10 metoda za rješavanje kvadratne jednadžbe. Metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi

U školskom tijeku matematike proučava se formule korijena kvadratnih jednadžbi, s kojima se mogu riješiti bilo koja kvadratna jednadžba. Međutim, postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi koje omogućuju mnoge jednadžbe vrlo brzo i racionalno. Postoji deset načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Detaljno sam u mom radu rastavio svaku od njih.

1. Metoda : Raspadanje lijevog dijela tvorničke jednadžbe.

Rješavanje jednadžbe

x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

Snatulate lijevu stranu čimbenika:

x2 + 10X - 24 \u003d X 2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (X + 12) \u003d (X + 12) (X - 2).

Prema tome, jednadžba se može prepisati tako:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

Budući da je proizvod nula, barem jedan od njezinih faktora je nula. Dakle, lijevi dio jednadžbe je izvučen nulom x \u003d 2.kao i x \u003d - 12, To znači da je broj 2 i - 12 su korijenske jednadžbe x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

2. Metoda : Način dodjele punog trga.

Rješavanje jednadžbe x 2 + 6x - 7 \u003d 0.

Označavamo cijeli kvadrat na lijevoj strani.

Da biste to učinili, napišite izraz x 2 + 6x u sljedećem obliku:

x2 + 6x \u003d x 2 + 2 x 3.

U nastalom izrazu, prvi izraz je kvadrat broja x, a drugi - dvostruki proizvod x do 3. na to da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 3 2, jer

x 2 +. 2 x 3 + 3 2 \u003d (X + 3) 2.

Sada preobrađujemo lijevi dio jednadžbe

x 2 + 6x - 7 \u003d 0,

dodavanje i oduzimanje 3 2. Imamo:

x 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 x 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 16.

Dakle, ova jednadžba može biti napisana kao:

(X + 3) 2 - 16 \u003d 0, (X + 3) 2 \u003d 16.

Stoga, x + 3 - 4 \u003d 0, X 1 \u003d 1 ili X + 3 \u003d -4, X 2 \u003d -7.

3. Metoda : Otopinu kvadratnih jednadžbi pomoću formule.

Pomnožite oba dijela jednadžbe

ah 2 +.b.x + c \u003d 0, i ≠ 0

na 4a i dosljedno imamo:

4A 2 x 2 + 4Ab.x + 4AS \u003d 0,

((2AH) 2 + 2AHb. + b. 2 ) - b. 2 + 4 ac = 0,

(2ax + b) 2 \u003d b 2 - 4ac,

2AX + B \u003d ± ± B 2 - 4AC,

2AX \u003d - B ± ± B 2 - 4AC,

Primjeri.

ali) Rješavanje jednadžbe: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,b. \u003d 7, c \u003d 3,D. = b. 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D. > 0, dva različita korijena;

Tako, u slučaju pozitivnog diskriminacije, tj. za

b. 2 - 4 ac >0 , jednadžba ah 2 +.b.x + c \u003d 0 Ima dva različita korijena.

b Rješavanje jednadžbe: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,b. \u003d - 4, c \u003d 1,D. = b. 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D. = 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b. 2 - 4 ac = 0 , zatim jednadžba

ah 2 +.b.x + c \u003d 0 ima jedini korijen

u) Rješavanje jednadžbe: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,b. \u003d 3, c \u003d 4,D. = b. 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D. < 0.

Ova jednadžba nema korijena.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b. 2 - 4 ac < 0 ,

jednadžba ah 2 +.b.x + c \u003d 0 Nema korijena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe ah 2 +.b.x + c \u003d 0 Omogućuje vam da pronađete korijene bilo tko Kvadratna jednadžba (ako postoji), uključujući gore i nepotpuno. Valjana formula (1) je izražena kao: korijeni kvadratne jednadžbe jednake su frakciji, čiji je numerirani broj jednak drugom koeficijent snimljenim s suprotnim znakom, te minus korijenski trg s kvadrata ovog koeficijenta bez i dalje-stojećeg proizvoda prvog koeficijenta Slobodni član, a denominator ima dvostruko koeficijent.

4. Metoda: Rješavanje jednadžbi pomoću teorema Vieta.

Kao što znate, smanjena kvadratna jednadžba ima oblik

x 2 +.px. + c. = 0. (1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju teoremu Vieta, koji a \u003d 1. Izgled

x. 1 x. 2 = p:,

x. 1 + x. 2 = - p.

Odavde možete nacrtati sljedeće zaključke (prema koeficijentima P i Q možete predvidjeti znakove korijena).

a) ako je konsolidirani član p: Zadana jednadžba (1) je pozitivna ( p: > 0 ), jednadžba ima dva identična korijenska znaka i zavist je drugog koeficijenta p., Ako a r< 0 Tada su oba korijena negativna ako r< 0 , oba korijena su pozitivna.

Na primjer,

x. 2 – 3 x. + 2 = 0; x. 1 = 2 i x. 2 = 1, kao p: = 2 > 0 i p. = - 3 < 0;

x. 2 + 8 x. + 7 = 0; x. 1 = - 7 i x. 2 = - 1, kao p: = 7 > 0 i p.= 8 > 0.

b) ako je slobodan član p: Zadana jednadžba (1) je negativna ( p: < 0 ), jednadžba ima dva različita na znak korijena, a korijen veći u modulu bit će pozitivan ako p. < 0 ili negativno ako p. > 0 .

Na primjer,

x. 2 + 4 x. – 5 = 0; x. 1 = - 5 i x. 2 = 1, kao p:= - 5 < 0 i p. = 4 > 0;

x. 2 – 8 x. – 9 = 0; x. 1 = 9 i x. 2 = - 1, kao p: = - 9 < 0 i p. = - 8 < 0.

5. Metoda: Rješavanje jednadžbi metodom "tranzita".

Razmotrite kvadratnu jednadžbu

ah 2 +.b.x + c \u003d 0,gdje A ≠ 0.

Množenjem oba dijela od strane a, dobivamo jednadžbu

2 x 2 + ab.x + AC \u003d 0.

Neka biti ah \u003d uIz! x \u003d y / a; Onda dođite na jednadžbu

u 2 +.po + AC \u003d 0,

ekvivalentno tome. Njegove korijene u 1.i w. 2 naći ćemo uz pomoć teorema Vieta.

Napokon dobiti

x 1 \u003d y 1 / ai x 1 \u003d y 2 / a.

S ovim koeficijentom metode ali pomnožen s besplatnim članom, kao da mu se "pomiče", pa se zove zavijanje "tranzit", Ova metoda se koristi kada lako možete pronaći korijene jednadžbe pomoću teorema Vieta i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan trg.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Odluka. "Mi ćemo prenijeti" koeficijent 2 na slobodan član, kao rezultat dobivamo jednadžbu

u 2 - 11. + 30 \u003d 0.

Prema teoremi vieta

u 1 \u003d 5 x 1 \u003d 5/2x. 1 = 2,5

U 2 \u003d 6x. 2 = 6/2 x. 2 = 3.

Odgovor: 2.5; 3.

6. Metoda: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

ALI. Neka se daju kvadratna jednadžba

ah 2 +.b.x + c \u003d 0,gdje A ≠ 0.

1) Ako, A +b. + C \u003d 0 (tj. Zbroj koeficijenata je nula), zatim x 1 \u003d 1,

x 2 \u003d S / a.

Dokaz. Mi dijelimo oba dijela jednadžbe na 0, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu

x. 2 + b./ a. x. + c./ a. = 0.

Prema teoremi vieta

x. 1 + x. 2 = - b./ a.,

x. 1 x. 2 = 1 c./ a..

Po uvjetima ali -b. + C \u003d 0,iz b. \u003d A + s.Na ovaj način,

x 1 + x 2 \u003d -ali + b / a \u003d -1 - c / a,

X 1 x 2 \u003d - 1 (- C / A),

oni. x 1 \u003d -1 i x 2 \u003dc./ a.koji je potrebno dokazati.

Primjeri.

1) Rješavanje jednadžbe 345x 2 - 137X - 208 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b. + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),da

x 1 \u003d 1, x 2 \u003dc./ a. = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) jednadžba rješenja 132x 2 - 247x + 115 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b. + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), da

x 1 \u003d 1, x 2 \u003dc./ a. = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b. = 2 k.- čak i broj, zatim korijen formulu

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Odluka, Imamo: a \u003d 3,b. \u003d - 14, c \u003d 16,k. = - 7 ;

D. = k. 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D. > 0, dva različita korijena;

Ministarstvo obrazovanja i znanosti Ruske Federacije

Bryansk regija Zhukovsky okrug

Mou Rjanitska srednja škola

ISTRAŽIVANJE

Rješenja

Pavlikov Dmitry, 9 Cl.

Voditelj: Prikhodko Juri
Vladimirovich,

matematički učitelj.

Bryansk, 2009

I., Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi ……………………….2

1. kvadratne jednadžbe u drevnom babilonu ............................... 2

2. Kao što je objavljeno i riješeno diofant kvadratne jednadžbe ............

3. kvadratne jednadžbe u Indiji .......................................... .. , 3

4. kvadratne jednadžbe u alkoholu .................................... 4

5. kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XVII stoljećima .................. .......... 5

6. O Vieta Teorem ............................................ ................... 6

Ii., Metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi ……………………….7

Metoda ................................................. .......................... 7. 7.

Metoda ................................................. ....................... ... 9

Metoda ................................................. ....................... ... 10

Metoda ................................................. ....................... ... 12

Metoda ................................................. ....................... ... 13

Metoda ................................................. ....................... ... 15

Metoda ................................................. ....................... ... 16

Iii, Zaključak…………………………………………………..............18

Književnost……………………………………………………………….19

Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi.

1. kvadratne jednadžbe u drevnom babilonu.

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prve, ali i drugi stupanj antike uzrokovane je potrebom za rješavanjem zadataka vezanih uz mjesto zemljišnih područja i sa zemljanim radovima vojne prirode, kao i s razvojem astronomije i Matematika. Kvadratne jednadžbe su uspjele riješiti oko 2000 godina prije. e. Babilonski.

Primjenom modernog algebarskog zapisa, možemo reći da u svojim klinoksičnim tekstovima postoje, osim nepotpune, i takve, na primjer, pune kvadratne jednadžbe:

X. 2 + X. = ¾; X. 2 - X. = 14,5

Pravilo rješavanja tih jednadžbi navedenih u babilonskim tekstovima se u suštini podudara s modernim, ali nije poznato kako su Babilonci došli do ovog pravila. Gotovo svi tekstovi u paptrogu pronađeni do sada, samo zadatke s odlukama navedenim u obliku recepata, bez naznaka o tome kako su pronađeni.

Unatoč visokoj razini razvoja algebre u Babilonu, nema koncepta negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi u klinoksičnim tekstovima.

2. Kao što je iznosilo i riješene jednadžbe četvornih diofanta.

U "aritmetici" dijelofanta ne postoji sustavna prezentacija algebre, ali sadrži sustavni broj zadataka popraćenih objašnjenjima i riješeno s pripremom jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom izrade diofant jednadžbi pojednostaviti rješenje vješto bira nepoznato.

Ovdje, na primjer, jedan od njegovih zadataka.

Zadatak 11. "Pronađite dva broja, znajući da je njihov iznos 20, a rad je 96"

Diofant tvrdi kako slijedi: Iz stanja problema slijedi da željeni brojevi nisu jednaki, jer ako su jednaki, onda njihov rad ne bi bio 96, i 100. Dakle, jedan od njih će biti više od polovice njihov iznos, tj. 10 + H.Drugi je manje, tj. 10 - H., Razlika između njih 2x.

Stoga jednadžba:

(10 + X) (10 - X) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

h. 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x \u003d 2., Jedan od željenih brojeva je 12 Drugi 8 , Odluka x \u003d -2. Ne postoji za Diophanta, jer je grčka matematika znala samo pozitivne brojeve.

Ako odlučimo o ovom zadatku, odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznato, doći ćemo u rješavanju jednadžbe

y (20 - y) \u003d 96,

w. 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Jasno je da odabirom kao nepoznata igra željenog brojeva, diofant pojednostavljuje odluku; On može smanjiti zadatak rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

3. kvadratne jednadžbe u Indiji.

Zadaci po kvadratnim jednadžbama već su pronađeni u astronomskom traktu "Ariabhatti", sastavljen na 499. godine. Indijski matematičar i astronom Ariabhatta. Još jedan indijski znanstvenik, Brahmagupta (vii. Stoljeće), istaknuo je opće pravilo rješavanja kvadratnih jednadžbi koje se daju jedan kanonski oblik:

oh 2 + b.x \u003d C i 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti osim alimože biti negativan. Pravilo brahmagupte u biti se podudara s našim.

U drevnoj Indiji su javna natjecanja distribuirana u rješavanju teških zadataka. U jednoj od starih indijskih knjiga, kažu se sljedeća natjecanja o takvim natjecanjima: "Kako sunce svjetluca s vlastitim zvijezdama, tako da je znanstvenik zasjenio neistinu još jedne u Narodnoj skupštini, nudeći i rješavanje algebarskih zadataka". Zadaci se često uživaju u poetskom obliku.

Ovdje je jedan od zadataka poznate indijske matematike XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

"Navođenje majmuna i dvanaest na lianamu ...

Moć okrenuta, zabavlja se. Počeo skočiti, visi ...

Nalaze se u kvadratnom dijelu osmog koliko je majmuna bilo,

U gladu se zabavljala. Reci li mi, u ovom stog? "

Odluka Bhaskare svjedoči o činjenici da je znao o sumnjivosti korijena kvadratnih jednadžbi (sl. 3).

Odgovarajući zadatak 13 jednadžba:

(x./8) 2 + 12 = x.

