Що називають тотожним перетворенням висловлювання. Перетворення виразів
Арифметична дія, яка виконується останнім при підрахунку значення виразу, є «головною».
Тобто, якщо ти підставиш замість букв якісь (будь-які) числа, і спробуєш обчислити значення виразу, то якщо останньою дією буде множення - значить, у нас твір (вираз розкладено на множники).
Якщо останнім дією буде додавання чи віднімання, це означає, що вираз не розкладено на множники (отже, скорочувати не можна).
Для закріплення виріши самостійно кілька прикладів:
Приклади:
Рішення:
1. Сподіваюся, ти не кинувся зразу ж скорочувати і? Ще не вистачало «скоротити» одиниці типу:
Першим дією має бути розкладання на множники:
4. Додавання та віднімання дробів. Приведення дробів до спільного знаменника.
Додавання і віднімання звичайних дробів - операція добре знайома: шукаємо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на недостатній множник і складаємо/віднімаємо чисельники.
Давай згадаємо:
Відповіді:
1. Знаменники і – взаємно прості, тобто у них немає спільних множників. Отже, НОК цих чисел дорівнює їхньому твору. Це і буде спільний знаменник:
2. Тут спільний знаменник дорівнює:
3. Тут насамперед змішані дроби перетворюємо на неправильні, а далі – за звичною схемою:
Зовсім інша справа, якщо дроби містять букви, наприклад:
Почнемо з простого:
a) Знаменники не містять літер
Тут все те ж, що і зі звичайними числовими дробами: знаходимо спільний знаменник, домножуємо кожен дріб на множник, що бракує, і складаємо/віднімаємо чисельники:
тепер у чисельнику можна наводити подібні, якщо є, і розкладати на множники:
Спробуй сам:
Відповіді:
b) Знаменники містять літери
Пригадаймо принцип знаходження спільного знаменника без літер:
· Насамперед ми визначаємо загальні множники;
· Потім виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· І домножуємо їх на всі інші множники, не спільні.
Щоб визначити спільні множники знаменників, спочатку розкладемо їх на прості множники:
Підкреслимо спільні множники:
Тепер випишемо спільні множники по одному разу і допишемо до них усі загальні (не підкреслені) множники:
Це і є спільний знаменник.
Повернемося до букв. Знаменники наводяться за такою ж схемою:
· Розкладаємо знаменники на множники;
· Визначаємо загальні (однакові) множники;
· Виписуємо всі загальні множники по одному разу;
· Домножуємо їх на всі інші множники, не загальні.
Отже, по порядку:
1) розкладаємо знаменники на множники:
2) визначаємо загальні (однакові) множники:
3) виписуємо всі загальні множники по одному разу і примножуємо їх на всі інші (непідкреслені) множники:
Виходить, спільний знаменник тут. Перший дріб потрібно домножити на, другий - на:
До речі, є одна хитрість:
Наприклад: .
Бачимо в знаменниках одні й ті самі множники, тільки всі з різними показниками. До спільного знаменника підуть:
у ступені
у ступені
у ступені
у ступені.
Ускладнимо завдання:
Як зробити у дробів однаковий знаменник?
Давай згадаємо основну властивість дробу:
Ніде не сказано, що з чисельника та знаменника дробу можна віднімати (або додавати) одне й те саме число. Тому що це не так!
Переконайся сам: візьми будь-який дріб, наприклад, і додай до чисельника і знаменника якесь число, наприклад, . Що повчилося?
Отже, чергове непорушне правило:
Коли наводиш дроби до спільного знаменника, користуйся лише операцією множення!
Але на що ж треба примножити, щоби отримати?
Ось на і домнож. А примножуй на:
Вирази, які неможливо розкласти на множники називатимемо «елементарними множниками».
Наприклад, це елементарний множник. - теж. А ось – ні: він розкладається на множники.
Що скажеш щодо виразу? Воно елементарне?
Ні, оскільки його можна розкласти на множники:
(про розкладання на множники ти вже читав у темі «Розділ»).
Так ось, елементарні множники, на які ти розкладаєш вираз із літерами – це аналог простих множників, на які ти розкладаєш числа. І робитимемо з ними таким же чином.
Бачимо, що в обох знаменниках є множник. Він піде у спільний знаменник у мірі (пам'ятаєш, чому?).
Множник - елементарний, і він у них не загальний, значить перший дріб на нього доведеться просто помножити:
Ще приклад:
Рішення:
Перш ніж у паніці перемножувати ці знаменники, треба подумати, як їх розкласти на множники? Обидва вони представляють:
Чудово! Тоді:
Ще приклад:
Рішення:
Як завжди, розкладемо знаменники на множники. У першому знаменнику просто виносимо за дужки; у другому - різниця квадратів:
Здавалося б, спільних множників немає. Але якщо придивитися, то й так схожі… І справді:
Так і напишемо:
Тобто вийшло так: усередині дужки ми поміняли місцями доданки, і при цьому знак перед дробом помінявся на протилежний. Візьми на замітку, так робити доведеться часто.
Тепер приводимо до спільного знаменника:
Засвоїв? Зараз перевіримо.
Завдання для самостійного вирішення:
Відповіді:
Тут треба згадати ще одну - різницю кубів:
Зверніть увагу, що у знаменнику другого дробу не формула «квадрат суми»! Квадрат суми виглядав так: .
А - це так званий неповний квадрат суми: другий доданок у ньому - це твір першого та останнього, а не подвоєний їхній твір. Неповний квадрат суми - це один із множників у розкладанні різниці кубів:
Що робити, якщо дробів аж три штуки?
Та те саме! Насамперед зробимо так, щоб максимальна кількість множників у знаменниках була однаковою:
Зверніть увагу: якщо поміняти знаки всередині однієї дужки, знак перед дробом змінюється на протилежний. Коли міняємо знаки у другій дужці, знак перед дробом знову змінюється на протилежний. В результаті він (знак перед дробом) не змінився.
До загального знаменника виписуємо повністю перший знаменник, а потім дописуємо до нього всі множники, які ще не написані, з другого, а потім із третього (і так далі, якщо дробів більше). Тобто виходить так:
Хм... З дробами зрозуміло що робити. Але як бути з двійкою?
