راه حل روش تنوع ثابت های دلخواه است. نمونه هایی از روش تغییرات دائمی دلخواه

در حال حاضر معادله نامناسب خطی را در نظر بگیرید
. (2)
اجازه دهید y 1، y 2، ..، y n - سیستم اساسی راه حل ها، و راه حل کلی از معادله همگن همگن L (y) \u003d 0 است. شبیه به مورد معادلات اول سفارش، ما به دنبال راه حل معادله (2) به عنوان
. (3)
اطمینان حاصل کنید که راه حل در این شکل وجود دارد. برای انجام این کار، ما تابع را به معادله جایگزین خواهیم کرد. برای جایگزینی این تابع به معادله، مشتقات آن را پیدا خواهد کرد. مشتق اول برابر است
. (4)
هنگام محاسبه مشتق دوم در سمت راست (4) چهار اصطلاح وجود دارد، زمانی که محاسبه مشتق سوم - هشت اصطلاح و غیره. بنابراین، برای راحتی از حساب بیشتر، اولین دوره در (4) قرار است صفر باشد. با توجه به این، مشتق دوم برابر است
. (5)
با توجه به همان، ملاحظات، در (5)، ما همچنین معتقدیم که اولین دوره برابر صفر است. سرانجام، مشتقات n برابر است
. (6)
جایگزینی مقادیر به دست آمده از مشتقات در معادله اولیه، ما داریم
. (7)
دومین دوره در (7) صفر است، زیرا توابع y j، j \u003d 1،2، ..، n راه حل های معادله همگن مربوطه L (y) \u003d 0 است. ترکیب با یکی از قبلی، ما یک سیستم معادلات جبری را برای پیدا کردن توابع c "j (x) به دست می آوریم
(8)
تعیین کننده این سیستم تعیین کننده سیستم بنیادی برونسکی راه حل های Y 1، Y 2، ..، Y N از معادله همگن همگن L (y) \u003d 0 و بنابراین صفر نیست. در نتیجه، تنها راه حل سیستم وجود دارد (8). با پیدا کردن آن، ما تابع C "J (X)، j \u003d 1،2، ...، n، و، بنابراین، c j (x)، j \u003d 1،2، ...، n جایگزین این مقادیر در (3)، ما یک راه حل یک معادله نامناسب خطی به دست می آوریم.
روش متداول روش تغییرات با روش ثابت دائمی یا لاگرانژ نامیده می شود.

مثال شماره 1 پیدا کردن یک راه حل کلی از معادله Y + 4Y + 3Y \u003d 9E -3 x. معادله همگن مربوطه Y را در نظر بگیرید "" + 4Y + 3Y \u003d 0. ریشه های معادله مشخصه آن R 2 + 4R + 3 \u003d 0 -1 و - 3 بنابراین، سیستم بنیادی راه حل های یک معادله همگن شامل توابع y 1 \u003d e-x و y 2 \u003d e -3 x است. راه حل معادله ناهمگن به عنوان در فرم y \u003d c 1 (x) E - x + C 2 (x) E -3 x است. برای پیدا کردن مشتقات C "1، C" 2 ما یک سیستم معادلات (8)
c '1 · e -x + c' 2 · e -3x \u003d 0
-c '1 · e -x -3c' 2 · e -3x \u003d 9E -3X
حل که، ما پیدا کردن، ادغام توابع به دست آمده، ما داریم
سرانجام دریافت

مثال شماره 2 حل معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه دوم با ضرایب دائمی با تغییر دائمی دائمی:

y (0) \u003d 1 + 3LN3
y '(0) \u003d 10LN3

تصمیم گیری:
این معادله دیفرانسیل به معادلات دیفرانسیل خطی با ضرایب دائمی اشاره دارد.
راه حل معادله به عنوان y \u003d e rx امضا خواهد شد. برای انجام این کار، ما یک معادله مشخصی از یک معادله دیفرانسیل یکنواخت خطی با ضرایب ثابت را جمع آوری می کنیم:
r 2 -6 R + 8 \u003d 0
d \u003d (-6) 2 - 4 · 1 · 8 \u003d 4

