اعداد مختلط همه مقادیر را پیدا می کنند. اعداد مختلط

آژانس آموزش فدرال

مؤسسه آموزشی دولتی

آموزش عالی حرفه ای

"دانشگاه دولتی آموزش و پرورش ورونژ"

دپارتمان AGLEBRA و هندسه

اعداد مختلط

(کارهای انتخاب شده)

کار صلاحیت فارغ التحصیل

در تخصص 050201.65 ریاضی

(با تخصص اضافی انفورماتیک 050202.65)

تکمیل شده: دانشجوی سال پنجم

فیزیکی و ریاضی

دانشکده

سرپرست:

VORONEZH - 2008

1. معرفی……………………………………………………...…………..…

2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)

2.1. اعداد مختلط به صورت جبری………………………….

2.2. تفسیر هندسی اعداد مختلط …………………

2.3. شکل مثلثاتی اعداد مختلط

2.4. کاربرد نظریه اعداد مختلط در حل معادلات درجه 3 و 4 …………………………………………………………………………

2.5. اعداد مختلط و پارامترها……………………………………………

3. نتیجه گیری………………………………………………………………

4. مراجع ………………………………………………………………………………

1. معرفی

در برنامه درسی ریاضیات دوره مدرسه، نظریه اعداد با استفاده از مثال هایی از مجموعه اعداد طبیعی، اعداد صحیح، گویا، غیر منطقی، یعنی. روی مجموعه اعداد حقیقی که تصاویر آن کل محور اعداد را پر می کند. اما در حال حاضر در کلاس 8، موجودی اعداد واقعی کافی نیست، معادلات درجه دوم را با تفکیک منفی حل می کنیم. بنابراین، لازم بود که موجودی اعداد حقیقی را با اعداد مختلط که جذر یک عدد منفی برای آنها منطقی است، پر کنیم.

انتخاب موضوع "اعداد مختلط" به عنوان موضوع آخرین کار مقدماتی من، این است که مفهوم عدد مختلط دانش دانش آموزان را در مورد سیستم های اعداد، در مورد حل یک کلاس گسترده از مسائل، اعم از محتوای جبری و هندسی، گسترش می دهد. حل معادلات جبری با هر درجه و در مورد حل مسائل با پارامترها.

در این پایان نامه حل 82 مسئله در نظر گرفته شده است.

بخش اول بخش اصلی "اعداد مختلط" راه حل هایی برای مسائل مربوط به اعداد مختلط به شکل جبری ارائه می دهد، عملیات جمع، تفریق، ضرب، تقسیم، صرف اعداد مختلط را به شکل جبری، توان واحد خیالی، تعریف می کند. مدول یک عدد مختلط، و همچنین قانون استخراج ریشه دوم یک عدد مختلط را تعیین می کند.

در بخش دوم، مسائلی برای تفسیر هندسی اعداد مختلط به صورت نقاط یا بردارهای یک صفحه مختلط حل شده است.

بخش سوم به اعمال بر روی اعداد مختلط به صورت مثلثاتی می پردازد. از فرمول ها استفاده می شود: Moivre و استخراج ریشه از یک عدد مختلط.

بخش چهارم به حل معادلات درجه 3 و 4 اختصاص دارد.

هنگام حل مسائل قسمت آخر "اعداد مختلط و پارامترها" از اطلاعات داده شده در قسمت های قبل استفاده و تجمیع می شود. یک سری مسائل در این فصل به تعیین خانواده خطوط در صفحه مختلط اختصاص داده شده است که توسط معادلات (نابرابری) با یک پارامتر ارائه شده است. در بخشی از تمرین ها باید معادلات را با پارامتر (در قسمت C) حل کنید. وظایفی وجود دارد که در آن یک متغیر پیچیده به طور همزمان تعدادی از شرایط را برآورده می کند. یکی از ویژگی های حل مسائل این بخش، تقلیل بسیاری از آنها به حل معادلات (نامعادلات، سیستم ها) درجه دو، غیر منطقی، مثلثاتی با یک پارامتر است.

از ویژگی های ارائه مطالب هر بخش، معرفی اولیه مبانی نظری و متعاقباً کاربرد عملی آنها در حل مسائل است.

در پایان پایان نامه، فهرستی از ادبیات مورد استفاده ارائه شده است. در اغلب آنها مطالب نظری با جزئیات کافی ارائه شده و به صورت در دسترس، راه حل برخی از مسائل در نظر گرفته شده و برای حل مستقل وظایف عملی ارائه شده است. مایلم به منابعی مانند:

1. Gordienko N.A., Belyaeva E.S., Firstov V.E., Serebryakova I.V. اعداد مختلط و کاربردهای آنها: راهنمای مطالعه ... مطالب این آموزش به صورت سخنرانی و دروس عملی ارائه شده است.

2. Shklyarsky DO، Chentsov NN، Yaglom IM منتخب مسائل و قضایای ریاضیات ابتدایی. حساب و جبر. این کتاب شامل 320 مسئله مربوط به جبر، حساب و نظریه اعداد است. با توجه به ماهیت آنها، این وظایف به طور قابل توجهی با وظایف استاندارد مدرسه متفاوت است.

