در برخی موارد و مشتقات خصوصی مداوم در آن، حداقل یکی از آنها به صفر اعمال نمی شود، سپس در مجاورت این نقطه، سطح مشخص شده توسط معادله (1) خواهد شد سطح راست.

علاوه بر موارد فوق راه ضمنی برای کار سطح را می توان تعیین کرد واضحاگر یکی از متغیرها، به عنوان مثال Z، می تواند در بقیه بیان شود:

همچنین وجود دارد پارامتریک روش تخصیص در این مورد، سطح توسط سیستم معادلات تعیین می شود:

مفهوم سطح ساده

دقیقتر، سطح ساده یک تصویر از یک نقشه برداری هومیومورفیک نامیده می شود (یعنی یک صفحه نمایش دو طرفه یکپارچه و متقابل پیوسته) از داخل یک مربع تک. این تعریف را می توان بیان تحلیلی داده کرد.

فرض کنید در هواپیما با سیستم مختصات مستطیل شکل U و V، مربع تنظیم شده است، مختصات نقاط داخلی که برآورده شدن نابرابری ها 0< u < 1, 0 < v < 1. Гомеоморфный образ квадрата в пространстве с прямоугольной системой координат х, у, z задаётся при помощи формул х = x(u, v), у = y(u, v), z = z(u, v) (параметрическое задание поверхности). При этом от функций x(u, v), y(u, v) и z(u, v) требуется, чтобы они были непрерывными и чтобы для различных точек (u, v) и (u", v") были различными соответствующие точки (x, у, z) и (x", у", z").

مثال سطح ساده نیمه آبی است کل حوزه نیست سطح ساده. این باعث نیاز به تعمیم مفهوم سطح می شود.

زیر مجموعه فضا، هر نقطه ای از آن محله ای است که است سطح ساده، نامیده می شود سطح راست .

سطح در هندسه دیفرانسیل

هلی کوپتر

کتنوئید

متریک شکل سطح منحصر به فرد را تعریف نمی کند. به عنوان مثال، یک متریک از لگن و یک otoid، پارامتر بر این اساس، هماهنگ، یعنی بین مناطق آنها، مکاتبات است که تمام طول ها (ایزومتری) را حفظ می کند. خواص که در تحولات ایزومتریک باقی می ماند نامیده می شود هندسه داخلی سطوح هندسه داخلی به موقعیت سطح در فضا بستگی ندارد و تغییر نمی کند زمانی که آن را بدون کشش و فشرده سازی خم می شود (به عنوان مثال، زمانی که سیلندر خم می شود).

ضرایب متریک نه تنها طول تمام منحنی ها را تعریف می کنند، بلکه به طور کلی، نتایج تمام اندازه گیری ها در داخل سطح (زاویه ها، ناحیه، انحنای، و غیره) را تعریف می کنند. بنابراین، همه چیز که تنها بر روی متریک بستگی دارد به هندسه داخلی اشاره دارد.

بخش طبیعی و طبیعی

بردارهای معمولی در نقاط سطح

یکی از ویژگی های اصلی سطح آن است طبیعی - تک بردار، هواپیما مماس عمودی در یک نقطه مشخص شده:

نشانه عادی بستگی به انتخاب مختصات دارد.

مقطع سطحی از هواپیما حاوی نرمال (در این نقطه) برخی از منحنی را بر روی سطح، که نامیده می شود، شکل می دهد مقطع عادی سطوح استاندارد اصلی برای بخش صلیب طبیعی همزمان با نرمال به سطح (با دقت علامت) است.

