Намерете математическото очакване на произволната променлива, дадена. Формула на математическото очакване

Характеристики на DSV и техните свойства. Математическо очакване, дисперсия, скорост

Законът за разпределение напълно характеризира случайна сума. Въпреки това, когато е невъзможно да се намери законът за разпространение, или това не се изисква, то може да бъде ограничено до намирането на стойности, наречени числените характеристики на случайна променлива. Тези стойности определят известна средна стойност, около която са групирани стойностите на случайното отклонение и степента на разсейването им около тази средна стойност.

Математическо очакване Дискретна произволна променлива се нарича количеството произведения на всички възможни стойности на случайност на тяхната вероятност.

Математическите очаквания съществуват, ако ред, който стои в дясната част на равенството, се превръща абсолютно.

По отношение на вероятността може да се каже, че математическите очаквания са приблизително равни на средните аритметични наблюдавани стойности на произволната променлива.

Пример. Известен е законът за разпространение на дискретна произволна променлива. Намерете математическо очакване.

Решение:

9.2 свойства на математическите очаквания

1. Математическото очакване на постоянна стойност е равно на най-голяма константа.

2. Постоянен множител може да бъде направен за знак за математическо очакване.

3. Математическите очаквания за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта от техните математически очаквания.

Това свойство е валидно за произволен брой случайни променливи.

4. Математическите очаквания за сумата от две случайни променливи е равна на сумата на математическите очаквания на компонентите.

Този имот е валиден и за произволен брой случайни променливи.

Нека n от независими тестове, вероятността от появата на събитие и в което r.

Теорема. Математическото очакване на m (x) Броят на събитията и в N независимите тестове е равен на продукта на броя на изпитванията по вероятността от събитие във всеки тест.

Пример. Намерете математическото очакване на произволна променлива Z, ако математическите очаквания X и Y: m (x) \u003d 3, m (Y) \u003d 2, z \u003d 2x + 3y са известни.

Решение:

9.3 Дисперсия на дискретна произволна променлива

Въпреки това, математическите очаквания не могат напълно да характеризират произволен процес. В допълнение към математическите очаквания, е необходимо да се въведе стойност, която характеризира отклонението на случайното отклонение от математическото очакване.

Това отклонение е равно на разликата между произволната променлива и нейното математическо очакване. В този случай математическото изчакване на отклонението е нула. Това се обяснява с факта, че някои възможни отклонения са положителни, други са отрицателни и в резултат на тяхното взаимно погасяване се оказва нула.

Дисперсия (дисперсия) Дискретна произволна променлива се нарича математическо изчакване на площад на отклонение на случайна променлива от нейното математическо очакване.

На практика този метод за изчисляване на дисперсията е неудобен, защото Причини с голям брой случайни стойности към обемисти изчисления.

Следователно се прилага друг метод.

Теорема. Дисперсията е равна на разликата между математическото очакване на квадрата на произволната променлива x и квадрата на неговото математическо очакване.

Доказателства. С факта, че математическото очакване на m (x) и площад на математическото очакване m 2 (x) - постоянни стойности, могат да бъдат написани:

Пример. Намерете дисперсията на дискретна произволна променлива, дадена от закона за разпределение.

Решение :.

9.4 Дисперсионни свойства

1. Дисперсията на постоянна стойност е нула. .

2. Може да се направи постоянен мултипликатор за дисперсионен знак, който я яде на квадрат. .

3. Дисперсията на сумата от две независими случайни променливи е равна на размера на дисперсиите на тези стойности. .

4. Дисперсията на разликата в две независими случайни променливи е равна на размера на дисперсиите на тези стойности. .

Теорема. Дисперсията на броя на събитията А в независими тестове, във всяка от които вероятността за появата на събитие е постоянна, е равна на продукта на броя на изпитванията върху вероятността на външния вид и вина на събитието във всеки тест.

9.5 Средно квадратично отклонение на дискретна произволна променлива

Средно квадратично отклонение Случайната дисперсия се нарича квадратен корен от дисперсията.

Теорема. Средното квадратично отклонение на количеството на крайния брой взаимно независими случайни променливи е равно на квадратен корен от сумата на квадратите на средните квадратични отклонения на тези количества.

