Что называют тождественным преобразованием выражения. Преобразование выражений

Арифметическое действие, которое выполняется последним при подсчете значения выражения, является «главным».

То есть, если ты подставишь вместо букв какие-нибудь (любые) числа, и попытаешься вычислить значение выражения, то если последним действием будет умножение - значит, у нас произведение (выражение разложено на множители).

Если последним действием будет сложение или вычитание, это значит, что выражение не разложено на множители (а значит, сокращать нельзя).

Для закрепления реши самостоятельно несколько примеров:

Примеры:

Решения:

1. Надеюсь, ты не бросился сразу же сокращать и? Еще не хватало «сократить» единицы типа такого:

Первым действием должно быть разложение на множители:

4. Сложение и вычитание дробей. Приведение дробей к общему знаменателю.

Сложение и вычитание обычных дробей - операция хорошо знакомая: ищем общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители.

Давай вспомним:

Ответы:

1. Знаменатели и - взаимно простые, то есть у них нет общих множителей. Следовательно, НОК этих чисел равен их произведению. Это и будет общий знаменатель:

2. Здесь общий знаменатель равен:

3. Здесь первым делом смешанные дроби превращаем в неправильные, а дальше - по привычной схеме:

Совсем другое дело, если дроби содержат буквы, например:

Начнем с простого:

a) Знаменатели не содержат букв

Здесь все то же, что и с обычными числовыми дробями: находим общий знаменатель, домножаем каждую дробь на недостающий множитель и складываем/вычитаем числители:

теперь в числителе можно приводить подобные, если есть, и раскладывать на множители:

Попробуй сам:

Ответы:

b) Знаменатели содержат буквы

Давай вспомним принцип нахождения общего знаменателя без букв:

· в первую очередь мы определяем общие множители;

· затем выписываем все общие множители по одному разу;

· и домножаем их на все остальные множители, не общие.

Чтобы определить общие множители знаменателей, сперва разложим их на простые множители:

Подчеркнем общие множители:

Теперь выпишем общие множители по одному разу и допишем к ним все необщие (не подчеркнутые) множители:

Это и есть общий знаменатель.

Вернемся к буквам. Знаменатели приводятся по точно такой же схеме:

· раскладываем знаменатели на множители;

· определяем общие (одинаковые) множители;

· выписываем все общие множители по одному разу;

· домножаем их на все остальные множители, не общие.

Итак, по порядку:

1) раскладываем знаменатели на множители:

2) определяем общие (одинаковые) множители:

3) выписываем все общие множители по одному разу и домножаем их на все остальные (неподчеркнутые) множители:

Значит, общий знаменатель здесь. Первую дробь нужно домножить на, вторую - на:

Кстати, есть одна хитрость:

Например: .

Видим в знаменателях одни и те же множители, только все с разными показателями. В общий знаменатель пойдут:

в степени

в степени

в степени

в степени.

Усложним задание:

Как сделать у дробей одинаковый знаменатель?

Давай вспомним основное свойство дроби:

Нигде не сказано, что из числителя и знаменателя дроби можно вычитать (или прибавлять) одно и то же число. Потому что это неверно!

Убедись сам: возьми любую дробь, например, и прибавь к числителю и знаменателю какое-нибудь число, например, . Что поучилось?

Итак, очередное незыблемое правило:

Когда приводишь дроби к общему знаменателю, пользуйся только операцией умножения!

Но на что же надо домножить, чтобы получить?

Вот на и домножай. А домножай на:

Выражения, которые невозможно разложить на множители будем называть «элементарными множителями».

Например, - это элементарный множитель. - тоже. А вот - нет: он раскладывается на множители.

Что скажешь насчет выражения? Оно элементарное?

Нет, поскольку его можно разложить на множители:

(о разложении на множители ты уже читал в теме « »).

Так вот, элементарные множители, на которые ты раскладываешь выражение с буквами - это аналог простых множителей, на которые ты раскладываешь числа. И поступать с ними будем таким же образом.

Видим, что в обоих знаменателях есть множитель. Он пойдет в общий знаменатель в степени (помнишь, почему?).

Множитель - элементарный, и он у них не общий, значит первую дробь на него придется просто домножить:

Еще пример:

Решение:

Предже, чем в панике перемножать эти знаменатели, надо подумать, как их разложить на множители? Оба они представляют :

Отлично! Тогда:

Еще пример:

Решение:

Как обычно, разложим знаменатели на множители. В первом знаменателе просто выносим за скобки; во втором - разность квадратов:

Казалось бы, общих множителей нет. Но если присмотреться, то и так похожи… И правда:

Так и напишем:

То есть получилось так: внутри скобки мы поменяли местами слагаемые, и при этом знак перед дробью поменялся на противоположный. Возьми на заметку, так поступать придется часто.

Теперь приводим к общему знаменателю:

Усвоил? Сейчас проверим.

Задачи для самостоятельного решения:

Ответы:

Тут надо вспомнить еще одну - разность кубов:

Обрати внимание, что в знаменателе второй дроби не формула «квадрат суммы»! Квадрат суммы выглядел бы так: .

А - это так называемый неполный квадрат суммы: второе слагаемое в нем - это произведение первого и последнего, а не удвоенное их произведение. Неполный квадрат суммы - это один из множителей в разложени разности кубов:

Что делать, если дробей аж три штуки?

Да то же самое! В первую очередь сделаем так, чтобы максимальное количество множителей в знаменателях было одинаковым:

Обрати внимание: если поменять знаки внутри одной скобки, знак перед дробью меняется на противоположный. Когда меняем знаки во второй скобке, знак перед дробью снова меняется на противоположный. В результате он (знак перед дробью) не изменился.

