Uygulamalı görevlerin çözümü, integralin hesaplanmasına indirgenir, ancak tam olarak yapmak her zaman mümkün değildir. Bazen belirli bir integralin değerini bir dereceye kadar doğrulukla, örneğin bininci bir şekilde bilmek gerekir.

Gerekli doğrulukla belirli bir integralin yaklaşık değerini bulması gerektiğinde görevler vardır, daha sonra sadelik, yamuk, dikdörtgenler yöntemi olarak sayısal entegrasyon kullanılır. Tüm durumlar belirli bir doğrulukla hesaplamanıza izin vermez.

Bu makale, Newton-Lohunder formülünün uygulanmasını göz önünde bulundurur. Bu, belirli bir integrali doğru bir şekilde hesaplamak için gereklidir. Detaylı örnekler verilecek, değişkenin belirli bir integralde değiştirilmesi dikkate alınacak ve parçalara entegre ederken belirli bir integralin değerlerini bulacaktır.

Formula Newton Labitsa

Tanım 1.

Y \u003d Y (X) işlevi segmentten sürekli olduğunda, [a; b] ve f (x), bu segmentin ilk işlevlerinden biridir, o zaman formula Newton Labitsa Düşünülen. Bunu yazıyoruz ∫ \u200b\u200ba b f (x) D x \u003d f (b) - f (a).

Bu formül inanıyor İntegral hesabın ana formülü.

Bu formülün kanıtı üretmek için, bir integral kavramını mevcut bir değişken üst sınır ile kullanmak gerekir.

Y \u003d F (x) işlevi segmentten sürekli olduğunda, [a; b], sonra x ∈ a argümanının değeri; b ve integral, x f (t) d t formuna sahiptir ve üst sınırın işlevi olarak kabul edilir. Fonksiyonun tanımlanmasını benimsemesi gerekir ∫ AXF (t) dt \u003d φ (x) formunu alır, süreklidir ve bunun için, formun eşitliği ∫ AXF (t) DT "\u003d φ" ( x) \u003d f (x) doğrudur.

Φ (x) işlevinin artışının, X X'in argümanının artmasına karşılık geldiğini düzeltiyoruz, belirli bir integralin beşinci birincil özelliğini kullanmak gereklidir.

Φ (x + δ x) - φ x \u003d ∫ AX + Δ XF (t) DT - ∫ AXF (T) DT \u003d \u003d ∫ AX + Δ XF (T) DT \u003d F (C) · X + Δ X - X \u003d F (c) · δ x

c ∈ x değeri nerededir; X + δ x.

Eşitliği Form (x + δ x) - φ (x) δ x \u003d f (c) formunda sabitleyin. Türev fonksiyonunun tanımı gereği, δ x → 0'daki sınıra geçmek gerekir, sonra φ "(x) \u003d f (x) formülünü elde ediyoruz. Φ (x) bir tanesidir. [a; b] 'de bulunan Y \u003d F (x) işlevi için ilkel türler. Aksi takdirde, ifade kaydedilebilir

F (x) \u003d φ (x) + c \u003d ∫ a x f (t) d t + c, burada C değerinin sabit olduğu.

Belirli bir integralin ilk özelliğini kullanarak F (a) hesaplayın. Sonra bunu alıyoruz

F (a) \u003d φ (a) + c \u003d ∫ a a f (t) d t + c \u003d 0 + c \u003d c, bu nedenle C \u003d F (a) elde ettik. Sonuç, f (b) hesaplarken uygulanabilir ve elde edilir:

F (b) \u003d φ (b) + C \u003d ∫ ABF (t) DT + C \u003d ∫ ABF (T) DT + F (A), başka bir deyişle, F (b) \u003d ∫ ABF (T) DT + F (a). Eşitlik, Newton Labnica'nın formülünü kanıtlıyor ∫ A B F (x) D X + F (B) - F (A).

Fonksiyonun artışı F X A B \u003d F (B) - F (A) olarak kabul edilir. Newton-Leibnia formülünün belirlenmesi ile ∫ a b f (x) D x \u003d f x a b \u003d f (b) - f (a) formunu alır.

Formülü uygulamak için, Y \u003d F (x) bölümünün ilkel Y \u003d F (x) segmentinden birini bilmek gerekir [a; b], bu segmentten ilkelin artışını hesaplar. Newton-LABInder formülünü kullanarak hafif bir hesaplama örneği düşünün.

Örnek 1.

Newton-LABInder formülüne göre spesifik bir integral ∫ 1 3 x 2 d x hesaplayın.

Karar

Y \u003d X2 formunun entegre fonksiyonunun segmentten sürekli olduğunu düşünün [1; 3], sonra bu segmentle entegre edin. Belirsiz integrallerin tablosuna göre, Y \u003d X 2 işlevinin, x ∈ 1 anlamına gelen X'in tüm geçerli tüm değerleri için birçok ilkele sahip olduğunu görüyoruz; 3 f (x) \u003d ∫ x 2 d x \u003d x 3 3 + c olarak kaydedilecektir. C \u003d 0 ile ilkel bir şekilde almak gerekir, sonra f (x) \u003d x 3 3'ü elde ederiz.

Newton Labnic formülünü kullanıyoruz ve belirli bir integralin hesaplanmasının formunu ∫ 1 3 x 2 d x \u003d x 3 3 1 3 \u003d 33 33 - 1 3 3 \u003d 26 3'ü alacağını elde ediyoruz.

Cevap: ∫ 1 3 x 2 d x \u003d 26 3

Örnek 2.

Belirli bir integrali hesaplayın ∫ - 1 2 x · E x 2 + 1 D x Newton-Leibice formülü ile.

Karar

Belirtilen işlev segmentten süreklidir [- 1; 2], entegre olduğu anlamına gelir. Diferansiyel işarete gönderim yöntemini kullanarak bir belirsiz integral ∫ x · ex 2 + 1 dx değerini bulmak gerekir, sonra ∫ x · EX 2 + 1 DX \u003d 1 2 ∫ EX 2 + 1 D ( x 2 + 1) \u003d 1 2 2 + 1 + c.

Buradan, tüm X, X ∈ - 1 için geçerli olan y \u003d x · e x 2 + 1'i birçok ilkel fonksiyonumuz var. 2.

C \u003d 0 olduğunda ilkelleştirmek ve Newton-Lohunder Formula'yı uygulayın. Sonra ifadeyi alıyoruz

∫ - 1 2 x · EX 2 + 1 DX \u003d 1 2 EX 2 + 1 - 1 2 \u003d 1 2 E 2 2 + 1 - 1 2 E (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 E (- 1) 2 + 1 \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Cevap: ∫ - 1 2 x · E X 2 + 1 D X \u003d 1 2 E 2 (E 3 - 1)

Örnek 3.

Integrals ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 x ve ∫ - 1 1 4 x 3 + 2 x 2 D X hesaplayın.