Законът за разпределение напълно характеризира случайна сума. Въпреки това, законът на разпределението е неизвестен и трябва да бъде ограничен до по-малко информация. Понякога е още по-изгодно да се използват номера, които описват обща стойност на случайна стойност, тези номера се наричат числени характеристики случайна величина. Важна цифрова характеристика включва математическо очакване.

Математическо очакване, както ще бъде показано допълнително, приблизително равно на средната стойност на случайната променлива. За да разрешите много задачи, е достатъчно да знаете математическото очакване. Например, ако е известно, че математическото очакване за броя на счупените точки на първата стрелка е по-голямо от второто, първите стрелки средно чукаха повече точки от втората, и следователно тя стреля по-добре.

Определение4.1: Математическо очакване Дискретно случайно отклонение нарича количеството на всички възможни стойности за техните вероятности.

Нека случайност Х. може да отнеме само стойности x 1, x 2, ... x nчиито вероятности са съответно равни p 1, p 2, ... p n.Тогава математическо очакване M (x.) Случайна величина Х. Определени от равенството

M (x) \u003d x 1 p 1 + x 2 p2 + ... + x n p n.

Esley дискретна случайност Х. след това отнема броя на възможните стойности

,

освен това математическите очаквания съществуват, ако редът от дясната страна на равенството се сблъсква абсолютно.

Пример.Намерете математическо очакване за броя на събитията А.в един тест, ако вероятността за събитие А. равен пс..

Решение: Случайна стойност Х. - броя на събитията А. има разпределението на Бернули, така

По този начин, математическото очакване на броя на събитията в един тест е равно на вероятността от това събитие..

Вероятност на математическите очаквания

Нека произведени н. Тестове, при които произволна стойност Х. Приет m 1. Веднъж стойност x 1., m 2. Веднъж стойност x 2. ,…, m K. Веднъж стойност x K., и m 1 + m 2 + ... + m k \u003d n. След това сумата на всички приети ценности Х., равно x 1 m 1 + x 2 m 2 + ... + x k m k .

Средната аритметична стойност на всички ценности, приета от случайна променлива, ще бъде

Поведение m i / n- относителна честота W I. Стойности x I.приблизително равна на вероятността от събития pLE.където , така

Вероятността на получения резултат е: математическо очакване приблизително равни (по-точно, толкова по-голям е броят на тестовете) средни аритметични наблюдавани случайни стойности.

Свойства на математическите очаквания

Property1:Математическото очакване за постоянна стойност е равно на най-постоянното

Property2:Постоянният множител може да бъде направен за знак за математическо очакване.

Дефиниция4.2: Две случайни променливи Наречен независимАко законът за разпределението на един от тях не зависи от възможните стойности на другата получена стойност. В противен случай случайни променливи са зависими.

Дефиниция4.3: Няколко случайни променливи Обади се взаимно независимАко законите на разпространението на произволен брой от тях не зависят от възможните стойности са останалите стойности.

Property3:Математическите очаквания за работата на две независими случайни променливи е равно на продукта от техните математически очаквания.

Следствие: Математическите очаквания за работата на няколко взаимно независими случайни променливи е равна на продукта на техните математически очаквания.

Property4:Математическите очаквания за сумата от две случайни променливи е равна на сумата на техните математически очаквания.

Следствие: Математическото очакване на сумата от няколко случайни променливи е равна на сумата на техните математически очаквания.

Пример.Изчислете математическото очакване на биномната произволна променлива Х -брой на събитието А. в н. експерименти.

Решение: Общ брой Х. Изяви на събития А. В тези тестове тя се състои от брой събития в отделни тестове. Въвеждаме случайни променливи X I. - броя на събитията в i.- изпитани тестове, които са бленлителни случайни стойности с математически очаквания, където . От собствеността на математическите очаквания, които имаме

По този начин, математическото очакване на биномното разпределение с параметрите N и P е равно на продукта NP.

Пример.Вероятността да се удари целта при стрелба от пистолет p \u003d 0.6.Намерете математическото очакване на общия брой хитове, ако се произвеждат 10 изстрела.