Bhaskara piše pod krinkom od:

h. 2 - 64x \u003d -768

i dopuniti lijevi dio ove jednadžbe na kvadrat dodaje oba dijela 32 2 , dobivanje tada:

h. 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16,

h. 1 \u003d 16, x 2 = 48.

4. kvadratne jednadžbe u al - khorezmi.

U algebarskoj raspravi Al-Khorezmi daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor uključuje 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih kako slijedi:

1) "kvadrati su korijeni", tj. Oh 2 + C \u003d.b.x.

2) "kvadrati su jednaki broju", tj. Oh 2 \u003d s.

3) "korijeni su jednaki broju", tj. ah \u003d s.

4) "kvadrati i brojevi su jednaki korijenja", tj. Oh 2 + C \u003d.b.x.

5) "kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. Oh 2 + bx. \u003d s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj.bx. + C \u003d ah 2 .

Za al-khorezmi, izbjegavajući korištenje negativnih brojeva, članovi svake od tih jednadžbi su komponente, a ne oduzete. U isto vrijeme, to se očito ne uzima u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja načine rješavanja tih jednadžbi, koristeći tehnike Al - Jabr i Al-Mukabala. Njegove odluke, naravno, ne podudaraju se s našim. Već da ne spominjem da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, u rješavanju nepotpune kvadratne jednadžbe prvog tipa al - poslova, kao i sve matematike do XVII stoljeća, uzima u obzir nultu rješenje, vjerojatno Jer u konkretnom praktičnom nije važno zadatke. Pri rješavanju kompletnih kvadratnih al-poslovnih jednadžbi na privatnim numeričkim primjerima utvrđuje pravila odluke, a zatim geometrijskih dokaza.

Dajte nam primjer:

Zadatak 14. "Trg i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen »

(Znači korijen jednadžbe x 2 + 21 \u003d 10x).

Odluka autora čita nešto slično: mi podijeliti broj korijena, dobit ćete 5, umnožite ćete se, od posla od jednog 21, ostat će 4. Uklanjanje korijena od 4, primit ćete 2 . ONDE 2 OT5, dobit ćete 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ima i korijen.

Tvrtka Al-Khorezmi je prva, koja nam je došla knjigu u kojoj se nalaze klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule.

5. kvadratne jednadžbe u EuropiXIII. - Xvii Eksplozivno

Formule za rješavanje kvadratnih jednadžbi za Al-Khorezmi u Europi prvi su postavljeni u "knjizi Abaka", napisanoj 1202. talijanskog matematičara Leonardo Fibonacci. Ovaj temeljit rad, koji odražava utjecaj matematike, i zemlje islama i drevne Grčke, odlikuje se i cjelovitošću i jasnoći prezentacije. Autor je neovisno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema, a prvi u Europi su se približili uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga promovirala je širenje algebarskog znanja ne samo u Italiji, nego iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi izazovi iz "Abaka knjige" prošli su gotovo sve europske udžbenike XVI - XVII. i djelomično xviii.

Opće pravilo rješavanja kvadratnih jednadžbi koje se daju istim kanonskim oblikom:

h. 2 + bx. \u003d C,

za sve vrste kombinacija znakova koeficijenta b., izformulirana je u Europi samo na 1544. M. Utr.

Izlaz formule otopine kvadratne jednadžbe općenito je dostupan u Vieci, ali Vijetna je prepoznala samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari Tartalia, Kardano, Bombelly među prvima u XVI stoljeću. S obzirom na pozitivne i negativne korijene. Samo u XVII. Stoljeću. Zbog rada Girarda, Descartesa, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi uzima moderan izgled.

6. O Vieta Teoremu.

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratnih jednadžbi i njegovih korijena, koji je ime Vieta, formuliran je prvi put 1591. godine kako slijedi: "Ako B. + D.pomnožen A. - A. 2 dobro BD.T. A. jednako U I jednako D.».

Razumjeti Vietu, trebate se sjetiti toga ALIkao i svaki pismo samoglasnika znači da ima nepoznato (naš h.), samoglasnici U,D. - koeficijenti u nepoznatom. Na jeziku moderne algebre iznad, tekst vieta znači: ako postoji

(A +.b.) x - x 2 = ab,

h. 2 - (a +b.) x + ab. = 0,

h. 1 \u003d a, x 2 = b..

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi s uobičajenim formulama zabilježenim simbolima, visjet će odrediti ujednačenost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolizam vieta je još uvijek daleko od trenutne vrste. Nije prepoznao negativne brojeve i za to, pri rješavanju jednadžbi, smatra samo slučajevima kada su svi korijeni pozitivni.

Tako: Kvadratne jednadžbe su temelj na kojoj se veličanstvena zgrada algebre odmara. Kvadratne jednadžbe se naširoko koriste u rješavanju trigonometrijske, indikativne, logaritame, iracionalne i transcendentalne jednadžbe i nejednakosti. Svi znamo kako riješiti kvadratne jednadžbe od školske klupe (8. razreda), prije kraja sveučilišta.

1. Metoda : Raspadanje lijevog dijela tvorničke jednadžbe.

Rješavanje jednadžbe h. 2 + 10x - 24 \u003d 0, Snatulate lijevu stranu čimbenika:

h. 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (X + 12) \u003d (X + 12) (X - 2).

Prema tome, jednadžba se može prepisati tako:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. Metoda : Način dodjele punog trga.

Rješavanje jednadžbe h. 2 + 6x - 7 \u003d 0, Označavamo cijeli kvadrat na lijevoj strani.

Da biste to učinili, napišite izraz x 2 + 6x u sljedećem obliku:

h. 2 + 6x \u003d x 2 + 2 H. 3.

U nastalom izrazu, prvi izraz je kvadrat broja x, a drugi - dvostruki proizvod x do 3. na to da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 3 2, jer

x 2 +. 2 H. 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2 .

Sada preobrađujemo lijevi dio jednadžbe

h. 2 + 6x - 7 \u003d 0,

dodavanje i oduzimanje 3 2. Imamo:

h. 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 H. 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

Dakle, ova jednadžba može biti napisana kao:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (X + 3) 2 = 16.

Stoga, x + 3 - 4 \u003d 0, X 1 \u003d 1 ili X + 3 \u003d -4, X 2 = -7.

3. Metoda : Otopinu kvadratnih jednadžbi pomoću formule.

Pomnožite oba dijela jednadžbe

oh 2 + b.x + c \u003d 0, i ≠ 0

na 4a i dosljedno imamo:

4a. 2 h. 2 + 4a.b.x + 4AS \u003d 0,

((2AH) 2 + 2AKH b. + b. 2 ) - b. 2 + 4 ac = 0,

(2AX + B) 2 \u003d B. 2 - 4ac,

2AX + B \u003d ± ± B 2 - 4ac,

2AX \u003d - B ± B 2 - 4ac,

Primjeri.

ali) Rješavanje jednadžbe: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,b. \u003d 7, c \u003d 3,D. = b. 2 - 4 ac = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D. 0, dva različita korijena;

Tako, u slučaju pozitivnog diskriminacije, tj. za

b. 2 - 4 ac 0 , jednadžba Oh 2 + b.x + c \u003d 0 Ima dva različita korijena.

b Rješavanje jednadžbe: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,b. \u003d - 4, c \u003d 1,D. = b. 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D. = 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b. 2 - 4 ac = 0 , zatim jednadžba

oh 2 + b.x + c \u003d 0 ima jedini korijen

u) Rješavanje jednadžbe: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,b. \u003d 3, c \u003d 4,D. = b. 2 - 4 ac = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , D.

Ova jednadžba nema korijena.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b. 2 - 4 ac , jednadžba

oh 2 + b.x + c \u003d 0 Nema korijena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0 Omogućuje vam da pronađete korijene bilo tko Kvadratna jednadžba (ako postoji), uključujući gore i nepotpuno. Valjana formula (1) je izražena kao: korijeni kvadratne jednadžbe jednake su frakciji, čiji je numerirani broj jednak drugom koeficijent snimljenim s suprotnim znakom, te minus korijenski trg s kvadrata ovog koeficijenta bez i dalje-stojećeg proizvoda prvog koeficijenta Slobodni član, a denominator ima dvostruko koeficijent.

4. Metoda: Rješavanje jednadžbi pomoću teorema Vieta.

Kao što znate, smanjena kvadratna jednadžba ima oblik

h. 2 + px. + c. = 0. (1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju teoremu Vieta, koji a \u003d 1. Izgled

x. 1 x. 2 = p:,

x. 1 + x. 2 = - p.

Odavde možete nacrtati sljedeće zaključke (prema koeficijentima P i Q možete predvidjeti znakove korijena).

a) ako je konsolidirani član p: Zadana jednadžba (1) je pozitivna ( p: 0 ), jednadžba ima dva identična korijenska znaka i zavist je drugog koeficijenta p., Ako a p, oba korijena su negativna ako p, oba korijena su pozitivna.

Na primjer,

x. 2 – 3 x. + 2 = 0; x. 1 = 2 i x. 2 = 1, kao p: = 2 0 i p. = - 3

x. 2 + 8 x. + 7 = 0; x. 1 = - 7 i x. 2 = - 1, kao p: = 7 0 i p.= 8 0.

b) ako je slobodan član p: Zadana jednadžba (1) je negativna ( p:), jednadžba ima dva različita na znak korijena, a korijen veći u modulu bit će pozitivan ako p. ili negativno ako p. 0 .

Na primjer,

x. 2 + 4 x. – 5 = 0; x. 1 = - 5 i x. 2 = 1, kao p:\u003d - 5 i p. = 4 0;

x. 2 – 8 x. – 9 = 0; x. 1 = 9 i x. 2 = - 1, kao p: \u003d - 9 i p. = - 8

5. Metoda: Rješavanje jednadžbi metodom "tranzita".

Razmotrite kvadratnu jednadžbu

oh 2 + b.x + c \u003d 0,gdje A ≠ 0.

Množenjem oba dijela od strane a, dobivamo jednadžbu

ali 2 h. 2 + A.b.x + AC \u003d 0.

Neka biti ah \u003d uIz! x \u003d y / a; Onda dođite na jednadžbu

w. 2 + po + AC \u003d 0,

ekvivalentno tome. Njegove korijene w. 1 i w. 2 naći ćemo uz pomoć teorema Vieta.

Napokon dobiti h. 1 \u003d W. 1 /alii h. 1 \u003d W. 2 /ali, S ovim koeficijentom metode ali pomnožen s besplatnim članom, kao da mu se "pomiče", pa se zove zavijanje "tranzit", Ova metoda se koristi kada lako možete pronaći korijene jednadžbe pomoću teorema Vieta i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan trg.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Odluka. "Mi ćemo prenijeti" koeficijent 2 na slobodan član, kao rezultat dobivamo jednadžbu

w. 2 - 11. + 30 \u003d 0.

Prema teoremi vieta

w.1 \u003d 5 x 1 = 5/2 x. 1 = 2,5

w. 2 = 6 x. 2 = 6/2 x. 2 = 3.

Odgovor: 2.5; 3.

6. Metoda: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

ALI. Neka se daju kvadratna jednadžba oh 2 + b.x + c \u003d 0,gdje A ≠ 0.

1) Ako, A +b. + C \u003d 0 (tj. Zbroj koeficijenata je nula), a zatim x 1 = 1,

h. 2 \u003d S / a.

Dokaz. Mi dijelimo oba dijela jednadžbe na 0, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu

x. 2 + b./ a. x. + c./ a. = 0.

Prema teoremi vieta

x. 1 + x. 2 = - b./ a.,

x. 1 x. 2 = 1 c./ a..

Po uvjetima ali -b. + C \u003d 0,iz b. \u003d A + s.Na ovaj način,

x. 1 + x. 2 \u003d - A +b./ a.= -1 – c./ a.,

x. 1 x. 2 = - 1 (- c./ a.),

oni. h. 1 = -1 i h. 2 = c./ a.koji je potrebno dokazati.

Primjeri.

Rješavanje jednadžbe 345x 2 - 137X - 208 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b. + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),da

h. 1 \u003d 1, x 2 = c./ a. = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) jednadžba rješenja 132x 2 - 247x + 115 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b. + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), da

h. 1 \u003d 1, x 2 = c./ a. = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b. = 2 k. - čak i broj, zatim korijen formulu

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Odluka, Imamo: a \u003d 3,b. \u003d - 14, c \u003d 16,k. = - 7 ;

D. = k. 2 – ac = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D. 0, dva različita korijena;

Odgovor: 2; 8/3

U. Smanjena jednadžba

h. 2 + RH +.p:= 0

podudara se s općim prikazom jednadžbom u kojoj a \u003d 1., b. \u003d R. i c \u003d.p:, Stoga, za smanjenu kvadratnu jednadžbu korijenja formule

zauzima pogled:

Formula (3) je posebno prikladna za uporabu kada r- Parni broj.

Primjer. Rješavanje jednadžbe h. 2 - 14x - 15 \u003d 0.

Odluka.Imamo: h. 1,2 \u003d 7 ± 7 ±

Odgovor: H. 1 \u003d 15; H. 2 = -1.

7. Metoda: Grafička otopina kvadratne jednadžbe.

E. ako je u jednadžbi

h. 2 + px. + p: = 0

prebacite drugi i treći članovi na desnoj strani, a onda dobivamo

h. 2 = - px. - p:.

Konstruiramo grafikone ovisnosti y \u003d x 2 i y \u003d - px - q.

