انتظارات ریاضی از یک متغیر تصادفی X. انتظارات ریاضی (میانگین جمعیت) است

همانطور که قبلا شناخته شده است، قانون توزیع به طور کامل یک مقدار تصادفی را مشخص می کند. با این حال، قانون توزیع ناشناخته است و باید به اطلاعات کمتری محدود شود. گاهی اوقات آن را حتی سودمندتر از اعداد است که مجموع مقدار تصادفی را توصیف می کنند؛ چنین تعداد نامیده می شود ویژگی های عددی متغیر تصادفی.

یکی از ویژگی های عددی مهم شامل انتظارات ریاضی است.

انتظار ریاضی تقریبا برابر با مقدار متوسط \u200b\u200bمتغیر تصادفی است.

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته مقدار تمام مقادیر احتمالی خود را برای احتمالات خود تماس بگیرید.

اگر مقدار تصادفی با تعداد محدودی از توزیع مشخص شود:

H.	x 1	x 2	x 3	…	x P.
r	p 1	p 2	p 3	…	p P.

این انتظارات ریاضی متر (x) تعیین شده توسط فرمول:

انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی مداوم توسط برابری تعیین می شود:

کجا - تراکم احتمالی متغیر تصادفی H..

مثال 4.7 پیش بینی ریاضی از تعداد نقاط سقوط در هنگام پرتاب کردن استخوان بازی، پیدا کنید.

تصمیم گیری:

مقدار تصادفی H. ارزش های 1، 2، 3، 4، 5، 6. ما قانون توزیع آن را ایجاد خواهیم کرد:

H.
r

سپس انتظارات ریاضی این است:

خواص انتظارات ریاضی:

1. انتظار ریاضی ارزش دائمی برابر با ثابت ترین است:

متر (c) \u003d S.

2. چند ضلعی دائمی را می توان برای نشانه ای از انتظارات ریاضی انجام داد:

m (cx) \u003d cm (x).

3. انتظار ریاضی از کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است:

m (xy) \u003d m (x) m (y).

مثال 4.8. متغیرهای تصادفی مستقل ایکس. و Y. مشخص شده توسط قوانین توزیع زیر:

H.					Y.
r	0,6	0,1	0,3		r	0,8	0,2

انتظارات ریاضی متغیر تصادفی XY را پیدا کنید.

تصمیم.

انتظارات ریاضی هر یک از این مقادیر را پیدا کنید:

متغیرهای تصادفی ایکس. و Y. مستقل، بنابراین انتظارات ریاضی مطلوب:

m (xy) \u003d m (x) m (y) \u003d

نتیجه گیری انتظار ریاضی از کار چندین متغیرهای تصادفی مستقل مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی شرایط است:

متر (x + y) \u003d m (x) + m (y).

نتیجه گیریانتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی، برابر با مجموع انتظارات ریاضی شرایط است.

مثال 4.9 3 عکس با احتمالات در هدف برابر تولید می شود p 1 = 0,4; p 2\u003d 0.3 I. p 3 \u003d 0.6 انتظارات ریاضی کل تعداد بازدید ها را پیدا کنید.

تصمیم گیری

تعداد بازدید ها زمانی که اولین شات یک مقدار تصادفی است x 1که می تواند تنها دو ارزش را داشته باشد: 1 (ضربه) با احتمال p 1 \u003d 0.4 و 0 (لغزش) با احتمال q 1 = 1 – 0,4 = 0,6.

انتظارات ریاضی تعداد بازدید ها در اولین شات برابر با احتمال ضربه است:

به طور مشابه، ما انتظارات ریاضی از تعداد بازدید ها را در عکس های دوم و سوم پیدا می کنیم:

متر (x 2) \u003d 0.3 I. متر (x 3) \u003d0,6.

تعداد کل بازدیدها نیز یک مقدار تصادفی متشکل از مقدار بازدید در هر یک از سه عکس است:

x \u003d x 1 + x 2 + x 3.

انتظارات ریاضی مطلوب H. پیدا کردن قضیه در مورد ریاضی، انتظار برای مقدار.

ویژگی های عددی اصلی متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته: انتظارات ریاضی، پراکندگی و میانگین انحراف درجه دوم. خواص و نمونه های آنها.

قانون توزیع (تابع توزیع و تعدادی از توزیع یا تراکم ایمان) به طور کامل رفتار یک متغیر تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از وظایف، به اندازه کافی برای شناخت برخی از ویژگی های عددی ارزش مورد مطالعه (به عنوان مثال، مقدار متوسط \u200b\u200bآن و انحراف احتمالی از آن) به اندازه کافی برای پاسخ دادن به ذهن است. ویژگی های اصلی عددی متغیرهای تصادفی گسسته را در نظر بگیرید.

تعریف 7.1انتظارات ریاضیمتغیر تصادفی گسسته مقدار مقادیر احتمالی آن به احتمال این است که مربوط به آنها باشد:

M.(H.) = h. 1 r 1 + h. 2 r 2 + … + x p p(7.1)

اگر تعداد مقادیر تصادفی احتمالی بی نهایت باشد، اگر سری حاصل به طور کامل همگام باشد.

یادداشت 1.انتظارات ریاضی گاهی اوقات نامیده می شود میانگین وزنیاز آنجایی که تقریبا برابر با میانگین مقادیر مشاهده شده ریاضی متغیر تصادفی است عدد بزرگ آزمایش.

تبصره 2از تعیین انتظارات ریاضی، به این معنی است که ارزش آن کمتر از کمترین مقدار ممکن متغیر تصادفی نیست و نه بیشتر از بزرگترین.

نکته 3.انتظار ریاضی از متغیر تصادفی گسسته است نصف(مقدار ثابت. در آینده، ما خواهیم دید که برای متغیرهای تصادفی مداوم درست است.

مثال 1. یک انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید H. - تعداد قطعات استاندارد در میان سه، انتخاب شده از حزب در 10 قسمت، که در میان آنها 2 معیوب است. تعدادی توزیع را برای H.. از شرایط کاری که به دنبال آن است H. می تواند مقادیر 1، 2، 3. سپس

مثال 2. تعیین انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی H. - تعداد پوشش های سکه قبل از اولین ظاهر کت از دست. این مقدار می تواند تعداد بی نهایت مقادیر (بسیاری از مقادیر احتمالی بسیاری وجود دارد اعداد طبیعی) تعدادی از توزیع آن فرم دارد:

H.			…	پ	…
r	0,5	(0,5) 2	…	(0,5) پ	…

+ (هنگامی که محاسبه دو بار از مجموع کاهش بی نهایت کاهش می یابد پیشرفت هندسی:، از جایی که).

خواص انتظارات ریاضی.

1) انتظارات ریاضی ثابت برابر با ثابت ترین است:

M.(از جانب) = از جانب.(7.2)

شواهد و مدارک. اگر ما در نظر بگیریم از جانب به عنوان یک مقدار تصادفی گسسته که تنها یک مقدار طول می کشد از جانب با احتمال r \u003d 1، سپس M.(از جانب) = از جانب?1 = از جانب.

2) یک ضریب ثابت می تواند برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ارائه شود:

M.(sk) = سانتی متر(H.). (7.3)

شواهد و مدارک. اگر مقدار تصادفی H. تعدادی توزیع را تنظیم کنید

سپس M.(sk) = sk 1 r 1 + sk 2 r 2 + … + cx p r p = از جانب( H. 1 r 1 + h. 2 r 2 + … + x p p) = سانتی متر(H.).

تعریف 7.2.دو متغیرهای تصادفی نامیده می شوند مستقلاگر قانون توزیع یکی از آنها به آنچه ارزش های دیگر دریافت می شود بستگی ندارد. در غیر این صورت متغیرهای تصادفی وابسته.

تعریف 7.3.نام محصول متغیرهای تصادفی مستقل H. و Y. متغیر تصادفی xyمقادیر احتمالی آن برابر با آثار تمام مقادیر ممکن است. H. در تمام مقادیر ممکن است Y.و احتمال احتمالی احتمالات عوامل برابر است.

3) انتظار ریاضی از کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی خود است:

M.(xy) = M.(ایکس.)M.(Y.). (7.4)

شواهد و مدارک. برای ساده سازی محاسبات، ما خودمان را به پرونده محدود خواهیم کرد H. و Y. فقط دو مقدار ممکن را مصرف کنید:

از این رو، M.(xy) = ایکس. 1 y 1 ?پ. 1 g. 1 + ایکس. 2 y 1 ?پ. 2 g. 1 + ایکس. 1 y 2 ?پ. 1 g. 2 + ایکس. 2 y 2 ?پ. 2 g. 2 = y 1 g. 1 (ایکس. 1 پ. 1 + ایکس. 2 پ. 2) + + y 2 g. 2 (ایکس. 1 پ. 1 + ایکس. 2 پ. 2) = (y 1 g. 1 + y 2 g. 2) (ایکس. 1 پ. 1 + ایکس. 2 پ. 2) = M.(ایکس.)?M.(Y.).

یادداشت 1.به طور مشابه، این امکان وجود دارد که این اموال را برای مقادیر بیشتری از عوامل ثابت کنیم.

تبصره 2 املاک 3 برای محصول هر تعداد متغیرهای تصادفی مستقل معتبر است که توسط روش القاء ریاضی اثبات شده است.

تعریف 7.4تعیین کردن مقدار متغیرهای تصادفی H. و Y. به عنوان یک متغیر تصادفی x + y، مقادیر احتمالی آن برابر با مبالغ هر مقدار ممکن است. H. با هر مقدار ممکن Y.؛ احتمالات چنین مبالغ برابر با آثار احتمالات شرایط (برای متغیرهای تصادفی وابسته - احتمال تنها به تنهایی در احتمال شرطی دوم) است.

4) انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی (وابسته یا مستقل) برابر با مجموع انتظارات ریاضی شرایط شرایط شرایط است:

M. (x + y.) = M. (ایکس.) + M. (Y.). (7.5)

شواهد و مدارک.

ما دوباره متغیرهای تصادفی داده شده توسط ردیف های توزیع داده شده در اثبات اموال 3. سپس ممکن است مقادیر ممکن است x + y.هستند h. 1 + w. 1 , h. 1 + w. 2 , h. 2 + w. 1 , h. 2 + w. 2 به ترتیب آنها را به ترتیب نشان می دهد r 11 , r 12 , r 21 I. r 22 پیدا کردن M.(H.+Y.) = (ایکس. 1 + y 1)پ. 11 + (ایکس. 1 + y 2)پ. 12 + (ایکس. 2 + y 1)پ. 21 + (ایکس. 2 + y 2)پ. 22 =

= ایکس. 1 (پ. 11 + پ. 12) + ایکس. 2 (پ. 21 + پ. 22) + y 1 (پ. 11 + پ. 21) + y 2 (پ. 12 + پ. 22).

ما این را ثابت می کنیم r 11 + r 22 = r یکی در واقع، یک رویداد متشکل از آن x + y.ارزش ها را بردارید h. 1 + w. 1 یا h. 1 + w. 2 و احتمال آن برابر است r 11 + r 22، با این رویداد همخوانی دارد، نتیجه گیری می کند H. = h. 1 (احتمال آن - r یکی) به طور مشابه، اسکله این است پ. 21 + پ. 22 = r 2 , پ. 11 + پ. 21 = g. 1 , پ. 12 + پ. 22 = g. 2 به این معنی

M.(x + y.) = ایکس. 1 پ. 1 + ایکس. 2 پ. 2 + y 1 g. 1 + y 2 g. 2 = M. (ایکس.) + M. (Y.).

اظهار نظر. از اموال 4 به این معنی است که مجموع هر تعداد متغیرهای تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی اجزاء است.

