Resebnik Kuznetsova.
III графика

Задача 7. Проведете пълно проучване на функцията и изградете своя график.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp преди да започнете изтеглянето на опциите си, опитайте се да решите пробния проблем по-долу за опция 3. Част от опциите се архивират във формат.Rar

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 7.3 Провеждане на пълно проучване на функцията и изграждане на своя график

Решение.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 1) Определение област: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp, т.е. & nbsp & nbsp & Nbsp & nbsp.
.
По този начин: & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 2) пресичащи точки с ос Окси. Всъщност, уравнението и уравнението и NBSP & NBSP & NBSP & NBSP няма решения.
Точки на пресичане с OY AXIS NO, тъй като и NBSP & NBSP & NBSP & NBSP.

& Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp 3) функцията е или нещо, нито интензивно. Няма симетрии по отношение на оста на ординатата. Няма симетрии относно началото на координатите. Като
.
Виждаме, че и nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp.

& NBSP & NBSP & NBSP & NBSP 4) функцията е непрекъсната в областта на дефиницията
.

; .

; .
Следователно, точка & nbsp & nbsp & nbsp & nbsp е точка за прекъсване втори ред (безкрайна почивка).

5) Вертикални асимптоти: & Nbsp & nbsp & nbsp & nbsp

Ние ще намерим наклонени асимптоти и nbsp & nbsp & nbsp & nbsp. Тук

;
.
Следователно имаме хоризонтални асимптоти: y \u003d 0.. Няма наклонена асимптотка.

& Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp 6) ще намери първото производно. Първо производно:
.
И затова
.
Намерете стационарни точки, където производно е нула, това е
.

& Nbsp & Nbsp & Nbsp & Nbsp 7) Ще намерим второто производно. Второ дериват:
.
И е лесно да се уверите, защото

Как да проучите функцията и да изградите своя график?

Изглежда, че започвам да разбирам духовно проникненото лице на лидера на света пролетариат, авторът на колекцията на писанията в 55 тома .... Начина на недоносничество започна с елементарна информация за функции и графикиИ сега, работата по време на отнемане на времето завършва с естествен резултат - статия при пълно проучване на функцията. Дългоочакваната задача е формулирана, както следва:

Разгледайте функцията на диференциалните изчислителни методи и въз основа на резултатите от проучването за изграждане на своя график

Или по-кратък: Разгледайте функцията и изградете диаграма.

Защо да изследвате? В прости случаи нямаме трудно да се разберат елементарните функции, да нарисуват графика, получен от елементарни геометрични трансформации и т.н. Въпреки това, свойствата и графичните образи на по-сложни функции далеч не са очевидни, поради което е необходимо цялото проучване.

Основните етапи на разтвора се намаляват в референтния материал. Функционална научна схемаТова е вашето ръководство за секцията. Чайетос се нуждаят от стъпка по стъпка обяснение на темата, някои читатели не знаят къде да започнат и как да организират проучване и напредналите ученици могат да се интересуват само от някои моменти. Но който бихте могли, скъпи посетител, предложеното резюме с указатели към различни уроци в най-краткия термин ориентират и ще ви насочат в интерес на интерес. Robots Slandered \u003d) Ръководство на плитките под формата на PDF файл и взе заслужено място на страницата Математически формули и таблици.

Изследването на функцията, която използвах за прекъсване на 5-6 точки:

6) допълнителни точки и график въз основа на резултатите от проучването.

За сметка на последното действие, мисля, че всичко е ясно на всички - ще бъде много разочароващо, ако в няколко секунди ще бъде кръстосана и ще бъде върната в усъвършенстването. Правилният и точен чертеж е основният резултат от решението! Много е вероятно да "свържат" аналитични ожулвания, докато неправилната и / или небрежна диаграма ще донесе проблеми дори с идеално проведено проучване.