Prvi raspored ovisnosti je parabola, prolazeći kroz podrijetlo koordinata. Grafikon druge ovisnosti -

ravno (sl. 1). Moguće su sljedeće slučajeve:

Izravno i parabola se može presjeći u dvije točke,

bipcisions raskrižja su korijeni quad omjera;

Direct i Parabola može dotaknuti (samo jednu zajedničku točku), tj. Jednadžba ima jedno rješenje;

Direct i Parabola nemaju zajedničke točke, tj. Kvadratna jednadžba nema korijenje.

Primjeri.

1) Velika jednadžba h. 2 - 3x - 4 \u003d 0 (Sl. 2).

Odluka. Pišemo jednadžbu u obliku H. 2 \u003d 3x + 4.

Gradimo parabolu y \u003d x. 2 I ravno y \u003d 3x + 4, Ravno

y \u003d 3x + 4 može se izgraditi na dvije točke M (0; 4) i

N. (3; 13) , Izravna i parabola se sijeku na dvije točke

ALI i U S apscisions h. 1 = - 1 i h. 2 = 4 . Odgovor H. 1 = - 1;

h. 2 = 4.

2) Otpor grafičkoj jednadžbi (sl. 3) h. 2 - 2x + 1 \u003d 0.

Odluka. Pišemo jednadžbu u obliku h. 2 \u003d 2x - 1.

Gradimo parabolu y \u003d x. 2 i ravno Y \u003d 2x - 1.

Ravno y \u003d 2x - 1 Izgraditi na dvije točke M (0; - 1)

i N.(1/2; 0) , Izravna i parabola se siječe u točki ALI iz

apscisa x \u003d 1.. Odgovor: x \u003d 1.

3) Velika jednadžba h. 2 - 2x + 5 \u003d 0(Sl. 4).

Odluka. Pišemo jednadžbu u obliku h. 2 \u003d 5x - 5, Gradimo parabolu y \u003d x. 2 I ravno y \u003d 2x - 5, Ravno y \u003d 2x - 5 Konstruiramo dvije točke m (0; - 5) i N (2.5; 0). Direct i Parabola nemaju bodove raskrižja, tj. Ova jednadžba nema korijena.

Odgovor. Jednadžba h. 2 - 2x + 5 \u003d 0 Nema korijena.

8. Metoda: Otopinu kvadratnih jednadžbi s cirkulacijom i

crta.

Grafički način rješavanja kvadratnih jednadžbi s paraboli je nezgodno. Ako izgradite parabolu na točkama, potrebno je mnogo vremena, a stupanj točnosti rezultirajućih rezultata je mali.

Predlažem sljedeću metodu pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0 Uz pomoć cirkulacije i vladara (sl. 5).

Pretpostavimo da željeni krug prelazi osovinu

abscissa na točkama U (x. 1 ; 0) i D. (H. 2 ; 0), Gdje h. 1 i h. 2 - Korijeni jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0i prolazi kroz točke

A (0; 1)i C (0;c./ a.) Na osi ordinata. Zatim, po teoremu na sekvenciranju imamo Ob, Od = OA. Oc.Iz! Oc. = Ob, Od/ OA.\u003d H. 1 h. 2 / 1 = c./ a..

Središte kruga nalazi se na mjestu sjecišta okomice Sf. i Skobnovljena u sredini akorda Ac i BD.pa

1) graditi bodove (središte kruga) i A.(0; 1) ;

2) Provest ćemo krug s radijusom Sa;

3) Apbsissa točke raskrižja ovog kruga s osi Oh su korijeni izvorne kvadratne jednadžbe.

Moguće je tri slučaja.

1) radijus kruga više ordinata (Kao Sk, iliR. a. + c./2 a.) , krug prelazi osovinu oh na dvije točke (sl. 6, a) U (x. 1 ; 0) i D.(H. 2 ; 0) gdje h. 1 i h. 2 - Korijeni kvadratne jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0.

2) Radijus kruga jednak je ordinatnom centru (Kao = Sb., iliR. = a. + c./2 a.) , krug se odnosi na osovinu Oh (sl. 6, b) u točki U (x. 1 ; 0) gdje je X1 korijen kvadratne jednadžbe.

3) radijus kruga manje ordinata

krug nema zajedničkih bodova s \u200b\u200bAbscissom osi (Sl. 6, b), u ovom slučaju jednadžba nema rješenje.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe h. 2 - 2x - 3 \u003d 0 (Sl. 7).

Odluka.Definiramo koordinate središta središta opsega obrazaca:

Provodimo krug radijusa, gdje A (0; 1).

Odgovor: h. 1 \u003d - 1; H. 2 = 3.

9. Metoda: Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću

nomogrami.

Ovo je stari i nezasluženo zaboravljeni način rješavanja kvadratnih jednadžbi,

objavljeno na S.83 (vidi Bradis V.M. Četveroznamenkasti matematički stolovi. - M., prosvjetiteljstvo, 1990).

Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbe z 2 + pz. + p: = 0 , Ovaj nomogram dopušta, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, prema koeficijentu

tamo odrediti korijenje jednadžbe.

Izgrađen je nomogram curvoline

prema formulama (Sl.11):

Vjerovati OS \u003d P,Ed = p:, O \u003d a (sve u vidu), od

kao trokuti Škrtac i CDF. Primati

omjera

gdje nakon zamjene i pojednostavljenja slijede jednadžbu

z 2 + pz. + p: = 0,

Štoviše, pismo z označava oznaku bilo koje točke curvilinearne ljestvice.

Primjeri.

1) Za jednadžbu z 2 - 9 z + 8 = 0 Nomogram daje korijene z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0 (Sl.12).

2) Rješavanje nomograme jednadžbe

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Koeficijenti ove jednadžbe dijelimo 2,

dobivamo jednadžbu

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

3) Za jednadžbu

z 2 - 25 z + 66 = 0

p i Q koeficijenti nadilaze skalu vage, obavljaju zamjenu z = 5 t.,

dobivamo jednadžbu

t. 2 - 5 t. + 2,64 = 0,

što rješavamo nomogram i dobivamo t. 1 = 0,6 i t. 2 = 4,4, iz z 1 = 5 t. 1 = 3,0 i z 2 = 5 t. 2 = 22,0.

10. Metoda: Geometrijski način rješavanja kvadrata

jednadžbe.

U antici, kada je geometrija razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu riješene algebrački, ali geometrijski. Dat ću slavni primjer iz Algebra Algebra al - Khorezmi.

Primjeri.

1) Rješavanje jednadžbe h. 2 + 10x \u003d 39.

U izvorniku se ovaj zadatak formulira na sljedeći način: "Trg i deset korijena je 39" (Sl.15).

Odluka. Razmotrite kvadrat sa strane X, pravokutnici su izgrađeni na svojim zabatima, tako da je druga strana svakog od njih 2,5, stoga je svaki prostor 2.5x. Rezultirajuća brojka se zatim nadopunjuje novom ABCD trgu, dovršava četiri jednaka kvadrata u kutovima, strana svakog od njih je 2,5, a područje je 6,25.

Područje S. Kvadrat ABCD. može biti zastupljen kao zbroj kvadrata: izvorni trg H. 2 , četiri pravokutnika (4 2.5x \u003d 10x) i četiri priložena kvadrata (6,25 4 = 25) , S. = h. 2 + 10x + 25.Zamjena

h. 2 + 10x Broj 39 , Dobivam to S. = 39 + 25 = 64 gdje slijedi da strana trga ABCD., odjeljak Ab \u003d 8., Za željenu stranu h. Početni kvadrat

2) ali, na primjer, kako su stari Grci riješili jednadžbu w. 2 + 6th - 16 \u003d 0.

Odlukaprikazani na sl. 16, gdje

w. 2 + 6th \u003d 16, ili 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

Odluka. Izrazi w. 2 + 6U + 9 i 16 + 9 Geometrijski predstavljaju

isti trg i početna jednadžba w. 2 + 6th - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - Ista jednadžba. Gdje i dobiti to y + 3 \u003d ± 5, ili w. 1 \u003d 2, 2 = - 8 (Sl.16).

3) Rješavanje geometrijske jednadžbe w. 2 - 6. - 16 \u003d 0.

Pretvaranje jednadžbe, dobiti

w. 2 - 6th \u003d 16.

Na sl. 17 Pronađite "slike" izraza w. 2 - 6., oni. S kvadrata trga, trg trga strane strane se oduzima 3 , Dakle, ako izraziti w. 2 - 6u. dodati 9 , onda dobivamo kvadratni trg sa strane u 3., Zamjena izraza w. 2 - 6u. jednak joj broj 16,

dobivamo: (Y - 3) 2 = 16 + 9, oni. y - 3 \u003d ± √25ili y - 3 \u003d ± 5, gdje w. 1 = 8 i W. 2 = - 2.

Zaključak

Kvadratne jednadžbe se naširoko koriste u rješavanju trigonometrijske, indikativne, logaritame, iracionalne i transcendentalne jednadžbe i nejednakosti.

Međutim, vrijednost kvadratnih jednadžbi nije samo u milosti i kratkoća rješavanja problema, iako je vrlo značajna. Jednako je važno da se, kao posljedica uporabe kvadratnih jednadžbi, novi dijelovi se rijetko ne otkrivaju pri rješavanju problema, otkrivaju se novi dijelovi, moguće je napraviti zanimljive generalizacije i napraviti pojašnjenje koje se potaknuju analizom dobivenih formula i omjeri.

Htio bih primijetiti činjenicu da još uvijek postoji mala proučavana tema u ovom radu, samo to ne čini, tako da je mnogo skriveno i nepoznato, što daje izvrsnu priliku za daljnji rad na njemu.

Ovdje smo se zaustavili na pitanju rješavanja kvadratnih jednadžbi, a što ako postoje i drugi načini rješavanja?! Ponovno pronalaženje lijepih uzoraka, nekih činjenica, pojašnjenja, generalizacije, otvoriti sve nove i nove. Ali to su pitanja koja već slijede.

Summing Up, možemo zaključiti: kvadratne jednadžbe igraju veliku ulogu u razvoju matematike. Svi znamo kako riješiti kvadratne jednadžbe od školske klupe (8. razreda), prije kraja sveučilišta. Ove znanje mogu doći u ruci tijekom cijelog života.

Budući da su ove metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi jednostavne za korištenje, oni će zasigurno biti zainteresirani za ljubav matematike studenata. Naš posao omogućuje da izgleda drugačije o zadacima koje matematika predstavlja.

Književnost:

1. Alimov s.a., ilyin V.a. i drugi. Algebra, 6-8. Probni vodič za srednju školu od 6-8 klase. - M., prosvjetljenje, 1981.

2. Bradis V.M. Četveroznamenkasti matematički stolovi za srednju školu.

Ed. 57. \\ t - M., prosvjetljenje, 1990. str. 83.

3. Krozhapov A.K., Rubanov. Problem na algebri i elementarnim funkcijama. Tutorial za sekundarne posebne obrazovne ustanove. - M., Viša škola, 1969.

4. Okunev. Kvadratne funkcije, jednadžbe i nejednakosti. Priručnik za učitelja. - M., prosvjetljenje, 1972.

5. Presman a.a. Rješavanje kvadratne jednadžbe s cirkulacijom i ravnalom. - M., Kvant, br. 4/72. 34.

6. Solomnik V.S., Milov p.i. Prikupljanje pitanja i zadataka u matematici. Ed. - 4., dodatak. - M., Viša škola, 1973.

7. Khudobin a.i. Prikupljanje zadataka na algebre i elementarnih funkcija. Priručnik za učitelja. Ed. 2.. - M., prosvjetljenje, 1970.

Zahtjev za upravljanje

istraživački rad

Vođa: Prikhodko Yury Vladimirovich (matematički učitelj)

Procijenjena tema: "10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi"

Konzultanti:

Prikhodko Juri Vladimirovich (učitelj matematike);

Eroshenkov dmitrija Aleksandrovich (učitelj informatike)

Obrazovno područje znanja, obrazovni predmet, u okviru projekta matematika

Obrazovne discipline bliske teme projekta: matematika

Klasa obuke: Ocjena 9.

Sastav istraživačke skupine: Kursin Dmitry, Pavlikov Dmitrij

Pogled na projekt na dominantnoj aktivnosti učenika: proučavanje racionalnih načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Vrsta trajanja projekta: dugoročno

Vrsta obrazovanja: izborni tečaj

Potrebna oprema: znanstvena i popularna književnost koja se odnosi na razmatranje različitih načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Procijenjeni projektni proizvod: stvaranje obrazovnih i metodoloških materijala o korištenju racionalnih načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif "Visina \u003d" 952 "\u003e Sergievska srednja škola"

Izvršena: Sizikov Stanislav

Učitelj, nastavnik, profesor:

iz. Sergievka, 2007

1. Uvod. Kvadratne jednadžbe u drevnom babilonu .................. .3

2. kvadratne jednadžbe na dijaflastu ............ .. ............................. , .4

3. kvadratne jednadžbe u Indiji ............................................ .... 5

4. kvadratne jednadžbe u al - khorezmi .......................................... ..............

5. kvadratne jednadžbe u Europi XIII - XYII .............................. ... 7

6. O Vieta Teorem ............................................ ...................... ..9

7. Deset načina rješavanja kvadratnih jednadžbi ........................ ..10

8. Zaključak ............................................... ......................... 20

9. Reference ............................................... ........................... ... 21

Uvod

Kvadratne jednadžbe

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojoj se veličanstvena zgrada algebre odmara. Kvadratne jednadžbe se široko koriste u rješavanju trigonometrijske, indikativne, logaritame, iracionalne jednadžbe. Svi znamo kako riješiti kvadratne jednadžbe, počevši od 8. razreda. Ali što je uzrokovalo povijest rješenja kvadratnih jednadžbi?