Решение: Всеки изстрел не зависи от резултатите от други изстрели, така че разглежданите събития са независими и следователно желаните математически очаквания

Математическите очаквания е определение

Изчакване на мат Една от най-важните понятия в математическата статистика и теорията на вероятностите, която характеризира разпределението на стойностите или вероятност случайна величина. Обикновено се изразява като среднопретеглена стойност на всички възможни случайни параметри на случаен вариант. Той се използва широко при провеждането на технически анализ, проучване на числови редове, изучаване на непрекъснати и дългосрочни процеси. Важно е при оценката на рисковете, прогнозиращите ценови показатели в търговията на финансовите пазари се използват при разработването на стратегии и методи на тактиката на играта в теория на хазарта.

Чакаща - това есредната стойност на случайната променлива, разпределение вероятност Случайната дисперсия се разглежда в теорията на вероятността.

Изчакване на матмярката за средната стойност на произволната променлива в теорията на вероятността. Мат чакане за случайна променлива х. обозначение M (x).

Математическо очакване (средно население) е

Изчакване на мат

Изчакване на мат При теорията на вероятността среднопретеглената стойност на всички възможни стойности, които може да предприеме тази случайна стойност.

Изчакване на матразмерът на произведенията на всички възможни стойности на случайна дисперсия по вероятността от тези стойности.

Математическо очакване (средно население) е

Изчакване на мат Средната полза от едно или друго решение, при условие че такова решение може да се разглежда в рамките на теорията на големите числа и на голямо разстояние.

Изчакване на матв теорията на хазарта, количеството на печалбите, които могат да печелят или загубят спекулант, средно, при всяка скорост. На хазартния език спекулант Понякога се нарича "предимството) спекулант"(Ако е положително за спекулантите) или" предимството на казиното "(ако е отрицателно за спекулационно).

Математическо очакване (средно население) е

Всяка, отделно взета стойност се определя изцяло чрез нейната разпределителна функция. Също така, за решаване на практически задачи, има достатъчно, за да знаете няколко цифрови характеристики, благодарение на която има възможност да се представят основните характеристики на случайна променлива в кратка форма.

Тези стойности се отнасят предимно. очаквана стойност и дисперсия .

Очаквана стойност - средната стойност на случайното отклонение в теорията на вероятността. Обозначава как.

Най-лесният начин за математическо очакване за случайна променлива X (w), намерете като интегралLebesgue. Във връзка с вероятността R. източник вероятност

Все още намеря математическото очакване на количеството integral Lebesgue. от х. Чрез разпределение на вероятностите R h. Стойности Х.:

където - набор от всички възможни стойности Х..

Математическо очакване на функции от произволна променлива Х. Разположен през разпространението R h.. например, ако Х. - Случайна стойност със стойности в и f (x) - недвусмислени борелевскаяфункция Х. , тогава:

Ако F (x) - Функция за разпространение Х.тогава е представено математическо очакване интегралLebesga - Stilletes (или Riemann - Stilly):

в този случай, интегриране Х. от гледна точка на ( * ) съответства на интеграла на крайниците

В конкретни случаи, ако Х. има дискретно разпространение с вероятни стойности x K., k \u003d 1, 2. и вероятности, тогава

ако Х. Той има абсолютно непрекъснато разпространение с плътност на вероятността p (x)T.

в същото време съществуването на математическото очакване е еквивалентно на абсолютната конвергенция на съответната серия или интегрална.

Свойствата на математическото очакване на случайна променлива.

• Математическите очаквания за постоянна стойност са равни на тази величина:

° С.- постоянен;

• M \u003d c.m [x]

• Математическите очаквания за количеството на случаен принципните стойности е равно на сумата на техните математически очаквания:

• Математическите очаквания за работата на независими произволно взети количества \u003d продуктът на техните математически очаквания:

M \u003d m [x] + m [y]

ако Х. и Y. Независим.

ако номер се сгъва:

Алгоритъм за изчисляване на математическите очаквания.

Свойства на дискретни случайни променливи: всичките им стойности могат да бъдат наети по естествени числа; Всяка стойност за приравняване на вероятността, различна от нула.

