10 метода за решаване на квадратно уравнение. Методи за решаване на квадратни уравнения

В училищния курс на математиката се изследват формули на корените на квадратните уравнения, с които могат да бъдат решени всички квадратни уравнения. Въпреки това, има и други начини за решаване на квадратни уравнения, които позволяват много уравнения много бързо и рационално. Има десет начина за решаване на квадратни уравнения. Подробно в работата ми разглобява всеки от тях.

1. Метод : Разлагане на лявата част на фабричното уравнение.

Разрешаване на уравнение

x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

Пространството на лявата страна на факторите:

x 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d x (x + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано така:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

Тъй като продуктът е нула, поне един от неговия фактор е нула. Следователно лявата част на уравнението се изтегля от нула x \u003d 2.както и x \u003d - 12. Това означава, че номерът 2 и - 12 са уравнения на корените x 2 + 10x - 24 \u003d 0.

2. Метод : Метод за разпределение на пълен квадрат.

Разрешаване на уравнение x 2 + 6x - 7 \u003d 0.

Подчертаваме пълния квадрат в лявата страна.

За да направите това, напишете експресията x 2 + 6x в следната форма:

x 2 + 6x \u003d x 2 + 2 x 3.

В резултатния израз, първият термин е квадратът на числото x, а вторият - двоен продукт x с 3. на това, за да получите пълен квадрат, трябва да добавите 3 2, тъй като

x 2 +. 2 x 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2.

Сега трансформираме лявата част на уравнението

x 2 + 6x - 7 \u003d 0,

добавянето му и изваждане 3 2. Ние имаме:

x 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 х 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (X + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

Така това уравнение може да бъде написано като:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 \u003d 16.

Следователно, x + 3 - 4 \u003d 0, x 1 \u003d 1, или x + 3 \u003d -4, x 2 \u003d -7.

3. Метод : Разтвор на квадратни уравнения по формулата.

Умножете двете части на уравнението

aH2 +.б.x + C \u003d 0, и ≠ 0

на 4А и последователно имаме:

4A 2 x 2 + 4Aб.x + 4AS \u003d 0,

((2AH) 2 + 2AHб. + б. 2 ) - б. 2 + 4 ac. = 0,

(2AX + B) 2 \u003d B 2 - 4AC,

2Акс + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2ax \u003d - B ± √ b 2 - 4ac,

Примери.

но) Разрешаване на уравнението: 4x 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,б. \u003d 7, c \u003d 3,Д. = б. 2 - 4 ac. = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

Д. > 0, два различни корена;

По този начин, в случай на положителен дискриминант, т.е. за

б. 2 - 4 ac. >0 уравнението aH2 +.б.x + C \u003d 0 Има две различни корени.

б) Разрешаване на уравнението: 4x 2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,б. \u003d - 4, c \u003d 1,Д. = б. 2 - 4 ac. = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

Д. = 0, един корен;

Така че, ако дискриминацията е нула, т.е. б. 2 - 4 ac. = 0 , след това уравнение

aH2 +.б.x + C \u003d 0 има единствения корен

в) Разрешаване на уравнението: 2x 2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,б. \u003d 3, c \u003d 4,Д. = б. 2 - 4 ac. = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , Д. < 0.

Това уравнение няма корен.

Така че, ако дискриминацията е отрицателна, т.е. б. 2 - 4 ac. < 0 ,

уравнението aH2 +.б.x + C \u003d 0 Той няма корени.

Формула (1) на корените на квадратното уравнение aH2 +.б.x + C \u003d 0 Позволява ви да намерите корените всеки Квадратно уравнение (ако има такова), включително горното и непълно. Валидната формула (1) се изразява като: корените на квадратното уравнение са равни на фракцията, чийто числителят е равен на втория коефициент, взет с противоположния знак, плюс минус корен квадрат от площада на този коефициент без все още постоянния продукт на първия коефициент Свободният член, а знаменателят има двоен коефициент.

4. Метод: Решаване на уравнения, използващи теоремата на Vieta.

Както знаете, намаленото квадратно уравнение има формата

x 2 +.px. + ° С. = 0. (1)

Корените му отговарят на теоремата на Виета, която a \u003d 1. Има външен вид

х. 1 х. 2 = q.,

х. 1 + х. 2 = - пс.

От тук можете да нарисувате следните заключения (според коефициентите P и Q можете да предскажете признаците на корените).

а) ако консолидиран член q. Даденото уравнение (1) е положително ( q. > 0 ), уравнението има два идентични коренови знака и е завистта на втория коефициент пс.. Ако r.< 0 Тогава и двата корен са отрицателни, ако r.< 0 и двата корен са положителни.

Например,

х. 2 – 3 х. + 2 = 0; х. 1 = 2 и х. 2 = 1, като q. = 2 > 0 и пс. = - 3 < 0;

х. 2 + 8 х. + 7 = 0; х. 1 = - 7 и х. 2 = - 1, като q. = 7 > 0 и пс.= 8 > 0.

б) ако е свободен член q. Даденото уравнение (1) е отрицателно ( q. < 0 ), уравнението има две различни на коренния знак, а коренът по-голям в модула ще бъде положителен, ако пс. < 0 или отрицателен ако пс. > 0 .

Например,

х. 2 + 4 х. – 5 = 0; х. 1 = - 5 и х. 2 = 1, като q.= - 5 < 0 и пс. = 4 > 0;

х. 2 – 8 х. – 9 = 0; х. 1 = 9 и х. 2 = - 1, като q. = - 9 < 0 и пс. = - 8 < 0.

5. Метод: Решаване на уравнения по метода на "транзит".

Помислете за квадратно уравнение

aH2 +.б.x + C \u003d 0,където A. 0.

Умножаване на двете части от A, ние получаваме уравнението

а 2 x 2 + aб.x + AC \u003d 0.

Нека бъде aH \u003d U.От! x \u003d y / aШпакловка след това дойдете в уравнението

в 2 +.до + AC \u003d 0,

еквивалент на това. Неговите корени в 1.и w. 2 Ще намерим с помощта на теоремата на Виета.

Най-накрая

x 1 \u003d y 1 / aи x 1 \u003d Y 2 / a.

С този метод коефициент но умножено от свободен член, сякаш "се движи" към него, така че се нарича hwyling "Transit". Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението, като използвате теоремата Vieta и най-важното, когато дискриминацията е точен квадрат.

Пример.

Разрешаване на уравнение 2x 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Решение. "Ние ще прехвърлим" коефициент 2 на свободен член, в резултат на това получаваме уравнението

на 2 - 11 + 30 \u003d 0.

Според теоремата на Виетна

в 1 \u003d 5 x 1 \u003d 5/2х. 1 = 2,5

U 2 \u003d 6х. 2 = 6/2 х. 2 = 3.

Отговор: 2.5; 3.

6. Метод: Свойства на коефициентите на квадратното уравнение.

НО. Нека да се даде квадратното уравнение

aH2 +.б.x + C \u003d 0,където A. 0.

1) ако, a +б. + C \u003d 0 (т.е., сумата на коефициентите е нула), след това x 1 \u003d 1,

x 2 \u003d s / a.

Доказателства. Разделяме двете части на уравнението на ≠ 0, получаваме намаленото квадратно уравнение

х. 2 + б./ а. х. + ° С./ а. = 0.

Според теоремата на Виетна

х. 1 + х. 2 = - б./ а.,

х. 1 х. 2 = 1 ° С./ а..

Чрез условие но -б. + C \u003d 0,от б. \u003d a + s.По този начин,

x 1 + x 2 \u003d -но + B / A \u003d -1 - C / A,

x 1 x 2 \u003d - 1 (- c / a), \\ t

тези. x 1 \u003d -1 и x 2 \u003d.° С./ а.това m трябва да докаже.

Примери.

1) решаване на уравнение 345x 2 - 137x - 208 \u003d 0.

Решение.Като A +.б. + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),че

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d° С./ а. = -208/345.

Отговор: 1; -208/345.

2) Уравнение на решенията 132x 2 - 247x + 115 \u003d 0.

Решение.Като A +.б. + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), че

x 1 \u003d 1, x 2 \u003d° С./ а. = 115/132.

Отговор: 1; 115/132.

Б. Ако вторият коефициент б. = 2 к.- дори номер, след това коренната формула

Пример.

Разрешаване на уравнение 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Решение. Ние имаме: a \u003d 3,б. \u003d - 14, C \u003d 16,к. = - 7 ;

Д. = к. 2 – ac. = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, Д. > 0, два различни корена;

Министерство на образованието и науката на Руската федерация

Област Брянск Zhukovsky област

MO Rjanitska средно училище

Изследвания

Решения

Павликов Дмитрий, 9 С1.

Лидер: Приходко Юри
Владимирович,

математически учител.

Bryansk, 2009.

I.. Историята на развитието на квадратни уравнения ……………………….2

1. квадратни уравнения в древния Вавилон ............................. 2

2. Както е отчетено и решен диофант квадратни уравнения ............ ... 2

3. квадратни уравнения в Индия ............................................ .. , 3.

4. квадратни уравнения в алкохол .................................... 4

5. квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век .................. .......... 5

6. За теоремата на Виета ............................................ ................... 6.

II.. Методи за решаване на квадратни уравнения ……………………….7

Метод ................................................... ............................ 7.

Метод ................................................... ....................... .... 9.

Метод ................................................... ....................... ... 10.

Метод ................................................... ....................... ... 12

Метод ................................................... ....................... ... 13.

Метод ................................................... ....................... ... 15

Метод ................................................... ....................... ... 16.

III. Заключение…………………………………………………..............18

Литература……………………………………………………………….19

Историята на развитието на квадратни уравнения.

1. квадратни уравнения в древен Вавилон.

Необходимостта от решаване на уравнения не само първите, но и втора степен в древността е причинена от необходимостта от решаване на задачите, свързани с местоположението на земните зони и с земни работи на военна природа, както и с развитието на астрономия и. \\ T Самата математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решат около 2000 години преди. д. Вавилонски.

Чрез прилагане на съвременен алгебричен запис, можем да кажем, че в своите текстове на клиновете има, с изключение на непълни, и такива, например, пълни квадратни уравнения:

Х. 2 + Х. = ¾; Х. 2 - Х. = 14,5

Правилото за решаване на тези уравнения, изложено във вавилонските текстове, съвпада по същество с модерното, но не е известно как вавилонците достигнаха това правило. Почти всички текстове на клипа, намерени досега, само задачи с решения, изложени под формата на рецепти, без индикация за това как са открити.

Въпреки високото ниво на развитие на алгебра във Вавилон, понятието за отрицателно число и общи методи за решаване на квадратни уравнения липсва в текстовете на клинокса.

2. Както представлява и решава динофантните квадратни уравнения.

В "аритметиката" на Диофанта няма систематично представяне на алгебрата, но съдържа систематичен брой задачи, придружени от обяснения и решени с приготвяне на уравнения на различни степени.

При изготвянето на диофантите уравнения за опростяване на решението умело избере неизвестно.

Тук, например една от задачите му.

Задача 11. "Намерете две числа, знаейки, че тяхната сума е 20, а работата е 96"

Диофантът твърди, както следва: От състоянието на проблема следва, че желаните номера не са равни, тъй като ако са равни, тогава работата им няма да бъде 96 и 100. Така един от тях ще бъде повече от половината от тях тяхната сума, т.е. 10 + H.Другата е по-малка, т.е. 10 - H.. Разликата между тях 2x..

Оттук и уравнението:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

х. 2 - 4 = 0 (1)

Оттук x \u003d 2.. Един от желаните числа е 12 , Други 8 . Решение x \u003d -2. Тя не съществува за Диофанта, тъй като гръцката математика знаеше само положителни числа.

Ако решим тази задача, избирайки един от желаните числа като неизвестен, ще стигнем до уравнението

y (20 - Y) \u003d 96,

w. 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

Ясно е, че изборът като неизвестна игра на желаните числа, диофантът опростява решението; Той може да намали задачата за решаване на непълно квадратно уравнение (1).

3. квадратни уравнения в Индия.

Задачите на квадратни уравнения вече са намерени в астрономическия тракт "Ариабхати", съставен през 499 г. Индийски математик и астроном Ариабхата. Друг индийски учен, Брахмагупта (VII век), очерта общото правило за решаване на квадратните уравнения, дадени на една канонична форма:

о. 2 + б.x \u003d C, и 0. (1)

В уравнение (1) коефициенти, освен номоже да е отрицателен. Правилото Brahmaguppta по същество съвпада с нашето.

