پس از آن یک الگو لغو اشتراک می کند:
، بنابراین این تابع زوج یا فرد نیست.

از آنجا که تابع پیوسته است ، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد.

هیچ علامت مورب نیز وجود ندارد.

توجه داشته باشید : یادآوری می شود که بالاتر است ترتیب رشدبنابراین ، حد نهایی دقیقاً " یک مثبتبی نهایت ".

بیایید دریابیم که عملکرد در بی نهایت چگونه عمل می کند:

به عبارت دیگر ، اگر به راست برویم ، نمودار بی نهایت بالا می رود ، اگر چپ - بی نهایت پایین. بله ، همچنین دو محدودیت تحت یک ورودی واحد وجود دارد. اگر در رمزگشایی علائم مشکل دارید ، لطفاً از درس مربوطه دیدن کنید توابع بی نهایت کوچک.

بنابراین تابع از بالا محدود نمی شودو از پایین محدود نمی شود... با توجه به اینکه ما نقطه شکست نداریم ، روشن می شود و محدوده عملکرد: - همچنین هر عدد واقعی

کمک فنی فنی مفید

هر مرحله از کار اطلاعات جدیدی در مورد نمودار تابع به ارمغان می آوردبنابراین ، راحت است که در حین راه حل از نوعی LAYOUT استفاده کنیم. بیایید یک سیستم مختصات دکارتی را روی یک پیش نویس ترسیم کنیم. آنچه قبلاً به طور قطعی شناخته شده است؟ اول ، نمودار فاقد مجانبی است ، بنابراین نیازی به کشیدن خطوط مستقیم نیست. دوم ، ما می دانیم که عملکرد در بی نهایت چگونه عمل می کند. طبق تجزیه و تحلیل ، ما اولین تقریب را ترسیم می کنیم:

توجه داشته باشید که به دلیل تداومعملکردها و این واقعیت است که نمودار باید حداقل یک بار از محور عبور کند. یا شاید چندین نقطه تقاطع وجود داشته باشد؟

3) صفر عملکرد و فواصل ثبات.

ابتدا بیایید نقطه تقاطع نمودار را با محور مختصات پیدا کنیم. ساده است. محاسبه مقدار تابع در موارد زیر ضروری است:

یک و نیم بالاتر از سطح دریا.

برای یافتن نقاط تقاطع با محور (صفر تابع) ، باید معادله را حل کنید ، و در اینجا یک شگفتی ناخوشایند در انتظار ما است:

در پایان ، یک عضو رایگان در کمین است ، که کار را بطور قابل توجهی پیچیده می کند.

چنین معادله ای حداقل یک ریشه واقعی دارد و اغلب این ریشه غیرمنطقی است. در بدترین افسانه ، سه خوک کوچک منتظر ما هستند. این معادله با استفاده از اصطلاحات قابل حل است فرمول های کاردانواما هدر دادن کاغذ تقریباً با کل مطالعه قابل مقایسه است. در این رابطه ، تلاش برای یافتن حداقل یکی به صورت شفاهی یا پیش نویس عاقلانه تر است کلریشه بیایید بررسی کنیم که آیا اعداد نیستند:
- مناسب نیست؛
- وجود دارد!

خوش شانس اینجا در صورت شکست ، شما همچنین می توانید آزمایش کنید ، و اگر این اعداد متناسب نبود ، شانس یک راه حل سودآور برای معادله ، من می ترسم ، بسیار ناچیز است. سپس بهتر است نقطه تحقیق را به طور کامل کنار بگذارید - شاید در مرحله نهایی ، هنگامی که نقاط اضافی از بین می روند ، چیزی واضح تر شود. و اگر ریشه (ریشه ها) به وضوح "بد" است ، بهتر است در مورد فواصل ثبات علامت سکوت نکنید و نقشه را با دقت بیشتری انجام دهید.

با این حال ، ما یک ریشه زیبا داریم ، بنابراین چند جمله ای را تقسیم می کنیم بدون باقیمانده:

الگوریتم تقسیم چند جمله ای بر چند جمله ای در اولین مثال درس به تفصیل شرح داده شده است محدودیت های چالش برانگیز.