Трябва да се отбележи, че в други източници броят на изследователските позиции, процедурата за тяхното прилагане и стил на регистрация може да се различава значително от предложената от мен схема, но в повечето случаи е съвсем достатъчно. Най-простата версия на задачата се състои само от 2-3 етапа и е формулирана, както следва: "изследвайте функцията, използвайки производна и изграждане на диаграма" или "изследване на функцията, използваща 1-то и 2-ро производа, изгради диаграма."

Естествено - ако вашият метод е разглобен в детайли друг алгоритъм или вашият учител стриктно изисква да се придържат към лекциите си, ще трябва да направи някои корекции на решението. Не е по-трудно от замяна на вилицата с лъжица с верижни триони.

Проверете функцията за готовност / странност:

След това се следва запис на шаблона:
Следователно, тази функция не е дори или странна.

Тъй като функцията е непрекъсната, няма вертикални асимптоти.

Няма наклонено асимптот.

Забележка : Напомням ви, че това е по-високо нареждане на растежотколкото, така че крайният лимит е равен на " плюс Безкрайност. "

Разберете как функцията се държи на безкрайност:

С други думи, ако отидем надясно, тогава графикът става безкрайно далеч, ако е оставен безкрайно надолу. Да, тук са и две граници под един запис. Ако имате някакви трудности с декодиращите знаци, моля посетете урока безкрайно малки черти.

Така функцията не е ограничено до отгоре и не е ограничено до по-долу. Като се има предвид, че нямаме точки за прекъсване, става ясно и функционални стойности област: - Също така всеки валиден номер.

Полезна техническа техника

Всяка настройка на задача носи нова информация за графикатаСледователно, по време на решението е удобно да се използва вид оформление. Ще изобразя координатната система на Картовка Картов. Какво вече е известно? Първо, графикът няма асимптот, следователно, директният недостатък не е необходим. Второ, знаем как функцията се държи в безкрайност. Според анализа, направете първото приближение:

Обърнете внимание, че по силата непрекъснатост Функционира и фактът, че графикът трябва поне веднъж да пресече оста. Или може би има няколко точки на пресичане?

3) нули и интервали от подравняването.

Първо ще намерим точката на пресичане на графиката със оста на ординатата. Просто е. Необходимо е да се изчисли стойността на функцията, когато:

Едно и половина над морското равнище.

За да намерите точките на пресичане с оста (нули на функцията), е необходимо да се реши уравнението и тук ще имаме неприятна изненада:

В крайна сметка беше прикрепен свободен член, който много усложнява задачата.

Такова уравнение има поне един валиден корен и най-често този корен е ирационален. В по-лоша приказка ще имаме три прасета. Уравнението е разрешено като се използва така нареченото кардано формулиНо щетата на хартията е сравнима почти с цялото проучване. В това отношение е по-разбираемо устно или по проекта, за да се опитат да изберат поне един цял корен. Проверете, не са числа:
- неподходящ;
- има!

Това е късметлия тук. В случай на неуспех, също така е възможно да се тестват и ако тези номера не се появят, тогава има много малко шансове за печелившо решение на уравнението. След това учебният елемент е по-добре да пропуснете - може би ще стане нещо по-ясно на последната стъпка, когато ще бъдат направени допълнителни точки. И ако същият корен (корени) е ясно "лош", тогава интервалите на подравняването са по-добри в скромно Silex да, по-добре е да изпълним чертежа.

Въпреки това, имаме красив корен, така че разделяме полиномната без остатък:

Алгоритъмът за разделяне на полином към полиномния в детайли се разглоби в първия пример на урока Трудни граници.

В резултат на това лявата част на уравнението на източника сгънати в работата:

И сега малко за здравословен начин на живот. Аз, разбира се, разбирам това квадратни уравнения Трябва да решите всеки ден, но днес ще направим изключение: уравнение Той има два валидни корени.

На числова директна отлагане на установените стойности и интервал Определете функциите на функцията:


така на интервали График се намира
под ос от абсциса и на интервали - над тази ос.

