Как да решим ранга на матрица. Намерете ранга на матрица: методи и примери

Тази статия ще обсъди такова понятие като ранг на матрица и необходимите допълнителни понятия. Ще дадем примери и доказателства за намиране на ранга на матрица, а също така ще ви кажем какво е матричен минор и защо е толкова важен.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Матричен минор

За да разберем какъв е рангът на матрицата, е необходимо да разберем такова понятие като минор на матрицата.

Определение 1

Незначителенкматрица от порядък - детерминантата на квадратна матрица от порядъка k × k, която е съставена от елементите на матрицата A, разположени в предварително избрани k-редове и k-колони, като се запазва позицията на елементите на матрицата A.

Просто казано, ако изтрием (pk) редове и (nk) колони в матрица A и направим матрица от тези елементи, които остават, запазвайки подредбата на елементите на матрица A, тогава детерминантата на получената матрица е минор от порядък k на матрица A.

От примера следва, че минорите от първи ред на матрицата A са самите матрични елементи.

Можем да дадем няколко примера за непълнолетни от 2-ри ред. Нека изберем два реда и две колони. Например 1-ви и 2-ри ред, 3-та и 4-та колона.

При този избор на елементи минорът от втори ред ще бъде - 1 3 0 2 = (- 1) × 2 - 3 × 0 = - 2

Друг минор от 2-ри порядък на матрица A е 0 0 1 1 = 0

Нека предоставим илюстрации на конструкцията на минорите от втори ред на матрицата A:

Минорът от 3-ти порядък се получава чрез изтриване на третата колона от матрица A:

0 0 3 1 1 2 - 1 - 4 0 = 0 × 1 × 0 + 0 × 2 × (- 1) + 3 × 1 × (- 4) - 3 × 1 × (- 1) - 0 × 1 × 0 - 0 × 2 × (- 4) = - 9

Илюстрация на това как се получава минор от 3-ти порядък на матрица A:

За дадена матрица няма минорни числа по-високи от 3-ти ред, т.к

k ≤ m i n (p , n) = m i n (3, 4) = 3

Колко k-ти порядък минор има за матрица A от порядък p×n?

Броят на непълнолетните се изчислява по следната формула:

C p k × C n k , g e C p k = p ! к! (р - к)! и C nk = n ! к! (n - k) ! - броят на комбинациите от p до k, от n до k, съответно.

След като решим какви са минорите на матрицата A, можем да пристъпим към определяне на ранга на матрицата A.

Матричен ранг: методи за намиране

Определение 2

Матричен ранг - най-високият ред на матрицата, различен от нула.

Обозначение 1

ранг (A), Rg(A), Rang(A).

От дефиницията на ранга на матрица и минор на матрица става ясно, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е различен от нула.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция

Определение 3

Малък метод на изброяване - метод, базиран на определяне на ранга на матрица.

Алгоритъм на действията чрез изброяване на непълнолетни :

Необходимо е да се намери ранга на матрицата A от порядък стр× н. Ако има поне един ненулев елемент, тогава рангът на матрицата е най-малко равен на единица ( защото е минор от 1-ви ред, който не е равен на нула).

След това следва изброяване на непълнолетните от 2-ри ред. Ако всички минорни от 2-ри ред са равни на нула, тогава рангът е равен на единица. Ако има поне един ненулев минор от 2-ри ред, е необходимо да се премине към изброяването на непълнолетните от 3-ти ред, а рангът на матрицата в този случай ще бъде най-малко два.

Нека направим същото с ранга от 3-ти ред: ако всички минорни числа на матрицата са равни на нула, тогава рангът ще бъде равен на две. Ако има поне един ненулев минор от трети ред, тогава рангът на матрицата е поне три. И така нататък, по аналогия.

Пример 2

Намерете ранга на матрица:

A \u003d - 1 1 - 1 - 2 0 2 2 6 0 - 4 4 3 11 1 - 7

Тъй като матрицата не е нула, нейният ранг е най-малко равен на единица.

Минорът от 2-ри ред - 1 1 2 2 = (- 1) × 2 - 1 × 2 = 4 е различен от нула. Това означава, че рангът на матрицата A е най-малко два.

Подреждаме непълнолетните от 3-ти ред: C 3 3 × C 5 3 = 1 5 ! 3! (5 - 3) ! = 10 бр.

