Допустимые значения переменной для алгебраической дроби. Умножение, деление и сокращение алгебраических дробей

В § 42 было сказано, что если деление многочленов нельзя выполнить нацело, то частное записывается в виде дробного выражения, в котором делимое является числителем, а делитель - знаменателем.

Примеры дробных выражений:

Числитель и знаменатель дробного выражения и сами могут быть дробными выражениями, например:

Из дробных алгебраических выражений наиболее часто приходится иметь дело с такими, в которых числитель и знаменатель являются многочленами (в частности, и одночленами). Каждое такое выражение называется алгебраической дробью.

Определение. Алгебраическое выражение, представляющее собой дробь, числитель и знаменатель которой - многочлены, называется алгебраической дробью.

Как и в арифметике, числитель и знаменатель алгебраической дроби называются членами дроби.

В дальнейшем, изучив действия над алгебраическими дробями, мы сможем всякое дробное выражение при помощи тождественных преобразований преобразовать в алгебраическую дробь.

Примеры алгебраических дробей:

Заметим, что целое выражение, то есть многочлен, можно записать в виде дроби, для этого достаточно записать в числителе данное выражение, а в знаменателе 1. Например:

2. Допустимые значения букв.

Буквы, входящие только в числитель, могут принимать любые значения (если не введены какие-либо дополнительные ограничения условием задачи).

Для букв же, входящих в знаменатель, допустимыми являются только те значения, которые не обращают в нуль знаменатель. Поэтому в дальнейшем всегда будем считать, что знаменатель алгебраической дроби не равен нулю.

Тема: Повторение курса алгебры 8-ого класса

Урок: Алгебраические дроби

Для начала давайте вспомним, что же такое алгебраические дроби. Алгебраической дробью называют выражение вида , где - многочлены, - числитель, - знаменатель.

Поскольку - многочлены, то необходимо иметь в виду стандартные действия, возможные с многочленами, а именно: приведение к стандартному виду, разложение на множители, а также сокращение числителя и знаменателя.

Пример №1

Сократите дробь

Воспользуемся формулами сокращённого умножения для квадрата суммы и разности квадратов.

Комментарии: вначале мы разложили дробь на множители с помощью формул сокращённого умножения, а дальше воспользовались одним из основных свойств дроби: и числитель, и знаменатель алгебраической дроби можно умножить или разделить на один и тот же многочлен, в том числе число, который не равен 0. Таким образом получается, что мы и числитель, и знаменатель разделили на многочлен , поэтому обязательно необходимо учесть, что этот многочлен не равен 0, т. е. .

Пример №2

Из условия нам пока не ясно, какая связь между этими двумя функциями. Для этого нам необходимо упростить первую из них методом разложения на множители.

однако необходимо не забыть про условие сокращения дроби, т. е. про то, что

После всех сокращений мы получаем, что

лишь с тем отличием, что .

Построим график двух функций.

Мы видим яркое различие этих двух графиков: по сути они одинаковы, но на первом графике нам необходимо выколоть точку с координатой (1;0), поскольку эта точна не входит в ОДЗ первой функции.

Итого, мы с вами рассмотрели, что такое дробь, решили пару примеров о том, как важно следить за областью определения (областью допустимых значений), т. е. за теми значениями, которые может принимать .

Теперь перейдём к вопросу, какие действия можно производить с алгебраическими дроями, помимо тех, которые уже были упомянуты выше.

Естественно, алгебраические дроби, как и арифметические дроби, можно складывать, вычитать, умножать, делить, возводить в степень, получая при этом рациональные алгебраические выражения (такие выражения, которые составлены из чисел, переменных с помощью арифметических операций и возведения в натуральную степень ). После определённых упрощений подобные выражения сводятся к дробям, для которых исходными выражениями также являются алгебраические дроби.

