قانون توزیع احتمال برای یک متغیر تصادفی دو بعدی قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی
جفت سفارش (X ، Y) متغیرهای تصادفی X و Y یک متغیر تصادفی دو بعدی یا بردار تصادفی فضایی دو بعدی نامیده می شود. یک متغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y) نیز سیستم متغیرهای تصادفی X و Y نامیده می شود. مجموعه همه مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته با احتمالات آنها را قانون توزیع این متغیر تصادفی می نامند. اگر قانون توزیع آن مشخص باشد ، یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته (X ، Y) در نظر گرفته می شود:
P (X = x i ، Y = y j) = p ij ، i = 1،2 ... ، n ، j = 1،2 ... ، متر
هدف خدمات... با استفاده از خدمات مطابق قانون توزیع داده شده ، می توانید موارد زیر را پیدا کنید:
- ردیف های توزیع X و Y ، ارزش مورد انتظار M [X] ، M [Y] ، واریانس D [X] ، D [Y] ؛
- کوواریانس cov (x ، y) ، ضریب همبستگی r x ، y ، سری توزیع شرطی X ، انتظار ریاضی شرطی M ؛
دستورالعمل ابعاد ماتریس توزیع احتمال (تعداد سطرها و ستون ها) و نوع آن را نشان دهید. راه حل به دست آمده در یک فایل Word ذخیره می شود.
مثال شماره 1 یک متغیر تصادفی گسسته دو بعدی دارای جدول توزیع است:
| Y / X | 1 | 2 | 3 | 4 |
| 10 | 0 | 0,11 | 0,12 | 0,03 |
| 20 | 0 | 0,13 | 0,09 | 0,02 |
| 30 | 0,02 | 0,11 | 0,08 | 0,01 |
| 40 | 0,03 | 0,11 | 0,05 | س |
راه حل. مقدار q را از شرط Σp ij = 1 پیدا می کنیم
Σp ij = 0.02 + 0.03 + 0.11 +… + 0.03 + 0.02 + 0.01 + q = 1
0.91 + q = 1. از کجا q = 0.09
با استفاده از فرمول ∑P (x من، y j) = p من(j = 1..n) ، سری توزیع X را پیدا می کنیم.
M [y] = 1 * 0.05 + 2 * 0.46 + 3 * 0.34 + 4 * 0.15 = 2.59
پراکندگی D [Y] = 1 2 *0.05 + 2 2 *0.46 + 3 2 *0.34 + 4 2 *0.15 - 2.59 2 = 0.64
انحراف معیارσ (y) = sqrt (D [Y]) = sqrt (0.64) = 0.801
کوواریانس cov (X ، Y) = M - M [X] · M [Y] = 2 · 10 · 0.11 + 3 · 10 · 0.12 + 4 · 10 · 0.03 + 2 · 20 · 0.13 + 3 · 20 · 0.09 + 4 20 0.02 + 1 30 0.02 + 2 30 0.11 + 3 30 0.08 + 4 30 0.01 + 1 40 0.03 + 2 40 0.11 + 3 40 0.05 + 4 40 0.09 - 25.2 2.59 = -0.068
ضریب همبستگی r xy = cov (x ، y) / σ (x) & sigma (y) = -0.068 / (11.531 * 0.801) = -0.00736
مثال 2 داده های پردازش آماری اطلاعات در مورد دو شاخص X و Y در جدول همبستگی منعکس شده است. ضروری:
- سری توزیع X و Y را بنویسید و میانگین نمونه و انحراف استاندارد نمونه را برای آنها محاسبه کنید.
- سری مشروط توزیع Y / x را بنویسید و میانگین شرطی Y / x را محاسبه کنید.
- وابستگی میانگین های شرطی Y / x به مقادیر X را به صورت گرافیکی نشان می دهد.
- محاسبه ضریب همبستگی نمونه Y به X ؛
- معادله نمونه خط رگرسیون را بنویسید.
- داده های جدول همبستگی را به صورت هندسی نشان داده و خط رگرسیون را ایجاد کنید.
مجموعه تمام مقادیر ممکن یک متغیر تصادفی گسسته با احتمالات آنها را قانون توزیع این متغیر تصادفی می نامند.
اگر قانون توزیع آن مشخص باشد ، یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته (X ، Y) در نظر گرفته می شود:
P (X = x i ، Y = y j) = p ij ، i = 1،2 ... ، n ، j = 1،2 .. ، متر
| X / Y | 20 | 30 | 40 | 50 | 60 |
| 11 | 2 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 16 | 4 | 6 | 0 | 0 | 0 |
| 21 | 0 | 3 | 6 | 2 | 0 |
| 26 | 0 | 0 | 45 | 8 | 4 |
| 31 | 0 | 0 | 4 | 6 | 7 |
| 36 | 0 | 0 | 0 | 0 | 3 |
1. وابستگی متغیرهای تصادفی X و Y.
سری توزیع X و Y را پیدا کنید.
با استفاده از فرمول ∑P (x من، y j) = p من(j = 1..n) ، سری توزیع X را پیدا می کنیم. انتظار ریاضی M [Y].
M [y] = (20 * 6 + 30 * 9 + 40 * 55 + 50 * 16 + 60 * 14) / 100 = 42.3
پراکندگی D [Y].
D [Y] = (20 2 * 6 + 30 2 * 9 + 40 2 * 55 + 50 2 * 16 + 60 2 * 14) / 100 - 42.3 2 = 99.71
انحراف استاندارد σ (y).
از آنجا که ، P (X = 11 ، Y = 20) = 2 ≠ 2 6 ، سپس متغیرهای تصادفی X و Y وابسته.
2. قانون توزیع مشروط X.
قانون توزیع شرطی X (Y = 20).