Получените заключения ви позволяват да детайлите нашето оформление, а второто сближаване на графиката е както следва:

Моля, обърнете внимание, че функцията трябва задължително да има поне един максимум и на интервал - поне един минимум. Но колко пъти, къде и кога ще "скрие" график, все още не знаем. Между другото, функцията може да има и безкрайно много крайности.

4) Възходящо, намаляване и екстремулна функция.

Намерете критични точки:

Това уравнение има два валидни корени. Ще ги отложа на цифров директен и ще дефинираме признаците на деривата:


Следователно функцията се увеличава и намалява.
В момента функцията достига максимум: .
В момента функцията достига минимум: .

Инсталирани факти паунд нашия шаблон в доста твърда рамка:

Какво да кажа, диференциалното смятане - мощно нещо. Нека най-накрая се занимаваме с формата на графика:

5) изпъкналост, вложка и точка на инфлексия.

Ще намерим критични точки на второто дериват:

Определете знаците:


Функционалната графика е изпъкнала и вдлъбната. Изчисляване на ордината на точката на инфлексия :. \\ t

Почти всичко се оказа.

6) остава да се намерят допълнителни точки, които ще помогнат по-точно да изградят графика и да извършват самостоятелен тест. В този случай те не са достатъчни, но няма да пренебрегваме:

Извършете чертеж:

Зеленият цвят е маркиран с точка на инфлексия, кръстове - допълнителни точки. Графиката на кубичната функция е симетрична за неговата инфлексирана точка, която винаги се намира строго в средата между максималния и минимум.

В хода на изпълнението на задачата донесох три хипотетични междинни рисунки. На практика е достатъчно да се направи координатна система, маркирайте намерените точки и след всяко проучване психически прецени как може да изглежда функционалната графика. Учениците с добро ниво на обучение няма да бъдат трудни за извършване на такъв анализ изключително в ума, без да привличат проект.

За саморешения:

Пример 2.

Разгледайте функцията и изградете диаграма.

Има по-бързо и по-забавно, примерна извадка от довършителен дизайн в края на урока.

Много тайни разкриват изследването на частични рационални функции:

Пример 3.

Диференциалните методи за изчисляване изследват функцията и въз основа на резултатите от проучването за изграждане на своя график.

Решение: Първият етап от изследването не се различава с нещо забележително, с изключение на дупката в областта на дефиницията:

1) функцията е дефинирана и непрекъсната по цялата цифрова директна, с изключение на точката, домейн: .

Това означава, че тази функция не е дори или странна.

Очевидно функцията не е периодична.

Графиката на функцията е два непрекъснати клона, разположени в лявата и дясната половина на равнината - това е може би най-важното заключение на 1-ва точка.

2) асимптоти, поведение на функцията при безкрайност.

а) с помощта на еднопосочни граници, ние изследваме поведението на функцията близо до подозрителна точка, където тя е очевидно вертикална асимптота:

Всъщност функциите толерират безкрайна почивка В точката,
и прав (ос) е вертикална Asimptota. графики.

б) проверете дали съществуват исимптоти:

Да, директно е наклонена асимптото Графики, ако.

Границите за анализ няма смисъл, тъй като е толкова ясно, че функцията в прегръдка с наклонена асимптота не е ограничено до отгоре и не е ограничено до по-долу.

Втората проучвателна точка доведе до много важна информация за функцията. Извършете проект на скица:

Заключение номер 1 се отнася до интервалите на привеждането в съответствие. На "минус infinity" графиката на функцията е уникално разположена под Asccissa Axis, а на "плюс безкрайността" - над тази ос. В допълнение, едностранните граници ни съобщаваха и като ляво и дясно на функцията, също, повече нула. Моля, обърнете внимание, че в левия полу-равнина графикът поне веднъж е длъжен да премине оста на абсцисата. В десния полулетен нули, функциите може да не са.

Изходният номер 2 е, че функцията се увеличава и наляво (има "дъно"). Вдясно от тази точка - функцията намалява (има "отгоре надолу"). Десният клон на графиката със сигурност трябва да бъде най-малко един минимум. Левите крайности не са гарантирани.