Список действий / условий, с которыми можно столкнуться, решая задачи на алгебраические дроби:

Упростить рациональные выражения

Доказать тождества

Решать рациональное уравнение

Упростить/вычислить дробь

Пример №3

Решить простейшее рациональное уравнение

Дробь равна 0 тогда и только тогда, когда числитель равен 0, а знаменатель не равен 0. В нашем случае знаменатель равен . Значит, решение дроби сводится к линейному уравнению

Пример №4

Решить уравнение

В первую очередь попытаемся сократить дробь

При условии, что .

Поскольку мы уже упростили дробь в левой части исходного уравнения, то можем подставить новое значение и решить уравнение.

Теперь давайте попробуем выделить полный квадрат из полученного квадратного уравнения

Воспользуемся формулой сокращённого умножения для разности квадратов

Произведение равно 0 тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен 0. К тому же не забываем, что в начале у нас появилось условие существования нашего выражения в виде . Запишем же систему уравнений.

=> => Мы видим, что противоречит нашему условию, что , поэтому у нас остаётся только один ответ .

Итак, посмотрим на особенности, которые имеет решённый нами выше пример:

1. Числитель с разностью кубов и знаменатель желательно сократить сразу, поскольку это возможно в данном случае и сильно упростит дальнейшее решение уравнения, однако обязательно нужно помнить о том, что знаменатель дроби не может равняться, 0 и записать это условие.

2. Приведя дробь к квадратному уравнению, мы вспомнили один из методов решения квадратных уравнений - метод выделения полного квадрата.

Мы с вами на данном уроке вспомнили, что такое алгебраическая дробь, какие действия необходимо производить с числителем и знаменателем при решении таких дробей, какие действия в общем можно производить с дробями такого вида и решили несколько простых задач.

Список литературы

1. Башмаков М.И. Алгебра 8 класс. - М.: Просвещение, 2004.
2. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Бунимович Е.А. и др. Алгебра 8. 5 издание. - М.: Просвещение, 2010.
3. Никольский С.М., Потапов М.А., Решетников Н.Н., Шевкин А.В. Алгебра 8 класс. Учебник для общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 2006.

1. Вся элементарная математика ().
2. Школьный помощник ().
3. Интернет-портал Testmath.com.ua ().

Домашнее задание

Из курса алгебры школьной программы переходим к конкретике. В этой статье мы подробно изучим особый вид рациональных выражений – рациональные дроби , а также разберем, какие характерные тождественные преобразования рациональных дробей имеют место.

Сразу отметим, что рациональные дроби в том смысле, в котором мы их определим ниже, в некоторых учебниках алгебры называют алгебраическими дробями. То есть, в этой статье мы под рациональными и алгебраическими дробями будем понимать одно и то же.

По обыкновению начнем с определения и примеров. Дальше поговорим про приведение рациональной дроби к новому знаменателю и о перемене знаков у членов дроби. После этого разберем, как выполняется сокращение дробей. Наконец, остановимся на представлении рациональной дроби в виде суммы нескольких дробей. Всю информацию будем снабжать примерами с подробными описаниями решений.

Навигация по странице.

Определение и примеры рациональных дробей

Рациональные дроби изучаются на уроках алгебры в 8 классе. Мы будем использовать определение рациональной дроби, которое дается в учебнике алгебры для 8 классов Ю. Н. Макарычева и др.

В данном определении не уточняется, должны ли многочлены в числителе и знаменателе рациональной дроби быть многочленами стандартного вида или нет. Поэтому, будем считать, что в записях рациональных дробей могут содержаться как многочлены стандартного вида, так и не стандартного.

Приведем несколько примеров рациональных дробей . Так , x/8 и - рациональные дроби. А дроби и не подходят под озвученное определение рациональной дроби, так как в первой из них в числителе стоит не многочлен, а во второй и в числителе и в знаменателе находятся выражения, не являющиеся многочленами.

Преобразование числителя и знаменателя рациональной дроби

Числитель и знаменатель любой дроби представляют собой самодостаточные математические выражения, в случае рациональных дробей – это многочлены, в частном случае – одночлены и числа. Поэтому, с числителем и знаменателем рациональной дроби, как и с любым выражением, можно проводить тождественные преобразования. Иными словами, выражение в числителе рациональной дроби можно заменять тождественно равным ему выражением, как и знаменатель.