مثال. پیدا کردن یک انتظار ریاضی از مقدار نقاط کاهش یافته توسط پرتاب پنج استخوان بازی.

ما انتظارات ریاضی از تعداد نقاطی را پیدا خواهیم کرد که در هنگام پرتاب یک استخوان کاهش یافته است:

M.(H. 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) همان تعداد برابر با انتظارات ریاضی از تعداد نقاطی است که بر روی هر استخوان کاهش یافته است. در نتیجه، توسط املاک 4 M.(H.)=

پراکندگی.

به منظور ایده رفتار یک متغیر تصادفی، کافی نیست که فقط انتظارات ریاضی خود را بدانیم. دو متغیرهای تصادفی را در نظر بگیرید: H. و Y.مشخص شده توسط توزیع فرم

H.
r	0,1	0,8	0,1

Y.
پ.	0,5	0,5

پیدا کردن M.(H.) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, M.(Y.) \u003d 0 0.5 + 100؟ 0.5 \u003d 50. همانطور که دیده می شود، انتظارات ماتریکی از هر دو مقادیر برابر است، اما اگر برای x M.(H.) به خوبی توصیف متغیر تصادفی در انتظار، به احتمال زیاد آن مقدار ممکن است (در هر مقادیر دیگر از کمی متفاوت از 50)، سپس مقادیر Y. اساسا Off-yat از M.(Y.) در نتیجه، همراه با انتظارات ریاضی، مطلوب است بدانید چقدر ارزش واریانس تصادفی از آن جدا شده است. ویژگی های این شاخص به عنوان پراکندگی عمل می کند.

تعریف 7.5.پراکندگی (پراکندگی)متغیر تصادفی، انتظار ریاضی از مربع انحراف آن از انتظارات ریاضی آن است:

D.(ایکس.) = M. (x - m.(ایکس.)) ² (7.6)

پراکندگی یک متغیر تصادفی را پیدا کنید H. (تعداد قطعات استاندارد در میان انتخاب شده) به عنوان مثال 1 از این سخنرانی. محاسبه مقادیر مربع انحراف هر یک ممکن است به دلیل انتظارات ریاضی:

(1 - 2.4) 2 \u003d 1.96؛ (2 - 2.4) 2 \u003d 0.16؛ (3 - 2.4) 2 \u003d 0.36. از این رو،

یادداشت 1.در تعیین پراکندگی، انحراف از میانگین و مربع آن نیست. این کار انجام می شود به طوری که انحراف از علائم مختلف برای یکدیگر جبران نمی شود.

تبصره 2از تعریف پراکندگی به این معنی است که این مقدار تنها مقادیر غیر منفی را می گیرد.

نکته 3.فرمول راحت تر برای محاسبه پراکندگی وجود دارد، عدالت که در قضیه زیر ثابت شده است:

تئوری 7.1.D.(ایکس.) = M.(ایکس.²) - M.²( ایکس.). (7.7)

شواهد و مدارک.

با استفاده از چه چیزی M.(H.) - ارزش ثابت و خواص انتظارات ریاضی، ما تبدیل فرمول (7.6) به ذهن:

D.(ایکس.) = M.(x - m.(ایکس.))² = M.(ایکس.² - 2. x؟ m.(ایکس.) + M.²( ایکس.)) = M.(ایکس.²) - 2 M.(ایکس.)?M.(ایکس.) + M.²( ایکس.) =

= M.(ایکس.²) - 2 M.²( ایکس.) + M.²( ایکس.) = M.(ایکس.²) - M.²( ایکس.)، که لازم بود ثابت کرد.

مثال. محاسبه پراکندگی متغیرهای تصادفی H. و Y.در آغاز این بخش بحث شده است. M.(H.) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

M.(Y.) \u003d (0 2 0.5 + 100²؟ 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500 \u003d 2500. بنابراین، پراکندگی متغیر تصادفی دوم، چند هزار بار بیشتر پراکندگی از اول است. بنابراین، حتی نمی دانیم قوانین توزیع این ارزش ها، با توجه به مقادیر پراکندگی شناخته شده، ما می توانیم آن را بحث کنیم H. کمی از انتظارات ریاضی خود را در حالی که برای Y. این انحراف بسیار قابل توجه است.

پراکندگی خواص

1) پراکندگی دائمی از جانب برابر با صفر:

D. (C.) = 0. (7.8)

شواهد و مدارک. D.(C.) = M.((سانتی متر.(C.))²) = M.((C - C.)²) = M.(0) = 0.

2) یک ضریب دائمی می تواند برای نشانه پراکندگی ساخته شود، او را در یک مربع قرار دهید:

D.(cx) = C.² D.(ایکس.). (7.9)

شواهد و مدارک. D.(cx) = M.((CX - M.(cx))²) = M.((CX - سانتی متر(ایکس.))²) = M.(C.²( x - m.(ایکس.))²) =

= C.² D.(ایکس.).

3) پراکندگی مجموع دو متغیر تصادفی مستقل برابر با مقدار پراکندگی آنها است:

D.(x + y.) = D.(ایکس.) + D.(Y.). (7.10)

شواهد و مدارک. D.(x + y.) = M.(ایکس.² + 2. xy + Y.²) - ( M.(ایکس.) + M.(Y.))² = M.(ایکس.²) + 2 M.(ایکس.)M.(Y.) +

+ M.(Y.²) - M.²( ایکس.) - 2M.(ایکس.)M.(Y.) - M.²( Y.) = (M.(ایکس.²) - M.²( ایکس.)) + (M.(Y.²) - M.²( Y.)) = D.(ایکس.) + D.(Y.).

نتیجه 1پراکندگی مجموع چندین متغیرهای تصادفی مستقل مستقل برابر با میزان پراکندگی آنها است.

CUROLLARY 2.پراکندگی مقدار متغیرهای ثابت و تصادفی برابر با پراکندگی یک متغیر تصادفی است.

4) پراکندگی تفاوت دو متغیرهای تصادفی مستقل برابر با مجموع پراکندگی آنها است:

D.(x - y.) = D.(ایکس.) + D.(Y.). (7.11)

شواهد و مدارک. D.(x - y.) = D.(ایکس.) + D.(-Y.) = D.(ایکس.) + (-1) ² D.(Y.) = D.(ایکس.) + D.(ایکس.).

پراکندگی به طور متوسط \u200b\u200bمربع انحراف یک متغیر تصادفی از میانگین را می دهد؛ برای برآورد انحراف خود، ارزش نامیده شده توسط یک انحراف درجه دوم به طور متوسط.

تعریف 7.6.انحراف متوسط \u200b\u200bدرجه دوم Σ متغیر تصادفی H. ریشه مربع از پراکندگی:

مثال. در مثال قبلی، انحرافات درجه دوم متوسط H. و Y. براساس آن برابر است

ارزش های.

ویژگی های عددی اصلی تصادفی

قانون تراکم توزیع یک مقدار تصادفی را مشخص می کند. اما اغلب او ناشناخته است، و باید به اطلاعات کمتر محدود شود. گاهی اوقات حتی سودمندتر از اعداد است که مجموع مقدار تصادفی را توصیف می کنند. چنین تعداد نامیده می شود ویژگی های عددی متغیر تصادفی اصلی آنها را در نظر بگیرید.

تعریف:انتظار ریاضی از متغیر تصادفی M (X) مقدار آثار تمام مقادیر احتمالی این مقدار بر روی احتمال آنها نامیده می شود:

اگر یک مقدار تصادفی گسسته باشد H. یک مجموعه قابل شمارش از مقادیر احتمالی را می گیرد، سپس

علاوه بر این، انتظارات ریاضی وجود دارد اگر این سری کاملا همگام باشد.

از تعریف آن را دنبال می کند متر (x)متغیر تصادفی گسسته مقدار غیر تصادفی (ثابت) است.

مثال: بیایید H. - تعداد رویدادها ولی در یک آزمون، p (a) \u003d p. لازم است انتظار ریاضی را پیدا کنید H..

تصمیم گیری:یک قانون توزیع جدولی را ایجاد کنید H.:

ایکس.	0	1
پ.	1 - P.	پ.

ما یک انتظار ریاضی را پیدا می کنیم:

به این ترتیب، انتظارات ریاضی تعداد رویدادها در یک آزمون برابر با احتمال این رویداد است..

منشا اصطلاح ارزش مورد انتظار این با دوره اولیه وقوع نظریه احتمال (XVI-XVIIIV) همراه است، زمانی که منطقه استفاده از آن به قمار محدود شد. بازیکن علاقه مند به ارزش متوسط \u200b\u200bبرندهای مورد انتظار بود، به عنوان مثال انتظار ریاضی برای پیروزی.

در نظر گرفتن معنای احتمالی انتظارات ریاضی.

اجازه دهید تولید شود n. تست هایی که در آن یک مقدار تصادفی H. پذیرفته شده متر 1یک بار ارزش x 1, متر 2 یک بار ارزش x 2، و غیره، و در نهایت او پذیرفته شد m k. یک بار ارزش x k.علاوه بر این m 1 + m 2 + ... + + m k \u003d n.

سپس مجموع تمام مقادیر تصویب شده توسط یک متغیر تصادفی H.، برابر x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k..

میانگین حسابرسی تمام مقادیر تصویب شده توسط یک متغیر تصادفی H.،به همان اندازه:

از آنجا که - فرکانس نسبی ارزش برای هر مقدار i \u003d 1، ...، k.

همانطور که می دانید، اگر تعداد آزمایشات باشد n. به اندازه کافی بزرگ، پس از آن، فرکانس نسبی تقریبا برابر با احتمال این رویداد است، بنابراین،

به این ترتیب ،.

خروجی: انتظار ریاضی برای یک متغیر تصادفی گسسته تقریبا برابر است (دقیق تر، بیشتر از تعداد آزمایشات) میانگین مقادیر مشاهده شده ریاضی متغیر تصادفی.

خواص اصلی انتظارات ریاضی را در نظر بگیرید.

املاک 1: انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با ارزش ثابت است:

متر (c) \u003d S.

شواهد و مدارک: دائمی از جانب می تواند در نظر گرفته شود که دارای یک مقدار ممکن است از جانب و آن را با احتمال می برد p \u003d 1 از این رو، m (c) \u003d با 1 \u003d S.

تعیین کردن محصول یک مقدار ثابت با مقدار تصادفی گسسته X به عنوان یک مقدار تصادفی گسسته sk، مقادیر احتمالی که برابر با آثار ثابت هستند از جانب برای مقادیر احتمالی H. sk برابر با احتمالات مقادیر احتمالی مربوطه H.:

sk	C.	C.	…	C.
H.			…
r			…

املاک 2: چند ضلعی دائمی را می توان برای نشانه ای از انتظارات ریاضی انجام داد:

m (cx) \u003d cm (x).

شواهد و مدارک:مقدار تصادفی را بگذارید ایکس. از قانون توزیع احتمالی خواسته بود:

ایکس.			…
پ.			…

ما قانون انعطاف پذیری ارزش Randous را داریم cx:

جامه	C.	C.	…	C.
پ.			…

متر (cx) = C. + C. = C. + ) \u003d C. متر (x).

تعریف:دو متغیر تصادفی مستقل هستند اگر قانون توزیع یکی از آنها بستگی به گزینه های دیگر ارزش دریافت نمی کند. در غیر این صورت، متغیرهای تصادفی وابسته هستند.

تعریف:چندین متغیر تصادفی، اگر قوانین توزیع هر تعداد از آنها وابسته نیست، به طور متقابلا مستقل نامیده می شود.