В общий знаменатель выписавыем полностью первый знаменатель, а потом дописываем к нему все множители, которые еще не написаны, из второго, а потом из третьего (и так далее, если дробей больше). То есть получается вот так:

Хм… С дробями-то понятно что делать. Но вот как быть с двойкой?

Все просто: ты ведь умеешь складывать дроби? Значит, надо сделать так, чтобы двойка стала дробью! Вспоминаем: дробь - это операция деления (числитель делится на знаменатель, если ты вдруг забыл). И нет ничего проще, чем разделить число на. При этом само число не изменится, но превратится в дробь:

То, что нужно!

5. Умножение и деление дробей.

Ну что же, самое сложное теперь позади. А впереди у нас самое простое, но при этом самое важное:

Порядок действий

Какой порядок действий при подсчете числового выражения? Вспомни, посчитав значение такого выражения:

Посчитал?

Должно получиться.

Итак, напоминаю.

Первым делом вычисляется степень.

Вторым - умножение и деление. Если умножений и делений одновременно несколько, делать их можно в любом порядке.

И напоследок выполняем сложение и вычитание. Опять же, в любом порядке.

Но: выражение в скобках вычисляется вне очереди!

Если несколько скобок умножаются или делятся друг на друга, вычисляем сначала выражение в каждой из скобок, а потом умножаем или дели их.

А если внутри скобок есть еще одни скобки? Ну давай подумаем: внутри скобок написано какое-то выражение. А при вычислении выражения в первую очередь надо делать что? Правильно, вычислять скобки. Ну вот и разобрались: сначала вычисляем внутренние скобки, потом все остальное.

Итак, порядок действий для выражения выше такой (красным выделено текущее дествие, то есть действие, которое выполняю прямо сейчас):

Хорошо, это все просто.

Но это ведь не то же самое, что выражение с буквами?

Нет, это то же самое! Только вместо арифметических действий надо делать алгебраические, то есть действия, описанные в предыдущем разделе: приведение подобных , сложение дробей, сокращение дробей и так далее. Единственным отличием будет действие разложения многочленов на множители (его мы часто применяем при работе с дробями). Чаще всего для разложения на множители нужно применять я или просто выносить общий множитель за скобки.

Обычно наша цель - представить выражение в виде произведения или частного.

Например:

Упростим выражение.

1) Первым упрощаем выражение в скобках. Там у нас разность дробей, а наша цель - представить ее как произведение или частное. Значит, приводим дроби к общему знаменателю и складываем:

Больше это выражение упростить невозможно, все множители здесь - элементарные (ты еще помнишь, что это значит?).

2) Получаем:

Умножение дробей: что может быть проще.

3) Теперь можно и сократить:

Ну вот и все. Ничего сложного, правда?

Еще пример:

Упрости выражение.

Сначала попробуй решить сам, и уж только потом посмотри решение.

Решение:

Перво-наперво определим порядок действий.

Сначала выполним сложение дробей в скобках, получится вместо двух дробей одна.

Потом выполним деление дробей. Ну и результат сложим с последней дробью.

Схематически пронумерую действия:

Теперь покажу весть процесс, подкрашивая текущее действие красным:

1. Если есть подобные, их надо немедленно привести. В какой бы момент у нас ни образовались подобные, их желательно приводить сразу.

2. То же самое касается сокращения дробей: как только появляется возможность сократить, ей надо воспользоваться. Исключение составляют дроби, которые ты складываешь или вычитаешь: если у них сейчас одинаковые знаменатели, то сокращение нужно оставить на потом.

Вот тебе задачи для самостоятельного решения:

И обещанная в самом начале:

Ответы:

Решения (краткие):

Если ты справился хотя бы с первыми тремя примерами, то тему ты, считай, освоил.

Теперь вперед к обучению!

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ВЫРАЖЕНИЙ. КРАТКОЕ ИЗЛОЖЕНИЕ И ОСНОВНЫЕ ФОРМУЛЫ

Базовые операции упрощения:

• Приведение подобных : чтобы сложить (привести) подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и приписать буквенную часть.
• Разложение на множители: вынесение общего множителя за скобки, применение и т.д.
• Сокращение дроби : числитель и знаменатель дроби можно умножать или делить на одно и то же ненулевое число, от чего величина дроби не изменяется.
  1) числитель и знаменатель разложить на множители
  2) если в числителе и знаменателе есть общие множители , их можно вычеркнуть.

  ВАЖНО: сокращать можно только множители!

• Сложение и вычитание дробей:
  ;
• Умножение и деление дробей:
  ;

Тождественные преобразования

1. Понятие тождества. Основные типы тождественных преобразований и этапы их изучения.

11чучение различных преобразований выражений и формул занимает нищ.шую часть учебного времени в курсе школьной математики. Простейшие ^"«образования, опирающиеся на свойства арифметических операций, произ- 1Ч-.Я уже в начальной школе. Но основную нагрузку по формированию уме­ний и навыков выполнения преобразований несет на себе курс школьной алгеб­ры 1 >то связано:

с резким увеличением числа совершаемых преобразований, их разно- оПришсм;

с усложнением деятельности по их обоснованию и выяснению условий применимости;

i) с выделением и изучением обобщенных понятий тождества, тождествен­ного преобразования, равносильного преобразования, логического следования.

Линия тождественных преобразований получает следующее развитие в курсе алгебры основной школы:

,4 б классы - раскрытие скобок, приведение подобных слагаемых, выне- М(Чшо множителя за скобки;

7 класс - тождественные преобразования целых и дробных выражений;

Н класс - тождественные преобразования выражений, содержащих квад- с корни;

( > класс - тождественные преобразования тригонометрических выражений и ммрижсний, содержащих степень с рациональным показателем.

