Пример за обратна матрица от втори ред. Обратна матрица онлайн

Цел на услугата. С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица AT, присъединена матрица и обратна матрица.

Онлайн калкулатор. Обратна матрица.

Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчисленията се представят в отчет на Word и във формат Excel (т.е. възможно е да се провери решението). виж пример за дизайн.

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Алгебрични допълнения.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогава обратна матрицаможе да се запише като:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Намиране на обратната матрица

Матрицата А-1 се нарича обратна матрица спрямо матрицата, ако А * А-1 =, където е идентичната матрица от ти ред. Обратна матрица може да съществува само за квадратни матрици.

виж също Обратна матрица по метода на Йордан-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Намиране на транспонираната матрица AT.
Определение на алгебричните допълнения. Заменете всеки елемент от матрицата с алгебричното му допълнение.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от получената матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Следният алгоритъм за намиране на обратната матрица е подобен на предишния, с изключение на някои стъпки: първо се изчисляват алгебричните допълнения и след това се определя матрицата на съюза.

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Определение на алгебричните допълнения.
Попълване на съюзната (реципрочна, съединена) матрица.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от прилежащата матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Пример №1. Нека напишем матрицата, както следва:

Обратна матрица съществува, ако детерминантата на матрицата е различна от нула. Намерете детерминанта на матрицата:
= -1 (-1 4 - (- 2 5)) - 2 (2 4 - (- 2 (-2))) + 3 (2 5 - (- 1 (-2))) = 10. Определителят е 10 и не е равно на нула. Продължаваме с решението.
Намерете транспонираната матрица:
Алгебрични допълнения.

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогава обратна матрицаможе да се запише като:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

Да дадем друга схема за намиране на обратната матрица.

Намерете детерминанта на дадена квадратна матрица.
Намерете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата.
Записваме алгебричните допълнения на елементите на ред в колони (транспониране).
Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминанта на матрицата.

Както можете да видите, операцията за транспониране може да се приложи както в началото, върху оригиналната матрица, така и в края, върху получените алгебрични допълнения.

Специален случай: Обратното на матрицата на идентичността е матрицата на идентичността.

Пример №2. Намерете обратното на матрица .
Решение.
1. Намерете
.
2. Търсим алгебричните допълнения на всеки елемент от матрицата A:
; ; .
Получихме алгебричните допълнения на елементите от първия ред.

Намерете обратна матрица онлайн

По същия начин за елементите от втория и третия ред получаваме:
; ; .
; ; .
Комбинирайки точки 3 и 4, получаваме обратната матрица

.
За да проверите, уверете се, че A-1A = E.

Инструкция. За да се получи решение, е необходимо да се зададе размерността на матрицата. След това в нов диалогов прозорец попълнете матрицата.

Намиране на обратната матрица

Цел на услугата. С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица AT, съединена матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчисленията се представят в отчет на Word и във формат Excel (т.е. възможно е да се провери решението). виж пример за дизайн.

Намиране на обратната матрица онлайн

виж също Обратна матрица по метода на Йордан-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Намиране на транспонираната матрица AT.
Определение на алгебричните допълнения. Заменете всеки елемент от матрицата с алгебричното му допълнение.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от получената матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Определение на алгебричните допълнения.
Попълване на съюзната (реципрочна, съединена) матрица.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от прилежащата матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Пример №1. Нека напишем матрицата, както следва:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогава обратна матрицаможе да се запише като:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

Да дадем друга схема за намиране на обратната матрица.

Намерете детерминанта на дадена квадратна матрица.
Намерете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата.
Записваме алгебричните допълнения на елементите на ред в колони (транспониране).
Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминанта на матрицата.

За да проверите, уверете се, че A-1A = E.

Намирането на обратната матрица е важна част от раздела на линейната алгебра. С помощта на такива матрици, ако съществуват, можете бързо да намерите решение на система от линейни уравнения.

Матрицата се нарича обратна на матрица, ако са изпълнени следните равенства.

