Математическо очакване за случайна променлива x. Математическо очакване (средно население) е

Както вече е известно, законът за разпространение напълно характеризира случайна сума. Въпреки това, законът на разпределението е неизвестен и трябва да бъде ограничен до по-малко информация. Понякога е още по-изгодно да се използват номера, които описват обща стойност на случайна стойност; Такива номера се наричат числени характеристики на случайната променлива.

Важна цифрова характеристика включва математическо очакване.

Математическите очаквания са приблизително равни на средната стойност на случайната променлива.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива Обадете се на размера на всички възможни стойности за техните вероятности.

Ако случайната стойност се характеризира с ограничен брой разпределение:

Х.	x 1.	x 2.	x 3.	…	x p.
R.	p 1.	р 2.	р 3.	…	напр.

това математическо очакване M (x) Определено по формулата:

Математическото очакване на непрекъсната произволна променлива се определя от равенството:

където - вероятностната плътност на случайната променлива Х..

Пример 4.7. Намерете математическо очакване за броя на точките, които падат при хвърляне на игра.

Решение:

Случайна стойност Х. Взема стойности 1, 2, 3, 4, 5, 6. Ще направим закона за нейното разпространение:

Х.
R.

Тогава математическото очакване е:

Свойства на математическите очаквания:

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на най-голяма константа:

M (c) \u003d s.

2. Постоянен множител може да бъде направен за знак за математическо очакване:

M (cx) \u003d cm (x).

3. Математическото очакване за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта на техните математически очаквания:

M (xy) \u003d m (x) m (y).

Пример 4.8.. Независими случайни променливи Х. и Y. определени от следните закони за разпределение:

Х.					Y.
R.	0,6	0,1	0,3		R.	0,8	0,2

Намерете математическото очакване на произволната променлива XY.

Решение.

Намерете математическите очаквания на всяка от тези ценности:

Случайни променливи Х. и Y. независимо, така желаното математическо очакване:

M (xy) \u003d m (x) m (y) \u003d

Следствие. Математическите очаквания за работата на няколко взаимно независими случайни променливи е равна на продукта на техните математически очаквания.

4. Математическите очаквания за сумата от две случайни променливи е равна на сумата на математическите очаквания на условията:

M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Следствие.Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равна на сумата на математическите очаквания на термините.

Пример 4.9. 3 изстрела се произвеждат с вероятности в целта равни p 1. = 0,4; р 2.\u003d 0.3 I. р 3. \u003d 0.6. Намерете математическото очакване за общия брой хитове.

Решение.

Броя на ударите, когато първият изстрел е случайна стойност X 1.което може да отнеме само две стойности: 1 (хит) с вероятност p 1. \u003d 0.4 и 0 (приплъзване) с вероятност q 1. = 1 – 0,4 = 0,6.

Математическото очакване за броя на хитовете при първия изстрел е равен на вероятността от хит:

По същия начин ние намираме математически очаквания за броя на хитовете във втория и третия изстрел:

M (x 2) \u003d 0.3 I. M (x 3) \u003d0,6.

Общият брой на хитове също е случайна стойност, състояща се от количеството хитове във всеки от трите изстрела:

X \u003d x 1 + x 2 + x 3.

Желаното математическо очакване Х. Намерете на теоремата за математика, чакайки сумата.

Основните числени характеристики на дискретни и непрекъснати случайни променливи: математическо очакване, дисперсия и средно квадратично отклонение. Техните свойства и примери.

Законът за разпределение (функция за разпространение и редица дистрибуция или плътността на вярата) напълно описват поведението на случайна променлива. Но в редица задачи е достатъчно да знаете някои числени характеристики на изследваната стойност (например средната му стойност и евентуално отклонение от него), за да отговорят на ума. Помислете за основните числени характеристики на дискретни случайни променливи.

Определение 7.1.Математическо очакванедискретната случайна променлива е размерът на възможните му стойности към вероятността, съответстваща на тях:

М.(Х.) = х. 1 r. 1 + х. 2 r. 2 + … + x p P.(7.1)

Ако броят на възможните случайни стойности е безкраен, тогава, ако получената серия се сгъва абсолютно.

Забележка 1.Понякога се нарича математическо очакване среднопретегленаТъй като е приблизително равна на средните аритметични наблюдавани стойности на произволната променлива с голям брой експерименти.

Бележка 2.От определянето на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от възможно най-ниската стойност на случайната променлива и не повече от най-големите.

Бележка 3.Математичното очакване на дискретната случайна променлива е nALESHA.(постоянен. В бъдеще ще видим, че това е вярно за непрекъснати случайни променливи.

Пример 1. Намерете математическо очакване за случайна променлива Х. - Брой на стандартните части сред трите, избрани от партията в 10 части, сред които са 2 дефектни. Направете редица дистрибуция Х.. От условията на задачата следва това Х. може да приеме стойности 1, 2, 3. След това

Пример 2. Определете математическото очакване на случайна променлива Х. - броя на кориците на монетите преди първото появяване на герба. Тази стойност може да отнеме безкраен брой стойности (много възможни стойности има много естествени числа). Редица неговото разпределение има формата:

Х.			…	пс	…
r.	0,5	(0,5) 2	…	(0,5) Пс	…

+ (При изчисляване, количеството безкрайно намаляваща геометрична прогресия се използва два пъти:, от където).

Свойства на математическите очаквания.

1) Математичното очакване е постоянно равно на най-голямото:

М.(От) = От.(7.2)

Доказателства. Ако разгледаме От като дискретна случайна стойност, която отнема само една стойност От С вероятност r. \u003d 1, тогава М.(От) = От?1 = От.

2) Постоянен мултипликатор може да бъде представен за знак за математическо очакване:

М.(Ск.) = СМ(Х.). (7.3)

Доказателства. Ако случайната стойност Х. Задайте редица дистрибуция

Тогава М.(Ск.) = Ск. 1 r. 1 + Ск. 2 r. 2 + … + Cx p r p = От( Х. 1 r. 1 + х. 2 r. 2 + … + x p P.) = СМ(Х.).

Дефиниция 7.2.Се наричат \u200b\u200bдве случайни променливи независимАко законът за разпределение на един от тях не зависи от получените други ценности. Иначе случайни променливи зависим.

Дефиниция 7.3.Име продуктът на независими случайни променливи Х. и Y. Случайна величина Xy.Възможните стойности на които са равни на произведенията на всички възможни стойности. Х. за всички възможни стойности Y.и съответната вероятност за вероятностите на факторите са равни.

3) Математическите очаквания за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта на техните математически очаквания:

М.(Xy.) = М.(Х.)М.(Y.). (7.4)

Доказателства. За да се опростят изчисленията, ние ще се ограничим до случая, когато Х. и Y. Вземете само две възможни стойности:

Следователно, М.(Xy.) = х. 1 y. 1 ?пс. 1 г. 1 + х. 2 y. 1 ?пс. 2 г. 1 + х. 1 y. 2 ?пс. 1 г. 2 + х. 2 y. 2 ?пс. 2 г. 2 = y. 1 г. 1 (х. 1 пс. 1 + х. 2 пс. 2) + + y. 2 г. 2 (х. 1 пс. 1 + х. 2 пс. 2) = (y. 1 г. 1 + y. 2 г. 2) (х. 1 пс. 1 + х. 2 пс. 2) = М.(Х.)?М.(Y.).

Забележка 1.По същия начин е възможно да се докаже това свойство за повече възможни стойности на факторите.

Бележка 2. Имот 3 е валиден за продукта от произволен брой независими случайни променливи, които се доказват от метода на математическа индукция.

Определение 7.4.Определи количеството случайни променливи Х. и Y. като случайна променлива X + y., възможните стойности на които са равни на сумите на всяка възможна стойност. Х. С всяка възможна стойност Y.Шпакловка Вероятностите на такива суми са равни на произведенията на вероятностите на термините (за зависимите случайни променливи - вероятността самостоятелно само на условната вероятност за втория).

4) Математическите очаквания за сумата от две случайни променливи (зависими или независими) е равна на сумата на математическите очаквания на условията на условията:

М. (X + Y.) = М. (Х.) + М. (Y.). (7.5)

Доказателства.

Ние отново ще разгледаме случайни променливи, дадени от редиците за разпространение, дадени в доказателството на имота 3. След това възможните стойности X + Y.. \\ t х. 1 + w. 1 , х. 1 + w. 2 , х. 2 + w. 1 , х. 2 + w. 2. Означават те вероятността, съответно, както r. 11 , r. 12 , r. 21 I. r. 22. намирам М.(Х.+Y.) = (х. 1 + y. 1)пс. 11 + (х. 1 + y. 2)пс. 12 + (х. 2 + y. 1)пс. 21 + (х. 2 + y. 2)пс. 22 =

= х. 1 (пс. 11 + пс. 12) + х. 2 (пс. 21 + пс. 22) + y. 1 (пс. 11 + пс. 21) + y. 2 (пс. 12 + пс. 22).

