Глупав триъгълник. Глупав триъгълник остави ъгъла с тогава
1. Определете вида на триъгълника (остър, глупав или правоъгълен) със страните 8, 6 и 11 cm (фиг. 126). (един)
Решение. Означаваме по-големия ъгъл на триъгълника? Очевидно той се намира срещу страната на 11 см, тъй като триъгълникът по-голям ъгъл лежи срещу главната страна. От косинус теорема 112 \u003d 82+ 62- 2? 8? 6? Защото?
Възможно е да се спори по различен начин. Ако ъгълът? е равен на 90 °, тогава голямата част от теоремата Pythagore би била равна
Удължението на страната на 1 см автоматично се увеличава и ъгълът под лицето - става тъп.
Отговор: Глупаво.
2. Базата на триъгълника е равна на 6 cm, един от ъглите в основата е 105 °, а другият е 45 °. Намерете дължината на страната, разположена срещу ъгъл 45 ° (фиг. 127). (един)
Решение. Да предположим, че в триъгълника на ABC ще бъде AC \u003d 6 cm, а \u003d 45 °, а \u003d 105 °. Обозначава дължината на страната на слънцето чрез х. Трябва да го намерим. Използваме синусовата теорема, на която:
Като се има предвид, че сумата на ъглите в триъгълника е 180 °, получаваме:? B \u003d 180 ° -? A -? C \u003d 180 ° - 45 ° - 105 ° \u003d 30 °.
3. Намерете площта на триъгълника с партиите 2, 5 и 3 (фиг. 128). (един)
Решение. Можете да се възползвате от формулата Gerona:
В нашия случай:
Полуст:
Би било по-лесно да се реши задачата ще бъде така. От теоремата Косинус:
Тъй като триъгълникът е равен на половината от работата на двете страни на синуса на ъгъла между тях, тогава:
4. В ABC триъгълника, където? ACB \u003d 120 °, се извършва медиана. Намерете го дължина, ако копието \u003d 6, Sun \u003d 4 (Фиг. 129). (2)
Решение. Използваме формулата за средна дължина
Ние имаме a \u003d sun \u003d 4, b \u003d AC \u003d 6. Остава да се намери c \u003d ab. Нанесете върху триъгълника на ос на косинус теорема: C2 \u003d AV2 \u003d AC2 + BC 2-2Ac? BC? COS (? DC) \u003d 62+ 42-2? 6? четири? Cos 120 ° \u003d 36 + 16-48? (- 1/2) \u003d 76.
5. Намерете дължините на страните на ABC на ABC остра-ъгловия триъгълник, ако слънцето \u003d 8 и дължините на височините, спуснати върху променливотоковата и слънце, са съответно 6, 4 и 4 (фиг. 130 ). (2)
Решение. Единственият ъгъл на триъгълника, който остава "непокътнат", ъгъл С.
От правоъгълния триъгълник на флота следва:
И сега на космисънската теорема, приложима към Триъгълник на ABC, ние получаваме:
Отговор: AB \u003d? 41; AC \u003d 5.
6. в триъгълник, един от ъглите на който е равен на разликата между другите две, дължината на по-малката страна е равна на 1 и сумата на квадратите на квадратите, построени от две други, два пъти, два пъти Площ на района, описан близо до триъгълника на кръга. Намерете дължината на по-голямата страна на триъгълника (фиг. 131). (2)
Решение: Отказ? Най-малкият ъгъл в триъгълника и през? Най-великият ъгъл. Тогава третият ъгъл е равен? -? -? При условието на задачата? -? \u003d? -? -? (По-голям ъгъл не може да бъде равен на разликата в два други ъгли). От това следва, че 2? \u003d?; ? \u003d? / 2. Така че триъгълникът е правоъгълен. Отпадъци на въздухоплавателното средство, разположено срещу по-малък ъгъл?, Равен при условие 1, което означава, че втората ролка на AV е CTG?, И хипотенузата на AU е 1 / грях? Ето защо, сумата на квадратите на площадите, изградени върху хипотенуза и по-голяма NUTTA, е:
Центърът на кръга, описан близо до правоъгълен триъгълник, се намира в средата на хипотенузата и неговият радиус е равен на:
и площта е равна:
Използвайки състоянието на задачата, имаме уравнение:
Дължината на най-голямата страна на триъгълника е равна
7. Дължините на страната А, В, от триъгълника са равни на 2, 3 и 4. Намерете разстоянието между центровете на описаните и вписани кръгове. (2)
Решение. За да разрешите проблема, дори чертежът не е необходим. Постоянно намираме: полумерна мярка
Разстояние между центровете на кръговете:
8. В триъгълника на ABC величината на ъгъла е равна на? / 3, дължината на височината, спусната от горната част със страната на АВ, е равна на 3 cm и радиуса на описания кръг В близост до ABC триъгълник е 5 cm. Намерете дължините на страната на ABC триъгълника (фиг. 132). (3)
Решение: нека компактдискът да бъде височината на ABC триъгълника, намалена от върха С. Възможни са три случая. Базовият D височина CD получава:
1) на сегмента AV;
2) да продължи сегмента на AV на точка;
3) до точка V.