Karar

Kesim - 4; - 1 2, integral işaret altındaki işlevin sürekli olduğuna, entegre olduğu anlamına gelir. Buradan, birçok ilkel fonksiyonu bulacağız Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2. Bunu alıyoruz

∫ 4 x 3 + 2 x 2 x \u003d 4 ∫ x D x + 2 ∫ x - 2 D x \u003d 2 x 2 - 2 x + c

İlkel f (x) \u003d 2 x 2 - 2 x almak için gereklidir, daha sonra Newton-Lakvinder formülünü uygulayarak, hesaplayan bir ayrıntı elde ediyoruz:

∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 DX \u003d 2 x 2 - 2 x - 4 - 1 2 \u003d 2 - 1 2 2 - 2 - 1 2 - 2 - 4 2 - 2 - 4 \u003d 1 2 + 4 - 32 - 1 2 \u003d - 28

İkinci integralin hesaplanmasına bir geçiş üretiyoruz.

Segmentten [- 1; 1] Entegre fonksiyonun sınırsız olarak kabul edildiğinden, çünkü LIM X → 0 4 x 3 + 2 x 2 \u003d + ∞, daha sonra segmentten entegriyet için gerekli bir koşulu izler. Daha sonra F (x) \u003d 2 x 2-2 x, segmentten Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 için ilkel değildir [- 1; 1], o nokta, segmente ait olduğundan, tanım alanına dahil edilmez. Segmentten Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 işlevi için Riemann ve Newton Leibher'in belirli bir integrali olduğu anlamına gelir [- 1; bir ] .

Cevap: ∫ - 4 - 1 2 4 x 3 + 2 x 2 D x \u003d - 28,segmentin Y \u003d 4 x 3 + 2 x 2 işlevi için Riemann ve Newton LaBnice'in belirli bir integrali vardır [- 1; bir ] .

Newton-Labitsa formülünü kullanmadan önce, tam olarak belirli bir integralin varlığını bilmeniz gerekir.

Bir değişkeni belirli bir integralde değiştirmek

Y \u003d F (X) işlevi tanımlandığında ve segmentten sürekli olarak tanımlandığında, [a; b], sonra mevcut set [a; B] segmentte tanımlanan x \u003d g (z) işlevinin değerlerinin alanı olarak kabul edilir; β Mevcut bir sürekli türev ile, burada g (a) \u003d a ve g β \u003d b, ∫ a b f (x) D x \u003d ∫ α β f (g (g (g (g)) · g "(z) D Z'yi elde ediyoruz.

Bu formül, integral ∫ a b f (x) D X'yı hesaplamak gerektiğinde kullanılır, burada belirsiz integralin ∫ F (x) D x formuna sahip olduğu, ikame yöntemini kullanarak hesaplayın.

Örnek 4.

Formun belirli bir integralini hesaplayın ∫ 9 18 1 x 2 x - 9 D X.

Karar

İntegrand, interkom üzerinde sürekli bir entegrasyon olarak kabul edilir, bu da belirli bir integral varlığa meydana gelir. 2 x - 9 \u003d z ⇒ x \u003d g (z) \u003d z 2 + 9 2'nin atasını veriyoruz. X \u003d 9 değeri, z \u003d 2 · 9 - 9 \u003d 9 \u003d 3 ve x \u003d 18, z \u003d 2 · 18 - 9 \u003d 27 \u003d 33, ardından g α \u003d g (3) \u003d 9, g β \u003d g 3 3 \u003d 18. Formül ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ α α β f (g (g)) · g "(z) D Z'sinde elde edilen değerleri yerine getirirken,

∫ 9 18 1 x 2 x - 9 DX \u003d ∫ 3 3 3 1 Z 2 + 9 2 · Z · Z 2 + 9 2 "DZ \u003d ∫ 3 3 3 1 Z 2 + 9 2 · Z · ZDZ \u003d ∫ 3 3 3 2 z 2 + 9 dz

Belirsiz integraller tablosuna göre, 2 Z 2 + 9'u ilkel fonksiyonlardan birinin 23 A R C T G 3 değerini alır. Ardından, Newton-Labitsa formülünü uygularken, bunu alıyoruz.

∫ 3 3 3 2 Z 2 + 9 D Z \u003d 2 3 ARCTGZ 3 3 3 3 \u003d 2 3 ARCTG3 3 3 - 2 3 ARCTG 3 3 \u003d 2 3 ARCTG 3 - ARCTG 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Formül ∫ a b f (x) d x \u003d ∫ a α β F (g (g (g)) · g "(z) D z kullanmadan bulma yapılabilir.

Değiştirme yöntemiyle, 1 x 2 x - 9 d x formunun integralini kullanın, ardından 1 x 2 x - 9 D x \u003d 2 3 ARC TG 2 X - 9 3 sonuçuna gelebilirsiniz. + c.

Buradan, Newton labitlerinin formülünü hesaplayacağız ve belirli bir bütünlüğü hesaplayacağız. Bunu alıyoruz

∫ 9 18 2 Z 2 + 9 DZ \u003d 2 3 ARCTGZ 3 9 18 \u003d 2 3 3 ARCTG 2 · 18 - 9 3 - ARCTG 2 · 9 - 9 3 \u003d 2 3 3 ARCTG 3 - ARCTG 1 \u003d 2 3 π 3 - π 4 \u003d π 18

Sonuçlar denk geldi.

Cevap: ∫ 9 18 2 x 2 x - 9 d x \u003d π 18

Belirli bir integral hesaplarken parçalara entegrasyon

Segmentteyse [a; b] tanımlanmış ve sürekli fonksiyonlar u (x) ve v (x), sonra ilk sipariş türevleri v "(x) · U (x) entegredir, bu nedenle entegre işlevi için bu bölümden u" (x) · v (x) Eşitlik ∫ ABV "(x) · U (x) DX \u003d (U (x) · V (x)) AB - ∫ Abu" (x) · V (x) DX geçerlidir.

Formül daha sonra kullanılabilir, integral ∫ A B F (X) D X ve ∫ F (x) D X, parçalara entegrasyon kullanılarak aranması gerekir.

Örnek 5.

Belirli bir integrali hesaplayın ∫ - π 2 3 π 2 x · SIN X 3 + π 6 D X.

Karar

X fonksiyonu · günah x 3 + π 6, segmentte entegredir - π 2; 3 π 2, sürekli olduğu anlamına gelir.

U (x) \u003d x, daha sonra D (v (x)) \u003d v "(x) dx \u003d gün günah x 3 + π 6 dx ve d (u (x) \u003d u" (x) dx \u003d dx, ve v (x) \u003d - 3 cos π 3 + π 6. Formül ∫ a b v "(x) · U (x) d x \u003d (U (x) · V (x)) A B - ∫ A B U" (x) · V (x) D x Bunu alıyoruz

∫ - π 2 3 π 2 x · SIN X 3 + π 6 DX \u003d - 3 X · COS X 3 + π 6 - π 2 3 π 2 - ∫ - π 2 3 π 2 - 3 COS X 3 + π 6 DX \u003d \u003d - 3 · 3 π 2 · COS π 2 + π 6 - - 3 · - 2 · COS - π 6 + π 6 + 9 Günah x 3 + π 6 - π 2 3 π 2 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 Günah π 2 + π 6 - Günah - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 - 3 π 2 + 9 3 2 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Örnek çözümü farklı bir şekilde gerçekleştirilebilir.