Доказваме това r. 11 + r. 22 = r. един. Всъщност, събитие, състоящо се в това X + Y.вземете ценности х. 1 + w. 1 или х. 1 + w. 2 и вероятността от която е равна r. 11 + r. 22, съвпада с събитието, заключавайки това Х. = х. 1 (вероятността му - r. един). По същия начин, пристанището е това пс. 21 + пс. 22 = r. 2 , пс. 11 + пс. 21 = г. 1 , пс. 12 + пс. 22 = г. 2. Това означава

М.(X + Y.) = х. 1 пс. 1 + х. 2 пс. 2 + y. 1 г. 1 + y. 2 г. 2 = М. (Х.) + М. (Y.).

Коментар. От имота 4 следва, че сумата на произволен брой променливи е равна на сумата на математическите очаквания на компонентите.

Пример. Намерете математическо очакване на размера на точките, отхвърлени, като хвърлите пет игрални кости.

Ще намерим математическото очакване за броя на точките, които са спаднали при хвърлянето на една кост:

М.(Х. 1) \u003d (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) Същият номер е равен на математическото очакване на броя на точките, които са спаднали върху всяка кост. Следователно по собственост 4 М.(Х.)=

Дисперсия.

За да има представа за поведението на случайна променлива, не е достатъчно да знаят само нейното математическо очакване. Помислете за две случайни променливи: Х. и Y.посочени от разпределението на формуляра

Х.
R.	0,1	0,8	0,1

Y.
Пс.	0,5	0,5

намирам М.(Х.) = 49?0,1 + 50?0,8 + 51?0,1 = 50, М.(Y.) \u003d 0,5 + 100? 0.5 \u003d 50. Както може да се види, мат-матричните очаквания на двете стойности са равни, но ако за X М.(Х.) Добре описва висящата произволна променлива, като е най-вероятната възможна стойност (при всякакви други стойности на малко по-различно от 50), след това стойностите Y. по същество от тях М.(Y.). Следователно, заедно с математическото очакване, е желателно да се знае колко е отклонена от случайна вариация. Характеристиките на този индикатор служи като дисперсия.

Дефиниция 7.5.Дисперсия (разсейване)случайна променлива се нарича математическо очакване на площада на неговото отклонение от нейното математическо очакване:

Д.(Х.) = М. (X - M.(Х.)) ². (7.6)

Намерете дисперсията на случайна променлива Х. (Брой стандартни части сред избрани) в пример 1 от тази лекция. Изчислете стойностите на квадрата на отклонението на всеки може би поради математическото очакване:

(1 - 2.4) 2 \u003d 1.96; (2 - 2.4) 2 \u003d 0.16; (3 - 2.4) 2 \u003d 0.36. Следователно,

Забележка 1.При определянето на дисперсията не е отклонението от средното и площада му. Това е направено, така че отклоненията от различни признаци да не се компенсират един за друг.

Бележка 2.От дефиницията на дисперсията следва, че тази стойност взема само неотрицателни стойности.

Бележка 3.Има по-удобна формула за изчисляване на дисперсията, чиято справедливост се доказва в следната теорема:

Теорема 7.1.Д.(Х.) = М.(Х.²) - М.²( Х.). (7.7)

Доказателства.

Използване на какво М.(Х.) - Постоянна стойност и свойствата на математическите очаквания, ние трансформатираме формула (7.6) на ум:

Д.(Х.) = М.(X - M.(Х.))² = М.(Х.² - 2. X? M.(Х.) + М.²( Х.)) = М.(Х.²) - 2 М.(Х.)?М.(Х.) + М.²( Х.) =

= М.(Х.²) - 2 М.²( Х.) + М.²( Х.) = М.(Х.²) - М.²( Х.), което се изискваше да докаже.

Пример. Изчислете дисперсията на случайни променливи Х. и Y.обсъдени в началото на този раздел. М.(Х.) = (49 2 ?0,1 + 50 2 ?0,8 + 51 2 ?0,1) - 50 2 = 2500,2 - 2500 = 0,2.

М.(Y.) \u003d (0 2 ° 0.5 + 100²? 0.5) - 50² \u003d 5000 - 2500 \u003d 2500. Така че дисперсията на втората произволна променлива е няколко хиляди пъти повече дисперсия на първия. По този начин, дори да не знаят законите на разпределението на тези ценности, според известните стойности на дисперсията, можем да твърдим това Х. малко се отклонявайте от неговото математическо очакване, докато за Y. Това отклонение е много съществено.

Дисперсия на свойствата.

1) разпръскване на постоянно От равен на нула:

Д. (° С.) = 0. (7.8)

Доказателства. Д.(° С.) = М.((СМ.(° С.))²) = М.((C - C.)²) = М.(0) = 0.

2) Може да се направи постоянен мултипликатор за дисперсионен знак, издигайки го на квадрат:

Д.(Cx.) = ° С.² Д.(Х.). (7.9)

Доказателства. Д.(Cx.) = М.((CX - M.(Cx.))²) = М.((Cx - cm.(Х.))²) = М.(° С.²( X - M.(Х.))²) =

= ° С.² Д.(Х.).

3) Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на размера на техните дисперсии: \\ t

Д.(X + Y.) = Д.(Х.) + Д.(Y.). (7.10)

Доказателства. Д.(X + Y.) = М.(Х.² + 2. Xy. + Y.²) - ( М.(Х.) + М.(Y.))² = М.(Х.²) + 2 М.(Х.)М.(Y.) +

+ М.(Y.²) - М.²( Х.) - 2М.(Х.)М.(Y.) - М.²( Y.) = (М.(Х.²) - М.²( Х.)) + (М.(Y.²) - М.²( Y.)) = Д.(Х.) + Д.(Y.).

Следствие 1.Дисперсията на сумата от няколко взаимно независими случайни променливи е равна на размера на техните дисперсии.

Следствие 2.Дисперсията на количеството постоянни и случайни променливи е равна на дисперсията на случайна променлива.

4) Дисперсията на разликата в две независими случайни променливи е равна на сумата на техните дисперсии: \\ t

Д.(X - Y.) = Д.(Х.) + Д.(Y.). (7.11)

Доказателства. Д.(X - Y.) = Д.(Х.) + Д.(-Y.) = Д.(Х.) + (-1) ² Д.(Y.) = Д.(Х.) + Д.(Х.).

Дисперсията дава средния квадрат на отклонение на случайна променлива от средното; За да се оцени самата отклонение, стойността, наречена със средно квадратично отклонение.

Дефиниция 7.6.Средно квадратично отклонение Σ Случайна променлива Х. Наречен квадрат от дисперсия:

Пример. В предишния пример, средно квадратични отклонения Х. и Y. равни съответно

Стойности.

Основните числени характеристики на случайност

Законът за плътността на разпределението характеризира случайна сума. Но често той е неизвестен и трябва да бъде ограничен до по-малко информация. Понякога е още по-изгодно да се използват номера, които описват обща стойност на случайна стойност. Такива номера се наричат числени характеристики случайна величина. Помислете за основната част от тях.

Определение:Математическото очакване на M (x) дискретна случайна променлива се нарича количеството произведения на всички възможни стойности на тази стойност на тяхната вероятност:

Ако дискретна случайност Х. след това отнема броя на възможните стойности

Освен това математическите очаквания съществуват, ако тази серия е абсолютно сближана.

От определението следва това M (x)дискретката случайната променлива е не-случайната (постоянна) стойност.

Пример: Нека бъде Х. - броя на събитията НО В един тест, P (a) \u003d p. Необходимо е да се намери математическо очакване Х..

Решение:Направете табличен закон за разпределение Х.:

Х.	0	1
Пс.	1 - P.	пс.

Ние намираме математическо очакване:

По този начин, математическото очакване на броя на събитията в един тест е равно на вероятността от това събитие..

Произхода на термина очаквана стойност Тя е свързана с първоначалния период на появата на теория на вероятностите (XVI-XVIIIV.), Когато площта на нейното използване е ограничена до хазарта. Играчът се интересуваше от средната стойност на очакваните печалби, т.е. Математическо изчакване за победа.

Обмисли вероятност на математическите очаквания.

Нека произведени н. Тестове, при които произволна стойност Х. Приет m 1.веднъж стойност x 1., m 2. Веднъж стойност x 2.и така нататък, и накрая прие тя m K. Веднъж стойност x K.освен това m 1 + m 2 + ... + + m k \u003d n.

След това сумата на всички стойности, приети от случайна променлива Х., равно x 1. m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m K..

Средната аритметична стойност на всички стойности, приети от случайна променлива Х.,по равно:

тъй като - относителна честота на стойността за всяка стойност i \u003d 1, ..., k.

Както знаете, ако броят на тестовете н. достатъчно голям, тогава относителната честота е приблизително равна на вероятността от събитието, следователно,

По този начин, .