Чрез състоянието радиусът на кръга, описан близо до триъгълника на ABC, е 5 см. Следователно във всичките три случая:
Сега е ясно, че точката d не съвпада с точката, тъй като слънцето? CD. Използвайки теоремата на Питагора към триъгълниците на ACD и BCD, ние откриваме това
От това следва, че точка D е между точки А и Б, но след това AV \u003d AD + BD (1 + 6? 2), виж
Отговор: AV \u003d (63 + 1) cm, слънце \u003d 5? 3 cm, AC \u003d 2 cm.
9. В триъгълниците на ABC и A1B1C1 дължината на страната A1b1 е равна на дължината на страната A1B1, дължината на страната на високоговорителя е равна на дължината на страната A1C1, ъгловата стойност на вас е 60 ° и стойността на ъгъла B1A1C1 е 120 °. Известно е, че съотношението на дължина B1C1 към дължината на слънцето е равно на? N (където n е цяло число). Намерете съотношението на дължината на AU към дължината на AU. Под какви стойности n задачите има поне един разтвор (фиг. 133)? (3)
Решение: Нека ABC и A1B1C1 са данните за състоянието на триъгълника. Прилагане на косин теорема към ABC и A1B1C1 триъгълници, ние имаме:
T. K. При условията на задачата на B1C1: Sun \u003d? N, тогава
Тъй като A1B1 \u003d AU и A1C1 \u003d AU, след това, разделяйки числителя и знаменателя на фракцията от лявата страна на равенството (1) на AC2i, обозначавайки AB: AU чрез X, ние получаваме равенство:
когато е ясно, че желаното съотношение на дължината на AU към дължината на какъвто е коренът на уравнението
x2 (N- 1) - X (N + 1) + N - 1 \u003d 0. (2)
T. K. B1C1\u003e слънце, след това n\u003e 1. Следователно уравнението (2) е квадратно. Неговият дискриминант е равен на (N + 1) 2-4 (N- 1) 2 \u003d - 3N2 + 10N - 3.
Уравнение (2) ще има решения, ако - 3N2 + 10N - 3? 0, т.е. при -1/3? н? 3. T. K.N е естествено число, по-голямо от 1, тогава уравнение (2) има разтвори при n \u003d 2 и n \u003d 3. с n \u003d 3, уравнение (2) има корен х \u003d 1; За n \u003d 2 уравнението има корен
Отговор: съотношението на дължината на ab до дължината на високоговорителя е равно
при n \u003d 2; равен на 1 при n \u003d 3; С останалите N решения там.
Като цяло триъгълникът е най-простата фигура на всички съществуващи полигони. Той се формира с помощта на три точки, които лежат в първата равнина, но в същото време те не лежат на 1-ви права, а двойките са свързани помежду си. Триъгълниците са от различни видове и следователно се характеризират с различни свойства. В зависимост от вида на ъглите, триъгълникът може да се отнася до един от трите вида - да бъде остър ъглов, правоъгълен или глупав. Глупавият триъгълник е триъгълник, който има един глупав ъгъл. В същото време глупавият се нарича такъв ъгъл, който има величина на повече деветдесет градуса, но по-малко от сто осемдесет градуса.
С други думи, един глупав триъгълник е най-простият полигон, който съдържа глупав ъгъл - някои от ъглите са в рамките на 90-180 градуса.
Задача: Има ли или не триъгълник, когато:
- aBC ъгълът в него е равен на 65 градуса;
- ъгълът на BCA е 95 градуса;
- ъгъл на кабината - 20 градуса.
Решение: CAB и ABC ъглите са по-малко от 90 градуса, но с ъгъла на BCA над 90 градуса. Така че такъв триъгълник е глупав.
Как да намерим страните на глупав триъгълник
Какво е глупав триъгълник, ние се занимавахме по-горе. Сега тя трябва да бъде разгледана, с която триъгълник се счита за еднакво председателстван.
Също така се нарича такъв триъгълник, който има 2 абсолютно еднаква страна. Тези страни се наричат \u200b\u200bстрана, третата страна на триъгълника се нарича основа.
Версиите на триъгълника обикновено се посочват от капиталови латински букви - т.е., А, В и С. Стойностите на нейните ъгли, съответно, върховете са обозначени с гръцки букви, т.е. Дължината на противоположните страни на триъгълника са главни латински букви, т.е. a, b, c.