В древна Индия публичните състезания бяха разпределени в решаването на трудни задачи. В една от старите индийски книги се казват следните състезания за такива състезания: "Тъй като слънцето блестеше със собствените си звезди, така че ученият е засенчващ фалшифицирането на друг в Народното събрание, предлагане и решаване на алгебрични задачи." Задачите често се ползват в поетична форма.

Ето една от задачите на известната индийска математика XII век. Бхаскара.

Задача 13.

- Стартира маймуни и дванадесет на Лиана ...

Силата на облицовката, забавна. Започна да скача, висящ ...

Те са в квадратната част на осмия колко маймуни са били,

В поляната се забавляваше. Казвате ли ми, в този стак?

Решението на Бхаскара свидетелства за факта, че знае за двойствеността на корените на квадратните уравнения (фиг. 3).

Съответната задача 13 уравнение:

(х./8) 2 + 12 = х.

Бхаскара пише под прикритието на:

х. 2 - 64x \u003d -768

и да допълни лявата част на това уравнение на квадрата, добавя и двете части 32 2 , след това:

х. 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16,

х. 1 \u003d 16, x 2 = 48.

4. квадратни уравнения в Ал Кьорезми.

В алгебричния трактат Ал - Хорезми дава класификацията на линейни и квадратни уравнения. Авторът включва 6 вида уравнения, изразявайки ги както следва:

1) "Квадратите са корени", т.е. О. 2 + C \u003d.б.х.

2) "квадратите са равни на номера", т.е. О. 2 \u003d s.

3) "Корените са равни на числото", т.е. ah \u003d s.

4) "Квадратите и цифрите са равни на корените", т.е. О. 2 + C \u003d.б.х.

5) "квадрати и корените са равни на числото", т.е. О. 2 + bX. \u003d s.

6) "Корените и цифрите са равни на квадратите", т.е.bX. + C \u003d ah 2 .

За Al-Khorezmi, избягвайки използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са компонентите и не се изваждат. В същото време очевидно не се вземат предвид уравненията, които нямат положителни решения. Авторът определя начини за решаване на тези уравнения, като използва техниките на Ал Ябр и Ал - Мукабала. Неговите решения, разбира се, не съвпада с нашите. Вече не споменава, че е чисто риторично, трябва да се отбележи, например, при решаването на непълно квадратно уравнение на първия тип ал-задължения, като всички математика до XVII век, вероятно е необходимо нулевото решение, вероятно Защото в конкретен практически това няма значение задачите. Когато решават пълни уравнения на квадратни ал-задължения на частни числови примери, тя определя правилата за решение и след това геометрични доказателства.

Нека да дадем пример:

Задача 14. "Площад и номер 21 са равни на 10 корени. Намерете корена »

(Означава коренът на уравнението x 2 + 21 \u003d 10x).

Решението на автора чете нещо подобно: ние разделяме броя на корените, ще получите 5, ще се умножите върху себе си, от работата на един 21 ще останете 4. Премахване на корена от 4, ще получите 2 , ONDE 2 OT5, ще получите 3, ще бъде желаният корен. Или добавете от 2 до 5, което ще даде 7, то също има корен.

Ал-Хорезмичният трактат е първият, който дойде при нас книгата, в която систематично се посочва класификацията на квадратни уравнения и формулите.

5. квадратни уравнения в ЕвропаXIII. - XVII експлозивни

Формулите за решаване на квадратни уравнения за Al-Khorezmi в Европа бяха посочени за първи път в "Книгата на Абака", написана през 1202 г. от италианския математик Леонардо Фибоначи. Тази задълбочена работа, която отразява влиянието на математиката, двете страни на исляма и древна Гърция, се отличава както с пълнота, така и яснота на представянето. Авторът разработи независимо някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и първата в Европа се обърна към въвеждането на отрицателни числа. Неговата книга популяризира разпространението на алгебрични познания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много предизвикателства от "Абака книга" преминаха почти всички европейски учебници XVI - XVII век. и частично XVIII.

Общото правило за решаване на квадратните уравнения, дадени на една и съща канонична форма:

х. 2 + bX. \u003d C,

за всякакви комбинации от знаци за коефициент б., отформулира се в Европа само през 1544 м.

Изходът на формулата на разтвора на квадратното уравнение като цяло е наличен във Vieta, но Viet признава само положителни корени. Италиански математици Тарталия, Кардано, бомбено сред първите през XVI век. В допълнение към положителните и отрицателните корени. Само през XVII век. Благодарение на труда на Жирар, Декарт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения приема модерен външен вид.

6. За теоремата на Виета.

Теорема, която изразява връзката между коефициентите на квадратното уравнение и корените му, което е името на Vieta, е формулирано за първи път през 1591 г. както следва: "ако Б. + Д.умножено по А. - А. 2 добре BD.T. А. по равно В И равни Д.».

Да разберем Виета, трябва да помните това НОКакто всяко гласно писмо означава, че той има неизвестно (нашето х.), гласни В,Д. - коефициентите на неизвестното. На езика на съвременната алгебра по-горе, формулировката на Vieta означава: ако има

(A +.б.) x - x 2 = aB.,

х. 2 - (A +б.) x + aб. = 0,

х. 1 \u003d a, x 2 = б..

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, записани с използване на символи, Сзийтът е поставил еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това символиката на Viet все още е далеч от настоящите видове. Той не признава негативните числа и за това, когато решава уравненията, разглежда се само случаи, когато всички корени са положителни.

Така: Квадратните уравнения са основа, на която величествената сграда на алгебрата почива. Квадратните уравнения се използват широко в решаването на тригонометрични, индикативни, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училищната пейка (степен 8), преди края на университета.

1. Метод : Разлагане на лявата част на фабричното уравнение.

Разрешаване на уравнение х. 2 + 10x - 24 \u003d 0. Пространството на лявата страна на факторите:

х. 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано така:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. Метод : Метод за разпределение на пълен квадрат.

Разрешаване на уравнение х. 2 + 6x - 7 \u003d 0. Подчертаваме пълния квадрат в лявата страна.

За да направите това, напишете експресията x 2 + 6x в следната форма:

х. 2 + 6x \u003d x 2 + 2 Х. 3.

x 2 +. 2 Х. 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2 .

Сега трансформираме лявата част на уравнението

х. 2 + 6x - 7 \u003d 0,

добавянето му и изваждане 3 2. Ние имаме:

х. 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 Х. 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

Така това уравнение може да бъде написано като:

(x + 3) 2 - 16 \u003d 0, (x + 3) 2 = 16.

Следователно, x + 3 - 4 \u003d 0, x 1 \u003d 1, или x + 3 \u003d -4, x 2 = -7.

3. Метод : Разтвор на квадратни уравнения по формулата.

Умножете двете части на уравнението

о. 2 + б.x + C \u003d 0, и ≠ 0

на 4А и последователно имаме:

4а. 2 х. 2 + 4а.б.x + 4AS \u003d 0,

((2AH) 2 + 2AKH. б. + б. 2 ) - б. 2 + 4 ac. = 0,

(2AX + B) 2 \u003d Б. 2 - 4ac,

2AX + b \u003d ± √ b 2 - 4ac,

2AX \u003d - B ± √ b 2 - 4ac,

Примери.

но) Разрешаване на уравнението: 4x. 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,б. \u003d 7, c \u003d 3,Д. = б. 2 - 4 ac. = 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

Д. 0, два различни корена;

По този начин, в случай на положителен дискриминант, т.е. за

б. 2 - 4 ac. 0 уравнението О. 2 + б.x + C \u003d 0 Има две различни корени.

б) Разрешаване на уравнението: 4x. 2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,б. \u003d - 4, c \u003d 1,Д. = б. 2 - 4 ac. = (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

Д. = 0, един корен;

Така че, ако дискриминацията е нула, т.е. б. 2 - 4 ac. = 0 , след това уравнение

о. 2 + б.x + C \u003d 0 има единствения корен

в) Разрешаване на уравнението: 2x. 2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,б. \u003d 3, c \u003d 4,Д. = б. 2 - 4 ac. = 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13 , Д.

Това уравнение няма корен.

Така че, ако дискриминацията е отрицателна, т.е. б. 2 - 4 ac. уравнението

о. 2 + б.x + C \u003d 0 Той няма корени.

Формула (1) на корените на квадратното уравнение о. 2 + б.x + C \u003d 0 Позволява ви да намерите корените всеки Квадратно уравнение (ако има такова), включително горното и непълно. Валидната формула (1) се изразява като: корените на квадратното уравнение са равни на фракцията, чийто числителят е равен на втория коефициент, взет с противоположния знак, плюс минус корен квадрат от площада на този коефициент без все още постоянния продукт на първия коефициент Свободният член, а знаменателят има двоен коефициент.

4. Метод: Решаване на уравнения, използващи теоремата на Vieta.

Както знаете, намаленото квадратно уравнение има формата

х. 2 + px. + ° С. = 0. (1)

Корените му отговарят на теоремата на Виета, която a \u003d 1. Има външен вид

х. 1 х. 2 = q.,

х. 1 + х. 2 = - пс.

а) ако консолидиран член q. Даденото уравнение (1) е положително ( q. 0 ), уравнението има два идентични коренови знака и е завистта на втория коефициент пс.. Ако p, и двата корен са отрицателни, ако p, и двата корен са положителни.

Например,

х. 2 – 3 х. + 2 = 0; х. 1 = 2 и х. 2 = 1, като q. = 2 0 и пс. = - 3

х. 2 + 8 х. + 7 = 0; х. 1 = - 7 и х. 2 = - 1, като q. = 7 0 и пс.= 8 0.

б) ако е свободен член q. Даденото уравнение (1) е отрицателно ( q.), уравнението има две различни на коренния знак, а коренът по-голям в модула ще бъде положителен, ако пс. или отрицателен ако пс. 0 .

Например,

х. 2 + 4 х. – 5 = 0; х. 1 = - 5 и х. 2 = 1, като q.\u003d - 5 и пс. = 4 0;

х. 2 – 8 х. – 9 = 0; х. 1 = 9 и х. 2 = - 1, като q. \u003d - 9 и пс. = - 8

5. Метод: Решаване на уравнения по метода на "транзит".

Помислете за квадратно уравнение

о. 2 + б.x + C \u003d 0,където A. 0.

Умножаване на двете части от A, ние получаваме уравнението

но 2 х. 2 + A.б.x + AC \u003d 0.

Нека бъде aH \u003d U.От! x \u003d y / aШпакловка след това дойдете в уравнението

w. 2 + до + AC \u003d 0,

еквивалент на това. Неговите корени w. 1 и w. 2 Ще намерим с помощта на теоремата на Виета.

Най-накрая х. 1 \u003d W. 1 /нои х. 1 \u003d W. 2 /но. С този метод коефициент но умножено от свободен член, сякаш "се движи" към него, така че се нарича hwyling "Transit". Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението, като използвате теоремата Vieta и най-важното, когато дискриминацията е точен квадрат.

Пример.

Разрешаване на уравнение 2x. 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Решение. "Ние ще прехвърлим" коефициент 2 на свободен член, в резултат на това получаваме уравнението

w. 2 - 11 + 30 \u003d 0.

Според теоремата на Виетна

w.1 \u003d 5 x. 1 = 5/2 х. 1 = 2,5

w. 2 = 6 х. 2 = 6/2 х. 2 = 3.

Отговор: 2.5; 3.

6. Метод: Свойства на коефициентите на квадратното уравнение.

НО. Нека да се даде квадратното уравнение о. 2 + б.x + C \u003d 0,където A. 0.

1) ако, a +б. + C \u003d 0 (т.е., сумата на коефициентите е нула), след това x 1 = 1,

х. 2 \u003d s / a.

Доказателства. Разделяме двете части на уравнението на ≠ 0, получаваме намаленото квадратно уравнение

х. 2 + б./ а. х. + ° С./ а. = 0.

Според теоремата на Виетна

х. 1 + х. 2 = - б./ а.,

х. 1 х. 2 = 1 ° С./ а..

Чрез условие но -б. + C \u003d 0,от б. \u003d a + s.По този начин,

х. 1 + х. 2 \u003d - a +б./ а.= -1 – ° С./ а.,

х. 1 х. 2 = - 1 (- ° С./ а.),

тези. х. 1 = -1 и х. 2 = ° С./ а.това m трябва да докаже.

Примери.