Изход: Математическото изчакване на дискретна случайна променлива е приблизително равносторно (по-точно, толкова по-голям е броят на тестовете) средните аритметични стойности на произволната променлива.

Помислете за основните свойства на математическите очаквания.

Имот 1: Математическото очакване на постоянна стойност е равно на най-постоянната стойност:

M (c) \u003d s.

Доказателство: Постоянен От може да се има предвид, че има една възможна стойност От и го приема с вероятност p \u003d 1. Следователно, M (c) \u003d с 1 \u003d S.

Определи продуктът на постоянна стойност с дискретно случайно количество x като дискретно случайно количество Ск., възможните стойности на които са равни на произведенията на постоянното От За възможни стойности Х. Ск. равен на вероятностите на съответните възможни стойности Х.:

Ск.	° С.	° С.	…	° С.
Х.			…
R.			…

Имот 2: Постоянен множител може да бъде направен за знак за математическо очакване:

M (cx) \u003d cm (x).

Доказателство:Нека случайност Х. зададе закона за разпространението на вероятностите:

Х.			…
Пс.			…

Имаме правото на визуализабоспособността на рандуалната стойност Cx.:

CX.	° С.	° С.	…	° С.
Пс.			…

M (cx) = ° С. + ° С. = ° С. + ) \u003d C. M (x).

Определение:Две случайни променливи се наричат \u200b\u200bнезависими, ако законът на разпределението на един от тях не зависи от какви опции другата стойност е получена. В противен случай зависимите променливи зависят.

Определение:Няколко случайни променливи се наричат \u200b\u200bвзаимно независими, ако законите на разпределението на произволен брой от тях не зависят от възможните стойности на останалите приети стойности.

Определи производство на независими дискретни случайни променливи X и Y като дискретно случайно количество Xy., възможните стойности на които са равни на произведенията на всяка възможна стойност. Х. за всяка възможна стойност Y.. Вероятности за възможни стойности Xy. равен на произведенията на вероятностите на възможните стойности на факторите.

Нека разпространението на случайни променливи Х. и Y:

Х.			…
Пс.			…

Y.			…
Г.			…

След това разпределението на случайната променлива Xy.той има формата:

Xy.			…
Пс.			…

Някои произведения могат да бъдат равни. В този случай вероятността за възможната стойност на продукта е равна на сумата на съответните вероятности. Например, ако \u003d, тогава вероятността за стойност е равна

Имот 3: Математическото очакване за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта на техните математически очаквания:

M (xy) \u003d m (x) M (y).

Доказателство:Нека независимите случайни променливи Х. и Y. Законите за разпространението на вероятностите се задават:

Х.
Пс.

Y.
Г.

За да се опростят изчисленията, ние ще се ограничим до малък брой възможни стойности. Като цяло доказателството е подобно.

Да направи закон за разпространението на случайна променлива Xy.:

Xy.
Пс.

M (xy) \u003d

M (x) M (y).

Следствие: Математическите очаквания за работата на няколко взаимно независими случайни променливи е равна на продукта на техните математически очаквания.

Доказателство: Доказваме три взаимно независими случайни променливи Х., Y., Z.. Случайни променливи Xy.и Z. Независимо, тогава получаваме:

M (xyz) \u003d m (xy Z) \u003d m (xy) M (z) \u003d m (x) M (y) M (z).

За произволен брой взаимно независими случайни променливи, доказателството се извършва по метода на математическа индукция.

Пример:Независими случайни величини Х. и Y.

Х.	5	2
Пс.	0,6	0,1	0,3

Y.	7	9
Г.	0,8	0,2

Необходим намерен M (xy).

Решение: Като случайни променливи Х.и Y. Независим, Т. M (xy) \u003d m (x) M (y) \u003d (5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

Определи количеството дискретни случайни променливи X и Yкато дискретни произволен размер X + Y., възможните стойности на които са равни на сумите на всяка възможна стойност. Х. С всяка възможна стойност Y.. Вероятности за възможни стойности X + Y. за независими случайни величини Х. и Y. равен на произведенията на вероятностите на термините, и за зависимите случайни променливи - вероятността за вероятността от един термин върху условната вероятност за втория.

Ако \u003d и вероятностите на тези стойности са съответно равни, тогава вероятността (същото като) е равна.

Имоти 4: Математическият очакването за сумата от две случайни величини (зависими или независими) е равна на сумата на математическите очаквания на условията:

М (х + у) \u003d М (х) + m (у).

Доказателство: Нека две случайни променливи Х. и Y. определени от следните закони за разпределение:

Х.
Пс.

Y.
Г.

За да се опрости продукцията, ограничаване на двете възможни стойности на всяка от стойностите. Като цяло, доказателството е подобен.

Направете всички възможни стойности на случайност X + Y. (Да предположим, за простота, тези стойности са различни; ако не, доказателството се извършва по подобен начин):

X + Y.
Пс.

Намерете математическото очакване на тази стойност.

М.(X + Y.) = + + + +

Доказваме това + \u003d.

Събитие X \u003d. (неговата вероятност P (x \u003d ) води до събитие, състоящо се от това, че случайната стойност X + Y. Това ще отнеме стойност или (вероятността за това събитие, от допълнение теорема, е равно на) и обратно. След това \u003d.

По подобен начин се оказа равенство \u003d \u003d \u003d \u003d

Заместване на правилните части на тези равенства в получената формула за математическо очакване, получаваме:

M (x + y) \u003d + ) \u003d M (x) + m (y).

Следствие: Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равна на сумата на математическите очаквания на термините.

Доказателство: Доказваме три случайни променливи Х., Y., Z.. Ние намираме математическите очаквания за случайни променливи X + Y.и Z.:

M (x + y + z) \u003d m ((x + y) Z) \u003d m (x + y) M (z) \u003d m (x) + m (y) + m (z)

За произволен брой случайни променливи, доказателството се извършва по метода на математическа индукция.

Пример:Намерете средната стойност на броя на точките, които могат да изпаднат при хвърляне на две игрални кости.

Решение:Нека бъде Х. - броя на точките, които могат да попаднат върху първата кост, \\ t Y. - на втория. Очевидно, случайни променливи Х.и Y. Имат същото разпространение. Пишем тези разпределения Х.и Y. В една таблица:

Х.	1	2	3	4	5	6
Y.	1	2	3	4	5	6
Пс.	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M (x) \u003d m (y) (1+2+3+4+5+6) = =

M (x + y) \u003d 7.

Така че, средната стойност на броя на точките, които могат да попаднат при хвърляне на две игрални кости е равна на 7 .

Теорема: Математическото очакване на m (x) Броят на изявите на събитието А в N независими тестове е равен на продукта на броя на изпитванията по вероятността от събитие във всеки тест: m (x) \u003d np.

Доказателство: Нека бъде Х. - броя на събитията А. в н. Независими тестове. Очевидно, общият брой Х. Изяви на събития А. В тези тестове тя се състои от брой събития в отделни тестове. След това, ако броят на събитията в първия тест, във втория, и т.н., накрая, броя на събитията в н.- подходящи костюми, общият брой на събитията се появява по формулата:

До имот 4 Математически очаквания Ние имаме:

M (x) \u003d m ( ) + ... + m ( ).

Тъй като математическото очакване на броя на събитията в един тест е равно на вероятността от събитие, тогава

M ( ) \u003d M ( ) \u003d ... \u003d m ( ) \u003d p.

Следователно, M (x) \u003d np.

Пример:Вероятността да се удари целта, когато снимането от пистолета е равно p \u003d 0.6.. Намерете средния брой хитове, ако се произвежда 10 Изстрели.

Решение: Във всеки изстрел той не зависи от резултатите от други изстрели, така че разглежданите събития са независими и следователно желаното математическо очакване е:

M (x) \u003d np \u003d 10 0,6 = 6.

Така че, средният брой хитове е 6.

Сега разгледайте математическото очакване за непрекъсната произволна променлива.

Определение:Математическото очакване на непрекъсната случайна променлива x, възможните стойности, които принадлежат към сегмента, Наречен специфичен интеграл:

където f (x) е гъстотата на разпределението на вероятностите.

Ако възможните стойности на непрекъснатата произволна променлива x принадлежат към цялата ос на OX, тогава

Предполага се, че този входящ интеграл се сгъва абсолютно, т.е. Интегралните сгъстрици Ако това изискване не е било изпълнено, стойността на интеграла ще зависи от скоростта на желанието (поотделно) долната граница до -∞, а горната граница е K + ∞.

Можете да докажете това всички свойства на математическото очакване на дискретна случайна променлива са запазени за непрекъсната произволна променлива.. Доказателството се основава на свойствата на някои и неправилни интеграли.

Очевидно, индикатив M (x)по-малки и по-малко от най-големите възможни стойности на случайна променлива Х.. Тези. На числената ос, възможните стойности на случайното отклонение са разположени отляво и отдясно на нейното математическо очакване. В този смисъл математическите очаквания M (x)характеризира местоположението на разпределението и поради това често се нарича дистрибуционен център.