Заключение номер 3 дава надеждна информация за вдлъбнатината на графиката в квартала на точката. Не можем да кажем нищо за издатината / вдлъбнатината върху безкрайността, защото линията може да бъде притисната към техните асимптоти както отгоре, така и отдолу. Най-общо казано, има аналитичен начин да го разберем точно сега, но формата на подаръка "за нищо" ще стане по-ясна на по-късните етапи.

Защо толкова много думи? За да наблюдавате последващите проучвания и да предотвратите грешки! Допълнителните изчисления не трябва да противоречат на заключенията.

3) точки на пресичане на графиката с координатни оси, интервалите на символната функция.

Графиката на функцията не пресича оста.

Интервален метод определя знаците:

, ако ;
, ако .

Резултатите от точката напълно отговарят на заключението номер 1. След всеки етап погледнете проекта, психически споменат в проучването и нарисувайте функционална графика.

В примерния пример числителят е разделен на знаменател, който е много полезен за диференциация:

Всъщност вече е направено, докато асимптотите са намерени.

- критична точка.

Определете знаците:

се увеличава до и намаление от

В момента функцията достига минимум: .

Дискусиите със заключение номер 2 също не разбраха и най-вероятно сме на прав път.

Така че функционалната графика е вдлъбната в цялото поле на дефиниция.

Отлично - и не рисувайте нищо.

Няма точки за инфлексия.

Конференцията е в съответствие със заключението номер 3, освен това показва, че в безкрайността (и там и там) се намира графиката на функцията по-горе неговите наклонени асимптоти.

6) В добросъвестно розовата задача с допълнителни точки. Тук ще бъде доста трудно, заради проучването, известно е само на две точки.

И картината, която вероятно много отдавна са представили:

По време на задачата трябва внимателно да се уверите, че няма противоречия между етапите на изследването, но понякога ситуацията е извънредна или дори отчаяна. Тук "не се събира" анализатор - и това е всичко. В този случай препоръчвам аварийното приемане: откриваме колкото се може повече точки, които принадлежат към графиката (колко е достатъчно търпение) и ние ги отразявам по координатния самолет. Графичният анализ на намерените ценности в повечето случаи ще ви каже къде е истината и къде е лъжа. В допълнение, графикът може да бъде изграден преди това, използвайки всяка програма, например в същото изгнание (разбираемо, за това се нуждаете от умения).

Пример 4.

Различни методи за изчисляване изследват функцията и изграждат своя график.

Това е пример за независимо решение. В него, самоконтролът се засилва от функцията - графиката е симетрична около оста и ако нещо противоречи на този факт във вашето проучване, потърсете грешка.

Можете също така да изследвате ясна или странна функция, когато и след това да използвате симетрията на графиката. Такова решение е оптимално, но по мое мнение изглежда много необичайно. Лично аз считам цялата цифрова ос, но все още намирам допълнителни точки вдясно:

Пример 5.

Провеждане на пълно проучване на функцията и изграждане на нейния график.

Решение: Тя се втурнала твърда:

1) Функцията е дефинирана и непрекъсната по цялата цифрова линия :.

Това означава, че тази функция е странна, нейната графика е симетрична по отношение на началото на координатите.

Очевидно функцията не е периодична.

2) асимптоти, поведение на функцията при безкрайност.

Тъй като функцията е непрекъсната, тогава отсъстват вертикалните асимптоти

За функция, съдържаща поканата на изложителя отделен Изследването "плюс" и "минус безкрайност", но животът ни улеснява симетрията на графика - или отляво, и отдясно има асимптота, или не е така. Следователно и двете безкрайни граници могат да бъдат издадени под един запис. По време на решението използваме лопатално правило:

Директната (ос) е хоризонтална асимптота на графиката.

Моля, обърнете внимание как ударим пълния алгоритъм за намиране на наклонени асимптоти: лимитът е напълно лесно и изяснява поведението на функцията при безкрайност, а хоризонталната асимптота е открила "сякаш в същото време".