1 1 - 1 2 2 6 4 3 11 = (- 1) × 2 × 11 + 1 × 6 × 4 + (- 1) × 2 × 3 - (- 1) × 2 × 4 - 1 × 2 × 11 - (-1) × 6 × 3 = 0

1 - 1 - 2 2 6 0 4 11 1 = (- 1) × 6 × 1 + (- 1) × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 11 - (- 2) × 6 × 4 - (- 1) × 2 × 1 - (- 1) × 0 × 11 = 0

1 1 - 2 2 2 0 4 3 1 = (- 1) × 2 × 1 + 1 × 0 × 4 + (- 2) × 2 × 3 - (- 2) × 2 × 4 - 1 × 2 × 1 - (-1) × 0 × 3 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 4 11 - 7 = (- 1) × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 4 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 4 - ( - 1) × 2 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 11 = 0

1 - 1 0 2 6 - 4 3 11 - 7 = 1 × 6 × (- 7) + (- 1) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 11 - 0 × 6 × 3 - (- 1) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 11 = 0

1 - 2 0 2 0 - 4 3 1 - 7 = 1 × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 3 + 0 × 2 × 1 - 0 × 0 × 3 - (- 2) × 2 × (- 7) - 1 × (- 4) × 1 = 0

1 - 2 0 6 0 - 4 11 1 - 7 = (- 1) × 0 × (- 7) + (- 2) × (- 4) × 11 + 0 × 6 × 1 - 0 × 0 × 11 - ( - 2) × 6 × (- 7) - (- 1) × (- 4) × 1 = 0

Минорите от 3-ти порядък са нула, така че рангът на матрицата е два.

Отговор : Ранг (A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на ресни малки

Определение 3

Малък метод на ресни - метод, който ви позволява да получите резултат с по-малко изчислителна работа.

Ренни минор - минор M ok (k + 1) -ти ред на матрицата A, който граничи с минорния M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, която отговаря на минорното M ok "съдържа" матрицата, която съответства на минорната М.

Най-просто казано, матрицата, съответстваща на ограниченото второстепенно M o k, се получава от матрицата, съответстваща на граничното второстепенно M o k, чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.

Пример 3

Намерете ранга на матрица:

A = 1 2 0 - 1 3 - 2 0 3 7 1 3 4 - 2 1 1 0 0 3 6 5

За да намерим ранга, вземаме минор от 2-ри ред M = 2 - 1 4 1

Записваме всички граничещи непълнолетни:

1 2 - 1 - 2 0 7 3 4 1 , 2 0 - 1 0 3 7 4 - 2 1 , 2 - 1 3 0 7 1 4 1 1 , 1 2 - 1 3 4 1 0 0 6 , 2 0 - 1 4 - 2 1 0 3 6 , 2 - 1 3 4 1 1 0 6 5 .

За да обосноваме метода на граничещи минорите, представяме теорема, чието формулиране не изисква доказателствена основа.

Теорема 1

Ако всички минори, граничещи с k-тия минор на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минорни от порядък (k + 1) на матрица A са равни на нула.

Алгоритъм за действие :

За да намерите ранга на матрица, не е необходимо да преминавате през всички непълнолетни, просто погледнете границите.

Ако граничещите малки са равни на нула, тогава рангът на матрицата е нула. Ако има поне един минор, който не е равен на нула, тогава ние считаме граничещи минор.

Ако всички са нула, тогава ранг(A) е две. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула, тогава продължаваме да разглеждаме неговите граничещи минорни. И така нататък, по подобен начин.

Пример 4

Намерете ранга на матрица по метода на индикация на минорите

A = 2 1 0 - 1 3 4 2 1 0 - 1 2 1 1 1 - 4 0 0 2 4 - 14

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 от матрицата A не е равен на нула, тогава вземаме минор от 1-ви ред. Нека започнем да търсим граничещ минор, различен от нула:

2 1 4 2 = 2 x 2 - 1 x 4 = 0 2 0 4 1 = 2 x 1 - 0 x 4 = 2

Намерихме граничещ минор от 2-ри ред, който не е равен на нула 2 0 4 1 .

Нека изброим граничещите минори - (има (4 - 2) × (5 - 2) = 6 броя).

2 1 0 4 2 1 2 1 1 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 2 1 1 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 2 1 - 4 = 0 ; 2 1 0 4 2 1 0 0 2 = 0 ; 2 0 - 1 4 1 0 0 2 4 = 0 ; 2 0 3 4 1 - 1 0 2 - 14 = 0

Отговор : Ранг(A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус (с помощта на елементарни трансформации)

Припомнете си какви са елементарните трансформации.

Елементарни трансформации:

• чрез пренареждане на редовете (колони) на матрицата;
• чрез умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата по произволно ненулево число k;

чрез добавяне към елементите на всеки ред (колона) елементи, които съответстват на друг ред (колона) от матрицата, които се умножават по произволно число k.

Определение 5

Намиране на ранга на матрица по метода на Гаус - метод, базиран на теорията за еквивалентността на матриците: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B).