2. اعداد مختلط (مسائل انتخاب شده)

2.1. اعداد مختلط به شکل جبری

حل بسیاری از مسائل در ریاضیات و فیزیک به حل معادلات جبری خلاصه می شود. معادلات فرم

,

که در آن a0، a1،…، an اعداد واقعی هستند. از این رو مطالعه معادلات جبری یکی از موضوعات مهم در ریاضیات است. به عنوان مثال، یک معادله درجه دوم با ممیز منفی، ریشه واقعی ندارد. ساده ترین چنین معادله ای معادله است

.

برای اینکه این معادله راه حلی داشته باشد، باید مجموعه اعداد حقیقی را با افزودن ریشه معادله به آن گسترش داد.

.

این ریشه را با نشان می دهیم

... بنابراین، بنا به تعریف، یا،

از این رو،

... واحد خیالی نامیده می شود. با کمک آن و با کمک یک جفت اعداد واقعی، یک عبارت از فرم کامپایل می شود.

عبارت به دست آمده را اعداد مختلط می نامیدند، زیرا آنها شامل هر دو بخش واقعی و خیالی بودند.

بنابراین، اعداد مختلط عبارتی از فرم هستند

، و اعداد واقعی هستند و نمادی است که شرط را برآورده می کند. عدد را جزء حقیقی یک عدد مختلط و عدد را قسمت خیالی آن می نامند. برای نشان دادن آنها از نمادها استفاده می شود.

اعداد مختلط فرم

اعداد واقعی هستند و بنابراین، مجموعه اعداد مختلط شامل مجموعه ای از اعداد واقعی است.

اعداد مختلط فرم

صرفاً خیالی نامیده می شوند. دو عدد مختلط از شکل و در صورتی مساوی خوانده می شوند که اجزای واقعی و خیالی آنها مساوی باشند، یعنی. اگر برابری ها برقرار باشد،

نماد جبری اعداد مختلط به شما این امکان را می دهد که بر اساس قوانین معمول جبر عملیات روی آنها انجام دهید.

مجموع دو عدد مختلط

و عدد مختلط فرم نامیده می شود.

حاصل ضرب دو عدد مختلط

§ 1. اعداد مختلط: تعاریف، تفسیر هندسی، اعمال در اشکال جبری، مثلثاتی و نمایی.

تعریف عدد مختلط

برابری های پیچیده

نمایش هندسی اعداد مختلط

مدول اعداد مختلط و آرگومان

اشکال جبری و مثلثاتی یک عدد مختلط

شکل نمایی یک عدد مختلط

فرمول های اویلر

§ 2. کل توابع (چند جمله ای ها) و ویژگی های اساسی آنها. حل معادلات جبری روی مجموعه اعداد مختلط

تعریف معادله جبری درجه هفتم

ویژگی های اساسی چند جمله ای ها

نمونه هایی از حل معادلات جبری روی مجموعه اعداد مختلط

سوالات خودآزمایی

واژه نامه

§ 1. اعداد مختلط: تعاریف، تفسیر هندسی، اعمال در اشکال جبری، مثلثاتی و نمایی.

تعریف عدد مختلط ( تعریف اعداد مختلط را فرموله کنید)

عدد مختلط z عبارتی از شکل زیر است:

عدد مختلط به صورت جبری، (1)

جایی که x، y Î;

- عدد مزدوج مختلط شماره z ;

- عدد مقابل شماره z ;

- صفر مختلط ;

- به این ترتیب مجموعه اعداد مختلط نشان داده می شود.

1)z = 1 + منÞ Re z= 1، من z = 1, = 1 – من، = –1 – من ;

2)z = –1 + منÞ Re z= -1، Im z = , = –1 – من، = –1 –من ;

3)z = 5 + 0من= 5 Þ Re z= 5، من z = 0, = 5 – 0من = 5, = –5 – 0من = –5

Þ اگر من z= 0، سپس z = ایکس- عدد واقعی؛

4)z = 0 + 3من = 3منÞ Re z= 0، Im z = 3, = 0 – 3من = –3من , = –0 – 3من = – 3من

Þ اگر Re z= 0، سپس z = iy - عدد خیالی خالص.

برابری های پیچیده (معنای برابری پیچیده را فرموله کنید)

1) ;

2) .

یک برابری پیچیده معادل یک سیستم دو برابری واقعی است. این برابری های واقعی از برابری پیچیده با تقسیم دو قسمت واقعی و خیالی به دست می آیند.

1) ;

2) .

نمایش هندسی اعداد مختلط ( نمایش هندسی اعداد مختلط چیست؟)

عدد مختلط zبا یک نقطه نشان داده می شود ( ایکس , y) در صفحه مختلط یا بردار شعاع این نقطه.

امضا کردن zدر ربع دوم به این معنی است که سیستم مختصات دکارتی به عنوان صفحه مختلط استفاده خواهد شد.

مدول و آرگومان یک عدد مختلط ( مدول و آرگومان یک عدد مختلط چیست؟)

مدول یک عدد مختلط یک عدد واقعی غیر منفی است

.(2)

از نظر هندسی، مدول یک عدد مختلط طول بردار نشان دهنده عدد است zیا شعاع قطبی نقطه ( ایکس , y).

اعداد زیر را روی صفحه مختلط رسم کرده و به صورت مثلثاتی بنویسید.