Kvadratne jednadžbe u drevnom babilonu

Potreba za rješavanjem jednadžbi ne samo prvi, ali i drugi stupanj antike je uzrokovan potrebom za rješavanjem problema povezanih s pronalaženjem područja zemljišnih parcela; Zemljana vojne prirode, kao i s razvojem astronomije i matematike. Kvadratne jednadžbe su uspjele riješiti oko 2000 godina prije. e. Babilonski. Primjena modernog algebarskog zapisa, možemo reći da u svojim klinoksima tekstovima postoje, osim nepotpune, i takve, na primjer, pune kvadratne jednadžbe: x2 + x \u003d ,: x2 - x \u003d 14https: //pandia.ru/text / 78/082/082/082 /images/image005_150.gif "širina \u003d" 16 "visina \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e) 2 + 12 \u003d x; Bhaskara piše pod krinkom

x2- 64h. = - 768

i dopuniti lijevi dio ove jednadžbe na kvadratu, dodaje se i na oba dijela 322, a zatim dobivanje: x2- 64x + 322 \u003d - 768 + 1024;

(H.- 32)2 = 256; x -32 \u003d ± 16, xt. = 16, sp= 48.

Kvadratne jednadžbe u al - khorezmi

Al-Khorezmi algebarska rasprava pruža klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor uključuje 6 vrsta jednakih, izražavajući ih kako slijedi:

1) "kvadrati su jednaki korijenima", tj. ah2 \u003d wt.

2) "kvadrati su jednaki broju", tj. ah2= iz.

3) "korijeni su jednaki broju", tj. ah \u003d s.

4) "kvadrati i brojevi su jednaki korijenja", tj. ah2+ c \u003d wk.

5) "kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. ah2+ in \u003d s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. vak+ c \u003d ah2. Za al-khorezmi, izbjegavajući korištenje negativnih brojeva, članovi svake od tih jednadžbi su komponente, a ne oduzete. U isto vrijeme, to se očito ne uzima u obzir jednadžbe koje nemaju pozitivna rješenja. Autor postavlja načine rješavanja tih jednadžbi. Njegova odluka, naravno, ne podudara se s našim. Već da ne spominjem da je to čisto retoričko, treba napomenuti, na primjer, da kada se rješava nepotpuna kvadratna jednadžba prvog tipa Al-Khorezmi, kao i sve matematike do XVII. Stoljeća, ne uzima u obzir nultu otopinu , vjerojatno zato što u konkretnom praktičnom praktičnom praktičnom nije važnim zadacima. Prilikom rješavanja punih kvadratnih jednadžbi, al-poslovi na privatnim numeričkim primjerima određuju pravila za rješenje, a zatim njihove geometrijske dokaze.

Dajmo primjer.

Zadatak 14. "Trg i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen "(mjeri korijen jednadžbe x2 +. 21 = 10x).

Odluka autora čita nešto slično: mi podijeliti broj korijena, dobit ćete 5, pomnožiti 5 po sebi, od posla od jednog 21, ostat će 4. Uklanjanje korijena od 4, dobit ćete 2. Snimljena 2 od 5, dobit ćete 3, to će biti željeni korijen. Ili dodajte 2 do 5, što će dati 7, ima i korijen.

Skladište Al-Khorezmi je prva knjiga koja nam je stigla do nas, u kojoj se sustavno prikazuje klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane su njihove formule.

Kvadratne jednadžbe u EuropiXIII.- Xvii Eksplozivno

Formule za otopinu kvadratnih jednadžbi za Al-Khorezmi u Europi prvi su postavljeni u "Abaka knjige" (objavljenoj u Rimu usred prošlog stoljeća "Knjiga Abaca" Fibonacci sadrži 459 stranica), napisano 1202. godine Talijanski matematičar Leonardo Fibonacci. Ovaj temeljit rad, koji odražava utjecaj matematike i zemalja islama i drevne Grčke, također se odlikuje i potpunost i jasnoća prezentacije. Autor je samostalno razvio neke nove algebarske primjere rješavanja problema i prvog uEuropa se približila uvođenju negativnih brojeva. Njegova knjiga promovirala je širenje algebarskog znanja ne samo u Italiji, nego iu Njemačkoj, Francuskoj i drugim europskim zemljama. Mnogi izazovi iz "Knjige Abaka" prošle su gotovo sve europske udžbenike XVI-XVII stoljeća. i djelomično xviii.

Opće pravilo rješavanja kvadratnih jednadžbi koje se daju jedan kanonski oblik x2+ q \u003d S, Za sve vrste kombinacija znakova koeficijenta b, S.formulirana je u Europi samo 1544. godine. M. Utr.

Izlaz formule otopine kvadratne jednadžbe općenito je dostupan u Vieci, ali Vijetna je prepoznala samo pozitivne korijene. Talijanski matematičari tartalija, Kardako, Bombelly među prvima u XVI stoljeću. S obzirom na pozitivne i negativne korijene. Samo u XVII. Stoljeću. Zahvaljujući djelima Girarda, dekreta, Newtona i drugih znanstvenika, metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi uzima moderan izgled.

O teoremi vieta

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratnih jednadžbi i njegovih korijena, koji je ime Vieta, formuliran je prvi put 1591. godine kako slijedi: "Ako U+ D., umnožiti ALIminus A2,jednako BD., da ALIjednako Ui jednako D.».

Razumjeti Vietu, trebate se sjetiti toga ALI,kao svi
pismo samoglasnika značilo je da je bio nepoznat (naš x)samoglasnici
U,D. - koeficijenti u nepoznatom. Na jeziku moderne algebre iznad, tekst vieta znači: ako postoji

(ali+ c) x - x2 = ab, x2 - (A +. b.) x. + ab = 0, x1 \u003d A, X2 \u003d C.

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi s uobičajenim formulama zabilježenim simbolima, visjet će odrediti ujednačenost u metodama rješavanja jednadžbi. Međutim, simbolizam vieta je još uvijek daleko od trenutne vrste. Nije prepoznao negativne brojeve i stoga, pri rješavanju jednadžbi, smatrao je samo slučajevima kada su svi korijeni pozitivni

Deset načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

1. Razgradnja lijevog dijela tvorničke jednadžbe

Rješavanje jednadžbe x2+ 10h. - 24 \u003d 0. Proširite lijevi dio jednadžbe čimbenika:

x2 + 10X - 24 \u003d X2 + 12x - 2x - 24 \u003d

X (X + X + 12) \u003d (X + 12) (X - 2).

Prema tome, jednadžba se može prepisati tako:

(h. + 12) (x - 2) \u003d 0.

Budući da je rad nula, barem jedan od njegovog faktora je nula. Dakle, lijevi dio jednadžbe privlači nulu x \u003d2, kao i h.\u003d - 12. To znači da su brojevi 2 i - 12 korijeni jednadžbe X2 + 10x - 24 \u003d 0.

2. Način raspodjele punog trga

Objasnimo ovu metodu na primjeru.

Ja riješiti jednadžbu X2 + 6x - 7 \u003d 0. Dodijelimo cijeli kvadrat na lijevoj strani. Da biste to učinili, napišite izraz X2 + 6x u sljedećem obliku:

x2 + 6X \u003d X2 + 2 * X * 3.

U nastalom izrazu, prvi izraz je kvadrat broja x, a drugi - dvostruki proizvod x do 3. Stoga, da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 32, jer

x2 + 2 x 3 + 32 \u003d (X + 3) 2.

Sada preobrađujemo lijevi dio jednadžbe

x2 + 6X - 7 \u003d 0,

dodavanje i oduzimanje 32. Imamo:

x2 + 6X - 7 \u003d X2 + 2 h. 3 +– 7 = (H.- \u003d (x - z) 2 - 16 .

Stoga se ovo dvorište može napisati kako slijedi:

(x + \u003d 0, tj. (X + 3) 2 \u003d 16.

Stoga, h.+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1 ili X + 3 \u003d - 4, X2 \u003d - 7.

3. Rješenje kvadratnih jednadžbi na formuli

Pomnožite oba dijela jednadžbe

ah2+ vak+ c \u003d.0, a0, po 4a.i dosljedno imamo:

4A2 x2 + 4abx. + 4AS \u003d.0,

((2AH) 2 + 2 axb. + b.2 ) - b.2 + 4AS.= 0,

(2AH +.b.) 2 \u003d B2- 4AS,

2akh+ b. \u003d ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif "širina \u003d" 71 "visina \u003d" 27 "\u003e, x1,2 \u003d

U slučaju pozitivnog diskriminacije, tj. b2 - 4AS\u003e0, jednadžba ah2+ vK + S.\u003d 0 ima dva različita korijena.

Ako je diskriminant nula, tj. b2 - 4AS \u003d0, zatim jednadžba ah2+ vak+ iz\u003d 0 ima jedini korijen, X \u003d - - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif "širina \u003d" 14 "visina \u003d" 62 "\u003e Njegovi korijeni zadovoljavaju teorem Vieta, koji ali\u003d 1 ima oblik

x1 x2 \u003d. p:,

x1 + x2 \u003d - r.

Odavde možete izvući sljedeće zaključke (koeficijentima ri p: Možete predvidjeti znakove root).

a) ako je slobodan član p: Zadanu jednadžbu (1)
pozitivan (p: \u003e 0), jednadžba ima dva identična
na znak korijena i to ovisi o drugom koeficijentu r
Ako a r\u003e 0, oba korijena su negativna ako r< 0, onda oboje
korijen je pozitivan.

Na primjer,

x2- 3h. + 2 = 0; x1\u003d 2 i x2 \u003d 1, jer p: = 2 > 0 u. p. = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 \u003d 0; x 1 \u003d - 7 i x2 \u003d - 1, od tada p: \u003d 7\u003e 0 i r = 8 > 0.

b) ako je slobodan član p: Zadanu jednadžbu (1)
negativan (p: < 0), jednadžba ima dva različita na znak korijena, a korijen veći u modulu će biti pozitivan ako r< 0, ili negativno ako P\u003e0.

Na primjer,

x2 + 4X - 5 \u003d 0; X1 \u003d - 5 i X2 \u003d 1, jer p: = - 5 < 0 и r= 4 > 0;

x2 - 8X - 9 \u003d 0; x1 \u003d9 I. x2\u003d - 1, od tada p: = - 9 < и r= - 8 < 0.

5. Rješavanje jednadžbi metodom "tranzita"

Razmotrite kvadratnu jednadžbu ah2 + vh+ c \u003d.0, gdje a0. Pomnožite oba dijela ali,dobivamo jednadžbu a2X2 +.abx. + AC= 0.

Neka biti ah \u003d y,iz h.\u003d; Onda dođite na jednadžbu

u2.+ po + AC \u003d.0,

ekvivalentno tome. Njegove korijene u1.i u2.naći ćemo uz pomoć teorema Vieta. Napokon dobiti x1\u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif "širina \u003d" 24 "visina \u003d" 43 "\u003e.

S ovim koeficijentom metode alipomnožen s besplatnim članom, kao da mu se "pomiče", pa se zove metoda "tranzita".Ova metoda se koristi kada lako možete pronaći korijene jednadžbe pomoću teorema Vieta i, što je najvažnije, kada je diskriminant točan trg.

1. Rješavanje jednadžbe 2x2 - 11x + 15 \u003d 0.

Odluka."Mi ćemo prenijeti" koeficijent 2 na slobodan član, kao rezultat dobivamo jednadžbu

u2 - 11. w.+ 30 = 0.

Prema teoremu Vieta U1 \u003d 5, U2 \u003d 6, pa je X1 \u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif "širina \u003d" 16 visina \u003d 41 "visina \u003d" 41 " \u003e, t. e.

x1 \u003d 2,5 x2 \u003d 3.

Odgovor:2,5; 3.

6. Svojstva kvadratnih koeficijenatajednadžba

A. Neka kvadratna jednadžba

aH2 + VX + s\u003d 0, gdje ali ≠ 0.

1. Ako A + b + S.= 0 (tj. Zbroj koeficijenata jednadžbi je nula), a zatim x1 \u003d1, X2 \u003d.

2. Ako je a - in + s= 0, ilib. = ali + c, zatim x1 \u003d -1, h.2 \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif "širina \u003d" 44 visina \u003d 41 "visina \u003d" 41 "\u003e.

Odgovor:1; 184">

Moguće su sljedeće slučajeve:

Direct i Parabola se može presjeći na dvije točke, bijeg križanja su korijeni kvadratne jednadžbe;

Izravna i parabola može se odnositi (samo jednu zajedničku točku), tj. Jednadžba ima jedno rješenje;

Direct i Parabola nemaju zajedničke točke, tj. Kvadratna jednadžba nema korijena.

Primjeri.

1. Rješavanje grafički jednadžbe X2 - 3X - 4 \u003d 0 (Sl. 2).

Odluka.Pišemo jednadžbu u obliku x2 \u003d 3x + 4.

Gradimo parabolu y \u003d x2.i ravno y \u003d.3 + 4. Ravno w.\u003d 3x + 4 se mogu konstruirati s dvije točke m (0; 4) i N (3; 13). Izravna i parabola se sijeku na dvije točke I B.s apscisions x1\u003d - 1 i X2 \u003d 4.

Odgovor: X1\u003d - 1, X, \u003d 4.

8. Otopina kvadratnih jednadžbi s cirkulacijom i ravnilom

Grafički način rješavanja kvadratnih jednadžbi s paraboli je nezgodno. Ako izgradite parabolu na točkama, potrebno je mnogo vremena, a stupanj točnosti rezultirajućih rezultata je mali.

Nudimo sljedeću metodu pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe

ah2+ vak+ iz= 0

uz pomoć cirkulacije i vladara (sl.).