اگر منحنی روی سطح یک مقطع معمولی نیست، طبیعی طبیعی آن یک زاویه خاص θ را با سطح طبیعی تشکیل می دهد. سپس crivale k. منحنی مربوط به انحنای است k. n. بخش عادی (با همان مماس) فرمول Menias:

مختصات ORT طبیعی به روش های مختلف برای کار کردن سطح در جدول نشان داده شده است:

	مختصات طبیعی در نقطه سطح
وظیفه ضمنی
وظیفه صریح
وظیفه پارامتری

انحناء

برای جهات مختلف در یک نقطه سطح داده شده، انحنای متفاوت از یک بخش صلیب طبیعی به دست می آید، که نامیده می شود انحنای طبیعی؛ او به علامت پلاس نسبت داده شده است، اگر منحنی طبیعی طبیعی طبیعی به همان جهت به عنوان طبیعی به سطح، و یا منهای، اگر جهت مخالف باشد، به همان جهت به سطح طبیعی می رسد.

به طور کلی، در هر نقطه از سطح، دو جهت عمود بر وجود دارد. e. 1 I. e. 2، که در آن انحنای طبیعی حداقل و حداکثر مقدار را می گیرد؛ این مسیرها نامیده می شوند اصلی. استثنا مورد زمانی است که انحنای طبیعی در تمام جهات یکسان (به عنوان مثال، در حوزه یا در انتهای بیضوی از چرخش)، تمام جهات در نقطه اصلی اصلی است.

سطوح با منفی (سمت چپ)، صفر (مرکز) و انحنای مثبت (راست).

انحنای طبیعی در جهت اصلی نامیده می شود پیشگامان اصلی؛ آنها را علامت بزنید κ 1 و κ 2. مقدار:

به نام انحنای گاوس, انحنای کامل یا به سادگی انحناء سطوح این اصطلاح نیز یافت می شود انحنای اسکالرکه منجر به نتیجه تانسور انحنای می شود؛ در عین حال، اسکالر انحنای دو برابر بیشتر از انحنای گاوسی است.

انحنای Gaussian را می توان از طریق متریک محاسبه کرد، و بنابراین این یک جسم هندسه داخلی سطوح است (ما توجه داریم که منحنی اصلی به هندسه داخلی ارتباط ندارد). با علامت انحنای، شما می توانید نقاط سطح را طبقه بندی کنید (نگاه کنید به شکل). انحنای هواپیما صفر است. انحناء شعاع R Radius در همه جا است. همچنین یک سطح انحنای منفی ثابت وجود دارد - pseudosphere.

خطوط ژئودزیک، انحنای ژئودزیک

منحنی بر روی سطح نامیده می شود خط ژئودزییا به سادگی وابسته به ژئودزیاگر در تمام نقاط آن طبیعی طبیعی طبیعی به منحنی هماهنگ با نرمال به سطح است. به عنوان مثال: در جغرافیایی هواپیما مستقیما و بخش های خطوط مستقیم، در محافل بزرگ و بخش های آنها خواهد بود.

تعریف معادل: خط ژئودزیک دارای پیش بینی اصلی اصلی آن در هواپیما لمس کردن یک بردار صفر است. اگر منحنی یک ژئودزی نیست، پیش بینی مشخص شده غیر صفر است؛ طول آن نامیده می شود انحنای ژئودزی k. g. منحنی بر روی سطح. نسبت این است:

جایی که k. - انحنای این منحنی، k. n. - انحنای بخش عادی آن با همان مماس.

خطوط ژئودزی مربوط به هندسه داخلی است. خواص اصلی خود را فهرست کنید.

• از طریق این سطح سطح، یک و تنها یک ژئودزیک در یک جهت خاص عبور می کند.
• در بخش به اندازه کافی کوچک از سطح، دو امتیاز همیشه می تواند با ژئودزیک ترکیب شود، و تنها با یک. توضیح: در حوزه، قطب های مخالف، مقادیر نامحدود مریدین ها را متصل می کنند و دو نقطه نزدیک را می توان نه تنها با بخش یک دایره بزرگ ترکیب کرد، بلکه علاوه بر آن به یک دایره کامل، به طوری که تعویض تنها در کوچک مشاهده می شود .
• ژئودزیک به زودی است. به شدت: بر روی یک قطعه کوچک از سطح، کوتاه ترین مسیر بین نقاط پیش تعیین شده، ژئودزیک است.