ریشه های معادله مشخصه: R 1 \u003d 4، R 2 \u003d 2
بنابراین، سیستم اساسی راه حل ها توابع است: Y 1 \u003d E 4X، Y 2 \u003d E 2X
راه حل کلی یک معادله همگن دارای فرم است: y \u003d c 1 · e 4x + c 2 · e 2x
جستجو برای یک راه حل خصوصی با تغییر توسط ثابت دلخواه.
برای پیدا کردن C "I مشتقات، ما یک سیستم معادلات را تشکیل می دهیم:
c '1 · e 4x + c' 2 · e 2x \u003d 0
C '1 (4E 4X) + C' 2 (2E 2X) \u003d 4 / (2 + E -2X)
بیان C "1 از معادله اول:
c "1 \u003d -c 2 e -2x
و ما جایگزین دوم می شویم. در نتیجه، ما دریافت می کنیم:
C "1 \u003d 2 / (E 2X + 2E 4X)
C "2 \u003d -2E 2X / (E 2X + 2E 4X)
ما ویژگی های به دست آمده را ادغام می کنیم C "I:
C 1 \u003d 2LN (E -2X +2) - E -2X + C * 1
c 2 \u003d ln (2E 2x +1) - 2x + c * 2

از آنجا که y \u003d c 1 · e 4x + c 2 · e 2x، سپس عبارات به دست آمده را در فرم بنویسید:
C 1 \u003d (2LN (2LN (E -2X +2) - E -2X + C * 1) E 4X \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + C * 1 E 4X
C 2 \u003d (LN (2E 2X +1) - 2x + C * 2) E 2X \u003d E 2X LN (2E 2X +1) - 2X E 2X + C * 2 E 2X
بنابراین، راه حل کلی معادله دیفرانسیل این است:
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + C * 1 E 4X + E 2X LN (2E 2X +1) - 2X E 2X + C * 2 E 2X
یا
y \u003d 2 E 4X LN (E -2X +2) - E 2X + E 2X LN (2E 2X +1) - 2X E 2X + C * 1 E 4X + C * 2 E 2X

ما یک راه حل خصوصی ارائه خواهیم داد:
y (0) \u003d 1 + 3LN3
y '(0) \u003d 10LN3

جایگزینی x \u003d 0، در معادله یافت شده، ما دریافت می کنیم:
y (0) \u003d 2 LN (3) - 1 + LN (3) + C * 1 + C * 2 \u003d 3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
ما اولین مشتق از راه حل کلی به دست آمده را پیدا می کنیم:
y '\u003d 2E 2X (2C 1 E 2X + C 2 -2X +4 E 2X LN (E -2X +2) + LN (2E 2X +1) -2)
جایگزینی X \u003d 0، ما دریافت می کنیم:
y '(0) \u003d 2 (2C 1 + C 2 +4 LN (3) + LN (3) -2) \u003d 4C 1 + 2C 2 +10 LN (3) -4 \u003d 10LN3

ما یک سیستم از دو معادله را دریافت می کنیم:
3 LN (3) - 1 + C * 1 + C * 2 \u003d 1 + 3LN3
4C 1 + 2C 2 +10 LN (3) -4 \u003d 10LN3
یا
C * 1 + C * 2 \u003d 2
4C 1 + 2C 2 \u003d 4
یا
C * 1 + C * 2 \u003d 2
2C 1 + C 2 \u003d 2
محل سکونت: C 1 \u003d 0، C * 2 \u003d 2
تصمیم خصوصی ثبت خواهد شد:
y \u003d 2E 4X · LN (E -2X +2) - E 2X + E 2X · LN (2E 2x +1) - 2x · E 2X + 2 · 2x