От непрекъснатост и съществуването на хоризонтални асимптоти следва факта, че функцията ограничено от горното и ограничено от по-долу.

3) точките на пресичане на графиката с координатни оси, интервалите на подравняването.

Тук също намаляват решението:
Графикът преминава през произхода на координатите.

Няма други точки на пресичане с координатни оси. Освен това интервалите на алполизъм са очевидни, а оста не може да бъде изтеглено:, което означава, че функцията на функцията зависи само от "ICA":
, ако ;
, ако .

4) Увеличаване, намаляване, екстремум функция.


- критични точки.

Точките са симетрични относителни с нула, както трябва да бъде.

Определете признаците на дериват:


Функцията се увеличава на интервала и намалява на интервали

В момента функцията достига максимум: .

По силата на имота (Функции за свързване) Минималният не може да бъде изчислен:

Тъй като функцията намалява на интервала, е очевидно за "минус безкрайност" под С асимптота. На интервала функцията също намалява, но тук всичко е обратното - след преминаване през максималната точка, линията се приближава до ос вече отгоре.

От гореизложеното следва, че функционалният график е изпъкнал на "минус безкрайността" и вдлъбната на "плюс безкрайност".

След тази точка на проучването се нарича и полето на стойностите на функцията:

Ако нямате недоразумение за всеки моменти, отново призовавам да нарисувам координирани оси в тетрадката и с молив в ръцете, за да анализирате всяко заключение.

5) преобразуване, влъчване, инфлекция на графики.

- критични точки.

Точките на симетрията са запазени и най-вероятно не сме погрешни.

Определете знаците:


Функционалната графика е изпъкнала И вдлъбнати .

Беше потвърдена издатина / вложността на крайните интервали.

Във всички критични точки има огъване географски характеристики. Ще намерим ординати на просяците, докато отново ще намалим броя на изчисленията, използвайки странността на функцията:

Ако задачата е да завършите пълно проучване на функцията F (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 с изграждането на своя график, след това разгледайте този принцип подробно.

За да разрешите задачата на този тип, използвайте свойствата и графиките на основните елементарни функции. Алгоритъмът на изследването включва стъпки:

Намиране на област на дефиниция

Тъй като изследването се извършва в областта на дефиницията на място, е необходимо да започнете от тази стъпка.

Пример 1.

Посоченият пример предполага основата на знаменател на нулите, за да ги изключи от OTZ.

4 x 2 - 1 \u003d 0 x \u003d ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +.

В резултат на това можете да получите корени, логаритми и т.н. След това OTZ може да се търси за дори степен от тип G (x) 4 чрез неравенство g (x) ≥ 0, за логаритм log a g (x) чрез неравенство g (x)\u003e 0.

Проучване на граничните граници и намиране на вертикален асимптот

На границите на функцията има вертикални асимптоти, когато едностранните граници в такива точки са безкрайни.

Пример 2.

Например, разгледайте граничните точки, равни на x \u003d ± 1 2.

След това е необходимо да се изследва функцията за намиране на едностранна граница. След това получаваме това: lim x → - 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → - 1 2 - 0 х 2 (2 х - 1) \\ t ) (2 х + 1) \u003d 1 4 (- 2) · 0 \u003d + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 \u003d lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 х + 1) \u003d 1 4 (- 2) · (+ 0) \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 х 2 (2 х - 1) (2 х + 1) \u003d 1 4 (- 0) · 2 \u003d - ∞ lim x → 1 2 - 0 F (x) \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 \u003d \u003d lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 х - 1) (2 х + 1) \u003d 1 4 (+ 0 · 2 \u003d + ∞

Може да се види, че едностранните граници са безкрайни, което означава права X \u003d ± 1 2 - вертикални асимптоти от графиката.

Изследователска функция и паритет или странност

Когато състоянието Y (- X) \u003d Y (X) е изпълнено, функцията се счита за дори. Това предполага, че графикът се намира симетрично спрямо о. Когато състоянието y (- x) \u003d - y (x) е удовлетворено, функцията се счита за странна. Това означава, че симетрията идва спрямо началото на координатите. По подразбиране, поне едно неравенство, получаваме обща функция.