Валидността на това твърдение следва от дефиницията на матрицата:

• в случай на пермутация на редове или колони на матрица, нейната детерминанта променя знака. Ако е равно на нула, тогава при пермутиране на редове или колони остава равно на нула;
• в случай на умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което не е равно на нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, която се умножава от k;

в случай на добавяне към елементите на определен ред или колона от матрицата съответните елементи от друг ред или колона, които се умножават по числото k, не променя неговия детерминант.

Същността на метода на елементарните трансформации : редуцираме матрицата, чийто ранг се намира, до трапецовидна, използвайки елементарни трансформации.

За какво?

Рангът на матрици от този вид е доста лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, които имат поне един ненулев елемент. И тъй като рангът не се променя по време на елементарни трансформации, това ще бъде рангът на матрицата.

Нека илюстрираме този процес:

• за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-голям от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 2 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k

• за правоъгълни матрици A от порядък p по n, чийто брой редове е по-малък от броя на колоните:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 pb 1 p + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 pb 2 p + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ bpn , R ank (A) = p

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0

• за квадратни матрици A от порядък n по n:

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 n - 1 b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 n - 1 b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 1 bn - 0 0 n , R ank (A) = n

A ~ 1 b 12 b 13 ⋯ b 1 kb 1 k + 1 ⋯ b 1 n 0 1 b 23 ⋯ b 2 kb 2 k + 1 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 1 ⋯ bkn 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 0 ⋯ 0 0 ⋯ 0 , R ank (A) = k , k< n

Пример 5

Намерете ранга на матрица A с помощта на елементарни трансформации:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11

Как да решим?

Тъй като елементът a 11 е различен от нула, е необходимо да се умножат елементите от първия ред на матрицата A по 1 a 11 \u003d 1 2:

A = 2 1 - 2 6 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~

Към елементите на 2-ри ред добавяме съответните елементи от 1-ви ред, които се умножават по (-3). Към елементите на 3-ти ред добавяме елементите от 1-ви ред, които се умножават по (-1):

~ A (1) \u003d 1 1 2 - 1 3 3 0 0 - 1 1 - 1 2 - 7 5 - 2 4 - 15 7 2 - 4 11 ~ A (2) \u003d \u003d 1 1 2 - 1 3 3 + 1 (- 3) 0 + 1 2 (- 3) 0 + (- 1) (- 3) - 1 + 3 (- 3) 1 + 1 (- 3) - 1 + 1 2 (- 3) 2 + (- 1) (- 1) - 7 + 3 (- 1) 5 + 1 (- 5) - 2 + 1 2 (- 5) 4 + (- 1) (- 5) - 15 + 3 (- 5 ) 7 + 1 (- 7) 2 + 1 2 (- 7) - 4 + (- 1) (- 7) 11 + 3 (- 7) =

1 1 2 - 1 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10

Елементът a 22 (2) е различен от нула, така че умножаваме елементите на 2-рия ред на матрицата A по A (2) по a 1 a 22 (2) = - 2 3:

A (3) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 3 - 10 0 - 9 2 9 - 30 0 - 3 2 3 - 10 ~ A (4) \u003d 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 0 - 9 2 + 1 9 2 9 + (- 2) 9 2 - 30 + 20 3 × 9 2 0 - 3 2 + 1 3 2 3 + (- 2) 3 2 - 10 + 20 3 × 3 2 = = 1 1 2 - 1 3 0 1 - 2 20 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

• Към елементите от 3-тия ред на получената матрица добавяме съответните елементи от 2-рия ред, които се умножават по 3 2 ;
• към елементите от 4-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 9 2 ;
• към елементите на 5-ти ред - елементите от 2-ри ред, които се умножават по 3 2 .

Всички елементи на реда са нула. Така с помощта на елементарни трансформации сме свели матрицата до трапецовидна форма, от която се вижда, че R a n k (A (4)) = 2 . От това следва, че рангът на оригиналната матрица също е равен на две.

Коментирайте

Ако извършвате елементарни трансформации, тогава приблизителни стойности не са разрешени!