Birçok ilkel fonksiyonu bulun X · SIN X 3 + π 6, Newton Leibnia Formula'yı kullanarak parçalarda entegrasyonu kullanarak:

∫ x · SIN XX 3 + π 6 DX \u003d U \u003d X, DV \u003d SIN X 3 + π 6 DX ⇒ DU \u003d DX, V \u003d - 3 COS X 3 + π 6 \u003d \u003d - 3 COS X 3 + π 6 + 3 ∫ COS X 3 + π 6 DX \u003d - 3 x COS X 3 + π 6 + 9 SIN X 3 + π 6 + C ⇒ ∫ - π 2 3 π 2 X · SIN X 3 + π 6 DX \u003d - 3 COS x 3 + π 6 + 9 Sincos x 3 + π 6 - - - 3 · - 2 · COS - π 6 + π 6 + 9 Günah - π 6 + π 6 \u003d 9 π 4 + 9 3 2 - 3 π 2 - 0 \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Cevap: ∫ x · günah x x 3 + π 6 d x \u003d 3 π 4 + 9 3 2

Metinde bir hata görürseniz, lütfen seçin ve Ctrl + Enter tuşuna basın.

Yüksek Siparişlerin Türevleri

Bu derste, daha yüksek emirlerin türevlerini bulmayı ve ayrıca Anna Türevinin genel formülünü kaydetmeyi öğreneceğiz. Ek olarak, Leibnia'nın formülü dikkate alınacak ve sayısız talepte - daha yüksek emirlerin türevleri örtük olarak belirtilen işlev. Hemen bir mini testten geçmeyi öneriyorum:

İşte bir fonksiyon: Ve burada ilk türev:

Bu örnek hakkında herhangi bir zorluk / yanlış anlaşılmanız durumunda, lütfen kursun iki temel makalesiyle başlayın: Türev Nasıl Bulunur? ve Türev Kompleksi Fonksiyonu. İlköğretim türevlerinin geliştirilmesinden sonra, dersi tanımak için tavsiye ederim. Türev ile en basit görevlerNerede çözdük, özellikle İkinci türev.

İkinci türevin ilk türevinin bir türevi olduğunu bile kolaylaştırır:

Prensip olarak, ikinci türev zaten en yüksek derecenin türevi olarak kabul edilir.

Benzer şekilde: Üçüncü türev, 2. türevin bir türevidir:

Dördüncü türev, 3. türevden türetilmiştir:

Beşinci Türev: ve daha yüksek emirlerin tüm türevlerinin de sıfır olacağı açıktır:

Uygulamada Roma numaralandırmasına ek olarak, aşağıdaki gösterim genellikle kullanılır:
"Enyn" siparişinin türevi, tarafından belirtilmiştir. Aynı zamanda, tentari endeksi parantez içinde yapılandırılmalıdır. - Bir türevi "oyunlardan" bir türevden ayırt etmek.

Bazen böyle bir giriş var: - Üçüncü, Dördüncü, Beşinci, ..., "Enons" türevleri sırasıyla.

Korku ve şüpheler olmadan ileri:

Örnek 1.

Dana özelliği. Bulmak .

Karar: Ne incindin ... - dördüncü türev için ileri :)

Dört vuruş artık kabul edilmez, bu yüzden sayısal endekslere gidiyoruz:

Cevap:

Peki ve şimdi böyle bir soruyu düşünün: Ne yapmalı, durumuna göre, 4'ü yok, ancak örneğin, 20. türev mi? 3-4-5 yıllık türev için (maksimum 6-7) Kararın prosedürü oldukça hızlı bir şekilde yapılır, daha sonra daha yüksek emirlerin türevlerinden önce "" Oh, ne kadar yakında. Yazma, aslında, 20 satır! Böyle bir durumda, deseni görmek ve Annna türevinin formülünü yapmak için birkaç farklı türevleri analiz etmemiz gerekir. Öyleyse, örnek 1'de, üssün "Troika" eklenmesi "başlamadan önce bir sonraki farklılaşmadan önce" bir "Troika" olacak ve herhangi bir adımda "Troika" derecesine eşit olduğunu anlamak kolaydır. Türev numarası, bu nedenle:

Nerede - keyfi bir doğal sayı.

Ve gerçekten, eğer, eğer, tam olarak ilk türevi ortaya çıkıyor: Eğer - sonra 2nd: vb. Böylece yirminci türevi anında belirlenir: - ve "kilometre levha" yok!

Kendini sıcaklıyoruz:

Örnek 2.

Fonksiyonları bulun. Türev sipariş vermek

Dersin sonunda çözüm ve cevap.

Bir canlandırıcı bir egzersiz yaptıktan sonra, yukarıdaki çözüm algoritmasını çözeceğimiz daha karmaşık örnekleri görüyoruz. Kendilerini derslerle tanıştırmayı başaranlar Dizi sınırıbiraz daha kolay olacak:

Örnek 3.

Bir fonksiyon için bulun.

Karar: Durumu netleştirmek için birkaç türev bulacağınız:

Alınan sayılar aceleyle çarpılmıyor! ;-)


Belki yeterince. ... hatta biraz taşındı.

Bir sonraki adımda, bir formül "Anna" türevi yapmak en iyisidir. (Yakında, durum bunu gerektirmez, o zaman Chernivik'i yapabilirsiniz). Bunun için sonuçlara bakıyoruz ve bir sonraki türevin elde edildiği kalıpları ortaya çıkarıyoruz.

İlk olarak, onlar alternatif. Hizalama sağlar "Yanıp Sönen"1. Türev pozitif olduğundan, aşağıdaki çarpan genel formüle girecektir: . Seçeneğe uygun ve eşdeğerdir, ancak şahsen ben iyimser olarak, "Plus" işaretini seviyorum \u003d)

İkincisi, "sarma" numarasında faktörVe birim başına türev sayısından "geride kalır":

Ve üçüncüsü, türev numarasına eşit olan sayısal olarak "iki" derecesi büyüyor. Aynı şey, paydaya göre söylenebilir. En sonunda:

Test amaçlı olarak, örneğin bir çift "EN" değerlerini değiştireceğiz, ve:

Harika, şimdi bir hataya izin ver - sadece bir günah:

Cevap:

Kendi kendine çözümler için daha basit bir özellik:

Örnek 4.

Fonksiyonları bulun.

Ve görev büyüyor:

Örnek 5.

Fonksiyonları bulun.

Bir kez daha prosedürü tekrar ediyoruz:

1) İlk önce birkaç türev buluruz. Desenleri yakalamak için genellikle üç ya da dört kapmak.

