متغیرهای تصادفی متمرکز و نرمال شده متغیرهای تصادفی عادی شده

تفاوت بین یک متغیر تصادفی و انتظار ریاضی آن انحراف یا نامیده می شود متغیر تصادفی متمرکز:

سری توزیع یک متغیر تصادفی متمرکز به شکل زیر است:

خواصمتغیر تصادفی متمرکز:

1. ارزش مورد انتظارانحراف 0 است:

2. پراکندگی انحراف یک متغیر تصادفی ایکساز انتظارات ریاضی آن برابر با واریانس خود متغیر تصادفی X است:

به عبارت دیگر، واریانس یک متغیر تصادفی و واریانس انحراف آن با یکدیگر برابر هستند.

4.2. اگر انحراف ایکس M(X)تقسیم بر انحراف استاندارد  (ایکس)، سپس یک متغیر تصادفی متمرکز بدون بعد دریافت می کنیم که نامیده می شود متغیر تصادفی استاندارد (نرمال شده).:

خواصمتغیر تصادفی استاندارد:

انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی استاندارد صفر است: م(ز) =0.

واریانس یک متغیر تصادفی استاندارد 1 است: دی(ز) =1.

وظایف برای راه حل مستقل

در قرعه کشی 100 بلیت، دو مورد قرعه کشی می شود که هزینه آن 210 و 60 تومان است. قانون توزیع مقدار برد را برای فردی که دارای: الف) 1 بلیط، ب) 2 بلیط تشکیل می دهد. مشخصه های عددی را پیدا کنید.

دو تیرانداز یک بار به هدف شلیک می کنند. مقدار تصادفی ایکس- تعداد امتیازهای ناک اوت شده با یک ضربه توسط تیرانداز اول - دارای قانون توزیع:

ز- مجموع نقاط حذف شده توسط هر دو فلش. مشخصه های عددی را تعریف کنید.

دو تیرانداز به سمت هدف خود شلیک می کنند و هر کدام مستقل از یکدیگر یک تیر شلیک می کنند. احتمال اصابت به هدف برای اولین تیرانداز 0.7 و برای دوم - 0.8 است. مقدار تصادفی ایکس 1 - تعداد ضربه های تیرانداز اول، ایکس 2  تعداد ضربه های تیرانداز دوم. قانون توزیع را بیابید: الف) تعداد کل بازدیدها. ب) متغیر تصادفی ز=3ایکس 1  2ایکس 2 . مشخصه های عددی تعداد کل بازدیدها را تعیین کنید. بررسی تحقق ویژگی های انتظار و واریانس ریاضی: م(3 ایکس  2 Y)=3 م(ایکس)  2 م(Y), دی(3 ایکس  2 Y)=9 دی(ایکس)+4 دی(Y).

مقدار تصادفی ایکس- درآمد شرکت - دارای قانون توزیع:

قانون توزیع یک متغیر تصادفی را پیدا کنید ز- سود شرکت مشخصه های عددی آن را تعیین کنید.

متغیرهای تصادفی ایکسو درمستقل هستند و قانون توزیع یکسانی دارند:

آیا قوانین توزیع هم همینطور است؟ متغیرهای تصادفی 2 ایکسو ایکس + در ?

ثابت کنید که انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی استاندارد صفر و واریانس آن 1 است.

در بالا با قوانین توزیع متغیرهای تصادفی آشنا شدیم. هر قانون توزیع به طور کامل خواص احتمالات یک متغیر تصادفی را توصیف می کند و امکان محاسبه احتمالات هر رویداد مرتبط با یک متغیر تصادفی را فراهم می کند. با این حال، در بسیاری از مسائل عملی نیازی به چنین چیزی نیست توضیحات کاملو اغلب کافی است فقط پارامترهای عددی مجزا را مشخص کنیم که ویژگی های اساسی توزیع را مشخص می کند. به عنوان مثال، میانگینی که مقادیر یک متغیر تصادفی در اطراف آن پراکنده شده است، عددی است که میزان این گسترش را مشخص می کند. این اعداد برای بیان مختصرترین ویژگی های توزیع در نظر گرفته شده اند و نامیده می شوند ویژگی های عددی یک متغیر تصادفی

در میان ویژگی‌های عددی متغیرهای تصادفی، اول از همه، آنها ویژگی‌هایی را در نظر می‌گیرند که موقعیت متغیر تصادفی را روی محور عددی ثابت می‌کنند، یعنی. مقداری متوسط ​​از یک متغیر تصادفی که مقادیر احتمالی آن حول آن گروه بندی می شود. از ویژگی های موقعیت در نظریه احتمال، بیشترین نقش را ایفا می کند ارزش مورد انتظار، که گاهی اوقات به سادگی مقدار میانگین متغیر تصادفی نامیده می شود.