Линия тождественных преобразований является одной из важных идей­ны ч линий курса алгебры. Поэтому обучение математике в 5-6 классах строится niKiiM образом, чтобы учащиеся уже в этих классах приобрели навыки про­стейших тождественных преобразований (без употребления термина «тождест- неиные преобразования»). Эти навыки формируются при выполнении упражне­нии на приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок и заключение в скобки, вынесение множителя за скобки и т.д. Рассматриваются также про­стейшие преобразования числовых и буквенных выражений. На этом уровне обучения осваиваются преобразования, которые выполняются непосредственно на основе законов и свойств арифметических действий.

К основным видам задач в 5-6-х классах, при решении которых активно используются свойства и законы арифметических действий и через которые формируются навыки тождественных преобразований, относятся:

обоснование алгоритмов выполнения действий над числами изучае­мых числовых множеств;

вычисление значений числового выражения наиболее рациональным способом;

сравнение значений числовых выражений без выполнения указанных действий;

упрощение буквенных выражений;

доказательство равенства значений двух буквенных выражений и т.д.

Представьте число 153 в виде суммы разрядных слагаемых; в виде раз­ности двух чисел, в виде произведения двух чисел.

Представьте число 27 в виде произведений трех одинаковых множителей.

Эти упражнения на представление одного и того же числа в разных фор­мах записи содействуют усвоению понятия о тождественных преобразованиях. Вначале эти представления могут быть произвольными, в дальнейшем - целе­направленными. Например, представление в виде суммы разрядных слагаемых используется для объяснения правил сложения натуральных чисел «столби­ком», представление в виде суммы или разности «удобных» чисел - для выпол­нения быстрых вычислений различных произведений, представление в виде произведения множителей - для упрощения различных дробных выражений.

Найдите значение выражения 928 36 + 72 36.

Рациональный способ вычисления значения данного выражения основан на использовании распределительного закона умножения относительно сложе­ния: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

В школьном курсе математики можно выделить следующие этапы освое­ния применений преобразований буквенно-числовых выражений и формул.

этап. Начала алгебры. На этом этапе используется нерасчлененная сис­тема преобразований; она представлена правилами выполнения действий над одной или обеими частями формулы.

Пример. Решить уравнения:

а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 - 4у) + 5у = 3 (1 - Зу).

Общая идея решения состоит в упрощении данных формул с помощью нескольких правил. В первом задании упрощение достигается при помощи применения тождества: 5х - Ъх = (5 - 3)х. Основанное на этом тождестве тождественное преобразование переводит данное уравнение в равносильное ему уршшомие 2х - 2.

Второе уравнение требует для своего решения не только тождественного, но н ринноеильного преобразования; в таком качестве здесь используется пра- ||н по переноса членов уравнения из одной части уравнения в другую с измене­нном шика. В решении уже такого простого задания, как б), используются оба пн in преобразований - и тождественное, и равносильное. Это положение со- чриниотся и для более громоздких заданий, таких, как третье.

Моль первого этапа - научить быстро решать простейшие уравнения, уп­рощать формулы, задающие функции, рационально проводить вычисления с опорой на свойства действий.

тит. Формирование навыков применения конкретных видов преобразова- II tilt 11онятия тождества и тождественного преобразования явно вводятся в курсе шн"сбры 7 класса. Так, например, в учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» ннп"шле вводится понятие тождественно равных выражений: «Два выражения, соответственные значения которых равны при любых значениях переменных, шпыняются тождественно равными», затем понятие тождества: «Равенство, парное при любых значениях переменных, называется тождеством».

11риводятся примеры:

В учебнике А.Г. Мордковича «Алгебра 7» приводится сразу и уточ­ненное понятие тождества: «Тождество - это равенство, верное при любых до­пустимых значениях входящих в его состав переменных».

11ри введении понятия тождественного преобразования следует прежде всего покичать целесообразность изучения тождественных преобразований. Для этого можно рассмотреть различные упражнения на нахождение значения выражений.

liiiipiiMep, найти значение выражения 37,1х + 37,ly при х = 0,98, у = 0,02. Ис- пошлуя распределительное свойство умножения, выражение 37,1л + 37,1 у можно щмоиить выражением 37,1(х + у), тождественно равным ему. Ещё более впе- чи глист 1 решение следующего упражнения: найти значение выражения

()-(а-6)_ п р и. а) д = з > ^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52, Ъ= 1 -.

ab 9

11осле проведенных преобразований оказывается, что множество значений это- ю ныражения состоит из одного числа 4.

В учебнике Ю. Н. Макарычева «Алгебра 7» введение понятия тождест- игппого преобразования мотивируется рассмотрением примера: «Чтобы найти зна­чение выражения ху--да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, надо выполнить 3 действия: ху - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11собходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур- ш алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре- переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро- пниия и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- ИНИИЙ от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- трое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах пе­ременные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами ■шляются определенные множества функций. Например, правило дифференци- роишшя суммы: (Z"+g)" здесь/и g- переменные, пробегающие множе-

I I но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».

Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом ма­й-риале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.

Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в

ав в.

iiioGom коммутативном кольце, и тождества -=-,а* 0, справедливого в лю-

Оом поле.

Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические чнграции и основные элементарные функции, а также композиции элементар- Hhix функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема­тическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логариф­мическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. На­пример, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изо­морфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультип­ликативную группу положительных действительных чисел, при котором еди­ница о тображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по- инательной функцией с основанием а: /(х) = а. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.

Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чгртами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:

преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дроб­им ми показателями;

преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и пре­образования, основанные на правилах дифференцирования и интегрирования.