1. Математическите очаквания за постоянна стойност са равни на най-постоянните M (c) \u003d с .
2. Постоянен мултипликатор може да бъде направен за знак за математическо очакване: M (cx) \u003d cm (x)
3. Математическите очаквания за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта на техните математически очаквания: M (xy) \u003d m (x) m (y).
4. Математическите очаквания за сумата от две случайни променливи е равна на сумата на математическите очаквания на условията: M (x + y) \u003d m (x) + m (y).

Теорема. Математическото очакване на m (x) Броят на събитията и в N независимите тестове е равен на продукта на тези тестове по вероятността от събития във всеки тест: m (x) \u003d np.

Нека бъде Х. - Случайна стойност и M (x) - нейното математическо очакване. Разгледайте като нова случайна променлива X - m (x).

Отклонението се нарича разликата между произволната променлива и нейното математическо очакване.

Отклонението има следното законодателство за разпределение:

Решение: Намерете математическо очакване:
2 =(1-2.3) 2 =1.69
2 =(2-2.3) 2 =0.09
2 =(5-2.3) 2 =7.29

Ще напишем разпространението на закона на квадратното отклонение:

Решение: Намерете математическо очакване m (x): m (x) \u003d 2 0.1 + 3 0.6 + 5 0.3 \u003d 3.5

Уведомявам се, произволен x 2

X 2.
Пс.	0.1	0.6	0.3

Ние намираме математически очаквания M (x 2): m (x 2) = 4 0.1+9 0.6+25 0.3=13.5

Желаната дисперсия d (x) \u003d m (х 2) - 2 \u003d 13.3- (3.5) 2 \u003d 1.05

Свойства на дисперсията:

1. Разпръскване на постоянен размер От равен на нула: D (c) \u003d 0
2. Може да се направи постоянен мултипликатор за дисперсионен знак, който я яде на квадрат. D (cx) \u003d c 2 d (x)
3. Дисперсията на сумата на независимите случайни променливи е равна на размера на дисперсиите на тези стойности. D (x 1 + x 2 + ... + x n) \u003d d (x 1) + d (x 2) + ... + d (x n)
4. Дисперсията на биномното разпределение е равна на продукта на броя на изпитванията върху вероятността от външния вид и вина на събитието в един тест D (x) \u003d npq

За да се оцени разсейването на възможните стойности на произволната променлива около средната стойност, в допълнение към дисперсията се сервират и някои други характеристики. Те включват средното квадратично отклонение.

Средно квадратично отклонение на случайната променлива Х. Обадете се на квадратния корен от дисперсия:

Σ (x) \u003d √D (x) (4)

Пример. Случайна стойност X определя закона за разпределение

Х.
Пс.	0.1	0.4	0.5

Намерете средно квадратично отклонение σ (x)

Решение: Намерете математическо очакване X: m (x) \u003d 2 0.1 + 3 0.4 + 10 0.5 \u003d 6.4
Ние откриваме математическото очакване x 2: m (x 2) \u003d 2 2 0.1 + 3 2 0.4 + 10 2 0.5 \u003d 54
Намерете дисперсия: D (x) \u003d m (x 2) \u003d m (x 2) - 2 \u003d 54-6.4 2 \u003d 13.04
Желаното вторично квадратично отклонение σ (x) \u003d √D (x) \u003d √13.04≈3.61

Теорема. Средното квадратично отклонение на размера на крайния брой взаимно независими случайни променливи е еднакво квадратен корен от сумата на квадратите на средните квадратични отклонения на тези количества:

Пример. На рафта на 6 книги 3 книги по математика и 3 по физика. Изберете много три книги. Намерете закона за разпространението на броя на книгите по математика сред избраните книги. Намерете математическо очакване и дисперсия на тази случайна променлива.

D (x) \u003d m (x 2) - m (x) 2 \u003d 2.7 - 1.5 2 \u003d 0.45

Математическото очакване е разпространението на случайности на случайни вариации

Математическо очакване, дефиниция, математическо очакване за дискретни и непрекъснати случайни променливи, селективно, условно съвпадение, изчисление, свойства, задачи, оценка на мачове, дисперсионна, разпределителна функция, формула, изчислителни примери

Разположете съдържание

Съдържание на колапс

Математическите очаквания е определение

Една от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, която характеризира разпределението на стойностите или вероятностите на случайна променлива. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни случайни параметри на случаен вариант. Той се използва широко при провеждането на технически анализ, проучване на числови редове, изучаване на непрекъснати и дългосрочни процеси. Важно е при оценката на рисковете, прогнозните ценови показатели в търговията на финансовите пазари се използват при разработването на стратегии и методи на тактиката на играта в теорията на хазарта.

Математическо очакване есредната стойност на случайна променлива, разпределението на вероятностите на случайна променлива се разглежда в теорията на вероятността.

Математическо очакване емярката за средната стойност на произволната променлива в теорията на вероятността. Математическо очакване за случайна променлива х. обозначение M (x).

Математическо очакване е

Математическо очакване е При теорията на вероятността среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които може да предприеме тази случайна стойност.

Математическо очакване еразмерът на произведенията на всички възможни стойности на случайна дисперсия по вероятността от тези стойности.

Математическо очакване е Средната полза от едно или друго решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията на големите числа и на голямо разстояние.

Математическо очакване ев теорията на хазарта, количеството на печалбите, които могат да печелят или загубят играч, средно, при всяка скорост. На езика на играчите на хазарт, това понякога се нарича "предимство на играча" (ако е положително за играча) или "предимството на казиното" (ако е отрицателно за плейъра).

Математическо очакване е Процентът на печалбата на печалбите, умножена по средната печалба, минус вероятността за загуба, умножена по средната загуба.

Математическо очакване за случайна променлива в математическата теория

Една от важните цифрови характеристики на случайна променлива е математическото очакване. Въвеждаме концепцията за система от случайни променливи. Помислете за комбинация от случайни променливи, които са резултатите от един и същ произволен експеримент. Ако - една от възможните системни стойности, събитието съответства на определена вероятност, която удовлетворява аксиомите на Колмогоров. Функцията, определена във всички възможни стойности на случайни променливи, се нарича съвместен закон за разпределение. Тази функция ви позволява да изчислите вероятността от всички събития от. По-специално, съвместният закон за разпределението на случайни променливи и които приемат стойности от набора и са дадени от вероятностите.

Терминът "математическо очакване" е въведен от Pierre Simon Marquis de Laplas (1795) и се е случил от концепцията за "очакваната стойност на печалбите", която се появява за първи път през 17-ти век в теорията на хазарта в работата на Blaise Pascal и християнски Гюжес. Първото пълното теоретично разбиране и оценка на тази концепция се дава от Патинг Лвивич Чебишев (средата на 19-ти век).

Законът за разпределението на случайни цифрови стойности (функция за разпределение и гама за разпределение или плътност на вероятността) напълно описват поведението на случайна стойност. Но в редица задачи е достатъчно да знаят някои цифрови характеристики на проучването на стойността (например средната му стойност и евентуално отклонение от него), за да отговори на определения въпрос. Основните числови характеристики на случайни променливи са математически очаквания, дисперсия, мод и медиана.

Математическото очакване на дискретната произволна променлива е количеството продукти на възможните му стойности към вероятността, съответстваща на тях. Понякога математическото очакване се нарича среднопретеглена, тъй като е приблизително равна на средните аритметични стойности на произволната променлива с голям брой експерименти. От определянето на математическото очакване следва, че неговата стойност е не по-малка от възможно най-малката стойност на случайната променлива и не повече от най-големите. Математическото очакване на случайна променлива е не-случайната (постоянна) стойност.

Математическото очакване има просто физическо значение: ако има една маса по права линия, поставяне на някаква маса (за дискретно разпределение) или "сгъване" с определена плътност (за абсолютно непрекъснато разпределение), точката, съответстваща на математиката Очакването ще бъде координата "Центърът на тежестта" е прав.

Средната стойност на случайното отклонение е число, което изглежда е негов "представител" и го заменя с приблизително приблизителни изчисления. Когато казваме: "Средната операция на лампата е 100 часа" или "средната точка на контакт се измества спрямо целта до 2 m вдясно," посочваме това, че определена цифрова характеристика на случайна променлива, описваща нейното местоположение на числената ос, т.е. "Характерно за ситуацията."

От характеристиките на позицията в теорията на вероятността математическото очакване на случайни променливи пиеси, които понякога се наричат \u200b\u200bпросто средната стойност на случайна променлива.