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Теорема (за правилността на дефиницията на ранговете).Нека всички матрични минорни A m × n (\displaystyle A_(m\times n))поръчка k (\displaystyle k)са равни на нула ( M k = 0 (\displaystyle M_(k)=0)). Тогава ∀ M k + 1 = 0 (\displaystyle \forall M_(k+1)=0)ако съществуват. Модел: / рамка

Свързани дефиниции

Имоти

• Теорема (на база минор):Позволявам r = звънене ⁡ A , M r (\displaystyle r=\име на оператор (ранг) A,M_(r))- базисен минор на матрицата A (\displaystyle A), тогава:
• Последствия:
• Теорема (за инвариантността на ранга при елементарни трансформации):Нека въведем нотация за матрици, получени една от друга чрез елементарни трансформации. Тогава твърдението е вярно: Ако A ∼ B (\displaystyle A\sim B), то техните редици са равни.
• Теорема Кронекер - Капели:Система от линейни алгебрични уравнения е последователна, ако и само ако рангът на нейната главна матрица е равен на ранга на нейната разширена матрица. По-специално:
  • Броят на основните променливи на системата е равен на ранга на системата.
  • Ще бъде дефинирана последователна система (нейното решение е уникално), ако рангът на системата е равен на броя на всички нейни променливи.
• Неравенство Силвестър:Ако Аи Бматрици с размери m x nи n x k, тогава

r a n k A B ≥ r a n k A + r a n k B − n (\displaystyle rankAB\geq rankA+rankB-n)

Това е специален случай на следното неравенство.

• Неравенство Фробениус:Ако AB, BC, ABC са добре дефинирани, тогава

r a n k A B C ≥ r a n k A B + r a n k B C − r a n k B (\displaystyle rankABC\geq rankAB+rankBC-rankB)

Линейна трансформация и ранг на матрицата

Позволявам A (\displaystyle A)- матрица на размерите m × n (\displaystyle m\times n)над полето C (\displaystyle C)(или R (\displaystyle R)). Позволявам T (\displaystyle T)е линейна трансформация, съответстваща на A (\displaystyle A)в стандартната база; означава, че T (x) = A x (\displaystyle T(x)=Ax). Матричен ранг A (\displaystyle A) е измерението на диапазона на трансформиране T (\displaystyle T).

Методи

Има няколко метода за намиране на ранга на матрица:

• Метод на елементарни трансформации

Рангът на матрицата е равен на броя на ненулевите редове в матрицата, след като тя е намалена до стъпаловидна форма с помощта на елементарни трансформации върху редовете на матрицата.

• Малък метод на ресни

Нека в матрицата A (\displaystyle A)открит ненулев минор k (\displaystyle k)-та поръчка M (\displaystyle M). Помислете за всички непълнолетни (k + 1) (\displaystyle (k+1))ред, включително (околните) непълнолетни M (\displaystyle M); ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е k (\displaystyle k). В противен случай сред граничещите непълнолетни има ненулева единица и цялата процедура се повтаря.

Определение. Матричен ранге максималният брой линейно независими редове, считани за вектори.

Теорема 1 за ранга на матрица. Матричен ранге максималният ред на ненулев минор на матрица.

Вече обсъдихме понятието непълнолетен в урока по детерминанти, а сега ще го обобщим. Нека вземем няколко реда и няколко колони в матрицата и това "нещо" трябва да е по-малко от броя на редовете и колоните на матрицата, а за редове и колони това "нещо" трябва да е същото число. След това в пресечната точка на колко реда и колко колони ще има матрица с по-малък ред от нашата оригинална матрица. Детерминантът на тази матрица ще бъде минор от k-ти порядък, ако споменатото „нещо“ (броят на редовете и колоните) е обозначено с k.

Определение.Незначителен ( r+1)-ти ред, вътре в който се намира избраният минор r-ти ред, се нарича граничещ за дадения минор.

Двата най-често използвани метода намиране на ранга на матрица. Това начин за заобикаляне на непълнолетнии метод на елементарни трансформации(по метода на Гаус).

Методът за граничене на минорите използва следната теорема.

Теорема 2 за ранга на матрица.Ако е възможно да се състави минор от елементите на матрицата rпорядък, който не е равен на нула, тогава рангът на матрицата е равен на r.

С метода на елементарните трансформации се използва следното свойство:

Ако трапецовидна матрица, еквивалентна на оригиналната, се получи чрез елементарни трансформации, тогава ранга на тази матрицае броят на редовете в него, с изключение на редовете, състоящи се изцяло от нули.

Намиране на ранга на матрица по метода на граничещи непълнолетни

Граничащ минор е минор от по-висок порядък спрямо дадения, ако този минор от по-висок ред съдържа даденото второстепенно.

Например, като се има предвид матрицата

Да вземем непълнолетен

кантът ще бъде такива незначителни:

Алгоритъм за намиране на ранга на матрицаследващия.

1. Откриваме минорите от втори ред, които не са равни на нула. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата ще бъде равен на единица ( r =1 ).

2. Ако съществува поне един минор от втори ред, който не е равен на нула, тогава съставяме граничещи минори от трети ред. Ако всички граничещи минорни от трети порядък са нула, тогава рангът на матрицата е два ( r =2 ).

3. Ако поне един от граничещите минори от трети ред не е равен на нула, тогава съставяме граничещите с него минорни. Ако всички граничещи минорери от четвърти ред са нула, тогава рангът на матрицата е три ( r =2 ).