1)z = 1 + من Þ

,

Þ

Þ ;

,

Þ

Þ ;

,

5),

یعنی برای z = 0 وجود خواهد داشت

, jتعریف نشده

عملیات حسابی روی اعداد مختلط (تعاریف ارائه دهید و خصوصیات اصلی عملیات حسابی روی اعداد مختلط را فهرست کنید.)

جمع (تفریق) اعداد مختلط

z 1 ± z 2 = (ایکس 1 + iy 1) ± ( ایکس 2 + iy 2) = (ایکس 1 ± ایکس 2) + من (y 1 ± y 2),(5)

یعنی هنگام جمع (تفریق) اعداد مختلط، قسمت های واقعی و خیالی آنها جمع (تفریق) می شود.

1)(1 + من) + (2 – 3من) = 1 + من + 2 –3من = 3 – 2من ;

2)(1 + 2من) – (2 – 5من) = 1 + 2من – 2 + 5من = –1 + 7من .

خواص اساسی افزودن

1)z 1 + z 2 = z 2 + z 1;

2)z 1 + z 2 + z 3 = (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3);

3)z 1 – z 2 = z 1 + (– z 2);

4)z + (–z) = 0;

ضرب اعداد مختلط به صورت جبری

z 1∙z 2 = (ایکس 1 + iy 1)∙(ایکس 2 + iy 2) = ایکس 1ایکس 2 + ایکس 1iy 2 + iy 1ایکس 2 + من 2y 1y 2 = (6)

= (ایکس 1ایکس 2 – y 1y 2) + من (ایکس 1y 2 + y 1ایکس 2),

یعنی ضرب اعداد مختلط به صورت جبری بر اساس قاعده ضرب جبری یک دوجمله ای در یک دوجمله ای و به دنبال آن جایگزینی و کاهش اعداد مشابه به صورت واقعی و خیالی انجام می شود.

1)(1 + من)∙(2 – 3من) = 2 – 3من + 2من – 3من 2 = 2 – 3من + 2من + 3 = 5 – من ;

2)(1 + 4من)∙(1 – 4من) = 1 – 42 من 2 = 1 + 16 = 17;

3)(2 + من)2 = 22 + 4من + من 2 = 3 + 4من .

ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی

z 1∙z 2 = r 1 (cos j 1 + منگناه j 1) × r 2 (cos j 2 + منگناه j 2) =

= r 1r 2 (cos j 1cos j 2 + من cos j 1 گناه j 2 + منگناه j 1cos j 2 + من 2 گناه j 1 گناه j 2) =

= r 1r 2 ((cos j 1cos j 2 - گناه j 1 گناه j 2) + من(cos j 1 گناه j 2 + گناه j 1cos j 2))

حاصل ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، یعنی هنگام ضرب اعداد مختلط به صورت مثلثاتی، ماژول های آنها ضرب شده و آرگومان ها اضافه می شوند.

خواص اساسی ضرب

1)z 1× z 2 = z 2× z 1 - قابل تعویض

2)z 1× z 2× z 3 = (z 1× z 2) × z 3 = z 1×( z 2× z 3) - انجمن.

3)z 1×( z 2 + z 3) = z 1× z 2 + z 1× z 3 - توزیع نسبت به اضافه.

4)z× 0 = 0; z× 1 = z ;

تقسیم اعداد مختلط

تقسیم معکوس ضرب است، بنابراین

اگر z × z 2 = z 1 و z 2 ¹ 0، سپس.

هنگامی که تقسیم به صورت جبری انجام می شود، صورت و مخرج کسر در مزدوج مخرج ضرب می شود:

تقسیم اعداد مختلط به صورت جبری.(7)

هنگام انجام تقسیم به صورت مثلثاتی، ماژول ها تقسیم می شوند و آرگومان ها کم می شوند:

تقسیم اعداد مختلط به صورت مثلثاتی.(8)

2)
.

افزایش یک عدد مختلط به توان طبیعی

انجام توان طبیعی به شکل مثلثاتی راحت تر است:

فرمول مویور، (9)

یعنی وقتی یک عدد مختلط به توان طبیعی افزایش می یابد، مدول آن به این توان افزایش می یابد و آرگومان در توان ضرب می شود.

محاسبه (1 + من)10.

ملاحظات

1. هنگام انجام عملیات ضرب و افزایش به توان طبیعی به صورت مثلثاتی، می توان زوایایی را خارج از محدوده یک دور کامل به دست آورد. اما همیشه می توان آنها را به زوایا کاهش داد یا با رها کردن یک عدد صحیح از دورهای کامل مطابق با خصوصیات تناوب توابع و.

2. ارزش مقدار اصلی آرگومان یک عدد مختلط نامیده می شود.

مقادیر تمام زوایای ممکن به معنی؛

بدیهی است که، .

استخراج ریشه طبیعی یک عدد مختلط

فرمول های اویلر (16)

که توسط آن توابع مثلثاتی و یک متغیر واقعی از طریق یک تابع نمایی (نمایی) با یک توان کاملاً خیالی بیان می شوند.