Помислете за случайна сума Х.Имате възможни стойности x1, x2, ..., xn С вероятности p1, p2, ..., pn. Трябва да характеризираме някакъв брой позицията на стойностите на произволната променлива върху оста на абсциса, като вземат предвид факта, че тези стойности имат различни вероятности. За тази цел е естествено да се използва така наречената "средна претеглена" от стойностите xI.Освен това, всяка XI стойност с осредняване трябва да се вземе предвид при "теглото" пропорционална на вероятността от тази стойност. Така изчисляваме средната случайна променлива Х.Означаваме М | x |:

Това е вторична стойност и се нарича математическо очакване на случайна променлива. Така въведохме предвид една от най-важните понятия за теорията на вероятностите е концепцията за математическо очакване. Математическото очакване на произволно разнообразие се нарича количеството продукти на всички възможни стойности на случайна дисперсия по вероятността от тези стойности.

Х. свързани с особена зависимост от средните аритметични наблюдавани стойности на произволна променлива с голям брой експерименти. Тази зависимост от същия тип като връзката между честотата и вероятността, а именно, с голям брой експерименти, средните аритметични стойности на произволната променлива приближават (сближават вероятността) към нейното математическо очакване. От наличието на комуникация между честотата и вероятността може да се получи вследствие на наличието на подобна връзка между средното аритметично и математическо очакване. Наистина, помислете за случайна сума Х.характеризиращ се с редица дистрибуция:

Нека бъде произведен Н. независими експерименти, във всяка от които сумата Х.заема определена стойност. Да предположим, че стойността x1.се появи m1.пъти, което означава x2.се появи m2.веднъж, обща стойност xI.mi се появи веднъж. Изчисляване на средните аритметични наблюдавани стойности на количеството x, което, за разлика от математическото очакване М | x |означаваме М * | x \u200b\u200b|:

С увеличаване на броя на експериментите Н.честота пИ.ще се подхожда (сближаване на вероятността) към подходящите вероятности. Следователно средните аритметични стойности на произволната променлива М | x | С увеличаване на броя на експериментите, той ще подхожда (сближаване на вероятността) към неговото математическо очакване. Горната връзка между средното аритметична и математическо очакване е съдържанието на една от формите на правото на големите числа.

Вече знаем, че всички форми на правото на голям брой посочват факта за устойчивост на някаква среда с голям брой експерименти. Тук говорим за стабилността на средната аритметика от редица наблюдения със същата стойност. С малък брой експерименти, аритметичната средна стойност на техните резултати случайно; С достатъчно увеличение на броя на експериментите, той става "почти никакъв инцидент" и стабилизирането, се приближава към постоянна стойност - математическо очакване.

Имотът на устойчивостта на средната стойност с голям брой експерименти е лесен за проверка експериментално. Например, претегляне на тяло в лабораторията по точните скали, ние получаваме новата стойност в резултат на претеглянето всеки път; За да намалите грешката на наблюдението, ние претегляме тялото няколко пъти и използваме средните аритметични стойности. Лесно е да се уверите, че с по-нататъшното увеличение на броя на експериментите (претегляне) средният аритметик реагира на това увеличение, е по-малко и по-малко и с достатъчно голям брой експерименти почти престава да се променя.

Трябва да се отбележи, че най-важната характеристика на позицията на случайната променлива е математическото очакване - не е за всички случайни променливи. Можете да създавате примери за такива случайни променливи, за които не съществува математическо очакване, тъй като съответната сума или интеграл се отклонява. Такива случаи обаче не са значими за практиката. Обикновено случайните променливи, с които се занимаваме с ограничена област на възможни стойности и, разбира се, имат математически очаквания.

В допълнение към най-важните характеристики на позицията на случайна променлива - математическо очакване, на практика, понякога се прилагат и други характеристики на позицията, по-специално мода и медиана на случайна променлива.

Модата на случайната променлива се нарича най-вероятната стойност. Терминът "най-вероятна стойност", строго казано, се прилага само за прекъснати стойности; За непрекъснато величина на модата, стойността, в която плътността на вероятността е максимална. Цифрите показват съответно модата, за периодични и непрекъснати случайни променливи.

Ако разпределителният полигон (кривата на разпределение) има повече от един максимум, разпределението се нарича "полимедално".

Понякога има разпределения, които притежават в средата, а не максимално и минимуми. Такива разпределения се наричат \u200b\u200b"антимодални".

Като цяло, модата и математическото очакване на случайно отклонение не съвпадат. В конкретния случай, когато разпределението е симетрично и модално (т.е. тя има мода) и има математическо очакване, съвпада с модата и центъра за разпределение на симетрия.

Често се използва и друга характеристика на позицията - така наречената медиана на произволно разнообразие. Тази характеристика обикновено се използва само за непрекъснати случайни променливи, въпреки че е възможно да се дефинира за периодично стойности. Геометрично медианата е абсцисата на точката, в която площта, ограничената крива на разпределение, е разделена на половина.

В случай на симетрично модално разпределение, средната среща с математически очаквания и мода.

Математическото очакване е средна стойност, произволна променлива - цифровата характеристика на вероятностното разпределение на случайна променлива. Най-често срещаните математически очаквания за случайна променлива X (w) Определя като лейбек интеграл по отношение на вероятността R.в първоначалното вероятностно пространство:

Математическите очаквания могат да бъдат изчислени и като lebesgue интеграл от х.чрез разпределение на вероятностите rh.стойности Х.:

Естествено, е възможно да се определи концепцията за случайна променлива с безкрайно математическо очакване. Типичен пример е времето на връщане в някои случайни скица.

С помощта на математически очаквания се определят много цифрови и функционални характеристики на разпределението (като математическо изчакване на съответните функции от произволна променлива), например, произвеждаща функция, характерна функция, моменти от всякакъв ред, по-специално дисперсия, ковариация.

Математическото изчакване е характеристика на местоположението на случайните стойности (средната стойност на нейното разпределение). В този капацитет математическото упражнение служи като "типичен" параметър за разпространение и неговата роля е подобна на ролята на статичен момент - координатите на центъра на тежестта на масовото разпределение - в механика. От другите характеристики на мястото, с което разпределението е описано в общи условия, медианата, модула, математическото очакване е най-голяма стойност, че тя и характеристиката на разсейване, съответстваща на нея, е дисперсия - в граничните теореми на теорията на вероятността . С най-голяма пълнота, значението на математическите очаквания се разкрива от закона на големите номера (неравенство в Чебишев) и засиления закон за големите числа.

Математическо очакване на дискретна случайна променлива

Нека има някаква случайна стойност, която може да отнеме една от няколко числови стойности (например, броя на точките при хвърляне на кост може да бъде 1, 2, 3, 4, 5 или 6). Често въпросът възниква на практика за такава величина: каква стойност отнема "средно" с голям брой тестове? Какво ще бъде нашият среден доход (или загуба) от всяка от рисковите операции?

Кажете, има някаква лотария. Искаме да разберем, е благоприятно или да не участваме в него (или дори да участваме многократно, редовно). Да предположим, че всеки четвърти билет, наградата ще бъде 300 рубли, и цената на всеки билет - 100 рубли. С безкрайно голям брой участие, той се оказва това. В три четвърти ще загубим, всяка три загуби ще струват 300 рубли. Във всеки четвърти случай ще спечелим 200 рубли. (Награда минус разходите), т.е. в четири участия ние сме средно ние губим 100 рубли, за един - средно 25 рубли. Общо средно цените на нашата руина ще бъде 25 рубли / билет.

Ние хвърляме игра. Ако това не е мащабиране (без да се премества центъра на тежестта и т.н.), колко ще имаме очила в даден момент? Тъй като всеки вариант е еднакво предназначен, ние приемаме глупаво аритметика и получаваме 3.5. Тъй като е средно, няма нужда от възмущане, че 3.5 точки няма специфично хвърляне няма да даде - добре, няма място за този куб с такъв номер!

Сега обобщаваме нашите примери:

Обърнете се към току-показаната снимка. На лявата разпределителна плоча на произволната променлива. X Стойността може да приеме една от n възможните стойности (са дадени в горната линия). Никакви други стойности не могат да бъдат. При всяка възможна стойност неговата вероятност е подписана по-долу. Правото е формула, където m (x) се нарича математическо очакване. Значението на тази величина е, че с голям брой тестове (с голяма извадка) средната стойност ще се стреми към това много математическо очакване.

Нека да се върнем отново към същата игрива Куба. Математическото очакване на размера на точките, когато хвърлянето е 3.5 (пребройте се според формулата, ако не вярвате). Да кажем, че сте го хвърлили няколко пъти. 4 и 6 паднаха. Средно се оказа 5, това е далеч от 3.5. Те хвърлиха друг път, падна 3, т.е. средно (4 + 6 + 3) / 3 \u003d 4,3333 ... по някакъв начин далеч от математическото очакване. Сега прекарайте луд експеримент - хвърлете куб 1000 пъти! И ако средно и няма да има точно 3.5, тя ще бъде близо до това.

Изчисляваме математическото очакване за гореописаната лотария. Знакът ще изглежда така:

Тогава математическото очакване ще бъде, когато създадохме по-горе.:

Друго нещо е същото "на пръстите", без формула, би било трудно, ако имаше повече възможности. Е, нека кажем, че ще има 75% от загубата на билети, 20% от печелившите билети и 5% от особено благоприятния.