4. Продължете, докато размерът на матрицата позволява.

Пример 1Намерете ранга на матрица

.

Решение. Минор от втори ред .

Ние го рамкираме. Ще има четирима граничещи непълнолетни:

,

,

По този начин всички граничещи минорни трети ред са равни на нула, следователно рангът на тази матрица е два ( r =2 ).

Пример 2Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 1, тъй като всички второстепенни минорни числа на тази матрица са равни на нула (в този, както и в случаите на граничещи непълнолетни в следващите два примера, скъпи студенти са приканени да проверят сами, може би използвайки правилата за изчисляване на детерминантите), а сред минорите от първи ред, тоест сред елементите на матрицата, няма равни на нула.

Пример 3Намерете ранга на матрица

Решение. Минорът от втори порядък на тази матрица е, а всички минорни от трети порядък на тази матрица са нула. Следователно рангът на тази матрица е два.

Пример 4Намерете ранга на матрица

Решение. Рангът на тази матрица е 3, защото единственият минор от трети порядък на тази матрица е 3.

Намиране на ранга на матрица по метода на елементарните трансформации (по метода на Гаус)

Още в пример 1 може да се види, че задачата за определяне на ранга на матрица по метода на граничещи минорите изисква изчисляване на голям брой детерминанти. Има обаче начин да се намали количеството на изчисленията до минимум. Този метод се основава на използването на елементарни матрични трансформации и се нарича още метод на Гаус.

Елементарните трансформации на матрица означават следните операции:

1) умножение на всеки ред или колона от матрицата с число, различно от нула;

2) добавяне към елементите на всеки ред или колона от матрицата на съответните елементи от друг ред или колона, умножени по същото число;

3) размяна на два реда или колони от матрица;

4) премахване на "нулеви" редове, тоест тези, всички елементи на които са равни на нула;

5) изтриване на всички пропорционални линии, с изключение на една.

Теорема.Елементарната трансформация не променя ранга на матрицата. С други думи, ако използваме елементарни трансформации от матрицата Аотидете на матрица Б, тогава .

Рангът на матрицата е важна числена характеристика. Най-характерният проблем, изискващ намиране на ранга на матрица, е проверката на съвместимостта на система от линейни алгебрични уравнения. В тази статия ще дадем концепцията за ранга на матрица и ще разгледаме методите за намирането й. За по-добро усвояване на материала ще анализираме подробно решенията на няколко примера.

Навигация в страницата.

Определяне на ранга на матрица и необходимите допълнителни понятия.

Преди да се изрече дефиницията на ранга на матрица, човек трябва да има добро разбиране на концепцията за минор, а намирането на минорите на матрица предполага способността да се изчисли детерминантата. Затова препоръчваме, ако е необходимо, да си припомним теорията на статията, методите за намиране на детерминанта на матрицата, свойствата на детерминантата.

Вземете матрица A от порядък. Нека k е някакво естествено число, което не надвишава най-малкото от числата m и n , т.е. .

Определение.

Малък k-ти редматрица A е детерминантата на квадратната матрица на порядъка, съставена от елементите на матрицата A, които са в предварително избрани k реда и k колони, като местоположението на елементите на матрицата A е запазено.

С други думи, ако изтрием (p–k) редове и (n–k) колони в матрица A и формираме матрица от останалите елементи, запазвайки подредбата на матричните елементи A, тогава детерминантата на получената матрица е ​минор от порядък k на матрица A.

Нека разгледаме дефиницията на матричен минор, използвайки пример.

Помислете за матрицата .

Нека запишем няколко минорни от първи ред на тази матрица. Например, ако изберем третия ред и втората колона на матрицата A, тогава нашият избор съответства на минор от първи ред . С други думи, за да получим този минор, зачеркнахме първия и втория ред, както и първата, третата и четвъртата колона от матрицата A и съставихме детерминантата от останалия елемент. Ако изберем първия ред и третата колона на матрицата A, тогава получаваме минор .

Нека илюстрираме процедурата за получаване на разглежданите непълнолетни от първи ред
и .

По този начин минорите от първи ред на матрица са самите матрични елементи.

Нека покажем няколко непълнолетни от втори ред. Изберете два реда и две колони. Например вземете първия и втория ред и третата и четвъртата колона. С този избор имаме второстепенен ред . Този минор може да се формира и чрез изтриване на третия ред, първата и втората колона от матрица A.

Друг минор от втори ред на матрица A е .

Нека илюстрираме конструкцията на тези второстепенни минорни
и .