حوزه

یکی دیگر از ویژگی های مهم سطح او است حوزه که توسط فرمول محاسبه می شود:

یعنی، در مورد آنچه که در عنوان می بینید. اساسا، این یک "آنالوگ فضایی" است اهداف یافتن مماس و طبیعی به گراف عملکرد یک متغیر، و بنابراین هیچ مشکلی وجود ندارد.

بیایید با سوالات اساسی شروع کنیم: یک هواپیما مماس چیست و طبیعی است؟ بسیاری از این مفاهیم در سطح شهود آگاه هستند. ساده ترین مدل که به ذهن می آید، یک توپ است که یک کارتن نازک نازک دروغ می گوید. مقوا به همان اندازه که ممکن است به حوزه نزدیک شود و آن را در یک نقطه واحد نگرانی داشته باشد. علاوه بر این، در نقطه لمس، به شدت به سوزن ثابت شده است.

در تئوری، یک عزم وجدان از هواپیما مماس وجود دارد. تصور کنید رایگان سطح و نقطه متعلق به آن. بدیهی است، نقطه بسیار زیادی از طریق نقطه عبور می کند خطوط فضاییکه متعلق به این سطح است. چه کسی هر گونه ارتباطی دارد؟ \u003d) ... شخصا، من هشت پا را ارائه دادم. فرض کنید هر کدام از این خطوط وجود دارد مماس فضایی در نقطه

تعریف 1: هواپیمای مماس به سطح در نقطه است سطححاوی مماس به تمام منحنی هایی که متعلق به این سطح هستند و از طریق نقطه عبور می کنند.

تعریف 2: طبیعی به سطح در نقطه است سر راست، عبور از این نقطه عمود بر هواپیما مماس.

ساده و ظریف به هر حال، به طوری که شما از خستگی از سادگی مواد نمی میرند، کمی بعد، من با شما یک راز ظریف به اشتراک می گذارم که به شما اجازه می دهد تا از تعاریف مختلف برای همیشه فراموش کنید.

با فرمول های کار و الگوریتم، راه حل ها به طور خاص به طور خاص آشنا می شوند. در اکثریت قریب به اتفاق وظایف، معادله هواپیما مماس و معادله طبیعی نیز مورد نیاز است:

مثال 1

تصمیم: اگر سطح توسط معادله تعیین شود (به طور ضمنی)، معادله هواپیما مماس به این سطح در نقطه می تواند بر اساس فرمول زیر یافت شود:

توجه ویژه به مشتقات غیر معمول خصوصی - آنها اشتباه نگیرید از جانب مشتقات جزئی به طور ضمنی عملکرد را مشخص می کنند (اگر چه سطح تعریف شده است). اگر این مشتقات را پیدا کنید باید هدایت شود قوانین تمایز عملکرد سه متغیر، یعنی، هنگامی که هر متغیر را متولد می شود، دو حرف دیگر ثابت می شوند:

بدون خروج از دفتر جعبه، یک مشتق خصوصی را در نقطه پیدا کنید:

به طور مشابه:

این لحظه ناخوشایند ترین راه حل بود که در آن خطایی اگر مجاز نباشد، به طور مداوم به نظر می رسید. با این حال، دریافت موثر چک وجود دارد که من در کلاس صحبت کردم مشتق گرادیان.

همه "مواد تشکیل دهنده" یافت می شوند و در حال حاضر این جایگزینی شسته و رفته با ساده سازی بیشتر است:

– معادله عمومی هواپیما مماس مورد نظر.