Этот результат можно получить выполнив лишь два действия,-если вос­пользоваться выражением х (у-z), тождественно равным выражению xy-xz: х (у-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Мы упростили вычисления, заменив выражение xy-xz тождественно рав­ным выражением х (у - z).

Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражени­ем называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения».

Освоение различных видов преобразований на этом этапе начинается с вве­дения формул сокращенного умножения. Затем рассматриваются преобразования, связанные с операцией возведения в степень, с различными классами элементар­ных функций - показательных, степенных, логарифмических, тригонометриче­ских. Каждый из этих типов преобразований проходит этап изучения, на котором внимание сосредоточивается на усвоении их характерных особенностей.

По мере накопления материала появляется возможность выделить и на этой основе ввести понятия тождественного и равносильного преобразований.

Следует заметить, что понятие тождественного преобразования дается в школьном курсе алгебры не в полной общности, а только в применении к вы­ражениям. Преобразования разделяются на два класса: тождественные преоб­разования - это преобразования выражений, а равносильные - преобразования формул. В случае, когда возникает потребность в упрощении одной части фор­мулы, в этой формуле выделяется выражение, которое и служит аргументом применяемого тождественного преобразования. Например, уравнения 5х - Зх - 2 и 2х = 2 считаются не просто равносильными, а одинаковыми.

В учебниках алгебры Ш.А. Алимова и др. понятие тождества явно не вво­дится в 7-8-х классах и только в 9 классе в теме «Тригонометрические тождест­ва» при решении задачи 1: «Доказать, что при афкк, к < eZ , справедливо равен­ство 1 + ctg 2 а = -\-» вводится это понятие. Здесь учащимся поясняется, что sin а

указанное равенство «справедливо для всех допустимых значений а, т.е. таких, при которых его левая и правая части имеют смысл. Такие равенства называют тождествами, а задачи на доказательства таких равенств называют задачами на доказательство тождеств».

III этап. Организация целостной системы преобразований (синтез).

Основная цель этого этапа состоит в формировании гибкого и мощного ап­парата, пригодного для использования в решении разнообразных учебных заданий.

Развертывание второго этапа изучения преобразований происходит на протяжении всего курса алгебры основной школы. Переход к третьему этапу осуществляется при итоговом повторении курса в ходе осмысления уже извест­ного материала, усвоенного по частям, по отдельным типам преобразований.

В курсе алгебры и начал анализа целостная система преобразований, в основном уже сформированная, продолжает постепенно совершенствоваться. К ней также добавляются некоторые новые виды преобразований (например, от­носящиеся к тригонометрическим и логарифмическим функциям), однако они только обогащают её, расширяют её возможности, но не меняют её структуру.

Методика изучения этих новых преобразований практически не отличается от применяемой в курсе алгебры.

Необходимо отметить один тип преобразований, специфический для кур­ен алгебры и начал анализа. Это преобразования выражений, содержащих пре­дельные переходы, и преобразования, основанные на правилах дифференциро­вания и интегрирования. Основное отличие этих «аналитических» преобразо- 1иший от «алгебраических» преобразований состоит в характере множества, ко- горое пробегают переменные в тождествах. В алгебраических тождествах пе­ременные пробегают числовые области, а в аналитических этими множествами мияяются определенные множества функций. Например, правило дифференци- рования суммы: ( f + g )" = f + g "; здесь fug - переменные, пробегающие множе- ет но дифференцируемых функций с общей областью определения. Внешне эти преобразования сходны с преобразованиями алгебраического типа, поэтому иногда говорят «алгебра пределов», «алгебра дифференцирования».

Тождества, изучаемые в школьном курсе алгебры и алгебраическом ма­териале курса алгебры и начал анализа, можно разделить на два класса.

Первый состоит из тождеств сокращенного умножения, справедливых в

любом коммутативном кольце, и тождества - =-,а*0, справедливого в лю-

ас с

Второй класс образован тождествами, связывающими арифметические операции и основные элементарные функции, а также композиции элементар­ных функций. Большинство тождеств этого класса также имеет общую матема- гическую основу, состоящую в том, что степенная, показательная и логариф­мическая функции являются изоморфизмами различных числовых групп. На­пример, имеет место утверждение: существует единственное непрерывное изо­морфное отображение / аддитивной группы действительных чисел в мультип­ликативную группу положительных действительных чисел, при котором еди­ница отображается в заданное число а> 0, а Ф 1; это отображение задается по­казательной функцией с основанием я: / (х) = а*. Аналогичные утверждения имеются и для степенной и логарифмической функций.

Методика изучения тождеств обоих классов обладает многими общими чертами. В целом тождественные преобразования, изучаемые в школьном курсе математики, включают:

преобразования алгебраических выражений;

преобразования выражений, содержащих радикалы и степени с дроб­ными показателями;

преобразования тригонометрических выражений;

преобразования выражений, содержащих степени и логарифмы;

преобразования выражений, содержащих предельные переходы, и пре­образования, основанные на правилах, дифференцирования и интегрирования.

2. Особенности организации системы заданий при изучении тождественных преобразований

Основной принцип организации любой системы заданий - предъявление их от простого к сложному с учетом необходимости преодоления учениками посильных трудностей и создания проблемных ситуаций. Этот основной прин- цип требует конкретизации применительно к особенностям данного учебного материала. Приведем пример системы упражнений по теме: «Квадрат суммы и

разности двух чисел».

I la этом основная система упражнений заканчивается. Такая система долж­на обеспечить усвоение базисного материала.

Следующие упражнения (17-19) позволяют акцентировать внимание уча­щихся на типичных ошибках и способствуют развитию интереса и их творческих 1 пособиостей.

В каждом конкретном случае число упражнений в системе может быть меньше или больше, но последовательность их выполнения должна быть такой же.