2) Sonra kesinlikle yapmanızı tavsiye eder (en azından taslakta) "Anna" türevi - hataları kurtarmak için garanti edilecektir. Ama sensiz yapabilirsiniz, yani. Zihinsel olarak tahmin etmek ve hemen yanmak, örneğin yirminci veya sekizinci türev. Ayrıca, bazı insanlar söz konusu sözleri sözlü olarak çözebilirler. Bununla birlikte, "Hızlı" yöntemlerin dolu olduğu ve kısıtlanması daha iyi olduğu unutulmamalıdır.

3) Son aşamada, "Enna" türevinin bir incelemesini gerçekleştirin - birkaç "TR" değerleri (daha iyi bitişik) alın ve değiştirme yapın. Ve daha da güvenilir - önceden bulunan tüm türevleri kontrol edin. Bundan sonra, istenen değeri, örneğin veya net bir şekilde sonucu olarak yerine getiririz.

Dersin sonunda 4 ve 5 örnek özeti.

Bazı görevlerde, sorunları önlemek için, fonksiyonun üzerinde oturmanız gerekir:

Örnek 6.

Karar: Önerilen işlevi hiç istemiyorsa farklılaştırın, çünkü aşağıdaki türevleri büyük ölçüde bulacak "kötü" bir fraksiyonu ortaya çıkar.

Bu bağlamda, ön dönüşümler yapmanız önerilir: kullanım kare fark formülü ve mülk logaritması :

Diğer şeyler:

Ve yaşlı kız arkadaşlar:

Bence her şey görülebilir. Lütfen 2. fraksiyonun değiştiğini ve 1 - no. Bir türev sipariş inşa etmek:

Kontrol:

Güzellik için, parantez için faktör getireceğim:

Cevap:

Öz Çözümler İçin İlginç Görev:

Örnek 7.

Bir fonksiyon için türev sipariş için bir prosedür yazın

Ve şimdi, taahhüt edilemeyen dairesel düzen hakkında, hangi İtalyan mafyası bile kıskanacak:

Örnek 8.

Dana özelliği. Bulmak

Noktadaki onsekizinci türev. Sadece.

Karar: İlk, belli ki, bulmalısın. Git:

Sinüs sinüs başladı ve geldi. Daha fazla farklılaşmada, bu döngünün süresiz olarak devam edeceği ve aşağıdaki soru ortaya çıkması açıktır: Onsekizinci türevine ne kadar "almak"?

"Amatör" yöntemi: Sonraki türevlerin sayısına doğru kaydetmek:

Böylece:

Ancak, türevin sırası çok büyük değilse çalışır. Bulmanız gerekiyorsa, bir yüz türevi, o zaman bir bölüm 4 ile kullanmalısınız. Yüz, bir tortu olmadan 4'e ayrılmıştır ve bu sayıların alt çizgide bulunduğunu görmek kolaydır:.

Bu arada, 18. türev de benzer hususlardan da belirlenebilir:
İkinci satırda, tortu 2 ile 4 bölünmüş sayılar var.

Bir diğeri, daha akademik bir yöntem dayanıyor sinüs sıklığı ve oyuncuların formülleri. Sinüsün "Enna" türevinin bitmiş formülünü kullanıyoruz İstenen sayının basitçe ikame edildiği. Örneğin:
(döküm formülü ) ;
(döküm formülü )

Bizim durumumuzda:

(1) Sinüs bir süre ile periyodik bir fonksiyon olduğundan, argüman ağrısız bir şekilde "sökülmez" 4 periyotlar (yani).

Siparişin iki fonksiyonun çalışmasından türevi, formül tarafından bulunabilir:

Özellikle:

Özellikle hiçbir şey hatırlamıyor, çünkü ne kadar fazla formül biliyorsun - daha az anlıyorsun. Bilgi almak çok daha kullanışlıdır binom NewtonFormula LeiBnia ona çok benzer olduğundan. 7. veya daha yüksek emirlerin türevini alacak olanlar şanslı olanlar (Ancak, muhtemel olmayan)Bunu yapmak zorunda kalacak. Ancak, cherodes ulaştığında kombinatör - hala sahip olacak \u003d)

Üçüncü türev fonksiyonu bulun. Formula Leibnitsa'yı kullanıyoruz:

Bu durumda: . Türevleri abartmak kolaydır:

Şimdi düzgünce ve dikkatlice ikame yerine getirin ve sonucu basitleştirin:

Cevap:

Kendi kendine çözümler için benzer görev:

Örnek 11.

Fonksiyonları Bul

Önceki örnekte ise, "alnında" karar, Leibnitsa'nın formülüyle bile rekabet ettiğinde, burada gerçekten tatsız olacak. Ve daha da tatsız - daha yüksek bir emir türevi durumunda:

Örnek 12.

Belirtilen siparişin bir türevini bulun

Karar: İlk ve esansiyel açıklama - buna karar vermek için muhtemelen gerekli değil \u003d) \u003d)

Fonksiyonları yazıyoruz ve türevlerini 5. siparişe kadar olana kadar buluruz. Doğru sütunun türevlerinin sizin için sözlü olduğunu varsayıyorum:

Sol sütunda "yaşayan" türevleri hızlı bir şekilde "sona erdi" ve çok iyi - formülde, LeiBnia üç terim tarafından yeniden yerleştirildi:

Hakkında makalede ortaya çıkan ikilem üzerinde duracağım. kompleks türevleri: Sonucu basitleştirin mi? Prensip olarak, ayrılabilirsiniz ve böylece öğretmen kontrol etmek daha da kolay olacaktır. Fakat akla karar vermesi gerekebilir. Öte yandan, kendi inisiyatifinde basitleştirme cebirsel hatalarla doludur. Ancak, "ilkel" yöntemi ile elde edilen bir cevabımız var \u003d) (Başlangıçtaki referansa bakınız)Ve umarım doğru olur:

Harika, her şey çıktı.

Cevap:

Kendini Çözümler İçin Mutlu Görev:

Örnek 13.

İşlev için:
a) Doğrudan farklılaşmayı bulun;
b) Labitsa formülünü bulun;
c) hesaplayın.

Hayır, ben hiç sadist değilim - madde "a" burada oldukça basit \u003d)

Ve eğer ciddiyse, tutarlı farklılaşmanın "doğrudan" çözümü de "Yaşam hakkına" sahiptir - bazı durumlarda karmaşıklığı, loşluk formülünün uygulanmasının karmaşıklığı ile karşılaştırılabilir. Uygun olduğunu düşünüyorsanız kullanın - kusurlu görevlerin temeli olması muhtemel değildir.

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Son paragrafı yükseltmek için yapmanız gereken Örtük fonksiyonları ayırt etmek:

Örtük olarak tanımlanan fonksiyonlardan daha yüksek emirlerin türevleri

Birçoğumuz, çalışma için uzun saatler, günler ve yaşam haftalarında geçirdiklerimiz daireler, parabol, hyperbol - Bazen genellikle bir ceza gibi görünüyordu. Öyleyse intikam edelim ve onları aşağıdaki gibi uyaralım!

"Okul" paraboluyla başlayalım. kanunsel pozisyon:

Örnek 14.

Bir denklem verilir. Bulmak .