P (X = 11 / Y = 20) = 2/6 = 0.33
P (X = 16 / Y = 20) = 4/6 = 0.67
P (X = 21 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 26 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 31 / Y = 20) = 0/6 = 0
P (X = 36 / Y = 20) = 0/6 = 0
انتظار شرطی M = 11 * 0.33 + 16 * 0.67 + 21 * 0 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 14.33
واریانس شرطی D = 11 2 * 0.33 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 14.33 2 = 5.56
قانون توزیع شرطی X (Y = 30).
P (X = 11 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 16 / Y = 30) = 6/9 = 0.67
P (X = 21 / Y = 30) = 3/9 = 0.33
P (X = 26 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 31 / Y = 30) = 0/9 = 0
P (X = 36 / Y = 30) = 0/9 = 0
انتظار شرطی M = 11 * 0 + 16 * 0.67 + 21 * 0.33 + 26 * 0 + 31 * 0 + 36 * 0 = 17.67
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0.67 + 21 2 * 0.33 + 26 2 * 0 + 31 2 * 0 + 36 2 * 0 - 17.67 2 = 5.56
قانون توزیع شرطی X (Y = 40).
P (X = 11 / Y = 40) = 0/55 = 0
P (X = 16 / Y = 40) = 0/55 = 0
P (X = 21 / Y = 40) = 6/55 = 0.11
P (X = 26 / Y = 40) = 45/55 = 0.82
P (X = 31 / Y = 40) = 4/55 = 0.0727
P (X = 36 / Y = 40) = 0/55 = 0
انتظار شرطی M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.11 + 26 * 0.82 + 31 * 0.0727 + 36 * 0 = 25.82
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.11 + 26 2 * 0.82 + 31 2 * 0.0727 + 36 2 * 0 - 25.82 2 = 4.51
قانون توزیع شرطی X (Y = 50).
P (X = 11 / Y = 50) = 0/16 = 0
P (X = 16 / Y = 50) = 0/16 = 0
P (X = 21 / Y = 50) = 2/16 = 0.13
P (X = 26 / Y = 50) = 8/16 = 0.5
P (X = 31 / Y = 50) = 6/16 = 0.38
P (X = 36 / Y = 50) = 0/16 = 0
انتظار شرطی M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0.13 + 26 * 0.5 + 31 * 0.38 + 36 * 0 = 27.25
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0.13 + 26 2 * 0.5 + 31 2 * 0.38 + 36 2 * 0 - 27.25 2 = 10.94
قانون توزیع شرطی X (Y = 60).
P (X = 11 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 16 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 21 / Y = 60) = 0/14 = 0
P (X = 26 / Y = 60) = 4/14 = 0.29
P (X = 31 / Y = 60) = 7/14 = 0.5
P (X = 36 / Y = 60) = 3/14 = 0.21
انتظار شرطی M = 11 * 0 + 16 * 0 + 21 * 0 + 26 * 0.29 + 31 * 0.5 + 36 * 0.21 = 30.64
واریانس شرطی D = 11 2 * 0 + 16 2 * 0 + 21 2 * 0 + 26 2 * 0.29 + 31 2 * 0.5 + 36 2 * 0.21 - 30.64 2 = 12.37
3. قانون توزیع مشروط Y.
قانون توزیع شرطی Y (X = 11).
P (Y = 20 / X = 11) = 2/2 = 1
P (Y = 30 / X = 11) = 0/2 = 0
P (Y = 40 / X = 11) = 0/2 = 0
P (Y = 50 / X = 11) = 0/2 = 0
P (Y = 60 / X = 11) = 0/2 = 0
انتظار شرطی M = 20 * 1 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 20
واریانس شرطی D = 20 2 * 1 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 20 2 = 0
قانون توزیع مشروط Y (X = 16).
P (Y = 20 / X = 16) = 4/10 = 0.4
P (Y = 30 / X = 16) = 6/10 = 0.6
P (Y = 40 / X = 16) = 0/10 = 0
P (Y = 50 / X = 16) = 0/10 = 0
P (Y = 60 / X = 16) = 0/10 = 0
انتظار شرطی M = 20 * 0.4 + 30 * 0.6 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 0 = 26
واریانس شرطی D = 20 2 * 0.4 + 30 2 * 0.6 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 0 - 26 2 = 24
قانون توزیع شرطی Y (X = 21).
P (Y = 20 / X = 21) = 0/11 = 0
P (Y = 30 / X = 21) = 3/11 = 0.27
P (Y = 40 / X = 21) = 6/11 = 0.55
P (Y = 50 / X = 21) = 2/11 = 0.18
P (Y = 60 / X = 21) = 0/11 = 0
انتظار شرطی M = 20 * 0 + 30 * 0.27 + 40 * 0.55 + 50 * 0.18 + 60 * 0 = 39.09
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0.27 + 40 2 * 0.55 + 50 2 * 0.18 + 60 2 * 0 - 39.09 2 = 44.63
قانون توزیع مشروط Y (X = 26).
P (Y = 20 / X = 26) = 0/57 = 0
P (Y = 30 / X = 26) = 0/57 = 0
P (Y = 40 / X = 26) = 45/57 = 0.79
P (Y = 50 / X = 26) = 8/57 = 0.14
P (Y = 60 / X = 26) = 4/57 = 0.0702
انتظار شرطی M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.79 + 50 * 0.14 + 60 * 0.0702 = 42.81 = 42
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.79 + 50 2 * 0.14 + 60 2 * 0.0702 - 42.81 2 = 34.23
قانون توزیع مشروط Y (X = 31).
P (Y = 20 / X = 31) = 0/17 = 0
P (Y = 30 / X = 31) = 0/17 = 0
P (Y = 40 / X = 31) = 4/17 = 0.24
P (Y = 50 / X = 31) = 6/17 = 0.35
P (Y = 60 / X = 31) = 7/17 = 0.41
انتظار شرطی M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0.24 + 50 * 0.35 + 60 * 0.41 = 51.76
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0.24 + 50 2 * 0.35 + 60 2 * 0.41 - 51.76 2 = 61.59
قانون توزیع مشروط Y (X = 36).