تعیین کردن تولید متغیرهای تصادفی گسسته مستقل X و Y به عنوان یک مقدار تصادفی گسسته xy، مقادیر احتمالی آن برابر با آثار هر مقدار ممکن است. ایکس. برای هر مقدار ممکن Y.. احتمالات مقادیر احتمالی xy برابر با آثار احتمالی مقادیر احتمالی عوامل است.

اجازه دهید توزیع متغیرهای تصادفی ایکس. و y:

ایکس.			…
پ.			…

Y.			…
G.			…

سپس توزیع متغیر تصادفی xyاین فرم را دارد:

xy			…
پ.			…

برخی از آثار ممکن است برابر باشد. در این مورد، احتمال ارزش ممکن محصول برابر با مجموع احتمالات مربوطه است. به عنوان مثال، اگر \u003d، پس از آن احتمال ارزش برابر است

املاک 3: انتظار ریاضی از کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است:

متر (xy) \u003d m (x) متر (y).

شواهد و مدارک:اجازه دهید متغیرهای تصادفی مستقل ایکس. و Y. قوانین توزیع احتمالی خواسته می شود:

ایکس.
پ.

Y.
G.

برای ساده سازی محاسبات، ما خودمان را به تعداد کمی از مقادیر احتمالی محدود خواهیم کرد. به طور کلی، اثبات مشابه است.

یک قانون توزیع متغیر تصادفی را ایجاد کنید xy:

xy
پ.

متر (xy) \u003d

متر (x) متر (y).

نتیجه: انتظار ریاضی از کار چندین متغیرهای تصادفی مستقل مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی آنها است.

شواهد و مدارک: ما برای سه متغیرهای تصادفی مستقل مستقل ثابت می کنیم ایکس., Y., Z.. متغیرهای تصادفی xyو Z. مستقل، سپس ما دریافت می کنیم:

متر (xyz) \u003d m (xy z) \u003d m (xy) m (z) \u003d m (x) متر (y) m (z).

برای تعداد دلخواه از متغیرهای تصادفی مستقل مستقل، اثبات توسط روش القاء ریاضی انجام می شود.

مثال:متغیرهای تصادفی مستقل ایکس. و Y.

ایکس.	5	2
پ.	0,6	0,1	0,3

Y.	7	9
G.	0,8	0,2

مورد نیاز یافت متر (xy).

تصمیم گیری: به عنوان متغیرهای تصادفی ایکس.و Y. مستقل، T. متر (xy) \u003d m (x) متر (y) \u003d (5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

تعیین کردن مقدار متغیرهای تصادفی گسسته X و Yبه عنوان یک مقدار تصادفی گسسته x + y.، مقادیر احتمالی آن برابر با مبالغ هر مقدار ممکن است. ایکس. با هر مقدار ممکن Y.. احتمالات مقادیر احتمالی x + y. برای متغیرهای تصادفی مستقل ایکس. و Y. برابر با آثار احتمالات شرایط، و برای متغیرهای تصادفی وابسته - احتمال احتمال احتمال یک دوره در احتمال شرطی دوم.

اگر \u003d و احتمالات این مقادیر به ترتیب برابر است، احتمال (همانند مشابه) برابر است.

املاک 4: انتظارات ریاضی مجموع دو متغیر تصادفی (وابسته یا مستقل) برابر با مجموع انتظارات ریاضی شرایط است:

متر (x + y) \u003d m (x) + m (y).

شواهد و مدارک: اجازه دهید دو متغیر تصادفی ایکس. و Y. مشخص شده توسط قوانین توزیع زیر:

ایکس.
پ.

Y.
G.

برای ساده سازی خروجی، محدود به دو مقدار ممکن از هر یک از مقادیر. به طور کلی، اثبات مشابه است.

تمام مقادیر ممکن واریانس تصادفی را ایجاد کنید x + y. (فرض کنید، برای سادگی، این مقادیر متفاوت هستند؛ اگر نه، اثبات به طور مشابه انجام می شود):

x + y.
پ.

انتظار ریاضی از این مقدار را پیدا کنید.

M.(x + y.) = + + + +

ما ثابت می کنیم که + \u003d.

رویداد x \u003d. (احتمال او p (x \u003d ) یک رویداد را شامل می شود که شامل یک مقدار تصادفی است x + y. این مقدار ارزش دارد یا (احتمال این رویداد، توسط قضیه علاوه بر این، برابر است) و پشت. سپس \u003d.

به طور مشابه اثبات شده برابری \u003d \u003d \u003d \u003d \u003d

جایگزینی قسمت های مناسب این مسائل در فرمول حاصل شده برای انتظارات ریاضی، ما به دست می آوریم:

متر (x + y) \u003d + ) \u003d m (x) + m (y).

نتیجه: انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی، برابر با مجموع انتظارات ریاضی شرایط است.

شواهد و مدارک: ما برای سه متغیر تصادفی اثبات می کنیم ایکس., Y., Z.. ما انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی را پیدا می کنیم x + y.و Z.:

متر (x + y + z) \u003d m ((x + y) z) \u003d m (x + y) m (z) \u003d m (x) + m (y) + m (z)

برای تعداد دلخواه متغیرهای تصادفی، اثبات توسط روش القاء ریاضی انجام می شود.

مثال:مقدار متوسط \u200b\u200bتعداد نقاطی را پیدا کنید که هنگام پرتاب دو استخوان بازی می شود.

تصمیم گیری:بیایید ایکس. - تعداد نقاط که می تواند بر روی استخوان اول سقوط کند، Y. - در دوم بدیهی است، متغیرهای تصادفی ایکس.و Y. همان توزیع را داشته باشید. ما این توزیعها را بنویسیم ایکس.و Y. در یک جدول:

ایکس.	1	2	3	4	5	6
Y.	1	2	3	4	5	6
پ.	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

m (x) \u003d m (y) (1+2+3+4+5+6) = =

متر (x + y) \u003d 7.

بنابراین، مقدار متوسط \u200b\u200bتعداد نقاط که ممکن است در هنگام پرتاب دو استخوان بازی برابر باشد 7 .

قضیه: انتظارات ریاضی M (X) تعداد نمایش های رویداد A در آزمون های مستقل مستقل برابر با محصول تعداد تست ها در احتمال رویداد در هر آزمون: m (x) \u003d np.

شواهد و مدارک: بیایید ایکس. - تعداد رویدادها آ. که در n. تست های مستقل بدیهی است، تعداد کل ایکس. ظاهر رویداد آ. در این آزمایش ها، از تعداد رویدادهای آزمایش های فردی تشکیل شده است. سپس، اگر تعداد رویدادها در اولین آزمون، در دوم، و غیره، در نهایت، تعداد رویدادها در n.مناسب لباس، تعداد کل رویدادها به صورت فرمول ظاهر می شود:

توسط املاک 4 انتظارات ریاضی ما داریم:

m (x) \u003d m ( ) + ... + متر ( ).

از آنجا که انتظارات ریاضی از تعداد رویدادها در یک آزمون برابر با احتمال یک رویداد است، پس از آن

متر ( ) \u003d m ( ) \u003d ... \u003d m ( ) \u003d p

از این رو، m (x) \u003d np.

مثال:احتمال ضربه زدن به هدف هنگام عکسبرداری از تفنگ برابر است p \u003d 0.6. اگر تولید شود، میانگین تعداد بازدید ها را پیدا کنید 10 عکسها

تصمیم گیری: در هر شات، آن را به نتایج عکس های دیگر بستگی ندارد، بنابراین حوادث مورد بررسی مستقل هستند و بنابراین انتظارات ریاضی مطلوب این است:

m (x) \u003d np \u003d 10 0,6 = 6.

بنابراین، میانگین تعداد بازدید ها 6 است.

در حال حاضر انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی مداوم را در نظر بگیرید.

تعریف:انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی پیوسته X، مقادیر احتمالی که متعلق به بخش است, یک انتگرال خاص نامیده می شود:

جایی که f (x) تراکم توزیع احتمالی است.

اگر مقادیر احتمالی متغیر تصادفی مداوم X متعلق به کل محور اکسید باشد، پس از آن

فرض بر این است که این درگیر یکپارچه سازی این کاملا همگرا است، به عنوان مثال انطباق یکپارچه اگر این الزام راضی نبود، ارزش انتگرال به سرعت تمایل (به طور جداگانه) بستگی به محدودیت پایین را به -4 بستگی دارد و حد بالا K + ∞ است.

شما می توانید این را ثابت کنید تمام خواص انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی گسسته برای یک متغیر تصادفی مداوم حفظ می شود.. اثبات بر اساس خواص انتگرال های خاص و نادرست است.

بدیهی است، نشانگر متر (x)کوچکترین و کمتر از بیشترین مقدار ممکن از متغیر تصادفی ایکس.. کسانی که. در محور عددی، مقادیر احتمالی واریانس تصادفی در سمت چپ و به سمت راست انتظارات ریاضی خود قرار دارد. به این معنا، انتظارات ریاضی متر (x)محل توزیع را مشخص می کند، و بنابراین اغلب نامیده می شود مرکز توزیع.

1. انتظارات ریاضی ارزش دائمی برابر با ثابت ترین است m (c) \u003d با .
2. یک ضریب ثابت می تواند برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ساخته شود: متر (cx) \u003d cm (x)
3. انتظار ریاضی از کار دو متغیر تصادفی مستقل برابر با محصول انتظارات ریاضی خود است: m (xy) \u003d m (x) m (y).
4. انتظار ریاضی از مجموع دو متغیر تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی شرایط است: متر (x + y) \u003d m (x) + m (y).

قضیه انتظارات ریاضی M (X) تعداد رویدادها و در آزمون های مستقل N برابر با محصول این آزمایش ها در احتمال وقوع رویدادها در هر آزمون است: m (x) \u003d np.

بیایید H. - مقدار تصادفی و متر (x) - انتظارات ریاضی او. به عنوان یک متغیر تصادفی جدید در نظر بگیرید x - m (x).

انحراف تفاوت بین متغیر تصادفی و انتظارات ریاضی آن نامیده می شود.

انحراف قانون توزیع زیر را دارد:

راه حل: پیدا کردن انتظارات ریاضی:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

ما توزیع قانون انحراف مربع را بنویسیم:

راه حل: پیدا کردن انتظارات ریاضی m (x): m (x) \u003d 2 0.1 + 3 0.6 + 5 0.3 \u003d 3.5

توزیع قانون تصادفی X 2

x 2
پ.	0.1	0.6	0.3

ما انتظارات ریاضی را پیدا می کنیم متر (x 2): m (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

پراکندگی مورد نظر D (x) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

خواص پراکندگی:

1. پراکندگی اندازه ثابت از جانب برابر با صفر: D (c) \u003d 0
2. چند ضلعی ثابت را می توان برای علامت پراکندگی ساخته شده، خوردن آن به یک مربع. D (CX) \u003d C 2 D (X)
3. پراکندگی مجموع متغیرهای تصادفی مستقل برابر با مقدار پراکندگی این ارزش ها است. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)
4. پراکندگی توزیع دوتایی برابر با محصول تعداد تست ها در احتمال ظهور و گسل رویداد در یک آزمون برابر است d (x) \u003d npq

برای برآورد پراکندگی مقادیر احتمالی متغیر تصادفی در اطراف مقدار متوسط \u200b\u200bآن، علاوه بر پراکندگی، برخی از ویژگی های دیگر نیز خدمت می کنند. این شامل میانگین انحراف درجه دوم است.