Все просто: адже ти вмієш складати дроби? Отже, треба зробити так, щоб двійка стала дробом! Згадуємо: дріб – це операція поділу (числитель ділиться на знаменник, якщо ти раптом забув). І немає нічого простішого, ніж розділити число на. При цьому саме число не зміниться, але перетвориться на дріб:
Те що потрібно!
5. Множення та розподіл дробів.
Що ж, найскладніше тепер позаду. А попереду у нас найпростіше, але при цьому найважливіше:
Порядок дій
Який порядок дій при підрахунку числового виразу? Згадай, порахувавши значення такого виразу:
Порахував?
Повинно вийти.
Отже, нагадую.
Насамперед обчислюється ступінь.
Другим - множення та розподіл. Якщо множень і поділок одночасно кілька, робити їх можна у будь-якому порядку.
І наостанок виконуємо складання та віднімання. Знову ж таки, в будь-якому порядку.
Але: вираз у дужках обчислюється позачергово!
Якщо кілька дужок множаться або діляться один на одного, обчислюємо спочатку вираз у кожній із дужок, а потім множимо або поділи їх.
А якщо всередині дужок є ще одні дужки? Ну давай подумаємо: усередині дужок написаний якийсь вираз. А при обчисленні виразу насамперед треба робити що? Правильно, обчислювати дужки. Ну ось і розібралися: спочатку обчислюємо внутрішні дужки, потім решту.
Отже, порядок дій для вираження вище такий (червоним виділено поточне дію, тобто дію, яке виконую зараз):
Добре, це просто.
Але ж це не те саме, що вираз з літерами?
Ні, це те саме! Тільки замість арифметичних дій треба робити алгебраїчну, тобто дії, описані в попередньому розділі: приведення подібних, додавання дробів, скорочення дробів і так далі. Єдиною відмінністю буде дія розкладання багаточленів на множники (його часто застосовуємо під час роботи з дробами). Найчастіше для розкладання на множники потрібно застосовувати або просто виносити загальний множник за дужки.
Зазвичай наша мета - уявити вираз у вигляді твору чи приватного.
Наприклад:
Спростимо вираз.
1) Першим спрощуємо вираз у дужках. Там у нас різниця дробів, а наша мета – уявити її як твір чи приватний. Отже, наводимо дроби до спільного знаменника і складаємо:
Більше цього виразу спростити неможливо, всі множники тут - елементарні (ти ще пам'ятаєш, що це означає?).
2) Отримуємо:
Розмноження дробів: що може бути простішим.
3) Тепер можна і скоротити:
Ну от і все. Нічого складного, правда?
Ще приклад:
Спрости вираз.
Спочатку спробуй вирішити сам, і вже потім подивися рішення.
Рішення:
Насамперед визначимо порядок дій.
Спочатку виконаємо складання дробів у дужках, вийде замість двох дробів один.
Потім виконаємо поділ дробів. Ну і результат складемо з останнім дробом.
Схематично пронумерую дії:
Тепер покажу звістку процес, підфарбовуючи поточну дію червоним:
1. Якщо є такі, їх треба негайно навести. У який би момент у нас не утворилися подібні, їх бажано наводити одразу.
2. Те саме стосується скорочення дробів: як тільки з'являється можливість скоротити, їй треба скористатися. Виняток становлять дроби, які ти складаєш або віднімаєш: якщо у них зараз однакові знаменники, то скорочення потрібно залишити на потім.
Ось тобі завдання для самостійного вирішення:
І обіцяна на самому початку:
Відповіді:
Рішення (короткі):
Якщо ти впорався хоча б із першими трьома прикладами, то тему ти, вважай, опанував.
Тепер уперед до навчання!
ПЕРЕТВОРЕННЯ ВИРАЗІВ. КОРОТКИЙ ВИКЛАД І ОСНОВНІ ФОРМУЛИ
Базові операції спрощення:
- Приведення подібних: щоб скласти (навести) подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і приписати літерну частину.
- Розкладання на множники:винесення загального множника за дужки, застосування тощо.
- Скорочення дробу: чисельник і знаменник дробу можна множити або ділити на те саме ненульове число, від чого величина дробу не змінюється.
1) чисельник та знаменник розкласти на множники
2) якщо в чисельнику та знаменнику є спільні множники, їх можна викреслити.ВАЖЛИВО: скорочувати можна лише множники!
- Додавання та віднімання дробів:
; - Розмноження та розподіл дробів:
;
Тотожні перетворення
1. Поняття тотожності. Основні типи тотожних перетворень та етапи їх вивчення.
11Чучення різних перетворень виразів і формул займає бідну частину навчального часу в курсі шкільної математики. Найпростіші ^"«освіти, що спираються на властивості арифметичних операцій, 1Ч-.Я вже в початковій школі. Але основне навантаження щодо формування умінь і навичок виконання перетворень несе на собі курс шкільної алгебри 1 >то пов'язано:
з різким збільшенням числа скоєних перетворень, їх різно-оПришсм;
з ускладненням діяльності щодо їх обґрунтування та з'ясування умов застосовності;
i) з виділенням та вивченням узагальнених понять тотожності, тотожного перетворення, рівносильного перетворення, логічного проходження.
Лінія тотожних перетворень отримує наступний розвиток у курсі алгебри основної школи:
,4 б класи - розкриття дужок, приведення подібних доданків, ви- М(Чшо множника за дужки;
7 клас - тотожні перетворення цілих та дробових виразів;
Н клас - тотожні перетворення виразів, що містять квад- з коріння;
( > клас - тотожні перетворення тригонометричних виразів і ммрижсний, що містять ступінь з раціональним показником.
Лінія тотожних перетворень є однією з важливих ідейних ч ліній курсу алгебри. Тому навчання математики в 5-6 класах будується niKiiM чином, щоб учні вже в цих класах набули навичок найпростіших тотожних перетворень (без уживання терміна «тотожні-інші перетворення»). Ці навички формуються при виконанні вправи на приведення подібних доданків, розкриття дужок та укладання у дужки, винесення множника за дужки тощо. Розглядаються також найпростіші перетворення числових та літерних виразів. На цьому рівні навчання освоюються перетворення, які виконуються безпосередньо на основі законів та властивостей арифметичних дій.