Разрешаване на уравнение 345x. 2 - 137x - 208 \u003d 0.

Решение.Като A +.б. + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),че

х. 1 \u003d 1, x 2 = ° С./ а. = -208/345.

Отговор: 1; -208/345.

2) Уравнение на решенията 132x. 2 - 247x + 115 \u003d 0.

Решение.Като a +.б. + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), че

х. 1 \u003d 1, x 2 = ° С./ а. = 115/132.

Отговор: 1; 115/132.

Б. Ако вторият коефициент б. = 2 к. - дори номер, след това коренната формула

Пример.

Разрешаване на уравнение 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Решение. Ние имаме: a \u003d 3,б. \u003d - 14, C \u003d 16,к. = - 7 ;

Д. = к. 2 – ac. = (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, Д. 0, два различни корена;

Отговор: 2; 8/3.

В. Намаленото уравнение

х. 2 + RH +.q.= 0

съвпада с уравнението на общото мнение, в което a \u003d 1., б. \u003d R. и c \u003d.q.. Следователно, за намаленото квадратно уравнение на корените корени

счита, че:

Формула (3) е особено удобна за използване, когато r.- четен брой.

Пример. Разрешаване на уравнение х. 2 - 14x - 15 \u003d 0.

Решение.Ние имаме: х. 1,2 \u003d 7 ±.

Отговор: H. 1 \u003d 15; Х. 2 = -1.

7. Метод: Графичен разтвор на квадратното уравнение.

Д. ако е в уравнение

х. 2 + px. + q. = 0

прехвърлете втория и третия членове от дясната страна, след това получаваме

х. 2 = - px. - q..

Ние изграждаме графики на зависимостта y \u003d x 2 и y \u003d - px - q.

Първият график на зависимост е Parabola, преминаващ през произхода на координатите. Графика на втората зависимост -

направо (фиг. 1). Възможни са следните случаи:

Директната и Parabola могат да се пресичат в две точки,

абсценките на точките за пресичане са корените на четириядното съотношение;

Директната и Parabola могат да докоснат (само една обща точка), т.е. Уравнението има едно решение;

Директната и парабола нямат общи точки, т.е. Коравното уравнение няма корени.

Примери.

1) Гранично уравнение х. 2 - 3x - 4 \u003d 0 (Фиг. 2).

Решение. Пишем уравнение във формата Х. 2 \u003d 3x + 4.

Да построим парабола y \u003d x. 2 И прав y \u003d 3x + 4. Прав

y \u003d 3x + 4 може да бъде изграден на две точки M (0; 4) и

Н. (3; 13) . Директ и параброла се пресичат в две точки

НО и В С абсцизации х. 1 = - 1 и х. 2 = 4 . Отговор : H. 1 = - 1;

х. 2 = 4.

2) Се противопоставят на графично уравнение (фиг. 3) х. 2 - 2x + 1 \u003d 0.

Решение. Пишем уравнение във формата х. 2 \u003d 2x - 1.

Да построим парабола y \u003d x. 2 и прав y \u003d 2x - 1.

Прав y \u003d 2x - 1 Изграждане на две точки M (0; - 1)

и Н.(1/2; 0) . Директно и Parabola се пресичат в точката НО от

абсциса x \u003d 1.. Отговор: x \u003d 1.

3) Гранично уравнение х. 2 - 2x + 5 \u003d 0(Фиг. 4).

Решение. Пишем уравнение във формата х. 2 \u003d 5x - 5. Да построим парабола y \u003d x. 2 И прав y \u003d 2x - 5. Прав y \u003d 2x - 5 Ние изграждаме две точки m (0; - 5) и n (2.5; 0). Директен и парабола нямат точки на пресичане, т.е. Това уравнение няма корен.

Отговор. Уравнението х. 2 - 2x + 5 \u003d 0 Няма корени.

8. Метод: Разтвор на квадратни уравнения с циркулация и

линия.

Графичният метод за решаване на квадратни уравнения с парабола е неудобен. Ако изградите Parabola в точки, отнема много време и степента на точност на получените резултати е малка.

Предлагам следния метод за намиране на корените на квадратното уравнение о. 2 + б.x + C \u003d 0 С помощта на циркулация и владетел (фиг. 5).

Да предположим, че желаният кръг пресича оста

абсциса в точки В (x. 1 ; 0) и Д. (H. 2 ; 0), Където х. 1 и х. 2 - Корени на уравнението о. 2 + б.x + C \u003d 0и преминава през точки

А (0; 1)и C (0;° С./ а.) На оста на ординатата. След това, от теоремата на последователността, която имаме OB. OD. = OA. OC.От! OC. = OB. OD./ OA.\u003d H. 1 х. 2 / 1 = ° С./ а..

Центърът на кръга се намира в точката на пресичане на перпендикулярите SF. и Ск.възстановен в средата на акорд Ac. и BD., така

1) точки за изграждане (център на кръга) и А.(0; 1) ;

2) Ще проведем кръг с радиус SA.;

3) абсциса точки на пресичане на този кръг с ос О. са корените на първоначалното квадратно уравнение.

Възможно е три случая.

1) радиус на кръга повече ордининов център (Като Ск., илиR. а. + ° С./2 а.) Кръгът пресича оста на две точки (фиг. 6, а) В (x. 1 ; 0) и Д.(H. 2 ; 0) където х. 1 и х. 2 - Корените на квадратното уравнение о. 2 + б.x + C \u003d 0.

2) Радиус на кръга е равен на ординитетния център (Като = Sb., илиR. = а. + ° С./2 а.) , кръгът се отнася до оста о (фиг. 6, б) в точката В (x. 1 ; 0) където x 1 е коренът на квадратното уравнение.

3) радиус на кръга по-малко ординат център

кръгът няма общи точки с ос на абсциса (фиг. 6, б), в този случай уравнението няма решение.

Пример.

Разрешаване на уравнение х. 2 - 2x - 3 \u003d 0 (Фиг. 7).

Решение.Определяме координатите на центъра на центъра на обиколката по формули:

Извършваме кръга на радиуса на SA, където a (0; 1).

Отговор: х. 1 \u003d - 1; Х. 2 = 3.

9. Метод: Използване на квадратни уравнения

nomograms.

Това е стар и незаслужено забравен начин за решаване на квадратни уравнения,

публикувано на S.83 (вж. Брадис v.m. четирицифрени математически маси. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Nomogram за решаване на уравнението z. 2 + pz. + q. = 0 . Тази номограма позволява, без да се решава квадратно уравнение, според коефициента му

там, за да се определят корените на уравнението.

Изградена номера за номера на кукурите

съгласно формулите (фиг.11):

Вярваше OS \u003d P,Ед = q., O \u003d a (всичко в виждане), от

като триъгълници Сан и CDF. Получаване

съотношение

където след заместванията и опростяването следва уравнението

z. 2 + pz. + q. = 0,

освен това писмото z. означава етикет от всяка точка на криволинейна скала.

Примери.

1) За уравнение z. 2 - 9 z. + 8 = 0 Номограмата дава корени z. 1 = 8,0 и z. 2 = 1,0 (Фиг.12).

2) Разрешаване на уравнението на номинацията

2 z. 2 - 9 z. + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение с 2,

получаваме уравнението

z. 2 - 4,5 z. + 1 = 0.

Номограмата дава корени z. 1 = 4 и z. 2 = 0,5.

3) За уравнение

z. 2 - 25 z. + 66 = 0

коефициентите на P и Q отиват извън мащаба на скалата, изпълняват заместването z. = 5 t.,

получаваме уравнението

t. 2 - 5 t. + 2,64 = 0,

които решаваме номограмата и получаваме t. 1 = 0,6 и t. 2 = 4,4, от z. 1 = 5 t. 1 = 3,0 и z. 2 = 5 t. 2 = 22,0.

10. Метод: Геометричен начин за решаване на квадрат

уравнения.

В древността, когато геометрията е по-развита от алгебрата, квадратните уравнения не са решени алгебрично, но геометрично. Ще дам известния пример от алгебра алгебра ал - кьорецми.

Примери.

1) решаване на уравнение х. 2 + 10x \u003d 39.

В оригинала тази задача е формулирана, както следва: "квадрат и десет корени са 39" (фиг.15).

Решение. Помислете за площад отстрани X, правоъгълниците са изградени на своите партии, така че другата страна на всеки от тях е 2.5, следователно всяка област е 2.5x. Получената цифра се допълва до нов ABCD квадрат, завършвайки четири равни квадрати в ъглите, страната на всеки от тях е 2.5, а площта е 6.25.

■ площ С. Квадрат ABCD. може да бъде представена като сума от квадрата: оригиналния квадрат Х. 2 , четири правоъгълника (4 2.5x \u003d 10x) и четири прикрепени квадрати (6,25 4 = 25) . С. = х. 2 + 10x + 25.Замяна

х. 2 + 10x. Номер 39 , Получавам това С. = 39 + 25 = 64 където следва, че страната на площада ABCD.. Раздел AV \u003d 8.. За желаната страна х. Първоначален квадрат

2) Но например, тъй като древните гърци решават уравнението w. 2 + 6 - 16 \u003d 0.

Решениепредставени на фиг. 16, къде

w. 2 + 6th \u003d 16, или 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

Решение. Изрази w. 2 + 6U + 9 и 16 + 9 Геометрично представлява

същия квадрат и първоначалното уравнение w. 2 + 6 - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - същото уравнение. Където и да го получите y + 3 \u003d ± 5, или w. 1 \u003d 2, 2 = - 8 (Фиг.16).

3) решават геометрично уравнение w. 2 - 6 - 16 \u003d 0.

Конвертиране на уравнението,

w. 2 - 6-ти \u003d 16.

На фиг. 17 Намери "изображения" на изрази w. 2 - 6-ти, тези. От квадрата на квадрата на страната, квадратът на квадрата на страната на страната се изважда 3 . Така че, ако се изрази w. 2 - 6U. Добави 9 , после получаваме квадратния квадрат със страната y - 3.. Замяна на изразяване w. 2 - 6U. равен на него номер 16,

получаваме: (Y - 3) 2 = 16 + 9, тези. y - 3 \u003d ± √25или Y - 3 \u003d ± 5, където w. 1 = 8 и W. 2 = - 2.

Заключение

Квадратните уравнения се използват широко в решаването на тригонометрични, индикативни, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства.

Въпреки това, стойността на квадратните уравнения е не само в благодатта и недостига на решаване на проблеми, въпреки че е много важно. Също толкова важно е, че в резултат на използването на квадратни уравнения новите части не се откриват рядко при решаването на проблеми, новите части се откриват, възможно е да се направят интересни обобщения и да се направят разяснения, които са предизвикани от анализа на получените формули и съотношения.

Бих искал да отбележа факта, че все още има малко проучена тема в тази работа, просто не го правете, така че това е много скрито и неизвестно, което дава отлична възможност за по-нататъшна работа върху нея.

Тук спряхме по въпроса за решаването на квадратни уравнения и какво, ако има и други начини за тяхното решаване?! Отново намиране на красиви модели, някои факти, разяснения, правят обобщения, отворете всички нови и нови. Но това са въпроси, които вече следват работа.

Обобщавайки, можем да заключим: квадратни уравнения играят огромна роля в развитието на математиката. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училищната пейка (степен 8), преди края на университета. Тези знания могат да бъдат полезни през целия живот.

Тъй като тези методи за решаване на квадратни уравнения са лесни за използване, те със сигурност ще се интересуват от любители на математиката на учениците. Нашата работа дава възможност да изглеждат различни за задачите, които математиката представлява.

Литература:

1. Алимов с.А., Илин В.А. и други. Алгебра, 6-8. Опитен урок за 6-8 клас гимназия. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В. Четирицифрени математически маси за гимназията.

Ед. 57-ти. - М., Просвещение, 1990. стр. 83.

3. КРРЖАПОВ А.К., Рубанов А.Т. Проблем за алгебрата и елементарните функции. Урок за средни специални образователни институции. - М., Висше училище, 1969.

4. Okunev a.k. Квадратни функции, уравнения и неравенства. Ръководство за учител. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресмен А.А. Решаване на квадратно уравнение с циркулация и владетел. - M., KVANT, № 4/72. Стр. 34.

6. Solomnik v.s., Milov p.i. Събиране на въпроси и задачи по математика. Ед. - 4-ти, допълнение. - М., Висше училище, 1973.

7. Khudobin a.i. Събиране на задачи по алгебра и елементарни функции. Ръководство за учител. Ед. 2-ри. - М., Просвещение, 1970.