Една проста задача: периметърът на глупав просветен триъгълник е 25 см, разликата от 2 от страните му е 4 см, а 1-инцата от външните ъгли на триъгълника е остър. Как да намерим такъв триъгълник?
Решение: ъгъл, в непосредствена близост до който острят ъгъл на триъгълника е глупав. В триъгълник на такъв план един ъгъл може да бъде изключително ъгълът, който е против нейната основа. Съответно базата е най-голямата страна на такъв триъгълник. Ако вземете основата на този триъгълник за X, след това за решаването на този проблем трябва да използвате следната формула:
Отговор: основата на еднакво окова се глупав триъгълник е 11 см, а от двете му страни от 7 cm.
Формули, за които можете да намерите страните на глупав триъгълник, свободен
Използва се нотация:
- б - това е страната на основата на триъгълника
- а - равната му страна
- α - ъгли в основата на триъгълника
- β - ъгъл, който се формира от равни равни
- √ - квадратен корен
1. Формули на основната дължина (б):
- b \u003d 2a sin (β / 2) \u003d a√2-2cosβ
- b \u003d 2a cos α
2. Формули на дължината на равни страни на триъгълника (ите):
2sin (β / 2) √2-2cos β
Как да намерим ъгъл на косинус в глупав триъгълник, ако височината е известна
За да започне, няма да боли да разберем с основните термини, които се използват по този въпрос: какво се нарича височина на триъгълника и какво е косинус ъгъл.
Височината на триъгълника се счита за перпендикулярна, която се извършва от горната част на линията, която съдържа противоположната страна на този триъгълник. Косинусът е добре позната тригонометрична функция, която е една от основните функции на тригонометрията.
За да се намери косинус на ъгъла в глупав триъгълник с върховете А, В и С, при условие, че височината е известна, трябва да намалите височината отстрани на високоговорителите. Точката, в която височината се пресича със страна на AU, трябва да бъде обозначена с D и да помисли за триъгълника на AVD, който е правоъгълен. В този триъгълник AB, който е страна на оригиналния триъгълник, е хипотенуза. Catests са височината на оригиналния триъгълник, както и сегмента на рекламата, която принадлежи към страната на AU. В същото време косинусът на ъгъла, съответстващ на Vertex A, е равен на отношението на рекламата към AB, тъй като рекламната катат е в непосредствена близост до ъгъла в горната част на AV на AV триъгълника. В случай, че е известно какво точно съотношението на AU е разделено от височината на VD и каква е тази височина, тогава косинусът на ъгъла, съответстващ на върха A, намерено.
Въпрос 1.Какви ъгли се наричат \u200b\u200bсъседство?
Отговор.Два ъгъла се наричат \u200b\u200bв непосредствена близост, ако имат една страна обща страна, а други партии на тези ъгли са допълнителни полукръга.
На фигура 31, ъглите (a 1 b) и (a 2 b) в съседство. Те имат крайната част Б и страните А 1 и А2 са допълнителни полукръга.
Въпрос 2.Докаже, че сумата от съседните ъгли е 180 °.
Отговор. Теорема 2.1.Сумата от съседните ъгли е 180 °.
Доказателства. Позволете на ъгъл (A 1 b) и ъгъл (A 2 b) - тези съседни ъгли (виж фиг.31). Beam B преминава между страните на 1 и 2 от разгърнатата ъгъл. Следователно, сумата на ъглите (a 1 б) и (a 2 b) е равна на разгърнатата ъгъл, т.е. 180 °. Q.E.D.
Въпрос 3.Докажете, че ако два ъгъла са равни, тогава съседните ъгли също са равни.
Отговор.
От теорема 2.1
от това следва, че ако два ъгъла са равни, тогава съседните ъгли са равни.
Да предположим, че ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни. Трябва да докажем, че ъглите (2 b) и (c2 d) също са равни.
Сумата от съседните ъгли е 180 °. От това следва, че a 1 b + a 2 b \u003d 180 ° и С1 d + С2 d \u003d 180 °. Следователно, 2 b \u003d 180 ° - a 1 b и С2 d \u003d 180 ° - C 1 D. Тъй като ъглите (a 1 b) и (c 1 d) са равни, получаваме, че 2 b \u003d 180 ° - a 1 b \u003d c2 d. Според транзитивната собственост на знака за равенство, следва, че 2 b \u003d C2 D. Q.E.D.
Въпрос 4.Какъв ъгъл се нарича директно (остри, глупави)?
Отговор. Ъгъл, равен на 90 °, се нарича директен ъгъл.
Ъгъл, по-малък от 90 ° се нарича остър ъгъл.