До основних видів завдань у 5-6-х класах, при вирішенні яких активно використовуються властивості та закони арифметичних дій і через які формуються навички тотожних перетворень, належать:
обґрунтування алгоритмів виконання дій над числами числових множин, що досліджуються;
обчислення значень числового виразу найбільш раціональним способом;
порівняння значень числових виразів без виконання зазначених дій;
спрощення літерних виразів;
доказ рівності значень двох літерних виразів тощо.
Подайте число 153 у вигляді суми розрядних доданків; як різниці двох чисел, як добутку двох чисел.
Подайте число 27 у вигляді творів трьох однакових множників.
Ці вправи на уявлення однієї й тієї числа в різних формах записи сприяють засвоєнню поняття про тотожні перетворення. Спочатку ці уявлення може бути довільними, надалі - цілеспрямованими. Наприклад, уявлення у вигляді суми розрядних доданків використовується для пояснення правил складання натуральних чисел «стовпчиком», уявлення у вигляді суми або різниці «зручних» чисел – для виконання швидких обчислень різних творів, уявлення у вигляді твору множників – для спрощення різних дробових виразів.
Знайдіть значення виразу 928 36 + 72 36.
Раціональний спосіб обчислення значення даного виразу заснований на використанні розподільчого закону множення щодо додавання: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36 000.
У шкільному курсі математики можна назвати такі етапи освоєння застосувань перетворень буквенно-числовых висловів і формул.
етап. Почала алгебри.На цьому етапі використовується нерозчленована система перетворень; вона представлена правилами виконання над однією чи обома частинами формули.
приклад. Розв'язати рівняння:
а) 5х - Ъх = 2; б) 5х = Зх + 2; в) 6 (2 - 4у) + 5у = 3 (1 - Зу).
Загальна ідея рішення полягає у спрощенні даних формул за допомогою кількох правил. У першому завданніспрощення досягається за допомогою застосування тотожності: 5х- Ъх= (5 - 3) х. Засноване на цій тотожності тотожне перетворення переводить дане рівняння в рівносильне йому уршшомие 2х - 2.
Друге рівняннявимагає для свого рішення не тільки тотожного, але і ринноеільного перетворення; у такій якості тут використовується пра- ||н щодо перенесення членів рівняння з однієї частини рівняння до іншої зі зміненим шиком. У вирішенні вже такого простого завдання, як б), використовуються обидва пн in перетворень - і тотожне, і рівносильне. Це становище счерініться і для більш громіздких завдань, таких, як третє.
Міль першого етапу - навчити швидко вирішувати найпростіші рівняння, спрощувати формули, що задають функції, раціонально проводити обчислення з опорою на властивості дій.
тит. Формування навичок застосування конкретних видів перетворенняII tilt 11поняття тотожності і тотожного перетворення явно вводяться в курсі шн"сбри 7 класу. Так, наприклад, у підручнику Ю. Н. Макарічева "Алгебра 7" ннп"шле вводиться поняття тотожно рівних виразів: «Два вирази, відповідні яких значення змінних, шпиняються тотожно рівними»,потім поняття тотожності: «Рівність, парне за будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю».
11наводяться приклади:
У підручнику А.Г. Мордковича «Алгебра 7» наводиться одразу й уточнене поняття тотожності: «Тожність- це рівність, вірна за будь-яких допустимихзначеннях що входять до його складу змінних».
11ри запровадження поняття тотожного перетворення слід насамперед залишати доцільність вивчення тотожних перетворень. І тому можна розглянути різні вправи знаходження значення выражений.
liiiipiiMep, знайти значення виразу 37,1х + 37,ly при х= 0,98, у = 0,02. Використовуючи розподільну властивість множення, вираз 37,1л + 37,1 уможна щмоїти виразом 37,1 (х + у), тотожно рівним йому. Ще більш впе- глист 1 рішення наступної вправи: знайти значення виразу
()-(а-6)_ п р і. а) д = з > ^ = 2; б) а = 121, Ъ - 38; в) а = 2,52 Ъ= 1 -.
ab 9
11після проведених перетворень виявляється, що безліч значень цього ю пірнання складається з одного числа 4.
У підручнику Ю. Н. Макарічева «Алгебра 7» запровадження поняття тотожно- ігппого перетворення мотивується розглядом прикладу: «Щоб знайти значення вираження ху-да при х = 2,3; у = 0,8; z = 0,2, треба виконати 3 дії: ху - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.
11Слід відзначити один тип перетворень, специфічний для курш алгебри і почав аналізу. Це перетворення виразів, що містять переходи,і перетворення, засновані на правилах диференціо-пнія та інтегрування.Основна відмінність цих «аналітичних» перетворень від «алгебраїчних» перетворень полягає в характері безлічі, які пробігають змінні в тотожності. В алгебраїчних тотожностях змінні пробігають числові області,а в аналітичних цими множинами шляються певні безлічі функцій.Наприклад, правило диференційної суми: (Z"+g)" тут/і g- змінні, що пробігають багато-
I I але диференційованих функцій із загальною областю визначення. Зовні ці перетворення подібні до перетвореннями алгебраїчного типу, тому іноді кажуть «алгебра меж», «алгебра диференціювання».
Тотожності, що вивчаються в шкільному курсі алгебри та алгебраїчному май-ріалі курсу алгебри та почав аналізу, можна розділити на два класи.
Перший складається з тотожностей скороченого множення,справедливих у
ав ст.
iiioGom комутативному кільці, і тотожності - =-,а * 0, справедливого в лю-
Ом поле.
Другий клас утворений тотожностями, що пов'язують арифметичні чнграції та основні елементарні функції, а також композиції елементар-Hhixфункцій.Більшість тотожностей цього класу також має загальну математичну основу, яка полягає в тому, що статечна, показова та логарифмічна функції є ізоморфізмами різних числових груп. Наприклад, має місце твердження: існує єдине безперервне ізоморфне відображення / адитивної групи дійсних чисел в мультиплікативну групу позитивних дійсних чисел, при якому одиниця відображається в задане число а> 0, а Ф 1; це відображення задається послідовною функцією з основою а:/(х)= а.Аналогічні твердження є і для статечної та логарифмічної функцій.
Методика вивчення тотожностей обох класів має багато спільних чгрт. Загалом тотожні перетворення, що вивчаються у шкільному курсі математики, включають:
перетворення виразів, що містять радикали та ступеня з дробними показниками;
перетворення виразів, що містять граничні переходи, та перетворення, засновані на правилах диференціювання та інтегрування.