Заявление за управление

изследователска работа

Лидер: Приходко Юрий Владимирович (учител по математика)

Прогнозна тема: "10 начина за решаване на квадратни уравнения"

Консултанти:

Приходко Юри Владимирович (учител по математика);

Ерошенков Дмитрий Александров (учител по информатика)

Образователна област на знанието, учебната тема, в рамките на проекта математика

Образователни дисциплини, близки до темата на проекта: Математика

Клас за обучение: Степен 9.

Съставът на изследваната група: Курсин Дмитрий, Павликов Дмитрий

Изглед на проекта за господстващата дейност на ученика: изследване на рационални начини за решаване на квадратни уравнения

Тип на проекта на продължителността: дългосрочен

Вид на образованието: избирателен курс

Необходимо оборудване: научна и популярна литература, свързана с разглеждането на различни начини за решаване на квадратни уравнения

Прогнозен проект: създаване на образователен и методологически материал за използване на рационални начини за решаване на квадратни уравнения

https://pandia.ru/text/78/082/images/image002_237.gif "Height \u003d" 952 "\u003e Mou" Сергиевски средно образование "

Извършено: Сизиков Станислав

Учител:

от. Sergievka, 2007.

1. Въведение. Квадратни уравнения в древен Вавилон .................. .3

2. квадратни уравнения на диафластия ............ .. ............................... ., 4.

3. квадратни уравнения в Индия .............................................. .... 5.

4. квадратни уравнения в ал-khorezmi .......................................... ..............

5. квадратни уравнения в Европа XIII - xyii .............................. ... 7

6. За теоремата на Виета ............................................ ........................ ..9.

7. Десет начина за решаване на квадратни уравнения ........................10

8. Заключение ................................................... ........................... 20.

9. Препратки ................................................. ........................... ... 21.

Въведение

Квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основа, на която величествената сграда на алгебрата почива. Квадратните уравнения се използват широко в решаването на тригонометрични, индикативни, логаритмични, ирационални уравнения. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения, започвайки от 8-ми клас. Но това, което предизвика историята на решенията на квадратните уравнения?

Квадратни уравнения в древен Вавилон

Необходимостта от решаване на уравнения не само първата, но и втора степен в древността е причинена от необходимостта от решаване на проблеми, свързани с намирането на площта на парцелите; Земни работи на военна природа, както и с развитието на самата астрономия и математика. Квадратните уравнения са били в състояние да решат около 2000 години преди. д. Вавилонски. Прилагайки съвременен алгебричен запис, можем да кажем, че в техните текстове на клиноха има, с изключение на непълни и такива, например, плътни квадратни уравнения: x2 + x \u003d ,: x2 - x \u003d 14HTTPS: //pandia.ru/text / 78/082 /Images/image005_150.gif "Width \u003d" 16 "Height \u003d" 41 SRC \u003d "\u003e) 2 + 12 \u003d x; Бхаскара пише под прикритието

x2.- 64х. = - 768

и за да допълни лявата част на това уравнение на квадрата, добавя към двете части 322, след това се получава: x2.- 64x + 322 \u003d - 768 + 1024;

(H.- 32)2 = 256; х -32 \u003d ± 16, xt. = 16, xG.= 48.

Квадратни уравнения в Ал - Хорезми

Алгебричният трактат Al-Khorezmi осигурява класификация на линейни и квадратни уравнения. Авторът включва 6 вида равни, като ги изразява както следва:

1) "квадратите са равни на корените", т.е. aH2 \u003d wt.

2) "квадратите са равни на номера", т.е. aH2.= от.

3) "Корените са равни на числото", т.е. ah \u003d s.

4) "Квадратите и цифрите са равни на корените", т.е. aH2.+ c \u003d wk.

5) "квадрати и корените са равни на числото", т.е. aH2.+ in \u003d s.

6) "Корените и цифрите са равни на квадратите", т.е. вК.+ c \u003d AH2. За Al-Khorezmi, като се избягва използването на отрицателни числа, членовете на всяко от тези уравнения са компоненти и не се изваждат. В същото време очевидно не се вземат предвид уравненията, които нямат положителни решения. Авторът определя начини за решаване на тези уравнения. Решението му, разбира се, не съвпада с нашите. Вече не говорим, че е чисто риторично, трябва да се отбележи например, че при решаването на непълно квадратно уравнение на първия тип ал-кьорезми, като всички математика до XVII век, не взема предвид нулевото решение , вероятно защото в конкретен практически практически това няма значение задачите. При решаването на пълни квадратни уравнения, ал-задълженията за лични числови примери определят правилата за решението, а след това и техните геометрични доказателства.

Нека да дадем пример.

Задача 14. "Площад и номер 21 са равни на 10 корени. Намерете корена "(измерва корена на уравнението x2 +. 21 = 10х).

Решението на автора чете нещо подобно: Ние разделяме броя на корените, ще получите 5, умножете 5 сама по себе си, от работата на един 21, ще останете 4. Премахване на корена от 4, ще получите 2. Взети 2 от 5, ще получите 3, това ще бъде желаният корен. Или добавете от 2 до 5, което ще даде 7, то също има корен.

Трактат от Ал-Хорезми е първата книга, която е достигнала до нас, в която е систематично представена класификацията на квадрата и техните формули са дадени.

Квадратни уравнения в ЕвропаXIII.- XVII експлозивни

Формулите за решаването на квадратни уравнения за ал-крорезми в Европа бяха поставени за първи път в "Абака книга" (публикувана в Рим в средата на миналия век "Абака" Фибоначи съдържа 459 страници), написани на 1202 от Италиански математик Леонардо Фибоначи. Тази задълбочена работа, която отразява влиянието на математиката както на исляма и древна Гърция, също се отличава както с пълнотата и яснотата на представянето. Авторът е разработил самостоятелно някои нови алгебрични примери за решаване на проблеми и първия вЕвропа се приближи до въвеждането на отрицателни числа. Неговата книга популяризира разпространението на алгебрични познания не само в Италия, но и в Германия, Франция и други европейски страни. Много предизвикателства от "Книгата на Абака" преминаха почти всички европейски учебници на XVI-XVII век. и частично XVIII.

Общо правило за решаване на квадратни уравнения, дадени на една канонична форма x2.+ q \u003d S, За всякакви комбинации от знаци за коефициент b, S.формулира се в Европа само през 1544 година. M. strikel.

Изходът на формулата на разтвора на квадратното уравнение като цяло е наличен във Vieta, но Viet признава само положителни корени. Италиански математици Тарталия, Кардако, бомбено сред първите през XVI век. В допълнение към положителните и отрицателните корени. Само през XVII век. Благодарение на произведенията на Джирард, декорт, Нютон и други учени, методът за решаване на квадратни уравнения отнема модерен външен вид.

За теорема във Виетна

Теорема, която изразява връзката между коефициентите на квадратното уравнение и корените му, което е името на Vieta, е формулирано за първи път през 1591 г. както следва: "ако В+ Д., умножение от НОминус A2,по равно BD., че НОпо равно Ви равни Д.».

Да разберем Виета, трябва да помните това НО,като всеки
писмото гласна означаваше, че той е бил неизвестен (нашият х)гласни
В,Д. - коефициентите на неизвестното. На езика на съвременната алгебра по-горе, формулировката на Vieta означава: ако има

(но+ в) x - x2 = aB., x2 - (A +. б.) х. + aB. = 0, x1 \u003d a, x2 \u003d c.

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, записани с използване на символи, Сзийтът е поставил еднаквост в методите за решаване на уравнения. Въпреки това символиката на Viet все още е далеч от настоящите видове. Той не признава отрицателни числа и следователно, когато решава уравненията, той разглеждаше само случаи, когато всички корени са положителни

Десет начина за решаване на квадратни уравнения

1. Разлагане на лявата част на фабричното уравнение

Разрешаване на уравнение x2.+ 10х. - 24 \u003d 0. Разпространете лявата част на уравнението на факторите:

x2 + 10x - 24 \u003d x2 + 12x - 2x - 24 \u003d

X (x + x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано така:

(х. + 12) (x - 2) \u003d 0.

Тъй като работата е нула, поне един от неговия фактор е нула. Следователно лявата част на уравнението се обръща към нула x \u003d2, както и х.\u003d - 12. Това означава, че числата 2 и - 12 са корените на уравнението X2 + 10X - 24 \u003d 0.

2. Метод за разпределение на пълен квадрат

Нека обясним този метод на примера.

Аз решавам уравнение x2 + 6x - 7 \u003d 0. Ние разпределяме пълния квадрат от лявата страна. За да направите това, напишете експресията X2 + 6X в следната форма:

x2 + 6X \u003d x2 + 2 * x * 3.

В резултатния израз, първият термин е квадратът на числото x, а вторият - двоен продукт x с 3. следователно, за да получите пълен квадрат, трябва да добавите 32, тъй като

x2 + 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3) 2.

Сега трансформираме лявата част на уравнението

x2 + 6X - 7 \u003d 0,

добавянето и изваждането 32. Имаме:

x2 + 6X - 7 \u003d x2 + 2 х. 3 +– 7 = (H.- \u003d (x - s) 2 - 16 .

Следователно този двор може да бъде написан, както следва:

(x + \u003d 0, т.е. (x + 3) 2 \u003d 16.

Следователно, х.+ 3 \u003d 4 x1 \u003d 1, или x + 3 \u003d - 4, x2 \u003d - 7.

3. Разтвор на квадратни уравнения по формулата

Умножете двете части на уравнението

aH2.+ вК.+ c \u003d.0, a0, до 4а.и последователно имаме:

4A2 x2 + 4aBX. + 4AS \u003d.0,

((2AH) 2 + 2 aXB. + б.2 ) - б.2 + 4AS.= 0,

(2AH +.б.) 2 \u003d B2- 4а,

2АК+ б. \u003d ± https://pandia.ru/text/78/082/images/image006_128.gif "Ширина \u003d" 71 "Височина \u003d" 27 "\u003e, x1,2 \u003d

В случай на положителен дискриминант, т.е. b2 - 4AS\u003e0, уравнение aH2.+ vK + S.\u003d 0 има два различни корена.

Ако дискриминацията е нула, т.е. b2 - 4AS \u003d0, тогава уравнение aH2.+ вК.+ от\u003d 0 има единствения корен, x \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/images/image009_95.gif "Ширина \u003d" 14 "височина \u003d" 62 "\u003e корените му отговарят на теоремата на Виета, който но\u003d 1 има изглед

x1 x2 \u003d. q.,

x1. + x2 \u003d - r.

От тук можете да нарисувате следните заключения (по коефициенти r.и q. Можете да предскажете кореновите знаци).

а) ако е свободен член q. Даденото уравнение (1)
положителен (q. \u003e 0) уравнението има две идентични
на коренния знак и зависи от втория коефициент r.
Ако r.\u003e 0, и двата корен са отрицателни, ако r.< 0, след това и двете
коренът е положителен.

Например,

x2.- 3х. + 2 = 0; x1.\u003d 2 и x2 \u003d 1, тъй като q. = 2 > 0 улавяне пс. = - 3 < 0;

x2 + 8x + 7 \u003d 0; x 1 \u003d - 7 и x2 \u003d - 1, тъй като q. \u003d 7\u003e 0 и r. = 8 > 0.

б) ако е свободен член q. Даденото уравнение (1)
отрицателен (q. < 0), уравнението има два различни на коренния знак, а коренът по-голям в модула ще бъде положителен, ако r.< 0, или отрицателен, ако P\u003e0.

Например,

x2 + 4X - 5 \u003d 0; x1 \u003d - 5 и x2 \u003d 1, тъй като q. = - 5 < 0 и r.= 4 > 0;

x2 - 8x - 9 \u003d 0; x1 \u003d9 I. x2.\u003d - 1, тъй като q. = - 9 < и r.= - 8 < 0.

5. Разрешаване на уравнения по метода на "транзит"

Помислете за квадратно уравнение aH2 + VH.+ c \u003d.0, къде a0. Умножаване на двете части от него но,получаваме уравнението a2X2 +.aBX. + AC.= 0.

Нека бъде ah \u003d y,от х.\u003d; след това дойдете в уравнението

u2.+ до + AC \u003d.0,

еквивалент на това. Неговите корени u1.и u2.ще открием с помощта на теоремата на Виета. Най-накрая x1.\u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image012_77.gif "Ширина \u003d" 24 "Височина \u003d" 43 "\u003e.