انحراف متوسط \u200b\u200bدرجه دوم متغیر تصادفی H. تماس مربع ریشه از پراکندگی:

σ (x) \u003d √d (x) (4)

مثال. مقدار تصادفی X مجموعه توزیع قانون

ایکس.
پ.	0.1	0.4	0.5

پیدا کردن انحراف متوسط \u200b\u200bدرجه دوم Σ (x)

راه حل: پیدا کردن انتظارات ریاضی X: M (X) \u003d 2 0.1 + 3 0.4 + 10 0.5 \u003d 6.4
ما انتظار ریاضی X 2: M (x 2) \u003d 2 2 0.1 + 3 2 0.4 + 10 2 0.5 \u003d 54
پراکندگی: D (x) \u003d M (x 2) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04
انحراف درجه دوم درجه دوم σ (x) \u003d √d (x) \u003d √13.04 ~ 3.61

قضیه میانگین انحراف درجه دوم مقدار تعداد نهایی متغیرهای تصادفی مستقل مستقل است ریشه دوم از مجموع مربعات میانگین انحرافات درجه دوم این مقادیر:

مثال. در قفسه 6 کتاب 3 کتاب در ریاضیات و 3 فیزیک. بسیاری از سه کتاب را انتخاب کنید. پیدا کردن قانون توزیع تعداد کتاب های ریاضیات در میان کتاب های انتخاب شده. یک انتظار ریاضی و پراکندگی این متغیر تصادفی را پیدا کنید.

d (x) \u003d m (x 2) - m (x) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0.45

انتظارات ریاضی توزیع احتمالهای واریانس تصادفی است

انتظارات ریاضی، تعریف، انتظارات ریاضی از متغیرهای تصادفی گسسته و پیوسته، سازگاری انتخابی، مشروط، محاسبه، خواص، وظایف، ارزیابی سازندگان، پراکندگی، عملکرد توزیع، فرمول، نمونه های محاسبه

اعزام محتوا

فروپاشی محتوا

انتظارات ریاضی تعریف است

یکی از مهمترین مفاهیم در آمار ریاضی و تئوری احتمالات، توصیف توزیع مقادیر یا احتمالات یک متغیر تصادفی. معمولا بیان می شود میانگین وزنی تمام پارامترهای ممکن متغیر تصادفی. در هنگام انجام تجزیه و تحلیل فنی، تحقیق به طور گسترده ای مورد استفاده قرار می گیرد ردیف عددی، مطالعه فرایندهای مداوم و طولانی مدت. در ارزیابی خطرات مهم است، پیش بینی شاخص های قیمت در تجارت در بازارهای مالی، در توسعه استراتژی ها و روش های تاکتیک های بازی در تئوری قمار استفاده می شود.

انتظارات ریاضی استمقدار متوسط \u200b\u200bیک متغیر تصادفی، توزیع احتمالات یک متغیر تصادفی در نظریه احتمال در نظر گرفته می شود.

انتظارات ریاضی استاندازه گیری مقدار متوسط \u200b\u200bمتغیر تصادفی در نظریه احتمال. انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی ایکس. نشان دادن متر (x).

انتظارات ریاضی است

انتظارات ریاضی است در تئوری احتمال، مقدار متوسط \u200b\u200bوزن تمام مقادیر احتمالی این مقدار تصادفی می تواند باشد.

انتظارات ریاضی استمقدار آثار تمام مقادیر احتمالی واریانس تصادفی در احتمال این ارزش ها.

انتظارات ریاضی است به طور متوسط \u200b\u200bسود از یک یا چند راه حل، ارائه شده است که چنین راه حل را می توان در چارچوب نظریه اعداد بزرگ و یک فاصله طولانی در نظر گرفته شده است.

انتظارات ریاضی استدر تئوری قمار، مقدار برنده، که می تواند به طور متوسط، به طور متوسط \u200b\u200bیک بازیکن را به دست آورد یا از دست بدهد. در زبان بازیکنان قمار، این گاهی اوقات "مزیت بازیکن" نامیده می شود (اگر آن را برای بازیکن مثبت) یا "مزایای کازینو" (اگر آن را برای بازیکن منفی است).

انتظارات ریاضی است درصد سود بر روی برندهای ضرب شده توسط سود متوسط، منفی احتمال از دست دادن ضرب شده توسط از دست دادن متوسط.

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی در نظریه ریاضی

یکی از ویژگی های عددی مهم یک متغیر تصادفی، انتظارات ریاضی است. ما مفهوم یک سیستم متغیرهای تصادفی را معرفی می کنیم. ترکیبی از متغیرهای تصادفی را که نتایج یک آزمایش تصادفی مشابه هستند را در نظر بگیرید. اگر - یکی از مقادیر سیستم احتمالی، این رویداد مربوط به یک احتمال خاص است که محرومیت از Kolmogorov را برآورده می کند. تابع تعریف شده در هر مقدار ممکن از متغیرهای تصادفی، قانون توزیع مشترک نامیده می شود. این ویژگی به شما امکان می دهد احتمال وقوع هر رویدادی را محاسبه کنید. به طور خاص، قانون مشترک توزیع متغیرهای تصادفی و مقادیر از مجموعه ها و با احتمالات داده می شود.

اصطلاح "انتظارات ریاضی" توسط Pierre Simon Marquis de Laplas (1795) معرفی شد و از مفهوم "ارزش مورد انتظار از برنده ها" رخ داد، که ابتدا در قرن هفدهم در تئوری قمار در آثار Blaise Pascal ظاهر شد و گیگین مسیحی. با این حال، اولین درک کامل نظری و ارزیابی این مفهوم توسط Paphing Lvivich Chebyshev (اواسط قرن نوزدهم) داده می شود.

قانون توزیع مقادیر عددی تصادفی (تابع توزیع و محدوده توزیع یا تراکم احتمالی) به طور کامل رفتار یک مقدار تصادفی را توصیف می کند. اما در تعدادی از وظایف به اندازه کافی برای شناخت برخی از ویژگی های عددی ارزش مورد مطالعه (به عنوان مثال، ارزش متوسط \u200b\u200bآن و انحراف ممکن از آن) برای پاسخ به سوال اختصاص داده شده است. خصوصیات عددی اصلی متغیرهای تصادفی، انتظارات ریاضی، پراکندگی، مد و متوسط \u200b\u200bاست.

انتظارات ریاضی متغیر تصادفی گسسته، مقدار محصولاتی از مقادیر احتمالی آن به احتمال مربوط به آنها است. گاهی اوقات انتظارات ریاضی به طور متوسط \u200b\u200bوزن نامیده می شود، زیرا تقریبا برابر با مقادیر متوسط \u200b\u200bریاضی متغیر تصادفی با تعداد زیادی از آزمایشات است. از تعیین انتظارات ریاضی، به این معنی است که ارزش آن کمتر از کوچکترین مقدار ممکن از متغیر تصادفی نیست و نه بیشتر از بزرگترین. انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی، مقدار غیر تصادفی (ثابت) است.

انتظارات ریاضی ساده است معنی فیزیکی: اگر یک مکان مستقیم برای قرار دادن یک توده واحد، قرار دادن برخی از توده ها در برخی از نقاط (برای توزیع گسسته)، یا "لکه دار کردن" آن را با تراکم خاص (برای توزیع کاملا مداوم)، نقطه ای که مربوط به انتظارات ریاضی خواهد بود مختصات "مرکز گرانش" مستقیم خواهد بود.

مقدار متوسط \u200b\u200bواریانس تصادفی یک عدد است که به نظر می رسد "نماینده" و جایگزینی آن با محاسبات تقریبا تقریبی است. هنگامی که ما می گوییم: "عملیات متوسط \u200b\u200bلامپ 100 ساعت است یا" میانگین نقطه تماس نسبت به هدف به 2 متر به سمت راست تغییر می کند "، ما نشان می دهیم که مشخصه عددی خاصی از یک متغیر تصادفی توصیف مکان آن است در محور عددی، یعنی "مشخصه وضعیت".

از ویژگی های موقعیت در نظریه احتمال، انتظار ریاضی از یک نمایش متغیر تصادفی، که گاهی اوقات به سادگی به طور متوسط \u200b\u200bمقدار یک متغیر تصادفی نامیده می شود.

مقدار تصادفی را در نظر بگیرید H.داشتن مقادیر احتمالی x1، x2، ...، xn با احتمالات p1، P2، ...، PN. ما باید برخی از تعداد موقعیت مقادیر متغیر تصادفی را در محور Abscissa مشخص کنیم، با توجه به این واقعیت که این مقادیر احتمال های مختلفی دارند. برای این منظور طبیعی است که از به اصطلاح "به طور متوسط \u200b\u200bوزن" از مقادیر استفاده شود چیعلاوه بر این، هر مقدار XI با میانگین باید با "وزن" متناسب با احتمال این مقدار مورد توجه قرار گیرد. بنابراین، میانگین متغیر تصادفی را محاسبه می کنیم ایکس.ما نشان دادیم متر X |:

این یک مقدار ثانویه است و انتظار ریاضی یک متغیر تصادفی است. بنابراین، ما در نظر گرفته شده است یکی از مهمترین مفاهیم تئوری احتمالی، مفهوم انتظارات ریاضی است. انتظار ریاضی از یک نوع تصادفی، مقدار محصولات تمام مقادیر احتمالی واریانس تصادفی را به احتمال زیاد این مقادیر نامیده می شود.

H. همراه با وابستگی عجیب و غریب به میانگین مقادیر مشاهده شده ریاضی یک متغیر تصادفی با تعداد زیادی از آزمایشات. این وابستگی به همان نوع به عنوان رابطه بین فرکانس و احتمال، یعنی با تعداد زیادی از آزمایشات، میانگین مقادیر مشاهده شده ریاضی متغیر تصادفی تصادفی (همگرایی در احتمال) به انتظارات ریاضی آن است. از حضور ارتباط بین فرکانس و احتمال می تواند به عنوان یک نتیجه از حضور یک ارتباط مشابه بین میانگین ریاضی و انتظارات ریاضی حاصل شود. در واقع، مقدار تصادفی را در نظر بگیرید H.مشخص شده توسط تعدادی توزیع:

اجازه دهید آن را تولید کنیم n. آزمایش های مستقل، در هر کدام از آن مقدار ایکس.ارزش خاصی را می گیرد فرض کنید که ارزش x1ظاهر شد m1.بار، معنی x2ظاهر شد m2یک بار، ارزش کلی چیmI یک بار ظاهر شد میانگین مقادیر مشاهده شده ریاضی مقدار x را محاسبه کنید، که در مقایسه با انتظارات ریاضی متر X |ما نشان دادیم m * | x \u200b\u200b|:

با افزایش تعداد آزمایشات n.فرکانس piنزدیک خواهد شد (احتمال همگرایی) به احتمال احتمالی. بنابراین، میانگین مقادیر مشاهده شده ریاضی متغیر تصادفی متر X | با افزایش تعداد آزمایشات، به انتظارات ریاضی خود (به احتمال زیاد همگرا می شود). رابطه فوق بین میانگین ریاضی و انتظارات ریاضی محتوای یکی از اشکال قانون تعداد زیادی است.

ما قبلا می دانیم که تمام اشکال قانون تعداد اعداد بزرگ، واقعیت پایداری برخی رسانه ها را با تعداد زیادی از آزمایشات مشخص می کند. در اینجا ما در مورد ثبات ریاضی متوسط \u200b\u200bاز تعدادی از مشاهدات از همان مقدار صحبت می کنیم. با تعداد کمی از آزمایشات، میانگین حسابرسی نتایج آنها به طور تصادفی؛ با افزایش کافی در تعداد آزمایشات، آن را "تقریبا بدون تصادف" می شود و تثبیت کننده، نزدیک به یک ارزش ثابت - انتظارات ریاضی است.