در نتیجه ، سمت چپ معادله اصلی است به یک اثر تجزیه می شود:

و اکنون کمی در مورد شیوه زندگی سالم. مطمئناً این را می فهمم معادلات درجه دومباید هر روز حل شود ، اما امروز ما یک استثنا قائل می شویم: معادله دو ریشه معتبر دارد

مقادیر پیدا شده را در خط شماره کنار بگذارید و روش فاصله ایعلائم تابع را تعریف کنید:


og بنابراین ، در فواصل زمانی نمودار واقع شده است
زیر محور آبسه و در فواصل زمانی - بالاتر از این محور

یافته ها به ما امکان می دهد طرح خود را با جزئیات بیشتر توضیح دهیم و تقریب دوم نمودار به این شکل است:

توجه داشته باشید که یک تابع باید حداقل یک فاصله در یک بازه و حداقل یک حداقل در یک فاصله داشته باشد. اما چند بار ، در کجا و چه زمانی برنامه "پیچ و تاب" می یابد ، ما هنوز نمی دانیم. به هر حال ، یک تابع می تواند بی نهایت تعداد زیادی داشته باشد افراطی.

4) افزایش ، کاهش و افزایش عملکرد.

بیایید نقاط بحرانی را بیابیم:

این معادله دو ریشه واقعی دارد. آنها را در خط عددی کنار می گذاریم و علائم مشتق را تعیین می کنیم:


بنابراین ، تابع افزایش می یابد و کاهش می یابد
در یک نقطه ، عملکرد به حداکثر خود می رسد: .
در یک نقطه ، تابع به حداقل می رسد: .

حقایق ثابت شده الگوی ما را به یک چارچوب نسبتاً سفت و سخت هدایت می کند:

نیازی به گفتن نیست که حساب دیفرانسیل یک چیز قدرتمند است. بیایید در نهایت شکل نمودار را درک کنیم:

5) نقاط محدب ، مقعر و عطف.

بیایید نقاط بحرانی مشتق دوم را بیابیم:

بیایید علائم را تعریف کنیم:


نمودار تابع محدب و مقعر است. بیایید مرتب نقطه عطف را محاسبه کنیم :.

تقریباً همه چیز روشن شد.

6) برای یافتن نکات اضافی که به شما کمک می کند نمودار دقیق تری داشته باشید و خودآزمایی را انجام دهید ، باید پیدا کنید. در این مورد ، تعداد کمی از آنها وجود دارد ، اما ما از آنها غافل نمی شویم:

بیایید نقاشی را اجرا کنیم:

نقطه عطف با رنگ سبز مشخص شده است ، نقاط اضافی با صلیب مشخص شده اند. نمودار تابع مکعب در مورد نقطه عطف خود متقارن است ، که همیشه دقیقاً در وسط بین حداکثر و حداقل قرار دارد.

در حین انجام وظیفه ، سه نقشه فرضی متوسط ​​ارائه دادم. در عمل ، كافي است كه يك سيستم مختصات بكشيد ، نقاط پيدا شده را علامت بزنيد و بعد از هر نقطه از مطالعه به صورت ذهني بفهميد كه نمودار عملكرد چگونه به نظر مي رسد. برای دانش آموزانی که از آمادگی خوبی برخوردارند ، انجام چنین تحلیلی صرفاً بدون در نظر گرفتن پیش نویس ، در سر خود دشوار نخواهد بود.

برای یک راه حل مستقل:

مثال 2

تابع را کاوش کرده و نمودار را رسم کنید.

همه چیز در اینجا سریعتر و سرگرم کننده تر است ، یک مثال خشن از اتمام در پایان درس.

بسیاری از اسرار با مطالعه توابع کسری-منطقی فاش می شوند:

مثال 3

با استفاده از روشهای حساب دیفرانسیل ، عملکرد را بررسی کرده و بر اساس نتایج مطالعه ، نمودار آن را بسازید.

راه حل: اولین مرحله مطالعه با هیچ چیز قابل توجه متمایز نمی شود ، به استثنای حفره ای در حوزه تعریف:

1) تابع در خط عدد کامل به جز نقطه ، تعریف شده و پیوسته است ، دامنه: .

، بنابراین این تابع زوج یا فرد نیست.

بدیهی است که تابع غیر دوره ای است.

نمودار عملکرد دو شاخه پیوسته را نشان می دهد که در نیم صفحه چپ و راست قرار دارند - شاید این مهمترین نتیجه گیری از نقطه 1 باشد.