روش تنوع ثابت های دلخواه برای حل معادلات دیفرانسیل غیرمستقیم استفاده می شود. این درس برای کسانی که در حال حاضر بیشتر یا کمتر در این موضوع بیشتر یا کمتر طراحی شده اند، طراحی شده اند. اگر شما فقط شروع به آشنا شدن با DU، I.E. شما کتری هستید، من توصیه می کنم از درس اول شروع کنم: معادلات دیفرانسیل سفارش اول. نمونه هایی از راه حل ها. و اگر شما قبلا به پایان رسید، لطفا نظر احتمالی احتمالی را که این روش پیچیده است، رها کنید. از آنجا که او ساده است

در چه مواردی روش تنوع ثابت های دلخواه چیست؟

1) روش تنوع دائمی دلخواه می تواند هنگام حل استفاده شود خطی غیرقانونی Du 1-Th. از آنجا که معادله اول مرتبه به زودی ثابت می شود، ثابت (ثابت) نیز تنها است.

2) روش تنوع ثابت های دلخواه برای حل برخی از آنها استفاده می شود معادلات دوم مرتبه خطی خطی. دو دائمی (ثابت) در اینجا متفاوت است.

منطقی است فرض کنیم که درس شامل دو پاراگراف است .... در اینجا من این پیشنهاد را نوشتم و 10 دقیقه فکر می کنم که فکر می کنم هرچه یک تلنگر هوشمند برای انتقال صاف به نمونه های عملی اضافه کنم. اما به دلایلی، پس از تعطیلات، افکار هیچ افکار وجود ندارد، هرچند به نظر می رسد و هیچ چیز سوء استفاده نکرد. بنابراین، ما بلافاصله با پاراگراف اول دریافت می کنیم.

روش تنوع دائمی دلخواه
برای یک معادله مرتبه اول خطی نامناسبی

قبل از با توجه به روش تنوع ثابت دلخواه، مطلوب است که با این مقاله آشنا شوید معادلات دیفرانسیل خطی مرتبه اول. در آن درس ما کار کردیم راه اول برای حل دستور نامی غیر مجاز دو. این اولین راه حل به یاد می آید، نامیده می شود روش جایگزینی یا روش Bernoulli (نه به اشتباه با معادله Bernoulli!!!)

حالا ما نگاه خواهیم کرد راه دوم حل - روش تنوع دائمی دلخواه. من فقط سه نمونه را می دهم و آنها را از درس فوق الذکر می گیرم. چرا چند نفر؟ از آنجا که در واقعیت این تصمیم بسیار شبیه به تصمیم در راه اول خواهد بود. علاوه بر این، بر اساس مشاهدات من، روش تنوع ثابت های دلخواه، کمتر از روش جایگزینی استفاده می شود.

مثال 1

(Diffur از مثال شماره 2 درس خطی غیرقانونی Du 1-Th)

تصمیم گیری: این معادله غیرممکن است و یک نگاه آشنا دارد:

در مرحله اول، لازم است یک معادله ساده را حل کنیم:
به این ترتیب، احمقانه سمت راست را بازنشانی می کند - به جای نوشتن صفر.
معادله تماس میگیرم معادله کمکی.

در این مثال، شما باید حقوق کمکی زیر را حل کنید:

قبل از ما معادله با متغیرهای جداسازیتصمیم گیری (من امیدوارم) دیگر نشان دهنده مشکلات برای شما نیست:

به این ترتیب:
- راه حل عمومی به معادله کمکی.

در مرحله دوم جایگزین کردن ثابت برخی در حالی که دوباره یک تابع ناشناخته که به "X" بستگی دارد:

از این رو نام روش - ثابت را تغییر دهید. به طور خلاصه، یک ثابت ممکن است برخی از ویژگی هایی باشد که ما باید اکنون پیدا کنیم.

که در منبع معادله ناهمگن بیایید جایگزین کنیم:

جایگزین I. در معادله :

لحظه را بررسی کنید - دو جزء در سمت چپ کاهش می یابد. اگر این اتفاق نمی افتد، شما باید یک خطا در بالا جستجو کنید.

به عنوان یک نتیجه از جایگزینی، معادله ای با متغیرهای جداسازی به دست آمد. ما متغیرها را به اشتراک می گذاریم و ادغام می کنیم.