من به شدت توصیه می کنم این مرحله از راه حل را بررسی کنید. ابتدا باید مطمئن شوید که مختصات نقطه لمسی واقعا معادله یافت شده راضی هستند:

- برابری وفادار

در حال حاضر "حذف" ضرایب معادله کلی هواپیما و بررسی آنها را برای تصادف یا تناسب با مقادیر متناظر بررسی کنید. در این مورد متناسب است. چگونه از شما یاد می گیرید البته هندسه تحلیلی، - این هست بردار طبیعی هواپیما مماس و آن است - راهنمای بردار عادی آرایش معادلات کانونیک طبیعی در نقطه و بردار راهنمای:

در اصل، نامزدها را می توان به "دو" کاهش داد، اما هیچ نیاز خاصی برای این وجود ندارد

پاسخ:

با این حال، معادلات به تعویق انداختن برخی از نامه ها، با این حال، دوباره - چرا؟ در اینجا و خیلی روشن چه چیزی است.

دو نمونه زیر برای یک راه حل مستقل. کوچک "ریاضی پتتر":

مثال 2

معادلات هواپیما مماس را پیدا کنید و در این نقطه به سطح طبیعی برسید.

و وظیفه، جالب از نقطه نظر فنی:

مثال 3

معادلات هواپیما مماس و طبیعی را به سطح برسانید

در نقطه

همه شانس نه تنها برای اشتباه، بلکه همچنین به مشکلات در نوشتن مواجه می شوند. معادلات کانونی مستقیم هستند. و معادلات طبیعی هستند، همانطور که احتمالا درک می کنید، این فرم به صورت معمول است. اگر چه، به دلیل فراموشی یا نادیده گرفتن برخی از تفاوت های ظاهری بیش از فرم قابل قبول و پارامتری.

نمونه های نمونه ای از تصمیمات اتمام در پایان درس.

آیا یک سطح مماس در هر سطح وجود دارد؟ به طور کلی، البته، نه. مثال کلاسیک است سطح مخروطی و نقطه - ماسک ها در این نقطه به طور مستقیم یک سطح مخروطی را تشکیل می دهند، و البته، در همان هواپیما دروغ نمی گویند. در هر چیزی آسان برای اطمینان و تحلیلی :.

منبع دیگری از مشکلات این واقعیت است عدم وجود هر مشتق خاص در نقطه. با این حال، این به این معنا نیست که در این نقطه هیچ هواپیما مماس وجود ندارد.

اما این به طور معمول محبوب تر از اطلاعات عملا قابل توجه بود، و ما به مسائل فوری بازگشت:

چگونه می توان معادلات هواپیما مماس و طبیعی را در نقطه ای قرار داد
اگر سطح توسط یک تابع صریح مشخص شود?

بازنویسی آن را به صورت ضمنی:

و در همان اصول، مشتقات خصوصی را پیدا کنید:

بنابراین، فرمول هواپیما مماس به معادله زیر تبدیل می شود:

و، بر این اساس، معادلات کانونی طبیعی هستند:

چگونه می توان حدس زد - این در حال حاضر "واقعی" مشتقات خصوصی از دو متغیر در نقطه ای که ما برای شناسایی نامه "Zet" نامگذاری کردیم و 100،500 بار یافتیم.

توجه داشته باشید که این مقاله به اندازه کافی برای یادآوری اولین فرمول است که در صورت لزوم، آسان است که هر چیز دیگری را حذف کنید. (روشن، داشتن سطح پایه آماده سازی). این رویکرد باید در طول مطالعه علوم دقیق مورد استفاده قرار گیرد، I.E. از حداقل اطلاعات، لازم است تلاش کنیم تا حداکثر نتیجه گیری ها و پیامدهای آن را بیرون بکشیم. "رسیدن به دانش" و در حال حاضر دانش موجود برای کمک! این اصل نیز در این واقعیت مفید است که با احتمال بالا، زمانی که خیلی کم می دانید، در یک وضعیت بحرانی صرفه جویی خواهید کرد.

ما فرمول های "اصلاح شده" را برای یک جفت نمونه انجام خواهیم داد:

مثال 4

معادلات هواپیما مماس و طبیعی به سطح را ایجاد کنید در نقطه

پوشش در اینجا با علامت معلوم شد - در حال حاضر این نامه نقطه نظر هواپیما را نشان می دهد، اما آنچه باید انجام شود این یک نامه محبوب است ....