По подобен начин могат да се намерят минорите от трети порядък на матрицата A. Тъй като в матрица А има само три реда, ние ги избираме всички. Ако изберем първите три колони за тези редове, тогава получаваме минор от трети порядък

Може да се конструира и чрез изтриване на последната колона от матрицата A.

Друго второстепенно лице от трети ред е

получено чрез изтриване на третата колона от матрицата A.

Ето чертеж, показващ конструкцията на тези непълнолетни от трети порядък
и .

За дадена матрица A няма минорни от порядък по-висок от третия, тъй като .

Колко k-ти минора от порядъка на матрицата A съществуват?

Броят на ред k минорите може да се изчисли като , където и - броят на комбинациите от p до k и от n до k, съответно.

Как да построим всички минорни от порядък k на матрица A от порядък p на n?

Нуждаем се от набор от номера на редове на матрица и набор от номера на колони. Записване на всичко комбинации от p елементи от k(те ще съответстват на избраните редове от матрицата A при конструиране на минор от порядък k). Към всяка комбинация от номера на редове последователно добавяме всички комбинации от n елемента по k номера на колони. Тези набори от комбинации от номера на редове и колони на матрица A ще помогнат за съставянето на всички минорни числа от ред k.

Да вземем пример.

Пример.

Намерете всички второстепенни минорни числа на матрицата.

Решение.

Тъй като редът на оригиналната матрица е 3 на 3, тогава общият минор от втори ред ще бъде .

Нека запишем всички комбинации от 3 до 2 номера на реда на матрицата A: 1, 2; 1, 3 и 2, 3. Всички комбинации от номера на колони 3 по 2 са 1, 2; 1, 3 и 2, 3.

Вземете първия и втория ред на матрица А. Избирайки първата и втората колона за тези редове, първата и третата колона, втората и третата колона, получаваме съответно второстепенните

За първия и третия ред, с подобен избор на колони, имаме

Остава да добавите първата и втората, първа и трета, втора и трета колона към втория и третия ред:

И така, всички девет минора от втори порядък на матрицата A са намерени.

Сега можем да преминем към определяне на ранга на матрицата.

Определение.

Матричен ранге най-високият порядък на ненулевата минорна матрица.

Рангът на матрицата A се обозначава като Rank(A) . Можете също да видите обозначенията Rg(A) или Rang(A) .

От дефинициите на ранга на матрица и минора на матрица можем да заключим, че рангът на нулева матрица е равен на нула, а рангът на ненулева матрица е поне един.

Намиране на ранга на матрица по дефиниция.

И така, първият метод за намиране на ранга на матрица е второстепенен метод на изброяване. Този метод се основава на определяне на ранга на матрицата.

Нека трябва да намерим ранга на матрица A от ред.

Опишете накратко алгоритъмрешение на този проблем чрез метода на изброяване на непълнолетните.

Ако има поне един матричен елемент, който е различен от нула, тогава рангът на матрицата е поне равен на единица (тъй като има минор от първи ред, който не е равен на нула).

След това преглеждаме минорите от втори ред. Ако всички минорни от втори ред са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако съществува поне един ненулев минор от втори ред, тогава преминаваме към изброяването на минорите от трети ред и рангът на матрицата е най-малко равен на две.

По същия начин, ако всички минорни от трети ред са нула, тогава рангът на матрицата е два. Ако има поне един ненулев минор от трети порядък, тогава рангът на матрицата е най-малко три и преминаваме към изброяването на минорите от четвърти ред.

Забележете, че рангът на матрица не може да надвишава най-малкото от p и n.

Пример.

Намерете ранга на матрица .

Решение.

Тъй като матрицата не е нула, нейният ранг е не по-малък от единица.

Минор от втори ред е различно от нула, следователно рангът на матрицата A е най-малко два. Преминаваме към изброяването на непълнолетните от трети ред. Всички тях неща.

Всички минорни от трети ред са равни на нула. Следователно рангът на матрицата е два.

Отговор:

Ранг(A) = 2.

Намиране на ранга на матрица по метода на ресни малки.

Има и други методи за намиране на ранга на матрица, които ви позволяват да получите резултата с по-малко изчислителна работа.

Един от тези методи е ресни второстепенен метод.

Да се ​​справим с понятието граничещ непълнолетен.

Казва се, че минорното M ok от (k+1)-ия ред на матрицата A граничи с минорното M от порядък k на матрицата A, ако матрицата, съответстваща на минорното M ok „съдържа“ матрицата, съответстваща на минорната М .

С други думи, матрицата, съответстваща на ограниченото второстепенно M, се получава от матрицата, съответстваща на граничното второстепенно M OK, чрез изтриване на елементите на един ред и една колона.

Например, помислете за матрицата и вземете непълнолетен от втори ред. Нека запишем всички граничещи непълнолетни:

Методът на граничещи минорите е обоснован със следната теорема (представяме нейната формулировка без доказателство).