P (Y = 20 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 30 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 40 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 50 / X = 36) = 0/3 = 0
P (Y = 60 / X = 36) = 3/3 = 1
انتظار شرطی M = 20 * 0 + 30 * 0 + 40 * 0 + 50 * 0 + 60 * 1 = 60
واریانس شرطی D = 20 2 * 0 + 30 2 * 0 + 40 2 * 0 + 50 2 * 0 + 60 2 * 1 - 60 2 = 0
کوواریانس.
cov (X ، Y) = M - M [X] · M [Y]
cov (X ، Y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 25.3 42.3 = 38.11
اگر متغیرهای تصادفی مستقل باشند ، کواریانس آنها صفر است. در مورد ما ، cov (X ، Y) ≠ 0.
ضریب همبستگی.
معادله رگرسیون خطی از y به x برابر است با:
معادله رگرسیون خطی از x به y عبارت است از:
بیایید ویژگی های عددی لازم را بیابیم.
میانگین نمونه:
x = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 42.3
y = (20 (2 + 4) + 30 (6 + 3) + 40 (6 + 45 + 4) + 50 (2 + 8 + 6) + 60 (4 + 7 + 3)) / 100 = 25.3
پراکندگی ها:
σ 2 x = (20 2 (2 + 4) + 30 2 (6 + 3) + 40 2 (6 + 45 + 4) + 50 2 (2 + 8 + 6) + 60 2 (4 + 7 + 3) ) / 100 - 42.3 2 = 99.71
σ 2 y = (11 2 (2) + 16 2 (4 + 6) + 21 2 (3 + 6 + 2) + 26 2 (45 + 8 + 4) + 31 2 (4 + 6 + 7) + 36 2 (3)) / 100 - 25.3 2 = 24.01
انحرافات استاندارد را از کجا دریافت می کنیم:
σ x = 9.99 و σ y = 4.9
و کوواریانس:
Cov (x ، y) = (20 11 2 + 20 16 4 + 30 16 6 + 30 21 3 + 40 21 6 + 50 21 2 + 40 26 45 + 50 26 8 + 60 26 4 + 40 31 4 + 50 31 6 + 60 31 7 + 60 36 3) / 100 - 42.3 25.3 = 38.11
بیایید ضریب همبستگی را تعریف کنیم:
اجازه دهید معادلات خطوط رگرسیون y (x) را بنویسیم:
و با محاسبه ، بدست می آوریم:
y x = 0.38 x + 9.14
اجازه دهید معادلات خطوط رگرسیون x (y) را بنویسیم:
و با محاسبه ، بدست می آوریم:
x y = 1.59 y + 2.15
اگر نقاط تعیین شده توسط جدول و خطوط رگرسیون را ترسیم کنید ، می بینیم که هر دو خط با مختصات (42.3 ؛ 25.3) از نقطه عبور می کنند و نقاط نزدیک خطوط رگرسیون قرار دارند.
اهمیت ضریب همبستگی .
با توجه به جدول Student با سطح معنی داری α = 0.05 و درجات آزادی k = 100-m-1 = 98 ، t crit را پیدا می کنیم:
t crit (n-m-1 ؛ α / 2) = (98 ؛ 0.025) = 1.984
جایی که m = 1 تعداد متغیرهای توضیحی است.
اگر t obs> t بحرانی باشد ، مقدار بدست آمده از ضریب همبستگی معنی دار در نظر گرفته می شود ( فرضیه صفر، که برابری ضریب همبستگی را به صفر اعلام می کند ، رد می شود).
از آنجا که t obs> t crit ، این فرضیه را که ضریب همبستگی برابر 0 است رد می کنیم. به عبارت دیگر ، ضریب همبستگی از نظر آماری معنی دار است.
ورزش... تعداد بازدید از جفت مقادیر متغیرهای تصادفی X و Y در فواصل مربوطه در جدول آورده شده است. بر اساس این داده ها ، ضریب همبستگی نمونه و معادلات نمونه خطوط مستقیم رگرسیون Y در X و X در Y را پیدا کنید.
راه حل
مثال... توزیع احتمال یک متغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y) در جدول آورده شده است. قوانین توزیع مقادیر تشکیل دهنده X ، Y و ضریب همبستگی p (X ، Y) را بیابید.
راه حل را بارگیری کنید
ورزش... دو بعدی کمیت گسسته(X ، Y) توسط قانون توزیع داده شده است. قوانین توزیع اجزای X و Y ، کوواریانس و ضریب همبستگی را بیابید.
دو بعدی متغیر تصادفی نامیده می شود ( ایکس, Y) ، که مقادیر احتمالی آن جفت اعداد است ( x ، y) اجزای تشکیل دهنده ایکسو Yبه صورت همزمان در نظر گرفته می شود سیستمدو متغیر تصادفی
یک مقدار دو بعدی را می توان به صورت هندسی به عنوان یک نقطه تصادفی تفسیر کرد م(NS; Y) روی سطح xOyیا به عنوان بردار تصادفی OM.
گسستهیک مقدار دو بعدی نامیده می شود که اجزای آن گسسته هستند.
مداومیک مقدار دو بعدی نامیده می شود که اجزای آن پیوسته هستند.
قانون توزیعاحتمالات یک متغیر تصادفی دو بعدی مطابقت بین مقادیر ممکن و احتمالات آنها است.
قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته را می توان مشخص کرد: الف) در قالب یک جدول با ورودی دوگانه ، حاوی مقادیر احتمالی و احتمالات آنها. ب) به صورت تحلیلی ، به عنوان مثال ، در قالب یک تابع توزیع.