С този метод коефициент ноумножено от свободен член, сякаш "се движи" към него, така че се нарича метода на "транзит".Този метод се използва, когато можете лесно да намерите корените на уравнението, като използвате теоремата Vieta и най-важното, когато дискриминацията е точен квадрат.

1. Разрешаване на уравнение 2x2 - 11x + 15 \u003d 0.

Решение."Ние ще прехвърлим" коефициент 2 на свободен член, в резултат на това получаваме уравнението

u2 - 11. w.+ 30 = 0.

Според теоремата на Vieta U1 \u003d 5, U2 \u003d 6, следователно x1 \u003d https://pandia.ru/text/78/082/images/image014_69.gif "Ширина \u003d" 16 Височина \u003d 41 "Височина \u003d" 41 " \u003e, t. e.

x1 \u003d 2.5 x2 \u003d 3.

Отговор:2,5; 3.

6. свойства на квадратни коефициентиуравнения

А. Нека квадратното уравнение

aH2 + VX + с\u003d 0, къде но ≠ 0.

1. ако a + b + S.= 0 (т.е. сумата от коефициентите на уравнение е нула), след това x1 \u003d1, x2 \u003d.

2. Ако a - в + с= 0, илиб. = но + c, след това x1 \u003d -1, х.2 \u003d - https://pandia.ru/text/78/082/images/image016_58.gif "Ширина \u003d" 44 Височина \u003d 41 "Височина \u003d" 41 "\u003e.

Отговор:1; 184">

Възможни са следните случаи:

Директната и Parabola могат да се пресичат в две точки, а абдсценките на точките за пресичане са корени на квадратното уравнение;

Директната и парабола могат да се отнасят (само една обща точка), т.е. уравнението има едно решение;

Директ и парабола нямат общи точки, т.е. квадратното уравнение няма корени.

Примери.

1. Разрешаване на графично уравнение X2 - 3x - 4 \u003d 0 (фиг. 2).

Решение.Пишем уравнение във формата x2 \u003d 3x + 4.

Да построим парабола y \u003d x2.и прав y \u003d.3 + 4. Право w.\u003d 3x + 4 могат да бъдат конструирани с две точки m (0; 4) и n (3; 13). Директ и параброла се пресичат в две точки И Б.с абсцизации x1.\u003d - 1 и x2 \u003d 4.

Отговор: X1.\u003d - 1, x, \u003d 4.

8. Разтвор на квадратни уравнения с циркулация и владетел

Ние предлагаме следния метод за намиране на корените на квадратното уравнение

aH2.+ вК.+ от= 0

с помощта на обращение и владетел (фиг.).

Да предположим, че желаният кръг пресича ос на абсциса в точки Б.(x1;0) I. Д.(х.2 ; 0) където x1.и x2.- Корени на уравнението aH2 + VH.+от=0,
и преминават през точки а (0; 1) и от (0;) на ордината на оксината ... ширина \u003d "197" височина \u003d "123"\u003e

Така че: 1) Изграждане на точки https://pandia.ru/text/78/082/images/image023_40.gif "Ширина \u003d" 171 "Височина \u003d" 45 "\u003e Кръгът пресича оста, в точката в (X1; 0) и D (x1 ; 0), където x1 и x2 - корените на квадратното уравнение AH2 + BX + C = 0.

2) Радиус на кръга е равен на ординитетния център кръгът се отнася до ос Oh в точка (X1; 0), където xX.- коренът на квадратното уравнение.

3) радиусът на кръга е по-малък от ордината на левицата "\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image029_34.gif "Ширина \u003d" 612 "Височина \u003d" 372 "\u003e 40" Височина \u003d "14"\u003e

https://pandia.ru/text/78/082/images/image031_28.gif "Ширина \u003d" 612 "Височина \u003d" 432 src \u003d "\u003e

Където след заместването и

Опрострията следва уравнението Z2 + PZ + Q \u003d 0, а буквата Z означава етикет от всяка точка на криволинейна скала.

10. Геометричен метод за решаване на квадратни уравнения

В древността, когато геометрията е по-развита от алгебрата, квадратните уравнения не са решени алгебрично, но геометрично. Ние даваме известния пример за алгебра алгебра от алгебра.

И четири прикрепени квадрати, така. S \u003d x2 + 10x + 25. Смяна на X2 + 10x по номер 39, ние получаваме, че S \u003d 39 + 25 \u003d 64, откъдето следва, че страната на квадрата ABCD., i.e. Cut. AU.\u003d 8. За желаната страна х.първоначален квадрат

Заключение

Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения, започвайки с училищната пейка до края на университета. Но в училищния курс на математиката се изследват формулите на корените на квадратните уравнения, с които могат да бъдат решени всички квадратни уравнения. Въпреки това, като проучих този въпрос за по-дълбок, бях убеден, че има и други начини за решаване на квадратни уравнения, които позволяват много уравнения много бързо и рационално.

Може би математика някъде там в други измерения, окото не е видимо, - всичко и ние просто получаваме всички нови факти от дупките със светове? ... бог поглед; Но се оказва, че ако физиците, химикалите, икономистите или археолозите се нуждаят от нов модел на света, този модел винаги може да бъде взет от рафта, който преди три години постави математика или събиране от части, лежащи на същия рафт. Може би тези предмети ще трябва да се обърнат, замърсяват, замърсяват, за да изострят няколко нови втулки на теоремите бързо; Но теорията на резултата не само ще опише действителната ситуация, но и прогнозира последствията! ...

Странно нещо - този ум е играта, която винаги е правна ...

Литература

1. Alimov Sha., Ilyin VA. и други. Алгебра, 6-8. Опитен урок за гимназиални степени 6-8. - М., Просвещение, 1981.

2.Брадис математически маси за гимназия. Ед. 57-ти. - М., Просвещение, 1990. стр. 83.

3.Росктия, когато преподава математика. Книга за учител. - М., Просвещение, 1992.

4.м., Математика (Приложение към вестника "Първи септември), № 21/96, 10/97, 24/97, 18/98, 21/98.

5. Функции, уравнения и неравенство. Ръководство за учител. - М., Просвещение, 1972.

6. Acrane B. C., сладки въпроси и задачи по математика. Ед. 4-то, добавяне. - М., Висше училище, 1973.

7.m., математика (приложение към вестника "първо септември), № 40, 2000.

Преглед

за да работите студент 11 клас Mou "Сергиевская средно

общообразователно училище"

Селско училище Copsevskaya

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Лидер: Patrikeva Galina Anatolyevna,

математически учител

с.Копиево, 2007.

1. Историята на развитието на квадратни уравнения

1.1 квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 като отчитани и решени диофанкови квадратни уравнения

1.3 квадратни уравнения в Индия

1.4 квадратни уравнения в алкохол

1.5 квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 за теоремата на Vieta

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. Историята на развитието на квадратни уравнения

1 .1 Квадратура EQS.в древен Вавилон

Х. 2 + Х. = ѕ; Х. 2 - Х. = 14,5

1.2 Както е направено и разрешено динофантни квадратни уравнения.

При изготвянето на диофантите уравнения за опростяване на решението умело избере неизвестно.

Тук, например една от задачите му.

Задача 11. "Намерете две числа, знаейки, че тяхната сума е 20, а работата е 96"

Оттук и уравнението:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

х. 2 - 4 = 0 (1)

Ако решим тази задача, избирайки един от желаните числа като неизвестен, ще стигнем до уравнението

y (20 - Y) \u003d 96,

w. 2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

1.3 Квадратни уравнения в Индия

О. 2 + б.x \u003d s, a\u003e 0. (1)

В уравнение (1) коефициенти, освен номоже да е отрицателен. Правилото Brahmaguppta по същество съвпада с нашето.

Ето една от задачите на известната индийска математика XII век. Бхаскара.

Задача 13.

- Стартира маймуни и дванадесет на Лиана ...

Силата на облицовката, забавна. Започна да скача, висящ ...

Те са в квадратната част на осмия колко маймуни са били,

В поляната се забавляваше. Казвате ли ми, в този стак?

Съответната задача 13 уравнение:

(х./8) 2 + 12 = х.

Бхаскара пише под прикритието на:

х. 2 - 64x \u003d -768

и да допълни лявата част на това уравнение на квадрата, добавя и двете части 32 2 , след това:

х. 2 - 64x + 32 2 = -768 + 1024,

(x - 32) 2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16,

х. 1 = 16, х. 2 = 48.

1.4 Квадратура EQS.ал - Кьорезми

1) "Квадратите са корени", т.е. о. 2 + C \u003d.б.х.

2) "квадратите са равни на номера", т.е. о. 2 \u003d s.

3) "Корените са равни на числото", т.е. ah \u003d s.

4) "Квадратите и цифрите са равни на корените", т.е. о. 2 + C \u003d.б.х.

5) "квадрати и корените са равни на числото", т.е. О. 2 + bX. \u003d s.

6) "Корените и цифрите са равни на квадратите", т.е. bX. + C \u003d ah 2 .

ал - Хорезми, подобно на всички математика до XVII век, отчита нулевото решение, вероятно защото няма значение в конкретни практически задачи. Когато решават пълни уравнения на квадратни ал-задължения на частни числови примери, тя определя правилата за решение и след това геометрични доказателства.

Задача 14. "Площад и номер 21 са равни на 10 корени. Намерете корена » (Означава коренът на уравнението x 2 + 21 \u003d 10x).

1.5 Квадратни уравнения в ЕвропаXIII. - XVII BB.

Общото правило за решаване на квадратните уравнения, дадени на една и съща канонична форма:

х. 2 + bX. \u003d C,

за всякакви комбинации от знаци за коефициент б., отформулира се в Европа само през 1544 м.

1.6 за теоремата на Vieta

(A +.б.) x - x 2 = aB.,

х. 2 - (A +б.) x + aб. = 0,

х. 1 \u003d A, х. 2 = б..

Изразяване на връзката между корените и коефициентите на уравненията с общи формули, записани с използване на символи, Сзийтът е поставил еднаквост в методите за решаване на уравнения. В същото време символиката на Vieta все още е далеч от настоящите видове. Той не признава негативните числа и за това, когато решава уравненията, разглежда се само случаи, когато всички корени са положителни.

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основа, на която величествената сграда на алгебрата почива. Квадратните уравнения се използват широко в решаването на тригонометрични, индикативни, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училищната пейка (степен 8), преди края на университета.

В училищния курс на математиката се изследват формули на корените на квадратните уравнения, с които могат да бъдат решени всички квадратни уравнения. В този случай има и други начини за решаване на квадратни уравнения, които позволяват много уравнения много бързо и рационално. Има десет начина за решаване на квадратни уравнения. Подробно в работата ми разглобява всеки от тях.

1. Метод : Разлагане на лявата част на фабричното уравнение.

Разрешаване на уравнение

х. 2 + 10x - 24 \u003d 0.

Пространството на лявата страна на факторите:

х. 2 + 10x - 24 \u003d x 2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано така:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. Метод : Метод за разпределение на пълен квадрат.

Разрешаване на уравнение х. 2 + 6x - 7 \u003d 0.

Подчертаваме пълния квадрат в лявата страна.

За да направите това, напишете експресията x 2 + 6x в следната форма:

х. 2 + 6x \u003d x 2 + 2 * x * 3.

x 2 +. 2 * x * 3 + 3 2 \u003d (x + 3) 2 .

Сега трансформираме лявата част на уравнението

х. 2 + 6x - 7 \u003d 0,

добавянето му и изваждане 3 2. Ние имаме:

х. 2 + 6x - 7 \u003dx 2 +. 2 * x * 3 + 3 2 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 9 - 7 \u003d (x + 3) 2 - 16.

Така това уравнение може да бъде написано като:

(x + 3) 2 - 16 =0, (x + 3) 2 = 16.

Следователно, x + 3 - 4 \u003d 0, x 1 \u003d 1, или x + 3 \u003d -4, x 2 = -7.

3. Метод : Разтвор на квадратни уравнения по формулата.

Умножете двете части на уравнението

о. 2 + б.x + c \u003d 0 и? 0.

на 4А и последователно имаме:

4а. 2 х. 2 + 4а.б.x + 4AS \u003d 0,

((2AH) 2 + 2ah *б. + б. 2 ) - б. 2 + 4 ac. = 0,

(2AX + B) 2 \u003d Б. 2 - 4ac,

2AX + b \u003d ± v b 2 - 4ac,

2ax \u003d - b ± v b 2 - 4ac,

Примери.

