Значення похідної у точці х0 за графіком. Знайти значення похідної функції у точці х0

Приклад 1

Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні: У деяких завданнях буває зручно позначити функцію "ігреком", а в деяких через "еф від ікс".

Спочатку знаходимо похідну:

Приклад 2

Обчислити похідну функції у точці

, , повне дослідження функціїта ін.

Приклад 3

Обчислити похідну функції у точці. Спочатку знайдемо похідну:

Ну ось, зовсім інша річ. Обчислимо значення похідної в точці:

Якщо Вам не зрозуміло, як знайдено похідну, поверніться до перших двох уроків теми. Якщо виникли труднощі (нерозуміння) з арктангенсом та його значеннями, обов'язково вивчіть методичний матеріал Графіки та властивості елементарних функцій- Останній параграф. Бо арктангенсів на студентське століття ще вистачить.

Приклад 4

Обчислити похідну функції у точці.

Рівняння щодо графіку функції

Щоб закріпити попередній параграф, розглянемо задачу знаходження дотичної до графіку функціїу цій точці. Це завдання зустрічалося нам у школі, і воно зустрічається в курсі вищої математики.

Розглянемо "демонстраційний" найпростіший приклад.

Скласти рівняння дотичної до графіка функції у точці з абсцисою. Я відразу наведу готове графічне вирішення завдання (на практиці цього робити здебільшого не треба):

Суворе визначення дотичної дається за допомогою визначення похідної функції, Але поки що ми освоїмо технічну частину питання. Напевно, практично всім інтуїтивно зрозуміло, що таке дотична. Якщо пояснювати «на пальцях», то стосовно графіку функції – це пряма, Що стосується графіка функції в єдиноюточці. При цьому всі прилеглі точки прямої розташовані максимально близько до графіка функції.

Стосовно нашої нагоди: при дотична (стандартне позначення) стосується графіка функції в єдиній точці .

І наше завдання полягає в тому, щоб знайти рівняння прямої.

Похідна функції у точці

Як знайти похідну функцію в точці? З формулювання випливають два очевидні пункти цього завдання:

1) Потрібно знайти похідну.

2) Необхідно обчислити значення похідної у заданій точці.

Приклад 1

Обчислити похідну функції у точці

Довідка: Наступні способи позначення функції еквівалентні:


У деяких завданнях буває зручно позначити функцію "ігреком", а в деяких через "еф від ікс".

Спочатку знаходимо похідну:

Сподіваюся, багато хто вже пристосувався шукати такі похідні усно.

На другому кроці обчислимо значення похідної в точці:

Невеликий приклад розминки для самостійного вирішення:

Приклад 2

Обчислити похідну функції у точці

Повне рішення та відповідь наприкінці уроку.

Необхідність знаходити похідну в точці виникає у наступних задачах: побудова дотичної до графіку функції (наступний параграф), дослідження функції на екстремум , дослідження функції на перегин графіка , повне дослідження функції та ін.

Але завдання, що розглядається, зустрічається в контрольних роботах і саме по собі. І, зазвичай, у разі функцію дають досить складну. У цьому зв'язку розглянемо ще два приклади.

Приклад 3

Обчислити похідну функції у точці.
Спочатку знайдемо похідну:

Похідна, в принципі, знайдена, і можна підставляти потрібне значення. Але щось робити це не дуже хочеться. Вираз дуже довгий, та й значення «ікс» у нас дрібне. Тому намагаємось максимально спростити нашу похідну. В даному випадку спробуємо привести до спільного знаменника три останні складові: у точці.

Це приклад самостійного рішення.

Як знайти значення похідної функції F(x) у точці Хо? Як загалом це вирішувати?

Якщо формула задана, то знайти похідну замість Х підставити Х-нульове. Порахувати
Якщо йдеться про б-8 ЄДІ, графік, то треба знайти тангенс кута (гострий або тупий), який утворює дотична з віссю Х (за допомогою уявної побудови прямокутного трикутника та визначення тангенсу кута)

Тимур адільходжаєв

По-перше, треба визначитися зі знаком. Якщо точка х0 знаходиться у нижній частині координатної площини, то знак у відповіді буде мінус, а якщо вище, то +.
По-друге, треба знати, що таке тангес у прямокутному прямокутнику. А це співвідношення протилежної сторони (катета) до прилеглої сторони (теж катета). На картині зазвичай є кілька темних позначок. З цих позначок складаєш прямокутний трикутник і знаходиш тангес.

Як знайти значення похідної функції f x у точці x0?

У випадку, щоб визначити значення похідної будь-якої функції по певної змінної у будь-якій точці, необхідно продиференціювати задану функцію з цієї змінної. У разі змінної Х. У отримане вираз замість Х поставити значення ікса у тому точці, на яку треба визначити значення похідної, тобто. у Вашому випадку підставити нульовий Х та обчислити отриманий вираз.