عملکرد توزیعاحتمالات یک متغیر تصادفی دو بعدی را تابع می گویند F (x ، y)تعیین برای هر جفت اعداد (x ، y)احتمال اینکه ایکسمقداری کمتر از x و در همان زمان خواهد گرفت Yمقدار کمتری خواهد گرفت y:
F (x ، y) = P (X< x, Y < y).
از نظر هندسی ، این برابری را می توان به شرح زیر تفسیر کرد: F (x ، y)این احتمال وجود دارد که یک نقطه تصادفی ( X ، Y) در یک ربع بی نهایت با راس قرار می گیرد ( x ، y)در سمت چپ و زیر این قله واقع شده است.
گاهی اوقات اصطلاح "تابع تجمعی" به جای اصطلاح "تابع توزیع" استفاده می شود.
عملکرد توزیع دارای ویژگی های زیر است:
خاصیت 1. مقادیر تابع توزیع نابرابری مضاعف را برآورده می کند
0 ≤ F (x ، y) ≤ 1.
خاصیت 2. تابع توزیع یک تابع بدون کاهش برای هر آرگومان است:
F (x 2 ، y) ≥ F (x 1 ، y) ، اگر x 2> x 1 ،
F (x ، y 2) ≥ F (x ، y 1) اگر y 2> y 1.
خاصیت 3. روابط محدودی وجود دارد:
1) F (–∞ ، y) = 0 ،
3) F (–∞ ، –∞) = 0 ،
2) F (x ، –∞) = 0 ،
4) F (،) = 1.
خاصیت 4... آ) وقتی y=∞ عملکرد توزیع سیستم به تابع توزیع جزء X تبدیل می شود:
F (x ، ∞) = F 1 (x).
ب) برای x = ∞ عملکرد توزیع سیستم به تابع توزیع جزء Y تبدیل می شود:
F (∞ ، y) = F 2 (y).
با استفاده از تابع توزیع ، می توانید احتمال برخورد با یک نقطه تصادفی در یک مستطیل را بیابید x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2 :
P (x 1< X < x 2 , y 1 < Y < у 2) = – .
چگالی توزیع احتمال مشترک (چگالی احتمال دو بعدی)یک متغیر تصادفی دو بعدی مداوم مشتق مخلوط تابع توزیع نامیده می شود:
گاهی از عبارت "عملکرد دیفرانسیل سیستم" به جای عبارت "چگالی احتمال دو بعدی" استفاده می شود.
چگالی توزیع مشترک را می توان حد نسبت نسبت احتمال افتادن یک نقطه تصادفی به یک مستطیل با ضلع D در نظر گرفت. ایکسو دی yبه مساحت این مستطیل زمانی که هر دو طرف آن به صفر متمایل شوند ؛ از نظر هندسی ، می توان آن را به عنوان سطحی که نامیده می شود تفسیر کرد سطح توزیع.
با دانستن چگالی توزیع ، می توانید تابع توزیع را با فرمول پیدا کنید
احتمال برخورد یک نقطه تصادفی (X ، Y) در حوزه D با برابری تعیین می شود
چگالی احتمال دو بعدی دارای ویژگی های زیر است:
خاصیت 1. چگالی احتمال دو بعدی منفی نیست:
f (x ، y) ≥ 0.
خاصیت 2. انتگرال دوگانه نامناسب با محدوده نامحدود در چگالی احتمال دو بعدی برابر با یک است :
به طور خاص ، اگر همه مقادیر ممکن (X ، Y) متعلق به یک دامنه محدود D باشند ، پس
226. توزیع احتمال یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته ارائه شده است:
قوانین توزیع اجزا را بیابید.
228. تابع توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی ارائه شده است
احتمال برخورد با یک نقطه تصادفی را پیدا کنید ( X ، Y ایکس = 0, ایکس= p / 4 ، y= p / 6 ، y= p / 3
229. احتمال برخورد با یک نقطه تصادفی را بیابید ( X ، Y) به یک مستطیل محدود شده توسط خطوط مستقیم ایکس = 1, ایکس = 2, y = 3, y= 5 اگر تابع توزیع شناخته شده باشد
230. تابع توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی ارائه شده است
چگالی احتمال دو بعدی سیستم را بیابید.
231. در یک دایره x 2 + y 2 ≤ R 2چگالی احتمال دو بعدی ؛ خارج از دایره f (x ، y) = 0. پیدا کنید: الف) ثابت ج؛ ب) احتمال برخورد با یک نقطه تصادفی ( X ، Y) به یک دایره شعاع r= 1 در مرکز اگر باشد R = 2.
232. در ربع اول ، عملکرد توزیع یک سیستم از دو متغیر تصادفی آورده شده است F (x ، y) = 1 + 2 - x - 2 - y + 2 - x- y... پیدا کنید: الف) چگالی احتمال دو بعدی سیستم ؛ ب) احتمال برخورد به یک نقطه تصادفی ( X ، Y) به مثلثی با رأس آ(1; 3), ب(3; 3), ج(2; 8).
8.2 قوانین مشروط توزیع احتمالات اجزا
متغیر تصادفی دو بعدی گسسته
اجزاء را بگذارید ایکسو Yگسسته هستند و به ترتیب دارای مقادیر زیر هستند: x 1 ، x 2 ، ... ، x n ؛ y 1 ، y 2 ، ... ، y متر.
توزیع مشروط جزء Xدر Y = y j(j برای همه مقادیر احتمالی X مقدار یکسانی را حفظ می کند) مجموعه احتمالات شرطی نامیده می شود
p (x 1 | y j) ، p (x 2 | y j) ،… ، p (x n | y j).
توزیع شرطی Y نیز به طور مشابه تعریف شده است.
احتمال شرطی اجزای X و Y به ترتیب توسط فرمول ها محاسبه می شود
برای کنترل محاسبات ، توصیه می شود مطمئن شوید که مجموع احتمالات توزیع مشروط برابر یک است.
233. یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته ( X ، Y):
پیدا کنید: الف) قانون توزیع مشروط ایکسبه شرطی که Y= 10 ؛ ب) قانون توزیع مشروط Yبه شرطی که ایکس=6.
8.3 یافتن تراکم و قوانین توزیع مشروط
اجزای یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته
چگالی توزیع یکی از اجزا است انتگرال نامناسببا محدودیت های نامحدود در چگالی توزیع مشترک سیستم ، و متغیر ادغام مربوط به جزء دیگری است:
در اینجا فرض بر این است که مقادیر ممکن هر یک از اجزاء به کل محور اعداد تعلق دارد. اگر مقادیر ممکن متعلق به یک فاصله محدود باشد ، اعداد محدود مربوطه به عنوان محدوده یکپارچگی در نظر گرفته می شوند.
چگالی توزیع شرطی جزء Xبه مقدار معین Y = yنسبت چگالی توزیع مشترک سیستم به چگالی توزیع جزء است Y:
چگالی توزیع شرطی جزء به طور مشابه تعیین می شود Y:
اگر چگالی توزیع شرطی متغیرهای تصادفی ایکسو Yبا چگالی بی قید و شرط آنها برابر است ، بنابراین چنین مقادیری مستقل هستند.
لباس فرمتوزیع یک متغیر تصادفی پیوسته دو بعدی است ( X ، Y) ، اگر در منطقه ای که تمام مقادیر ممکن به آن ( x ، y) ، چگالی توزیع احتمال مشترک ثابت می ماند.
235. چگالی توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته (X ، Y) داده شده است
پیدا کنید: الف) چگالی توزیع اجزا ؛ ب) چگالی توزیع مشروط تشکیل دهنده.
236. چگالی توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته ( X ، Y)
پیدا کنید: الف) عامل ثابت ج؛ ب) چگالی توزیع اجزا ؛ ج) چگالی توزیع شرطی اجزاء.
237. متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته ( X ، Y) به طور مساوی در داخل یک مستطیل با مرکز تقارن در مبدا و اضلاع 2a و 2b موازی محورهای مختصات توزیع شده است. پیدا کنید: الف) چگالی احتمال دو بعدی سیستم ؛ ب) چگالی توزیع اجزاء.
238. متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته ( X ، Y) به طور مساوی در داخل توزیع شده است راست گوشهبا قله ها O(0; 0), آ(0; 8), V(8 ؛ 0). پیدا کنید: الف) چگالی احتمال دو بعدی سیستم ؛ ب) چگالی و چگالی توزیع شرطی اجزاء.
8.4 ویژگی های عددی یک سیستم پیوسته
دو متغیر تصادفی
با دانستن چگالی توزیع اجزای X و Y یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته (X ، Y) ، می توان انتظارات و واریانس های ریاضی آنها را پیدا کرد:
گاهی اوقات استفاده از فرمول های دارای چگالی احتمال دو بعدی راحت تر است ( انتگرال دوگانهمحدوده مقادیر احتمالی سیستم را در نظر گرفته اند):
اولیه ، لحظه n k ، sسفارش k + sسیستم های ( X ، Y) انتظار ریاضی از محصول است X k Y s:
n k ، s = M.
به خصوص،
n 1.0 = M (X) ، n 0.1 = M (Y)
لحظه مرکزی m k، sسفارش k + sسیستم های ( X ، Y) به ترتیب انتظار ریاضی حاصل از انحرافات نامیده می شود کو s-درجات دهم:
m k ، s = M (k ∙ s).
به خصوص،
متر 1.0 = M = 0 ، متر 0.1 = M = 0 ؛
m 2.0 = M 2 = D (X) ، m 0.2 = M 2 = D (Y) ؛
لحظه همبستگی m xyسیستم های ( X ، Y) لحظه مرکزی نامیده می شود متر 1.1سفارش 1 + 1:
m xу = M (∙).
ضریب همبستگیمقادیر X و Y را نسبت لحظه همبستگی به حاصلضرب انحرافات استاندارد این مقادیر می نامند:
r xy = m xy / (s x s y).
ضریب همبستگی یک کمیت بدون بعد است و | r xy| ≤ 1. ضریب همبستگی برای ارزیابی محکمیت استفاده می شود ارتباط خطیبین ایکسو Y: هر چه مقدار مطلق ضریب همبستگی به یک نزدیکتر باشد ، رابطه قوی تر است. هر چه مقدار مطلق ضریب همبستگی به صفر نزدیکتر باشد ، رابطه ضعیف تر است.
همبستهدو متغیر تصادفی اگر لحظه همبستگی آنها غیر صفر باشد نامیده می شوند.
بی ارتباطدو متغیر تصادفی اگر گشتاور همبستگی آنها برابر صفر باشد نامیده می شوند.
دو کمیت وابسته نیز وابسته هستند. اگر دو مقدار وابسته باشند ، می توانند همبسته یا غیر همبسته باشند. استقلال این دو کمیت دلالت بر عدم همبستگی آنها دارد ، اما از عدم همبستگی هنوز نمی توان نتیجه گرفت که این مقادیر مستقل هستند (برای کمیت های توزیع شده معمولی ، استقلال آنها از عدم همبستگی این کمیت ها ناشی می شود).
برای مقادیر پیوسته X و Y ، لحظه همبستگی را می توان با فرمول ها یافت:
239. چگالی توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته (X ، Y) داده شده است:
پیدا کنید: الف) انتظارات ریاضی ؛ ب) واریانس اجزای X و Y.
240. چگالی توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته (X ، Y) داده شده است:
انتظارات ریاضی و واریانس اجزا را بیابید.
241. چگالی توزیع مشترک یک متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته ( X ، Y): f (x ، y) = 2 cosx دنجمربع 0 ایکس≤p / 4 ، 0 y≤p / 4 ؛ خارج از مربع f (x ، y)= 0. انتظارات ریاضی اجزا را بیابید.