§ 2. کل توابع (چند جمله ای ها) و ویژگی های اساسی آنها. حل معادلات جبری روی مجموعه اعداد مختلط

دو چند جمله ای هم درجه nبه طور یکسان با یکدیگر برابر هستند اگر و تنها در صورتی که ضرایب آنها در توان های یکسان متغیر منطبق باشد. ایکس، به این معنا که

اثبات

w هویت (3) برای "xÎ (یا" xÎ) معتبر است.

Þ برای جایگزینی، دریافت می کنیم یک = bn .

ما متقابلاً در (3) شرایط را نابود می کنیم یکو bnو هر دو قسمت را به دو قسمت تقسیم کنید ایکس :

این هویت همچنین برای " ایکس، از جمله در ایکس = 0

Þ با فرض ایکس= 0، دریافت می کنیم یک – 1 = bn – 1.

ما متقابلاً در (3 ") اصطلاحات را نابود می کنیم یک- 1 و آ n- 1 و هر دو قسمت را تقسیم بر ایکس، در نتیجه بدست می آوریم

با ادامه استدلال به روشی مشابه، متوجه می شویم که یک – 2 = bn –2, …, آ 0 = ب 0.

بنابراین، ثابت شده است که هویت چندجمله ای های 2-x بر همخوانی ضرایب آنها در درجات یکسان دلالت دارد. ایکس .

گزاره برعکس درست و بدیهی است، یعنی. اگر دو چند جمله ای همه ضرایب یکسانی داشته باشند، آنها توابع یکسان هستند، بنابراین، مقادیر آنها برای همه مقادیر آرگومان منطبق است، که به معنای برابری یکسان آنها است. خاصیت 1 کاملا ثابت شده است. v

هنگام تقسیم یک چند جمله ای Pn (ایکس) با تفاوت ( ایکس – NS 0)، باقیمانده برابر است با Pn (ایکس 0) یعنی

قضیه بزوت، (4)

جایی که Qn – 1(ایکس) جزء صحیح تقسیم است، چند جمله ای درجه است ( n – 1).

اثبات

بیایید فرمول تقسیم با باقیمانده را بنویسیم:

Pn (ایکس) = (ایکس – NS 0)∙Qn – 1(ایکس) + آ ,

جایی که Qn – 1(ایکس) چند جمله ای درجه است ( n – 1),

آ- باقیمانده، که به دلیل الگوریتم معروف تقسیم یک چند جمله ای بر یک "ستون" دو جمله ای، عددی است.

این برابری برای " ایکس، از جمله در ایکس = NS 0 Þ

Pn (ایکس 0) = (ایکس 0 – ایکس 0)× Qn – 1(ایکس 0) + آ Þ

آ = Pn (NS 0)، p.t.d. v

نتیجه از قضیه بزوت. در مورد تقسیم یک چند جمله ای بر یک دو جمله ای بدون باقی مانده

اگر شماره NS 0 صفر چند جمله ای است، سپس این چند جمله ای بر اختلاف ( ایکس – NS 0) بدون باقیمانده، یعنی

Þ .(5)

1) از آنجا که پ 3 (1) º 0

2) از آنجا که پ 4 (-2) º 0

3) از آنجا که پ 2 (–1/2) º 0

تقسیم چند جمله ای ها به دو جمله ای "در یک ستون":

_

_

_

_

_

هر چند جمله ای درجه n ³ 1 حداقل یک صفر دارد، واقعی یا مختلط

اثبات این قضیه خارج از محدوده درس ما است. بنابراین قضیه را بدون دلیل می پذیریم.

بگذارید روی این قضیه و قضیه بزوت با چند جمله ای کار کنیم Pn (ایکس).

بعد از nبا کاربرد برابر این قضایا، به دست می آوریم

جایی که آ 0 ضریب در است ایکس n v Pn (ایکس).

نتیجه گیری از قضیه اصلی جبر. تجزیه یک چند جمله ای به عوامل خطی

هر چند جمله ای درجه در مجموعه اعداد مختلط به تجزیه می شود nعوامل خطی، یعنی

تجزیه یک چند جمله ای به عوامل خطی، (6)

که در آن x1، x2، ... xn صفرهای چند جمله ای هستند.

علاوه بر این، اگر کاعداد از مجموعه NS 1, NS 2, … xnمنطبق با یکدیگر و با عدد a، سپس عامل ( ایکس- آ) ک... سپس شماره ایکس= a نامیده می شود k برابر صفر چند جمله ای Pn ( ایکس) ... اگر ک= 1، سپس صفر فراخوانی می شود چند جمله ای صفر ساده Pn ( ایکس) .

1)پ 4(ایکس) = (ایکس – 2)(ایکس- 4) 3 Þ ایکس 1 = 2 - صفر ساده، ایکس 2 = 4 - سه برابر صفر.

2)پ 4(ایکس) = (ایکس – من) 4 Þ ایکس = من- صفر تعدد 4.

خاصیت 4 (در تعداد ریشه های یک معادله جبری)

هر معادله جبری Pn (x) = 0 از درجه n دقیقاً n ریشه در مجموعه اعداد مختلط دارد اگر هر ریشه به تعداد چند برابر آن شمرده شود.