تصمیم: معادله هواپیما مماس مورد نظر بر اساس فرمول خواهد بود:

مقدار تابع را در نقطه محاسبه کنید:

محاسبه مشتقات خصوصی از دستور 1 در این مرحله:

به این ترتیب:

با دقت، نه در عجله:

ما معادلات کانونی طبیعی را در نقطه ای بنویسیم:

پاسخ:

و مثال نهایی برای یک راه حل مستقل:

مثال 5

معادلات هواپیما مماس و طبیعی را به سطح برسانید.

نهایی - چون من واقعا تمام لحظات فنی را توضیح دادم و هیچ چیز برای اضافه کردن وجود ندارد. حتی توابع پیشنهاد شده در این وظیفه، غم و اندوه و یکنواخت - تقریبا تضمین شده در عمل شما "چندجملهای" را دریافت خواهید کرد، و به این ترتیب، مثال شماره 2 با یک نماینده به نظر می رسد مانند "سفید ورورون". به هر حال، احتمال دارد که سطح مشخص شده توسط معادله را برآورده سازد و این یکی دیگر از دلایلی است که این تابع به مقاله توسط "شماره دوم" وارد شده است.

و در نهایت، راز وعده داده شده: پس چگونه برای جلوگیری از تعاریف تعاریف؟ (قطعا به این معنی نیست که وضعیت زمانی که یک دانش آموز در مقابل امتحان تراشیده شده است)

تعریف هر مفهوم / پدیده / شی، اول از همه، پاسخ به سوال بعدی می دهد: چه چیزی است؟ (چه کسی / از جمله / چنین ". آگاهانه پاسخ دادن به این سوال، شما باید سعی کنید منعکس کنید قابل توجهنشانه ها قطعی شناسایی این یا آن مفهوم / پدیده / شی. بله، در ابتدا، تا حدودی به نظر می رسد تا حدودی، نادرست و بیش از حد (معلم درست \u003d))، اما در طول زمان، یک سخنرانی علمی کاملا معقول در حال توسعه است.

به عنوان مثال، بر روی اشیاء آشفته تر تکرار کنید، به این سوال پاسخ دهید: چه کسی چیهبورشکا است؟ نه، همه چیز ساده است ؛-) این یک شخصیت افسانه ای با گوش های بزرگ، چشم و پشم قهوه ای است؟ " دور و خیلی دور از تعریف - چند کاراکتر با چنین ویژگی هایی وجود دارد .... اما در حال حاضر بسیار نزدیک به تعریف است: "CheBurashka یک شخصیت اختراع شده توسط نویسنده ادوارد Asspensky در سال 1966، که ... (انتقال ویژگی های اصلی متمایز)". توجه به چگونگی شروع صلاحیت

اجازه دهید یک سطح مشخص شده توسط معادله نوع داشته باشیم

ما تعریف زیر را معرفی می کنیم.

تعریف 1. خط مستقیم به صورت یکنواخت به سطح ممکن است

مماس به هر منحنی دروغ گفتن بر روی سطح و عبور از نقطه.

از آنجا که از طریق نقطه P تعداد بی نهایت منحنی های مختلف را که بر روی سطح قرار می گیرند عبور می کند و ممكن است به سطح عبور از این نقطه، به طور کلی، به طور کلی، مجموعه بی نهایت، عبور می کند.

ما مفهوم نقاط خاص و عادی را معرفی می کنیم

اگر در این نقطه تمام سه مشتقات صفر باشند یا حداقل یکی از این مشتقات وجود نداشته باشد، سپس نقطه M نقطه خاصی از سطح نامیده می شود. اگر در نقطه تمام سه مشتقات وجود داشته باشد و مداوم هستند، و حداقل یکی از آنها از صفر متفاوت است، سپس نقطه M نقطه عطفی معمولی است.

حالا ما می توانیم قضیه زیر را فرموله کنیم.