اجازه دهید فرض کنیم که SW گسسته؟، مقادیر را می گیرد x (، x 2،...، x pبا احتمالات آر j p 2 ,...y Ptvآن ها ارائه شده توسط سری توزیع

ممکن است که در این آزمایشات مقدار x xمشاهده شده N(بار، ارزش x 2 - N 2بار،...، ارزش x n - N nیک بار. در همان زمان + N 2 +... + N n = N.

میانگین حسابی نتایج مشاهدات

اگر یک نبزرگ، یعنی ن- "اوه پس

توصیف مرکز توزیع مقدار متوسط ​​یک متغیر تصادفی به دست آمده از این طریق انتظار ریاضی نامیده می شود. اجازه دهید یک فرمول شفاهی از تعریف ارائه دهیم.

تعریف 3.8. انتظارات ریاضی (MO) SV% گسسته عدد نامیده می شود، برابر با مجموعمحصولات تمام مقادیر ممکن آن با احتمالات این مقادیر (نشان M؛):

حال موردی را در نظر بگیرید که تعداد مقادیر ممکن CV گسسته قابل شمارش باشد، یعنی. ما RR داریم

فرمول انتظارات ریاضی یکسان باقی می ماند، فقط در حد بالایی مجموع پبا oo جایگزین می شود، i.e.

در این مورد، ما قبلاً یک سری دریافت می کنیم که ممکن است واگرا شوند، یعنی. CV مربوطه ^ ممکن است انتظار ریاضی نداشته باشد.

مثال 3.8. CB؟، ارائه شده توسط سری توزیع

بیایید MO این SW را پیدا کنیم.

راه حل.طبق تعریف. آن ها کوه،وجود ندارد.

بنابراین، در مورد تعداد قابل شمارش مقادیر SW، تعریف زیر را بدست می آوریم.

تعریف 3.9. انتظارات ریاضییا مقدار متوسط، SW گسسته،با داشتن تعداد قابل شمارش، عددی برابر با مجموع یک سری حاصل از همه مقادیر ممکن و احتمالات مربوطه آن نامیده می شود، مشروط بر اینکه این سری کاملاً همگرا باشد، یعنی.

اگر این سری واگرا یا به صورت مشروط همگرا شود، می گوییم که CV ^ هیچ انتظار ریاضی ندارد.

اجازه دهید از SW گسسته به SW پیوسته با چگالی عبور کنیم p(x).

تعریف 3.10. انتظارات ریاضییا مقدار متوسط، SW پیوستهبه عددی مساوی می گویند

مشروط بر اینکه این انتگرال به طور مطلق همگرا شود.

اگر این انتگرال واگرا یا مشروط همگرا شود، آنگاه می گویند که CB؟ پیوسته هیچ انتظار ریاضی ندارد.

نکته 3.8.اگر تمام مقادیر ممکن متغیر تصادفی J؛

فقط متعلق به بازه ( آ; ب)سپس

انتظارات ریاضی تنها مشخصه موقعیت مورد استفاده در نظریه احتمال نیست. گاهی اوقات مانند حالت و میانه استفاده می شود.

تعریف 3.11. روش CB ^ (نام موت،)محتمل ترین مقدار آن نامیده می شود، i.e. یکی که احتمال آن پییا چگالی احتمال p(x)به بالاترین مقدار خود می رسد.

تعریف 3.12. میانه SV؟، (نام ملاقات کرد)چنین مقداری نامیده می شود که برای آن P(t> Met) = P(؟ > ملاقات کرد) = 1/2.

از نظر هندسی، برای SW پیوسته، میانه آبسیسا آن نقطه در محور است. اوه،که نواحی سمت چپ و راست آن یکسان و برابر با 1/2 است.

مثال 3.9. SWتی،دارای شماره توزیع

بیایید انتظار ریاضی، حالت و میانه SW را پیدا کنیم

راه حل. MB،= 0-0.1 + 1 0.3 + 2 0.5 + 3 0.1 = 1.6. L/O = 2. من (؟) وجود ندارد.

مثال 3.10. درصد CB پیوسته دارای چگالی است

بیایید انتظار ریاضی، میانه و حالت را پیدا کنیم.

راه حل.

p(x)به حداکثر می رسد، پس بدیهی است که میانه نیز برابر است، زیرا مناطق سمت راست و چپ خطی که از نقطه عبور می کند برابر است.

علاوه بر ویژگی های موقعیت در نظریه احتمال، تعدادی مشخصه عددی استفاده می شود برای اهداف مختلف. در این میان لحظات - ابتدایی و مرکزی - از اهمیت ویژه ای برخوردارند.

تعریف 3.13. لحظه اولیه دستور kth SW؟، انتظار ریاضی نامیده می شود k-thدرجه این مقدار: =M(t > k).