Сега някои свойства на математическите очаквания.

Докажете го само:

Постоянен множител може да бъде направен за знак за математическо очакване, т.е.

Това е специален случай на свойствата на лимита на математическото очакване.

Други последици от линейността на математическите очаквания:

това означава, че математическото очакване на сумата от случайни променливи е равна на сумата на математическите очаквания на случайни променливи.

Нека х, y са независими случайни променливи, тогава:

Също така е лесно да се докаже) Xy. самата сума е случайна сума, като първоначалните стойности могат да бъдат взети н.и м.стойности, съответно, тогава Xy.може да приема NM стойности. Вероятността за всяка от стойностите се изчислява въз основа на факта, че вероятностите на независимите събития са променливи. В крайна сметка, ние получаваме това:

Математическо очакване за непрекъсната произволна променлива

При непрекъснати случайни променливи има такава характеристика като плътност на разпределението (плътност на вероятността). Тя по същество характеризира ситуацията, че някои стойности от различни валидни числа са по-често, някои по-рядко. Например, разгледайте този график:

Тук Х.- всъщност случайно променлива, f (x)- Плътност на разпределението. Съдейки по този график, с стойността на експериментите Х.често ще бъде число близо до нула. Шансове за надвишаване 3 или да бъде по-малко -3 по-скоро чист теоретичен.

Нека, например, има равномерно разпределение:

Това напълно съответства на интуитивно разбиране. Например, ако получим равномерно разпределение много случайни валидни числа, всеки от сегмента |0; 1| Средната аритметика трябва да бъде около 0.5.

Свойствата на математическите очаквания са линейност и т.н., приложими за дискретни случайни променливи, приложими тук.

Връзката на математическите очаквания с други статистически показатели

В статистическия анализ, заедно с математическото очакване, съществува система от взаимозависими показатели, отразяващи хомогенността на явленията и стабилността на процесите. Често индикаторите за варирането нямат независимо значение и се използват за допълнително анализиране на данните. Изключение е коефициентът на вариация, който характеризира хомогенността на данните, което е ценна статистическа характеристика.

Степента на променливост или стабилност на процесите в статистическата наука може да бъде измерена чрез няколко индикатора.

Най-важният индикатор, характеризиращ вариабилността на случайна променлива е Дисперсиякоето е най-близко и пряко свързано с математическите очаквания. Този параметър се използва активно в други типове статистически анализ (тестване на хипотези, анализ на причинно-следствените връзки и др.). Подобно на средното линейно отклонение, дисперсията също отразява мярката за разсейване на данните около средната стойност.

Езикът на знаците е полезен за превръщане на езика на думите. Оказва се, че дисперсията е средният площад на отклоненията. Това е, първоначално средната стойност се изчислява, след което разликата се взема между всеки източник и средна стойност, той е издигнат на квадрат, той също е разделен на броя на стойностите в този набор. Разликата между индивидуалната стойност и средната отразява мярката за отклонение. Площад е изграден, за да гарантира, че всички отклонения стават изключително позитивни числа и да се избегне взаимното свързване на положителни и отрицателни отклонения, когато ги обобщава. След това, с квадрати на отклонения, ние просто изчисляваме средната аритметика. Средно-квадрат - отклонения. Отклоненията са издигнати на площад, а средната стойност се разглежда. Въздействието на магическата дума "дисперсия" се крие в три думи.

Въпреки това, в чистата си форма, като средната аритметика или индекс, дисперсията не се използва. Той е доста спомагателен и междинен индикатор, който се използва за други видове статистически анализ. Тя дори няма нормални единици. Съдейки по формулата, това е площадът на единицата за измерване на изходните данни.

Нека измерим случайна променлива Н.веднъж, например, измерваме скоростта на вятъра и искаме да намерим средната стойност. Как е средната стойност с функцията за разпространение?

Или ще хвърлим игра на куба голям брой пъти. Броят на точките, които попадат върху куба с всяко хвърляне, е случайна стойност и може да приема всички естествени стойности от 1 до 6. Средните аритметични пунктове, преброени за всички отливки на куба, също е случайна променлива, но с голям Н.тя се стреми към напълно конкретно число - математически очаквания Mx.. В този случай mx \u003d 3.5.

Как излезе тази стойност? Нека Б. Н.тестове n1.веднъж падна 1 точка, n2.веднъж - 2 точки и така нататък. Тогава броят на резултатите, в който една точка падна:

По същия начин, за резултати, когато 2, 3, 4, 5 и 6 точки паднаха.

Да предположим сега, че знаем закона за разпределението на случаен принцип X, т.е. знаем, че случайна стойност на x може да приема стойности x1, x2, ..., xk с вероятности p1, p2, ... \\ t , Pk.

Математическо очакване MX Случайно отклонение X е:

Математическите очаквания не винаги са разумна оценка на някакво произволно разнообразие. Така че, за да се оцени средната заплата, е по-разумно да се използва концепцията за медиана, такава стойност, която броят на хората, получаващи по-малко от средната, заплатата и големите, съвпадат.

Вероятността P1 е, че произволната променлива ще бъде по-малка от X1 / 2, а вероятността от Р2 е, че случайната стойност на X е по-голяма от х1 / 2, същото и равно на 1/2. Медианата се определя еднозначно не за всички дистрибуции.

Стандартно или стандартно отклонение В статистиката се извиква степента на отклонение на данните за наблюдение или набори от средната стойност. Обозначени с букви s или s. Малко стандартно отклонение показва, че данните са групирани около средната стойност и значителни - че първоначалните данни са разположени далеч от него. Стандартното отклонение е равно на квадратен корен на величината, наречен дисперсията. Това е средният брой на сумата от първоначалните разлики в данните, които се отклоняват от средната стойност. Стандартното отклонение на произволната променлива се нарича корен квадрат от дисперсията: \\ t

Пример. При условията на изпитване при стрелба при стрелба, изчислете дисперсията и риководуктичното отклонение на произволната променлива:

Вариантност- осцилираща, променливост на знака на знак в единици агрегат. Отделни числени стойности на функцията, намерени в агрегата, се наричат \u200b\u200bварианти. Недостатъчността на средната стойност за пълните характеристики на съвкупността прави добавянето на средните стойности на индикаторите, които ни позволяват да оценим типичната стойност, като измерваме различните (вариации) на изследвания знак. Коефициентът на изменение се изчислява по формулата:

Вариант на вариация (R) представлява разликата между максималните и минималните стойности на функцията в общата съвкупност. Този индикатор дава най-често срещаната идея на разделите на изследвания атрибут, тъй като показва разликата между граничните стойности на опциите. Зависимостта от крайните стойности на атрибута дава обхватът на изменението е нестабилен, случаен характер.

Средно линейно отклонениетова е средната аритметична стойност на абсолютните (модулните) отклонения на всички стойности на анализирания агрегат от техния среден размер:

Математическо очакване в теорията на хазарта

Математическо очакване есредната сума, която играч играч може да спечели или да загуби в този процент. Това е много значима концепция за играч, защото е от основно значение да се оценят по-голямата част от ситуациите на игра. Математическото очакване е и оптимален инструмент за анализиране на основните оформления на карти и ситуации на игра.

Да предположим, че играете с приятел в монета, всеки път, когато правите залог за $ 1, независимо от това, което ще падне. Шкурата - спечелихте, орелът - загубен. Шансовете за това какво ще паднат един към един и ще заложите $ 1 до $ 1. Така математическото очакване е нула, защото От гледна точка на математиката, не можете да знаете, че ще се държите или ще играете след два изстрела или след 200.

Вашият Watch Win е нула. Работата на часовника е количеството пари, които очаквате да спечелите след час. Можете да хвърлите монета 500 пъти в рамките на един час, но няма да спечелите и не губите, защото Вашите шансове не са положителни, нито отрицателни. Ако погледнете, от гледна точка на сериозен играч такава система от залози. Но това е просто загуба на време.

Но предполагам, че някой иска да постави $ 2 срещу вашите $ 1 в една и съща игра. Тогава веднага имате положителен мач в 50 цента от всеки залог. Защо 50 цента? Средно един залог, който спечелихте, второто загуба. Поставете първия долар - и губите $ 1, поставете втория - спечели $ 2. Направихте $ 1 залог два пъти и продължете с $ 1. По този начин всеки от вашите залози с един долар ви даде 50 цента.

Ако в един час монетата ще падне 500 пъти, вашите печалби вече ще бъдат $ 250, защото Средно сте загубили един долар 250 пъти и спечелили два долара 250 пъти. $ 500 минус $ 250 е $ 250, което е общата победа. Моля, обърнете внимание, че съвпадението, което е сумата, която сте спечелили на една и съща скорост, е равна на 50 цента. Вие спечелихте $ 250, като направите залог на долара 500 пъти, което е равно на 50 цента от залога.