1. От своя страна завъртете двойката: x I. на pLE..

2. Сгъваме продукта на всяка двойка x i p i.

Бившза н. = 4 :

Дискретна функция за случайност Стъпка, тя се увеличава с скок в тези точки, чиито вероятности имат положителен знак.

Пример:Намерете математическо очакване по формулата.

Случайна величина Те наричат \u200b\u200bпроменливата стойност, която в резултат на всеки тест приема една предварително неизвестна стойност, в зависимост от случайните причини. Случайни променливи са обозначени с главни латински букви: $ x, y, z, dots $ в случаите си случайни променливи могат да бъдат отделен и непрекъснато.

Дискретна случайна вариабилност - Това е такава случайност, чиито стойности могат да бъдат не повече от това, което е край, или отметката. Гранимостта означава, че стойностите на случаенната променлива могат да бъдат увеличени.

Пример 1. . Даваме примери за дискретни случайни променливи:

а) броят на ударите в целта с $ n $ shots, тук е възможните стойности от $ 0, 1 точки, n $.

б) броят на празните монети на монетите, тук са възможните стойности от $ 0, \\ t

в) броя на пристигащите кораби на борда (преброяване на много стойности).

г) броя на повикванията, които влизат в PBX (броя на много стойности).

1. Законът за разпределението на вероятността дискретно случайно отклонение.

Дискретно произволно количество $ x $ може да вземе стойности $ x_1, dots, x_n $ с вероятности $ p] ляво (x_1 вдясно), dots, p / led (x_n) $. Съответствието между тези ценности и техните вероятности се нарича дискретна случайна променлива. Като правило, тази кореспонденция се настройва с помощта на таблицата, в първия ред, от които са посочени стойностите от $ x_1, dots, x_n $, и във втория ред, съответстващ на тези стойности на вероятността $ p_1, dots, p_n $.

$ започва (масив) (| в | в |)
HLINE.
X_i & x_1 & x_2 dots & x_n \\ t
HLINE.
P_i & p_1 & p_2 & dots & p_n \\ t
HLINE.
Край (масив) $

Пример 2. . Оставете случайна стойност от $ x $ - броят на очилата падна, когато приемате куба. Такава случайна стойност от $ x $ може да предприеме следните стойности от $ 1, \\ t Вероятностите на всички тези ценности са равни на $ 1/6 $. Тогава законът за разпространение на случайни вариации от $ x $

$ започва (масив) (| в | в |)
HLINE.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
HLINE.

HLINE.
Край (масив) $

Коментар. Тъй като законът за разпространение на дискретни случайни променливи $ x $ събития $ 1 2 точки $ 6 формират пълна група събития, сумата на вероятностите трябва да бъде равна на единството, т.е. $ сума (P_I ) \u003d 1 $.

2. Математическо очакване на дискретна случайна променлива.

Математическо очакване на случайна променлива Определя своята "централна" стойност. За дискретна случайна променлива, математическото изчакване се изчислява като количество от продуктите от $ x_1, dots, x_n $ към тези стойности на вероятността от $ p_1, dots, p_n $ $ , това е: $ m, ляво (x] \u003d sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) $. В литературата на английски език използвайте друго обозначение $ e, ляво (x вдясно) $.

Свойства на математическите очаквания $ M остави (x] $:

1. $ M остави (x вдясно) $ се сключва между най-малките и най-големи стойности на случайна стойност от $ x $.
2. Математическото очакване от постоянната е равно на константата, т.е. $ M ляво (вдясно) \u003d c $.
3. Постоянен множител може да бъде направен за знак за математическо очакване: $ m остави (cx вдясно) \u003d cm остави (x вдясно) $.
4. Математическото очакване на количеството на случайните променливи е равно на сумата на техните математически очаквания: $ m left (x + y] quite) \u003d m ляво (x вдясно) + m остави (y] $) $.
5. Математическото очакване на продукта от независими случайни променливи е равно на продукта на техните математически очаквания: $ m left (xy dide) \u003d m ляво (x вдясно) m ляво (вдясно) $.