Pretpostavimo da željeni krug prelazi Abscisa os na točkama B.(x1;0) I. D.(x.2 ; 0) gdje x1i x2- Korijeni jednadžbe ah2 + vh+iz=0,
i prolazi kroz točke a (0; 1) i od (0;) na ordinatnoj osi..gif "širina \u003d" 197 "visina \u003d" 123 "\u003e

Tako: 1) izgraditi bodove https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif "širina \u003d" 171 "visina \u003d" 45 "\u003e krug prelazi osovinu oh na točki u (X1; 0), i d (x1 ; 0), gdje X1 i X2 - korijeni kvadratne jednadžbe AH2 + BX + C = 0.

2) Radijus kruga jednak je ordinatnom centru , krug se odnosi na osovinu oh u točki u (X1; 0), gdje xx- korijen kvadratne jednadžbe.

3) radijus kruga je manji od ordinata središta lijevog "\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif "širina \u003d" 612 "visina \u003d" 372 "\u003e 40" visina \u003d "14"\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif "širina \u003d" 612 "visina \u003d" 432 src \u003d "\u003e

Gdje nakon zamjene i

Pojednostavljenja slijedi jednadžbu Z2 + pz + q \u003d 0, a slovo Z označava oznaku bilo koje točke krivoljenog ljestvice.

10. Geometrijska metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi

U antici, kada je geometrija razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu riješene algebrački, ali geometrijski. Dajemo slavni primjer algebra algebre od algebre.

I četiri priložena kvadrata, tako. S \u003d X2 + 10x + 25. Zamjena X2 + 10x prema broju 39, dobivamo to s \u003d 39 + 25 \u003d 64, odakle slijedi da je strana kvadrata ABCD., tj Au\u003d 8. Za željenu stranu h.početni kvadrat

Zaključak

Svi znamo kako riješiti kvadratne jednadžbe, počevši od školske klupe, do kraja sveučilišta. No, u školskom tijeku matematike proučava se formula korijena kvadratnih jednadžbi s kojima se mogu riješiti bilo koja kvadratna jednadžba. Međutim, nakon što je studirao ovo pitanje o dubljem, bio sam uvjeren da postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi koje omogućuju mnoge jednadžbe vrlo brzo i racionalno.

Možda matematika negdje u drugim dimenzijama, oko nije vidljivo, - sve i samo dobivamo sve nove činjenice iz rupa sa svjetovima? ... pogleda Bog; Ali ispostavilo se da ako fizičari, kemikalije, ekonomisti ili arheolozi trebaju novi model svijeta, ovaj model se uvijek može uzeti s police, koji je prije tri godine stavio matematiku ili skupljali iz dijelova koji leže na istoj polici. Možda će se te stavke morati uvrnuti, uhvaćene jedni drugima, zagađuju, brzo izostajati nekoliko novih čahura teorema; No, teorija rezultata neće samo opisati stvarnu situaciju, već i predviđa posljedice! ...

Čudna stvar - ovaj um je igra koja je uvijek u pravu ...

Književnost

1. Alimov Sha., Ilyin VA. i drugi. Algebra, 6-8. Probni vodič za srednju školu 6-8. - M., prosvjetljenje, 1981.

2.Bradis matematičke stolove za srednju školu. Ed. 57. \\ t - M., prosvjetljenje, 1990. str. 83.

3.Botsko blokiranje pri podučavanju matematike. Rezervirajte učitelja. - M., prosvjetljenje, 1992.

4.m., Matematika (Dodatak novinama "prije rujna), br. 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Funkcije, jednadžbe i nejednakost. Priručnik za učitelja. - M., prosvjetljenje, 1972.

6. Akana B. C., slatka pitanja i zadaci u matematici. Ed. 4., Dodatak. - M., Viša škola, 1973.

7.m., matematika (aneks novinama "prije rujna), br. 40, 2000.

Pregled

raditi student 11 klase Mou "Sergievskaya prosječno

sveobuhvatna škola"

Copsevskaya seoska srednja škola

10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeva Galina Anatolyevna,

matematički učitelj

s.Kopievo, 2007.

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 kvadratna jednadžba u drevnom babilonu

1.2 Kao što je objavljeno i riješeno diofant kvadratne jednadžbe

1.3 kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 kvadratne jednadžbe u Alcohiseu

1.5 kvadratnih jednadžbi u Europi XIII - XVII stoljećima

1.6 O Vieta Teorem

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1 .1 Kvadratni ekvu drevnom babilonu

Primjenom modernog algebarskog zapisa, možemo reći da u svojim klinoksičnim tekstovima postoje, osim nepotpune, i takve, na primjer, pune kvadratne jednadžbe:

X. 2 + X. = ѕ; X. 2 - X. = 14,5

Unatoč visokoj razini razvoja algebre u Babilonu, nema koncepta negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi u klinoksičnim tekstovima.

1.2 Kao što je napravljeno i riješeno jednadžbe diofanta.

U "aritmetici" dijelofanta ne postoji sustavna prezentacija algebre, ali sadrži sustavni broj zadataka popraćenih objašnjenjima i riješeno s pripremom jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom izrade diofant jednadžbi pojednostaviti rješenje vješto bira nepoznato.

Ovdje, na primjer, jedan od njegovih zadataka.

Zadatak 11. "Pronađite dva broja, znajući da je njihov iznos 20, a rad je 96"

Stoga jednadžba:

(10 + X) (10 - X) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

h. 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x \u003d 2., Jedan od željenih brojeva je 12 Drugi 8 , Odluka x \u003d -2. Ne postoji za Diophanta, jer je grčka matematika znala samo pozitivne brojeve.

Ako odlučimo o ovom zadatku, odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznato, doći ćemo u rješavanju jednadžbe

y (20 - y) \u003d 96,

w. 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Jasno je da odabirom kao nepoznata igra željenog brojeva, diofant pojednostavljuje odluku; On može smanjiti zadatak rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

Oh 2 + b.x \u003d S, a\u003e 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti osim alimože biti negativan. Pravilo brahmagupte u biti se podudara s našim.

Ovdje je jedan od zadataka poznate indijske matematike XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

"Navođenje majmuna i dvanaest na lianamu ...

Moć okrenuta, zabavlja se. Počeo skočiti, visi ...

Nalaze se u kvadratnom dijelu osmog koliko je majmuna bilo,

U gladu se zabavljala. Reci li mi, u ovom stog? "

Odluka Bhaskare svjedoči o činjenici da je znao o sumnjivosti korijena kvadratnih jednadžbi (sl. 3).

Odgovarajući zadatak 13 jednadžba:

(x./8) 2 + 12 = x.

Bhaskara piše pod krinkom od:

h. 2 - 64x \u003d -768

i dopuniti lijevi dio ove jednadžbe na kvadrat dodaje oba dijela 32 2 , dobivanje tada:

h. 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16,

h. 1 = 16, h. 2 = 48.

1.4 Kvadratni ekval - khorezmi

U algebarskoj raspravi Al-Khorezmi daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor uključuje 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih kako slijedi:

1) "kvadrati su korijeni", tj. oh 2 + C \u003d.b.x.

2) "kvadrati su jednaki broju", tj. oh 2 \u003d s.

3) "korijeni su jednaki broju", tj. ah \u003d s.

4) "kvadrati i brojevi su jednaki korijenja", tj. oh 2 + C \u003d.b.x.

5) "kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. Oh 2 + bx. \u003d s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj. bx. + C \u003d ah 2 .

al-Khorezmi, kao i sve matematike do XVII. Stoljeća, uzima u obzir nultu rješenje, vjerojatno zato što nije bitno u određenim praktičnim zadacima. Pri rješavanju kompletnih kvadratnih al-poslovnih jednadžbi na privatnim numeričkim primjerima utvrđuje pravila odluke, a zatim geometrijskih dokaza.

Zadatak 14. "Trg i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen » (Znači korijen jednadžbe x 2 + 21 \u003d 10x).

Tvrtka Al-Khorezmi je prva, koja nam je došla knjigu u kojoj se nalaze klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule.

1.5 Kvadratne jednadžbe u EuropiXIII. - Xvii Bb

Opće pravilo rješavanja kvadratnih jednadžbi koje se daju istim kanonskim oblikom:

h. 2 + bx. \u003d C,

za sve vrste kombinacija znakova koeficijenta b., izformulirana je u Europi samo na 1544. M. Utr.

1.6 O Vieta Teorem

(A +.b.) x - x 2 = ab,

h. 2 - (a +b.) x + ab. = 0,

h. 1 \u003d A, h. 2 = b..

Izražavanje odnosa između korijena i koeficijenata jednadžbi s uobičajenim formulama zabilježenim simbolima, visjet će odrediti ujednačenost u metodama rješavanja jednadžbi. U isto vrijeme, simbolizam Vieta je još uvijek daleko od trenutne vrste. Nije prepoznao negativne brojeve i za to, pri rješavanju jednadžbi, smatra samo slučajevima kada su svi korijeni pozitivni.

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Kvadratne jednadžbe su temelj na kojoj se veličanstvena zgrada algebre odmara. Kvadratne jednadžbe se naširoko koriste u rješavanju trigonometrijske, indikativne, logaritame, iracionalne i transcendentalne jednadžbe i nejednakosti. Svi znamo kako riješiti kvadratne jednadžbe od školske klupe (8. razreda), prije kraja sveučilišta.

U školskom tijeku matematike proučava se formule korijena kvadratnih jednadžbi, s kojima se mogu riješiti bilo koja kvadratna jednadžba. U tom slučaju postoje i drugi načini rješavanja kvadratnih jednadžbi koje omogućuju mnoge jednadžbe vrlo brzo i racionalno. Postoji deset načina za rješavanje kvadratnih jednadžbi. Detaljno sam u mom radu rastavio svaku od njih.

1. Metoda : Raspadanje lijevog dijela tvorničke jednadžbe.

Rješavanje jednadžbe

h. 2 + 10x - 24 \u003d 0.

Snatulate lijevu stranu čimbenika:

h. 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (X + 12) \u003d (X + 12) (X - 2).

Prema tome, jednadžba se može prepisati tako:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. Metoda : Način dodjele punog trga.

Rješavanje jednadžbe h. 2 + 6x - 7 \u003d 0.

Označavamo cijeli kvadrat na lijevoj strani.

Da biste to učinili, napišite izraz x 2 + 6x u sljedećem obliku:

h. 2 + 6x \u003d x 2 + 2 * x * 3.

U nastalom izrazu, prvi izraz je kvadrat broja x, a drugi - dvostruki proizvod x do 3. na to da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 3 2, jer

x 2 +. 2 * x * 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2 .

Sada preobrađujemo lijevi dio jednadžbe

h. 2 + 6x - 7 \u003d 0,

dodavanje i oduzimanje 3 2. Imamo:

h. 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 * x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

Dakle, ova jednadžba može biti napisana kao:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Stoga, x + 3 - 4 \u003d 0, X 1 \u003d 1 ili X + 3 \u003d -4, X 2 = -7.

3. Metoda : Otopinu kvadratnih jednadžbi pomoću formule.

Pomnožite oba dijela jednadžbe

oh 2 + b.x + C \u003d 0, i? 0.

na 4a i dosljedno imamo:

4a. 2 h. 2 + 4a.b.x + 4AS \u003d 0,

((2AH) 2 + 2AH *b. + b. 2 ) - b. 2 + 4 ac = 0,

(2AX + B) 2 \u003d B. 2 - 4ac,

2AX + B \u003d ± v b 2 - 4ac,

2AX \u003d - B ± v b 2 - 4ac,

Primjeri.

ali) Rješavanje jednadžbe: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,b. \u003d 7, c \u003d 3,D. = b. 2 - 4 ac = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

D. > 0, dva različita korijena;

Tako, u slučaju pozitivnog diskriminacije, tj. za

b. 2 - 4 ac >0 , jednadžba oh 2 + b.x + c \u003d 0 Ima dva različita korijena.

b Rješavanje jednadžbe: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,b. \u003d - 4, c \u003d 1,D. = b. 2 - 4 ac = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

D. = 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b. 2 - 4 ac = 0 , zatim jednadžba

oh 2 + b.x + c \u003d 0 ima jedini korijen

u) Rješavanje jednadžbe: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,b. \u003d 3, c \u003d 4,D. = b. 2 - 4 ac = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , D. < 0.

Ova jednadžba nema korijena.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b. 2 - 4 ac < 0 ,

jednadžba oh 2 + b.x + c \u003d 0 Nema korijena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0 Omogućuje vam da pronađete korijene bilo tko Kvadratna jednadžba (ako postoji), uključujući gore i nepotpuno. Valjana formula (1) je izražena kao: korijeni kvadratne jednadžbe jednake su frakciji, čiji je numerirani broj jednak drugom koeficijent snimljenim s suprotnim znakom, te minus korijenski trg s kvadrata ovog koeficijenta bez i dalje-stojećeg proizvoda prvog koeficijenta Slobodni član, a denominator ima dvostruko koeficijent.

4. Metoda: Rješavanje jednadžbi pomoću teorema Vieta.

Kao što znate, smanjena kvadratna jednadžba ima oblik

h. 2 + px. + c. = 0. (1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju teoremu Vieta, koji a \u003d 1. Izgled

x. 1 x. 2 = p:,

x. 1 + x. 2 = - p.

Odavde možete nacrtati sljedeće zaključke (prema koeficijentima P i Q možete predvidjeti znakove korijena).

Na primjer,

x. 2 - 3 x. + 2 = 0; x. 1 = 2 i x. 2 = 1, kao p: = 2 > 0 i p. = - 3 < 0;

x. 2 + 8 x. + 7 = 0; x. 1 = - 7 i x. 2 = - 1, kao p: = 7 > 0 i p.= 8 > 0.