но) Разрешаване на уравнението: 4x. 2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,б. \u003d 7, c \u003d 3,Д. = б. 2 - 4 ac. = 7 2 - 4 * 4 * 3 = 49 - 48 = 1,

Д. > 0, два различни корена;

По този начин, в случай на положителен дискриминант, т.е. за

б. 2 - 4 ac. >0 уравнението о. 2 + б.x + C \u003d 0 Има две различни корени.

б) Разрешаване на уравнението: 4x. 2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,б. \u003d - 4, c \u003d 1,Д. = б. 2 - 4 ac. = (-4) 2 - 4 * 4 * 1= 16 - 16 = 0,

Д. = 0, един корен;

Така че, ако дискриминацията е нула, т.е. б. 2 - 4 ac. = 0 , след това уравнение

о. 2 + б.x + C \u003d 0 има единствения корен

в) Разрешаване на уравнението: 2x. 2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,б. \u003d 3, c \u003d 4,Д. = б. 2 - 4 ac. = 3 2 - 4 * 2 * 4 = 9 - 32 = - 13 , Д. < 0.

Това уравнение няма корен.

Така че, ако дискриминацията е отрицателна, т.е. б. 2 - 4 ac. < 0 ,

уравнението о. 2 + б.x + C \u003d 0 Той няма корени.

Формула (1) на корените на квадратното уравнение о. 2 + б.x + C \u003d 0 Позволява ви да намерите корените всеки Квадратно уравнение (ако има такова), включително горното и непълно. Валидната формула (1) се изразява като: корените на квадратното уравнение са равни на фракцията, чийто числителят е равен на втория коефициент, взет с противоположния знак, плюс минус корен квадрат от площада на този коефициент без все още постоянния продукт на първия коефициент Свободният член, а знаменателят има двоен коефициент.

4. Метод: Решаване на уравнения, използващи теоремата на Vieta.

Както знаете, намаленото квадратно уравнение има формата

х. 2 + px. + ° С. = 0. (1)

Корените му отговарят на теоремата на Виета, която a \u003d 1. Има външен вид

х. 1 х. 2 = q.,

х. 1 + х. 2 = - пс.

Например,

х. 2 - 3 х. + 2 = 0; х. 1 = 2 и х. 2 = 1, като q. = 2 > 0 и пс. = - 3 < 0;

х. 2 + 8 х. + 7 = 0; х. 1 = - 7 и х. 2 = - 1, като q. = 7 > 0 и пс.= 8 > 0.

Например,

х. 2 + 4 х. - 5 = 0; х. 1 = - 5 и х. 2 = 1, като q.= - 5 < 0 и пс. = 4 > 0;

х. 2 - 8 х. - 9 = 0; х. 1 = 9 и х. 2 = - 1, като q. = - 9 < 0 и пс. = - 8 < 0.

5. Метод: Решаване на уравнения по метода на "транзит".

Помислете за квадратно уравнение

о. 2 + б.x + C \u003d 0,където но? 0.

Умножаване на двете части от A, ние получаваме уравнението

но 2 х. 2 + A.б.x + AC \u003d 0.

Нека бъде aH \u003d U.От! x \u003d y / aШпакловка след това дойдете в уравнението

w. 2 + до + AC \u003d 0,

еквивалент на това. Неговите корени w. 1 и w. 2 Ще намерим с помощта на теоремата на Виета.

Най-накрая

х. 1 \u003d W. 1 /но и х. 1 \u003d W. 2 /но.

Пример.

Разрешаване на уравнение 2x. 2 - 11x + 15 \u003d 0.

Решение. "Ние ще прехвърлим" коефициент 2 на свободен член, в резултат на това получаваме уравнението

w. 2 - 11 + 30 \u003d 0.

Според теоремата на Виетна

w. 1 = 5 х. 1 = 5/2 х. 1 = 2,5

w. 2 = 6 х. 2 = 6/2 х. 2 = 3.

Отговор: 2.5; 3.

6. Метод: Свойства на коефициентите на квадратното уравнение.

НО. Нека да се даде квадратното уравнение

о. 2 + б.x + C \u003d 0,където но? 0.

1) ако, a +б. + C \u003d 0 (т.е., сумата на коефициентите е нула), след това x 1 = 1,

х. 2 \u003d s / a.

Доказателства. Разделяме двете части на уравнението на a? 0, получаваме намаленото квадратно уравнение

х. 2 + б./ а. * х. + ° С./ а. = 0.

Според теоремата на Виетна

х. 1 + х. 2 = - б./ а.,

х. 1 х. 2 = 1* ° С./ а..

Чрез условие но -б. + c \u003d 0,от б. \u003d a + s.По този начин,

х. 1 + X. 2 = - но + B / A \u003d -1 - C / A,

х. 1 х. 2 \u003d - 1 * (- C / A), \\ t

тези. х. 1 = -1 и х. 2 = ° С./ а.това m трябва да докаже.

Примери.

1) решаване на уравнение 345x. 2 - 137x - 208 \u003d 0.

Решение.Като A +.б. + C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),че

х. 1 = 1, х. 2 = ° С./ а. = -208/345.

Отговор: 1; -208/345.

2) Уравнение на решенията 132x. 2 - 247x + 115 \u003d 0.

Решение.Като a +.б. + C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0), че

х. 1 = 1, х. 2 = ° С./ а. = 115/132.

Отговор: 1; 115/132.

Б. Ако вторият коефициент б. = 2 к. - дори номер, след това коренната формула

Пример.

Разрешаване на уравнение 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Решение. Ние имаме: a \u003d 3,б. \u003d - 14, C \u003d 16,к. = -- 7 ;

Д. = к. 2 - ac. = (- 7) 2 - 3 * 16 = 49 - 48 = 1, Д. > 0, два различни корена;

Отговор: 2; 8/3.

В. Намаленото уравнение

х. 2 + RH +.q.= 0

счита, че:

Формула (3) е особено удобна за използване, когато r.-- четен брой.

Пример. Разрешаване на уравнение х. 2 - 14x - 15 \u003d 0.

Решение.Ние имаме: х. 1,2 \u003d 7 ±.

Отговор: H. 1 \u003d 15; Х. 2 = -1.

7. Метод: Графичен разтвор на квадратното уравнение.

Ако е в уравнение

х. 2 + px. + q. = 0

прехвърлете втория и третия членове от дясната страна, след това получаваме

х. 2 = - px. - q..

Ние изграждаме графики на зависимостта y \u003d x 2 и y \u003d - px - q.

направо (фиг. 1). Възможни са следните случаи:

Директната и Parabola могат да се пресичат в две точки, абсценките на точките за пресичане са корените на четириядното съотношение;

Директната и Parabola могат да докоснат (само една обща точка), т.е. Уравнението има едно решение;

Директната и парабола нямат общи точки, т.е. Коравното уравнение няма корени.

Примери.

1) Гранично уравнение х. 2 - 3x - 4 \u003d 0 (Фиг. 2).

Решение. Пишем уравнение във формата Х. 2 \u003d 3x + 4.

Да построим парабола y \u003d x. 2 И прав y \u003d 3x + 4. Прав

y \u003d 3x + 4 може да бъде изграден на две точки M (0; 4) и

Н. (3; 13) . Директ и параброла се пресичат в две точки

НО и В С абсцизации х. 1 = - 1 и х. 2 = 4 . Отговор: H. 1 = - 1;

х. 2 = 4.

2) Се противопоставят на графично уравнение (фиг. 3) х. 2 - 2x + 1 \u003d 0.

Решение. Пишем уравнение във формата х. 2 \u003d 2x - 1.

Да построим парабола y \u003d x. 2 и прав y \u003d 2x - 1.

Прав y \u003d 2x - 1 Изграждане на две точки M (0; - 1)

и Н.(1/2; 0) . Директно и Parabola се пресичат в точката НО от

абсциса x \u003d 1.. Отговор: x \u003d 1.

3) Гранично уравнение х. 2 - 2x + 5 \u003d 0(Фиг. 4).

Отговор. Уравнението х. 2 - 2x + 5 \u003d 0 Няма корени.

8. Метод: Разтвор на квадратни уравнения с циркулация и линия.

Графичният метод за решаване на квадратни уравнения с парабола е неудобен. Ако построите парабола в точки, отнема много време и с всичко това, степента на точност на получените резултати е малка.

Да предположим, че желаният кръг пресича оста

А (0; 1)и C (0;° С./ а.) На оста на ординатата. След това, от теоремата на последователността, която имаме OB. * OD. = OA. * OC.От! OC. = OB. * OD./ OA.\u003d H. 1 х. 2 / 1 = ° С./ а..

1) точки за изграждане (център на кръга) и А.(0; 1) ;

2) Ще проведем кръг с радиус SA.;

3) абсциса точки на пресичане на този кръг с ос О. са корените на първоначалното квадратно уравнение.

Възможно е три случая.

1) радиус на кръга повече ордининов център (Като > Ск., или R. > а. + ° С./2 а.) Кръгът пресича оста на две точки (фиг. 6, а) В (x. 1 ; 0) и Д.(H. 2 ; 0) където х. 1 и х. 2 - Корените на квадратното уравнение о. 2 + б.x + C \u003d 0.

3) Радиусът на кръга е по-малък от реда на центъра. Кръгът няма общи точки с ос на абсцисата (фиг. 6, б), в този случай уравнението няма решение.

Пример.

Разрешаване на уравнение х. 2 - 2x - 3 \u003d 0 (Фиг. 7).

Решение.Определяме координатите на центъра на центъра на обиколката по формули:

Извършваме кръга на радиуса на SA, където a (0; 1).

Отговор: х. 1 \u003d - 1; Х. 2 = 3.

9. Метод: Използване на квадратни уравнения nomograms.

Това е старо и незаслужено забравено от решението на квадратните уравнения, поставени върху C.83 (виж Брадис v.m. четирицифрени математически маси. - М., Просвещение, 1990).

Таблица XXII. Nomogram за решаване на уравнението z. 2 + pz. + q. = 0 . Тази номограма позволява, без да решава уравнението на квадрата чрез коефициента му да определи корените на уравнението.

Кървилинейната скала на номограмата е конструирана чрез формули (фиг. 11):

Вярваше OS \u003d P,Ед = q., O \u003d a (Всички в cm), от сходството на триъгълниците Сан и CDF. Получаваме пропорция

където след заместванията и опростяването следва уравнението

z. 2 + pz. + q. = 0,

освен това писмото z. означава етикет от всяка точка на криволинейна скала.

Примери.

1) За уравнение z. 2 - 9 z. + 8 = 0 Номограмата дава корени

z. 1 = 8,0 и z. 2 = 1,0 (Фиг.12).

2) Стойност с помощта на номограма

2 z. 2 - 9 z. + 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение с 2, получаваме уравнението

z. 2 - 4,5 z. + 1 = 0.

Номограмата дава корени z. 1 = 4 и z. 2 = 0,5.

3) За уравнение

z. 2 - 25 z. + 66 = 0

коефициентите на P и Q отиват извън мащаба на скалата, изпълняват заместването z. = 5 t., Получавам уравнението

t. 2 - 5 t. + 2,64 = 0,

които решаваме номограмата и получаваме t. 1 = 0,6 и t. 2 = 4,4, от z. 1 = 5 t. 1 = 3,0 и z. 2 = 5 t. 2 = 22,0.

10. Метод: Геометричен начин за решаване на квадрат уравнения.

Примери.

1) решаване на уравнение х. 2 + 10x \u003d 39.

В оригинала тази задача е формулирана, както следва: "квадрат и десет корени са 39" (фиг.15).

■ площ С. квадрат ABCD. може да бъде представена като сума от квадрата: оригиналния квадрат х. 2 , четири правоъгълника (4 * 2.5x \u003d 10x) и четири прикрепени квадрати (6,25* 4 = 25) . С. = х. 2 + 10x + 25.Замяна

х. 2 + 10x. Номер 39 , Получавам това С. = 39 + 25 = 64 където следва, че страната на площада ABCD.. Раздел AV \u003d 8.. За желаната страна х. Първоначален квадрат

2) Но например, тъй като древните гърци решават уравнението w. 2 + 6 - 16 \u003d 0.

Решениепредставени на фиг. 16, къде

w. 2 + 6U \u003d 16, или w. 2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

Решение. Изрази w. 2 + 6U + 9 и 16 + 9 Геометрично съставляват същия квадрат и първоначалното уравнение w. 2 + 6 - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - същото уравнение. Където и да го получите y + 3 \u003d ± 5, или w. 1 \u003d 2, 2 = - 8 (Фиг.16).