Ъгълът по-голям от 90 ° и по-малкият 180 ° се нарича глупав.
Въпрос 5. Докажете този ъгъл, в непосредствена близост до директен, е прав ъгъл.
Отговор.От теоремата на сумата от съседните ъгли следва, че ъгълът, в непосредствена близост до директния ъгъл, е директен ъгъл: X + 90 ° \u003d 180 °, X \u003d 180 ° - 90 °, X \u003d 90 °.
Въпрос 6.Какви ъгъл се наричат \u200b\u200bвертикални?
Отговор.Два ъгъла се наричат \u200b\u200bвертикални, ако страните на същия ъгъл са допълнителни полупросто страни на другия.
Въпрос 7.Докажете, че вертикалните ъгли са равни.
Отговор. Теорема 2.2. Вертикалните ъгли са равни.
Доказателства.Позволявам (A 1 B 1) и (A 2 B2) - тези вертикални ъгли (фиг. 34). Ъгълът (A 1 B2) е в непосредствена близост до ъгъл (A 1 B1) и с ъгъл (2 b2). Следователно теорема на сумата от съседните ъгли, заключаваме, че всеки от ъглите (A 1 B 1) и (A 2 B 2) допълва ъгъла (A 1 B 2) до 180 °, т.е. Ъглите (a 1 B 1) и (a 2 b2) са равни. Q.E.D.
Въпрос 8.Докажете, че ако с пресечната точка на две прави линии един от ъглите на линията, тогава останалите три ъгъл също са прави.
Отговор.Да предположим, че директният AB и CD преминава един с друг в точка О. Да предположим, че ъгълът на AOD е 90 °. Тъй като сумата от съседните ъгли е 180 °, получаваме, че AOC \u003d 180 ° -AOD \u003d 180 ° е 90 ° \u003d 90 °. Ъгъл на ъгъла на кочана, така че те са равни. Това означава, че ъгловата кочана \u003d 90 °. Вертикален ъгъл на CoA ъглов ъглов, така че те са равни. Това означава, ъгълът BOD \u003d 90 °. Така всички ъгли са 90 °, т.е. всички те са директни. Q.E.D.
Въпрос 9.Какви са директните се наричат \u200b\u200bперпендикулярно? Какъв знак се използва, за да се позове на перпендикулярността на директното?
Отговор.Две прави линии се наричат \u200b\u200bперпендикулярни, ако се пресичат под прав ъгъл.
Перпендилността на директното се обозначава с знака (PERP). Record (a, perp b) гласи: "Direct a perpendicular на direct b".
Въпрос 10.Докажете, че чрез всяка точка направото може да се извърши от лицето перпендикулярно на него и само едно.
Отговор. Теорема 2.3.Чрез всеки директ може да се извършва директно и само един.
Доказателства.Нека бъде това пряко и - тази точка върху нея. Обозначава с 1 един от полупродуктируемата директна а с началната точка А (фиг. 38). Ние ще отложим от полукръглия ъгъл (A 1 B1), равен на 90 °. След това директният, съдържащ лъч B 1, ще бъде перпендикулярно на директното a.
Да предположим, че има друга права линия, която минава и през точката А и перпендикулярна на права линия a. Означават с C 1, полуо оста на тази права линия, разположена в една половина равнина с лъч b 1.
Ъглите (А 1 В1) и (А1С 1), равни на всеки 90 °, се отлагат в една половин равнина от полу-опростената А1. Но от полукръгума А 1 в тази половина равнина, само един ъгъл може да бъде отложен, равен на 90 °. Следователно, да не бъде друго директно преминаване през точката А и перпендикулярна директна а. Теорема се доказва.
Въпрос 11.Какво е перпендикулярно на права линия?
Отговор. Перпендикулярът на този директ се нарича права линия, перпендикулярна на това, която има един от неговите пресичащи се точка на пресичане. Този край на сегмента се нарича база Перпендикулярно.
Въпрос 12.Обяснете, че доказателството за неприятна.
Отговор. Методът на доказване, който прилагаме в теорема 2.3, се нарича доказателство за противника. Този метод на доказателство е, че първоначално правим предположение, че е обратното на одобреното от теоремата. След това, чрез разсъждение, разчитайки на аксиоми и доказани теореми, стига до заключението, което противоречи или на състоянието на теоремата или на един от аксиомите или преди това доказана теорема. На тази основа заключаваме, че нашето предположение е неправилно и следователно изявлението на теоремата е вярно.
Въпрос 13.Какво се нарича бисектор ъгъл?
Отговор.Бисерът на ъгъла се нарича греда, който идва от върха на ъгъла, преминава между нейните партии и разделя ъгъла наполовина.
Зареждане...