Ну а ваше прагнення розібратися в цьому питанні, на мій погляд, безперечно заслуговує на +, яке ставлю з чистою совістю.

Така постановка завдання перебування похідної часто ставиться закріплення матеріалу на геометричний сенс похідної. Пропонується графік якоїсь функції, абсолютно довільної і не заданої рівнянням і потрібно визначити значення похідної (не саму похідну зауважте!) у зазначеній точці Х0. Для цього будується дотична до заданої функції та знаходиться точки її перетину з осями координат. Потім складається рівняння цієї дотичної як y=кx+b.

У цьому рівнянні коефіцієнт і буде значенням похідної. залишається лише визначити значення коефіцієнта b. Для цього знаходимо значення у при х=о, нехай воно дорівнює 3 - це значення коефіцієнта b. Підставляємо вихідне рівняння значення Х0 і У0 і знаходимо до - наше значення похідної в цій точці.

У задачі B9 дається графік функції або похідної, яким потрібно визначити одну з наступних величин:

1. Значення похідної в деякій точці x 0
2. Точки максимуму або мінімуму (точки екстремуму),
3. Інтервали зростання та зменшення функції (інтервали монотонності).

Функції та похідні, представлені у цій задачі, завжди безперервні, що значно спрощує рішення. Незважаючи на те, що завдання відноситься до розділу математичного аналізу, вона цілком під силу навіть найслабшим учням, оскільки жодних глибоких теоретичних знань тут не потрібно.

Для знаходження значення похідної, точок екстремуму та інтервалів монотонності існують прості та універсальні алгоритми – всі вони будуть розглянуті нижче.

Уважно читайте умову завдання B9, щоб не допускати дурних помилок: іноді трапляються досить об'ємні тексти, але важливих умов, які впливають на хід вирішення, там небагато.

Обчислення значення похідної. Метод двох точок

Якщо в задачі дано графік функції f(x), що стосується цього графіка в деякій точці x 0 і потрібно знайти значення похідної в цій точці, застосовується наступний алгоритм:

1. Знайти на графіку дотичної дві «адекватні» точки: їх координати мають бути цілими. Позначимо ці точки A (x 1; y 1) і B (x 2; y 2). Правильно виписуйте координати – це ключовий момент вирішення, і будь-яка помилка тут призводить до неправильної відповіді.
2. Знаючи координати, легко обчислити збільшення аргументу Δx = x 2 − x 1 і збільшення функції Δy = y 2 − y 1 .
3. Нарешті знаходимо значення похідної D = Δy/Δx. Іншими словами, треба розділити збільшення функції на збільшення аргументу — і це буде відповідь.

Ще раз зазначимо: точки A і B треба шукати саме на дотичній, а не графіку функції f(x), як це часто трапляється. Стосовно обов'язково міститиме хоча б дві такі точки — інакше завдання складено некоректно.

Розглянемо точки A (−3; 2) та B (−1; 6) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Знайдемо значення похідної: D = y/Δx = 4/2 = 2.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотику до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

Розглянемо точки A (0; 3) та B (3; 0), знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Тепер знаходимо значення похідної: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Завдання. На малюнку зображено графік функції y = f(x) і дотику до нього в точці з абсцисою x0. Знайдіть значення похідної функції f(x) у точці x0.

Розглянемо точки A (0; 2) та B (5; 2) і знайдемо збільшення:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Залишилося знайти значення похідної: D = y/Δx = 0/5 = 0.

З останнього прикладу можна сформулювати правило: якщо дотична паралельна осі OX, похідна функції у точці дотику дорівнює нулю. В цьому випадку навіть не треба нічого рахувати — достатньо поглянути на графік.

Обчислення точок максимуму та мінімуму

Іноді замість графіка функції завдання B9 дається графік похідної і потрібно знайти точку максимуму чи мінімуму функції. При такому розкладі метод двох точок марний, але існує інший, ще більш простий алгоритм. Для початку визначимося з термінологією:

1. Точка x 0 називається точкою максимуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≥ f(x).
2. Точка x 0 називається точкою мінімуму функції f(x), якщо в околиці цієї точки виконується нерівність: f(x 0) ≤ f(x).

Для того щоб знайти точки максимуму та мінімуму за графіком похідної, достатньо виконати такі кроки:

1. Перекреслити графік похідної, забравши всю зайву інформацію. Як показує практика, зайві дані лише заважають рішенню. Тому відзначаємо на координатній осі нулі похідної — і все.
2. З'ясувати похідні знаки на проміжках між нулями. Якщо для певної точки x 0 відомо, що f'(x 0) ≠ 0, то можливі лише два варіанти: f'(x 0) ≥ 0 або f'(x 0) ≤ 0. Знак похідної легко визначити за вихідним кресленням: якщо графік похідної лежить вище за осю OX, значить f'(x) ≥ 0. І навпаки, якщо графік похідної проходить під віссю OX, то f'(x) ≤ 0.
3. Знову перевіряємо нулі та знаки похідної. Там, де знак змінюється з мінусу на плюс, є точка мінімуму. І навпаки, якщо знак похідної змінюється із плюсу на мінус, це точка максимуму. Відлік завжди ведеться зліва направо.