3) решават геометрично уравнение w. 2 - 6 - 16 \u003d 0.

Конвертиране на уравнението,

w. 2 - 6-ти \u003d 16.

На фиг. 17 Намери "изображения" на изрази w. 2 - 6-ти, тези. От квадрата на квадрата на страната, квадратът на квадрата на страната на страната се изважда 3 . Така че, ако се изрази w. 2 - 6U добави 9 , после получаваме квадратния квадрат със страната w. - 3 . Замяна на изразяване w. 2 - 6U равен на него номер 16,

получаваме: (Y - 3) 2 = 16 + 9, тези. y - 3 \u003d ± v25или Y - 3 \u003d ± 5, където w. 1 = 8 и W. 2 = - 2.

Заключение

В същото време стойността на квадратните уравнения е не само в благодатта и недостига на решаване на проблеми, въпреки че е много важно. Също толкова важно е, че в резултат на използването на квадратни уравнения новите части не се откриват рядко при решаването на проблеми, новите части се откриват, възможно е да се направят интересни обобщения и да се направят разяснения, които са предизвикани от анализа на получените формули и съотношения.

Тук спрях въпроса за решаването на квадратни уравнения и какво,

ако има и други начини за решаването им?! Отново намиране на красиви модели, някои факти, разяснения, правят обобщения, отворете всички нови и нови. Но това са въпроси, които вече следват работа.

Тъй като тези методи за решаване на квадратни уравнения са лесни за използване, те със сигурност ще се интересуват от любители на математиката на учениците. Моята работа дава възможност да се разчита различно за тези задачи, които математиката представлява.

Литература:

1. Алимов с.А., Илин В.А. и други. Алгебра, 6-8. Опитен урок за 6-8 клас гимназия. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В. Четирицифрени математически маси за средно училище. 57-ти. - М., Просвещение, 1990. стр. 83.

3. КРРЖАПОВ А.К., Рубанов А.Т. Проблем за алгебрата и елементарните функции. Урок за средни специални образователни институции. - М., Висше училище, 1969.

4. Okunev a.k. Квадратни функции, уравнения и неравенства. Ръководство за учител. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресмен А.А. Решаване на квадратно уравнение с циркулация и владетел. - M., KVANT, № 4/72. Стр. 34.

6. Solomnik v.s., Milov p.i. Събиране на въпроси и задачи по математика. Ед. - 4-ти, допълнение. - М., Висше училище, 1973.

7. Khudobin a.i. Събиране на задачи по алгебра и елементарни функции. Ръководство за учител. Ед. 2-ри. - М., Просвещение, 1970.

Селско училище Copsevskaya

10 начина за решаване на квадратни уравнения

Лидер: Patrikeva Galina Anatolyevna,

математически учител

с.Копиево, 2007.

1. Историята на развитието на квадратни уравнения

1.1 квадратни уравнения в древен Вавилон

1.2 като отчитани и решени диофанкови квадратни уравнения

1.3 квадратни уравнения в Индия

1.4 квадратни уравнения в алкохол

1.5 квадратни уравнения в Европа XIII - XVII век

1.6 за теоремата на Vieta

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Заключение

Литература

1. Историята на развитието на квадратни уравнения

1.1 квадратни уравнения в древен Вавилон

Х.2 + Х.= ¾; Х.2 - Х.= 14,5

1.2, както се отчитат и решават диофантски квадратни уравнения.

При изготвянето на диофантите уравнения за опростяване на решението умело избере неизвестно.

Тук, например една от задачите му.

Задача 11. "Намерете две числа, знаейки, че тяхната сума е 20, а работата е 96"

Оттук и уравнението:

(10 + x) (10 - x) \u003d 96

100 - H. 2 = 96

х. 2 - 4 = 0 (1)

Ако решим тази задача, избирайки един от желаните числа като неизвестен, ще стигнем до уравнението

y (20 - Y) \u003d 96,

w.2 - 20U + 96 \u003d 0. (2)

1.3 Квадратни уравнения в Индия

о.2 + б.x \u003d s, a\u003e 0. (1)

В уравнение (1) коефициенти, освен номоже да е отрицателен. Правилото Brahmaguppta по същество съвпада с нашето.

Ето една от задачите на известната индийска математика XII век. Бхаскара.

Задача 13.

- Стартира маймуни и дванадесет на Лиана ...

Силата на облицовката, забавна. Започна да скача, висящ ...

Те са в квадратната част на осмия колко маймуни са били,

В поляната се забавляваше. Казвате ли ми, в този стак?

Съответната задача 13 уравнение:

(х./8) 2 + 12 = х.

Бхаскара пише под прикритието на:

х.2 - 64x \u003d -768

и да допълни лявата част на това уравнение на квадрата, добавя и двете части 32 2 , след това:

х.2 - 64x + 322 = -768 + 1024,

(x - 32)2 = 256,

x - 32 \u003d ± 16,

х.1 \u003d 16, x2 = 48.

1.4 квадратни уравнения в Ал - Хорезми

1) "Квадратите са корени", т.е. О.2 + C \u003d.б.х.

2) "квадратите са равни на номера", т.е. О.2 \u003d s.

3) "Корените са равни на числото", т.е. ah \u003d s.

4) "Квадратите и цифрите са равни на корените", т.е. О.2 + C \u003d.б.х.

5) "квадрати и корените са равни на числото", т.е. О.2 + bX.\u003d s.

6) "Корените и цифрите са равни на квадратите", т.е.bX.+ C \u003d ah2 .

ал - Хорезми, като всички математика до XVIIV., E взема под внимание нулевото решение, вероятно защото в специфични практически задачи няма значение. Когато решават пълни уравнения на квадратни ал-задължения на частни числови примери, тя определя правилата за решение и след това геометрични доказателства.

1.5 квадратни уравнения в ЕвропаXIII.- XVIIbB.

Разделител на страница--

Общото правило за решаване на квадратните уравнения, дадени на една и съща канонична форма:

х.2 + bX.\u003d C,

за всякакви комбинации от знаци за коефициент б., отформулира се в Европа само през 1544 м.

1.6 за теоремата на Vieta

Теорема, която изразява връзката между коефициентите на квадратното уравнение и корените му, което е името на Vieta, е формулирано за първи път през 1591 г. както следва: "ако Б.+ Д.умножено по А.- А.2 добре BD.T. А. по равно В И равни Д.».

(A +.б.) x - x2 = aB.,

х.2 - (A +б.) x + aб.= 0,

х.1 \u003d a, x2 = б..

2. Методи за решаване на квадратни уравнения

Квадратните уравнения са основа, на която величествената сграда на алгебрата почива. Квадратните уравнения се използват широко в решаването на тригонометрични, индикативни, логаритмични, ирационални и трансцендентни уравнения и неравенства. Всички знаем как да решаваме квадратни уравнения от училищната пейка (степен 8), преди края на университета.

1. Метод : Разлагане на лявата част на фабричното уравнение.

Разрешаване на уравнение

х.2 + 10x - 24 \u003d 0.

Пространството на лявата страна на факторите:

х.2 + 10x - 24 \u003d x2 + 12x - 2x - 24 \u003d X (X + 12) - 2 (x + 12) \u003d (x + 12) (x - 2).

Следователно уравнението може да бъде пренаписано така:

(x + 12) (x - 2) \u003d 0

2. Метод : Метод за разпределение на пълен квадрат.

Разрешаване на уравнение х.2 + 6x - 7 \u003d 0.

Подчертаваме пълния квадрат в лявата страна.

За да направите това, напишете експресията X2 + 6X в следната форма:

х.2 + 6x \u003d x2 + 2 x 3.

В резултатния израз, първият термин е квадратът на броя на номерата, а вторият е двоен продукт X с 3. На това, за да получите пълен квадрат, трябва да добавите 32, тъй като

x2 +. 2 x 3 + 32 \u003d (x + 3)2 .

Сега трансформираме лявата част на уравнението

х.2 + 6x - 7 \u003d 0,

добавянето и изваждането 32. Имаме:

х.2 + 6x - 7 \u003dx2 +. 2 x 3 + 32 - 3 2 - 7 \u003d (x + 3)2 - 9 - 7 \u003d (x + 3)2 - 16.

Така това уравнение може да бъде написано като:

(x + 3)2 - 16 \u003d 0, (x + 3)2 = 16.

Следователно, x + 3 - 4 \u003d 0, x1 \u003d 1, или x + 3 \u003d -4, x2 = -7.

3. Метод :Разтвор на квадратни уравнения по формулата.

Умножете двете части на уравнението

о.2 + б.x + C \u003d 0, и ≠ 0

на 4А и последователно имаме:

4а.2 х.2 + 4а.б.x + 4AS \u003d 0,

((2AH)2 + 2AKH.б.+ б.2 ) - б.2 + 4 ac.= 0,

(2AX + B)2 \u003d Б.2 - 4ac,

2AX + b \u003d ± √ b2 - 4ac,

2AX \u003d - B ± √ b2 - 4ac,

Примери.

но)Разрешаване на уравнението: 4x.2 + 7x + 3 \u003d 0.

a \u003d 4,б.\u003d 7, c \u003d 3,Д.= б.2 - 4 ac.= 7 2 - 4 4 3 = 49 - 48 = 1,

Д.> 0, два различни корена;

По този начин, в случай на положителен дискриминант, т.е. за

б.2 - 4 ac.>0 уравнението о.2 + б.x + C \u003d 0има две различни корени.

б)Разрешаване на уравнението: 4x.2 - 4x + 1 \u003d 0,

a \u003d 4,б.\u003d - 4, c \u003d 1,Д.= б.2 - 4 ac.= (-4) 2 - 4 4 1= 16 - 16 = 0,

Д.= 0, един корен;

Така че, ако дискриминацията е нула, т.е. б.2 - 4 ac.= 0 , след това уравнение

о.2 + б.x + C \u003d 0има единствения корен

в)Разрешаване на уравнението: 2x.2 + 3x + 4 \u003d 0,

a \u003d 2,б.\u003d 3, c \u003d 4,Д.= б.2 - 4 ac.= 3 2 - 4 2 4 = 9 - 32 = - 13, Д.< 0.

Продължение
--Разделител на страница--

Това уравнение няма корен.

Така че, ако дискриминацията е отрицателна, т.е. б.2 - 4 ac.< 0 ,

уравнението о.2 + б.x + C \u003d 0 Той няма корени.

Формула (1) на корените на квадратното уравнение о.2 + б.x + C \u003d 0 Позволява ви да намерите корените всеки Квадратно уравнение (ако има такова), включително горното и непълно. Валидната формула (1) се изразява като: корените на квадратното уравнение са равни на фракцията, чийто числителят е равен на втория коефициент, взет с противоположния знак, плюс минус корен квадрат от площада на този коефициент без все още постоянния продукт на първия коефициент Свободният член, а знаменателят има двоен коефициент.

4. Метод: Решаване на уравнения, използващи теоремата на Vieta.

Както знаете, намаленото квадратно уравнение има формата

х.2 + px.+ ° С.= 0. (1)

Корените му отговарят на теоремата на Виета, която a \u003d 1. Има външен вид

/>х.1 х.2 = q.,

х.1 + х.2 = - пс.

а) ако консолидиран член q. Даденото уравнение (1) е положително ( q.> 0 ), уравнението има два идентични коренови знака и е завистта на втория коефициент пс.. Ако r.< 0 Тогава и двата корен са отрицателни, ако r.< 0 и двата корен са положителни.

Например,

х.2 – 3 х.+ 2 = 0; х.1 = 2 и х.2 = 1, като q.= 2 > 0 и пс.= - 3 < 0;

х.2 + 8 х.+ 7 = 0; х.1 = - 7 и х.2 = - 1, като q.= 7 > 0 и пс.= 8 > 0.

б) ако е свободен член q. Даденото уравнение (1) е отрицателно ( q.< 0 ), уравнението има две различни на коренния знак, а коренът по-голям в модула ще бъде положителен, ако пс.< 0 или отрицателен ако пс.> 0 .

Например,

х.2 + 4 х.– 5 = 0; х.1 = - 5 и х.2 = 1, като q.= - 5 < 0 и пс.= 4 > 0;

х.2 – 8 х.– 9 = 0; х.1 = 9 и х.2 = - 1, като q.= - 9 < 0 и пс.= - 8 < 0.