242. ثابت کنید که اگر چگالی احتمال دو بعدی یک سیستم از متغیرهای تصادفی ( X ، Y) می تواند به عنوان محصولی از دو عملکرد ارائه شود ، که یکی از آنها فقط بستگی دارد ایکسو دیگری فقط از y، سپس مقادیر ایکسو Yمستقل.
243. ثابت کنید که اگر ایکسو Yمرتبط خطی Y = تبر + ب، سپس مقدار مطلق ضریب همبستگی برابر یک است.
راه حل... با تعریف ضریب همبستگی ،
r xy = m xy / (s x s y).
m xу = M (∙). (*)
مقدار مورد انتظار را پیدا کنید Y:
M (Y) = M = aM (X) + b (**)
با جایگزینی (**) در (*) ، پس از تغییرات ابتدایی به دست می آوریم
m xу = aM 2 = aD (X) = به عنوان 2 x
با توجه به آن
Y - M (Y) = (aX + b) - (aM (X) + b) = a ،
واریانس را پیدا کنید Y:
D (Y) = M 2 = a 2 M 2 = a 2 s 2 x.
از اینجا s y = | a | s x... بنابراین ، ضریب همبستگی
اگر آ> 0 ، پس r xy= 1 ؛ اگر آ < 0, то r xy = –1.
بنابراین ، | r xy| = 1 ، در صورت لزوم
تعریف.اگر دو متغیر تصادفی در فضای یکسان رویدادهای ابتدایی داده شود NSو Y ،سپس می گویند داده شده است متغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y) .
مثال.این دستگاه به کاشی های فولادی مشت می زند. طول کنترل می شود NSو عرض Y. - SV دو بعدی
SV NSو Yتوابع توزیع و ویژگی های دیگر خود را دارند.
تعریف. تابع توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y) تابع نامیده می شود
تعریف. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته (X ، Y) میز را صدا کرد
| … | ||||
| … | ||||
برای SW گسسته دو بعدی.
خواص:
2) اگر ، پس ؛ اگر پس از آن ;
4) - عملکرد توزیع NS;
- عملکرد توزیع Y.
احتمال سقوط مقادیر SV دو بعدی در یک مستطیل:
تعریف.متغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y)تماس گرفت مداوم اگر عملکرد توزیع آن پیوسته است و در همه جا (بجز ، شاید تعداد محدود منحنی) مشتق جزئی جزئی مرتبه دوم مختلط دارد .
تعریف. چگالی توزیع احتمال مشترک یک SW پیوسته دو بعدی تابع نامیده می شود
سپس بدیهی است .
مثال 1 RV دو بعدی پیوسته توسط تابع توزیع داده می شود
سپس چگالی توزیع شکل دارد
مثال 2 RV پیوسته دو بعدی با چگالی توزیع داده می شود
بیایید عملکرد توزیع آن را بیابیم:
خواص:
3) برای هر منطقه
اجازه دهید چگالی توزیع مفصل مشخص شود. سپس چگالی توزیع هر یک از اجزای SW دو بعدی به شرح زیر است:
مثال 2 (ادامه دارد).
تراکم توزیع جزء SW دو بعدی توسط برخی از نویسندگان نامیده می شود حاشیه ایتوزیع های احتمالی .
قوانین توزیع شرطی اجزای یک سیستم SW مجزا
احتمال شرطی ، کجا
قانون توزیع مشروط جزء NSدر:
| NS | … | |||
| R | … |
به طور مشابه برای ، در کجا.
بیایید یک قانون توزیع مشروط ایجاد کنیم NSدر Y = 2.
سپس قانون توزیع مشروط
| NS | -1 | ||
| R |
تعریف. چگالی توزیع شرطی جزء X به مقدار معین Y = yتماس گرفت.
به طور مشابه :.
تعریف. مشروط ریاضی منتظر SV Y مجزا at نامیده می شود ، where - به بالا مراجعه کنید.
از این رو ،.
برای مداوم SV Y .
بدیهی است که تابعی از استدلال است NS... این ویژگی نامیده می شود تابع رگرسیون Y در X .
به طور مشابه ، تعیین می شود تابع رگرسیون X در Y : .
قضیه 5. (در مورد توزیع RV های مستقل)
SV NSو Y
نتیجه. CB مداوم NSو Yمستقل هستند اگر و فقط اگر.
در مثال 1 برای. بنابراین ، SV NSو Yمستقل.
ویژگی های عددی اجزای یک متغیر تصادفی دو بعدی
برای CB مجزا:
برای CB مداوم :.
واریانس و انحراف استاندارد برای همه SW ها با همان فرمول های شناخته شده برای ما تعیین می شود:
تعریف.نقطه نامیده می شود مرکز پراکندگی SV دو بعدی
تعریف. کوواریانس (لحظه همبستگی) SV نامیده می شود
برای CB مجزا :.
برای CB مداوم :.
فرمول محاسبه :.
برای SV های مستقل
ناراحتی ویژگی ، ابعاد آن است (مربع واحد اندازه گیری اجزا). مقدار زیر عاری از این اشکال است.
تعریف. ضریب همبستگی SV NSو Yتماس گرفت
برای SV های مستقل
برای هر جفت CB ... مشخص است که اگر و فقط اگر زمانی ، کجا
تعریف. SV NSو Yنامیده می شوند بی ارتباط ، اگر .
رابطه بین همبستگی و وابستگی به SV:
- اگر SV NSو Yهمبسته ، یعنی , سپس آنها وابسته هستند ؛ عکس آن صادق نیست ؛
- اگر SV NSو Yمستقل ، پس ؛ برعکس درست نیست
تذکر 1.اگر SV NSو Yطبق قانون عادی توزیع می شود و سپس آنها مستقل هستند
تذکر 2.ارزش عملی به عنوان یک معیار وابستگی تنها زمانی توجیه می شود که توزیع مشترک یک جفت طبیعی یا تقریباً طبیعی باشد. برای SV دلخواه NSو Yمی توانید به یک نتیجه اشتباه برسید ، یعنی شاید حتی وقتی که NSو Yبا وابستگی شدید عملکردی متصل می شوند.