قضیه تمام خطوط مماس به این سطح (1) در نقطه عادی آن در همان هواپیما دروغ می گویند.

شواهد و مدارک. یک خط مشخصی را در نظر بگیرید (شکل 206)، از طریق این نقطه از سطح عبور کنید. اجازه دهید منحنی تحت نظر تعیین شده توسط معادلات پارامتری

مماس به منحنی به سطح مماس خواهد بود. معادلات این مماس

اگر عبارات (2) جایگزین در معادله (1)، این معادله به هویت نسبت به T تبدیل شود، زیرا منحنی (2) بر روی سطح قرار دارد (1). تمایز آن را با دریافت

پیش بینی های این بردار بستگی به مختصات نقطه P دارد؛ توجه داشته باشید که از آنجا که نقطه R عادی است، این پیش بینی ها در نقطه P به طور همزمان به صفر نمی روند و بنابراین

مماس به منحنی عبور از نقطه P و دروغ گفتن بر روی سطح. پیش بینی های این بردار بر اساس معادلات (2) با مقدار پارامتر T مربوط به نقطه R محاسبه می شود

ما محصول اسکالر بردارها N را محاسبه می کنیم و برابر با مقدار آثار مشابه با نام های مشابه است:

بر اساس برابری (3)، بیان که در قسمت راست قرار دارد صفر است، بنابراین

از آخرین برابری، این به این معنی است که بردار LG و بردار مماس به منحنی (2) در نقطه P عمود بر این استدلال برای هر منحنی (2) عبور از P و دروغ گفتن بر روی سطح معتبر است. در نتیجه، هر یک از مماس به سطح در نقطه P عمود بر همان بردار n است و بنابراین تمام این مظنون ها در همان هواپیما عمود بر بردار LG قرار دارند. قضیه ثابت شده است.

تعریف 2. هواپیما که در آن تمام خطوط مستقیم مماس روی سطوح عبور از این نقطه P یک هواپیما مماس به سطح در نقطه P نامیده می شود (شکل 207).

توجه داشته باشید که در نقاط مختلف سطح ممکن است یک هواپیما مماس نباشد. در چنین نقاط، مماس مستقیم به سطح ممکن است در همان هواپیما دروغ نباشد. به عنوان مثال، رأس سطح مخروطی یک نقطه خاص است.

مماس به سطح مخروطی در این نقطه در همان هواپیما دروغ نمی گوید (آنها خود را یک سطح مخروطی تشکیل می دهند).

معادله هواپیما مماس را به سطح (1) در یک نقطه عادی بنویسید. از آنجا که این هواپیما عمود بر بردار (4) است، بنابراین، معادله آن فرم دارد

اگر معادله سطح مشخص شده در فرم یا معادله هواپیما مماس در این مورد فرم باشد

اظهار نظر. اگر ما در فرمول قرار دادیم (6)، این فرمول فرم را به دست آورد

بخش راست آن یک تابع دیفرانسیل کامل است. از این رو ،. بنابراین، عملکرد کامل دیفرانسیل از دو متغیر در نقطه ای که مربوط به افزایش متغیرهای مستقل X و Y برابر با افزایش مربوط به کاربرد کاربرد هواپیما مماس به سطح است، که یک نمودار از این تابع است.

در مورد عنوان 3. مستقیم، از طریق نقطه سطح (1) عمود بر هواپیما مماس انجام می شود، به سطح طبیعی (شکل 207) نامیده می شود.

ما معادلات طبیعی را بنویسیم. از آنجا که جهت آن با جهت بردار n همخوانی دارد، معادلات آن خواهد بود

معادله هواپیما معمولی

1.

4.

هواپیما مماس و سطح طبیعی

اجازه دهید برخی از سطوح داده شود، یک نقطه سطح ثابت و نقطه سطح B متغیر است،

بردار غیر صفر

نقطه سطح F (X، Y، Z) \u003d 0 معمولی است، اگر در این نقطه باشد عادی است

1. مشتقات خصوصی F "X، F" Y، F "Z مداوم هستند؛
2. (f "x) 2 + (f" y) 2 + (f "z) 2 ≠ 0.