Для описания различных систем заданий в методике математики исполь- lyri oi ещё понятие цикла упражнений. Цикл упражнений характеризуется тем, по соединяются в последовательность упражнения нескольких аспектов изу­чении и приемов расположения материала. По отношению к тождественным преобразованиям представление о цикле можно дать следующим образом.

11икл упражнений связан с изучением одного тождества, вокруг которого группируются другие тождества, находящиеся с ним в естественной связи. В " остан цикла наряду с исполнительными входят задания, требующиераспозна- < ii in ни применимости рассматриваемого тождества. Изучаемое тождество применяется для проведения вычислений на различных числовых областях.

Задания в каждом цикле разбиты на две группы. К первой относятся зада­ния, ш.шолняемые при первоначальном знакомстве с тождеством. Они выпол­няются на нескольких уроках, объединенных одной темой. Вторая группа уп­ражнений связывает изучаемое тождество с различными приложениями. Уп­ражнения из этой группы обычно разбросаны по различным темам.

Описанная структура цикла относится к этапу формирования навыков применения конкретных видов преобразований. На заключительном этапе - (Тане синтеза, циклы видоизменяются. Во-первых, объединяются обе группы шдапий, образующие «развернутый» цикл , причем из первой группы исклю­чаются наиболее простые по формулировкам или по сложности выполнения за­пиши. Оставшиеся типы заданий усложняются. Во-вторых, происходит слия­ние циклов, относящихся к различным тождествам, в силу этого повышается роль действий по распознаванию применимости того или иного тождества.

11рннсдем конкретный пример цикла.

Пример. Цикл заданий для тождества х -у 2 = (х-у)(х +у).

Выполнение первой группы заданий этого цикла происходит в следую-

щих условиях. Ученики только что ознакомились с формулировкой тождества (вернее, с двумя формулировками: «Разность квадратов двух выражений равна произведению суммы и разности данных выражений» и «Произведение суммы и разности двух выражений равно разности квадратов этих выражений»), его записью в виде формулы, доказательством. После этого приведено несколько образцов использования преобразования, основанного на этом тождестве. На­конец, ученики приступают к самостоятельному выполнению упражнений.

Первая группа заданий

Вторая группа заданий

(Задания каждой группы можно представить студентам с помощью муль­тимедийного проектора)

Проведем методический анализ этой системы типов заданий.

Задание а0 имеет целью фиксировать структуру изучаемого тождества. Это достигается заменой букв (х и у) в записи тождества другими буквами. За­дания этого типа позволяют уточнить связь между словесным выражением и символической формой тождества.

Задание а 2) ориентировано на установление связи данного тождества с числовой системой. Преобразуемое выражение является здесь не чисто буквен­ным, а буквенно-числовым. Для описания производимых действий необходимо использовать понятие замещения буквы числом в тождестве. Развитие навыков

применения операции замещения и углубление представления о ней осуществ- ш I гм при выполнении заданий типа г 2).

Следующий шаг в освоении тождества иллюстрируется заданием аз). В ном задании предложенное для преобразования выражение не имеет вида раз- пип н квадратов; преобразование становится возможным лишь тогда, когда. ч(чп1к заметит, что число 121 можно представить в виде квадрата числа. Таким иПриюм, выполнение этого задания производится не в один шаг, а в два: на пер- iiiiu происходит распознавание возможности приведения данного выражения к мпду разности квадратов, на втором производится преобразование, исполь­зующее тождество.

11а первых порах освоения тождества производится запись каждого шага:

I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + к), в дальнейшем некоторые операции по рас­познаванию выполняются учениками устно.

В примере дг) требуется установить связи данного тождества и других, от­носящихся к действиям с одночленами; в д 3) следует применить тождество для разности квадратов дважды; в ж) ученикам придется преодолеть определенный психологический барьер, осуществляя выход в область иррациональных чисел.

Задания типа б) направлены на формирование навыков замены произведе­нии (,v - у)(х + у) на разность х 2 - у 2 . Аналогичную роль играют задания типа в). В примерах типа г) требуется выбрать одно из направлений преобразований.

В целом задания первой группы ориентированы на усвоение структуры шждества, операции замещения в простейших наиболее важных случаях и представления об обратимости преобразований, осуществляемых тождеством,

Основные особенности и цели, раскрытые нами при рассмотрении первой | руины заданий цикла, относятся к любому циклу упражнений, формирующему штыки использования тождества. Для любого вновь вводимого тождества пер- иим группа заданий в цикле должна сохранять описанные здесь особенности; различия могут быть только в количестве заданий.

1 Вторая группа заданий в цикле, в отличие от первой, направлена на воз­можно более полное использование и учет специфики именно данного тожде- t i пи. Задания этой группы предполагают уже сформированными навыки ис­пользования тождества для разности квадратов (в наиболее простых случаях); цпи, заданий этой группы - углубить понимание тождества за счет рассмотре­нии разнообразных приложений его в различных ситуациях, в сочетании с ис­пользованием материала, относящегося к другим темам курса математики.

Рассмотрим решение задания л):

х 3 - 4х= 15 о х 3 - 9х = 15 - 5х о х(х~3)(х + 3) = 5(3 -х) ох = 3, или \{\ 1-3) = -5. Уравнение х(х + 3) = -5 действительных корней не имеет, поэтому \ 3 - единственный корень уравнения.

Мы видим, что использование тождества для разности квадратов составляет ч п и I ь часть в решении примера, являясь ведущей идеей проведения преобразований.