2) مجانب ، رفتار یک تابع در بی نهایت.

الف) با استفاده از محدودیت های یک طرفه ، رفتار تابع را در نزدیکی یک نقطه مشکوک بررسی می کنیم ، جایی که مجانب عمودی باید به وضوح باشد:

در واقع ، توابع پایدار هستند استراحت بی پایاندر نقطه
و خط مستقیم (محور) است مجانب عمودیگرافیک

ب) بررسی کنید که آیا مجانمع مورب وجود دارد:

بله ، مستقیم است مجانب موربگرافیک اگر

منطقی نیست که محدودیت ها را تجزیه و تحلیل کنید ، زیرا از قبل مشخص است که این تابع با مجانب مورب خود در آغوش است از بالا محدود نمی شودو از پایین محدود نمی شود.

نکته دوم مطالعه اطلاعات مهم زیادی در مورد عملکرد ارائه کرد. بیایید یک طرح خشن انجام دهیم:

نتیجه گیری شماره 1 به فواصل ثبات مربوط می شود. در "منهای بی نهایت" نمودار عملکرد به طور منحصر به فرد در زیر محور آبسه و در "به علاوه بی نهایت" - بالای این محور قرار دارد. علاوه بر این ، محدودیت های یک طرفه به ما می گوید که تابع سمت چپ و راست نقطه نیز بزرگتر از صفر است. توجه داشته باشید که در نیم صفحه چپ ، نمودار باید حداقل یکبار از آبسه عبور کند. ممکن است هیچ صفر از تابع در نیم صفحه راست وجود نداشته باشد.

نتیجه گیری شماره 2 این است که تابع در و سمت چپ نقطه افزایش می یابد ("از پایین به بالا"). در سمت راست این نقطه ، عملکرد کاهش می یابد ("از بالا به پایین" می رود). شاخه سمت راست نمودار باید حداقل یک حداقل داشته باشد. در سمت چپ ، افراط و تفریط تضمین نمی شود.

نتیجه گیری 3 اطلاعات موثقی در مورد تقعر نمودار در مجاورت نقطه ارائه می دهد. تا اینجا ، ما نمی توانیم چیزی در مورد تحدب / تقعر در بی نهایت ها بگوییم ، زیرا خط را می توان در مجرای بالا و پایین فشار داد. به طور کلی ، یک روش تحلیلی برای پیدا کردن در حال حاضر وجود دارد ، اما شکل نمودار "رایگان" در مرحله بعد روشن تر می شود.

چرا این همه کلمه؟ برای کنترل نقاط تحقیق بعدی و اجتناب از اشتباهات! محاسبات بیشتر نباید با نتیجه گیری های انجام شده مغایرت داشته باشد.

3) نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات ، فواصل علامت ثابت تابع.

نمودار تابع از محور عبور نمی کند.

با استفاده از روش فواصل ، علائم را تعریف می کنیم:

، اگر ؛
، اگر .

نتایج پاراگراف با نتیجه گیری شماره 1 کاملاً مطابقت دارد. پس از هر مرحله ، به پیش نویس نگاه کنید ، از نظر ذهنی به تحقیق مراجعه کنید و رسم نمودار عملکرد را به پایان برسانید.

در مثال مورد بررسی ، عدد شمارش بر حسب مخرج تقسیم می شود که برای تمایز بسیار مفید است:

در واقع ، این امر قبلاً هنگام یافتن علائم مجانبی انجام شده است.

- نقطه بحرانی.

بیایید علائم را تعریف کنیم:

افزایش می یابد و کاهش می یابد

در یک نقطه ، تابع به حداقل می رسد: .

هیچ اختلافی با نتیجه گیری شماره 2 نیز وجود نداشت و به احتمال زیاد ما در مسیر درستی هستیم.

این بدان معناست که نمودار تابع در کل حوزه تعریف مقعر است.

عالی - و نیازی به کشیدن چیزی ندارید.

هیچ نقطه عطفی وجود ندارد.

تقعر با نتیجه گیری شماره 3 سازگار است ، علاوه بر این ، نشان می دهد که در بی نهایت (هم آنجا و هم آنجا) نمودار عملکرد قرار دارد در بالامجانب مورب آن

6) وظیفه شناسانه وظیفه را با نکات اضافی پین کنید. اینجاست که باید سخت کار کنید ، زیرا ما تنها دو نکته را از مطالعه می دانیم.