از تعاریف انتظارات ریاضی برای متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته چنین بر می آید که

نکته 3.9.بدیهی است که لحظه اولیه مرتبه اول، انتظار ریاضی است.

قبل از تعریف لحظه مرکزی، مفهوم جدیدی از یک متغیر تصادفی متمرکز را معرفی می کنیم.

تعریف 3.14. متمرکز شده است CV انحراف یک متغیر تصادفی از انتظارات ریاضی آن است، یعنی.

تأیید آن آسان است

مشخصاً قرار دادن یک متغیر تصادفی در مرکز به معنای انتقال مبدا به نقطه M است. لحظه های یک متغیر تصادفی متمرکز نامیده می شود لحظات مرکزی

تعریف 3.15. لحظه مرکزی دستور kth SW % انتظار ریاضی نامیده می شود k-thدرجات یک متغیر تصادفی متمرکز:

از تعریف انتظار ریاضی چنین برمی آید که

بدیهی است که برای هر متغیر تصادفی ^ لحظه مرکزی مرتبه اول برابر با صفر است: با x= M(? 0) = 0.

نکته مهم دوم برای تمرین اهمیت ویژه ای دارد از 2 .به آن پراکندگی می گویند.

تعریف 3.16. پراکندگی CB؟، انتظار ریاضی مربع مقدار مرکزی مربوطه نامیده می شود (نشانگذاری د؟)

برای محاسبه واریانس، فرمول های زیر را می توان مستقیماً از تعریف به دست آورد:

با تبدیل فرمول (3.4)، می توانیم فرمول زیر را برای محاسبه بدست آوریم D.L.

پراکندگی SW یک مشخصه است پراکندگی، گسترش مقادیر یک متغیر تصادفی حول انتظارات ریاضی آن.

واریانس دارای ابعاد مربع یک متغیر تصادفی است که همیشه راحت نیست. بنابراین، برای وضوح، به عنوان یک مشخصه پراکندگی، استفاده از عددی که ابعاد آن با ابعاد یک متغیر تصادفی منطبق است راحت است. برای انجام این کار، از پراکندگی استخراج کنید ریشه دوم. مقدار حاصل نامیده می شود انحراف معیارمتغیر تصادفی ما آن را به صورت a نشان می دهیم: a = l / w.

برای یک CB غیر منفی؟، گاهی اوقات از آن به عنوان یک مشخصه استفاده می شود ضریب تغییراتبرابر با نسبت انحراف معیار به انتظارات ریاضی:

با دانستن انتظارات ریاضی و انحراف معیار یک متغیر تصادفی، می توان ایده ای تقریبی از محدوده مقادیر ممکن آن بدست آورد. در بسیاری از موارد، می‌توان فرض کرد که مقادیر متغیر تصادفی % فقط گاهی از بازه M فراتر می‌رود. ± برای. این قانون برای توزیع نرمال که بعداً آن را توجیه خواهیم کرد نامیده می شود قانون سه سیگما

انتظارات ریاضی و واریانس متداول‌ترین مشخصه‌های عددی متغیر تصادفی هستند. از تعریف انتظار و واریانس ریاضی، برخی از خصوصیات ساده و نسبتاً واضح این ویژگی‌های عددی به‌دست می‌آیند.

تک یاختهویژگی های انتظار و پراکندگی ریاضی

1. انتظار ریاضی از یک متغیر غیر تصادفی بابرابر با مقدار c: M(s) = s.

در واقع، از ارزش باتنها یک مقدار با احتمال 1 می گیرد، سپس М(с) = با 1 = s.

2. واریانس متغیر غیر تصادفی c برابر با صفر است یعنی. D(c) = 0.

واقعا، Dc \u003d M (s - Ms) 2 \u003d M (s- ج) 2 = M( 0) = 0.

3. یک ضریب غیر تصادفی را می توان از علامت انتظار خارج کرد: M(c^) = c M(؟،).

اجازه دهید اعتبار این ویژگی را در مثال یک RV گسسته نشان دهیم.

اجازه دهید RV توسط سری توزیع داده شود

سپس

در نتیجه،

این ویژگی به طور مشابه برای یک متغیر تصادفی پیوسته ثابت می شود.

4. یک ضریب غیر تصادفی را می توان از علامت واریانس مجذور خارج کرد:

هرچه گشتاورهای یک متغیر تصادفی بیشتر شناخته شود، ایده دقیق تری از قانون توزیع داریم.

در تئوری احتمالات و کاربردهای آن، از دو مشخصه عددی دیگر از یک متغیر تصادفی بر اساس ممان مرکزی مرتبه 3 و 4 - ضریب عدم تقارن استفاده می شود.