Циклы заданий, связанных с тождествами для элементарных функций, имеют свои особенности, которые обусловлены тем, что, во-пеувых . соответст- иутощие тождества изучаются в связи с изучением функционального материала и, /и>-«тоуых, они появляются позже тождеств первой группы и изучаются с

использованием уже сформированных навыков проведения тождественных преобразований. Значительная часть использования тождественных преобразо­ваний, связанных с элементарными функциями, приходится на решение ирра­циональных и трансцендентных уравнений. В циклы, относящиеся к усвоению тождеств, входят только наиболее простые уравнения, но уже здесь целесооб­разно проводить работу по усвоению приема решения таких уравнений: сведе­ние его путем замены неизвестного к алгебраическому уравнению.

Последовательность шагов при этом способе решения такова:

а) найти функцию <р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

б) произвести подстановку у = ср(х) и решить уравнение F(y) = 0;

в) решить каждое из уравнений <р(х) = где {у к } - множество корней уравнения F(y) = 0.

Новым вопросом, который необходимо учитывать при изучении тождеств с элементарными функциями, является рассмотрение области определения. Приведем примеры трех заданий:

а) Построить график функции у = 4 log 2 x .

б) Решить уравнение lg х + lg (х - 3) = 1.

в) На каком множестве формула lg (х - 5) + lg (х + 5) = lg (х 2 - 25) являет­ся тождеством?

Типичная ошибка, которую совершают ученики в решении задания а) со­стоит в использовании равенства а 1ое й без учета условия Ъ > 0. В данном слу­чае в итоге искомый график оказывается имеющим вид параболы вместо вер­ного ответа - правой ветви параболы. В задании б) показан один из источников получения сложных систем уравнений и неравенств, когда необходимо учиты­вать области определения функций, а в задании в) - упражнение, которое мо­жет служить подготовительным.

Идея, которой объединены эти задания - необходимость изучения облас­ти определения функции, может выявиться только при сопоставлении таких, разнородных по внешней форме заданий. Значение этой идеи для математики очень велико. Она может служить основой нескольких циклов упражнений - по каждому из классов элементарных функций.

В заключение заметим, что изучение тождественных преобразований в школе имеет большое воспитательное значение. Умение делать какие-то вы­кладки, проводить расчеты, в течение длительного времени с неослабным вни­манием следить за некоторым объектом необходимо людям самых разнообраз­ных профессий, независимо от того, работают ли они в сфере умственного или физического труда. Специфика раздела «Тождественные преобразования выра­жений» такова, что он открывает широкие возможности для выработки у уча­щихся этих важных профессионально-значимых умений.

Числа и выражения, из которых составлено исходное выражение, можно заменять тождественно равными им выражениями. Такое преобразование исходного выражения приводит к тождественно равному ему выражению.

Например, в выражении 3+x число 3 можно заменить суммой 1+2 , при этом получится выражение (1+2)+x , которое тождественно равно исходному выражению. Другой пример: в выражении 1+a 5 степень a 5 можно заменить тождественно равным ей произведением, например, вида a·a 4 . Это нам даст выражение 1+a·a 4 .

Данное преобразование, несомненно, искусственно, и обычно является подготовкой к каким-либо дальнейшим преобразованиям. Например, в сумме 4·x 3 +2·x 2 , учитывая свойства степени, слагаемое 4·x 3 можно представить в виде произведения 2·x 2 ·2·x . После такого преобразования исходное выражение примет вид 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, слагаемые в полученной сумме имеют общий множитель 2·x 2 , таким образом, мы можем выполнить следующее преобразование - вынесение за скобки. После него мы придем к выражению: 2·x 2 ·(2·x+1) .

Прибавление и вычитание одного и того же числа

Другим искусственным преобразованием выражения является прибавление и одновременное вычитание одного и того же числа или выражения. Такое преобразование является тождественным, так как оно, по сути, эквивалентно прибавлению нуля, а прибавление нуля не меняет значения.

Рассмотрим пример. Возьмем выражение x 2 +2·x . Если к нему прибавить единицу и отнять единицу, то это позволит в дальнейшем выполнить еще одно тождественное преобразование - выделить квадрат двучлена : x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 7 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 17-е изд., доп. - М.: Мнемозина, 2013. - 175 с.: ил. ISBN 978-5-346-02432-3.

Содержание урока

Возведение двучлена в степень

Двучлен — это многочлен, состоящий из двух членов. В прошлых уроках мы возводили двучлен во вторую и третью степень, тем самым получили формулы сокращенного умножения:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

(a + b ) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3

Но двучлен можно возводить не только во вторую и третью степень, но и в четвёртую, пятую или более высокую степень.

К примеру, возведём двучлен a + b в четвертую степень:

(a + b ) 4

Представим это выражение в виде произведения двучлена a + b и куба этого же двучлена

(a + b )(a + b ) 3

Сомножитель (a + b ) 3 можно заменить на правую часть формулы куба суммы двух выражений. Тогда получим:

(a + b )(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)

А это обычное перемножение многочленов. Выполним его:

То есть при возведении двучлена a + b в четвертую степень получается многочлен a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

(a + b ) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4

Возведение двучлена a + b в четвертую степень можно выполнить ещё и так: представить выражение (a + b ) 4 в виде произведения степеней (a + b ) 2 (a + b ) 2

(a + b ) 2 (a + b ) 2

Но выражение (a + b ) 2 равно a 2 + 2ab + b 2 . Заменим в выражении (a + b ) 2 (a + b ) 2 квадраты суммы на многочлен a 2 + 2ab + b 2

(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)

А это опять же обычное перемножение многочленов. Выполним его. У нас получится тот же результат, что и раньше:

Возведение трёхчлена в степень

Трёхчлен — это многочлен, состоящий из трёх членов. Например, выражение a + b + c является трёхчленом.