چه فضایی، غرفه داران نیز کاهش می یابد:

من همچنین ثابت "عادی" را به دست آوردم:

در مرحله نهایی، جایگزینی ما را به یاد می آورم:

تابع فقط پیدا شد!

بنابراین، راه حل عمومی:

پاسخ: تصمیم مشترک:

اگر شما دو راه برای حل آن را چاپ کنید، به راحتی متوجه خواهید شد که در هر دو مورد ما یکپارچگی مشابهی را پیدا کردیم. تفاوت فقط در الگوریتم راه حل.

در حال حاضر چیزی پیچیده تر، مثال دوم، من نیز اظهار نظر:

مثال 2

راه حل کلی معادله دیفرانسیل را پیدا کنید
(Diffur از مثال شماره 8 درس خطی غیرقانونی Du 1-Th)

تصمیم گیری: ما معادله را به فرم می دهیم :

سمت راست و یک معادله کمکی را از بین برد:

راه حل عمومی معادله کمکی:

در معادله ناهمگن، ما جایگزین خواهیم شد:

با توجه به حکومت تمایز، کار:

جایگزین I. در معادله نامناسب اصلی:

دو جزء در سمت چپ کاهش می یابد، به این معنی است که ما در مسیر درست قرار داریم:

ما در قطعات ادغام می کنیم. نامه خوشمزه از فرمول ادغام در قطعات در حال حاضر در راه حل دخیل است، بنابراین ما استفاده می کنیم، به عنوان مثال، حروف "A" و "Be":

در حال حاضر جایگزینی را به یاد داشته باشید:

پاسخ: تصمیم مشترک:

و یک مثال برای یک راه حل مستقل:

مثال 3

راه حل خصوصی یک معادله دیفرانسیل مربوط به شرایط اولیه داده شده را پیدا کنید.

,
(Diffur از مثال 4 درس 4 خطی غیرقانونی Du 1-Th)
تصمیم گیری:
این DU غیرمستقیم خطی است. از روش تنوع ثابت های دلخواه استفاده کنید. من معادله کمکی را حل می کنم:

ما متغیرها را به اشتراک می گذاریم و ادغام می کنیم:

تصمیم مشترک:
در یک معادله ناهمگن، ما جایگزین خواهیم کرد:

یک جایگزین را انجام دهید:

بنابراین، راه حل عمومی:

ما یک راه حل خصوصی پیدا خواهیم کرد که مطابق با شرایط اولیه مشخص شده است:

پاسخ: راه حل خصوصی:

تصمیم گیری در پایان درس می تواند به عنوان یک نمونه نمونه برای تعریف کار باشد.

روش تنوع دائمی دلخواه
برای یک معادله مرتبه دوم مرتکب خطی خطی
با ضرایب دائمی

اغلب لازم بود که این نظر را بشنویم که روش تنوع ثابت های دلخواه برای معادله دوم مرتبه، ریه نیست. اما من فرض می کنم: به احتمال زیاد، روش به نظر می رسد دشوار است، زیرا این اغلب نیست. اما در واقع هیچ مشکلی خاصی وجود ندارد - روند حل روشن، شفاف و قابل فهم است. و زیبا.

برای کارشناسی ارشد روش، مطلوب است که بتوانید معادلات مرتبه دوم مرتبه دوم را با استفاده از روش انتخاب یک راه حل خصوصی با ظاهر قسمت راست حل کنید. این روش به طور دقیق در مقاله مورد بحث قرار گرفته است. سفارش غیر یکنواخت دومین. ما به یاد می آوریم که معادله نامناسب خطی از مرتبه دوم با ضرایب دائمی عبارت است از:

روش انتخاب، که در درس فوق در نظر گرفته شد، تنها در مواردی محدود می شود که چندجملهای، شاخص ها، سینوس ها، کوزین ها در سمت راست قرار دارند. اما چه کاری باید انجام دهید، به عنوان مثال، به عنوان مثال، کسری، لگاریتم، مماس؟ در چنین شرایطی، روش تنوع دائمی به کمک کمک می کند.