Изпълнението на равенството Y (- X) \u003d Y (X) предполага, че функцията е равномерна. При изграждането е необходимо да се вземе предвид, че ще има симетрия спрямо о.

За разтвор на нарастващи и низходящи пропуски при условия F "(x) ≥ 0 и F" (x) ≤ 0, съответно.

Определение 1.

Стационарни точки- Това са точките, които превръщат деривата на нула.

Критични точки - Това са вътрешни точки от областта на дефиницията, където производно на функцията е нула или не съществува.

При решаване е необходимо да се вземат предвид следните забележки:

• с разширенията на нарастващото и спускане на неравенството на формата F "(x)\u003e 0, критичните точки в разтвора не са включени;
• точките, в които функцията е дефинирана без крайно производно, трябва да бъдат включени в пропуските в увеличаването и низходящите (например, y \u003d x 3, където точка x \u003d 0 прави функцията, дефинирана, производно има стойността на безкрайността в това точка, y "\u003d 1 3 · x 2 3, y" (0) \u003d 1 0 \u003d ∞, x \u003d 0 е включен в нарастващия интервал);
• за да се избегнат разногласия, се препоръчва да се използва математическа литература, която се препоръчва от Министерството на образованието.

Включването на критични точки в пропуските в увеличаването и спускането в случай, че те отговарят на областите за определяне на място.

Определение 2.

За трябва да бъдат намерени определения за пропуски в увеличаването и низходящата функция:

• производно;
• критични точки;
• разделяне на дефиницията с критични точки към интервалите;
• определете знака на производителя върху всяка от пропуските, където + се увеличава и се спуска.

Пример 3.

Намерете дериват на полето за дефиниция F "(x) \u003d x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 х 2 - 1) 2 \u003d - 2 х (4 х 2 - 1) ) 2.

Решение

За да решите, ви трябва:

• намерете стационарни точки, този пример има x \u003d 0;
• намерете нули на знаменателя, примерът приема стойността на нула при x \u003d ± 1 2.

Точките за изпитване на числовата ос за определяне на производа на всеки интервал. За да направите това, е достатъчно да се вземе точка от пропастта и да направите изчисление. С положителен резултат графиката е изобразена +, което означава увеличаване на функцията и - означава неговото намаляване.

Например, F "(- 1) \u003d - 2 · (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, това означава, че първият интервал отляво има знак +. Помислете за цифрова линия.

Отговор:

• налице е увеличение на функцията в интервала - ∞; - 1 2 и (- 1 2; 0];
• намаление на интервала [0; 1 2) и 1 2; +.

В диаграмата с + и - позитивността и негативността на функцията е изобразена и стрелецът е намален и нараства.

Функция на екстремум точки - точки, където е дефинирана функцията и чрез която производно променя знака.

Пример 4.

Ако смятаме, че x \u003d 0, тогава функционалната стойност в нея е равна на f (0) \u003d 0 2 4 · 0 2 - 1 \u003d 0. При промяна на знака на производно с + включване - и преминаване през точката x \u003d 0, тогава точката с координатите (0; 0) се счита за максимална точка. При промяна на знака c - на + получаваме минимална точка.

Конвертирането и вдлъбнатината се определя при решаването на неравенствата на формуляра F "" (x) ≥ 0 и F "" (x) ≤ 0. По-рядко използвайте името на изпъкналото вместо вдлъбнати и изпъкналите вместо изпъкналост.

Определение 3.

За определяне на пропуските в вдлъбнати и издатини Трябва:

• намерете второто производно;
• намерете нули на функцията на второто производно;
• разделяне на определената област, която се появява на интервалите;
• определят знака за интервала.

Пример 5.

Намерете второто производно от областта на дефиницията.