Цей результат можна отримати виконавши лише дві дії, якщо скористатися виразом х (у-z), тотожно рівним виразу xy-xz: х (у-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.
Ми спростили обчислення, замінивши вираз xy-xz тотожно рівним виразом х (у - z).
Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом називають тотожним перетвореннямабо просто перетворенням висловлювання».
Освоєння різних видів перетворень цьому етапі починається із запровадження формул скороченого множення. Потім розглядаються перетворення, пов'язані з операцією зведення у ступінь, з різними класами елементарних функцій – показових, статечних, логарифмічних, тригонометричних. Кожен із цих типів перетворень проходить етап вивчення, у якому увагу зосереджується на засвоєнні їх характерних рис.
У міру накопичення матеріалу з'являється можливість виділити і на цій основі запровадити поняття тотожного та рівносильного перетворень.
Слід зазначити, що поняття тотожного перетворення дається у шкільному курсі алгебри над повної спільності, лише у застосуванні до выражениям. Перетворення поділяються на два класи: тотожні перетворення - це перетворення виразів, а рівносильні - перетворення формул. У разі, коли виникає потреба у спрощенні однієї частини формули, у цій формулі виділяється вираз, який і служить аргументом тотожного перетворення. Наприклад, рівняння 5х - Зх - 2 та 2х = 2 вважаються не просто рівносильними, а однаковими.
У підручниках алгебри Ш.А. Алімова та ін. Поняття тотожності явно не вводиться в 7-8-х класах і тільки в 9 класі в темі «Тригонометричні тотожності» при вирішенні задачі 1: «Довести, що при афкк, до < eZ , справедливо рівність 1 + ctg 2 а = - - вводиться це поняття. Тут учням пояснюється, що sin а
зазначене рівність «справедливо всім допустимих значень а, тобто. таких, у яких його ліва та права частини мають сенс. Такі рівності називають тотожністю, а завдання на докази такої рівності називають завданнями на доказ тотожностей».
ІІІ етап. Організація цілісної системи перетворень (синтез).
Основна мета цього етапу полягає у формуванні гнучкого та потужного апарату, придатного для використання у вирішенні різноманітних навчальних завдань.
Розгортання другого етапу вивчення перетворень відбувається протягом усього алгебри курсу основної школи. Перехід до третього етапу здійснюється при підсумковому повторенні курсу під час осмислення вже відомого матеріалу, засвоєного частинами, за окремими типами перетворень.
У курсі алгебри і початку аналізу цілісна система перетворень, переважно вже сформована, продовжує поступово вдосконалюватися. До неї також додаються деякі нові види перетворень (наприклад, що відносяться до тригонометричних та логарифмічних функцій), однак вони лише збагачують її, розширюють її можливості, але не змінюють її структуру.
Методика вивчення цих нових перетворень практично не відрізняється від алгебри, що застосовується в курсі.
Необхідно відзначити один тип перетворень, специфічний для куренів алгебри та почав аналізу. Це перетворення виразів, що містять граничні переходи, і перетворення, засновані на правилах диференціювання та інтегрування. Основна відмінність цих «аналітичних» перетворень від «алгебраїчних» перетворень полягає в характері множини, яку пробігають змінні в тотожностях. В алгебраїчних тотожностях змінні пробігають числові області, а в аналітичних цими множинами мияяются певні безлічі функцій. Наприклад, правило диференціювання суми: ( f + g )" = f + g "; тут fug - змінні, що пробігають множи- но диференційованих функцій із загальною областю визначення. Зовні ці перетворення подібні до перетвореннями алгебраїчного типу, тому іноді кажуть «алгебра меж», «алгебра диференціювання».
Тотожності, що вивчаються в шкільному курсі алгебри та алгебраїчному матеріалі курсу алгебри та почав аналізу, можна розділити на два класи.
Перший складається з тотожностей скороченого множення, справедливих у
будь-якому комутативному кільці, і тотожності - =-,а*0, справедливого в лю-
ас з
Другий клас утворений тотожності, що пов'язують арифметичні операції та основні елементарні функції, а також композиції елементарних функцій.Більшість тотожностей цього класу також мають загальну математичну основу, яка полягає в тому, що статечна, показова та логарифмічна функції є ізоморфізмами різних числових груп. Наприклад, має місце твердження: існує єдине безперервне ізоморфне відображення / адитивної групи дійсних чисел мультиплікативну групу позитивних дійсних чисел, при якому одиниця відображається в задане число а> 0, а Ф 1; це відображення задається показовою функцією з основою я: / (х) = а *. Аналогічні твердження є і для статечної та логарифмічної функцій.
Методика вивчення тотожностей обох класів має багато спільних рис. Загалом тотожні перетворення, що вивчаються у шкільному курсі математики, включають:
перетворення алгебраїчних виразів;
перетворення виразів, що містять радикали та ступеня з дробовими показниками;
перетворення тригонометричних виразів;
перетворення виразів, що містять ступеня та логарифми;
перетворення виразів, що містять граничні переходи, та перетворення, засновані на правилах, диференціювання та інтегрування.
2. Особливості організації системи завдань щодо тотожних перетворень
Основний принцип організації будь-якої системи завдань - пред'явлення їх від простого до складного з урахуванням необхідності подолання учнями посильних труднощів та створення проблемних ситуацій. Цей основний принцип вимагає конкретизації стосовно особливостей даного навчального матеріалу. Наведемо приклад системи вправ на тему: «Квадрат суми та
різниці двох чисел».
I la цьому основна система вправ закінчується. Така система має забезпечити засвоєння базового матеріалу.
Наступні вправи (17-19) дозволяють акцентувати увагу учнів на типових помилках та сприяють розвитку інтересу та їх творчих посібників.
У кожному конкретному випадку кількість вправ у системі може бути меншою або більшою, але послідовність їх виконання повинна бути такою ж.
Для опису різних систем завдань у методиці математики вико- lyri oi ще поняття циклу вправ. Цикл вправ характеризується тим, що поєднуються в послідовність вправи декількох аспектів вивчення та прийомів розташування матеріалу. По відношенню до тотожних перетворень уявлення про цикл можна дати в такий спосіб.