Karar: İlk adım iyi tanıyor:

Fonksiyonun ve türevinin dolaylı olarak örtük olduğu gerçeği, davanın özü değişmez, ikinci türev, 1. türevin bir türevidir:

Ancak, oyunun kuralları var: 2. ve daha yüksek emirlerin türevleri ifade etmek için kabul edilir. sadece "x" ve "igarek" ile. Bu nedenle, ortaya çıkan 2 türev ikame içinde:

Üçüncü türev, 2. türevden türetilmiştir:

Benzer şekilde, ikame edeceğiz:

Cevap:

"Okul" hiperbe kanunsel pozisyon - Bağımsız iş için:

Örnek 15.

Bir denklem verilir. Bulmak .

2. Türevinin ve sonucun sadece "x" / "İKRAR" ile ifade edilmesi gerektiğini tekrar ediyorum!

Dersin sonunda kısa bir çözüm ve cevap.

Çocuk şakalarından sonra, Alman Subpartrix @ FIU'ya bakacağız, bir diğer önemli çözüm tekniğini öğrendiğimiz daha fazla yetişkin örneklerini düşünün:

Örnek 16.

Elips kendisi.

Karar: 1. türevini bulun:

Ve şimdi bir sonraki anı durduracağız ve analiz edeceğiz: Kesir, hiç mutlu olmadığı için farklılaşacak. Bu durumda, elbette, basit, ancak bu tür hediyelerin gerçek görevlerinde iki kez ve döndü. Hacimli bir türev bulmanın bir yolu var mı? Var! Denklemi alıyoruz ve her iki parçada "asmak" vuruşlarını bulduğumda aynı resepsiyonu kullanıyoruz:

İkinci türev, sadece ve şimdi ile ifade edilmelidir. (hemen şimdi) 1. Türevden kurtulmak için uygundur. Bunu yapmak için, ortaya çıkan denklemin yerini alıyoruz:

Gereksiz teknik zorlukları önlemek için, her iki parçayı da çarpın:

Ve sadece son aşamada kesirini dekore ettik:

Şimdi ilk denklemine bakıyoruz ve elde edilen sonucun basitleştirildiğine dikkat edin:

Cevap:

Herhangi bir noktada 2. türevin bir değeri nasıl bulabilirsiniz? (Bu açık, elipse aittir), örneğin, noktada ? Çok kolay! Bu motive zaten derste tanıştı denklem normal: 2. türevin ifadesinde, değiştirmeniz gereken :

Tabii ki, her üç vakada açıkça belirtilen işlevler elde etmek ve ayırt etmek mümkündür, ancak daha sonra kökleri içeren iki fonksiyonla çalışmaya çalışın. Benim görüşüme göre, çözüm "örtülü yol" yapmak daha uygundur.

Öz Çözümler İçin Son Örnek:

Örnek 17.

Örtük olarak belirtilen bir işlev bulun

İki fonksiyonun ürününün n-th türevini hesaplamak için bir Leibher formülü verilir. Kanıtı iki şekilde verilir. N-sipariş türevini hesaplamanın bir örneği göz önünde bulundurulur.

İçerik

Ayrıca bakınız: İki fonksiyonun türev işi

Formula Leibnitsa

Laboratuar formülünü kullanarak, NTH siparişinin türevini iki fonksiyonun ürününden hesaplayabilirsiniz. Aşağıdaki forma sahiptir:
(1) ,
Nerede
- Binom katsayıları.

Binom katsayıları, Binoma'nın Derecelerde ayrıştırma katsayılarıdır ve:
.
Ayrıca, sayı K tarafından K kombinasyon sayısıdır.

Formula Leibniz'in kanıtı

İki fonksiyonun çalışmasının türevinin formülünü uyguluyoruz:
(2) .
Formülü (2) aşağıdaki formda yeniden yazarız:
.
Yani, bir fonksiyonun X değişkenine ve diğeri olduğuna bağlı olduğuna inanıyoruz. Hesaplamanın sonunda, varsayıyoruz. Sonra önceki formül olarak yazılabilir:
(3) .
Türev, üye miktarına eşit olduğundan ve her üye iki fonksiyonun bir ürünüdür, daha sonra en yüksek derecenin türevlerini hesaplamak için, kurallara (3) tutarlı bir şekilde uygulanabilir.

Sonra N-Sipariş Türevi için sahibiz:

.
Bunu düşündüğümüz, Formula Leibnitsa'yı alıyoruz:
(1) .

İndüksiyona göre kanıt

Matematiksel indüksiyon yöntemiyle Leibher formülünün kanıtını sunuyoruz.

Bir kez daha, Leibnitsa formülünü tekrarlayın:
(4) .
N \u003d 1 için:
.
Bu, iki fonksiyonun türev ürünü için bir formüldür. O adil.

Formül (4), N-Siparişin türevi için geçerli olduğunu varsayalım. Türev N + için geçerli olduğunu kanıtlıyoruz. 1 -O sipariş.

Diferansiyel (4):
;



.
Böylece, bulduk:
(5) .

(5) 'de yedekleyin ve düşünün ::

.
Formül (4) türev N + için aynı görünüme sahip olduğu görülebilir. 1 -O sipariş.

Böylece, formül (4) n \u003d için geçerlidir. 1 . Yapıldığı varsayımdan, bazı sayı için n \u003d m, n \u003d m + için yapıldığını takip eder. 1 .
Formula Leibnitsa kanıtlandı.

Misal

N-TH Türev fonksiyonunu hesaplayın
.

Formula Leibnica uygula
(2) .
Bizim durumumuzda
;
.

Masa türevlerinde sahibiz:
.
Trigonometrik fonksiyonların özelliklerini uygulayın:
.
Sonra
.
Sinüs fonksiyonunun farklılaşmasının değişimine yol açtığı görülebilir. Sonra
.

Fonksiyondan türevleri buluruz.
;
;
;
, .

Ne zamandan beri, formülde, Leibher, yalnızca ilk üç üyeden farklıdır. Binom katsayılarını buluruz.
;
.

Formül tarafından, LeiBnia:

.

Ayrıca bakınız:

İşin metni görüntü ve formül olmadan yerleştirilir.
Çalışmanın tam sürümü, PDF formatındaki "İş Dosyaları" sekmesinde mevcuttur.

"Bana da Binin Newton!»

"Master ve Margarita" romanından

"Pascal'ın üçgeni, on yaşındaki bir çocuğun bile yazabileceği kadar basittir. Aynı zamanda, tükenmez hazineler öder ve ilk bakışta yapacak hiçbir şeyi olmayan matematiğin çeşitli yönlerini birbirine bağlar. Bu alışılmadık özellikler, tüm matematikte en zarif şemalardan biri olan Pascal'ın üçgenini dikkate almayı mümkün kılar "

Martin Gardner.

İşin amacı: Kısaltılmış çarpma formülünü özetlemek için, başvurularını problem çözme konusunda gösterin.

Görevler:

1) Bu konuda bilgileri keşfetmek ve sistematikleştirmek;

2) Newton Binoma'nın kullanımı için görev örneklerini ve derecelerin miktarının ve farkın formüllerini sökün.