Решение

f "" (x) \u003d - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "\u003d \u003d (- 2 x)" (4 х 2 - 1) 2 - - 2 х 4 х 2 - 1 2 "(4 х 2) - 1) 4 \u003d 24 x 2 + 2 (4 х 2 - 1) 3

Ние намираме нули на числителя и знаменател, където при примера на нашия пример имаме, че нули на знаменател x \u003d ± 1 2

Сега трябва да приложите точки към числовата ос и да определите признак на второто производно на всяка празнина. Получаваме това

Отговор:

• функцията е изпъкнала от пропастта - 1 2; 12 ;
• функцията е вдлъбната от пропуските - ∞; - 1 2 и 1 2; +.

Определение 4.

Точка на инфлексия - това е точка от тип Х 0; f (x 0). Когато тя е допирала към графиката на функцията, тогава, когато преминава през x 0, функцията променя знака до обратното.

С други думи, това е такава точка, през която преминава втората производна и променя знака, а в самите точки се равнява на нула или не съществува. Всички точки се считат за област на дефиниране на място.

В примера беше ясно, че точките на инфлексия отсъстват, тъй като второто производно променя знака по време на преминаването през точките X \u003d ± 1 2. Те, от своя страна, не са включени в областта на дефиницията.

Намиране на хоризонтални и наклонени асимптоти

При определяне на функцията при безкрайност е необходимо да се търсят хоризонтални и наклонени асимптоти.

Определение 5.

Наклонени асимптотиснимките са изобразени с помощта на директното зададено от уравнението y \u003d k + b, където k \u003d lim x → ∞ f (x) x и b \u003d lim x → ∞ f (x) - k x.

При K \u003d 0 и B, не е равно на безкрайността, ние получаваме, че наклонената асимптота става хоризонтално.

С други думи, асимптотите разглеждат линиите, към които се приближава графикът на функцията. Това допринася за бързото изграждане на функционалните графики.

Ако асимптотите липсват, но функцията се определя както на дефиницията, е необходимо да се изчисли границата на функцията върху тези безкрайност, за да се разбере как ще бъде самата функционална графика.

Пример 6.

При примера, помислете за това

k \u003d lim x → ∞ f (x) x \u003d lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x \u003d 0 b \u003d lim x → ∞ (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F (F) - KX) \u003d LIM X → X 2 4 x 2 - 1 \u003d 1 4 ⇒ y \u003d 1 4

това е хоризонтална асимптота. След изследване функцията може да бъде започнала да го изграждате.

Изчисляване на стойността на функцията в междинните точки

За изграждането на графика е най-точен, се препоръчва да се намерят няколко функции на функцията в междинни точки.

Пример 7.

От примера, който считаме, е необходимо да се намерят стойностите на функцията в точки X \u003d - 2, X \u003d - 1, X \u003d - 3 4, X \u003d - 1 4. Тъй като функцията е дори, ние получаваме, че стойностите съвпадат с стойностите в тези точки, т.е. получаваме x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Пишем и разрешаваме:

F (- 2) \u003d F (2) \u003d 2 2 4 · 2 2 - 1 \u003d 4 15 ≈ 0, 27 F (- 1) - F (1) \u003d 1 2 4 · 1 2 - 1 \u003d 1 3 ≈ 0 , 33 F - 3 4 \u003d F 3 4 \u003d 3 4 2 4 3 4 2 - 1 \u003d 9 20 \u003d 0, 45 F - 1 4 \u003d F 1 4 \u003d 1 4 2 4 · 1 4 2 - 1 \u003d - 1 12 ≈ - 0, 08

За да определите максималните и минимумите на функцията, точки на инфлексията, междинните точки трябва да изграждат асимптоти. За удобно обозначение са записани пропуските в увеличаването, намаляването, издатината, вложността. Помислете за фигурата, показана по-долу.

Необходимо е чрез маркираните точки да се извършат линиите на графиката, което ще донесе по-близо до асимптотама, следвайки дрозите.

Това завършва пълното проучване на функцията. Има случаи на изграждане на някои елементарни функции, за които се използват геометрични трансформации.

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете го и натиснете Ctrl + Enter