اموال پایداری متوسط \u200b\u200bبا تعداد زیادی از آزمایشات، به صورت آزمایشی آسان است. به عنوان مثال، وزن هر بدن در آزمایشگاه در مقیاس دقیق، ما ارزش جدید را به عنوان یک نتیجه از وزن هر بار به دست می آوریم؛ برای کاهش خطای مشاهده، ما چندین بار بدن را وزن می کنیم و از مقادیر محاسباتی متوسط \u200b\u200bاستفاده می کنیم. آسان است مطمئن شوید که با افزایش بیشتر تعداد آزمایشات (وزن)، میانگین ریاضی واکنش به این افزایش کمتر و کمتر است و با تعداد زیادی از آزمایشات به اندازه کافی بزرگ تقریبا متوقف می شود تغییر می کند.

لازم به ذکر است که مهمترین ویژگی موقعیت متغیر تصادفی، انتظارات ریاضی است - برای همه متغیرهای تصادفی وجود ندارد. شما می توانید نمونه هایی از چنین متغیرهای تصادفی ایجاد کنید که انتظار می رود که انتظارات ریاضی وجود نداشته باشد، زیرا مقدار مربوطه یا انتگرال منحرف شده است. با این حال، چنین مواردی برای عمل قابل توجه نیست. معمولا متغیرهای تصادفی که ما با آن برخورد می کنیم با یک منطقه محدود از مقادیر احتمالی و البته، انتظارات ریاضی را داریم.

علاوه بر مهمترین ویژگی های موقعیت یک متغیر تصادفی - انتظارات ریاضی، در عمل گاهی اوقات ویژگی های دیگر موقعیت، به ویژه، مد و متوسط \u200b\u200bیک متغیر تصادفی نیز اعمال می شود.

مد متغیر تصادفی به احتمال زیاد ارزش آن است. اصطلاح "به احتمال زیاد ارزش"، به شدت صحبت می کند، تنها به ارزش های قطع شده اعمال می شود؛ برای قدر مداوم مد مقدار است که در آن تراکم احتمالی حداکثر است. ارقام به ترتیب به ترتیب به ترتیب برای متغیرهای متناوب متناوب و مداوم نشان می دهد.

اگر توزیع چند ضلعی توزیع (منحنی توزیع) بیش از یک حداکثر داشته باشد، توزیع به نام "پلی کادیم" نامیده می شود.

گاهی اوقات توزیعی وجود دارد که در وسط حداکثر و حداقل نیست. چنین توزیعی "Antimodal" نامیده می شود.

به طور کلی، انتظار مد و ریاضی واریانس تصادفی همزمان نیست. در مورد خاص، زمانی که توزیع متقارن و مدال (یعنی مد، مدال است) و انتظار ریاضی وجود دارد، آن را با مد و مرکز تقارن توزیع همخوانی دارد.

این اغلب از ویژگی های موقعیت دیگری استفاده می شود - به اصطلاح Median از یک نوع تصادفی. این ویژگی معمولا فقط برای متغیرهای تصادفی مداوم استفاده می شود، هرچند ممکن است آن را برای مقادیر متناوب تعریف کنید. هندسی Median Abscissa از نقطه ای است که در آن منطقه، منحنی توزیع محدود، به نصف تقسیم می شود.

در مورد توزیع متقارن مدال، متوسط \u200b\u200bبا انتظارات ریاضی و مد همخوانی دارد.

انتظار ریاضی یک مقدار متوسط، متغیر تصادفی - ویژگی عددی توزیع احتمال متغیر تصادفی است. شایع ترین انتظارات ریاضی یک متغیر تصادفی x (w) تعیین شده به عنوان انتگرال Lebek در رابطه با احتمال rدر فضای احتمالی اولیه:

انتظارات ریاضی را می توان محاسبه کرد و به عنوان یک انتگرال Lebesgue از h.توسط توزیع احتمالات رینگارزش های ایکس.:

به طور طبیعی، می توان مفهوم یک متغیر تصادفی را با انتظارات ریاضی بی نهایت تعیین کرد. مثال معمولی زمان بازگشت در برخی از پیاده روی های تصادفی را خدمت کنید.

با کمک انتظارات ریاضی، بسیاری از ویژگی های عددی و عملکردی توزیع تعیین می شود (به عنوان یک ریاضی انتظار برای توابع مربوطه از یک متغیر تصادفی)، به عنوان مثال، تولید یک تابع، یک تابع مشخص، لحظات هر سفارش، به ویژه پراکندگی، کوواریانس.

انتظار ریاضی، مشخصه محل مقادیر تصادفی (مقدار متوسط \u200b\u200bتوزیع آن) است. در این ظرفیت، تمرینات ریاضی به عنوان یک پارامتر توزیع معمولی عمل می کند و نقش آن مشابه نقش یک لحظه استاتیک است - مختصات مرکز گرانش توزیع جرم - در مکانیک. از ویژگی های دیگر مکان، که توزیع به طور کلی شرح داده می شود، متوسط، مد، انتظارات ریاضی از بزرگترین ارزش است که آن و ویژگی پراکندگی مربوط به آن پراکندگی - در قضایای محدود تئوری احتمال . با بیشترین کامل بودن، معنای انتظارات ریاضی توسط قانون تعداد زیادی (نابرابری چبیشف) و قانون افزایش یافته از تعداد زیادی نشان داده شده است.

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی گسسته

اجازه دهید مقدار تصادفی وجود داشته باشد که می تواند یکی از چندین مقدار عددی را داشته باشد (به عنوان مثال، تعداد نقاط زمانی که پرتاب استخوان می تواند 1، 2، 3، 4، 5 یا 6 باشد). اغلب، این سوال در عمل برای چنین اندازه ای مطرح می شود: چه مقدار "به طور متوسط" با تعداد زیادی از آزمون ها می پردازد؟ درآمد متوسط \u200b\u200b(یا از دست دادن) ما از هر یک از عملیات خطرناک ما چیست؟

بگو، نوعی قرعه کشی وجود دارد. ما می خواهیم درک کنیم، سودمند است یا نه به شرکت در آن (یا حتی به طور مرتب، به طور مرتب شرکت می کند). فرض کنید برنده هر بلیط چهارم، جایزه 300 روبل خواهد بود و قیمت هر بلیط 100 روبل است. با تعداد بی نهایت بزرگی از مشارکت، آن را معلوم می کند. در سه چهارم، ما از دست خواهیم داد، هر سه ضرر 300 روبل هزینه می کنند. در هر چهارم مورد، ما 200 روبل برنده خواهیم شد. (جایزه منهای هزینه)، یعنی، در چهار مشارکت ما به طور متوسط \u200b\u200b100 روبل را از دست می دهیم، به طور متوسط \u200b\u200b25 روبل. مجموع به طور متوسط \u200b\u200bنرخ ویرانی ما 25 روبل / بلیط خواهد بود.

ما یک استخوان بازی را پرتاب می کنیم. اگر این مقیاس نیست (بدون تغییر مرکز گرانش، و غیره)، چقدر همه ما عینک در یک زمان داریم؟ از آنجایی که هر نوع به همان اندازه در نظر گرفته شده است، ما را احمقانه ارزیابی می کنیم و ما 3.5 را دریافت می کنیم. از آنجایی که میانگین آن است، نیازی به خشم وجود ندارد که 3.5 امتیاز بدون پرتاب خاص نخواهد بود - خوب، هیچ جایی برای این مکعب با چنین تعداد وجود ندارد!

حالا ما نمونه های ما را تعمیم می دهیم:

به تصویر نشان داده شده تبدیل شوید. در صفحه توزیع چپ متغیر تصادفی. مقدار x می تواند یکی از مقادیر N را داشته باشد (در خط بالا داده می شود). هیچ ارزش دیگری ممکن نیست. تحت هر مقدار ممکن، احتمال آن در زیر امضا شده است. سمت راست یک فرمول است که M (X) انتظار ریاضی نامیده می شود. معنای این مقدار این است که با تعداد زیادی از آزمایشات (با یک نمونه بزرگ)، ارزش متوسط \u200b\u200bبرای این انتظارات بسیار ریاضی تلاش خواهد کرد.

بیایید دوباره به همان کوبا بازی کنیم. انتظار ریاضی از مقدار نقاط زمانی که پرتاب 3.5 است (شمارش خود را با توجه به فرمول، اگر شما باور نکنید). بیایید بگوییم شما چند بار آن را پرتاب کردید. 4 و 6 سقوط کردند به طور متوسط، 5، این، این است که، دور از 3.5. آنها یک بار دیگر پرتاب کردند، آن را به طور متوسط \u200b\u200b3، به طور متوسط \u200b\u200b(4 + 6 + 3) / 3 \u003d 4،33333 ... به نحوی دور از انتظارات ریاضی. اکنون یک آزمایش دیوانه را صرف کنید - یک مکعب 1000 بار پرتاب کنید! و اگر به طور متوسط \u200b\u200bو دقیقا 3.5 وجود ندارد، نزدیک به آن خواهد بود.

ما انتظارات ریاضی را برای قرعه کشی های فوق توصیف کردیم. علامت به نظر می رسد:

سپس انتظار ریاضی خواهد بود همانطور که ما در بالا راه اندازی شده است.

چیز دیگری این است که همان "روی انگشتان"، بدون فرمول، دشوار خواهد بود اگر گزینه های بیشتری وجود داشته باشد. خوب، بگذارید بگوییم، 75 درصد از از دست دادن بلیط ها، 20 درصد از بلیط های برنده و 5 درصد از آنها به ویژه سودمند خواهد بود.

در حال حاضر برخی از خواص انتظارات ریاضی.

ثابت کنید فقط:

یک ضریب دائمی مجاز است که برای نشانه ای از انتظارات ریاضی ساخته شود، یعنی:

این یک مورد خاص از خواص محدودیت انتظارات ریاضی است.

نتیجه دیگر خطی بودن انتظارات ریاضی:

به عبارت دیگر، انتظار ریاضی از مجموع متغیرهای تصادفی برابر با مجموع انتظارات ریاضی متغیرهای تصادفی است.

اجازه دهید x، y متغیرهای تصادفی مستقل باشد، سپس:

این نیز آسان است برای اثبات) xy خود یک مقدار تصادفی است، با مقادیر اولیه می تواند n.و m.ارزش ها به ترتیب، سپس xyمی تواند مقادیر NM را مصرف کند. احتمال هر یک از مقادیر بر اساس این واقعیت محاسبه می شود که احتمال وقوع رویدادهای مستقل متغیر است. در نهایت، ما این را دریافت می کنیم:

انتظار ریاضی از یک متغیر تصادفی مداوم

در متغیرهای تصادفی مداوم، چنین مشخصه ای به عنوان تراکم توزیع (تراکم احتمالی) وجود دارد. او، در اصل، وضعیتی را مشخص می کند که برخی از مقادیر از انواع مختلف اعداد معتبر مقدار تصادفی طول می کشد، برخی از آنها کمتر است. به عنوان مثال، این برنامه را در نظر بگیرید:

اینجا ایکس.- در واقع متغیر تصادفی، f (x)- تراکم توزیع با توجه به این برنامه، با ارزش آزمایشات ایکس.این اغلب یک عدد نزدیک به صفر خواهد بود. شانس گرفتن بیش از 3 یا کمتر -3 به جای، نظری خالص.

به عنوان مثال، یک توزیع یکنواخت وجود دارد:

این به طور کامل به درک بصری مربوط می شود. به عنوان مثال، اگر ما با توزیع یکنواخت، تعداد زیادی از اعداد تصادفی تصادفی، هر یک از بخش ها را دریافت کنیم |0; 1| ، میانگین محاسبات باید حدود 0.5 باشد.

خواص انتظارات ریاضی خطی بودن، و غیره، قابل اجرا به متغیرهای تصادفی گسسته، قابل اجرا در اینجا.