Пример 3. . Ние намираме математическите очаквания за случайна променлива от $ x $ от пример от $ 2 $.

$$ m ляво (x] \u003d sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix_i) \u003d 1 cdot ((1) над (6)) + 2 ccot ((1) над (6) \\ t ) +3 ccot ((1) над (6)) + 4 ccot ((1) над (6)) + 5 ccot ((1) над (6)) + 6 ccot ((1) \\ t ) Над (6)) \u003d 3.5. $$

Можем да забележим, че $ m, ляво (x] $ се сключва между най-малкия ($ 1 $) и най-голям ($ 6 $) от стойностите на случайна стойност от $ x $.

Пример 4. . Известно е, че математическото очакване на случайна променлива от $ x $ е $ m остави (x] \u003d $ 2. Намерете математическо очакване за случайна променлива от $ 3X + $ 5.

Използвайки горните свойства, получаваме $ m, ляво (3x + 5] дясно) \u003d m ляво (3x вдясно) + m ляво (5 надясно) \u003d 3m остави (x] + 5 \u003d 3 \\ t CDOT 2 + 5 \u003d 11 $.

Пример 5. . Известно е, че математическото очакване за случайна променлива от $ x $ е $ m, ляво (x] \u003d $ 4. Намерете математическо очакване за случайно разнообразие от $ 2x-9 $.

Използвайки горните свойства, получаваме $ m остави (2x-9 вдясно) \u003d m ляво (2x вдясно) -m оставено (9 дясно) \u003d 2m остави (x] -9 \u003d 2 \\ t Cdot 4 -9 \u003d -1 $.

3. Дисперсия на дискретна произволна променлива.

Възможните стойности на случайни променливи с равни математически очаквания могат да се различават по различен начин около средните им стойности. Например, в две студентски групи, средният резултат за изпитването на вероятностната теория е равен на 4, но в същата група всичко се оказа добро и в друга група - само трини и отлични студенти. Следователно има нужда от такава цифрова характеристика на случайна променлива, която да покаже разпръскването на случайни стойности около нейното математическо очакване. Тази характеристика е дисперсията.

Дисперсия дискретна случайна променлива $ X $ равни:

$$ d left (x] \u003d sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (ляво (x_i-m) ляво))) ^ 2). \\ T

В английската литература, обозначенията на $ v са оставени (x], var лява (x] $) $ се използват. Много често дисперсия $ d остави (x вдясно) $ се изчислява с формула $ d, ляво (x] \u003d sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_ix ^ 2_i) - (ляво) - (ляво) наляво (x дясно) вдясно)) ^ $ 2.

Свойства на дисперсията $ D, ляво (x] $:

1. Дисперсията винаги е по-голяма или равна на нула, т.е. $ D, ляво (x вдясно) ge 0 $.
2. Дисперсията от постоянната е нула, т.е. $ D ляво (вдясно) \u003d 0 $.
3. Постоянният множител може да бъде направен за дисперсионния знак, подлежащ на изграждането му на площада, т.е. $ D остави (cx вдясно) \u003d c ^ 2d остави (x вдясно) $.
4. Дисперсията на количеството независими случайни променливи е равна на сумата на техните дисперсии, т.е. $ D ляво (x + y вдясно) \u003d d ляво (x dide) + d ляво (y dide) $.
5. Дисперсията на разликата в независимите случайни променливи е равна на сумата на техните дисперсии, т.е. $ D остави (x-y вдясно) \u003d d ляво (x вдясно) + d ляво (y дясно) $.

Пример 6. . Изчисляваме дисперсията на случайната стойност от $ x $ от пример от $ 2 $.

$$ d ляво (x] \u003d sum ^ n_ (i \u003d 1) (p_i (ляво (x_I-m) ляво))) ^ 2) \u003d (((1) \\ t (6)) ccot (ляво (1-3.5 дясно)) ^ 2 + ((1) над (6)) ccot (ляво (2-3.5 дясно)) ^ 2+ точки + ( (1) над (6)) ccot (ляво (6-3.5 дясно)) ^ 2 \u003d ((((35) над (12)) прибл. 2.92. $$

Пример 7. . Известно е, че дисперсията на случайна променлива от $ x $ е $ d, оставена (x] \u003d $ 2. Намерете дисперсия на случайна променлива от $ 4X + $ 1.