Иногда может возникнуть задача возвести трёхчлен в степень. Например, возведём в квадрат трехчлен a + b + c

(a + b + c ) 2

Два члена внутри скобок можно заключить в скобки. К примеру, заключим сумму a + b в скобки:

((a + b ) + c ) 2

В этом случае сумма a + b будет рассматриваться как один член. Тогда получается, что в квадрат мы возводим не трёхчлен, а двучлен. Сумма a + b будет первым членом, а член c — вторым членом. А как возводить в квадрат двучлен мы уже знаем. Для этого можно воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:

(a + b ) 2 = a 2 + 2ab + b 2

Применим эту формулу к нашему примеру:

Таким же способом можно возвести в квадрат многочлен, состоящий из четырёх и более членов. Например, возведем в квадрат многочлен a + b + c + d

(a + b + c + d ) 2

Представим многочлен в виде суммы двух выражений: a + b и c + d . Для этого заключим их в скобки:

((a + b ) + (c + d )) 2

Теперь воспользуемся формулой квадрата суммы двух выражений:

Выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена

Ещё одно тождественное преобразование, которое может пригодиться при решении задач это выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена.

Квадратным трехчленом называют трёхчлен второй степени. Например, следующие трехчлены являются квадратными:

Идея выделения полного квадрата из таких трехчленов заключается в том, чтобы представить исходный квадратный трехчлен в виде выражения (a + b ) 2 + c , где (a + b ) 2 полный квадрат, а c — некоторое числовое или буквенное выражение.

Например, выделим полный квадрат из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .

Для начала нужно построить выражение вида a 2 + 2ab + b 2 . Строить мы его будем из трехчлена 4x 2 + 16x + 19 . Для начала определимся какие члены будут играть роли переменных a и b

Роль переменной a будет играть член 2x , поскольку первый член трехчлена 4x 2 + 16x + 19 , а именно 4x 2 получается если 2x возвести в квадрат:

(2x ) 2 = 4x 2

Итак, переменная a равна 2x

a = 2x

Теперь возвращаемся к исходному трёхчлену и сразу обращаем внимание на выражение 16x . Это выражение является удвоенным произведением первого выражения a (в нашем случае это 2x ) и второго пока неизвестного нам выражения b . Временно поставим на его место вопросительный знак:

2 × 2x × ? = 16x

Если внимательно посмотреть на выражение 2 × 2x × ? = 16x , то интуитивно станет понятно, что членом b в данной ситуации является число 4, поскольку выражение 2 × 2x равно 4x , и чтобы получить 16x нужно домножить 4x на 4 .

2 × 2x × 4 = 16x

Отсюда делаем вывод, что переменная b равна 4

b = 4

Значит, нашим полным квадратом будет выражение (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2

Теперь у нас всё готово для выделения полного квадрата из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .

Итак, возвратимся к исходному трехчлену 4x 2 + 16x + 19 и попробуем аккуратно внедрить в него полученный нами полный квадрат (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2

4x 2 + 16x + 19 =

Вместо 4x 2 записываем (2x ) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2

А член 19 пока переписываем как есть:

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19

Теперь обратим внимание на то, что полученный нами многочлен (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 не тождественен изначальному трёхчлену 4x 2 + 16x + 19 . Убедиться в этом можно приведя многочлен (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 к стандартному виду:

(2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 + 19 = 4x 2 + 16x + 4 2 + 19

Видим, что получается многочлен 4x 2 + 16x + 4 2 + 19 , а должен был получиться 4x 2 + 16x + 19 . Это по причине того, что член 4 2 был искусственно внедрён в изначальный трёхчлен с целью организовать полный квадрата из трёхчлена 4x 2 + 16x + 19 .

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19

Теперь выражение (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 можно свернуть, то есть записать в виде (a + b ) 2 . В нашем случае получится выражение (2x + 4) 2

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19

Оставшиеся члены −4 2 и 19 можно сложить. −4 2 это −16 , отсюда −16 + 19 = 3

4x 2 + 16x + 19 = (2x ) 2 + 2 × 2x × 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 + 3

Значит, 4x 2 + 16x + 19 = (2x + 4) 2 + 3

Пример 2 . Выделить полный квадрат из квадратного трёхчлена x 2 + 2x + 2

Сначала построим выражение вида a 2 + 2 ab + b 2 . Роль переменной a в данном случае играет x, поскольку x 2 = x 2 .

Следующий член исходного трёхчлена 2x перепишем в виде удвоенного произведение первого выражения (это у нас x ) и второго выражения b (это будет 1).

2 × x × 1 = 2x

Если b = 1 , то полным квадратом будет выражение x 2 + 2x + 1 2 .

Теперь вернёмся к исходному квадратному трёхчлену и внедрим в него полный квадрата x 2 + 2x + 1 2

x 2 + 2x + 2 = x 2 + 2x + 1 2 − 1 2 + 2 = (x + 1) 2 + 1

Как и в прошлом примере член b (в данном примере это 1) после прибавления сразу был вычтен с целью сохранения значения исходного трёхчлена.

Рассмотрим следующее числовое выражение:

9 + 6 + 2

Значение этого выражения равно 17

9 + 6 + 2 = 17

Попробуем выделить в этом числовом выражении полный квадрат. Для этого сначала построим выражение вида a 2 + 2ab + b 2 . Роль переменной a в данном случае играет число 3 , поскольку первый член выражения 9 + 6 + 2 , а именно 9 можно представить как 3 2 .