В числителе и знаменателе рациональной дроби можно выполнять тождественные преобразования . Например, в числителе можно провести группировку и приведение подобных слагаемых, а в знаменателе – произведение нескольких чисел заменить его значением. А так как числитель и знаменатель рациональной дроби есть многочлены, то с ними можно выполнять и характерные для многочленов преобразования, например, приведение к стандартному виду или представление в виде произведения.

Для наглядности рассмотрим решения нескольких примеров.

Пример.

Преобразуйте рациональную дробь так, чтобы в числителе оказался многочлен стандартного вида, а в знаменателе – произведение многочленов.

Решение.

Приведение рациональных дробей к новому знаменателю в основном применяется при сложении и вычитании рациональных дробей .

Изменение знаков перед дробью, а также в ее числителе и знаменателе

Основное свойство дроби можно использовать для смены знаков у членов дроби. Действительно, умножение числителя и знаменателя рациональной дроби на -1 равносильно смене их знаков, а в результате получится дробь, тождественно равная данной. К такому преобразованию приходится достаточно часто обращаться при работе с рациональными дробями.

Таким образом, если одновременно изменить знаки у числителя и знаменателя дроби, то получится дробь, равная исходной. Этому утверждению отвечает равенство .

Приведем пример. Рациональную дробь можно заменить тождественно равной ей дробью с измененными знаками числителя и знаменателя вида .

С дробями можно провести еще одно тождественное преобразование, при котором меняется знак либо в числителе, либо в знаменателе. Озвучим соответствующее правило. Если заменить знак дроби вместе со знаком числителя или знаменателя, то получится дробь, тождественно равная исходной. Записанному утверждению соответствуют равенства и .

Доказать эти равенства не составляет труда. В основе доказательства лежат свойства умножения чисел. Докажем первое из них: . С помощью аналогичных преобразований доказывается и равенство .

Например, дробь можно заменить выражением или .

В заключение этого пункта приведем еще два полезных равенства и . То есть, если изменить знак только у числителя или только у знаменателя, то дробь изменит свой знак. Например, и .

Рассмотренные преобразования, позволяющие изменять знак у членов дроби, часто применяются при преобразовании дробно рациональных выражений.

Сокращение рациональных дробей

В основе следующего преобразования рациональных дробей, имеющего название сокращение рациональных дробей, лежит все тоже основное свойство дроби. Этому преобразованию соответствует равенство , где a , b и c – некоторые многочлены, причем b и c - ненулевые.

Из приведенного равенства становится понятно, что сокращение рациональной дроби подразумевает избавление от общего множителя в ее числителе и знаменателе.

Пример.

Сократите рациональную дробь .

Решение.

Сразу виден общий множитель 2 , выполним сокращение на него (при записи общие множители, на которые сокращают, удобно зачеркивать). Имеем . Так как x 2 =x·x и y 7 =y 3 ·y 4 (при необходимости смотрите ), то понятно, что x является общим множителем числителя и знаменателя полученной дроби, как и y 3 . Проведем сокращение на эти множители: . На этом сокращение завершено.

Выше мы выполняли сокращение рациональной дроби последовательно. А можно было выполнить сокращение в один шаг, сразу сократив дробь на 2·x·y 3 . В этом случае решение выглядело бы так: .

Ответ:

.

При сокращении рациональных дробей основная проблема заключается в том, что общий множитель числителя и знаменателя далеко не всегда виден. Более того, он не всегда существует. Для того, чтобы найти общий множитель или убедиться в его отсутствии нужно числитель и знаменатель рациональной дроби разложить на множители. Если общего множителя нет, то исходная рациональная дробь не нуждается в сокращении, в противном случае – проводится сокращение.

В процессе сокращения рациональных дробей могут возникать различные нюансы. Основные тонкости на примерах и в деталях разобраны в статье сокращение алгебраических дробей .