1)ایکس 2 – 4ایکس+ 5 = 0 - معادله جبری درجه دوم

Þ ایکس 1.2 = 2 ± 2 ± من- دو ریشه؛

2)ایکس 3 + 1 = 0 - معادله جبری درجه سوم

Þ ایکس 1,2,3 = - سه ریشه؛

3)پ 3(ایکس) = ایکس 3 + ایکس 2 – ایکس- 1 = 0 Þ ایکس 1 = 1، زیرا پ 3(1) = 0.

چند جمله ای را تقسیم کنید پ 3(ایکس) بر ( ایکس – 1):

ایکس 3	+	ایکس 2	–	ایکس	–	1	ایکس – 1
ایکس 3	–	ایکس 2	ایکس 2 + 2ایکس +1
2ایکس 2	–	ایکس
2ایکس 2	–	2ایکس
ایکس	–	1
ایکس	–	1
0

معادله اصلی

پ 3(ایکس) = ایکس 3 + ایکس 2 – ایکس- 1 = 0 Û ( ایکس – 1)(ایکس 2 + 2ایکس+ 1) = 0 Û ( ایکس – 1)(ایکس + 1)2 = 0

Þ ایکس 1 = 1 - ریشه ساده، ایکس 2 = –1 - دو ریشه.

1) - ریشه های مزدوج پیچیده جفت شده؛

هر چند جمله ای با ضرایب واقعی به حاصل ضرب توابع خطی و درجه دوم با ضرایب واقعی تجزیه می شود.

اثبات

اجازه دهید ایکس 0 = آ + دو- صفر چند جمله ای Pn (ایکس). اگر همه ضرایب این چند جمله ای اعداد حقیقی باشند، آنگاه صفر آن نیز (با خاصیت 5) است.

حاصل ضرب دوجمله ای ها را محاسبه می کنیم :

معادله چند جمله ای اعداد مختلط

بدست آورد ( ایکس – آ)2 + ب 2 - مثلث مربع با ضرایب واقعی.

بنابراین، هر جفت دوجمله ای با ریشه های مزدوج پیچیده در فرمول (6) منجر به یک مثلث مربع با ضرایب واقعی می شود. v

1)پ 3(ایکس) = ایکس 3 + 1 = (ایکس + 1)(ایکس 2 – ایکس + 1);

2)پ 4(ایکس) = ایکس 4 – ایکس 3 + 4ایکس 2 – 4ایکس = ایکس (ایکس –1)(ایکس 2 + 4).

نمونه هایی از حل معادلات جبری روی مجموعه اعداد مختلط ( حل معادلات جبری روی مجموعه اعداد مختلط را مثال بزنید)

1. معادلات جبری درجه اول:

، تنها ریشه ساده است.

2. معادلات درجه دوم:

, - همیشه دو ریشه (متفاوت یا مساوی) دارد.

1) .

3. معادلات دو جمله ای درجه:

، - همیشه ریشه های متفاوتی دارد.

,

پاسخ: ، .

4. معادله مکعب را حل کنید.

معادله درجه سوم دارای سه ریشه (واقعی یا مختلط) است و هر ریشه باید به اندازه چند برابر آن حساب شود. از آنجایی که تمام ضرایب این معادله اعداد واقعی هستند، ریشه های مختلط معادله، در صورت وجود، مزدوج مختلط زوج خواهند بود.

با انتخاب، اولین ریشه معادله را پیدا می کنیم، زیرا.

با نتیجه قضیه بزوت. ما این تقسیم را "در یک ستون" محاسبه می کنیم:

_
_
_

در حال حاضر چند جمله ای را به عنوان حاصل ضرب یک عامل خطی و یک مربع نشان می دهیم، به دست می آوریم:

.

ما ریشه های دیگر را به عنوان ریشه های معادله درجه دوم پیدا می کنیم:

پاسخ: ، .

5. معادله جبری کمترین درجه را با ضرایب واقعی بنویسید، اگر معلوم باشد که اعداد ایکس 1 = 3 و ایکس 2 = 1 + منریشه های آن هستند و ایکس 1 یک ریشه دوگانه است و ایکس 2 - ساده

عدد همچنین ریشه معادله است، زیرا ضرایب معادله باید معتبر باشد.

در مجموع، معادله مورد نیاز دارای 4 ریشه است: ایکس 1, ایکس 1,ایکس 2،. بنابراین درجه آن 4 است. چند جمله ای درجه 4 را با صفر می سازیم ایکس

11. صفر مختلط چیست؟

13. معنای برابری پیچیده را فرموله کنید.

15. مدول و آرگومان یک عدد مختلط چیست؟

17. آرگومان عدد مختلط چیست؟

18. فرمول چه نام یا معنایی دارد؟

19. معنی نماد را در این فرمول توضیح دهید:

27. تعاریف ارائه دهید و خصوصیات اساسی عملیات حسابی روی اعداد مختلط را فهرست کنید.

28. فرمول چه نام یا معنایی دارد؟

29. معنی عبارات را در این فرمول توضیح دهید:

31. فرمول چه نام یا معنایی دارد؟

32. معنی نماد را در این فرمول توضیح دهید:

34. فرمول چه نام یا معنایی دارد؟

35. معنی عبارات را در این فرمول توضیح دهید:

61. خواص اساسی چند جمله ای ها را فهرست کنید.

63. خاصیت تقسیم چند جمله ای بر اختلاف (x - x0) را فرموله کنید.