11икл вправ пов'язані з вивченням одного тотожності, навколо якого групуються інші тотожності, що з ним у зв'язку. В "остан циклу поряд з виконавчими входять завдання, що вимагають розпізнає-< ii in ні застосовності аналізованого тотожності. Досліджуване тотожність застосовується щодо обчислень на різних числових областях.
Завдання у кожному циклі розбиті на дві групи. До першою відносяться завдання, ш. Вони виконуються кількох уроках, об'єднаних однією темою. Друга група вправ пов'язує тотожність, що вивчається, з різними додатками. Вправи з цієї групи зазвичай розкидані на різні теми.
Описана структура циклу належить до етапу формування навичок застосування конкретних видів перетворень. На заключному етапі - (Тані синтезу, цикли видозмінюються. По перше, об'єднуються обидві групи шдапій, що утворюють «розгорнутий» цикл , причому з першої групи виключаються найпростіші за формулюванням або складністю виконання запиши. Типи завдань, що залишилися, ускладнюються. По-друге, відбувається злиття циклів, що відносяться до різних тотожностей, через це підвищується роль дій з розпізнавання застосовності тієї чи іншої тотожності.
11рннсдем конкретний приклад циклу.
приклад. Цикл завдань для тотожності х -у 2 = (х-у) (х + у).
Виконання першої групи завдань цього циклу відбувається в наступному
ших умовах. Учні щойно ознайомилися з формулюванням тотожності (вірніше, з двома формулюваннями: «Різниця квадратів двох виразів дорівнює добутку суми та різниці даних виразів» і «Твір суми та різниці двох виразів і різниці квадратів цих виразів»), його записом у вигляді формули, доказом . Після цього наведено кілька зразків використання перетворення, що базується на цьому тотожності. Нарешті, учні приступають до самостійного виконання вправ.
Перша група завдань
Друга група завдань
(Завдання кожної групи можна подати студентам за допомогою мультимедійного проектора)
Проведемо методичний аналіз цієї системи типів завдань.
Завдання а0 має на меті фіксувати структуру досліджуваного тотожності. Це досягається заміною букв (х і у)у записі тотожності іншими літерами. Завдання цього типу дозволяють уточнити зв'язок між словесним виразом та символічною формою тотожності.
Завдання а 2) спрямовано встановлення зв'язку даного тотожності з числової системою. Перетворюване вираз тут не чисто буквеним, а буквенно-числовым. Для опису дій необхідно використовувати поняття заміщеннялітери числом у тотожності. Розвиток навичок
застосування операції заміщення та поглиблення уявлення про неї здійсне- ш I гм при виконанні завдань типу г 2).
Наступний крок у освоєнні тотожності ілюструється завданням. В ному завданні запропонований для перетворення вираз не має виду розпип н квадратів; перетворення стає можливим лише тоді, коли. ч(чп1к помітить, що число 121 можна у вигляді квадрата числа. Таким іПриюм, виконання цього завдання проводиться не в один крок, а в два: на пер-iiiiuвідбувається розпізнавання можливості приведення даного виразу до мпду різниці квадратів, на другомупровадиться перетворення, що використовує тотожність.
11а спочатку освоєння тотожності проводиться запис кожного кроку:
I "I / с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £) (11 + к),надалі деякі операції з розпізнавання виконуються учнями усно.
У прикладі дг) потрібно встановити зв'язки цього тотожності та інших, що належать до дій з одночленами; в д 3) слід застосувати тотожність для різниці квадратів двічі; у ж) учням доведеться подолати певний психологічний бар'єр, здійснюючи вихід у область ірраціональних чисел.
Завдання типу б) спрямовані формування навичок заміни творі (,v - у) (х + у)на різницю х 2 - у 2 . Аналогічну роль грають завдання типу в). У прикладах типу г) потрібно вибрати один із напрямків перетворень.
У цілому нині завдання першої групи спрямовані на засвоєння структури щества, операції заміщення у найпростіших найважливіших випадках і ставлення до оборотності перетворень, здійснюваних тотожністю,
Основні особливості та цілі, розкриті нами при розгляді першої | руїни завдань циклу, відносяться до будь-якого циклу вправ, що формує багнети використання тотожності. Для будь-якого знову введеного тотожності першим група завдань у циклі повинна зберігати описані тут особливості; Відмінності може бути лише у кількості завдань.
1 Друга група завдань у циклі, на відміну від першої, спрямована на можливе повніше використання та облік специфіки саме даного тото- t i пи. Завдання цієї групи припускають вже сформованими навички використання тотожності для різниці квадратів (найпростіших випадках); ЦП, завдань цієї групи - поглибити розуміння тотожності за рахунок розгляду різноманітних додатків його в різних ситуаціях, у поєднанні з використанням матеріалу, що відноситься до інших тем курсу математики.
Розглянемо рішення завдання л):
х 3 - 4х= 15 о х 3 - 9х = 15 - 5х о х(х~3)(х + 3) = 5(3 -х) ох = 3, або \{\ 1-3) = -5. Рівняння х(х+ 3) = -5 дійсних коренів не має, тому \ 3 – єдиний корінь рівняння.
Ми бачимо, що використання тотожності для різниці квадратів становить ч п і I ь частина у рішенні прикладу, будучи провідною ідеєю проведення перетворень.
Цикли завдань, пов'язаних з тотожністю для елементарних функцій, мають свої особливості, які обумовлені тим, що, по-співних. соответст - і бідні тотожності вивчаються у зв'язку з вивченням функціонального матеріалу і, /і>-«тоуих,вони з'являються пізніше тотожності першої групи і вивчаються з
використанням вже сформованих навичок проведення тотожних перетворень. Значна частина використання тотожних перетворень, що з елементарними функціями, посідає рішення ірраціональних і трансцендентних рівнянь. У цикли, які стосуються засвоєння тотожностей, входять лише найпростіші рівняння, але тут доцільно проводити роботу з засвоєнню прийому розв'язання таких рівнянь: зведення його шляхом заміни невідомого до рівня алгебри.
Послідовність кроків у цьому способі вирішення така:
а) знайти функцію<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;
б) зробити підстановку у= ср(х) і розв'язати рівняння F(y) = 0;
в) вирішити кожне із рівнянь <р(х) = де (у к) - безліч коренів рівняння F(y) = 0.