مثال 4

یک راه حل کلی از معادله دیفرانسیل دوم مرتبه دوم پیدا کنید

تصمیم گیری: در قسمت راست این معادله، یک کسری وجود دارد، بنابراین می توان بلافاصله گفت که روش انتخاب یک راه حل خصوصی رول نمی کند. از روش تنوع ثابت های دلخواه استفاده کنید.

هیچ چیز پیش بینی رعد و برق، آغاز تصمیم به طور کامل عادی است:

پیدا کردن تصمیم مشترک مربوط لباس فرم معادلات:

ما همچنین معادله مشخصی را تعیین خواهیم کرد:


- دریافت ریشه های پیچیده کنجد، بنابراین راه حل عمومی:

توجه به ورود راه حل عمومی - اگر براکت وجود داشته باشد، آنها را نشان می دهد.

در حال حاضر ما تقریبا همان ترفند را برای اولین معادله سفارش انجام می دهیم: ثابت کردن ثابت، جایگزین آنها با توابع ناشناخته است. من، راه حل عمومی ناهمگنمعادلات در فرم جستجو خواهند شد:

جایی که - در حالی که دوباره توابع ناشناخته

به نظر می رسد دفن زباله های زباله های خانگی، اما اکنون همه چیز مرتب شده است.

ناشناخته ها توابع مشتق شده هستند. هدف ما یافتن مشتقات است و مشتقات یافت می شود باید معادله اول و دوم سیستم را برآورده سازد.

از کجا می آید؟ استورک آنها را به ارمغان می آورد. ما به راه حل پیش از آن نگاه می کنیم و نوشتن می کنیم:

مشتقات را پیدا کنید:

با قطعات چپ شکل گرفت. چه باید بکنم؟

- این سمت راست معادله اصلی است، در این مورد:

ضريب ضريب ضريبي با مشتق دوم است:

در عمل، تقریبا همیشه، و مثال ما هیچ استثنائی نیست.

همه چیز معلوم شد، حالا شما می توانید یک سیستم ایجاد کنید:

سیستم معمولا تصمیم می گیرد با توجه به فرمول Kramerبا استفاده از یک الگوریتم استاندارد تنها تفاوت این است که به جای اعداد ما عمل می کنیم.

ما تعیین کننده اصلی سیستم را پیدا می کنیم:

اگر فراموش کرده اید که چگونه تعیین کننده "دو تا دو" آشکار شده است، با یک درس مشورت کنید چگونه می توان تعیین کننده را محاسبه کرد؟ لینک منجر به سایه هیئت مدیره می شود \u003d)

بنابراین: این بدان معنی است که سیستم یک راه حل واحد دارد.

یک مشتق را پیدا کنید:

اما این همه نیست تا زمانی که ما تنها یک مشتق یافتیم.
این تابع خود را با ادغام بازسازی می شود:

ما با عملکرد دوم درک می کنیم:

در اینجا ما یک ثابت "عادی" را اضافه می کنیم

در مرحله نهایی، من راه حل ها را به یاد می آورم، در چه شکل ما راه حل کلی معادله نامناسبی را جستجو کردیم؟ در چنین:

توابع لازم فقط یافت می شود!

این برای انجام جایگزینی باقی مانده است و پاسخ را بنویسید:

پاسخ: تصمیم مشترک:

در اصل، در پاسخ این امکان وجود دارد که براکت ها را آشکار سازند.

بررسی پاسخ کامل بر اساس طرح استاندارد انجام می شود که در درس در نظر گرفته شد. سفارش غیر یکنواخت دومین. اما تأیید دشوار خواهد بود زیرا مشتقات نسبتا سنگین برای پیدا کردن و انجام جایگزینی بزرگ وجود دارد. این یک ویژگی ناخوشایند است که شما چنین توزیع کنندگان را حل می کنید.

مثال 5

معادله دیفرانسیل را با تغییر ثابت دلخواه حل کنید

این یک مثال برای یک راه حل مستقل است. در حقیقت، در قسمت راست نیز کسری است. ما فرمول مثلثاتی را به یاد می آوریم، به هر حال، باید در مسیر راه حل استفاده شود.