Na primjer,

x. 2 + 4 x. - 5 = 0; x. 1 = - 5 i x. 2 = 1, kao p:= - 5 < 0 i p. = 4 > 0;

x. 2 - 8 x. - 9 = 0; x. 1 = 9 i x. 2 = - 1, kao p: = - 9 < 0 i p. = - 8 < 0.

5. Metoda: Rješavanje jednadžbi metodom "tranzita".

Razmotrite kvadratnu jednadžbu

oh 2 + b.x + c \u003d 0,gdje ali? 0.

Množenjem oba dijela od strane a, dobivamo jednadžbu

ali 2 h. 2 + A.b.x + AC \u003d 0.

Neka biti ah \u003d uIz! x \u003d y / a; Onda dođite na jednadžbu

w. 2 + po + AC \u003d 0,

ekvivalentno tome. Njegove korijene w. 1 i w. 2 naći ćemo uz pomoć teorema Vieta.

Napokon dobiti

h. 1 \u003d W. 1 /ali i h. 1 \u003d W. 2 /ali.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Odluka. "Mi ćemo prenijeti" koeficijent 2 na slobodan član, kao rezultat dobivamo jednadžbu

w. 2 - 11. + 30 \u003d 0.

Prema teoremi vieta

w. 1 = 5 h. 1 = 5/2 x. 1 = 2,5

w. 2 = 6 x. 2 = 6/2 x. 2 = 3.

Odgovor: 2.5; 3.

6. Metoda: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

ALI. Neka se daju kvadratna jednadžba

oh 2 + b.x + c \u003d 0,gdje ali? 0.

1) Ako, A +b. + C \u003d 0 (tj. Zbroj koeficijenata je nula), a zatim x 1 = 1,

h. 2 \u003d S / a.

Dokaz. Podijelimo oba dijela jednadžbe na A? 0, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu

x. 2 + b./ a. * x. + c./ a. = 0.

Prema teoremi vieta

x. 1 + x. 2 = - b./ a.,

x. 1 x. 2 = 1* c./ a..

Po uvjetima ali -b. + c \u003d 0,iz b. \u003d A + s.Na ovaj način,

x. 1 + X. 2 = - ali + b / a \u003d -1 - c / a,

x. 1 x. 2 \u003d - 1 * (- c / a),

oni. h. 1 = -1 i h. 2 = c./ a.koji je potrebno dokazati.

Primjeri.

1) Rješavanje jednadžbe 345x 2 - 137X - 208 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b. + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),da

h. 1 = 1, h. 2 = c./ a. = -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) jednadžba rješenja 132x 2 - 247x + 115 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b. + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), da

h. 1 = 1, h. 2 = c./ a. = 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b. = 2 k. - čak i broj, zatim korijen formulu

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Odluka, Imamo: a \u003d 3,b. \u003d - 14, c \u003d 16,k. = -- 7 ;

D. = k. 2 - ac = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, D. > 0, dva različita korijena;

Odgovor: 2; 8/3

U. Smanjena jednadžba

h. 2 + RH +.p:= 0

podudara se s općim prikazom jednadžbom u kojoj a \u003d 1., b. \u003d R. i c \u003d.p:, Stoga, za smanjenu kvadratnu jednadžbu korijenja formule

zauzima pogled:

Formula (3) je posebno prikladna za uporabu kada r-- Parni broj.

Primjer. Rješavanje jednadžbe h. 2 - 14x - 15 \u003d 0.

Odluka.Imamo: h. 1,2 \u003d 7 ± 7 ±

Odgovor: H. 1 \u003d 15; H. 2 = -1.

7. Metoda: Grafička otopina kvadratne jednadžbe.

Ako je u jednadžbi

h. 2 + px. + p: = 0

prebacite drugi i treći članovi na desnoj strani, a onda dobivamo

h. 2 = - px. - p:.

Konstruiramo grafikone ovisnosti y \u003d x 2 i y \u003d - px - q.

Prvi raspored ovisnosti je parabola, prolazeći kroz podrijetlo koordinata. Grafikon druge ovisnosti -

ravno (sl. 1). Moguće su sljedeće slučajeve:

Direct i Parabola se može presjeći na dvije točke, bijeg križanja su korijeni quad omjera;

Direct i Parabola može dotaknuti (samo jednu zajedničku točku), tj. Jednadžba ima jedno rješenje;

Direct i Parabola nemaju zajedničke točke, tj. Kvadratna jednadžba nema korijenje.

Primjeri.

1) Velika jednadžba h. 2 - 3x - 4 \u003d 0 (Sl. 2).

Odluka. Pišemo jednadžbu u obliku H. 2 \u003d 3x + 4.

Gradimo parabolu y \u003d x. 2 I ravno y \u003d 3x + 4, Ravno

y \u003d 3x + 4 može se izgraditi na dvije točke M (0; 4) i

N. (3; 13) , Izravna i parabola se sijeku na dvije točke

ALI i U S apscisions h. 1 = - 1 i h. 2 = 4 . OdgovorH. 1 = - 1;

h. 2 = 4.

2) Otpor grafičkoj jednadžbi (sl. 3) h. 2 - 2x + 1 \u003d 0.

Odluka. Pišemo jednadžbu u obliku h. 2 \u003d 2x - 1.

Gradimo parabolu y \u003d x. 2 i ravno Y \u003d 2x - 1.

Ravno y \u003d 2x - 1 Izgraditi na dvije točke M (0; - 1)

i N.(1/2; 0) , Izravna i parabola se siječe u točki ALI iz

apscisa x \u003d 1.. Odgovor: x \u003d 1.

3) Velika jednadžba h. 2 - 2x + 5 \u003d 0(Sl. 4).

Odgovor. Jednadžba h. 2 - 2x + 5 \u003d 0 Nema korijena.

8. Metoda: Otopinu kvadratnih jednadžbi s cirkulacijom i crta.

Grafički način rješavanja kvadratnih jednadžbi s paraboli je nezgodno. Ako izgradite parabolu na točaka, potrebno je puno vremena, a sa svim tim, stupanj točnosti rezultirajućih rezultata je mali.

Predlažem sljedeću metodu pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0 Uz pomoć cirkulacije i vladara (sl. 5).

Pretpostavimo da željeni krug prelazi osovinu

abscissa na točkama U (x. 1 ; 0) i D. (H. 2 ; 0), Gdje h. 1 i h. 2 - Korijeni jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0i prolazi kroz točke

A (0; 1)i C (0;c./ a.) Na osi ordinata. Zatim, po teoremu na sekvenciranju imamo Ob, * Od = OA. * Oc.Iz! Oc. = Ob, * Od/ OA.\u003d H. 1 h. 2 / 1 = c./ a..

Središte kruga nalazi se na mjestu sjecišta okomice Sf. i Skobnovljena u sredini akorda Ac i BD.pa

1) graditi bodove (središte kruga) i A.(0; 1) ;

2) Provest ćemo krug s radijusom Sa;

3) Apbsissa točke raskrižja ovog kruga s osi Oh su korijeni izvorne kvadratne jednadžbe.

Moguće je tri slučaja.

1) radijus kruga više ordinata (Kao > Sk, ili R. > a. + c./2 a.) , krug prelazi osovinu oh na dvije točke (sl. 6, a) U (x. 1 ; 0) i D.(H. 2 ; 0) gdje h. 1 i h. 2 - Korijeni kvadratne jednadžbe oh 2 + b.x + c \u003d 0.

2) Radijus kruga jednak je ordinatnom centru (Kao = Sb., iliR. = a. + c./2 a.) , krug se odnosi na osovinu Oh (sl. 6, b) u točki U (x. 1 ; 0) gdje je X1 korijen kvadratne jednadžbe.

3) Radijus kruga je manji od reda središta. Krug nema zajedničke točke s osi apscisa (sl. 6, b), u ovom slučaju jednadžba nema otopine.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe h. 2 - 2x - 3 \u003d 0 (Sl. 7).

Odluka.Definiramo koordinate središta središta opsega obrazaca:

Provodimo krug radijusa, gdje A (0; 1).

Odgovor: h. 1 \u003d - 1; H. 2 = 3.

9. Metoda: Rješenje kvadratnih jednadžbi pomoću nomogrami.

To je staro i nezasluženo zaboravljeno rješavanje kvadratnih jednadžbi stavljenih na C.83 (vidi Bradis V.M. Četveroznamenkasti matematički stolovi. - M., prosvjetiteljstvo, 1990).

Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbe z 2 + pz. + p: = 0 , Ovaj nomogram omogućuje, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, po koeficijentima da odredi korijenje jednadžbe.

Zakrivljeno ljestvica nomograma konstruira se formulama (Sl. 11):

Vjerovati OS \u003d P,Ed = p:, O \u003d a (Sve u cm), iz sličnosti trokuta Škrtac i CDF. Dobivamo omjer

gdje nakon zamjene i pojednostavljenja slijede jednadžbu

z 2 + pz. + p: = 0,

Štoviše, pismo z označava oznaku bilo koje točke curvilinearne ljestvice.

Primjeri.

1) Za jednadžbu z 2 - 9 z + 8 = 0 Nomogram daje korijene

z 1 = 8,0 i z 2 = 1,0 (Sl.12).

2) Vrijednost pomoću nomograma

2 z 2 - 9 z + 2 = 0.

Podijelimo koeficijente ove jednadžbe do 2, dobivamo jednadžbu

z 2 - 4,5 z + 1 = 0.

Nomogram daje korijene z 1 = 4 i z 2 = 0,5.

3) Za jednadžbu

z 2 - 25 z + 66 = 0

p i Q koeficijenti nadilaze skalu vage, obavljaju zamjenu z = 5 t., Dobivam jednadžbu

t. 2 - 5 t. + 2,64 = 0,

što rješavamo nomogram i dobivamo t. 1 = 0,6 i t. 2 = 4,4, iz z 1 = 5 t. 1 = 3,0 i z 2 = 5 t. 2 = 22,0.

10. Metoda: Geometrijski način rješavanja kvadrata jednadžbe.

U antici, kada je geometrija razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu riješene algebrački, ali geometrijski. Dat ću slavni primjer iz Algebra Algebra al - Khorezmi.

Primjeri.

1) Rješavanje jednadžbe h. 2 + 10x \u003d 39.

U izvorniku se ovaj zadatak formulira na sljedeći način: "Trg i deset korijena je 39" (Sl.15).

Područje S. kvadrat ABCD. može biti zastupljen kao zbroj kvadrata: izvorni trg h. 2 , četiri pravokutnika (4 * 2.5x \u003d 10x) i četiri priložena kvadrata (6,25* 4 = 25) , S. = h. 2 + 10x + 25.Zamjena

h. 2 + 10x Broj 39 , Dobivam to S. = 39 + 25 = 64 gdje slijedi da strana trga ABCD., odjeljak Ab \u003d 8., Za željenu stranu h. Početni kvadrat

2) ali, na primjer, kako su stari Grci riješili jednadžbu w. 2 + 6th - 16 \u003d 0.

Odlukaprikazani na sl. 16, gdje

w. 2 + 6u \u003d 16 ili w. 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

Odluka. Izrazi w. 2 + 6U + 9 i 16 + 9 Geometrijski čine isti trg i početnu jednadžbu w. 2 + 6th - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - Ista jednadžba. Gdje i dobiti to y + 3 \u003d ± 5, ili w. 1 \u003d 2, 2 = - 8 (Sl.16).

3) Rješavanje geometrijske jednadžbe w. 2 - 6. - 16 \u003d 0.

Pretvaranje jednadžbe, dobiti

w. 2 - 6th \u003d 16.

Na sl. 17 Pronađite "slike" izraza w. 2 - 6., oni. S kvadrata trga, trg trga strane strane se oduzima 3 , Dakle, ako izraziti w. 2 - 6U. dodati 9 , onda dobivamo kvadratni trg sa strane w. - 3 , Zamjena izraza w. 2 - 6U. jednak joj broj 16,

dobivamo: (Y - 3) 2 = 16 + 9, oni. y - 3 \u003d ± V25ili y - 3 \u003d ± 5, gdje w. 1 = 8 i W. 2 = - 2.

Zaključak

Kvadratne jednadžbe se naširoko koriste u rješavanju trigonometrijske, indikativne, logaritame, iracionalne i transcendentalne jednadžbe i nejednakosti.

U isto vrijeme, vrijednost kvadratnih jednadžbi nije samo u milosti i kratkoća rješavanja problema, iako je vrlo bitan. Jednako je važno da se, kao posljedica uporabe kvadratnih jednadžbi, novi dijelovi se rijetko ne otkrivaju pri rješavanju problema, otkrivaju se novi dijelovi, moguće je napraviti zanimljive generalizacije i napraviti pojašnjenje koje se potaknuju analizom dobivenih formula i omjeri.

Htio bih primijetiti činjenicu da još uvijek postoji mala proučavana tema u ovom radu, samo to ne čini, tako da je mnogo skriveno i nepoznato, što daje izvrsnu priliku za daljnji rad na njemu.

Ovdje sam se zaustavio na pitanju rješavanja kvadratnih jednadžbi i što,

ako postoje i drugi načini rješavanja?! Ponovno pronalaženje lijepih uzoraka, nekih činjenica, pojašnjenja, generalizacije, otvoriti sve nove i nove. Ali to su pitanja koja već slijede.

Budući da su ove metode za rješavanje kvadratnih jednadžbi jednostavne za korištenje, oni će zasigurno biti zainteresirani za ljubav matematike studenata. Moj posao omogućuje izgledati drugačije o tim zadacima koje matematika predstavlja.