Araştırma Nesneleri: Binin Newton, derecenin miktarı ve farkın formülü.

Araştırma Yöntemleri:

Eğitim ve popüler edebiyat, internet kaynakları ile çalışmak.

Hesaplamalar, karşılaştırma, analiz, analoji.

Alaka düzeyiBir kişinin sık sık, bazı maddelerin tüm konumlarının yerini veya bazı eylemlerin uygulanması için olası tüm yöntemlerin sayısını hesaplamanız gereken görevlerle uğraşmak zorundadır. Bir kişiyi seçmek zorunda olduğunuz farklı yollar veya seçenekler çok çeşitli kombinasyonlara katlanır. Ve kombinatorics olarak adlandırılan bir matematiğin bir bölümü, soruların cevaplarını aramakla meşgul: Bir durumda veya başka bir durumda kaç kombinasyon vardır.

Kombinatorlar birçok spesiyaliteyle başa çıkmak zorundadır: Kimya bilim adamı, biyolog, yapıcı, göndericiler vb. Kombinatoriğe olan ilginin son zamanlarda, sibernetik ve bilgi işlem ekipmanlarının hızlı gelişmesinden kaynaklanmaktadır.

Giriş

Interlocutor'un karşılaştığı görevlerin karmaşıklığını abarttığını vurgulamak istediklerinde, "Bana, Binin Newton!" Diyorlar. Deyin, burada bin Nudon, zor ve hangi sorunların var! Newton'un biyinomu hakkında ilgi alanları matematiğe bağlı olmayan insanlar bile duyulmamıştır.

"Bin" kelimesi biccoon anlamına gelir, yani. İki terimin toplamı. Okul yılından, kısaltılmış çarpımın sözde formülleri bilinmektedir:

( fakat + b) 2 \u003d A. 2 + 2AB + B 2 , (A + B) 3 \u003d A. 3 + 3A. 2 b + 3AB 2 + B. 3 .

Bu formüllerin genelleştirilmesi, Newton'un binomin formülü adı verilen bir formüldür. Okulda kullanılır ve formüller kare farklılıkları, miktarları ve küp farklılıkları çarpanları üzerine ayrış. Diğer dereceler için bir genelleme var mı? Evet, bu tür formüller var, genellikle çeşitli görevleri çözmede kullanılırlar: bölünebilirliğin kanıtı, kesirlerin azaltılması, yaklaşık hesaplamalar.

Genelleştirme formüllerinin incelenmesi, tümdengelimli matematiksel düşünme ve genel düşünme yeteneklerinin geliştirilmesidir.

Bölüm 1. Newton Binoma Formülü

Kombinasyonlar ve özellikleri

X, n öğelerden oluşan bir set olalım. K öğeleri içeren, K düğmelerinin herhangi bir Y alt kümesi, K öğelerinin N, K ≤ n'den kombinasyonu olarak adlandırılır.

K öğelerinin farklı kombinasyonlarının sayısı n k ile gösterilir. Kombinatorik için en önemli formüllerden biri, N K ile olan sayı için aşağıdaki formüldür:

Aşağıdaki gibi bariz kasılmalardan sonra kaydedilebilir:

Özellikle,

Bu, X SET'te 0 elementin yalnızca bir alt kümesi olduğu gerçeğiyle oldukça tutarlıdır.

C n k sayıları çok sayıda harika özelliklere sahip.

Formül, n K \u003d ile N - K N, (3) ile geçerlidir.

Formül (3) 'nin anlamı, X'ten gelen tüm K-membran altkizlerinin çoklayı ile X'ten (N - K), X'ten gelen tüm (N - K) grubunun kümesi arasında karşılıklı olarak eşit olmayan bir yazışma olmasıdır: bu yazışmaları oluşturmak için yeterlidir. Her K-üyeli alt küme Y, SET X'in eklentisini eşleştirin.

Formül C 0 N + C1 N + C2 N + ... + N N \u003d 2 N (4) ile

Sol tarafta duran miktar, SET X'in tüm altkizelerinin sayısını ifade eder (C 0 N, 0 üyeli alt grupların sayısı, C1 N, tek alt grupların sayısı vb.).

Herhangi bir K, 1≤ k≤ n ile eşitlik adil

C K N \u003d C N -1 K + C N -1 K -1 (5)

Bu eşitlik, formül (1) yardımı ile elde etmek kolaydır. Aslında,

1.2. Binoma Newton formülünün çıktısı

Sıçrama derecelerini düşünün A +.b. .

n \u003d 0, (A +b. ) 0 = 1

n \u003d 1, (A +b. ) 1 \u003d 1a + 1b.

n \u003d 2,(A +.b. ) 2 \u003d 1A. 2 + 2A.b. +1 b. 2

n \u003d 3,(A +.b. ) 3 \u003d 1 A. 3 + 3A. 2 b. + 3A.b. 2 +1 b. 3

n \u003d 4,(A +.b. ) 4 \u003d 1A. 4 + 4A. 3 b. + 6A. 2 b. 2 + 4A.b. 3 +1 b. 4

n \u003d 5,(A +.b. ) 5 = 1 A. 5 + 5A. 4 b. + 10A. 3 b. 2 + 10A. 2 b. 3 + 5A.b. 4 + 1 b. 5

Aşağıdaki meromerleri not edin:

Elde edilen polinomun üyelerin sayısı, birim başına, Binoma derecesinin göstergesinden daha büyük;

Birinci terimin derecesinin göstergesi N ila 0 arasında azalır, ikinci terimin derecesinin göstergesi 0 ila n;

Tüm tek panellerin derecelerinin durumunda zıplama derecesine eşittir;

Her bir tek kanat, birinci ve ikinci ifadenin, çeşitli derecelerde ve bazı sayıdaki ürünüdür - Binomin katsayısı;

Binominal katsayılar, ayrışmanın başlangıcına ve sonuna eşittir.

Bu formüllerin genelleştirilmesi, Newton'un binom formülü adı verilen aşağıdaki formüldür:

(a. + b. ) n. = C. 0 n. a. n. b. 0 + C. 1 n. a. n. -1 b. + C. 2 n. a. n. -2 b. 2 + ... + C. n. -1 n. ab n. -1 + C. n. n. a. 0 b. n. . (6)

Bu formülde n. Belki herhangi bir doğal numara.

Formül (6) türetiyoruz. Her şeyden önce, biz yazıyoruz:

(a. + b. ) n. = (a. + b. )(a. + b. ) ... (a. + b. ), (7)

değişken parantezlerin sayısının eşit olduğu durumlarda n.. Miktarın olağan çoğalması esnasında, (7) ifadesinin (7), aşağıdaki gibi olabilecek her türlü işin toplamına eşit olduğu anlamına gelir: Herkesin ilk özeti a + B. herhangi birinin ikinci toplamı ile çarpılır a + B., herkesin üçüncü toplamı vb.