و تصویری که احتمالاً خیلی ها پیش از این ارائه کرده اند:

در حین انجام وظیفه ، باید به دقت نظارت کنید تا هیچ گونه تناقضی بین مراحل مطالعه وجود نداشته باشد ، اما گاهی اوقات وضعیت فوری یا حتی به شدت بن بست است. در اینجا تحلیلگر "مناسب نیست" - و بس. در این مورد ، من یک روش اضطراری را توصیه می کنم: ما تا آنجا که ممکن است نقاط مربوط به نمودار (چقدر صبر کافی است) را پیدا کرده و آنها را در صفحه مختصات علامت گذاری می کنیم. در بیشتر موارد ، تجزیه و تحلیل گرافیکی مقادیر پیدا شده به شما می گوید حقیقت کجا و دروغ کجاست. علاوه بر این ، می توان نمودار را با استفاده از برخی برنامه ها ، به عنوان مثال ، در همان Excel از پیش ساخته کرد (البته ، این به مهارت نیاز دارد).

مثال 4

با استفاده از روشهای حساب دیفرانسیل ، تابع را بررسی کرده و نمودار آن را بسازید.

این یک مثال برای راه حل خودتان است. در آن ، کنترل خودکار با برابری عملکرد افزایش می یابد - نمودار متقارن محور است و اگر در تحقیقات شما چیزی با این واقعیت مغایرت داشت ، به دنبال خطا باشید.

یک تابع زوج یا فرد را فقط می توان در محل مورد بررسی قرار داد و سپس از تقارن نمودار استفاده کرد. این راه حل بهینه است ، اما به نظر من بسیار غیر معمول به نظر می رسد. شخصاً ، من کل محور اعداد را در نظر می گیرم ، اما هنوز نقاط اضافی را فقط در سمت راست پیدا می کنم:

مثال 5

مطالعه کامل عملکرد و ایجاد نمودار آن.

راه حل: عجله کرد:

1) تابع در خط عدد کامل تعریف شده و پیوسته است :.

این بدان معناست که این تابع فرد است ، نمودار آن در مورد منبع متقارن است.

بدیهی است که تابع غیر دوره ای است.

2) مجانب ، رفتار یک تابع در بی نهایت.

از آنجا که تابع پیوسته روشن است ، هیچ مجانبی عمودی وجود ندارد

به طور معمول برای یک تابع حاوی یک نماد جداگانه، مجزامطالعه "بعلاوه" و "منهای بی نهایت" ، اما زندگی ما با تقارن نمودار آسان تر می شود - یا یک علامت در سمت چپ و راست وجود دارد ، یا اینطور نیست. بنابراین ، هر دو محدودیت نامحدود را می توان تحت یک ورودی واحد رسمی کرد. در طول راه حل ، ما استفاده می کنیم قانون L'Hôpital:

خط مستقیم (محور) مجانب افقی نمودار در است.

توجه کنید که چگونه با هوشمندی از الگوریتم کامل برای یافتن مجانب مورب اجتناب کردم: حد کاملاً قانونی است و رفتار تابع را در بی نهایت روشن می کند ، و مجانب افقی "گویی در همان زمان" پیدا شد.

از تداوم و وجود یک مجانب افقی ، نتیجه می گیرد که تابع از بالا محدود شده استو از پایین محدود شده است.

3) نقاط تقاطع نمودار با محورهای مختصات ، فواصل ثبات.

در اینجا راه حل را نیز کوتاه می کنیم:
نمودار از مبدأ عبور می کند.

هیچ نقطه تلاقی دیگری با محورهای مختصات وجود ندارد. علاوه بر این ، فواصل ثبات علامت واضح است ، و محور را می توان حذف کرد: ، به این معنی که علامت تابع فقط به "x" بستگی دارد:
، اگر ؛
، اگر

4) افزایش ، کاهش ، افزایش عملکرد.


- نقاط بحرانی.

نقاط باید صفر باشند ، همانطور که باید باشند.