Književnost:

1. Alimov sh.a., ilyin v.a. i drugi. Algebra, 6-8. Probni vodič za srednju školu od 6-8 klase. - M., prosvjetljenje, 1981.

2. Bradis V.M. Četveroznamenkasti matematički stolovi za srednju školu. 57. \\ t - M., prosvjetljenje, 1990. str. 83.

3. Krozhapov A.K., Rubanov. Problem na algebri i elementarnim funkcijama. Tutorial za sekundarne posebne obrazovne ustanove. - M., Viša škola, 1969.

4. Okunev. Kvadratne funkcije, jednadžbe i nejednakosti. Priručnik za učitelja. - M., prosvjetljenje, 1972.

5. Presman a.a. Rješavanje kvadratne jednadžbe s cirkulacijom i ravnalom. - M., Kvant, br. 4/72. 34.

6. Solomnik V.S., Milov p.i. Prikupljanje pitanja i zadataka u matematici. Ed. - 4., dodatak. - M., Viša škola, 1973.

7. Khudobin a.i. Prikupljanje zadataka na algebre i elementarnih funkcija. Priručnik za učitelja. Ed. 2.. - M., prosvjetljenje, 1970.

Copsevskaya seoska srednja škola

10 načina rješavanja kvadratnih jednadžbi

Voditelj: Patrikeva Galina Anatolyevna,

matematički učitelj

s.Kopievo, 2007.

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 kvadratna jednadžba u drevnom babilonu

1.2 Kao što je objavljeno i riješeno diofant kvadratne jednadžbe

1.3 kvadratne jednadžbe u Indiji

1.4 kvadratne jednadžbe u Alcohiseu

1.5 kvadratnih jednadžbi u Europi XIII - XVII stoljećima

1.6 O Vieta Teorem

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

Zaključak

Književnost

1. Povijest razvoja kvadratnih jednadžbi

1.1 kvadratna jednadžba u drevnom babilonu

Primjenom modernog algebarskog zapisa, možemo reći da u svojim klinoksičnim tekstovima postoje, osim nepotpune, i takve, na primjer, pune kvadratne jednadžbe:

X.2 + X.= ¾; X.2 - X.= 14,5

Unatoč visokoj razini razvoja algebre u Babilonu, nema koncepta negativnog broja i općih metoda za rješavanje kvadratnih jednadžbi u klinoksičnim tekstovima.

1.2 Kao što je iznosilo i riješene jednadžbe diofant kvadratne jednadžbe.

U "aritmetici" dijelofanta ne postoji sustavna prezentacija algebre, ali sadrži sustavni broj zadataka popraćenih objašnjenjima i riješeno s pripremom jednadžbi različitih stupnjeva.

Prilikom izrade diofant jednadžbi pojednostaviti rješenje vješto bira nepoznato.

Ovdje, na primjer, jedan od njegovih zadataka.

Zadatak 11. "Pronađite dva broja, znajući da je njihov iznos 20, a rad je 96"

Stoga jednadžba:

(10 + X) (10 - X) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

h. 2 - 4 = 0 (1)

Odavde x \u003d 2., Jedan od željenih brojeva je 12 Drugi 8 , Odluka x \u003d -2. Ne postoji za Diophanta, jer je grčka matematika znala samo pozitivne brojeve.

Ako odlučimo o ovom zadatku, odabirom jednog od željenih brojeva kao nepoznato, doći ćemo u rješavanju jednadžbe

y (20 - y) \u003d 96,

w.2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Jasno je da odabirom kao nepoznata igra željenog brojeva, diofant pojednostavljuje odluku; On može smanjiti zadatak rješavanja nepotpune kvadratne jednadžbe (1).

1.3 Kvadratne jednadžbe u Indiji

oh2 + b.x \u003d S, a\u003e 0. (1)

U jednadžbi (1) koeficijenti osim alimože biti negativan. Pravilo brahmagupte u biti se podudara s našim.

Ovdje je jedan od zadataka poznate indijske matematike XII stoljeća. Bhaskara.

Zadatak 13.

"Navođenje majmuna i dvanaest na lianamu ...

Moć okrenuta, zabavlja se. Počeo skočiti, visi ...

Nalaze se u kvadratnom dijelu osmog koliko je majmuna bilo,

U gladu se zabavljala. Reci li mi, u ovom stog? "

Odluka Bhaskare svjedoči o činjenici da je znao o sumnjivosti korijena kvadratnih jednadžbi (sl. 3).

Odgovarajući zadatak 13 jednadžba:

(x./8) 2 + 12 = x.

Bhaskara piše pod krinkom od:

h.2 - 64x \u003d -768

i dopuniti lijevi dio ove jednadžbe na kvadrat dodaje oba dijela 32 2 , dobivanje tada:

h.2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16,

h.1 \u003d 16, x2 = 48.

1.4 kvadratne jednadžbe u al - khorezmi

U algebarskoj raspravi Al-Khorezmi daje klasifikaciju linearnih i kvadratnih jednadžbi. Autor uključuje 6 vrsta jednadžbi, izražavajući ih kako slijedi:

1) "kvadrati su korijeni", tj. Oh2 + C \u003d.b.x.

2) "kvadrati su jednaki broju", tj. Oh2 \u003d s.

3) "korijeni su jednaki broju", tj. ah \u003d s.

4) "kvadrati i brojevi su jednaki korijenja", tj. Oh2 + C \u003d.b.x.

5) "kvadrati i korijeni su jednaki broju", tj. Oh2 + bx.\u003d s.

6) "Korijeni i brojevi su jednaki kvadratima", tj.bx.+ C \u003d ah2 .

al-Khorezmi, kao i sve matematike do XVIIV., E uzima u obzir nultu rješenje, vjerojatno zato što u određenim praktičnim zadacima nije važno. Pri rješavanju kompletnih kvadratnih al-poslovnih jednadžbi na privatnim numeričkim primjerima utvrđuje pravila odluke, a zatim geometrijskih dokaza.

Zadatak 14. "Trg i broj 21 jednaki su 10 korijena. Pronađite korijen » (Znači korijen jednadžbe x2 + 21 \u003d 10x).

Tvrtka Al-Khorezmi je prva, koja nam je došla knjigu u kojoj se nalaze klasifikacija kvadratnih jednadžbi i dane formule.

1.5 kvadratnih jednadžbi u EuropiXIII.- Xviibb

Prijelom stranice--

Opće pravilo rješavanja kvadratnih jednadžbi koje se daju istim kanonskim oblikom:

h.2 + bx.\u003d C,

za sve vrste kombinacija znakova koeficijenta b., izformulirana je u Europi samo na 1544. M. Utr.

1.6 O Vieta Teorem

Teorem koji izražava odnos između koeficijenata kvadratnih jednadžbi i njegovih korijena, koji je ime Vieta, formuliran je prvi put 1591. godine kako slijedi: "Ako B.+ D.pomnožen A.- A.2 dobro BD.T. A. jednako U I jednako D.».

(A +.b.) x - x2 = ab,

h.2 - (a +b.) x + ab.= 0,

h.1 \u003d a, x2 = b..

2. Metode rješavanja kvadratnih jednadžbi

1. Metoda : Raspadanje lijevog dijela tvorničke jednadžbe.

Rješavanje jednadžbe

h.2 + 10x - 24 \u003d 0.

Snatulate lijevu stranu čimbenika:

h.2 + 10x - 24 \u003d x2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (X + 12) \u003d (X + 12) (X - 2).

Prema tome, jednadžba se može prepisati tako:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. Metoda : Način dodjele punog trga.

Rješavanje jednadžbe h.2 + 6x - 7 \u003d 0.

Označavamo cijeli kvadrat na lijevoj strani.

Da biste to učinili, napišite izraz X2 + 6x u sljedećem obliku:

h.2 + 6x \u003d x2 + 2 x 3.

U nastalom izrazu, prvi izraz je kvadrat broja brojeva, a drugi je dvostruki proizvod x do 3. na to da biste dobili puni kvadrat, morate dodati 32, jer

x2 +. 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3)2 .

Sada preobrađujemo lijevi dio jednadžbe

h.2 + 6x - 7 \u003d 0,

dodavanje i oduzimanje 32. Imamo:

h.2 + 6x - 7 \u003dx2 +. 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3)2 - 9 - 7 \u003d (x + 3)2 - 16.

Dakle, ova jednadžba može biti napisana kao:

(x + 3)2 - 16 \u003d 0, (x + 3)2 = 16.

Stoga, x + 3 - 4 \u003d 0, X1 \u003d 1 ili X + 3 \u003d -4, X2 = -7.

3. Metoda :Otopinu kvadratnih jednadžbi pomoću formule.

Pomnožite oba dijela jednadžbe

oh2 + b.x + c \u003d 0, i ≠ 0

na 4a i dosljedno imamo:

4a.2 h.2 + 4a.b.x + 4AS \u003d 0,

((2AH)2 + 2AKHb.+ b.2 ) - b.2 + 4 ac= 0,

(2AX + B)2 \u003d B.2 - 4ac,

2AX + B \u003d ± ± B2 - 4ac,

2AX \u003d - B ± B2 - 4ac,

Primjeri.

ali)Rješavanje jednadžbe: 4x2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,b.\u003d 7, c \u003d 3,D.= b.2 - 4 ac= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

D.> 0, dva različita korijena;

Tako, u slučaju pozitivnog diskriminacije, tj. za

b.2 - 4 ac>0 , jednadžba oh2 + b.x + c \u003d 0ima dva različita korijena.

bRješavanje jednadžbe: 4x2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,b.\u003d - 4, c \u003d 1,D.= b.2 - 4 ac= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

D.= 0, jedan korijen;

Dakle, ako je diskriminant nula, tj. b.2 - 4 ac= 0 , zatim jednadžba

oh2 + b.x + c \u003d 0ima jedini korijen

u)Rješavanje jednadžbe: 2x2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,b.\u003d 3, c \u003d 4,D.= b.2 - 4 ac= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, D.< 0.

Nastavak
--Prijelom stranice--

Ova jednadžba nema korijena.

Dakle, ako je diskriminant negativan, tj. b.2 - 4 ac< 0 ,

jednadžba oh2 + b.x + c \u003d 0 Nema korijena.

Formula (1) korijena kvadratne jednadžbe oh2 + b.x + c \u003d 0 Omogućuje vam da pronađete korijene bilo tko Kvadratna jednadžba (ako postoji), uključujući gore i nepotpuno. Valjana formula (1) je izražena kao: korijeni kvadratne jednadžbe jednake su frakciji, čiji je numerirani broj jednak drugom koeficijent snimljenim s suprotnim znakom, te minus korijenski trg s kvadrata ovog koeficijenta bez i dalje-stojećeg proizvoda prvog koeficijenta Slobodni član, a denominator ima dvostruko koeficijent.

4. Metoda: Rješavanje jednadžbi pomoću teorema Vieta.

Kao što znate, smanjena kvadratna jednadžba ima oblik

h.2 + px.+ c.= 0. (1)

Njegovi korijeni zadovoljavaju teoremu Vieta, koji a \u003d 1. Izgled

/>x.1 x.2 = p:,

x.1 + x.2 = - p.

Odavde možete nacrtati sljedeće zaključke (prema koeficijentima P i Q možete predvidjeti znakove korijena).

a) ako je konsolidirani član p: Zadana jednadžba (1) je pozitivna ( p:> 0 ), jednadžba ima dva identična korijenska znaka i zavist je drugog koeficijenta p., Ako a r< 0 Tada su oba korijena negativna ako r< 0 , oba korijena su pozitivna.

Na primjer,

x.2 – 3 x.+ 2 = 0; x.1 = 2 i x.2 = 1, kao p:= 2 > 0 i p.= - 3 < 0;

x.2 + 8 x.+ 7 = 0; x.1 = - 7 i x.2 = - 1, kao p:= 7 > 0 i p.= 8 > 0.

b) ako je slobodan član p: Zadana jednadžba (1) je negativna ( p:< 0 ), jednadžba ima dva različita na znak korijena, a korijen veći u modulu bit će pozitivan ako p.< 0 ili negativno ako p.> 0 .

Na primjer,

x.2 + 4 x.– 5 = 0; x.1 = - 5 i x.2 = 1, kao p:= - 5 < 0 i p.= 4 > 0;

x.2 – 8 x.– 9 = 0; x.1 = 9 i x.2 = - 1, kao p:= - 9 < 0 i p.= - 8 < 0.

5. Metoda: Rješavanje jednadžbi metodom "tranzita".

Razmotrite kvadratnu jednadžbu

oh2 + b.x + c \u003d 0,gdje a ≠ 0.

Množenjem oba dijela od strane a, dobivamo jednadžbu

ali2 h.2 + A.b.x + AC \u003d 0.

Neka biti ah \u003d uIz! x \u003d y / a; Onda dođite na jednadžbu

w.2 + po+ AC \u003d 0,

ekvivalentno tome. Njegove korijene w.1 i w.2 naći ćemo uz pomoć teorema Vieta.

Napokon dobiti

h.1 \u003d W.1 /alii h.1 \u003d W.2 /ali.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 2x2 - 11x + 15 \u003d 0.

Odluka. "Mi ćemo prenijeti" koeficijent 2 na slobodan član, kao rezultat dobivamo jednadžbu

w.2 - 11. + 30 \u003d 0.

Prema teoremi vieta

/>/>/>/>/>w.1 \u003d 5 x1 = 5/2 x.1 = 2,5

w.2 = 6 x.2 = 6/2 x.2 = 3.

Odgovor: 2.5; 3.

6. Metoda: Svojstva koeficijenata kvadratne jednadžbe.

ALI. Neka se daju kvadratna jednadžba

oh2 + b.x + c \u003d 0,gdje a ≠ 0.