İfadesi için terimin net olanı (a. + b. ) n. harflerden oluşan N'nin (karşılıklı olarak belirsiz) dizeleri a ve B. Bileşenler arasında bu tür üyeleri karşılayacak; Açıkçası, bu tür üyeler aynı sayıda harf içeren dizgelere karşılık gelir. fakat. Ancak tam olarak K Kebli harflerini içeren satır sayısı fakatEşit olarak n k ile. Bu, mektubu içeren tüm üyelerin toplamının ve çarpanının tam olarak K kayı, n k'ye eşit olduğu anlamına gelir. a. n. - k. b. k. . K değerleri 0, 1, 2, ..., N - 1, N, ardından Formül (6) argümüzden alınabilir. (6) daha kısa kaydedebileceğinizi unutmayın: (8)

Formül (6), Newton'un adı olarak adlandırılmasına rağmen, gerçekte Newton'dan önce ortaya çıktı (örneğin, Pascal bunu biliyordu). Newton'un liyakarı, tüm göstergeler olmadığı durumlarda bu formülün genelleştirilmesini bulmasıdır. 1664-1665'te i.nyuton. Keyfi kesirli ve olumsuz göstergeler için bükülmüş olan formülü getirdi.

Formül (6) 'de dahil edilen C 0 N, Cı N, ..., C N N sayıları, aşağıdaki gibi belirlenen binom katsayıları olarak adlandırılır:

Formül (6) 'dan bu katsayıların bir dizi özelliklerini alabilirsiniz. Örneğin, inanılan fakat \u003d 1, b \u003d 1, biz alırız:

2 N \u003d C 0 N + C 1 N + C2 N + C3 N + ... + C N N,

şunlar. formül (4). Eğer koymak fakat \u003d 1, b \u003d -1, sonra yapacağız:

0 \u003d C 0 N - C 1 N + C2 N - C3 N + ... + (-1) n C n N

veya 0 N + C2 N + C 4 N + ... \u003d C1 N + C3 N + + C 5 N + ile ....

Bu, aktif ayrışma üyelerinin katsayılarının toplamının, garip ayrışma üyelerinin katsayılarının toplamına eşit olduğu anlamına gelir; Her biri 2 N -1'dir.

Eksikliğin ayrışmasının uçlarından eşitleyen üyelerin katsayıları eşittir. Bu özellikler ilişkiden takip eder: n k \u003d n - k ile

Özel bir durum ilginç

(x + 1) n \u003d c 0 n x n + c 1 n x n-1 + ... + C k n x n - k + ... + c n n x 0

veya kısa içinde (x +1) n \u003d σc n k x n - k.

1.3. Polinom teoremi

Teorem.

Kanıt.

Böylece, ifşa edildikten sonra, parantezler gölgelendirildiği ortaya çıktı, alındığı parantez seçmeniz gerekir, bu parantez alınan parantezler, vb. Ve bu parantez alınır. Aynı zamanda katsayısı, bu tür üyeleri getirdikten sonra, böyle bir seçimin uygulanabileceği yolların sayısına eşittir. Seçim dizisinin ilk adımı, yöntemlerle, ikinci adım -, üçüncü - vb., -Y adımı ile gerçekleştirilebilir. İstenilen katsayı çalışmaya eşittir

BÖLÜM 2. Yüksek siparişlerin türevleri.

Daha yüksek emirlerin türevleri kavramı.

İşlevin bir aralıkta farklılaşmasına izin verin. Sonra türevi, genellikle konuşursak, bağlıdır. h.yani, bir işlevdir h.. Sonuç olarak, onunla ilgili olarak, türevin varlığı sorusunu arttırmak mümkündür.

Tanım . İlk türevin türevi denir ikinci dereceden bir türev veya ikinci bir türev ve sembolü ile belirtilir, yani,

Tanım . İkinci türevin türevi, üçüncü dereceden bir türev veya üçüncü bir türev olarak adlandırılır ve sembolle veya sembolle belirtilir.

Tanım . Türevn. siparişfonksiyonlar türevin ilk türevi olarak adlandırılır (n. -1) -Bu fonksiyonun -GO siparişi ve sembolle belirtilir veya:

Tanım . Birincisinin üzerindeki siparişin türevleri denir en yüksek türevler.

Yorum Yap. Benzer şekilde, bir formül alabilirsiniz. n. Türev fonksiyonu:

Parametrik olarak belirtilen fonksiyonun ikinci türevi

İşlev parametrik denklemlerle ayarlanırsa, birinci türevinin, bağımsız bir değişkenin karmaşık bir işlevi olarak ikinci dereceden türevini bulmak için ifadesini kullanmak gerekir.

O zamandan beri

ve gerçeği dikkate alarak

Alıyoruz, yani.

Benzer şekilde, üçüncü türevi bulabilirsiniz.

Diferansiyel toplam, işler ve özel.

Diferansiyel bağımsız bir değişken çarpma türevinden elde edildiğinden, daha sonra ana ilkokul fonksiyonlarının türevlerini ve türevlerini bulma kurallarını ve türevlerini bulma kurallarını bilmek, biri farklı fark bulma kurallarına gelebilir.

1 0 . Diferansiyel sabit sıfırdır.

2 0 . Sonlu farklı sayıda farklı fonksiyonun cebirsel miktarının diferansiyeli, bu fonksiyonların cebirsel miktarına eşittir. .

3 0 . İki farklı fonksiyonun eserinin diferansiyeli, ilk fonksiyonun eserlerinin eserlerinin birinci ve ikinci ve ikinci fonksiyonun diferansiyelinin farkına eşittir. .

Koronlu. Diferansiyel bir çarpan, diferansiyel işaretten çıkarılabilir.

2.3. Parametrik olarak belirtilen fonksiyonlar, farklılaşması.

Tanım . Her iki değişken ise, fonksiyon verilen bir parametrik denir h. ve eS, her birini bireysel olarak aynı yardımcı değişkenden belirsiz işlevler olarak tanımlanır - parametret. :

neredet. içinde değişir.

Yorum Yap . Parametrik daire ve elips denklemlerini sunuyoruz.

a) Koordinatların ve yarıçapın başında merkezle çevrili r. Parametrik denklemlere sahiptir:

b) Elips için parametrik denklemler yazıyoruz:

Parametreyi hariç tutarak t. Düşünce altındaki çizgilerin parametrik denklemlerinden, kanonik denklemlerine gelmek mümkündür.

Teorem . Eğer işlev argümandan u x, parametrik denklemlerle, nerede ve farklılaştırılabilirt. İşlevler ve sonra.

2.4. Formula Leibnitsa

Türev bulmak için n. -K iki fonksiyonun çalışmasından emri, Labitsa formülünün büyük pratik bir değeridir.

İzin vermek u ve v. - Değişkenden bazı fonksiyonlar h.Herhangi bir siparişin türevlerine sahip olmak ve y. = uv . İfade etmek n. Türetilmiş fonksiyonlar aracılığıyla türevler u ve v. .