65. فرمول چه نام یا معنایی دارد؟

66. معنی عبارات را در این فرمول توضیح دهید:

67. ⌂ .

69- قضیه را فرموله کنید قضیه اصلی جبر.

70. فرمول چه نام یا معنایی دارد؟

71. معنی عبارات را در این فرمول توضیح دهید:

75. خاصیت تعداد ریشه های یک معادله جبری را فرموله کنید.

78. خاصیت تجزیه یک چند جمله ای را با ضرایب حقیقی به ضرایب خطی و درجه دوم فرموله کنید.

واژه نامه

k برابر صفر چند جمله ای را ... می گویند (ص 18)

چند جمله ای جبری را ... می نامند (ص 14)

معادله جبری درجه n را ... می نامند (ص 14)

شکل جبری یک عدد مختلط را ... می گویند (ص 5)

آرگومان عدد مختلط ... است (ص 4)

قسمت واقعی یک عدد مختلط z ... است (ص 2)

یک عدد مزدوج مختلط است ... (ص 2)

صفر مختلط ... (صفحه 2)

یک عدد مختلط نامیده می شود ... (ص 2)

ریشه n یک عدد مختلط را ... می نامند (ص 10)

ریشه معادله را ... می گویند (ص 14)

ضرایب چند جمله ای ... (ص 14)

واحد خیالی است ... (ص 2)

قسمت خیالی یک عدد مختلط z ... است (ص 2)

مدول یک عدد مختلط را می گویند ... (ص 4)

تابع صفر نامیده می شود ... (ص 14)

شکل نمایی یک عدد مختلط را ... می نامند (ص 11)

چند جمله ای نامیده می شود ... (ص 14)

به صفر ساده یک چند جمله ای ... می گویند (ص 18)

عدد مقابل ... (صفحه 2)

درجه یک چند جمله ای ... (ص 14)

شکل مثلثاتی یک عدد مختلط را ... (ص 5) می گویند.

فرمول Moivre ... (ص 9)

فرمول های اویلر عبارتند از ... (ص 13)

کل تابع نامیده می شود ... (ص 14)

یک عدد کاملاً خیالی است ... (ص 2)

طرح درس.

1. لحظه سازمانی.

2. ارائه مطالب.

3. تکالیف.

4. جمع بندی درس.

در طول کلاس ها

I. لحظه سازمانی.

II. ارائه مطالب.

انگیزه

بسط مجموعه اعداد حقیقی بدین صورت است که اعداد جدید (خیالی) به اعداد حقیقی اضافه می شوند. معرفی این اعداد با عدم امکان استخراج ریشه از یک عدد منفی در مجموعه اعداد حقیقی همراه است.

معرفی مفهوم عدد مختلط.

اعداد خیالی که اعداد حقیقی را با آنها تکمیل می کنیم به صورت نوشته می شوند دو، جایی که منیک واحد خیالی است و i 2 = - 1.

بر این اساس تعریف زیر را از عدد مختلط بدست می آوریم.

تعریف... عدد مختلط بیانی از فرم است a + bi، جایی که آو ب- اعداد واقعی. در این صورت شرایط زیر رعایت می شود:

الف) دو عدد مختلط a 1 + b 1 iو a 2 + b 2 iاگر و فقط اگر برابر هستند a 1 = a 2, b 1 = b 2.

ب) جمع اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:

(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

ج) ضرب اعداد مختلط با این قانون تعیین می شود:

(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.

شکل جبری یک عدد مختلط.

نوشتن یک عدد مختلط در فرم a + biشکل جبری یک عدد مختلط نامیده می شود که در آن آ- بخش واقعی، دوقسمت خیالی است و بیک عدد واقعی است

عدد مختلط a + biدر صورتی که اجزای واقعی و خیالی آن برابر با صفر باشد برابر با صفر در نظر گرفته می شود: a = b = 0

عدد مختلط a + biدر b = 0به عنوان یک عدد واقعی در نظر گرفته می شود آ: a + 0i = a.

عدد مختلط a + biدر a = 0صرفاً خیالی نامیده می شود و نشان داده می شود دو: 0 + bi = bi.

دو عدد مختلط z = a + biو = a - biکه فقط در علامت قسمت خیالی با هم تفاوت دارند، مزدوج نامیده می شوند.

اعمال روی اعداد مختلط به شکل جبری.

می توانید موارد زیر را در مورد اعداد مختلط به صورت جبری انجام دهید.

1) اضافه.

تعریف... مجموع اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود z، که قسمت واقعی آن برابر است با مجموع اجزای واقعی z 1و z 2و قسمت خیالی مجموع اجزای خیالی اعداد است z 1و z 2، به این معنا که z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.

شماره z 1و z 2اصطلاحات نامیده می شوند.

جمع اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:

1º. قابلیت جابجایی: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.

2 درجه انجمنی بودن: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).

3 درجه. عدد مختلط –A –biمخالف یک عدد مختلط نامیده می شود z = a + bi... عدد مختلط مقابل عدد مختلط z، نشان داده شده است -z... مجموع اعداد مختلط zو -zبرابر با صفر است: z + (-z) = 0

مثال 1. جمع را انجام دهید (3 - i) + (-1 + 2i).

(3 - i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.

2) تفریق.