Завершая разговор о сокращении рациональных дробей, отметим, что это преобразование является тождественным, а основная сложность в его проведении заключается в разложении на множители многочленов в числителе и знаменателе.

Представление рациональной дроби в виде суммы дробей

Достаточно специфическим, но в некоторых случаях очень полезным, оказывается преобразование рациональной дроби, заключающееся в ее представлении в виде суммы нескольких дробей, либо сумме целого выражения и дроби.

Рациональную дробь, в числителе которой находится многочлен, представляющий собой сумму нескольких одночленов, всегда можно записать как сумму дробей с одинаковыми знаменателями, в числителях которых находятся соответствующие одночлены. Например, . Такое представление объясняется правилом сложения и вычитания алгебраических дробей с одинаковыми знаменателями .

Вообще, любую рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей множеством различных способов. Например, дробь a/b можно представить как сумму двух дробей – произвольной дроби c/d и дроби, равной разности дробей a/b и c/d . Это утверждение справедливо, так как имеет место равенство . К примеру, рациональную дробь можно представить в виде суммы дробей различными способами: Представим исходную дробь в виде суммы целого выражения и дроби. Выполнив деление числителя на знаменатель столбиком, мы получим равенство . Значение выражение n 3 +4 при любом целом n является целым числом. А значение дроби является целым числом тогда и только тогда, когда ее знаменатель равен 1 , −1 , 3 или −3 . Этим значениям отвечают значения n=3 , n=1 , n=5 и n=−1 соответственно.

Ответ:

−1 , 1 , 3 , 5 .

Список литературы.

• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 7 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 13-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2009. - 160 с.: ил. ISBN 978-5-346-01198-9.
• Мордкович А. Г. Алгебра. 8 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович. - 11-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2009. - 215 с.: ил. ISBN 978-5-346-01155-2.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

После полученных начальных сведений о дробях перейдем к действиям с алгебраическими дробями. С ними можно выполнять любые действия вплоть до возведения в степень. При их выполнении мы в итоге получаем алгебраическую дробь. Все пункты необходимо разбирать последовательно.

Действия с алгебраическими дробями аналогичны действиям с обыкновенными дробями. Поэтому стоит отметить, что правила являются совпадающими при любых выполняемых с ними действиями.

Сложение алгебраических дробей

Сложение может выполняться в двух случаях: при одинаковых знаменателях, при наличии разных знаменателей.

Если необходимо произвести сложение дробей с одинаковыми знаменателями, нужно сложить числители, а знаменатель оставить без изменения. Это правило позволяет воспользоваться сложением дробей и многочленов, которые находятся в числителях. Получим, что

a 2 + a · b a · b - 5 + 2 · a · b + 3 a · b - 5 + 2 · b 4 - 4 a · b - 5 = a 2 + a · b + 2 · a · b + 3 + 2 · b 4 - 4 a · b - 5 = = a 2 + 3 · a · b - 1 + 2 · b 4 a · b - 5

Если имеются числители дроби с разными числителями, тогда необходимо применить правило: воспользоваться приведением к общему знаменателю, выполнить сложение полученных дробей.

Пример 1

Нужно произвести сложение дробей x x 2 - 1 и 3 x 2 - x

Решение

Приводим к общему знаменателю вида x 2 x · x - 1 · x + 1 и 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) .

Выполним сложение и получим, что

x 2 x · (x - 1) · (x + 1) + 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x · (x - 1) · (x + 1) = x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

Ответ: x 2 + 3 · x + 3 x 3 - x

Статья о сложении и вычитании таких дробей имеет подробную информацию, где подробно описано каждое действие, производимое над дробями. При выполнении сложения возможно появление сократимой дроби.

Вычитание

Вычитание выполняется аналогично сложению. При одинаковых знаменателях действия выполняются только в числителе, знаменатель остается неизменным. При различных знаменателях выполняется приведение к общему. Только после этого можно приступать к вычислениям.

Пример 2

Перейдем к вычитанию дробей a + 5 a 2 + 2 и 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 .