اجازه دهید علائم مشتق را تعریف کنیم:


عملکرد در فواصل زمانی افزایش می یابد و در فواصل زمانی کاهش می یابد

در یک نقطه ، عملکرد به حداکثر خود می رسد: .

به موجب دارایی (تابع فرد) حداقل را می توان حذف کرد:

از آنجا که عملکرد در بازه زمانی کاهش می یابد ، بدیهی است که نمودار در "منهای بی نهایت" قرار دارد زیربدون علامت آن در فاصله ، عملکرد نیز کاهش می یابد ، اما در اینجا عکس آن صادق است - پس از عبور از حداکثر نقطه ، خط به محور از قبل از بالا نزدیک می شود.

همچنین از موارد فوق نتیجه می شود که نمودار تابع در "منهای بی نهایت" محدب و در "به علاوه بی نهایت" مقعر است.

پس از این نقطه تحقیق ، محدوده مقادیر تابع نیز ترسیم شد:

اگر در مورد هر نکته ای سوء تفاهم دارید ، من یکبار دیگر از شما می خواهم که محورهای مختصات را در یک دفترچه بکشید و با یک مداد در دست ، هر نتیجه گیری از تکلیف را دوباره تجزیه و تحلیل کنید.

5) محدب ، مقعر ، پیچیدگی نمودار.

- نقاط بحرانی.

تقارن نقاط حفظ شده است و ، به احتمال زیاد ، ما اشتباه نمی کنیم.

بیایید علائم را تعریف کنیم:


نمودار تابع محدب است و مقعر در .

برآمدگی / تقعر در فواصل شدید تأیید شد.

در تمام نقاط بحرانی ، انحرافاتی در نمودار وجود دارد. دستورات نقاط عطف را بیابید ، در حالی که دوباره تعداد محاسبات را با استفاده از عجیب بودن تابع کاهش دهید:

اگر در کار لازم است یک مطالعه کامل از تابع f (x) = x 2 4 x 2 - 1 با ساخت نمودار آن انجام دهیم ، ما این اصل را با جزئیات در نظر خواهیم گرفت.

برای حل مشکلی از این نوع ، باید از خواص و نمودارهای توابع اصلی اولیه استفاده کرد. الگوریتم تحقیق شامل مراحل زیر است:

یافتن محدوده

از آنجا که این تحقیق در زمینه تعریف تابع انجام می شود ، لازم است از این مرحله شروع کنیم.

مثال 1

مثال ارائه شده فرض می کند که صفرهای مخرج را برای حذف آنها از ODZ پیدا می کند.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ؛ - 1 2 ∪ - 1 2 ؛ 1 2 ∪ 1 2 ؛ +

در نتیجه ، می توانید ریشه ، لگاریتم و غیره دریافت کنید. سپس ODV را می توان برای یک ریشه درجه زوج از نوع g (x) 4 با نابرابری g (x) ≥ 0 ، برای logarithm log a g (x) توسط نابرابری g (x)> 0 جستجو کرد.

بررسی مرزهای ODZ و یافتن مجانب عمودی

وقتی محدوده های یک طرفه در چنین نقاطی بی نهایت هستند ، در مجاورت تابع مجانبی عمودی وجود دارد.

مثال 2

به عنوان مثال ، نقاط مرزی را برابر با x = ± 1 2 در نظر بگیرید.

سپس لازم است مطالعه ای در مورد عملکرد برای یافتن حد یک طرفه انجام شود. سپس بدست می آوریم که: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 2) ( + 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( - 0) 2 = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

از این رو ، می توان دریافت که محدوده های یک طرفه بی نهایت هستند ، به این معنی که خطوط مستقیم x = ± 1 2 مجانمع عمودی نمودار هستند.

بررسی یک تابع و برای برابری زوج یا فرد

وقتی شرط y (- x) = y (x) برآورده شود ، تابع زوج در نظر گرفته می شود. این نشان می دهد که نمودار نسبت به O y متقارن واقع شده است. وقتی شرط y ( - x) = - y (x) برآورده شود ، تابع فرد در نظر گرفته می شود. این بدان معنی است که تقارن نسبت به مبدأ دارد. اگر حداقل یک نابرابری برآورده نشود ، یک تابع کلی بدست می آوریم.

برابری y (- x) = y (x) به این معنی است که تابع زوج است. هنگام ساخت ، لازم است در نظر بگیریم که تقارن در مورد O y وجود خواهد داشت.