تذکر 3. V آمار ریاضیهمبستگی وابستگی احتمالی (آماری) بین کمیت ها نامیده می شود ، که به طور کلی ماهیت کاملاً کاربردی ندارد. وابستگی همبستگی زمانی بوجود می آید که یکی از مقادیر نه تنها به ثانیه داده شده ، بلکه به تعدادی از عوامل تصادفی بستگی دارد ، یا زمانی که در میان شرایطی که یکی یا مقدار دیگر به آن بستگی دارد ، شرایطی برای هر دوی آنها وجود داشته باشد.
مثال 4برای SV NSو Yاز مثال 3 پیدا کنید .
راه حل.
مثال 5چگالی توزیع مشترک SW دو بعدی داده شده است.
تعریف 2.7. این یک جفت عدد تصادفی است (X ، Y) ،یا نقطه ای در صفحه مختصات (شکل 2.11).
برنج. 2.11
یک متغیر تصادفی دو بعدی یک مورد خاص از یک متغیر تصادفی چند بعدی یا یک بردار تصادفی است.
تعریف 2.8. بردار تصادفی -این هست تابع تصادفی؟ ، (/) با مجموعه ای محدود از مقادیر احتمالی آرگومان t ،ارزش آن برای هر مقدار tیک متغیر تصادفی است
یک متغیر تصادفی دو بعدی در صورتی که مختصات آن پیوسته باشد پیوسته و در صورت گسسته بودن مختصات گسسته نامیده می شود.
تعیین قانون توزیع متغیرهای تصادفی دو بعدی به معنای ایجاد تناسب بین مقادیر احتمالی آن و احتمال این مقادیر است. با توجه به روشهای تنظیم ، متغیرهای تصادفی به دو دسته پیوسته و گسسته تقسیم می شوند ، اگرچه وجود دارد راههای کلیتعیین قانون توزیع برای هر RV.
متغیر تصادفی دو بعدی گسسته
یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته با استفاده از جدول توزیع مشخص شده است (جدول 2.1).
جدول 2.1
جدول تخصیص (تخصیص مشترک) SV ( ایکس، Y)
عناصر جدول با فرمول تعریف می شوند
خواص عناصر جدول توزیع:
توزیع در امتداد هر مختصات نامیده می شود یک بعدییا حاشیه ای:
R 1> = P (X =.d ،) - توزیع نهایی SV ایکس;
p ^ 2) = P (y = y ،)- توزیع حاشیه ای SV U.
توزیع مشترک SV ایکسو Y با مجموعه احتمالات داده می شود [р ()) ، من = 1,..., n ، j = 1,..., تی(جدول توزیع) ، و توزیع حاشیه ای.
به طور مشابه برای SV U ص- 2)= X p ، r
وظیفه 2.14 داده شده:
متغیر تصادفی دو بعدی پیوسته
/(NS ، y) dxdy- عنصر احتمال برای یک متغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y) - احتمال برخورد متغیر تصادفی (X ، Y) در یک مستطیل با اضلاع cbc ، dyدر dx ، dy -* 0:
f (x ، y) - چگالی توزیعمتغیر تصادفی دو بعدی (X ، Y). وظیفه / (x ، y)ما اطلاعات کاملی در مورد توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی ارائه می دهیم.
توزیع های حاشیه ای به شرح زیر مشخص می شود: در امتداد X - با چگالی توزیع RV X /، (x) ؛ بر Y- چگالی توزیع SV U f> (y)
تنظیم قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی توسط یک تابع توزیع
یک روش جهانی برای تعریف قانون توزیع برای یک متغیر تصادفی دو بعدی گسسته یا پیوسته ، تابع توزیع است F (x ، y)
تعریف 2.9 تابع توزیع F (x ، y)- احتمال وقوع مشترک رویدادها (Xy) ، یعنی F (x 0 ، y n) = = P (X y) ، پرتاب شده در صفحه مختصات ، وارد یک ربع بی نهایت با راس در نقطه M (x 0 ، y و)(در ناحیه سایه دار در شکل 2.12).
برنج. 2.12تصویری از عملکرد توزیع F ( x ، y)
ویژگی های تابع F (x ، y)
- 1) 0 1;
- 2) F (-oo ،-و) = F (x ،-oo) = F (-oo ، y) = 0; F (اوو ، اوو) = 1 ؛
- 3) F (x ، y)- عدم کاهش برای هر استدلال ؛
- 4) F (x ، y) -مداوم به سمت چپ و از پایین ؛
- 5) ثبات توزیع ها:
F (x ، X: F (x ، oo) = F ، (x) ؛ F (y ، oo) - توزیع حاشیه ای بیش از حد Y F (اوو ، y) = F 2 (y).ارتباط / (x ، y)با F (x ، y):
رابطه بین تراکم مفصل و چگالی حاشیه ای. دانا f (x ، y)ما تراکم توزیع حاشیه ای را بدست می آوریم f (x) ، f 2 (y) ".
مورد مختصات مستقل یک متغیر تصادفی دو بعدی
تعریف 2.10 SV ایکسو مستقل از(ns) اگر رویدادهای مرتبط با هر یک از این SV ها مستقل باشند. از تعریف ns SV به شرح زیر است:
- 1 ) Pij = p X) pf
- 2 ) F (x ، y) = F l (x) F 2 (y)
به نظر می رسد که برای SW های مستقل ایکسو Yتکمیل شده و
3 ) f (x ، y) = J (x) f ، (y)
اجازه دهید این را برای RV های مستقل ثابت کنیم ایکسو Y 2) 3). اثبات ،الف) اجازه دهید 2) نگه دارید ، یعنی
در همان زمان F (x ، y) = f J f (u ، v) dudv ،از کجا دنبال می شود 3)؛
ب) حالا بگذارید 3) نگه دارد ، پس
آن ها درست 2)
بیایید وظایف را در نظر بگیریم.