Решение

Видно, что знаменатели идентичны, что означает a + 5 a 2 + 2 - 1 - 2 · a 2 + a a 2 + 2 = a + 5 - (1 - 2 · a 2 + a) a 2 + 2 = 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 .

Произведем сокращение дроби 2 · a 2 + 4 a 2 + 2 = 2 · a 2 + 2 a 2 + 2 = 2 .

Ответ: 2

Пример 3

Выполним вычитание 4 5 · x и 3 x - 1 .

Решение

Знаменатели разные, поэтому приведем к общему 5 · x · (x - 1) , получаем 4 5 · x = 4 · x - 1 5 · x · (x - 1) = 4 · x - 4 5 · x · (x - 1) и 3 x - 1 = 3 · 5 · x (x - 1) · 5 · x = 15 · x 5 · x · (x - 1) .

Теперь выполним

4 5 · x - 3 x - 1 = 4 · x - 4 5 · x · (x - 1) - 15 · x 5 · x · (x - 1) = 4 · x - 4 - 15 · x 5 · x · (x - 1) = = - 4 - 11 · x 5 · x · (x - 1) = - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

Ответ: - 4 - 11 · x 5 · x 2 - 5 · x

Детальная информация указана в статье о сложении и вычитании алгебраических дробей.

Умножение алгебраических дробей

С дробями можно производить умножение аналогичное умножению обыкновенных дробей: для того, чтобы умножить дроби, необходимо произвести умножение числителей и знаменателей отдельно.

Рассмотрим пример такого плана.

Пример 4

При умножении 2 x + 2 на x - x · y y из правила получаем, что 2 x + 2 · x - x · y y = 2 · (x - x · y) (x + 2) · y .

Теперь необходимо выполнить преобразования, то есть умножить одночлен на многочлен. Получаем, что

2 · x - x · y (x + 2) · y = 2 · x - 2 · x · y x · y + 2 · y

Предварительно следует произвести разложение дроби на многочлены для того, чтобы упростить дробь. После можно производить сокращение. Имеем, что

2 · x 3 - 8 · x 3 · x · y - y · 6 · y 5 x 2 + 2 · x = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) y · (3 · x - 1) · 6 · y 5 x · (x + 2) = = 2 · x · (x - 2) · (x + 2) · 6 · y 5 y · (3 · x - 1) · x · x + 2 = 12 · (x - 2) · y 4 3 · x - 1 = 12 · x · y 4 - 24 · y 4 3 · x - 1

Подробное рассмотрение данного действия можно найти в статье умножения и деления дробей.

Деление

Рассмотрим деление с алгебраическими дробями. Применим правило: для того, чтобы разделить дроби, необходимо первую умножить на обратную вторую.

Дробь, которая обратная данной считается дробь с поменянными местами числителем и знаменателем. То есть, эта дробь называется взаимообратной.

Рассмотрим пример.

Пример 5

Выполнить деление x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y .

Решение

Тогда обратная 2 · x 3 · y дробь запишется как 3 · y 2 · x . Значит, получим, что x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y = x 2 - x · y 9 · y 2 · 3 · y 2 · x = x · x - y · 3 · y 9 · y 2 · 2 · x = x - y 6 · y .

Ответ: x 2 - x · y 9 · y 2: 2 · x 3 · y = x - y 6 · y

Возведение алгебраической дроби в степень

Если имеется натуральная степень, тогда необходимо применять правило действий с возведением в натуральную степень. При таких вычислениях используем правило: при возведении в степень нужно числитель и знаменатель отдельно возводить в степени, после чего записать результат.

Пример 6

Рассмотрим на примере дроби 2 · x x - y . Если необходимо возвести ее в степень равную 2 , тогда выполняем действия: 2 · x x - y 2 = 2 · x 2 (x - y) 2 . После чего возводим в степень получившийся одночлен. Выполнив действия, получим, что дроби примет вид 4 · x 2 x 2 - 2 · x · y + y 2 .

Детальное решение подобных примеров рассматривается в статье про возведение алгебраической дроби в степень.