برای حل نابرابری ، از فواصل افزایش و کاهش به ترتیب با شرایط f "(x) ≥ 0 و f" (x) ≤ 0 استفاده می شود.

تعریف 1

نقاط ثابت- اینها نقاطی هستند که مشتق را به صفر می رسانند.

نقاط بحرانینقاط داخلی دامنه ای هستند که مشتق تابع صفر است یا وجود ندارد.

هنگام تصمیم گیری ، لازم است نکات زیر را در نظر بگیرید:

• با فواصل موجود برای افزایش و کاهش نابرابری های شکل f "(x)> 0 ، نقاط بحرانی در محلول گنجانده نشده است.
• نقاطی که در آنها تابع بدون مشتق محدود تعریف می شود باید در فواصل افزایش و کاهش قرار گیرند (به عنوان مثال ، y = x 3 ، جایی که نقطه x = 0 تابع را مشخص می کند ، مشتق دارای مقدار بی نهایت در این نقطه ، y "= 1 3 x 2 3 ، y" (0) = 1 0 = ∞ ، x = 0 در بازه افزایش گنجانده شده است) ؛
• به منظور جلوگیری از بحث ، توصیه می شود از ادبیات ریاضی استفاده کنید که توسط وزارت آموزش و پرورش توصیه شده است.

گنجاندن نقاط بحرانی در فواصل افزایش و کاهش اگر دامنه تابع را برآورده کنند.

تعریف 2

برای برای تعیین فواصل افزایش و کاهش عملکرد ، لازم است پیدا شود:

• مشتق؛
• نقاط بحرانی؛
• تقسیم منطقه تعریف با استفاده از نقاط بحرانی به فواصل.
• علامت مشتق را در هر فواصل تعیین کنید ، جایی که + افزایش و - کاهش است.

مثال 3

مشتق را در دامنه f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) پیدا کنید 2 ...

راه حل

برای حل نیاز دارید:

• نقاط ثابت را بیابید ، این مثال x = 0 دارد.
• صفر مخرج را بیابید ، مثال مقدار صفر را در x = ± 1 2 می گیرد.

ما نقاطی را در محور عددی نشان می دهیم تا مشتق در هر فاصله مشخص شود. برای انجام این کار ، کافی است هر نقطه ای از فاصله را گرفته و محاسبه را انجام دهید. اگر نتیجه مثبت باشد ، + را روی نمودار ترسیم می کنیم ، که به معنی افزایش عملکرد است و - به معنی کاهش آن است.

به عنوان مثال ، f "( - 1) = - 2 · ( - 1) 4 - 1 2 - 1 2 = 2 9> 0 ، به این معنی که اولین فاصله در سمت چپ دارای علامت + است. در خط عدد در نظر بگیرید.

پاسخ:

• تابع در فاصله افزایش می یابد - ∞ ؛ - 1 2 و (- 1 2 ؛ 0] ؛
• کاهش در فاصله وجود دارد [0 ؛ 1 2) و 1 2 ؛ +.

در نمودار ، استفاده از + و - مثبت و منفی عملکرد را نشان می دهد ، و فلش ها - کاهش و افزایش می یابد.

نقاط اضافی یک تابع نقاطی هستند که در آن تابع تعریف شده و مشتق از طریق آنها علامت تغییر می دهد.

مثال 4

اگر مثالی را در نظر بگیریم که x = 0 است ، مقدار تابع در آن برابر f (0) = 0 2 4 0 2 - 1 = 0 است. وقتی علامت مشتق از + به - تغییر می کند و از نقطه x = 0 عبور می کند ، نقطه با مختصات (0 ؛ 0) حداکثر نقطه در نظر گرفته می شود. وقتی علامت از - به +تغییر می کند ، حداقل امتیاز را دریافت می کنیم.

محدب و تقعر با حل نابرابری های شکل f "" (x) ≥ 0 و f "" (x) ≤ 0 تعیین می شود. به ندرت ، این نام از محدب به جای تقعر و از محدب به جای محدب استفاده می شود.

تعریف 3

برای تعیین فواصل مقعر و محدبلازم:

• مشتق دوم را پیدا کنید ؛
• یافتن صفرهای تابع مشتق دوم ؛
• منطقه تعریف را با نقاط ظاهر شده به فواصل تقسیم کنید.
• تعیین علامت شکاف

مثال 5

مشتق دوم را از دامنه پیدا کنید.