Теорема.

Ако всички минори, граничещи с k-тия минор на матрица A от порядък p по n, са равни на нула, тогава всички минорни от порядък (k + 1) на матрица A са равни на нула.

По този начин, за да се намери ранга на матрица, не е необходимо да се изброяват всички малки, които са достатъчно гранични. Броят на минорите, граничещи с k-тия минор на матрицата A от порядъка, се намира по формулата . Забележете, че няма повече минорни числа, граничещи с минорите на k-тия порядък на матрицата A, отколкото има (k + 1)-ти минори на матрицата A. Следователно, в повечето случаи използването на метода за граничене на непълнолетни е по-изгодно от простото изброяване на всички непълнолетни.

Нека да продължим с намирането на ранга на матрица по метода на минорните ръбове. Опишете накратко алгоритъмтози метод.

Ако матрицата A е различна от нула, тогава като минор от първи ред приемаме всеки елемент от матрицата A, който е различен от нула. Ние считаме неговите граничещи непълнолетни. Ако всички те са равни на нула, тогава рангът на матрицата е равен на единица. Ако има поне един граничещ минор, различен от нула (нейният ред е равен на два), тогава преминаваме към разглеждането на неговите граничещи минорни. Ако всички са нула, тогава Rank(A) = 2. Ако поне един граничещ минор е различен от нула (нейният ред е равен на три), тогава разглеждаме неговите граничещи минорни. И т.н. В резултат на това Rank(A) = k, ако всички граничещи минорери от (k + 1)-ия ред на матрицата A са равни на нула, или Rank(A) = min(p, n), ако съществува не- нулев минор, граничещ с минор на ред (min( p, n) – 1) .

Нека анализираме метода за гранични малки за намиране на ранга на матрица, като използваме пример.

Пример.

Намерете ранга на матрица по метода на граничните непълнолетни.

Решение.

Тъй като елементът a 1 1 от матрицата A е различен от нула, ние го приемаме като минор от първи ред. Нека започнем да търсим граничещ минор, различен от нула:

Открит е ненулев граничещ минор от втори ред. Нека изброим неговите граничещи непълнолетни (техн неща):

Всички минорни, граничещи с второстепенния минор, са равни на нула, следователно рангът на матрица A е равен на две.

Отговор:

Ранг(A) = 2.

Пример.

Намерете ранга на матрица с помощта на граничещи непълнолетни.

Решение.

Като ненулев минор от първи ред приемаме елемента a 1 1 = 1 от матрицата A . Ограничаването му второстепенно не е равно на нула. Тази непълнолетна граничи с непълнолетна от трети порядък
. Тъй като тя не е равна на нула и за нея няма граничещ минор, рангът на матрицата A е равен на три.

Отговор:

Ранг(A) = 3.

Намиране на ранга с помощта на елементарни трансформации на матрицата (по метода на Гаус).

Помислете за друг начин за намиране на ранга на матрица.

Следните матрични трансформации се наричат ​​елементарни:

• пермутация на редовете (или колоните) на матрицата;
• умножение на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, което е различно от нула;
• добавяне към елементите на произволен ред (колона) от съответните елементи на друг ред (колона) на матрицата, умножено по произволно число k.

Матрица B се нарича еквивалентна на матрица A, ако B се получава от A с помощта на краен брой елементарни трансформации. Еквивалентността на матриците се обозначава със символа "~", тоест се пише A ~ B.

Намирането на ранга на матрица с помощта на елементарни матрични трансформации се основава на твърдението: ако матрица B е получена от матрица A с помощта на краен брой елементарни трансформации, тогава Rank(A) = Rank(B) .

Валидността на това твърдение следва от свойствата на детерминанта на матрицата:

• Когато редовете (или колоните) на матрицата са пермутирани, нейният детерминант променя знака. Ако е равно на нула, тогава при пермутиране на редовете (колони) остава равно на нула.
• При умножаване на всички елементи от всеки ред (колона) на матрицата с произволно число k, различно от нула, детерминантата на получената матрица е равна на детерминантата на оригиналната матрица, умножена по k. Ако детерминантът на оригиналната матрица е равен на нула, тогава след умножаване на всички елементи на всеки ред или колона по числото k, детерминантът на получената матрица също ще бъде равен на нула.
• Добавянето към елементите на определен ред (колона) от матрицата на съответните елементи от друг ред (колона) на матрицата, умножени по някакво число k, не променя нейната детерминанта.

Същността на метода на елементарните трансформациие да приведем матрицата, чийто ранг трябва да намерим, до трапец (в конкретен случай до горен триъгълен) с помощта на елементарни трансформации.