رابطه انتظارات ریاضی با سایر شاخص های آماری

در تجزیه و تحلیل آماری، همراه با انتظارات ریاضی، یک سیستم شاخص های وابسته به وابستگی وجود دارد که منعکس کننده همگنی پدیده ها و ثبات فرآیندهای است. اغلب شاخص های تنوع یک معنی مستقل ندارند و برای تجزیه و تحلیل داده ها مورد استفاده قرار می گیرند. استثناء ضریب تنوع است که همگن بودن داده ها را مشخص می کند که یک ویژگی آماری ارزشمند است.

درجه تنوع یا ثبات فرآیندها در علم آماری می تواند با استفاده از چندین شاخص اندازه گیری شود.

مهمترین شاخص مشخص کننده تنوع متغیر تصادفی است پراکندگیکه نزدیک ترین و مستقیما مربوط به انتظارات ریاضی است. این پارامتر به طور فعال در سایر انواع تجزیه و تحلیل آماری مورد استفاده قرار می گیرد (فرضیه های آزمون، تجزیه و تحلیل روابط علی، و غیره). مانند میانگین انحراف خطی، پراکندگی همچنین نشان دهنده اندازه گیری پراکندگی داده ها در اطراف مقدار متوسط \u200b\u200bاست.

زبان نشانه ها برای ترجمه به زبان کلمات مفید است. به نظر می رسد که پراکندگی مربع میانی انحراف است. یعنی، در ابتدا مقدار متوسط \u200b\u200bمحاسبه می شود، سپس تفاوت بین هر منبع و مقدار متوسط، آن را به یک مربع ساخته شده است، آن را نیز به تعداد مقادیر در این مجموعه تقسیم شده است. تفاوت بین ارزش فردی و متوسط \u200b\u200bنشان دهنده اندازه گیری انحراف است. مربع ساخته شده است تا اطمینان حاصل شود که تمام انحراف ها به طور انحصاری تبدیل شده اند اعداد مثبت و جلوگیری از اتصال انحرافات مثبت و منفی در خلاصه آنها. سپس، داشتن مربع انحراف، ما به سادگی محاسبه میانگین ریاضی را محاسبه می کنیم. میدان متوسط \u200b\u200b- انحرافات. انحراف در یک مربع افزایش یافته است و میانگین در نظر گرفته شده است. تأثیر کلمه جادویی "پراکندگی" در سه کلمه قرار دارد.

با این حال، در شکل خالص خود، مانند میانگین ریاضی یا شاخص، پراکندگی استفاده نمی شود. این نشانگر کمکی و متوسط \u200b\u200bاست که برای سایر انواع تجزیه و تحلیل آماری استفاده می شود. او حتی واحدهای عادی ندارد. با توجه به فرمول، این مربع از واحد اندازه گیری داده های منبع است.

اجازه دهید متغیر تصادفی را اندازه گیری کنیم n.یک بار، به عنوان مثال، ما سرعت باد را اندازه گیری می کنیم و ما می خواهیم مقدار متوسط \u200b\u200bرا پیدا کنیم. مقدار متوسط \u200b\u200bبا عملکرد توزیع چگونه است؟

یا ما پرتاب خواهیم کرد تاس تعداد زیادی از زمان. تعداد نقاطی که بر روی مکعب قرار می گیرد، یک مقدار تصادفی است و می تواند هر گونه مقادیر طبیعی را از 1 تا 6 به دست آورد، میانگین امتیازات ریخته گری به طور متوسط \u200b\u200bشمارش شده برای تمام کست های مکعب نیز یک متغیر تصادفی است، اما با بزرگ n.این به دنبال یک شماره کاملا دقیق است - انتظارات ریاضی MX. در این مورد، MX \u003d 3.5.

چگونه این مقدار بیرون آمد؟ بگذار ب n.تست n1یک بار کاهش 1 نقطه، n2یک بار - 2 امتیاز و غیره سپس تعداد نتایج که در آن یک نقطه کاهش یافت:

به طور مشابه، برای نتایج، زمانی که 2، 3، 4، 5 و 6 امتیاز کاهش یافت.

فرض کنید که ما قانون توزیع مقدار تصادفی X را می دانیم، یعنی ما می دانیم که مقدار تصادفی X می تواند مقادیر x1، x2، ...، XK را با احتمال P1، P2، ... ، pk

انتظارات ریاضی MX واریانس تصادفی X عبارتند از:

انتظارات ریاضی همیشه ارزیابی معقول از برخی از انواع تصادفی نیست. بنابراین، برای برآورد دستمزد متوسط، منطقی تر از مفهوم متوسط \u200b\u200bاست، یعنی چنین ارزش هایی که تعداد افرادی که کمتر از میانگین، حقوق و دستمزد دریافت می کنند، هماهنگ می شوند.

احتمال P1 این است که متغیر تصادفی کمتر از x1 / 2 است و احتمال P2 این است که مقدار تصادفی X بیشتر از x1 / 2 است، همان و برابر 1/2 است. Median به طور منحصر به فرد برای همه توزیع ها تعریف نشده است.

انحراف استاندارد یا استاندارد در آمار، درجه انحراف داده های مشاهده یا مجموعه از مقدار متوسط \u200b\u200bنامیده می شود. توسط حروف s یا s نشان داده شده است. انحراف استاندارد کوچک نشان می دهد که داده ها در اطراف مقدار متوسط \u200b\u200bو قابل توجه گروه بندی شده اند - داده های اولیه به دور از آن قرار گرفته است. انحراف استاندارد برابر با ریشه مربع از مقدار پراکندگی است. این میانگین تعداد مجموع تفاوت های داده های اولیه، انحراف از ارزش متوسط \u200b\u200bاست. انحراف استاندارد متغیر تصادفی مربع ریشه از پراکندگی نامیده می شود:

مثال. تحت شرایط آزمایش هنگام تیراندازی یک هدف، پراکندگی و انحراف ریکاردی متغیر تصادفی را محاسبه کنید:

تغییر- نوسان، تغییرات نشانه نشانه ای از علامت در واحد های جمع. شخصی مقادیر عددی مشخصه ای که در مجموع رخ می دهد، انواع نامیده می شود. نارسایی مقدار متوسط \u200b\u200bبرای ویژگی های کامل کلگی، مقادیر متوسط \u200b\u200bشاخص ها را به دست می دهد که به ما اجازه می دهد تا از طریق اندازه گیری متفاوت (تغییرات) علامت مورد مطالعه، به طور متوسط \u200b\u200bاین نوع را برآورد کنیم. ضریب تغییرات توسط فرمول محاسبه می شود:

تنوع تنوع (R) نشان دهنده تفاوت بین حداکثر و حداقل مقادیر ویژگی در مجموع مشترک است. این شاخص بیشترین را می دهد نمای کلی در بخش های علامت مورد مطالعه، به عنوان آن را نشان می دهد تفاوت تنها بین مقادیر محدود از گزینه ها. وابستگی به مقادیر شدید ویژگی ویژگی، دامنه تغییرات ناپایدار، شخصیت تصادفی است.

انحراف متوسط \u200b\u200bخطیاین میانگین محاسبات انحراف مطلق (ماژول) تمام مقادیر کل تجزیه و تحلیل شده از اندازه متوسط \u200b\u200bآنها است:

انتظارات ریاضی در نظریه قمار

انتظارات ریاضی استمیانگین مقدار پولی که قمار یک بازیکن می تواند در این نرخ برنده شود یا از دست بدهد. این یک مفهوم بسیار مهم برای یک بازیکن است، زیرا برای ارزیابی اکثر شرایط بازی اساسی است. انتظار ریاضی همچنین یک ابزار بهینه برای تجزیه و تحلیل طرح های اصلی کارت و موقعیت های بازی است.

فرض کنید شما با یک دوست در یک سکه بازی می کنید، هر بار که سوار شرط بندی برای $ 1، صرف نظر از آنچه که سقوط خواهد کرد. عجله - شما برنده، عقاب - از دست رفته. شانس این که عجله به یک نفر برسد، و شما 1 دلار به 1 دلار میپردازید. بنابراین، انتظارات ریاضی صفر است، زیرا از نقطه نظر ریاضیات، شما نمیتوانید بدانید که پس از دو عکس یا بعد از 200 رفتار خواهید کرد یا بازی خواهید کرد.

پیروزی شما برنده صفر است. افزایش ساعت مقدار پولی است که انتظار دارید در یک ساعت برنده شوید. شما می توانید یک سکه 500 بار در عرض یک ساعت پرتاب کنید، اما شما برنده نخواهید شد و از دست ندهید، زیرا شانس شما مثبت نیست و منفی نیست. اگر به نظر می رسد، از نظر یک بازیکن جدی مانند یک سیستم شرط بندی. اما این به سادگی یک زمان تلفات است.

اما فرض کنید کسی می خواهد 2 دلار در برابر 1 دلار در همان بازی قرار دهد. سپس شما بلافاصله یک سازنده مثبت را در 50 سنت از هر شرط بندی می کنید. چرا 50 سنت؟ به طور متوسط، یکی از شرط بندی شما برنده شد، دوم از دست دادن. قرار دادن دلار اول - و از دست دادن 1 دلار، قرار دادن دوم - برنده 2 دلار. شما یک شرط 1 دلار را دو بار انجام دادید و برای 1 دلار پیش بروید. بنابراین، هر یک از شرط های یک دلاری شما به شما 50 سنت داد.

اگر در یک ساعت سکه 500 بار سقوط کند، برندهای تماشای شما 250 دلار خواهند بود، زیرا به طور متوسط، شما 250 بار یک دلار را از دست دادید و 250 بار به دست آورید. 500 دلار منهای 250 دلار 250 دلار است که کل پیروزی است. لطفا توجه داشته باشید که MatchMaker، که مبلغی است که شما به همان میزان برنده شده اید، برابر با 50 سنت است. شما 250 دلار به دست آوردید، شرط بندی دلار 500 بار، که برابر 50 سنت از شرط است.

انتظارات ریاضی هیچ ارتباطی با نتایج کوتاه مدت ندارد. حریف خود را که تصمیم به قرار دادن 2 دلار در برابر شما داشت، می تواند شما را در اولین ده پرتاب در یک ردیف ضرب و شتم، اما شما، داشتن مزیت شرط بندی 2 تا 1، با چیزهای دیگر برابر است، شما 50 سنت را از هر نرخ 1 دلار به دست آورید . هیچ تفاوتی وجود ندارد، شما برنده شوید یا یک شرط یا چند نرخ را از دست بدهید، اما فقط اگر پول نقد کافی داشته باشید، هزینه های بی سر و صدا را جبران کنید. اگر شما همچنان همان را قرار دهید، سپس یک دوره طولانی زمان برنده شدن شما به مبلغ پیروزی ها در پرتاب های جداگانه مطابقت دارد.

هر بار، شرط بندی شرط بندی با بهترین نتیجه (شرط بندی که می تواند در یک راه دور مفید باشد)، زمانی که شانس به نفع شما، شما قطعا به دست آوردن چیزی بر روی آن، و مهم نیست که آن را از دست ندهید یا نه در این مورد دست و برعکس، اگر شما شرط بندی را با بدترین نتیجه (شرط بندی که در یک راه دور سودآور است)، زمانی که شانس به نفع شما نیست، شما چیزی را بدون توجه به آنچه که در این دست برنده یا از دست داده اید، از دست می دهید.