تعریف.از یک عدد مختلط کم کنید z 1عدد مختلط z 2 z،چی z + z 2 = z 1.

قضیه... تفاوت اعداد مختلط وجود دارد و علاوه بر این، منحصر به فرد است.

مثال 2. تفریق را انجام دهید (4 - 2i) - (-3 + 2i).

(4 - 2i) - (-3 + 2i) = (4 - (-3)) + (2 - 2) i = 7 - 4i.

3) ضرب.

تعریف... حاصل ضرب اعداد مختلط z 1 = a 1 + b 1 iو z 2 = a 2 + b 2 iیک عدد مختلط نامیده می شود zتعریف شده توسط برابری: z = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1) i.

شماره z 1و z 2عوامل نامیده می شوند.

ضرب اعداد مختلط دارای ویژگی های زیر است:

1º. قابلیت جابجایی: z 1 z 2 = z 2 z 1.

2 درجه انجمنی بودن: (z 1 z 2) z 3 = z 1 (z 2 z 3)

3 درجه. توزیع ضرب نسبت به جمع:

(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.

4 درجه z = (a + bi) (a - bi) = a 2 + b 2یک عدد واقعی است

در عمل، ضرب اعداد مختلط طبق قاعده ضرب مجموع در مجموع و جداسازی اجزای واقعی و خیالی انجام می شود.

در مثال زیر ضرب اعداد مختلط را به دو صورت در نظر می گیریم: با قانون و ضرب اعداد مختلط در مجموع.

مثال 3. ضرب را انجام دهید (2 + 3i) (5 - 7i).

1 راه. (2 + 3i) (5 - 7i) = (2 × 5 - 3 × (- 7)) + (2 × (- 7) + 3 × 5) i = = (10 + 21) + (- 14 + 15) ) i = 31 + i.

روش 2. (2 + 3i) (5 - 7i) = 2 × 5 + 2 × (- 7i) + 3i × 5 + 3i × (- 7i) = = 10 - 14i + 15i + 21 = 31 + i.

4) تقسیم.

تعریف... تقسیم عدد مختلط z 1روی یک عدد مختلط z 2، سپس چنین عدد مختلطی را پیدا کنید z، چی z z 2 = z 1.

قضیه.ضریب اعداد مختلط وجود دارد و منحصر به فرد است اگر z 2 ≠ 0 + 0i.

در عمل، ضریب اعداد مختلط با ضرب صورت و مخرج در مزدوج مخرج به دست می آید.

بگذار باشد z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i، سپس

.

در مثال زیر به فرمول و قاعده ضرب بر مزدوج مخرج تقسیم می کنیم.

مثال 4. ضریب را پیدا کنید .

5) افزایش به یک عدد صحیح مثبت.

الف) قوای واحد خیالی.

با استفاده از برابری i 2 = -1، تعریف هر عدد صحیح مثبت واحد خیالی آسان است. ما داریم:

i 3 = i 2 i = -i،

i 4 = i 2 i 2 = 1،

i 5 = i 4 i = i،

i 6 = i 4 i 2 = -1،

i 7 = i 5 i 2 = -i،

i 8 = i 6 i 2 = 1و غیره.

این نشان می دهد که مقادیر درجه که در، جایی که n- یک عدد صحیح مثبت که به صورت دوره ای زمانی که شاخص افزایش می یابد تکرار می شود 4 .

بنابراین، برای افزایش تعداد منبه یک درجه مثبت کامل، توان باید بر تقسیم شود 4 و ایستاده منبه توانی که توان آن برابر با باقیمانده تقسیم است.

مثال 5. محاسبه کنید: (i 36 + i 17) i 23.

i 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1،

i 17 = i 4 × 4 + 1 = (i 4) 4 × i = 1 i = i.

i 23 = i 4 × 5 + 3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.

(i 36 + i 17) i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1 = 1 - i.

ب) افزایش یک عدد مختلط به یک عدد صحیح مثبت طبق قاعده افزایش یک دوجمله ای به توان مناسب انجام می شود، زیرا یک مورد خاص از ضرب همان ضرایب مختلط است.

مثال 6. محاسبه کنید: (4 + 2i) 3

(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3 × 4 2 × 2i + 3 × 4 × (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i - 48 - 8i = 16 + 88i.

اعداد مختلط حداقل پسوند مجموعه اعداد حقیقی هستند که به آن عادت کرده ایم. تفاوت اساسی آنها در این است که عنصری ظاهر می شود که -1 را در مربع می دهد، یعنی. من، یا

هر عدد مختلط دو بخش دارد: واقعی و خیالی:

بنابراین، می توان دید که مجموعه اعداد حقیقی با مجموعه اعداد مختلط با یک جزء خیالی صفر منطبق است.

محبوب ترین مدل برای مجموعه اعداد مختلط هواپیما است. مختصات اول هر نقطه قسمت واقعی آن و مختصات دوم خیالی خواهد بود. سپس بردارهایی با مبدا در نقطه (0,0) خود به عنوان اعداد مختلط عمل خواهند کرد.

عملیات روی اعداد مختلط

در واقع، اگر مدل مجموعه ای از اعداد مختلط را در نظر بگیریم، به طور شهودی مشخص می شود که جمع (تفریق) و ضرب دو عدد مختلط مانند عملیات مربوطه بر روی بردارها انجام می شود. و منظور ما حاصل ضرب برداری بردارها است، زیرا نتیجه این عمل باز هم یک بردار است.