روش تنوع دائمی دلخواه، روش جهانی ترین است. آنها می توانند هر معادله ای را حل کنند روش انتخاب یک راه حل خصوصی با ظاهر قسمت راست. این سوال مطرح می شود، و چرا از روش تنوع ثابت های دلخواه استفاده نمی شود؟ پاسخ واضح است: انتخاب یک راه حل خصوصی، که در درس در نظر گرفته شد معادلات مرتبه دوم غیرمستقیم، به طور قابل توجهی سرعت راه حل را افزایش می دهد و ضبط را کاهش می دهد - هیچ تراشه با عوامل تعیین کننده و انتگرال.

دو نمونه را با وظیفه کوشی.

مثال 6

راه حل خصوصی یک معادله دیفرانسیل مربوط به شرایط اولیه مشخص شده را پیدا کنید.

,

تصمیم گیری: باز هم، کسری و نماینده در یک مکان جالب.
از روش تنوع ثابت های دلخواه استفاده کنید.

پیدا کردن تصمیم مشترک مربوط لباس فرم معادلات:



- ریشه های مختلف معتبر به دست آمده، بنابراین راه حل عمومی:

راه حل عمومی ناهمگن معادلات به عنوان در فرم به دنبال هستند: جایی که - در حالی که دوباره توابع ناشناخته

سیستم را بسازید:

در این مورد:
,
مشتقات را پیدا کنید:
,

به این ترتیب:

سیستم محلول توسط فرمول های خزنده:
بنابراین سیستم یک راه حل واحد دارد.

ما تابع را با ادغام بازگردانیم:

اینجا استفاده می شود روش جمعآوری یک تابع تحت نشانه دیفرانسیل.

ما تابع ادغام دوم را بازسازی می کنیم:

چنین انتگرال حل شده است با جایگزینی متغیر:

از جایگزینی خود، ما بیان می کنیم:

به این ترتیب:

این انتگرال را می توان یافت. روش تخصیص یک مربع کاملاما در مثال هایی با diffusers من ترجیح می دهم یک کسری را بگذارم روش ضرایب نامشخص:

هر دو توابع یافت شد:

در نتیجه، راه حل کلی معادله نامناسبی:

ما یک راه حل خصوصی را پیدا خواهیم کرد که شرایط اولیه را برآورده می کند. .

از لحاظ فنی، راه حل راه حل توسط روش استاندارد انجام شده است که در مقاله مورد بررسی قرار گرفته است. معادلات دیفرانسیل دوم غیرمستقیم.

نگه دارید، در حال حاضر ما یک مشتق از راه حل عمومی یافت می شود:

در اینجا چنین شدیدی است. لازم نیست که آن را ساده تر کنیم، بلافاصله سیستم معادلات را آسان تر می کند. مطابق با شرایط اولیه :

جایگزینی پایه ها ثابت ها را یافتند به طور کلی راه حل:

در پاسخ، لگاریتم ها می توانند کمی استفاده شوند.

پاسخ: راه حل خصوصی:

همانطور که می بینید، ممکن است مشکلات ممکن است در انتگرال ها و مشتقات رخ دهد، اما به هیچ وجه در الگوریتم تنوع ثابت های خودسرانه خود وجود ندارد. این من نبودیم، این مجموعه کل Kuznetsov است!

برای آرامش، مثال نهایی، ساده تر برای یک راه حل مستقل:

مثال 7

حل وظیفه کوشی

,

یک مثال ساده است، اما خلاق، زمانی که یک سیستم را ایجاد کنید، قبل از تصمیم گیری به آن نگاه کنید ؛-)




در نتیجه، راه حل عمومی:

یک راه حل خصوصی را پیدا کنید که شرایط اولیه را برآورده سازد .