За какво е? Рангът на матрици от този вид е много лесен за намиране. Той е равен на броя на редовете, съдържащи поне един ненулев елемент. И тъй като рангът на матрицата не се променя по време на елементарни трансформации, получената стойност ще бъде рангът на оригиналната матрица.

Даваме илюстрации на матрици, една от които трябва да се получи след трансформации. Тяхната форма зависи от реда на матрицата.

Тези илюстрации са шаблони, към които ще трансформираме матрицата A.

Да опишем алгоритъм на метода.

Да предположим, че трябва да намерим ранга на ненулева матрица A от порядък (p може да бъде равно на n).

Така, . Нека умножим всички елементи от първия ред на матрица A по . В този случай получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я A (1) :

Към елементите на втория ред на получената матрица A (1) добавяме съответните елементи от първия ред, умножени по . Към елементите на третия ред добавете съответните елементи от първия ред, умножени по . И така до p-тия ред. Получаваме еквивалентна матрица, обозначаваме я A (2) :

Ако всички елементи на получената матрица, които са в редове от втория до p-тия, са равни на нула, тогава рангът на тази матрица е равен на единица и следователно рангът на оригиналната матрица е равно на едно.

Ако има поне един ненулев елемент в редовете от втория до p-тия, тогава продължаваме да извършваме трансформации. Освен това, ние действаме по абсолютно същия начин, но само с частта от матрицата А, отбелязана на фигурата (2)

Ако , тогава пренареждаме редовете и (или) колоните на матрицата A (2), така че "новият" елемент да стане различен от нула.

Числото r се нарича ранг на матрицата A, ако:
1) матрицата A съдържа ненулев минор от порядък r;
2) всички минорни от порядък (r + 1) и по-високи, ако съществуват, са равни на нула.
В противен случай рангът на матрицата е най-високият ред на ненулев минор.
Обозначения: rangA , r A или r .
От дефиницията следва, че r е цяло положително число. За нулева матрица рангът се счита за нула.

Възлагане на услугата. Онлайн калкулаторът е предназначен за намиране матричен ранг. Решението се запазва във формат Word и Excel. виж пример за решение.

Инструкция. Изберете измерението на матрицата, щракнете върху Напред.

Определение . Нека е дадена матрица с ранг r. Всяка минорна матрица, различна от нула и имаща порядък r, се нарича основна, а редовете и колоните на нейните компоненти се наричат ​​основни редове и колони.
Съгласно тази дефиниция, матрицата A може да има няколко базисни минор.

Рангът на матрицата за идентичност E е n (брой редове).

Пример 1 . Дадени са две матрици, и техните непълнолетни , . Кое от тях може да се вземе за основа?
Решение. Минорното M 1 =0, така че не може да бъде основа за нито една от матриците. Минор M 2 =-9≠0 и има ред 2, така че може да се вземе като базисни матрици на A или / и B, при условие че те имат ранг, равен на 2. Тъй като detB=0 (като детерминанта с две пропорционални колони), тогава rangB=2 и M 2 могат да бъдат взети като базисен минор на матрица B. Рангът на матрица A е 3, поради факта, че detA=-27≠ 0 и следователно редът на базисния минор на тази матрица трябва да бъде 3, т.е. M 2 не е основа за матрицата A . Забележете, че матрицата A има уникален базисен минор, равен на детерминантата на матрицата A.

Теорема (на база минор). Всеки ред (колона) на матрица е линейна комбинация от основните й редове (колони).
Следствия от теоремата.

1. Всички (r+1) колони (редове) на матрица с ранг r са линейно зависими.
2. Ако рангът на една матрица е по-малък от броя на нейните редове (колони), тогава нейните редове (колони) са линейно зависими. Ако rangA е равен на броя на неговите редове (колони), тогава редовете (колони) са линейно независими.
3. Детерминантата на матрица A е равна на нула, ако и само ако нейните редове (колони) са линейно зависими.
4. Ако друг ред (колона), умножен по произволно число, различно от нула, се добави към ред (колона) от матрица, тогава рангът на матрицата няма да се промени.
5. Ако зачеркнете ред (колона) в матрицата, която е линейна комбинация от други редове (колони), тогава рангът на матрицата няма да се промени.
6. Рангът на матрицата е равен на максималния брой на нейните линейно независими редове (колони).
7. Максималният брой линейно независими редове е същият като максималния брой линейно независими колони.

Пример 2. Намерете ранга на матрица .
Решение. Въз основа на дефиницията на ранга на матрица, ще търсим минор от най-висок порядък, който е различен от нула. Първо, трансформираме матрицата в по-проста форма. За да направите това, умножете първия ред на матрицата по (-2) и добавете към втория, след това го умножете по (-1) и добавете към третия.