Ця схема працює тільки для безперервних функцій - інших задачі B9 не зустрічається.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-5; 5]. Знайдіть точку мінімуму функції f(x) у цьому відрізку.

Позбавимося зайвої інформації - залишимо лише межі [−5; 5] і нулі похідної x = −3 та x = 2,5. Також відзначимо знаки:

Очевидно, у точці x = −3 знак похідної змінюється з мінусу на плюс. Це і є точка мінімуму.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7]. Знайдіть точку максимуму функції f(x) у цьому відрізку.

Перекреслимо графік, залишивши на координатній осі лише межі [−3; 7] і нулі похідної x = −1,7 та x = 5. Зазначимо на отриманому графіку знаки похідної. Маємо:

Вочевидь, у точці x = 5 знак похідної змінюється з плюсу мінус — це точка максимуму.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [-6; 4]. Знайдіть кількість точок максимуму функції f(x), що належать відрізку [−4; 3].

З умови завдання слід, що досить розглянути лише частину графіка, обмежену відрізком [−4; 3]. Тому будуємо новий графік, у якому відзначаємо лише межі [−4; 3] та нулі похідної всередині нього. А саме точки x = −3,5 і x = 2. Отримуємо:

На цьому графіку є лише одна точка максимуму x=2. Саме в ній знак похідної змінюється з плюсу на мінус.

Невелике зауваження щодо точок з нецілочисленними координатами. Наприклад, в останній задачі було розглянуто точку x = −3,5, але з тим самим успіхом можна взяти x = −3,4. Якщо завдання складено коректно, такі зміни не повинні впливати на відповідь, оскільки точки без певного місця проживання не беруть безпосередньої участі у вирішенні завдання. Зрозуміло, з цілими точками такий фокус не пройде.

Знаходження інтервалів зростання та зменшення функції

У такому завданні, подібно до точок максимуму і мінімуму, пропонується за графіком похідної відшукати області, в яких сама функція зростає або зменшується. Для початку визначимо, що таке зростання та спадання:

1. Функція f(x) називається зростаючою на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Іншими словами, що більше значення аргументу, то більше значення функції.
2. Функція f(x) називається спадною на відрізку якщо для будь-яких двох точок x 1 і x 2 з цього відрізка правильне твердження: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). Тобто. більшого значення аргументу відповідає менше значення функції.

Сформулюємо достатні умови зростання та зменшення:

1. Щоб безперервна функція f(x) зростала на відрізку , досить, щоб її похідна всередині відрізка була позитивна, тобто. f′(x) ≥ 0.
2. Щоб безперервна функція f(x) убувала на відрізку , достатньо, щоб її похідна всередині відрізка була негативна, тобто. f'(x) ≤ 0.

Приймемо ці твердження без доказів. Таким чином, отримуємо схему для знаходження інтервалів зростання та зменшення, яка багато в чому схожа на алгоритм обчислення точок екстремуму:

1. Забрати всю зайву інформацію. На вихідному графіку похідної нас цікавлять насамперед нулі функції, тому залишимо лише їх.
2. Позначити похідні знаки на інтервалах між нулями. Там, де f'(x) ≥ 0, функція зростає, а де f'(x) ≤ 0 – зменшується. Якщо завдання встановлено обмеження на змінну x, додатково позначаємо їх у новому графіці.
3. Тепер, коли нам відома поведінка функції та обмеження, залишається обчислити необхідну в задачі величину.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−3; 7,5]. Знайдіть проміжки зменшення функції f(x). У відповіді вкажіть суму цілих чисел, що входять до цих проміжків.

Як завжди, перекреслимо графік і відзначимо межі [-3; 7,5], а також нулі похідної x = −1,5 та x = 5,3. Потім відзначимо похідні знаки. Маємо:

Оскільки на інтервалі (− 1,5) похідна негативна, це є інтервал зменшення функції. Залишилося підсумувати всі цілі числа, що знаходяться всередині цього інтервалу:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Завдання. На малюнку зображено графік похідної функції f(x), визначеної на відрізку [−10; 4]. Знайдіть проміжки зростання функції f(x). У відповіді вкажіть довжину найбільшого їх.

Позбавимося зайвої інформації. Залишимо лише межі [−10; 4] і нулі похідної, яких цього разу виявилося чотири: x = −8, x = −6, x = −3 та x = 2. Зазначимо знаки похідної та отримаємо наступну картинку:

Нас цікавлять періоди зростання функції, тобто. такі, де f′(x) ≥ 0. На графіку таких проміжків два: (−8; −6) та (−3; 2). Обчислимо їх довжини:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Оскільки потрібно знайти довжину найбільшого інтервалу, у відповідь записуємо значення l 2 = 5.