Второй член 6 представим в виде удвоенного произведения первого члена 3 и второго 1

2 × 3 × 1 = 6

То есть переменная b будет равна единице. Тогда полным квадратом будет выражение 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 . Внедрим его в исходное выражение:

− 1 2 + 2

Свернем полный квадрат, а члены −1 2 и 2 слóжим:

3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Получилось выражение (3 + 1) 2 + 2 , которое по прежнему равно 17

(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17

Допустим, у нас имеются квадрат и два прямоугольника. Квадрат со стороной 3 см, прямоугольник со сторонами 2 см и 3 см, а также прямоугольник со сторонами 1 см и 2 см

Вычислим площадь каждой фигуры. Площадь квадрата будет составлять 3 2 = 9 см 2 , площадь розового прямоугольника — 2 × 3 = 6 см 2 , площадь сиреневого — 1 × 2 = 2 см 2

Запишем сумму площадей этих прямоугольников:

9 + 6 + 2

Это выражение можно понимать как объединение квадрата и двух прямоугольников в единую фигуру:

Тогда получается фигура, площадь которой 17 см 2 . Действительно, в представленной фигуре содержится 17 квадратов со стороной 1 см.

Попробуем из имеющейся фигуры образовать квадрат. Причем максимально большой квадрат. Для этого будем использовать части от розового и сиреневого прямоугольника.

Чтобы образовать максимально большой квадрат из имеющейся фигуры, можно желтый квадрат оставить без изменений, а половину от розового прямоугольника прикрепить к нижней части желтого квадрата:

Видим, что до образования полного квадрата не хватает еще одного квадратного сантиметра. Его мы можем взять от сиреневого прямоугольника. Итак, возьмем один квадрат от сиреневого прямоугольника и прикрепим его к образуемому большому квадрату:

Теперь внимательно посмотрим к чему мы пришли. А именно на желтую часть фигуры и розовую часть, которая по сути увеличила прежний жёлтый квадрат. Не означает ли это то, что была сторона квадрата равная 3 см, и эта сторона была увеличена на 1 см, что привело в итоге к увеличению площади?

(3 + 1) 2

Выражение (3 + 1) 2 равно 16 , поскольку 3 + 1 = 4 , а 4 2 = 16 . Этот же результат можно получить, если воспользоваться формулой квадрата суммы двух выражений:

(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16

Действительно, в образовавшемся квадрате содержится 16 квадратов.

Оставшийся один квадратик от сиреневого прямоугольника можно прикрепить к образовавшемуся большому квадрату. Ведь речь изначально шла о единой фигуре:

(3 + 1) 2 + 1

Прикрепление маленького квадратика к имеющемуся большому квадрату описывается выражением (3 + 1) 2 + 1 . А это есть выделение полного квадрата из выражения 9 + 6 + 2

9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1

Выражение (3 + 1) 2 + 1 , как и выражение 9 + 6 + 2 равно 17 . Действительно, площадь образовавшейся фигуры равна 17 см 2 .

Пример 4 . Выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 6x + 8

x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x × 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = (x + 3) 2 − 1

В некоторых примерах при построении выражения a 2 + 2ab + b 2 не бывает возможным сразу определить значения переменных a и b .

Например, выполним выделение полного квадрата из квадратного трёхчлена x 2 + 3x + 2

Переменной a соответствует x . Второй член 3x нельзя представить в виде удвоенного произведения первого выражения и второго. В этом случае второй член следует умножить на 2, и чтобы значение исходного многочлена не изменилось, сразу же выполнить деление на 2. Выглядеть это будет так.

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Тождества. Тождественные преобразования выражений. 7 класс.

Найдем значение выражений при х=5 и у=4 3(х+у)= 3(5+4)=3*9=27 3х+3у= 3*5+3*4=27 Найдем значение выражений при х=6 и у=5 3(х+у)= 3(6+5)=3*11=33 3х+3у= 3*6+3*5=33

ВЫВОД: Мы получили один и тот же результат. Из распределительного свойства следует, что вообще при любых значениях переменных значения выражений 3(х+у) и 3х+3у равны. 3(х+у) = 3х+3у

Рассмотрим теперь выражения 2х+у и 2ху. при х=1 и у=2 они принимают равные значения: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значения выражений разные 2х+у=2*3+4=10 2ху=2*3*4=24

ВЫВОД: Выражения 3(х+у) и 3х+3у являются тождественно равными, а выражения 2х+у и 2ху не являются тождественно равными. Определение: Два выражения, значения которых равны при любых значениях переменных, называются тождественно равными.

ТОЖДЕСТВО Равенство 3(х+у) и 3х+3у верно при любых значениях х и у. Такие равенства называются тождествами. Определение: Равенство, верное при любых значениях переменных, называется тождеством. Тождествами считают и верные числовые равенства. С тождествами мы уже встречались.

Тождествами являются равенства, выражающие основные свойства действий над числами. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Можно привести и другие примеры тождеств: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * (-b) = ab Замену одного выражения другим, тождественно равным ему выражением, называют тождественным преобразованием или просто преобразованием выражения.

Чтобы привести подобные слагаемые, надо сложить их коэффициенты и результат умножить на общую буквенную часть. Пример 1. Приведем подобные слагаемые 5х +2х-3х=х(5+2-3)=4х

Если перед скобками стоит знак «плюс», то скобки можно опустить, сохранив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 2. Раскроем скобки в выражении 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c

Если перед скобками стоит знак «минус», то скобки можно опустить, изменив знак каждого слагаемого, заключенного в скобки. Пример 3. Раскроем скобки в выражении а – (4 b – с) = a – 4 b + c

Домашнее задание: п. 5, №91, 97, 99 Спасибо за урок!

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Методика подготовки учащихся к ЕГЭ по разделу "Выражения и преобразование выражений"

Данный проект разработан с целью подготовки учащихся к государственным экзаменам в 9 классе и в дальнейшем к единому государственному экзамену в 11 классе....