اگر شما یک بازی مثبت دارید، با بهترین نتیجه شرط بندی کنید و اگر شانس در کنار شما باشد، مثبت است. ایجاد شرط با بدترین نتیجه، شما یک سازنده منفی است که اتفاق می افتد زمانی که شانس علیه شما اتفاق می افتد. بازیکنان جدی تنها با بهترین نتیجه، در بدترین حالت، شرط می بندند - آنها را می شکنند. شانس به نفع شما چیست؟ شما در نهایت می توانید بیش از شانس واقعی را به دست آورید. شانس واقعی آنچه که عجله 1 تا 1 می افتد، اما به دلیل نسبت نرخ ها، 2 تا 1 دارید. در این مورد، شانس به نفع شما. شما دقیقا بهترین نتیجه را با انتظارات مثبت از 50 سنت در هر شرط دریافت خواهید کرد.

اینجا بیشتر است مثال پیچیده انتظارات ریاضی دوستی می نویسد اعداد از یک تا پنج و شرط بندی 5 دلار در برابر 1 دلار به این واقعیت است که شما شماره مشخص شده را تعریف نمی کنید. آیا شما در مورد چنین شرط بندی موافق هستید؟ در اینجا بازیگر چیست؟

به طور متوسط، چهار بار شما اشتباه می کنید. بر اساس این، شانس علیه این واقعیت که شما حدس می زنید این رقم 4 تا 1. شانس این واقعیت است که با یک تلاش شما دلار را از دست می دهید. با این وجود، شما 5 تا 1 برنده خواهید شد، در صورت امکان از دست دادن 4 تا 1. بنابراین، شانس به نفع شما، شما می توانید شرط بندی و امید برای بهترین نتیجه. اگر پنج بار شرط بندی کنید، به طور متوسط \u200b\u200bچهار برابر 1 دلار را از دست خواهید داد و 5 دلار برنده خواهید شد. بر اساس این، برای هر پنج تلاش شما 1 دلار با یک انتظار ریاضی مثبت از 20 سنت در هر شرط کسب کنید.

یک بازیکن که قصد دارد بیش از آن را به دست آورد، همانطور که در مثال بالا، شانس را جلب می کند. و برعکس، او شانس را خراب می کند زمانی که او فرض می کند که کمتر از قرار می گیرد. یک بازیکن شرط ممکن است یک مسابقه مثبت یا منفی داشته باشد که بستگی به این دارد که آیا شانس را خراب می کند یا خراب می کند.

اگر 50 دلار برای به دست آوردن 10 دلار در احتمال برنده شدن 4 تا 1 دلار بپردازید، پس از آن شما یک مسابقه منفی 2 دلار دریافت خواهید کرد، زیرا به طور متوسط، شما چهار بار در 10 دلار برنده خواهید شد و یک بار 50 دلار بازی خواهید کرد، که نشان می دهد که از دست دادن در یک شرط 10 دلار خواهد بود. اما اگر شما 30 دلار برای به دست آوردن 10 دلار بپردازید، با همان شانس برنده شدن 4 تا 1، پس از آن در این مورد شما صبر مثبت 2 دلار دارید، زیرا شما دوباره چهار بار در 10 دلار برنده خواهید شد و یک بار 30 دلار بازی می کنید که سود 10 دلار خواهد داشت. این نمونه ها نشان می دهد که شرط اول بد است، و دوم خوب است.

انتظارات ریاضی مرکز هر کدام است وضعیت بازی. هنگامی که یک کتابکر طرفداران فوتبال را تشویق می کند تا 11 دلار برای برنده شدن 10 دلار افزایش یابد، این یک بازیگر مثبت از هر 10 دلار در مقدار 50 سنت دارد. اگر کازینو پول مساوی را از خط عبور در یک اتصال دهنده پرداخت کند، انتظار مثبت کازینو تقریبا 1.40 دلار هر 100 دلار خواهد بود، زیرا این بازی ساخته شده است به طوری که هر کس که در این خط قرار داده است به طور متوسط \u200b\u200b50.7٪ از دست می دهد و برنده 49.3٪ از کل زمان. بدون تردید، این نوع از همسایگان مثبت مثبت است و سود عظیم را به صاحبان کازینو در سراسر جهان به ارمغان می آورد. به عنوان صاحب مالکیت کازینو جهان وگاس، باب استاپک، "یک هزارم درصد احتمال منفی در یک فاصله کافی به اندازه کافی پراکنده خواهد شد ثروتمند در جهان".

انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر

بازی پوکر نشان دهنده ی مثبت و بصری از نقطه نظر استفاده از تئوری و خواص انتظارات ریاضی است.

انتظارات ریاضی (ارزش پیش بینی شده انگلیسی) در پوکر، سود متوسط \u200b\u200bاز یک یا چند راه حل است، به شرطی که چنین تصمیمی را می توان در چارچوب نظریه اعداد بزرگ و دور طولانی در نظر گرفت. یک بازی موفق پوکر این است که همیشه تنها با انتظارات ریاضی مثبت حرکت کند.

معنای ریاضی انتظارات ریاضی هنگام بازی پوکر این است که ما اغلب با مقادیر تصادفی در هنگام تصمیم گیری مواجه می شویم (ما نمی دانیم کدام کارت ها را در دست حریف می دانیم، که کارت ها در محافل تجاری بعدی قرار می گیرند). ما باید هر یک از راه حل ها را از دیدگاه تئوری تعداد زیادی در نظر بگیریم، که بیان می کند که با یک نمونه به اندازه کافی بزرگ، مقدار متوسط \u200b\u200bیک متغیر تصادفی برای انتظارات ریاضی خود تلاش خواهد کرد.

در میان فرمول های خصوصی برای محاسبه انتظارات ریاضی، بیشترین کاربرد در پوکر موارد زیر است:

هنگام پخش پوکر انتظارات ریاضی پوکر، شما می توانید برای هر دو برای شرط بندی و Collov حساب کنید. در اولین مورد، باید برابر Equiti باید در نظر گرفته شود، در دوم - شانس خود بانک از بانک. هنگام ارزیابی انتظارات ریاضی به نوبه خود، باید به یاد داشته باشید که همیشه هماهنگی صفر دارد. بنابراین، تخلیه نقشه ها همیشه یک راه حل سودآور تر از هر حرکت منفی خواهد بود.

در انتظار شما در مورد آنچه شما می توانید انتظار (سود یا زیان) را برای هر دلار در معرض خطر خود قرار دهید. کازینو به دلیل انتظارات ریاضی از تمام بازی هایی که در آنها تمرین می شود، به نفع کازینو کسب می شود. با یک سری به اندازه کافی طولانی از بازی، می توانید مشتری را از دست بدهد زیرا "احتمال" به نفع کازینو است. با این حال، بازیکنان حرفه ای در کازینو بازی های خود را با فواصل کوتاه محدود می کنند، در نتیجه احتمال افزایش آنها را افزایش می دهد. همین امر مربوط به سرمایه گذاری است. اگر منتظر شما مثبت باشد، می توانید پول بیشتری کسب کنید با ساخت بسیاری از معاملات در یک دوره کوتاه مدت. انتظار این است که درصد سود شما در برنده شدن، ضرب شده توسط سود متوسط، منهای احتمال شما یک ضرر است که از دست دادن به طور متوسط \u200b\u200bضرب می شود.

پوکر همچنین می تواند از دیدگاه انتظارات ریاضی در نظر گرفته شود. شما ممکن است فرض کنید که یک دوره خاص مفید است، اما در بعضی موارد ممکن است از بهترین ها دور باشد، زیرا حرکت دیگری سودآور است. فرض کنید شما یک خانه کامل را در یک پوکر پنج مکرر با مبادله جمع آوری کرده اید. شرط های رقیب شما شما می دانید که اگر شرط را مطرح کنید، او پاسخ خواهد داد. بنابراین، افزایش به نظر می رسد تاکتیک های بهتر است. اما اگر هنوز پیشنهاد می کنید، دو بازیکن باقی مانده قطعا کارت را قطع می کنند. اما اگر شما پیشنهاد می کنید، شما کاملا مطمئن خواهید شد که دو بازیکن دیگر پس از شما وارد خواهند شد. هنگام افزایش نرخ، شما یک واحد دریافت می کنید و به سادگی برابر شدن - دو. بنابراین، برابر شدن به شما یک پیش بینی ریاضی مثبت بالاتر می دهد و بهترین تاکتیک ها خواهد بود.

انتظارات ریاضی همچنین می تواند مفهومی را که در تاکتیک های پوکر کمتر سودآور است، ارائه دهد و چه چیزی بیشتر است. به عنوان مثال، بازی کردن در یک دست خاص، شما معتقدید که تلفات شما به طور متوسط \u200b\u200b75 سنت را تشکیل می دهد، از جمله Ante، پس از آن چنین دستی باید بازی کند، زیرا بهتر از تنظیم مجدد زمانی است که Ante 1 دلار است.

یکی دیگر از دلایل مهم برای درک ماهیت انتظارات ریاضی این است که آن را به شما احساس آرامش، صرف نظر از اینکه آیا شما برنده پیشنهاد یا نه: اگر شما شرط بندی خوب را ساخته اید یا شما را ذخیره کرده اید، می دانید که به دست آورده اید یا مقدار مشخصی از پولی را که بازیکن شما ضعیف تر بود نجات داد. اگر شما ناراحت باشید که حریف در مبادله یک ترکیب قوی تر را جمع آوری کرده است، کارت ها بسیار دشوار است. با این همه، پولی که شما نجات یافتید، بدون بازی، به جای قرار دادن، اضافه کردن به پیروزی خود در هر شب یا برای ماه.

فقط به یاد داشته باشید که اگر دستان خود را تغییر دهید، حریف شما به شما پاسخ می دهد، و همانطور که در مقاله "قضیه پوکر بنیادی" خواهید دید تنها یکی از مزایای شماست. شما باید زمانی که اتفاق می افتد شاد باشید. شما حتی می توانید یاد بگیرید که از توزیع از دست رفته لذت ببرید، زیرا شما می دانید که بازیکنان دیگر خیلی بیشتر از دست می دهند.

همانطور که در مثال با یک بازی سکه در ابتدا ذکر شده، عامل سود ساعتی با انتظارات ریاضی ارتباط دارد و این مفهوم به ویژه برای بازیکنان حرفه ای مهم است. هنگامی که شما قصد دارید به بازی پوکر بروید، باید ذهنی برآورد کنید که چقدر می توانید در ساعت بازی برنده شوید. در اغلب موارد، شما باید بر اساس شهود و تجربه خود باشید، اما شما همچنین می توانید از برخی محاسبات ریاضی استفاده کنید. به عنوان مثال، شما یک لوبول را با تبادل بازی می کنید و تماشا کنید که سه شرکت کننده نرخ 10 دلار را افزایش می دهند و سپس دو کارت را تغییر می دهند، که تاکتیک های بسیار بد است، شما می توانید برای خودتان حساب کنید که هر بار که 10 دلار می کنند، آنها را از دست می دهند حدود 2 دلار هر یک از آنها آن را هشت بار در ساعت می سازد، به این معنی که همه سه ساعت در حدود 48 دلار از دست می دهند. شما یکی از چهار بازیکن باقی مانده است که تقریبا برابر هستند، بر این اساس، این چهار بازیکن (و شما در میان آنها) باید 48 دلار را تقسیم کنید و هر سود 12 دلار در ساعت خواهد بود. ضریب ساعت شما در این مورد به سادگی برابر با سهم شما از میزان پول بازی شده در سه بازیکن بد در ساعت است.

برای یک دوره زمانی بزرگ، کل بازیکن برنده، میزان انتظارات ریاضی آن در توزیع جداگانه است. هرچه بیشتر با انتظارات مثبت بازی کنید، پیروزی بیشتر، و بالعکس، توزیع بیشتر با انتظارات منفی شما بازی خواهید کرد، هرچه بیشتر از دست بدهید. به عنوان یک نتیجه، بازی باید ترجیح داده شود، که قادر به حداکثر رساندن صبر مثبت شما خواهد بود یا منفی نخواهد بود، به طوری که شما می توانید عقل خود را به حداکثر افزایش دهید.