Математическите очаквания нямат нищо общо с краткосрочните резултати. Вашият опонент, който реши да постави $ 2 срещу вас, може да ви победи на първите десет хвърляния подред, но вие, притежаващи предимството на залозите 2 до 1, с други неща, които сте равни, печелите 50 цента от всяка скорост от $ 1 . Няма разлика, която печелите или загубите един залог или няколко нива, но само ако имате достатъчно пари, за да компенсирате спокойствието. Ако продължите да инсталирате същото време, за дълъг период от време, вашите печалби ще отговарят на сумата на сватовците в индивидуалните хвърляния.

Всеки път, залагайки залог с най-добрия резултат (залог, който може да бъде от полза на дълги разстояния), когато шансовете на ваша полза, определено ще спечелите нещо върху него и няма значение да го загубите или не в това ръка. А напротив, ако сте направили залог с най-лош резултат (залог, който е нерентабилен на дълги разстояния), когато шансовете не са в ваша полза, губите нещо без значение какво сте спечелили или загубили в тази ръка.

Обзалагате се с най-добрия резултат, ако имате положителен мач и е положителен, ако шансовете са на ваша страна. Осъществяване на залог с най-лош резултат имате отрицателен мач, който се случва, когато шансовете срещу вас. Сериозните играчи правят залози само с най-добрия резултат, в най-лошия случай - те ще пасат. Какво означава шансовете за вашата услуга? В крайна сметка можете да спечелите повече, отколкото да носите реални шансове. Истинските шансове за това какво ще падне от 1 до 1, но имате 2 до 1 поради съотношението на цените. В този случай шансовете за вашата услуга. Вие точно получавате най-добрия резултат с положително очакване на 50 цента на залог.

Тук е по-сложен пример за математическо очакване. Buddy пише номера от един до пет и залага $ 5 срещу вашия $ 1 към факта, че не определяте посочения номер. Съгласни ли сте на такъв залог? Какво е мачът тук?

Средно четири пъти ще се сбъркате. Въз основа на това, шансовете срещу факта, че познавате фигурата, ще бъде 4 до 1. Шансовете за факта, че с един опит да загубите долара. Въпреки това, вие печелите 5 до 1, ако е възможно, за да загубите 4 до 1. Следователно, шансовете на ваша полза можете да вземете залози и да се надявате за най-добрия резултат. Ако направите такъв залог пет пъти, средно ще загубите четири пъти $ 1 и спечелете $ 5 веднъж. Въз основа на това, за всичките пет опита, които печелите $ 1 с положително математическо очакване на 20 цента на залог.

Играч, който ще спечели повече, отколкото поставя, както в примера по-горе, хваща шансове. А напротив, той разрушава шансовете, когато предполага, че печели по-малко, отколкото поставя. Един играч може да има положителен или отрицателен мач, който зависи от това дали той улавя или разрушава шансовете.

Ако поставите $ 50, за да спечелите $ 10 при вероятността да спечелите от 4 до 1, тогава ще получите отрицателен термин от $ 2, защото Средно ще спечелите четири пъти на $ 10 и ще играете $ 50 веднъж, което показва, че загубата в един залог ще бъде $ 10. Но ако поставите $ 30, за да спечелите $ 10, със същите шансове за спечелване от 4 до 1, след това в този случай имате положително изчакване от $ 2, защото Вие отново печелите четири пъти на $ 10 и играете $ 30 веднъж, което ще направи печалба от $ 10. Тези примери показват, че първият залог е лош, а вторият е добър.

Математическото очакване е центърът на всяка игра на игри. Когато един букмейкър насърчава феновете на футбола да наберат $ 11, за да спечелят $ 10, той има положителен мач от всеки $ 10 в размер на 50 цента. Ако казиното заплаща еднакви пари от линията за преминаване в закопчалка, положителното изчакване на казиното ще бъде приблизително $ 1.40 на всеки $ 100, защото Тази игра е изградена така, че всеки, който пусна тази линия, губи средно 50.7% и печели 49,3% от общото време. Без съмнение, това е този вид минимални положителни събития и носи колосални печалби на собствениците на казино по целия свят. Като собственик на собственика на Вегас Световно казино, Боб Стушкак, "една хилядна процента от негативната вероятност за достатъчно голямо разстояние ще съсипе най-богатия човек в света."

Математическо очакване при игра на покер

Покер играта е най-показател и визуален пример от гледна точка на използването на теорията и свойствата на математическите очаквания.

Математическото очакване (английска очаквана стойност) в покера е средната полза от едно или друго решение, при условие че такова решение може да бъде разгледано в рамките на теорията на големите числа и дълъг далечен. Успешната покер игра е винаги да се движи само с положително математическо очакване.

Математическото значение на математическото очакване, когато играе покер е, че често сме срещани със случайни ценности, когато вземаме решение (ние не знаем кои карти в ръцете на противника, какви карти ще дойдат на последващи търговски кръгове). Трябва да разгледаме всяка от решенията от гледна точка на теорията на големите числа, която гласи, че с достатъчно голяма извадка средната стойност на случайна променлива ще се стреми към нейното математическо очакване.

Сред частните формули за изчисляване на математическите очаквания, най-приложените в покера са следните:

Когато играете покер математическо очакване, можете да разчитате както за залози, така и за Collov. В първия случай се вземат предвид Equiti, във втория - собствените шансове на Банката на банката. Когато оценявате математическото очакване на завой, трябва да се помни, че гънтът винаги има нулево съвпадение. По този начин, освобождаването на картите винаги ще бъде по-печеливш разтвор, отколкото отрицателен ход.

Чакането ви разказва какво можете да очаквате (печалба или загуба) за всеки долар на вашия риск. Казино печелят пари, защото математическите очаквания от всички игри, които се практикуват в тях, в полза на казиното. С достатъчно дълга серия от играта можете да очаквате клиента да загуби парите си, защото "вероятността" в полза на казиното. Въпреки това, професионалните играчи в казиното ограничават игрите си с кратки интервали, като по този начин увеличават вероятността в тяхна полза. Същото се отнася и за инвестициите. Ако вашето изчакване е положително, можете да печелите повече пари, като направите много транзакции за кратък период от време. Изчакване Това е вашият процент от печалбата за печеливша, умножена по средната печалба, минус вашата вероятност е загуба, умножена по средна загуба.

Покер също може да се разглежда от гледна точка на математическите очаквания. Може да приемете, че определен курс е от полза, но в някои случаи може да е далеч от най-доброто, защото е по-печеливш друг ход. Да предположим, че сте събрали пълно помещение в пет повтарящ се покер с обмен. Вашите съпернически залози. Знаете, че ако вдигнете залога, той ще отговори. Ето защо увеличението изглежда като по-добра тактика. Но ако все още повдигате офертата, останалите двама играчи определено ще пуснат картите. Но ако изравните офертата, ще бъдете напълно сигурни, че двамата други играчи ще пристигнат след вас. Когато повдигате лихвите, получавате една единица и просто изравняване - две. Така изравняването ви дава по-високо положително математическо очакване и ще бъде най-добрата тактика.

Математическото очакване може да даде и концепцията, за която в покер тактиката е по-малко печеливша и какво повече. Например, играете на определена ръка, вие вярвате, че вашите загуби средно ще съставляват 75 цента, включително анте, тогава такава ръка трябва да се играе, защото Това е по-добре от нулиране, когато ante е $ 1.

Друга важна причина за разбирането на същността на математическото очакване е, че тя ви дава усещане за спокойствие, независимо дали сте спечелили офертата или не: ако сте направили добър залог или ви спасил, ще знаете, че сте спечелили или спаси определена сума пари, която играчът е по-слаб, не може да спаси. Много по-трудно е да се нулират картите, ако сте разстроени, че противникът в размяната е събрал по-силна комбинация. С всичко това, парите, които сте спасили, без да играете, вместо да поставяте, добавяте към победата си на вечер или за месеца.

Само не забравяйте, че ако сменяте ръцете си, опонентът ви ще ви отговори и както виждате в статията "Фундаментална покер теорема" е само едно от вашите предимства. Трябва да се радвате, когато това се случи. Можете дори да се научите да се наслаждавате на изгубеното разпространение, защото знаете, че други играчи ще загубят много повече.

Както е споменато в примера с игра на монети в началото, почасовият фактор на печалбата е взаимосвързан с математическите очаквания и тази концепция е особено важна за професионалните играчи. Когато ще играете покер, трябва да оценявате психически колко можете да спечелите в часа на играта. В повечето случаи ще трябва да се основавате на интуицията и опита си, но можете да използвате някои математически изчисления. Например, вие играете лобол с обмен и наблюдавайте, че трите участници правят цените на $ 10 и след това сменят две карти, което е много лоша тактика, можете да преброите за себе си, че всеки път, когато поставят $ 10, те губят Около $ 2. Всеки от тях го прави осем пъти на час, което означава, че и трите губят в продължение на около $ 48. Вие сте един от останалите четирима играчи, които са приблизително равни, съответно тези четирима играчи (и вие сред тях) трябва да разделят $ 48 и всяка печалба ще бъде $ 12 на час. Коефициентът на часовника в този случай е просто равен на вашия дял от сумата, която се играе в три лоши играчи на час.