راه حل

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= = ( - 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 "(4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

ما صفرهای شمارنده و مخرج را پیدا می کنیم ، جایی که در مثال ما صفرهای مخرج x = ± 1 2

اکنون باید نقاطی را در محور عددی ترسیم کرده و علامت مشتق دوم را از هر فاصله تعیین کنید. ما آن را دریافت می کنیم

پاسخ:

• عملکرد از فاصله محدب است - 1 2 ؛ 12؛
• تابع از فواصل مقعر است - ∞ ؛ - 1 2 و 1 2 ؛ +.

تعریف 4

نقطه عطفآیا نقطه ای از شکل x 0 است ؛ f (x 0). هنگامی که مماس بر نمودار یک تابع است ، پس از عبور از x 0 ، تابع علامت خود را به عکس تغییر می دهد.

به عبارت دیگر ، این نقطه ای است که مشتق دوم از آن عبور می کند و علامت را تغییر می دهد و در خود نقاط برابر با صفر است یا وجود ندارد. همه نقاط به عنوان حوزه عملکرد در نظر گرفته می شوند.

در مثال ، مشاهده شد که هیچ نقطه عطفی وجود ندارد ، زیرا مشتق دوم هنگام عبور از نقاط x = ± 1 2 علامت را تغییر می دهد. آنها به نوبه خود در محدوده تعریف قرار نمی گیرند.

یافتن مجانب افقی و مورب

هنگام تعریف یک تابع در بی نهایت ، شما باید به دنبال مجانب افقی و مورب باشید.

تعریف 5

مجانب مورببا خطوطی که با معادله y = k x + b تعریف شده اند ، نشان داده می شود ، جایی که k = lim x → ∞ f (x) x و b = lim x → ∞ f (x) - k x است.

برای k = 0 و b مساوی با بی نهایت ، متوجه می شویم که مجانب مایل تبدیل می شود افقی.

به عبارت دیگر ، مجانبی خطوطی هستند که نمودار تابع در بی نهایت به آنها نزدیک می شود. این طرح سریع تابع را تسهیل می کند.

اگر هیچ علامتی وجود ندارد ، اما تابع در هر دو بی نهایت تعریف شده است ، لازم است حد تابع در این بی نهایت ها محاسبه شود تا درک شود که نمودار عملکرد چگونه رفتار خواهد کرد.

مثال 6

به عنوان مثال ، آن را در نظر بگیرید

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → f (f (x) - kx) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

مجانب افقی است. پس از بررسی عملکرد ، می توانید شروع به ساخت آن کنید.

محاسبه مقدار یک تابع در نقاط میانی

برای اینکه نمودار دقیق تر شود ، توصیه می شود مقادیر متعددی از تابع را در نقاط میانی پیدا کنید.

مثال 7

از نمونه ای که در نظر گرفته ایم ، لازم است مقادیر تابع را در نقاط x = - 2 ، x = - 1 ، x = - 3 4 ، x = - 1 4 پیدا کنیم. از آنجا که تابع زوج است ، دریافت می کنیم که مقادیر با مقادیر این نقاط منطبق است ، یعنی x = 2 ، x = 1 ، x = 3 4 ، x = 1 4 بدست می آوریم.

بیایید بنویسیم و حل کنیم:

F ( - 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0.27 f ( - 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 ، 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0.45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0.08

برای تعیین حداکثر و حداقل یک تابع ، نقاط عطف ، نقاط میانی ، ساختن مجانبی ضروری است. برای تعیین راحت ، فواصل افزایش ، کاهش ، محدبیت ، مقعر ثابت است. شکل زیر را در نظر بگیرید.

لازم است خطوط نمودار را از طریق نقاط مشخص شده بکشید ، که به شما امکان می دهد پس از پیکان ها به مجانب نزدیک شوید.

با این کار اکتشاف کامل تابع به پایان می رسد. مواردی از ساخت برخی از توابع ابتدایی وجود دارد که برای آنها تغییرات هندسی اعمال می شود.

در صورت مشاهده خطا در متن ، لطفاً آن را انتخاب کرده و Ctrl + Enter را فشار دهید