Използвайки горните свойства, ние откриваме $ d, ляво (4x + 1 вдясно) \u003d d ляво (4x вдясно) + d остави (1 дясно) \u003d 4 ^ 2d остави (x вдясно) + 0 \u003d 16D ляво (x did) \u003d 16 ccot 2 \u003d 32 $.

Пример 8. . Известно е, че дисперсията на случайна променлива от $ x $ е $ d, оставена (x] \u003d $ 3. Намерете дисперсия на случайна променлива от $ 3-2x $.

Използвайки горните свойства, ние откриваме $ d, ляво (3-2x) \u003d d ляво (3 дясно) + d, ляво (2x вдясно) \u003d 0 + 2 ^ 2d ляво (x] \\ t 4d ляво (x did) \u003d 4 cdot 3 \u003d 12 $.

4. Функцията за разпределение на дискретна произволна променлива.

Методът за представяне на дискретна произволна променлива под формата на редица разпределение не е единственият, а основното нещо не е универсално, тъй като непрекъснатата случайна стойност не може да бъде уточнена с помощта на определен брой разпределение. Има и друг начин да представлява случайна променлива - функцията за разпространение.

Функция за разпространение Случайната стойност на $ x $ се нарича $ f лява (x вдясно) функция, която определя вероятността случайната стойност на $ x $ ще отнеме стойност по-малка от фиксирана стойност от $ x $, т.е. , $ F, ляво (x] \u003d p \\ t< x\right)$

Свойства на функцията за разпространение:

1. $ 0 lef остави (x] led 1.
2. Вероятността дадена случайна стойност от $ x $ ще вземе ценности от левия интервал (алфа; бета) $, равна на разликата в стойностите на функцията за разпространение в края на Този интервал: $ p / left (alpha< X < \beta \right)=F\left(\beta \right)-F\left(\alpha \right)$
3. $ F, ляво (x вдясно) $ е несъответствие.
4. $ (Mathop (lim) _ (x до - infly) f, ляво (x] \u003d 0), (mathop (lim) _ (x до + infly) f \\ t наляво (X \\ t RIDE) \u003d 1) $.

Пример 9. . Намерете функцията за разпространение $ f, ляво (x] $ for Закон за разпределение на дискретна произволна променлива от $ x $ от един пример от $ 2 $.

$ започва (масив) (| в | в |)
HLINE.
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
HLINE.
1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 & 1/6 \\
HLINE.
Край (масив) $

Ако $ x $ 1 $, тогава, очевидно, $ f, ляво (x] \u003d 0 $ (включително при $ x \u003d 1 $ f, ляво (1 дясно) \u003d p \\ t наляво (x< 1\right)=0$).

Ако $ 1.< x\le 2$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)=1/6$.

Ако $ 2.< x\le 3$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)=1/6+1/6=1/3$.

Ако $ 3.< x\le 4$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)=1/6+1/6+1/6=1/2$.

Ако $ 4.< x\le 5$, то $F\left(X\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)=1/6+1/6+1/6+1/6=2/3$.

Ако $ 5.< x\le 6$, то $F\left(x\right)=P\left(X=1\right)+P\left(X=2\right)+P\left(X=3\right)+P\left(X=4\right)+P\left(X=5\right)=1/6+1/6+1/6+1/6+1/6=5/6$.

Ако $ x\u003e $ 6, след това $ f, ляво (x]) \u003d p] наляво (x \u003d 1 вдясно) + p] наляво (x \u003d 2 вдясно) + р \\ t ляво (x \u003d 3 вдясно) + P] ляво (x \u003d 4) + p] наляво (x \u003d 5 надясно) + щрежа (x \u003d 6) \u003d 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 + 1/6 \u003d 1 $.

Така че, $ f (x) \u003d оставени (започват (matrix)
0, с x 1, \\ t
1/6, на 1< x\le 2,\\
1/3, с 2< x\le 3,\\
1/2, на 3< x\le 4,\\
2/3, с 4< x\le 5,\\
5/6, с 4< x\le 5,\\
1, с x\u003e 6.
Край (matrix) право. $