مقادیر یافت شده ثابت ثابت در راه حل عمومی:

پاسخ: راه حل خصوصی:

روش تنوع دائمی دلخواه

روش تنوع ثابت های دلخواه برای ساخت یک محلول یک معادله دیفرانسیل غیرمستقیم خطی

آ. n. (t.)z. (n.) (t.) + آ. n. − 1 (t.)z. (n. − 1) (t.) + ... + آ. 1 (t.)z."(t.) + آ. 0 (t.)z.(t.) = f.(t.)

این شامل جایگزینی دائمی دلخواه است c. k. به طور کلی راه حل

z.(t.) = c. 1 z. 1 (t.) + c. 2 z. 2 (t.) + ... + c. n. z. n. (t.)

معادله همگن مربوطه

آ. n. (t.)z. (n.) (t.) + آ. n. − 1 (t.)z. (n. − 1) (t.) + ... + آ. 1 (t.)z."(t.) + آ. 0 (t.)z.(t.) = 0

در توابع کمکی c. k. (t.) مشتق شده از آن را برآورده می شود سیستم جبری خطی

تعیین کننده سیستم (1) توابع توابع است z. 1 ,z. 2 ,...,z. n. که نسبی انعطاف پذیری یکپارچه خود را فراهم می کند.

اگر شما ابتدایی هستید، در مقادیر ثابت ادغام ثابت، سپس تابع گرفته شده است

این یک راه حل برای معادله دیفرانسیل نسبی غیرقانونی خطی است. ادغام معادله نامناسبی در حضور یک راه حل کلی از معادله همگن متناظر، به درجه دوم کاهش می یابد.

روش تنوع دائمی دلخواه برای ساخت راه حل های یک سیستم معادلات دیفرانسیل خطی در فرم طبیعی بردار

این شامل ساخت یک راه حل خصوصی (1) در قالب

جایی که Z.(t.) - مبنای راه حل های معادله همگن مربوطه که به صورت یک ماتریس ثبت شده است و یک تابع بردار، جایگزین بردار ثابت های دلخواه، با نسبت تعیین می شود. دومین راه حل خصوصی (با مقادیر اولیه صفر t. = t. 0 دارای گونه است

برای یک سیستم با ضرایب ثابت، آخرین عبارت ساده شده است:

ماتریکس Z.(t.)Z. - 1 (τ) به نام ماتریس کوشی اپراتور L. = آ.(t.) .

روش حل معادلات دیفرانسیل غیرمستقیم خطی از دستورات بالاتر با ضرایب ثابت با تغییر لاگرانژ دائمی در نظر گرفته شده است. روش لاگرانژ نیز برای حل هر معادله غیرمنتظره خطی قابل استفاده است، اگر یک سیستم اساسی راه حل های یک معادله همگن شناخته شود.

محتوا

همچنین ببینید:

روش لاگرانژ (تنوع ثابت)

یک معادله دیفرانسیل غیر مجاز خطی را با ضرایب دائمی سفارش خودسرانه در نظر بگیرید:
(1) .
روش تنوع ثابت، در نظر گرفته شده توسط ما برای معادله درجه اول، همچنین برای معادلات سفارشات بالاتر اعمال می شود.

راه حل در دو مرحله انجام می شود. در مرحله اول، ما سمت راست را از دست می دهیم و یک معادله همگن را حل می کنیم. در نتیجه، ما یک راه حل حاوی N ثابت دائمی دریافت می کنیم. در مرحله دوم، ما ثابت هستیم. به این معناست که ما معتقدیم که این ثابت ها از یک متغیر مستقل X عمل می کنند و فرم این توابع را پیدا می کنند.

اگر چه ما در اینجا معادلات با ضرایب دائمی را در نظر می گیریم، اما روش لاگرانژ همچنین برای حل معادلات غیرقانونی خطی اعمال می شود. با این حال، برای این، یک سیستم بنیادی از راه حل های یک معادله همگن باید شناخته شود.

مرحله 1. راه حل یک معادله همگن

همانطور که در مورد معادلات اول سفارش، در ابتدا ما به دنبال یک راه حل کلی از یک معادله همگن، معادل بخش ناهمگونی راست به صفر:
(2) .
راه حل کلی چنین معادله ای فرم دارد:
(3) .
اینجا - دائمی دلخواه؛ - N راه حل های مستقل خطی یک معادله همگن (2)، که یک سیستم اساسی راه حل های این معادله را تشکیل می دهد.