وظیفه 2.15. توزیع توسط جدول زیر ارائه شده است:
ما توزیع های حاشیه ای ایجاد می کنیم:
ما گرفتیم P (X = 3 ، Y = 4) = 0,17 * P (X = 3) P (Y = 4) = 0.1485 => => CB ایکسو وابسته
عملکرد توزیع:
وظیفه 2.16. توزیع توسط جدول زیر ارائه شده است:
ما گرفتیم P tl = 0.2 0.3 = 0.06؛ P 12 = 0.2؟ 0.7 = 0.14 ؛ P 2l = 0,8 ? 0,3 = = 0,24; R 22 - 0.8 0.7 = 0.56 => CB ایکسو Y nz
وظیفه 2.17. دانا / (x ، y) = 1 / I exp | -0.5 (d "+ 2xy + 5d / 2)]. پیدا کردن اوه)و / Ay) -
راه حل
(خودتان حساب کنید).
اجازه دهید یک متغیر تصادفی دو بعدی $ (X ، Y) $ داده شود.
تعریف 1
قانون توزیع متغیر تصادفی دو بعدی $ (X، Y) $ مجموعه ای از جفت های احتمالی اعداد $ (x_i، \ y_j) $ (جایی که $ x_i \ epsilon X ، \ y_j \ epsilon Y $) و آنها است احتمالات $ p_ (ij) $ ...
اغلب ، قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در قالب یک جدول نوشته می شود (جدول 1).
شکل 1. قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی.
حالا یادمان باشد قضیه در مورد افزودن احتمالات رویدادهای مستقل
قضیه 1
احتمال مجموع تعداد محدودی از رویدادهای مستقل $ (\ A) _1 $ ، $ (\ A) _2 $ ، ... ، $ \ (\ A) _n $ با فرمول محاسبه می شود:
با استفاده از این فرمول ، می توانید قوانین توزیع برای هر جزء از یک متغیر تصادفی دو بعدی را دریافت کنید ، یعنی:
از اینجا نتیجه می شود که مجموع تمام احتمالات سیستم دو بعدی به شکل زیر است:
اجازه دهید مشکل را به طور مفصل (مرحله به مرحله) در ارتباط با مفهوم قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در نظر بگیریم.
مثال 1
قانون توزیع یک متغیر تصادفی دو بعدی در جدول زیر آورده شده است:
شکل 2.
قوانین توزیع متغیرهای تصادفی $ X ، \ Y $ ، $ X + Y $ را بیابید و در هر مورد برابری مجموع احتمالات را با یک بررسی کنید.
- اجازه دهید ابتدا توزیع متغیر تصادفی $ X $ را بیابیم. متغیر تصادفی $ X $ می تواند مقادیر $ x_1 = 2 ، $ $ x_2 = 3 $ ، $ x_3 = 5 $ را در نظر بگیرد. برای یافتن توزیع ، از قضیه 1 استفاده می کنیم.
اجازه دهید ابتدا مجموع احتمالات $ x_1 $ را به صورت زیر بیابیم:
شکل 3.
به طور مشابه ، $ P \ left (x_2 \ right) $ و $ P \ left (x_3 \ right) $ پیدا می کنیم:
\ \
شکل 4
- اکنون اجازه دهید توزیع متغیر تصادفی $ Y $ را بیابیم. متغیر تصادفی $ Y $ می تواند مقادیر $ x_1 = 1 ، $ $ x_2 = 3 $ ، $ x_3 = 4 $ را در نظر بگیرد. برای یافتن توزیع ، از قضیه 1 استفاده می کنیم.
اجازه دهید ابتدا مجموع احتمالات $ y_1 $ را به شرح زیر بیابیم:
شکل 5
به طور مشابه ، $ P \ left (y_2 \ right) $ و $ P \ left (y_3 \ right) $ پیدا می کنیم:
\ \
بنابراین ، قانون توزیع مقدار $ X $ به شکل زیر است:
شکل 6
بیایید برابری مجموع احتمالات را بررسی کنیم:
- باید قانون توزیع متغیر تصادفی $ X + Y $ را پیدا کرد.
برای راحتی ، اجازه دهید آن را با $ Z $ نشان دهیم: $ Z = X + Y $.
اول ، ما پیدا می کنیم که یک مقدار معین چه مقادیری می تواند داشته باشد. برای انجام این کار ، مقادیر $ X $ و $ Y $ را به صورت جفت اضافه می کنیم. ما مقادیر زیر را بدست می آوریم: 3 ، 4 ، 6 ، 5 ، 6 ، 8 ، 6 ، 7 ، 9. حال ، با کنار گذاشتن مقادیر همزمان ، دریافتیم که متغیر تصادفی $ X + Y $ می تواند مقادیر $ z_1 را به دست آورد = 3 ، \ z_2 = 4 ، \ z_3 = 5 ، \ z_4 = 6 ، \ z_5 = 7 ، \ z_6 = 8 ، \ z_7 = 9. \ $
بیایید برای شروع $ P (z_1) $ پیدا کنیم. از آنجا که ارزش $ z_1 $ یک است ، به صورت زیر پیدا می شود:
شکل 7
همه احتمالات ، به جز $ P (z_4) $ ، به روش مشابهی یافت می شوند:
بیایید $ P (z_4) $ را به صورت زیر بیابیم:
شکل 8.
بنابراین ، قانون توزیع مقدار $ Z $ به شکل زیر است:
شکل 9.
بیایید برابری مجموع احتمالات را بررسی کنیم:
بارگذاری...