انتظارات ریاضی مثبت در استراتژی بازی

اگر می دانید که چگونه کارت ها را شمارش کنید، ممکن است مزیتی بیش از کازینو داشته باشید، اگر آنها آن را متوجه نشوید و شما را بیرون نکنید. کازینو Adore بازیکنان مست و کارت ها را تحمل نمی کند. مزیت به شما اجازه می دهد تا در طول زمان به نفع بیش از یک بار از دست دادن. مدیریت خوب سرمایه هنگام استفاده از محاسبات انتظارات ریاضی می تواند به سود بیشتر از مزیت شما کمک کند و زیان را کاهش دهد. بدون مزیتی که بهتر است برای خیریه پول بدهید. در بازی در بورس اوراق بهادار، مزیت به یک سیستم بازی می دهد که سود بزرگ را از دست دادن، تفاوت قیمت و کمیسیون ایجاد می کند. مدیریت سرمایه سیستم بازی بد را ذخیره نخواهد کرد.

انتظار مثبت با ارزش بیش از صفر تعیین می شود. این عدد بزرگتر است، صبر کنید. اگر مقدار کمتر از صفر باشد، انتظارات ریاضی نیز منفی خواهد بود. بزرگتر ماژول منفی، وضعیت بدتر است. اگر نتیجه صفر باشد، انتظار می رود که پیش بینی شود. شما می توانید تنها زمانی که شما یک انتظار مثبت ریاضی، یک سیستم بازی معقول است، برنده شوید. بازی شهود منجر به فاجعه می شود.

انتظار ریاضی و تجارت مبادله

انتظارات ریاضی یک شاخص آماری نسبتا محبوب و محبوب در اجرای تجارت مبادله در بازارهای مالی است. اول از همه، این پارامتر برای تجزیه و تحلیل موفقیت تجارت استفاده می شود. دشوار است حدس بزنید که این مقدار بیشتر، دلیل بیشتری برای در نظر گرفتن تجارت موفق تجاری. البته، تجزیه و تحلیل کار معامله گر تنها با استفاده از این پارامتر ساخته می شود. با این حال، مقدار محاسبه شده در مجموع با روش های دیگر برای ارزیابی کیفیت کار می تواند دقت تجزیه و تحلیل را افزایش دهد.

انتظارات ریاضی اغلب در خدمات نظارت بر حساب ها محاسبه می شود، که به شما اجازه می دهد تا به سرعت کار انجام شده بر روی سپرده را ارزیابی کنید. به عنوان استثنا، ممکن است استراتژی هایی را که "تقویت" معاملات غیر سودآور مورد استفاده قرار می گیرد، به ارمغان بیاورد. معامله گر می تواند برای مدتی یک شانس را همراهی کند، و بنابراین در کار او ممکن است به طور کلی از دست دادن نباشد. در این مورد، تنها در گردان حرکت نخواهد کرد، زیرا خطرات مورد استفاده در کار مورد توجه قرار نخواهد گرفت.

در تجارت بازار، انتظار می رود که انتظارات ریاضی اغلب در پیش بینی سودآوری هر استراتژی تجاری یا پیش بینی درآمد معامله گر بر اساس داده های آماری مربوط به تجارت قبلی آن مورد استفاده قرار گیرد.

با توجه به مدیریت سرمایه بسیار مهم است که درک کنیم که هنگام ساخت معاملات با انتظارات منفی هیچ طرح مدیریت پولی وجود ندارد که قطعا سود بالایی را به ارمغان بیاورد. اگر شما همچنان در بورس اوراق بهادار در این شرایط بازی کنید، صرف نظر از روش مدیریت پول، کل حساب خود را از دست خواهید داد، مهم نیست که چقدر بزرگ است.

این اصل درست نیست نه تنها برای بازی یا معاملات با انتظار منفی، بلکه برای بازی با شانس برابر نیز درست است. بنابراین، تنها مورد زمانی که شما فرصتی برای استفاده در بلند مدت دارید، نتیجه گیری معاملات با انتظارات ریاضی مثبت است.

تفاوت بین انتظارات منفی و انتظارات مثبت تفاوت بین زندگی و مرگ است. مهم نیست که چقدر مثبت یا تا حدودی انتظار منفی است؛ فقط مهم است که مثبت یا منفی باشد. بنابراین، قبل از بررسی مسائل مربوط به مدیریت سرمایه، باید بازی را با انتظارات مثبت پیدا کنید.

اگر چنین بازی ای ندارید، هیچ مدیریت پولی در جهان شما را نجات نخواهد داد. از سوی دیگر، اگر شما صبر مثبت داشته باشید، می توانید از طریق مدیریت پول مناسب، آن را به عملکرد رشد نمایشی تبدیل کنید. مهم نیست چقدر کمی انتظار مثبت است! به عبارت دیگر، مهم نیست که سیستم معاملاتی سودآور بر اساس یک قرارداد واحد است. اگر شما یک سیستم داشته باشید که 10 دلار به یک قرارداد در یک معامله (پس از کسر کمیسیون و لغزش) برنده شوید، می توانید از روش های مدیریت سرمایه به گونه ای استفاده کنید تا بتوانید آن را سودآور تر از سیستم داشته باشید که سود متوسط \u200b\u200bرا نشان می دهد 1000 دلار برای معامله (پس از کسر برای کمیسیون و لغزش).

مهم نیست که چگونه سیستم سودآور بود، و قطعا می توان گفت که این سیستم حداقل حداقل سود را در آینده نشان می دهد. بنابراین، مهمترین آماده سازی که یک معامله گر می تواند انجام دهد این است که مطمئن شوید که سیستم یک انتظار مثبت ریاضی را در آینده نشان می دهد.

به منظور دستیابی به انتظارات ریاضی مثبت در آینده، بسیار مهم نیست که درجه آزادی سیستم شما را محدود کند. این نه تنها با لغو یا کاهش تعداد پارامترهای بهینه سازی، بلکه همچنین با کاهش سیستم تا حد امکان به دست می آید. هر پارامتر شما اضافه می کنید، هر قانون که شما انجام می دهید، هر کوچکترین تغییراتی که در سیستم انجام می دهید، تعداد درجه آزادی را کاهش می دهد. در حالت ایده آل، شما باید یک سیستم نسبتا ابتدایی و ساده را بسازید که تقریبا تقریبا هر بازار سود کوچک خواهد کرد. و دوباره مهم است که شما درک کنید، مهم نیست که چگونه سیستم سودآور است تا زمانی که سودآور باشد. پولی که شما در تجارت کسب درآمد کسب خواهد شد توسط مدیریت موثر پول

سیستم معاملاتی فقط یک ابزار است که به شما یک پیش بینی ریاضی مثبت می دهد تا بتوانید از مدیریت پول استفاده کنید. سیستم هایی که کار می کنند (حداقل حداقل سود را نشان می دهند) فقط در یک یا چند بازار یا قوانین و یا پارامترهای مختلف برای بازارهای مختلف، به احتمال زیاد در زمان واقعی به اندازه کافی کار نمی کنند. مشکل بیشتر معامله گران فنی گرا این است که آنها زمان و تلاش های زیادی را صرف بهینه سازی قوانین و ارزش های مختلف پارامترهای سیستم تجاری می کنند. این نتایج کاملا متفاوتی را می دهد. به جای هزینه های قدرت و زمان کامپیوتر برای افزایش سود سیستم تجاری، انرژی را برای افزایش سطح قابلیت اطمینان سود حداقل ارسال کنید.

دانستن اینکه مدیریت سرمایه فقط یک بازی عددی است که نیاز به استفاده از انتظارات مثبت دارد، معامله گر ممکن است جستجو را برای "Grail مقدس" از تجارت مبادله متوقف کند. در عوض، او می تواند بررسی روش تجاری خود را انجام دهد، متوجه شوید که چگونه منطقی این روش را توجیه می کند، آیا او انتظارات گرده را می دهد. روش های صحیح مدیریت سرمایه، که در رابطه با هر گونه روش تجاری، حتی بسیار متوسطه، آنها را به تمام بقیه اعمال می کند.

به هر معامله گر برای موفقیت در کار خود، لازم است که سه وظیفه مهم را حل کنید :. اطمینان حاصل کنید که تعداد معاملات موفق بیش از اشتباهات اجتناب ناپذیر و محاسبات غلط است؛ سیستم معاملاتی خود را سفارشی کنید تا امکان کسب درآمد به همان اندازه که ممکن است؛ دستیابی به ثبات نتیجه مثبت عملیات آنها.

و در اینجا ما، معامله گران کار می کنیم، کمک خوبی می تواند انتظارات ریاضی داشته باشد. این اصطلاح در نظریه احتمال یکی از کلید هاست. با آن، ممکن است ارزیابی میانگین را به برخی از معانی تصادفی ارائه دهیم. انتظار ریاضی واریانس تصادفی شبیه به مرکز گرانش است، اگر شما تصور کنید تمام احتمالات احتمالی با نقاط با توده های مختلف.

با توجه به استراتژی تجاری، انتظارات ریاضی سود (یا از دست دادن) اغلب برای ارزیابی اثربخشی آن استفاده می شود. این پارامتر به عنوان مقدار آثار سطوح مشخص شده سود و زیان و احتمال ظهور آنها تعیین می شود. به عنوان مثال، استراتژی تجارت توسعه یافته فرض می کند که 37٪ از تمام عملیات باعث سود می شود و بخش باقی مانده 63٪ است - سودآور خواهد بود. در عین حال، میانگین درآمد حاصل از معامله موفقیت آمیز 7 دلار خواهد بود و میانگین از دست دادن 1.4 دلار خواهد بود. بیایید محاسبه انتظارات ریاضی تجارت در چنین سیستم را محاسبه کنیم:

این معنی چیست؟ این نشان می دهد که پس از قوانین این سیستم، به طور متوسط \u200b\u200b1.708 دلار از هر معامله بسته دریافت خواهید کرد. از آنجا که برآورد ارزیابی حاصل از آن بیشتر از صفر است، چنین سیستم را می توان برای کار واقعی استفاده کرد. اگر، به عنوان یک نتیجه از محاسبه، انتظارات ریاضی منفی خواهد بود، در حال حاضر در مورد یک آسیب متوسط \u200b\u200bصحبت می کند و چنین تجارت منجر به ویرانی خواهد شد.

مقدار سود در هر یک از معامله نیز می تواند بیان شود و مقدار نسبی به شکل٪. مثلا:

- درصد درآمد 1 معامله - 5٪؛

- درصد عملیات تجاری موفق - 62٪؛

- درصد از دست دادن در هر تراکنش - 3٪؛

- درصد معاملات ناموفق - 38٪؛

به عبارت دیگر، میانگین معامله 1.96٪ خواهد شد.

شما می توانید یک سیستم ایجاد کنید که علیرغم شیوع معاملات سودآور، نتیجه مثبتی را به دست خواهد آورد، از زمان MO\u003e 0.

با این حال، یک انتظار کوچک است. اگر سیستم سیگنال های تجاری بسیار کمی را به دست آورد، کسب درآمد دشوار است. در این مورد، عملکرد آن با درصد بانک قابل مقایسه خواهد بود. اجازه دهید هر عملیات به طور متوسط \u200b\u200bتنها 0.5 دلار باشد، اما اگر سیستم 1000 عملیات در سال را در نظر بگیرد، چه؟ این مقدار بسیار جدی برای زمان نسبتا کوچک خواهد بود. از این به طور منطقی به دنبال آن است که یکی دیگر ویژگی متمایز یک سیستم معاملاتی خوب می تواند یک جمله کوتاه از موقعیت ها باشد.