1) Ako, A +b.+ C \u003d 0 (tj. Zbroj koeficijenata je nula), a zatim x1 = 1,

h.2 \u003d S / a.

Dokaz. Mi dijelimo oba dijela jednadžbe na 0, dobivamo smanjenu kvadratnu jednadžbu

x.2 + b./ a. x.+ c./ a.= 0.

/\u003e Prema Teoremu Vieta

x.1 + x.2 = - b./ a.,

x.1 x.2 = 1 c./ a..

Po uvjetima ali -b.+ C \u003d 0,iz b.\u003d A + s.Na ovaj način,

/>x.1 + X.2 = - ali+ b / a \u003d -1 - c / a,

x.1 x.2 \u003d - 1 (- c / a),

oni. h.1 = -1 i h.2 = c./ a.koji je potrebno dokazati.

Primjeri.

Rješavanje jednadžbe 345x2 - 137X - 208 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b.+ C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),da

h.1 \u003d 1, x2 = c./ a.= -208/345.

Odgovor: 1; -208/345.

2) jednadžba rješenja 132x2 - 247x + 115 \u003d 0.

Odluka.Kao a +.b.+ C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),da

h.1 \u003d 1, x2 = c./ a.= 115/132.

Odgovor: 1; 115/132.

B. Ako je drugi koeficijent b.= 2 k.- čak i broj, zatim korijen formulu

Nastavak
--Prijelom stranice--

Primjer.

Rješavanje jednadžbe 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Odluka, Imamo: a \u003d 3,b.\u003d - 14, c \u003d 16,k.= - 7 ;

D.= k.2 – ac= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, D.> 0, dva različita korijena;

Odgovor: 2; 8/3

U. Smanjena jednadžba

h.2 + RH +.p:= 0

podudara se s općim prikazom jednadžbom u kojoj a \u003d 1., b.\u003d R.i c \u003d.p:, Stoga, za smanjenu kvadratnu jednadžbu korijenja formule

zauzima pogled:

Formula (3) je posebno prikladna za uporabu kada r- Parni broj.

Primjer.Rješavanje jednadžbe h.2 - 14x - 15 \u003d 0.

Odluka.Imamo: h.1,2 \u003d 7 ± 7 ±

Odgovor: H.1 \u003d 15; H.2 = -1.

7. Metoda: Grafička otopina kvadratne jednadžbe.

Ako je u jednadžbi

h.2 + px.+ p:= 0

prebacite drugi i treći članovi na desnoj strani, a onda dobivamo

h.2 = - px.- p:.

Konstruiramo grafikone ovisnosti y \u003d x2 i y \u003d - px- q.

Prvi raspored ovisnosti je parabola, prolazeći kroz podrijetlo koordinata. Grafikon druge ovisnosti -

ravno (sl. 1). Moguće su sljedeće slučajeve:

Direct i Parabola se može presjeći na dvije točke, bijeg križanja su korijeni quad omjera;

Direct i Parabola može dotaknuti (samo jednu zajedničku točku), tj. Jednadžba ima jedno rješenje;

Direct i Parabola nemaju zajedničke točke, tj. Kvadratna jednadžba nema korijenje.

Primjeri.

1) Velika jednadžba h.2 - 3x - 4 \u003d 0(Sl. 2).

Odluka.Pišemo jednadžbu u obliku h.2 \u003d 3x + 4.

Gradimo parabolu y \u003d x.2 i ravno y \u003d 3x + 4, Ravno

y \u003d 3x + 4može se izgraditi na dvije točke M (0; 4)i

N.(3; 13) , Izravna i parabola se sijeku na dvije točke

ALIi Us apscisions h.1 = - 1 i h.2 = 4 . Odgovor H.1 = - 1;

h.2 = 4.

2) Otpor grafičkoj jednadžbi (sl. 3) h.2 - 2x + 1 \u003d 0.

Odluka.Pišemo jednadžbu u obliku h.2 \u003d 2x - 1.

Gradimo parabolu y \u003d x.2 i ravno y \u003d 2x - 1.

Ravno y \u003d 2x - 1izgraditi na dvije točke M (0; - 1)

i N.(1/2; 0) , Izravna i parabola se siječe u točki ALIiz

apscisa x \u003d 1.. Odgovor: x \u003d 1.

3) Velika jednadžba h.2 - 2x + 5 \u003d 0(Sl. 4).

Odluka.Pišemo jednadžbu u obliku h.2 \u003d 5x - 5, Gradimo parabolu y \u003d x.2 i ravno y \u003d 2x - 5, Ravno y \u003d 2x - 5konstruiramo dvije točke m (0; - 5) i N (2.5; 0). Direct i Parabola nemaju bodove raskrižja, tj. Ova jednadžba nema korijena.

Odgovor. Jednadžba h.2 - 2x + 5 \u003d 0 Nema korijena.

8. Metoda: Rješavanje kvadratnih jednadžbi s cirkulacijom i ravnalo.

Grafički način rješavanja kvadratnih jednadžbi s paraboli je nezgodno. Ako izgradite parabolu na točkama, potrebno je mnogo vremena, a stupanj točnosti rezultirajućih rezultata je mali.

Predlažem sljedeću metodu pronalaženja korijena kvadratne jednadžbe oh2 + b.x + c \u003d 0uz pomoć cirkulacije i vladara (sl. 5).

Pretpostavimo da željeni krug prelazi osovinu

abscissa na točkama U (x.1 ; 0) i D.(H.2 ; 0), gdje h.1 i h.2 - Korijeni jednadžbe oh2 + b.x + c \u003d 0i prolazi kroz točke

A (0; 1)i C (0;c./ a.) na osi ordinata. Zatim, po teoremu na sekvenciranju imamo Ob, Od= OA. Oc.Iz! Oc.= Ob, Od/ OA.\u003d H.1 h.2 / 1 = c./ a..

Središte kruga nalazi se na mjestu sjecišta okomice Sf.i Skobnovljena u sredini akorda Aci BD.pa

1) graditi bodove (središte kruga) i A.(0; 1) ;

2) Provest ćemo krug s radijusom Sa;

3) Apbsissa točke raskrižja ovog kruga s osi Oh su korijeni izvorne kvadratne jednadžbe.

Moguće je tri slučaja.

1) radijus kruga više ordinata (Kao> Sk, iliR.> a.+ c./2 a.) , krug prelazi osovinu oh na dvije točke (sl. 6, a) U (x.1 ; 0) i D.(H.2 ; 0) gdje h.1 i h.2 - Korijeni kvadratne jednadžbe oh2 + b.x + c \u003d 0.

2) Radijus kruga jednak je ordinatnom centru (Kao= Sb., iliR.= a.+ c./2 a.) , krug se odnosi na osovinu Oh (sl. 6, b) u točki U (x.1 ; 0) gdje je X1 korijen kvadratne jednadžbe.

Nastavak
--Prijelom stranice--

3) Radijus kruga je manji od reda središta. Krug nema zajedničke točke s osi apscisa (sl. 6, b), u ovom slučaju jednadžba nema otopine.

Primjer.

Rješavanje jednadžbe h.2 - 2x - 3 \u003d 0(Sl. 7).

Odluka.Definiramo koordinate središta središta opsega obrazaca:

Provodimo krug radijusa, gdje A (0; 1).

Odgovor:h.1 \u003d - 1; H.2 = 3.

9. Metoda: Rješavanje kvadratnih jednadžbi s nomogramom.

To je staro i nezasluženo zaboravljeno rješavanje kvadratnih jednadžbi stavljenih na C.83 (vidi Bradis V.M. Četveroznamenkasti matematički stolovi. - M., prosvjetiteljstvo, 1990).

Tablica XXII. Nomogram za rješavanje jednadžbe z2 + pz.+ p:= 0 , Ovaj nomogram omogućuje, bez rješavanja kvadratne jednadžbe, po koeficijentima da odredi korijenje jednadžbe.

Zakrivljeno ljestvica nomograma konstruira se formulama (Sl. 11):

Vjerovati OS \u003d P,Ed= p:, O \u003d a (Sve u cm), iz sličnosti trokuta Škrtac i CDF. Dobivamo omjer

gdje nakon zamjene i pojednostavljenja slijede jednadžbu

z2 + pz.+ p:= 0,

Štoviše, pismo zoznačava oznaku bilo koje točke curvilinearne ljestvice.

Primjeri.

1) Za jednadžbu z2 - 9 z+ 8 = 0 nomogram daje korijene

z1 = 8,0 i z2 = 1,0 (Sl.12).

2) Vrijednost pomoću nomograma

2 z2 - 9 z+ 2 = 0.

Podijelimo koeficijente ove jednadžbe do 2, dobivamo jednadžbu

z2 - 4,5 z+ 1 = 0.

Nomogram daje korijene z1 = 4 i z2 = 0,5.

3) Za jednadžbu

z2 - 25 z+ 66 = 0

p i Q koeficijenti nadilaze skalu vage, obavljaju zamjenu z= 5 t., Dobivam jednadžbu

t.2 - 5 t.+ 2,64 = 0,

što rješavamo nomogram i dobivamo t.1 = 0,6 i t.2 = 4,4, iz z1 = 5 t.1 = 3,0 i z2 = 5 t.2 = 22,0.

10. Metoda: Geometrijska metoda rješavanja kvadratnih jednadžbi.

U antici, kada je geometrija razvijenija od algebre, kvadratne jednadžbe nisu riješene algebrački, ali geometrijski. Dat ću slavni primjer iz Algebra Algebra al - Khorezmi.

Primjeri.

1) Rješavanje jednadžbe h.2 + 10x \u003d 39.

U izvorniku se ovaj zadatak formulira na sljedeći način: "Trg i deset korijena je 39" (Sl.15).

Odluka.Razmotrite kvadrat sa strane X, pravokutnici su izgrađeni na svojim zabatima, tako da je druga strana svakog od njih 2,5, stoga je svaki prostor 2.5x. Rezultirajuća brojka se zatim nadopunjuje novom ABCD trgu, dovršava četiri jednaka kvadrata u kutovima, strana svakog od njih je 2,5, a područje je 6,25.

Područje S.kvadrat ABCD.može biti zastupljen kao zbroj kvadrata: izvorni trg h.2 , četiri pravokutnika (4 2.5x \u003d 10x)i četiri priložena kvadrata (6,25 4 = 25) , S.= h.2 + 10x + 25.Zamjena

h.2 + 10xbroj 39 , Dobivam to S.= 39 + 25 = 64 gdje slijedi da strana trga ABCD., odjeljak Ab \u003d 8., Za željenu stranu h.početni kvadrat

2) ali, na primjer, kako su stari Grci riješili jednadžbu w.2 + 6th - 16 \u003d 0.

Odlukaprikazani na sl. 16, gdje

w.2 + 6th \u003d 16, ili2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

Odluka. Izrazi w.2 + 6U + 9 i 16 + 9 Geometrijski čine isti trg i početnu jednadžbu w.2 + 6th - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - Ista jednadžba. Gdje i dobiti to y + 3 \u003d ± 5, ili w.1 \u003d 2,2 = - 8 (Sl.16).

3) Rješavanje geometrijske jednadžbe w.2 - 6. - 16 \u003d 0.

Pretvaranje jednadžbe, dobiti

w.2 - 6th \u003d 16.

Na sl. 17 Pronađite "slike" izraza w.2 - 6.,oni. S kvadrata trga, trg trga strane strane se oduzima 3 , Dakle, ako izraziti w.2 - 6u.dodati 9 , onda dobivamo kvadratni trg sa strane u 3., Zamjena izraza w.2 - 6u.jednak joj broj 16,

dobivamo: (Y - 3)2 = 16 + 9, oni. y - 3 \u003d ± √25ili y - 3 \u003d ± 5, gdje w.1 = 8 i w.2 = - 2.

Zaključak

Kvadratne jednadžbe se naširoko koriste u rješavanju trigonometrijske, indikativne, logaritame, iracionalne i transcendentalne jednadžbe i nejednakosti.

Htio bih primijetiti činjenicu da još uvijek postoji mala proučavana tema u ovom radu, samo to ne čini, tako da je mnogo skriveno i nepoznato, što daje izvrsnu priliku za daljnji rad na njemu.

Ovdje sam se zaustavio na pitanju rješavanja kvadratnih jednadžbi i što,

ako postoje i drugi načini rješavanja?! Ponovno pronalaženje lijepih uzoraka, nekih činjenica, pojašnjenja, generalizacije, otvoriti sve nove i nove. Ali to su pitanja koja već slijede.

Književnost:

1. Alimov sh.a., ilyin v.a. i drugi. Algebra, 6-8. Probni vodič za srednju školu od 6-8 klase. - M., prosvjetljenje, 1981.

2. Bradis V.M. Četveroznamenkasti matematički stolovi za srednju školu. 57. \\ t - M., prosvjetljenje, 1990. str. 83.

3. Krozhapov A.K., Rubanov. Problem na algebri i elementarnim funkcijama. Tutorial za sekundarne posebne obrazovne ustanove. - M., Viša škola, 1969.

4. Okunev. Kvadratne funkcije, jednadžbe i nejednakosti. Priručnik za učitelja. - M., prosvjetljenje, 1972.

5. Presman a.a. Rješavanje kvadratne jednadžbe s cirkulacijom i ravnalom. - M., Kvant, br. 4/72. 34.

6. Solomnik V.S., Milov p.i. Prikupljanje pitanja i zadataka u matematici. Ed. - 4., dodatak. - M., Viša škola, 1973.

7. Khudobin a.i. Prikupljanje zadataka na algebre i elementarnih funkcija. Priručnik za učitelja. Ed. 2.. - M., prosvjetljenje, 1970.