Новим питанням, яке необхідно враховувати при вивченні тотожності з елементарними функціями, є розгляд області визначення. Наведемо приклади трьох завдань:
а) Побудувати графік функції у = 4 log 2 x.
б) Розв'язати рівняння lg х + lg (х – 3) = 1.
в) На якій множині формула lg (х - 5) + lg (х + 5) = lg ( х 2 - 25) є тотожністю?
Типова помилка, яку роблять учні у вирішенні завдання а) полягає у використанні рівності а 1-е без урахування умови Ъ > 0. В даному випадку в результаті шуканий графік виявляється таким, що має вигляд параболи замість правильної відповіді - правої гілки параболи. У завданні б) показаний один із джерел отримання складних систем рівнянь і нерівностей, коли необхідно враховувати області визначення функцій, а в завданні в) - вправу, яка може бути підготовчою.
Ідея, якою об'єднані ці завдання - необхідність вивчення області визначення функції, може виявитися лише при зіставленні таких, різнорідних за зовнішньою формою завдань. Значення цієї ідеї для математики дуже велике. Вона може бути основою кількох циклів вправ - по кожному з класів елементарних функцій.
На закінчення зауважимо, що вивчення тотожних перетворень у школі має велике виховне значення. Вміння робити якісь викладки, проводити розрахунки, протягом тривалого часу з неослабною увагою стежити за деяким об'єктом необхідно людям найрізноманітніших професій, незалежно від того, чи працюють вони у сфері розумової чи фізичної праці. Специфіка розділу «Тотожні перетворення висловлювань» така, що він відкриває широкі можливості для вироблення у учнів цих важливих професійно-значущих умінь.
Числа та вирази, з яких складено вихідний вираз, можна замінювати тотожно рівними ним виразами. Таке перетворення вихідного висловлювання призводить до тотожно рівному йому виразу.
Наприклад, у виразі 3+x число 3 можна замінити сумою 1+2 , при цьому вийде вираз (1+2)+x , який тотожно дорівнює вихідному виразу. Інший приклад: у виразі 1+a 5 ступінь a 5 можна замінити тотожно рівним їй твором, наприклад, виду a 4 . Це нам дасть вираз 1+a·a 4 .
Дане перетворення, безсумнівно, штучно, і є підготовкою до будь-яким подальшим перетворенням. Наприклад, у сумі 4 x 3 +2 x 2 , враховуючи властивості ступеня, доданок 4 x 3 можна представити у вигляді твору 2 x 2 x 2 x . Після такого перетворення вихідний вираз набуде вигляду 2·x 2 ·2·x+2·x 2 . Очевидно, складові в отриманій сумі мають загальний множник 2 x 2 , таким чином, ми можемо виконати наступне перетворення - винесення за дужки. Після нього ми прийдемо до виразу: 2 · x 2 · (2 · x + 1).
Додаток і віднімання однієї й тієї ж числа
Іншим штучним перетворенням висловлювання є додаток і одночасне віднімання однієї й тієї числа чи висловлювання. Таке перетворення є тотожним, оскільки воно, по суті, еквівалентне додавання нуля, а додавання нуля не змінює значення.
Розглянемо приклад. Візьмемо вираз x 2 +2 · x. Якщо до нього додати одиницю і відібрати одиницю, це дозволить надалі виконати ще одне тотожне перетворення - виділити квадрат двочлена: x 2 +2·x=x 2 +2·x+1−1=(x+1) 2 −1.
Список літератури.
- Алгебра:навч. для 7 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 17-те вид. – М.: Просвітництво, 2008. – 240 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019315-3.
- Алгебра:навч. для 8 кл. загальноосвіт. установ/[Ю. Н. Макарічев, Н. Г. Міндюк, К. І. Нешков, С. Б. Суворова]; за ред. С. А. Теляковського. - 16-те вид. - М.: Просвітництво, 2008. - 271 с. : іл. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Мордковіч А. Г.Алгебра. 7 клас. У 2 год. Ч. 1. Підручник для учнів загальноосвітніх закладів/А. Г. Мордкович. - 17-те вид., Дод. – М.: Мнемозіна, 2013. – 175 с.: іл. ISBN 978-5-346-02432-3.
Зведення двочлена до ступеня
Двучлен - це багаточлен, що складається з двох членів. У минулих уроках ми зводили двочлен на другий і третій ступінь, тим самим отримали формули скороченого множення:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
Але двочлен можна зводити не тільки в другий і третій ступінь, але і в четвертий, п'ятий або вищий ступінь.
Наприклад, зведемо двочлен a + bу четвертий ступінь:
(a + b) 4
Уявімо цей вираз у вигляді твору двочлена a + bі куба цього ж двочлена
(a + b)(a+ b) 3
Розмножувач ( a + b) 3 можна замінити на праву частину формули куба суми двох виразів. Тоді отримаємо:
(a + b)(a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3)
І це звичайне перемноження многочленов. Виконаємо його:
Тобто під час зведення двочлена a + bу четвертий ступінь виходить багаточлен a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
(a + b) 4 = a 4 + 4a 3 b + 6a 2 b 2 + 4ab 3 + b 4
Зведення двочлена a + bу четвертий ступінь можна виконати ще й так: уявити вираз ( a + b) 4 у вигляді добутку ступенів (a + b) 2 (a + b) 2
(a + b) 2 (a + b) 2
Але вираз ( a + b) 2 рівно a 2 + 2ab + b 2 . Замінимо у виразі (a + b) 2 (a + b) 2 квадрати суми на багаточлен a 2 + 2ab + b 2
(a 2 + 2ab + b 2)(a 2 + 2ab + b 2)
А це знову ж таки звичайне перемноження багаточленів. Виконаємо його. У нас вийде той самий результат, що й раніше:
Зведення тричлена в ступінь
Тричлен - це багаточлен, що складається з трьох членів. Наприклад, вираз a + b + cє тричленом.