در صورت نقض حداقل یکی از این شرایط، نقطه سطح نامیده می شود نقطه ویژه سطح .

تئوری 1.اگر m (x 0، y 0، z 0) - نقطه سطح معمولی f (x، y، z) \u003d 0، سپس بردار

این سطح طبیعی به این سطح در نقطه M (X، Y 0، 0، Z 0) طبیعی است.

شواهد و مدارکرهبری در کتاب I.M. Petrushko، L.A. Kuznetsova، v.i. Prokhorenko، v.F. safonova `دوره ریاضیات بالاتر: محاسبات انتگرال. توابع متغیرهای مختلف معادلات دیفرانسیل. M: انتشارات خانه Mei، 2002 (ص 128).

عادی به سطح در برخی از نقطه آن، هدایت مستقیم، راهنمای راهنمای آن در این مرحله طبیعی است و از طریق این نقطه عبور می کند.

ابتدایی معادلات طبیعی می تواند به عنوان نشان داده شود

هواپیمای مماس به سطح در برخی موارد هواپیما است، که از طریق این نقطه عمود بر سطح طبیعی به سطح در این نقطه عبور می کند.

از این تعریف آن را دنبال می کند معادله هواپیما مماس این فرم را دارد:

اگر نقطه سطح خاص باشد، پس از آن در این نقطه طبیعی به بردار سطح ممکن است وجود نداشته باشد، بنابراین سطح ممکن است سطح طبیعی و مماس داشته باشد.

معنای هندسی از عملکرد کامل دیفرانسیل دو متغیر

اجازه دهید تابع z \u003d f (x، y) در نقطه a (x 0، y 0) متفاوت باشد. برنامه آن سطح است

f (x، y) - z \u003d 0.

z 0 \u003d f (x 0، y 0) قرار دهید. سپس نقطه A (x 0، y 0، z 0) متعلق به سطح است.

مشتقات خصوصی f (x، y، z) \u003d f (x، y) - z

f "x \u003d f" x، f "y \u003d f" y، f "z \u003d - 1

و در نقطه A (x 0، y 0، z 0)

1. آنها پیوسته هستند
2. f "2 x + f" 2 y + f "2 z \u003d f" 2 x + f "2 y + 1 ≠ 0.

در نتیجه، یک نقطه سطح عادی F (X، Y، Z) است و در این مرحله یک سطح مماس به سطح وجود دارد. با توجه به (3)، معادله هواپیما مماس است:

f "x (x 0، y 0) (x - x 0) + f" y (x 0، y 0) (y - y 0) - (z - z 0) \u003d 0.

جابجایی عمودی از نقطه در هواپیما مماس هنگام تعویض از نقطه A (X، Y 0) به نقطه دلخواه P (X، Y) B Q (شکل 2). اعمال Applicatis اعمال شده

(z - z 0) \u003d f "x (x 0، y 0) (x - x 0) + f" y (x 0، y 0) (y - y 0)

در اینجا در قسمت راست اختلاف وجود دارد d. Z توابع z \u003d f (x، y) در نقطه A (x 0، x 0). از این رو،
d. f (x 0، y 0). افزایش برنامه های کاربردی نقطه ی مماس هواپیما به گراف تابع f (x، y) در نقطه (x 0، y 0، z 0 \u003d f (x 0، y 0)) وجود دارد.

از تعیین دیفرانسیل به این معنی است که فاصله بین نقطه P بر روی گراف تابع و نقطه Q در هواپیما مماس، یک نظم بی نهایت کوچک نسبت به نقطه P به نقطه A وجود دارد.

1 درجه. معادلات هواپیما مماس و طبیعی برای مورد یک کار سطح صریح.