За голям период от време общият печеливш играч е размерът на нейните математически очаквания в отделно разпределение. Колкото повече играете с положително очакване, толкова повече победа и обратно, колкото повече дистрибуции с отрицателно очакване ще играете, толкова повече губите. В резултат на това играта трябва да бъде предпочитана, която ще може да максимизира положителното ви изчакване или няма да бъде отрицателно, така че да можете да повишите часовника си до максимум.

Положително математическо очакване в игралната стратегия

Ако знаете как да преброите картите, може да имате предимство пред казиното, ако не го забележат и не ви изхвърлят. Казино обожава пияници и не толерират разглежданите карти. Предимството ще ви позволи с времето да спечелите повече от веднъж, отколкото да загубите. Доброто управление на капитала при използването на математически очаквания изчисления може да помогне за извличането на повече печалби от вашето предимство и да намали загубите. Без предимството по-добре давате пари за благотворителност. В играта на фондовата борса, предимството дава на игралната система, която създава голяма печалба от загубата, ценовата разлика и комисионна. Няма управление на капитала ще спаси лошата система за игра.

Положителното изчакване се определя от стойност над нула. Колкото по-голям е този номер, толкова по-силен е статистическото изчакване. Ако стойността е по-малка от нула, математическите очаквания също ще бъдат отрицателни. Колкото по-голям е отрицателният модул, толкова по-лошо е ситуацията. Ако резултатът е нула, тогава очакването е рязко. Можете да спечелите само когато имате положително математическо очакване, разумна игрална система. Играта на интуицията води до катастрофа.

Търговия с математически изчакване и обмен

Математическите очаквания са доста популярен и популярен статистически показател при прилагането на борсова търговия на финансовите пазари. На първо място, този параметър се използва за анализ на успеха на търговията. Не е трудно да се отгатне, че колкото повече тази стойност е, толкова повече причина да се разгледа успешната търговия. Разбира се, анализът на работата на търговеца не може да бъде направен само с този параметър. Изчислената стойност в съвкупност с други начина за оценка на качеството на работата обаче може значително да повиши точността на анализа.

Математическите очаквания често се изчисляват в службите за мониторингови сметки, което ви позволява бързо да оцените работата, извършена на депозита. Като изключения е възможно да се въведат стратегии, при които се използва "укрепването" на нерентабилни сделки. Търговецът може да придружава късмет от известно време и следователно в работата си не може да бъде загуби като цяло. В този случай няма да е възможно да се придвижва само в батальона, защото рисковете, използвани в работата, няма да бъдат взети под внимание.

В пазарната търговия математическото очакване най-често се използва за предсказване на рентабилността на всяка стратегия за търговия или при предсказване на доходите на търговеца въз основа на статистическите данни на предишната си търговия.

Що се отнася до управлението на капитала е много важно да се разбере, че при извършване на сделки с отрицателно очакване няма схема за управление на пари, която определено може да доведе до високи печалби. Ако продължите да играете на фондовата борса в тези условия, тогава независимо от метода на управление на парите, ще загубите целия си профил, без значение колко е голям в началото.

Тази аксиома е вярна не само за игра или се занимава с отрицателно очакване, но и за играта с равни шансове. Следователно единственият случай, когато имате шанс да се възползвате в дългосрочен план, е сключването на сделки с положително математическо очакване.

Разликата между негативните очаквания и положителните очаквания е разликата между живота и смъртта. Няма значение колко положителни или доколкото негативните очаквания; Важно е само да е положително или отрицателно. Затова преди разглеждане на въпросите на управлението на капитала, трябва да намерите играта с положително очакване.

Ако нямате такава игра, тогава нито едно управление на пари в света ще ви спаси. От друга страна, ако имате положително изчакване, тогава можете, чрез правилното управление на пари, да го превърнете в функцията на експоненциалния растеж. Няма значение колко малко е положително чакане! С други думи, няма значение колко печеливша търговската система се основава на един договор. Ако имате система, която печели 10 долара в договор в една сделка (след приспадане на комисионна и приплъзване), можете да използвате методи за управление на капитала по такъв начин, че да го направите по-печеливша от системата, която показва средна печалба от $ 1000 за транзакцията (след удръжки за комисионна и приплъзване).

Няма значение колко печеливша е системата и колко категорично може да се каже, че системата ще покаже поне минимални печалби в бъдеще. Ето защо, най-важният подготовката, която търговецът може да направи, е да се увери, че системата ще покаже положително математическо очакване в бъдеще.

За да има положително математическо очакване в бъдеще, е много важно да не ограничите степените на свободата на вашата система. Това се постига не само чрез премахване или намаляване на броя на параметрите, които трябва да бъдат оптимизирани, но и чрез намаляване на системата колкото е възможно повече. Всеки параметър, който добавяте, всяко правило, което правите, всяка най-малка промяна, която правите в системата, намалява броя на степените на свободата. В идеалния случай трябва да изградите доста примитивна и проста система, която постоянно ще доведе до малка печалба от почти всеки пазар. И отново е важно да разберете, няма значение колко печеливша е системата, докато не бъде печеливша. Парите, които печелите в търговията, ще бъдат спечелени от ефективно управление на пари.

Системата за търговия е просто инструмент, който ви дава положително математическо очакване, за да можете да използвате управлението на пари. Системи, които работят (показват най-малко минимални печалби) само на един или няколко пазара или имат различни правила или параметри за различни пазари, най-вероятно няма да работят в реално време достатъчно дълго време. Проблемът с най-технически ориентираните търговци е, че те прекарват твърде много време и усилия за оптимизиране на различните правила и ценности на параметрите на търговската система. Това дава напълно противоположни резултати. Вместо да харчат сила и компютърно време за увеличаване на печалбите на търговската система, изпратете енергията, за да увеличите нивото на надеждност на минималните печалби.

Знаейки, че управлението на капитала е само цифрова игра, която изисква използването на положителни очаквания, търговецът може да спре търсенето на "свещен граал" на борсовата търговия. Вместо това той може да извърши проверката на своя търговски метод, да разбере колко логично оправдава този метод, независимо дали той дава на очакванията на прашените. Правилните методи за управление на капитала, прилагани във връзка с всички, дори много посредствени търговски методи, ще ги направят всички останали.

На всеки търговец да успее в работата си, е необходимо да се решат трите най-важни задачи :. Гарантират, че броят на успешните сделки надвишава неизбежните грешки и погрешни обвинения; Персонализирайте вашата система за търговия, така че възможността за печелене е възможно най-често; Постигане на стабилността на положителния резултат от техните операции.

И ето ние, работещи търговци, добра помощ може да има математически очаквания. Този термин в теорията на вероятността е един от ключовете. С него е възможно да се даде усреднена оценка на някакво случайно значение. Математическото очакване на случайно отклонение е подобно на центъра на тежестта, ако си представите всички възможни вероятности с точки с различна маса.

По отношение на търговската стратегия, математическите очаквания за печалба (или загуба) най-често се използват за оценка на нейната ефективност. Този параметър се определя като размер на произведенията на определените нива на печалба и загуба и вероятностите на външния им вид. Например, развитата търговска стратегия предполага, че 37% от всички операции ще причинят печалби, а останалата част е 63% - ще бъде нерентабилна. В същото време средният доход от успешна сделка ще бъде 7 долара, а средната загуба ще бъде 1,4 долара. Нека изчислим математическите очаквания за търговия с такава система:

Какво означава този номер? Той предполага, че след като правилата на тази система ще получаваме 1,708 долара от всяка затворена транзакция. Тъй като получената оценка на оценката е по-голяма от нула, такава система може да се използва за реална работа. Ако в резултат на изчислението математическото очакване ще бъде отрицателно, то вече говори за средна щета и такава търговия ще доведе до разруха.

Размерът на печалбата за една транзакция може да бъде изразен и относителната стойност под формата на%. Например:

- процент на доход от 1 сделка - 5%;

- процентът на успешните търговски дейности - 62%;

- процент на загуба за 1 сделка - 3%;

- процентът на неуспешните сделки - 38%;

Това означава, че средната сделка ще доведе до 1.96%.

Можете да развиете система, която въпреки разпространението на нерентабилни транзакции ще даде положителен резултат, тъй като MO\u003e 0.

Въпреки това, едно очакване е малко. Трудно е да се печелят, ако системата дава много малко търговски сигнали. В този случай неговият доход ще бъде сравним с процент на банка. Нека всяка операция да даде средно само 0,5 долара, но какво, ако системата приеме 1000 операции годишно? Това ще бъде много сериозно количество за сравнително малко време. Логично предполага, че друг отличителен знак на добра търговска система може да се счита за кратък период от държавни позиции.