5. Метод: Решаване на уравнения по метода на "транзит".

Помислете за квадратно уравнение

о.2 + б.x + C \u003d 0,където a. 0.

Умножаване на двете части от A, ние получаваме уравнението

но2 х.2 + A.б.x + AC \u003d 0.

Нека бъде aH \u003d U.От! x \u003d y / aШпакловка след това дойдете в уравнението

w.2 + до+ AC \u003d 0,

еквивалент на това. Неговите корени w.1 и w.2 Ще намерим с помощта на теоремата на Виета.

Най-накрая

х.1 \u003d W.1 /нои х.1 \u003d W.2 /но.

Пример.

Разрешаване на уравнение 2x.2 - 11x + 15 \u003d 0.

Решение. "Ние ще прехвърлим" коефициент 2 на свободен член, в резултат на това получаваме уравнението

w.2 - 11 + 30 \u003d 0.

Според теоремата на Виетна

/>/>/>/>/>w.1 \u003d 5 x.1 = 5/2 х.1 = 2,5

w.2 = 6 х.2 = 6/2 х.2 = 3.

Отговор: 2.5; 3.

6. Метод: Свойства на коефициентите на квадратното уравнение.

НО. Нека да се даде квадратното уравнение

о.2 + б.x + C \u003d 0,където a. 0.

1) ако, a +б.+ C \u003d 0 (т.е., сумата на коефициентите е нула), след това x1 = 1,

х.2 \u003d s / a.

Доказателства. Разделяме двете части на уравнението на ≠ 0, получаваме намаленото квадратно уравнение

х.2 + б./ а. х.+ ° С./ а.= 0.

/\u003e Според теоремата на Виета

х.1 + х.2 = - б./ а.,

х.1 х.2 = 1 ° С./ а..

Чрез условие но -б.+ C \u003d 0,от б.\u003d a + s.По този начин,

/>х.1 + X.2 = - но+ B / A \u003d -1 - C / A,

х.1 х.2 \u003d - 1 (- c / a), \\ t

тези. х.1 = -1 и х.2 = ° С./ а.това m трябва да докаже.

Примери.

Разрешаване на уравнение 345x.2 - 137x - 208 \u003d 0.

Решение.Като a +.б.+ C \u003d 0 (345 - 137 - 208 \u003d 0),че

х.1 \u003d 1, x2 = ° С./ а.= -208/345.

Отговор: 1; -208/345.

2) Уравнение на решенията 132x.2 - 247x + 115 \u003d 0.

Решение.Като a +.б.+ C \u003d 0 (132 - 247 + 115 \u003d 0),че

х.1 \u003d 1, x2 = ° С./ а.= 115/132.

Отговор: 1; 115/132.

Б. Ако вторият коефициент б.= 2 к.- дори номер, след това коренната формула

Продължение
--Разделител на страница--

Пример.

Разрешаване на уравнение 3x2 - 14x + 16 \u003d 0.

Решение. Ние имаме: a \u003d 3,б.\u003d - 14, C \u003d 16,к.= - 7 ;

Д.= к.2 – ac.= (- 7) 2 – 3 16 = 49 – 48 = 1, Д.> 0, два различни корена;

Отговор: 2; 8/3.

В. Намаленото уравнение

х.2 + RH +.q.= 0

съвпада с уравнението на общото мнение, в което a \u003d 1., б.\u003d R.и c \u003d.q.. Следователно, за намаленото квадратно уравнение на корените корени

счита, че:

Формула (3) е особено удобна за използване, когато r.- четен брой.

Пример.Разрешаване на уравнение х.2 - 14x - 15 \u003d 0.

Решение.Ние имаме: х.1,2 \u003d 7 ±.

Отговор: H.1 \u003d 15; Х.2 = -1.

7. Метод: Графичен разтвор на квадратното уравнение.

Ако е в уравнение

х.2 + px.+ q.= 0

прехвърлете втория и третия членове от дясната страна, след това получаваме

х.2 = - px.- q..

Ние изграждаме графики на зависимостта y \u003d x2 и y \u003d - px- q.

направо (фиг. 1). Възможни са следните случаи:

Директната и Parabola могат да докоснат (само една обща точка), т.е. Уравнението има едно решение;

Директната и парабола нямат общи точки, т.е. Коравното уравнение няма корени.

Примери.

1) Гранично уравнение х.2 - 3x - 4 \u003d 0(Фиг. 2).

Решение.Пишем уравнение във формата х.2 \u003d 3x + 4.

Да построим парабола y \u003d x.2 и прав y \u003d 3x + 4. Прав

y \u003d 3x + 4може да бъде изграден на две точки M (0; 4)и

Н.(3; 13) . Директ и параброла се пресичат в две точки

НОи Вс абсцизации х.1 = - 1 и х.2 = 4 . Отговор : H.1 = - 1;

х.2 = 4.

2) Се противопоставят на графично уравнение (фиг. 3) х.2 - 2x + 1 \u003d 0.

Решение.Пишем уравнение във формата х.2 \u003d 2x - 1.

Да построим парабола y \u003d x.2 и прав y \u003d 2x - 1.

Прав y \u003d 2x - 1изграждане на две точки M (0; - 1)

и Н.(1/2; 0) . Директно и Parabola се пресичат в точката НОот

абсциса x \u003d 1.. Отговор: x \u003d 1.

3) Гранично уравнение х.2 - 2x + 5 \u003d 0(Фиг. 4).

Решение.Пишем уравнение във формата х.2 \u003d 5x - 5. Да построим парабола y \u003d x.2 и прав y \u003d 2x - 5. Прав y \u003d 2x - 5ние изграждаме две точки m (0; - 5) и n (2.5; 0). Директен и парабола нямат точки на пресичане, т.е. Това уравнение няма корен.

Отговор. Уравнението х.2 - 2x + 5 \u003d 0 Няма корени.

8. Метод: Разрешаване на квадратни уравнения с циркулация и владетел.

Предлагам следния метод за намиране на корените на квадратното уравнение о.2 + б.x + C \u003d 0с помощта на циркулация и владетел (фиг. 5).

Да предположим, че желаният кръг пресича оста

абсциса в точки В (x.1 ; 0) и Д.(H.2 ; 0), където х.1 и х.2 - Корени на уравнението о.2 + б.x + C \u003d 0и преминава през точки

А (0; 1)и C (0;° С./ а.) на оста на ординатата. След това, от теоремата на последователността, която имаме OB. OD.= OA. OC.От! OC.= OB. OD./ OA.\u003d H.1 х.2 / 1 = ° С./ а..

Центърът на кръга се намира в точката на пресичане на перпендикулярите SF.и Ск.възстановен в средата на акорд Ac.и BD., така

1) точки за изграждане (център на кръга) и А.(0; 1) ;

2) Ще проведем кръг с радиус SA.;

3) абсциса точки на пресичане на този кръг с ос О. са корените на първоначалното квадратно уравнение.

Възможно е три случая.

1) радиус на кръга повече ордининов център (Като> Ск., илиR.> а.+ ° С./2 а.) Кръгът пресича оста на две точки (фиг. 6, а) В (x.1 ; 0) и Д.(H.2 ; 0) където х.1 и х.2 - Корените на квадратното уравнение о.2 + б.x + C \u003d 0.

2) Радиус на кръга е равен на ординитетния център (Като= Sb., илиR.= а.+ ° С./2 а.) , кръгът се отнася до оста о (фиг. 6, б) в точката В (x.1 ; 0) където X1 е коренът на квадратното уравнение.

Продължение
--Разделител на страница--

Пример.

Разрешаване на уравнение х.2 - 2x - 3 \u003d 0(Фиг. 7).

Решение.Определяме координатите на центъра на центъра на обиколката по формули:

Извършваме кръга на радиуса на SA, където a (0; 1).

Отговор:х.1 \u003d - 1; Х.2 = 3.

9. Метод: Разрешаване на квадратни уравнения с номограма.

Таблица XXII. Nomogram за решаване на уравнението z.2 + pz.+ q.= 0 . Тази номограма позволява, без да решава уравнението на квадрата чрез коефициента му да определи корените на уравнението.

Кървилинейната скала на номограмата е конструирана чрез формули (фиг. 11):

Вярваше OS \u003d P,Ед= q., O \u003d a (Всички в cm), от сходството на триъгълниците Сан и CDF. Получаваме пропорция

където след заместванията и опростяването следва уравнението

z.2 + pz.+ q.= 0,

освен това писмото z.означава етикет от всяка точка на криволинейна скала.

Примери.

1) За уравнение z.2 - 9 z.+ 8 = 0 номограмата дава корени

z.1 = 8,0 и z.2 = 1,0 (Фиг.12).

2) Стойност с помощта на номограма

2 z.2 - 9 z.+ 2 = 0.

Разделяме коефициентите на това уравнение с 2, получаваме уравнението

z.2 - 4,5 z.+ 1 = 0.

Номограмата дава корени z.1 = 4 и z.2 = 0,5.

3) За уравнение

z.2 - 25 z.+ 66 = 0

коефициентите на P и Q отиват извън мащаба на скалата, изпълняват заместването z.= 5 t., Получавам уравнението

t.2 - 5 t.+ 2,64 = 0,

които решаваме номограмата и получаваме t.1 = 0,6 и t.2 = 4,4, от z.1 = 5 t.1 = 3,0 и z.2 = 5 t.2 = 22,0.

10. Метод: Геометричният метод за решаване на квадратни уравнения.

Примери.

1) решаване на уравнение х.2 + 10x \u003d 39.

В оригинала тази задача е формулирана, както следва: "квадрат и десет корени са 39" (фиг.15).

Решение.Помислете за площад отстрани X, правоъгълниците са изградени на своите партии, така че другата страна на всеки от тях е 2.5, следователно всяка област е 2.5x. Получената цифра се допълва до нов ABCD квадрат, завършвайки четири равни квадрати в ъглите, страната на всеки от тях е 2.5, а площта е 6.25.

■ площ С.квадрат ABCD.може да бъде представена като сума от квадрата: оригиналния квадрат х.2 , четири правоъгълника (4 2.5x \u003d 10x)и четири прикрепени квадрати (6,25 4 = 25) . С.= х.2 + 10x + 25.Замяна

х.2 + 10x.номер 39 , Получавам това С.= 39 + 25 = 64 където следва, че страната на площада ABCD.. Раздел AV \u003d 8.. За желаната страна х.първоначален квадрат

2) Но например, тъй като древните гърци решават уравнението w.2 + 6 - 16 \u003d 0.

Решениепредставени на фиг. 16, къде

w.2 + 6th \u003d 16, или2 + 6U + 9 \u003d 16 + 9.

Решение. Изрази w.2 + 6U + 9 и 16 + 9 Геометрично съставляват същия квадрат и първоначалното уравнение w.2 + 6 - 16 + 9 - 9 \u003d 0 - същото уравнение. Където и да го получите y + 3 \u003d ± 5, или w.1 \u003d 2,2 = - 8 (Фиг.16).

3) решават геометрично уравнение w.2 - 6 - 16 \u003d 0.

Конвертиране на уравнението,

w.2 - 6-ти \u003d 16.

На фиг. 17 Намери "изображения" на изрази w.2 - 6-ти,тези. От квадрата на квадрата на страната, квадратът на квадрата на страната на страната се изважда 3 . Така че, ако се изрази w.2 - 6U.добави 9 , после получаваме квадратния квадрат със страната y - 3.. Замяна на изразяване w.2 - 6U.равен на него номер 16,

получаваме: (Y - 3)2 = 16 + 9, тези. y - 3 \u003d ± √25или Y - 3 \u003d ± 5, където w.1 = 8 и w.2 = - 2.

Заключение

Тук спрях въпроса за решаването на квадратни уравнения и какво,

Литература:

1. Алимов с.А., Илин В.А. и други. Алгебра, 6-8. Опитен урок за 6-8 клас гимназия. - М., Просвещение, 1981.

2. Брадис В. Четирицифрени математически маси за средно училище. 57-ти. - М., Просвещение, 1990. стр. 83.

4. Okunev a.k. Квадратни функции, уравнения и неравенства. Ръководство за учител. - М., Просвещение, 1972.

5. Пресмен А.А. Решаване на квадратно уравнение с циркулация и владетел. - M., KVANT, № 4/72. Стр. 34.

6. Solomnik v.s., Milov p.i. Събиране на въпроси и задачи по математика. Ед. - 4-ти, допълнение. - М., Висше училище, 1973.