یکی از کاربردهای هندسی مشتقات خصوصی توابع دو متغیر را در نظر بگیرید. اجازه دهید تابع z. = f (ایکس؛y) نقطه دیفرانسیل (x 0; y 0) برخی از مناطق D.Î R 2. سطح را تجزیه کنید S،تابع تصویر z، هواپیماها x \u003d x 0 و y \u003d y 0 (شکل 11).

سطح h. = x 0 عبور از سطح S. برای برخی از خط z 0 (y) معادله آن توسط جایگزینی به بیان تابع اصلی به دست می آید z \u003d.=f (ایکس؛y) بجای h. شماره x 0 نقطه m 0 (x 0؛y 0f (x 0؛y 0))متعلق به Krivoy z 0 (y) با توجه به عملکرد دیفرانسیل z. در نقطه m 0 تابع z 0 (y) همچنین در نقطه متمایز است y \u003d y 0. در نتیجه، در این نقطه در هواپیما x \u003d x 0 منحنی z 0 (y) شاید مماس l 1

انجام استدلال های مشابه برای مقطع عرضی w. = 0، ما مماس ساختیم l 2 منحنی z 0 (ایکس) در نقطه h. = x 0 - سر راست 1 1 و 1 2 تعیین هواپیما به نام هواپیمای مماس به سطح S. در نقطه m 0

معادله آن را بساز همانطور که هواپیما از طریق نقطه عبور می کند mo (x 0؛y 0؛z 0) سپس معادله آن را می توان در فرم ثبت کرد

A (X - HO) + در (Y - UH) + C (Z - ZO) \u003d 0،

که می تواند بازنویسی شود:

z -z 0 \u003d a 1 (x - x 0) + b 1 (y - y 0) (1)

(جدا کردن معادله به -s و نشان دادن ).

پیدا کردن 1 و b 1.

معادلات معادلات 1 1 و 1 2 مهربان بودن

به ترتیب.

مماس l 1 دروغ در هواپیما a , در نتیجه، مختصات همه نقاط l 1 معادله راضی (1). این واقعیت را می توان به عنوان یک سیستم نوشته شده است.

اجازه می دهد این سیستم نسبت به B 1، ما آن را بدست آوریم. استدلال مشابهی برای مماس 3آسان برای نصب آن.

جایگزینی معانی 1 و B 1 به معادله (1)، ما معادله مورد نظر هواپیما مماس را به دست می آوریم:

راست، عبور از نقطه m 0 و عمود بر هواپیما مماس ساخته شده در این سطح سطح آن نامیده می شود طبیعی.

با استفاده از شرایط عمود بر مستقیم و هواپیما، معادلات کانونی طبیعی را آسان می کند:

اظهار نظر. فرمول های هواپیما مماس و طبیعی به سطح به دست می آیند برای عادی، I.E. نه خاص، نقاط سطح. نقطه m 0 سطوح نامیده می شوند ویژه اگر در این مرحله تمام مشتقات خصوصی صفر یا حداقل یکی از آنها وجود ندارد. ما چنین نکاتی را در نظر نمی گیریم.

مثال. بنویسید معادلات هواپیما مماس و طبیعی به سطح در نقطه آن متر (2؛ -1؛ 1).

تصمیم گیری ما مشتقات خصوصی این تابع و ارزش های آنها را در نقطه m پیدا خواهیم کرد

از این رو، استفاده از فرمول ها (2) و (3)، ما خواهیم داشت: z-1 \u003d 2 (X - 2) +2 (Y + 1) یا 2X + 2OW-Z - 1 \u003d 0 - معادله هواپیما مماس و - معادلات طبیعی

2 درجه معادلات هواپیما مماس و طبیعی برای مورد یک کار سطح ضمنی.

اگر سطح S. نوشته شده توسط معادله f (ایکس؛ y؛z) \u003d 0، سپس معادلات (2) و (3)، با توجه به این واقعیت که مشتقات خصوصی را می توان به عنوان مشتقات یک تابع ضمنی یافت.