Іноді може виникнути завдання звести тричлен у ступінь. Наприклад, зведемо в квадрат тричлен a + b + c
(a + b + c) 2
Два члени всередині дужок можна укласти у дужки. Наприклад, укласти суму a+ bу дужки:
((a + b) + c) 2
У цьому випадку сума a + bрозглядатиметься як один член. Тоді виходить, що квадрат ми зводимо не трехчлен, а двучлен. Сума a + bбуде першим членом, а член c- Другим членом. А як зводити у квадрат двочлен ми вже знаємо. Для цього можна скористатися формулою квадрата суми двох виразів:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
Застосуємо цю формулу до нашого прикладу:
У такий же спосіб можна звести квадрат багаточлен, що складається з чотирьох і більше членів. Наприклад, зведемо в квадрат багаточлен a + b + c + d
(a + b + c + d) 2
Подаємо багаточлен у вигляді суми двох виразів: a + bі c+d. Для цього укладемо їх у дужки:
((a + b) + (c+d)) 2
Тепер скористаємося формулою квадрата суми двох виразів:
Виділення повного квадрата із квадратного тричлена
Ще одне тотожне перетворення, яке може стати в нагоді при вирішенні завдань це виділення повного квадрата з квадратного тричлену.
Квадратним тричленом називають тричлен другого ступеня. Наприклад, наступні тричлени є квадратними:
Ідея виділення повного квадрата з таких тричленів полягає в тому, щоб уявити вихідний квадратний тричлен у вигляді виразу ( a + b) 2 + cде ( a + b) 2 повний квадрат, а c -деякий числовий або літерний вираз.
Наприклад, виділимо повний квадрат із тричлена 4x 2 + 16x+ 19 .
Для початку потрібно побудувати вираз виду a 2 + 2ab+ b 2 . Будувати ми його будемо із тричлена 4x 2 + 16x+ 19 . Для початку визначимося які члени відіграватимуть ролі змінних aі b
Роль змінної aбуде грати член 2 x, оскільки перший член тричлена 4x 2 + 16x+ 19 , а саме 4 x 2 виходить якщо 2 xзвести у квадрат:
(2x) 2 = 4x 2
Отже, змінна aдорівнює 2 x
a = 2x
Тепер повертаємось до вихідного тричлена і відразу звертаємо увагу на вираз 16 x. Цей вираз є подвоєним твором першого виразу a(у нашому випадку це 2 x) і другого поки невідомого нам висловлювання b.Тимчасово поставимо на його місце знак питання:
2 × 2 x × ? = 16x
Якщо уважно переглянути вираз 2 × 2 x × ? = 16x , то інтуїтивно стане зрозуміло, що членом bу цій ситуації є число 4, оскільки вираз 2×2 xодно 4 x, і щоб отримати 16 xпотрібно домножити 4 xна 4 .
2 × 2 x × 4 = 16x
Звідси робимо висновок, що змінна bдорівнює 4
b = 4
Значить, нашим повним квадратом буде вираз (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
Тепер у нас все готове для виділення повного квадрата із тричлену 4x 2 + 16x+ 19 .
Отже, повернемося до вихідного тричлена 4x 2 + 16x+ 19 та спробуємо акуратно впровадити в нього отриманий нами повний квадрат (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
4x 2 + 16x+ 19 =
Замість 4 x 2 записуємо (2 x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4
4x 2 + 16x+ 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2
А член 19 поки що переписуємо як є:
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19
Тепер звернемо увагу на те, що отриманий нами багаточлен (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19не тотожний первісному тричлену 4x 2 + 16x+ 19 . Переконатися в цьому можна, привівши багаточлен (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19до стандартного вигляду:
(2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 + 19 = 4 x 2 + 16x + 4 2 + 19
Бачимо, що виходить багаточлен 4x 2 + 16x+ 4 2 + 19 , А повинен був вийти 4x 2 + 16x+ 19 . Це тому, що член 4 2 був штучно впроваджений в початковий тричлен з метою організувати повний квадрата з тричлена 4x 2 + 16x+ 19 .
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19
Тепер вираз (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2можна згорнути, тобто записати у вигляді ( a + b) 2 . У нашому випадку вийде вираз (2 x+ 4) 2
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19
Члени −4 2 і 19, що залишилися, можна скласти. −4 2 це −16 , звідси −16 + 19 = 3
4x 2 + 16x + 19 = (2x) 2 + 2 × 2 x× 4 + 4 2 − 4 2 + 19 = (2x + 4) 2 − 4 2 + 19 = (2x+ 4) 2 + 3
Значить, 4x 2 + 16x+ 19 = (2x + 4) 2 + 3
Приклад 2. Виділити повний квадрат із квадратного тричлена x 2 + 2x+ 2
Спочатку збудуємо вираз виду a 2 + 2 ab + b 2 . Роль змінної aу цьому випадку грає x, оскільки x 2 = x 2 .
Наступний член вихідного тричлену 2 xперепишемо у вигляді подвоєного твір першого виразу (це у нас x) та другого виразу b(це буде 1).
2 × x× 1 = 2 x
Якщо b= 1 то повним квадратом буде вираз x 2 + 2x+ 1 2 .
Тепер повернемося до вихідного квадратного тричлену і впровадимо в нього повний квадрат x 2 + 2x+ 1 2
x 2 + 2x+ 2 = x 2 + 2x+ 1 2 − 1 2 + 2 = (x+ 1) 2 + 1
Як і в минулому прикладі член b(в даному прикладі це 1) після додавання відразу був віднятий з метою збереження значення вихідного тричлену.
Розглянемо наступне числове вираз:
9 + 6 + 2
Значення цього виразу дорівнює 17
9 + 6 + 2 = 17
Спробуємо виділити у цьому числовому вираженні повний квадрат. Для цього спочатку побудуємо вираз виду a 2 + 2ab+ b 2 . Роль змінної aу разі грає число 3 , оскільки перший член виразу 9 + 6 + 2 , саме 9 можна як 3 2 .
Другий член 6 представимо у вигляді подвоєного твору першого члена 3 та другого 1
2×3×1 = 6
Тобто змінна bдорівнюватиме одиниці. Тоді повним квадратом буде вираз 32+2×3×1+12. Впровадимо його у вихідний вираз:
− 1 2 + 2
Згорнемо повний квадрат, а члени −1 2 і 2 складемо:
3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Вийшло вираз (3 + 1) 2 + 2 , яке, як і раніше, дорівнює 17
(3 + 1) 2 +1 = 4 2 + 1 = 17
Допустимо, у нас є квадрат і два прямокутники. Квадрат зі стороною 3 см, прямокутник зі сторонами 2 см та 3 см, а також прямокутник зі сторонами 1 см та 2 см
Обчислимо площу кожної фігури. Площа квадрата становитиме 3 2 = 9 см 2 , площа рожевого прямокутника – 2 × 3 = 6 см 2 , площа бузкового – 1 × 2 = 2 см 2
Запишемо суму площ цих прямокутників:
9 + 6 + 2
Цей вираз можна розуміти як об'єднання квадрата та двох прямокутників у єдину фігуру:
Тоді виходить постать, площа якої 17 см 2 . Справді, представлена фігура містить 17 квадратів зі стороною 1 см.