1.1 اضافه شدن

(همانطور که می بینید، این عملیات دقیقا مطابقت دارد)

1.2 تفریق، به طور مشابه، طبق قانون زیر انجام می شود:

2. ضرب.

3. تقسیم.

به سادگی به عنوان معکوس ضرب تعریف می شود.

فرم مثلثاتی.

مدول عدد مختلط z مقدار زیر است:

,

بدیهی است که این باز هم فقط مدول (طول) بردار (a, b) است.

اغلب مدول یک عدد مختلط را به صورت نشان می دهند ρ.

معلوم می شود که

z = ρ (cosφ + isinφ).

موارد زیر بلافاصله از شکل مثلثاتی نماد یک عدد مختلط پیروی می کنند. فرمول ها :

آخرین فرمول نامیده می شود فرمول Moivre. فرمول به طور مستقیم از آن مشتق شده است ریشه n ام یک عدد مختلط:

بنابراین، n ریشه از درجه n از عدد مختلط z وجود دارد.

اجازه دهید اطلاعات لازم در مورد اعداد مختلط را به خاطر بیاوریم.

عدد مختلطبیان فرم است آ + دو، جایی که آ, باعداد واقعی هستند و من- باصطلاح واحد خیالیکاراکتری که مربع آن -1 است، یعنی من 2 = -1. عدد آتماس گرفت بخش واقعیو شماره ب - قسمت خیالیعدد مختلط z = آ + دو... اگر ب= 0، سپس به جای آ + 0منساده بنویس آ... مشاهده می شود که اعداد حقیقی حالت خاصی از اعداد مختلط هستند.

عملیات حسابی روی اعداد مختلط مانند اعداد واقعی است: آنها را می توان با یکدیگر جمع، تفریق، ضرب و تقسیم کرد. جمع و تفریق طبق قانون ( آ + دو) ± ( ج + دی) = (آ ± ج) + (ب ± د)منو ضرب - طبق قانون ( آ + دو) · ( ج + دی) = (ac – bd) + (آگهی + قبل از میلاد مسیح)من(در اینجا فقط از آن استفاده می شود من 2 = -1). شماره = آ – دوتماس گرفت مزدوج پیچیدهبه z = آ + دو... برابری z · = آ 2 + ب 2 به شما امکان می دهد نحوه تقسیم یک عدد مختلط را بر یک عدد مختلط دیگر (غیر صفر) درک کنید:

(مثلا، .)

اعداد مختلط یک نمایش هندسی راحت و شهودی دارند: عدد z = آ + دومی توان با یک بردار با مختصات ( آ; ب) در صفحه دکارتی (یا، که تقریباً یکسان است، یک نقطه - انتهای بردار با این مختصات). در این حالت، مجموع دو عدد مختلط به عنوان مجموع بردارهای متناظر (که توسط قانون متوازی الاضلاع یافت می شود) نشان داده می شود. بر اساس قضیه فیثاغورث، طول بردار با مختصات ( آ; ب) برابر است. این مقدار نامیده می شود مدولعدد مختلط z = آ + دوو با | نشان داده می شود z|. زاویه ای که این بردار با جهت مثبت محور آبسیسا می سازد (در خلاف جهت عقربه های ساعت شمارش می شود) نامیده می شود. بحث و جدلعدد مختلط zو با ارگ نشان داده می شود z... آرگومان منحصراً تعریف نمی‌شود، بلکه فقط تا جمع مضرب 2 تعریف می‌شود π رادیان (یا 360 درجه، اگر بر حسب درجه بشمارید) - پس از همه، واضح است که چرخش با چنین زاویه ای در اطراف مبدا، بردار را تغییر نمی دهد. اما اگر بردار طول rیک زاویه تشکیل می دهد φ با جهت مثبت محور آبسیسا، سپس مختصات آن ( r Cos φ ; rگناه φ ). از این رو معلوم می شود نماد مثلثاتیعدد مختلط: z = |z| (Cos (Arg z) + منگناه (Arg z)). نوشتن اعداد مختلط به این شکل اغلب راحت است، زیرا محاسبات را بسیار ساده می کند. ضرب اعداد مختلط در شکل مثلثاتی بسیار ساده به نظر می رسد: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | (Cos (Arg z 1 + ارگ z 2) + منگناه (Arg z 1 + ارگ z 2)) (هنگام ضرب دو عدد مختلط، ماژول های آنها ضرب می شوند و آرگومان ها اضافه می شوند). از این رو دنبال کنید فرمول های Moivre: z n = |z|n( n(آرگ z)) + منگناه ( n(آرگ z))). با استفاده از این فرمول ها، یادگیری نحوه استخراج ریشه های هر درجه ای از اعداد مختلط آسان است. ریشه نهم zچنین عدد پیچیده ای است w، چی w n = z... واضح است که ، و کجا کمی تواند هر مقداری را از مجموعه بگیرد (0، 1، ...، n- 1). این بدان معنی است که همیشه دقیقاً وجود دارد nریشه ها nدرجه -ام یک عدد مختلط (در صفحه، آنها در راس صحیح قرار دارند n-گون).