مرحله 2. تنوع دائمی - جایگزینی توابع دائمی

در مرحله دوم، ما با تغییرات دائمی مقابله خواهیم کرد. به عبارت دیگر، ما ثابت را بر روی تابع از یک متغیر مستقل x جایگزین می کنیم:
.
به این ترتیب، ما به دنبال راه حل معادله اولیه (1) در فرم زیر هستیم:
(4) .

اگر ما جایگزین (4) در (1)، ما یک معادله دیفرانسیل را برای توابع N به دست می آوریم. در عین حال، ما می توانیم این ویژگی ها را با معادلات اضافی مرتبط کنیم. سپس این معادلات N خواهد بود که از آن عملکردهای N تعیین می شود. معادلات اضافی را می توان به روش های مختلف انجام داد. اما ما آن را به طوری که تصمیم گیری ساده ترین نگاه است. برای این، هنگامی که تمایز، شما باید به صفر شرایط حاوی مشتقات از توابع معادل. ما آن را نشان خواهیم داد.

برای جایگزینی محلول تخمین زده شده (4) به معادله اصلی (1)، ما باید مشتقات اولین سفارشات N را از تابع ثبت شده در فرم (4) پیدا کنیم. تمایز (4)، استفاده از قوانین تمایز مقدار و کار:
.
ما اعضای گروه بندی کردیم اول، ما اعضا را با مشتقات از، و سپس - اعضای مشتقات از:

.
ما شرایط اول را برای توابع ارائه می دهیم:
(5.1) .
سپس عبارت برای اولین مشتق از نرم افزار یک فرم ساده تر خواهد بود:
(6.1) .

به همان شیوه، مشتق دوم را پیدا می کنیم:

.
بیایید شرایط دوم را ترک کنیم:
(5.2) .
سپس
(6.2) .
و غیره. در شرایط اضافی، ما اعضا را به دست می آوریم که حاوی توابع مشتق شده به صفر است.

بنابراین، اگر معادلات اضافی زیر را برای توابع انتخاب کنید:
(5.K) ,
اولین مشتقات نرم افزار ساده ترین دیدگاه را خواهد داشت:
(6.K) .
اینجا .

ما N-Deivative را پیدا می کنیم:
(6.N)
.

ما در معادله اولیه جایگزین می شویم (1):
(1) ;






.
ما در نظر می گیریم که تمام توابع معادله را برآورده می کنند (2):
.
سپس مجموع اعضا حاوی صفر است. در نتیجه، ما دریافت می کنیم:
(7) .

در نتیجه، ما یک سیستم معادلات خطی برای مشتقات به دست آوردیم:
(5.1) ;
(5.2) ;
(5.3) ;
. . . . . . .
(5.N-1) ;
(7) .

حل این سیستم، ما عبارات مشتقات را به عنوان توابع از X پیدا می کنیم. ادغام، ما دریافت می کنیم:
.
در اینجا - دیگر وابسته به X ثابت نیست. جایگزینی در (4)، ما یک راه حل کلی از معادله منبع را به دست می آوریم.

توجه داشته باشید که برای تعیین مقادیر مشتقات، ما از هر جایی که ضرایب من ثابت نیست استفاده نمی شود. از این رو روش لاگرانژ برای حل هر معادله غیرمنتظره خطی قابل استفاده استاگر یک سیستم اساسی از راه حل های یک معادله همگن (2) شناخته شده است.

مثال ها

حل معادلات با تغییر دائمی (لاگرانژ).


راه حل نمونه ها \u003e\u003e\u003e

همچنین ببینید: راه حل معادلات درجه اول توسط روش تنوع دائمی (لاگرانژ)
راه حل معادلات سفارشات بالاتر توسط برنولی
محلول معادلات دیفرانسیل غیر مجاز خطی سفارشات بالاتر با ضرایب ثابت یک جایگزین خطی