При работе со степенью дроби необходимо помнить, что числитель и знаменатель отдельно возводятся в степень. Это заметно упрощает процесс решения и дальнейшего упрощения дроби. Стоит обращать внимание и на знак перед степенью. Если имеется знак «минус», то такую дробь следует переворачивать для простоты вычисления.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Когда ученик переходит в старшую школу, математика разделяется на 2 предмета: алгебру и геометрию. Понятий становится все больше, задания все сложнее. У некоторых возникают трудности с восприятием дробей. Пропустили первый урок по этой теме, и вуаля. дроби? Вопрос, который будет мучить на протяжении всей школьной жизни.

Понятие алгебраической дроби

Начнем с определения. Под алгебраической дробью понимается выражения P/Q, где P является числителем, а Q - знаменателем. Под буквенной записью может скрываться число, числовое выражение, численно-буквенное выражение.

Прежде чем задаваться вопросом, как решать алгебраические дроби, для начала нужно понимать, что подобное выражение - часть целого.

Как правило, целое - это 1. Число в знаменателе показывает, на сколько частей разделили единицу. Числитель необходим для того, чтобы узнать, сколько элементов взято. Дробная черта соответствует знаку деления. Допускается запись дробного выражения в качестве математической операции «Деление». В таком случае числитель - делимое, знаменатель - делитель.

Основное правило обыкновенных дробей

Когда учащиеся проходят данную тему в школе, им дают примеры на закрепление. Чтобы правильно их решать и находить различные пути из сложных ситуаций, нужно применять основное свойство дробей.

Оно звучит так: Если умножить и числитель, и знаменатель на одно и то же число или выражение (отличные от нуля), то значение обыкновенной дроби не изменится. Частным случаем от данного правила является разделение обеих частей выражения на одно и то же число или многочлен. Подобные преобразования называются тождественными равенствами.

Ниже будет рассмотрено, как решать сложение и вычитание алгебраических дробей, производить умножение, деление и сокращение дробей.

Математические операции с дробями

Рассмотрим, как решать, основное свойство алгебраической дроби, как применять его на практике. Если нужно перемножить две дроби, сложить их, разделить одну на другую или произвести вычитание, нужно всегда придерживаться правил.

Так, для операции сложения и вычитания следует найти дополнительный множитель, чтобы привести выражения к общему знаменателю. Если изначально дроби даны с одинаковыми выражениями Q, то нужно опустить этот пункт. Когда общий знаменатель найден, как решать алгебраические дроби? Нужно сложить или вычесть числители. Но! Нужно помнить, что при наличии знака «-» перед дробью все знаки в числителе меняются на противоположные. Иногда не следует производить каких-либо подстановок и математических операций. Достаточно поменять знак перед дробью.

Часто используется такое понятие, как сокращение дробей . Это означает следующее: если числитель и знаменатель разделить на отличное от единицы выражение (одинаковое для обеих частей), то получается новая дробь. Делимое и делитель меньше прежних, но в силу основного правила дробей остаются равными изначальному примеру.

Целью этой операции является получение нового несократимого выражения. Решить данную задачу можно, если сократить числитель и знаменатель на наибольший общий делитель. Алгоритм операции состоит из двух пунктов:

1. Нахождение НОД для обеих частей дроби.
2. Деление числителя и знаменателя на найденное выражение и получение несократимой дроби, равной предшествующей.

Ниже показана таблица, в которой расписаны формулы. Для удобства ее можно распечатать и носить с собой в тетради. Однако, чтобы в будущем при решении контрольной или экзамена не возникло трудностей в вопросе, как решать алгебраические дроби, указанные формулы нужно выучить наизусть.

Несколько примеров с решениями

С теоретической точки зрения рассмотрен вопрос, как решать алгебраические дроби. Примеры, приведенные в статье, помогут лучше усвоить материал.

1. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

2. Преобразовать дроби и привести их к общему знаменателю.

После изучения теоретической части и расссмотрения практической вопросов больше возникнуть не должно.