Sıralamaya sahibiz

İkinci ve üçüncü türevler için ifadeler arasında bir analoji, sırasıyla, ikinci ve üçüncü derecede, ancak derecenin göstergeleri yerine, türev için prosedürü belirleyen sayıya mal olması kolaydır. ve işlevler kendileri "sıfır sipariş türevleri" olarak kabul edilebilir. Bunu göz önüne alındığında, bir formül Leibnitsa'yı alıyoruz:

Bu formül matematiksel indüksiyonla kanıtlanabilir.

BÖLÜM 3. Lakvetli formülün uygulanması.

İki fonksiyonun ürününden herhangi bir siparişin türevini hesaplamak için, iki fonksiyonun ürününden türevini hesaplamak için formülün sıralı kullanımını atlatmak için, uygulanır, formula Leibniza.

Bu formülü kullanarak, iki fonksiyonun ürününden N-th sipariş türevini hesaplamanın örneklerini düşünün.

Örnek 1.

İkinci bir sipariş türev fonksiyonunu bulun

Tanımına göre, ikinci türev, ilk türevin ilk türevidir, yani

Bu nedenle, önce verilen bir fonksiyondan birinci dereceden bir türev bulduk. farklılaşma kuralları ve kullanma masa Türevleri:

Şimdi birinci dereceden türevinin bir türevini buluyoruz. Bu, istenen ikinci dereceden türev olacaktır:

Cevap:

Örnek 2.

İşlevin sırasının bir türevi bulun

Karar.

Birincisi, bir türev tarafından genelleştirilebilecek bir patern oluşturmak için birinci, ikinci, üçüncü ve böylece belirtilen fonksiyonun türevlerini bulunacağız.

İlk sipariş türevini bulmak nasıl Özel türev:

Burada ifadenin faktör numarası denir. Numaranın faktörü, birden gelen sayıların ürününe eşittir.

İkinci sipariş türevi, ilk türevinin ilk türevidir.

Üçüncü dereceden türev:

Dördüncü Türev:

Deseni not edin: Numarator'da, türevin sırasına eşit olan sayının faksı vardır ve payda, birim başına dereceye kadar ifadenin türevinin sırasına göre daha büyüktür.

Cevap.

Örnek 3.

Noktadaki üçüncü türev fonksiyonun değerini bulun.

Karar.

Göre yüksek siparişlerin masa türevleriSahibiz:

Dikkate alınan örnekte, yani, biz

Böyle bir sonucun tutarlı bir türev bulma ile elde edilebileceğini unutmayın.

Belirli bir noktada, üçüncü türev aşağıdakilere eşittir:

Cevap:

Örnek 4.

İkinci türev fonksiyonu bulun

Karar. Başlamak için, ilk türevini buluruz:

İkinci türevi bulmak için, ilk türevin ifadesi bir kez daha kayıtsız olacaktır:

Cevap:

Örnek 5.

Bul

Belirtilen işlev iki fonksiyonun bir ürünü olduğundan, dördüncü sıranın bir türevini bulmak için, Formula Leibniza'yı uygulamak tavsiye edilir:

Tüm türevleri buluruz ve katsayıları bileşenlerle düşünüyoruz.

1) Katsayıları Şartlar:

2) Fonksiyondan türevleri bulacağız:

3) Fonksiyondan türevleri buluruz:

Cevap:

Örnek 6.

Y \u003d X2 COS3X işlevi verilir. Üçüncü dereceden bir türev bulun.

U \u003d cos3x, v \u003d x 2 olsun . Ardından, Labitsa formülüyle buluruz:

Bu ifadedeki türevler formu vardır:

(Cos3x) '\u003d - 3Sin3x,

(cos3x) '' \u003d (- 3sin3x) '\u003d - 9COS3X,

(cos3x) '' '\u003d (- 9cos3x)' \u003d 27Sin3x,

(x2) '\u003d 2x,

(x2) '' \u003d 2,

(x2) '' '\u003d 0.

Sonuç olarak, belirtilen işlevin üçüncü türevi eşittir.

1 ⋅ 27SIN3X ⋅ X2 + 3 ⋅ (-9COS3X) ⋅ 2X + 3 ⋅ (-3SIN3X) ⋅ 2 + 1 ⋅ COS3X ⋅ 0

27x2SIN3X-54XCOS3X-18SIN3X \u003d (27x2-18) SIN3X-54XCOS3X.

Örnek 7.

Türev bulmakn. -O sipariş fonksiyonuy \u003d x 2 cosx.

Leibnitsa formülünü kullanıyoruz, inananu \u003d COSX., v \u003d x. 2 . Sonra

Satırın kalan üyeleri sıfırdır, çünkü(x2) (i) \u003d 0, I\u003e 2'de.

N. türevi -O sipariş cosino işlevi:

Sonuç olarak, fonksiyonumuzun türevi eşittir

Sonuç

Okul çalışmaları ve kısaltılmış çarpma formülleri olarak adlandırılır: toplamın kareler ve küpleri ve iki ifadenin farkı ve kare farkın çarpanları üzerindeki ayrışma formülü, iki ifadenin küplerinin miktarları ve farkı. Bu formüllerin genelleştirilmesi, Newton Binoma formülü adı verilen bir formüldür ve derecelerin miktarının ve farkın varlığının parçalanması için formül. Bu formüller genellikle çeşitli görevleri çözmede kullanılır: bölünebilirliğin kanıtı, kesirlerin azaltılması, yaklaşık hesaplamalar. Binom Newton ile yakından ilişkili olan pascal üçgenin ilginç özellikleri göz önünde bulundurulur.

Konu hakkında bilgi, işte sistematikleştirilir, Newton Binoma'nın kullanımı için görevlerin örnekleri ve derecelerdeki miktar ve farkın formülleri verilmiştir. İş, matematiksel bir daire çalışmasında, ayrıca matematiğe düşkün olanların kendi incelemesinde kullanılabilir.

Kullanılan kaynakların listesi

1.Vilenkin n.ya. Kombinatörler. - ed. "Bilim". - M., 1969

2. Nikolsky S.M., Potapov M.K., Reshetnikov N.N., Shevkin A.V. Cebir ve matematiksel analizin başlangıcı. 10. Sınıf: Çalışmalar. Genel eğitim için. Organizasyonlar Temel ve derinlemesine seviyeler - M.: Aydınlanma, 2014. - 431 p.

3. İstatistikler, kombinasyonik ve olasılık teorisi için atıklar. 7-9 cl. / Yazar - Derleyici V.N. Öğrenci. - ed. 2., Sn., - Volgograd: Öğretmen, 2009

4.Savushkina I.A., Hugaev K.D., Tishkin S.B. Bunların arası hazırlık departmanının dinleyicileri için daha yüksek derece / metodolojik kılavuzun cebirsel denklemleri. - St. Petersburg, 2001.

5. Sharygin I.F. Matematikte isteğe bağlı kurs: Sorunları çözme. 10 cl için öğretici. lise. - M.: Aydınlanma, 1989.

6.Bilim ve Yaşam, Binin Newton ve Üçgen Pascal [Elektronik kaynak]. - Giriş türü: http://www.nkj.ru/archive/articles/13598/