Спробуємо з фігури утворити квадрат. Причому дуже великий квадрат. Для цього використовуватимемо частини від рожевого та бузкового прямокутника.
Щоб утворити максимально великий квадрат з фігури, можна жовтий квадрат залишити без змін, а половину від рожевого прямокутника прикріпити до нижньої частини жовтого квадрата:
Бачимо, до утворення повного квадрата не вистачає ще одного квадратного сантиметра. Його ми можемо взяти від бузкового прямокутника. Отже, візьмемо один квадрат від бузкового прямокутника і прикріпимо його до великого квадрата, що утворюється:
Тепер уважно подивимося, до чого ми прийшли. А саме на жовту частину фігури та рожеву частину, яка по суті збільшила колишній жовтий квадрат. Чи не означає це те, що сторона квадрата дорівнює 3 см, і ця сторона була збільшена на 1 см, що призвело в результаті до збільшення площі?
(3 + 1) 2
Вираз (3 + 1) 2 дорівнює 16, оскільки 3 + 1 = 4, а 4 2 = 16 . Цей результат можна отримати, якщо скористатися формулою квадрата суми двох виразів:
(3 + 1) 2 = 3 2 + 6 + 1 = 9 + 6 + 1 = 16
Справді, в квадраті, що утворився, міститься 16 квадратів.
Один квадратик, що залишився, від бузкового прямокутника можна прикріпити до великого квадрата, що утворився. Адже мова спочатку йшла про єдину фігуру:
(3 + 1) 2 + 1
Прикріплення маленького квадратика до наявного великого квадрата описується виразом (3+1) 2+1. А це є виділення повного квадрата із виразу 9 + 6 + 2
9 + 6 + 2 = 3 2 + 6 + 2 = 3 2 + 2 × 3 × 1 + 1 2 − 1 2 + 2 = (3 + 1) 2 + 1
Вираз (3 + 1) 2 + 1, як і вираз 9 + 6 + 2 дорівнює 17 . Справді, площа фігури, що утворилася, дорівнює 17 см 2 .
Приклад 4. Виконаємо виділення повного квадрата із квадратного тричлена x 2 + 6x + 8
x 2 + 6x + 8 = x 2 + 2 × x× 3 + 3 2 − 3 2 + 8 = ( x + 3) 2 − 1
У деяких прикладах при побудові виразу a 2 + 2ab+ b 2 не можливе відразу визначити значення змінних aі b .
Наприклад, виконаємо виділення повного квадрата з квадратного тричлену x 2 + 3x+ 2
Змінною aвідповідає x. Другий член 3 xне можна у вигляді подвоєного твору першого висловлювання і другого. В цьому випадку другий член слід помножити на 2, і щоб значення вихідного многочлена не змінилося, відразу ж виконати поділ на 2. Виглядатиме це так.
Щоб користуватися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com
Підписи до слайдів:
Тотожності. Тотожні перетворення виразів. 7 клас.
Знайдемо значення виразів при х=5 і у=4 3(х+у)= 3(5+4)=3*9=27 3х+3у= 3*5+3*4=27 Знайдемо значення виразів при х=6 і у=5 3(х+у)= 3(6+5)=3*11=33 3х+3у= 3*6+3*5=33
ВИСНОВОК: Ми отримали той самий результат. З розподільної властивості випливає, що за будь-яких значеннях змінних значення виразів 3(х+у) і 3х+3у рівні. 3(х+у) = 3х+3у
Розглянемо тепер вирази 2х+у та 2ху. при х=1 і у=2 вони приймають рівні значення: 2х+у=2*1+2=4 2ху=2*1*2=4 при х=3, у=4 значення виразів різні 2х+у=2* 3+4=10 2ху=2*3*4=24
ВИСНОВОК: Вирази 3(х+у) і 3х+3у є тотожно рівними, а вирази 2х+у та 2ху не є тотожно рівними. Визначення: Два вирази, значення яких рівні за будь-яких змінних, називаються тотожно рівними.
ТОЖНІСТЬ Рівність 3(х+у) і 3х+3у вірна за будь-яких значень х і у. Такі рівності називаються тотожностями. Визначення: Рівність, вірна при будь-яких значеннях змінних, називається тотожністю. Тотожністю вважають і вірні числові рівності. З тотожністю ми вже зустрічалися.
Тотожністю є рівності, що виражають основні властивості дій над числами. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac
Можна навести й інші приклади тотожності: а + 0 = а а * 1 = а а + (-а) = 0 а * (- b) = - ab а- b = a + (- b) (-a) * ( -b) = ab Заміну одного виразу іншим, тотожно рівним йому виразом, називають тотожним перетворенням або просто перетворенням виразу.
Щоб навести подібні доданки, треба скласти їх коефіцієнти і результат помножити на загальну літерну частину. Приклад 1. Наведемо подібні доданки 5х +2х-3х = х (5 +2-3) = 4х
Якщо перед дужками стоїть знак «плюс», то дужки можна опустити, зберігши знак кожного доданка, укладеного у дужки. Приклад 2. Розкриємо дужки у виразі 2а + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c
Якщо перед дужками стоїть знак мінус, то дужки можна опустити, змінивши знак кожного доданка, укладеного в дужки. Приклад 3. Розкриємо дужки у виразі а – (4 b – с) = a – 4 b + c
Домашнє завдання: п. 5, №91, 97, 99 Дякуємо за урок!
За темою: методичні розробки, презентації та конспекти
Методика підготовки учнів до ЄДІ з розділу "Вирази та перетворення виразів"
Даний проект розроблений з метою підготовки учнів до державних іспитів у 9 класі та надалі до єдиного державного іспиту в 11 класі.
Завантаження...