Ако детерминантата на матрица е различна от нула, тогава матрицата се нарича не особено или неизродена.

За да има матрица обратна, е необходимо и достатъчно тя да е неизродена

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

Нека имаме квадратна матрица

и трябва да намериш обратното. За да направите това, изпълнете следните стъпки:

1. Намерете детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, тогава извършваме следните действия. В противен случай тази матрица е изродена и за нея няма обратна

2. Намерете алгебричните допълнения на елементите на матрицата. Те са равни на минорите, умножени по силата на сумата на реда и колоната, които търсим.

3. Конструирайте матрица от алгебричните допълнения на елементите на матрицата на матрицата и я прототранспонирайте. Тази матрица се нарича прикачена или свързана и обозначена.

4. Разделете приложената матрица на детерминанти. Получената матрица ще бъде обратна и ще има свойствата, които са описани в началото на статията.

Намерете матрицата, обратна на матрицата (Dubovik V.P., Yurik I.I.

Намиране на обратната матрица

"Висша математика. Колекция от задачи")

1) Намерете детерминанта на матрицата

Тъй като детерминантата не е нула (), обратната матрица съществува. Намерете матрицата, съставена от алгебрични допълнения

Комплементната матрица ще приеме формата

Транспонираме го и получаваме прикрепеното

Разделяме го на детерминант и получаваме обратното

Виждаме, че в случая, когато детерминантата е равна на единица, присъединената и обратната матрици съвпадат.

2) Изчислете детерминантата на матрицата

Намерете матрицата на алгебричните допълнения

Крайната форма на матрицата на комплемента

Транспонираме го и намираме матрицата на съюза

Намерете обратната матрица

3) Да изчислим детерминанта на матрицата. За да направите това, разширете го в първия ред. В резултат на това получаваме два ненулеви члена

Намерете матрицата на алгебричните допълнения. Графикът на детерминанта се извършва в редове и колони, в които има повече нулеви елементи (маркирани в черно).

Крайната форма на матрицата на комплемента е както следва.

Транспонираме го и намираме свързаната матрица

Тъй като детерминантата на матрицата е равна на единица, обратната матрица съвпада с прилежащата. Този пример се завръща.

При изчисляване на обратната матрица са типични грешки, свързани с неправилни знаци при изчисляване на детерминантата и матрицата на комплемента.

Висша математика »Матрици и детерминанти» Обратна матрица »Изчисляване на обратната матрица чрез алгебрични събирания.

Алгоритъм за изчисляване на обратната матрица с помощта на алгебрични допълнения: методът на прилежащата (присъединена) матрица.

Матрицата $ A ^ (- 1) $ се нарича обратна по отношение на квадратната матрица $ A $, ако е изпълнено условието $ A ^ (- 1) \ cdot A = A \ cdot A ^ (- 1) = E $ , където $ E $ Е идентичната матрица, чийто ред е равен на реда на матрицата $ A $.

Недегенерирана матрица - матрица, чийто детерминант не е равен на нула. Съответно, изродена матрица е тази, за която детерминантата е равна на нула.

Обратната матрица $ A ^ (- 1) $ съществува тогава и само ако матрицата $ A $ е неизродена. Ако обратната матрица $ A ^ (- 1) $ съществува, тогава тя е уникална.

Има няколко начина за намиране на обратното на матрица и ще разгледаме два от тях. Тази страница ще обсъди метода на съчетаната матрица, който се счита за стандартен в повечето курсове по висша математика. Вторият метод за намиране на обратната матрица (метод на елементарните трансформации), който включва използването на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордън, е разгледан във втората част.

Методът на присъединената (присъединена) матрица

Нека е дадена матрицата $ A_ (n \ пъти n) $. За да се намери обратното на $ A ^ (- 1) $, са необходими три стъпки:

Намерете детерминанта на матрицата $ A $ и се уверете, че $ \ Delta A \ neq 0 $, т.е. че матрицата A е неизродена.
Съставете алгебричните допълнения $ A_ (ij) $ на всеки елемент от матрицата $ A $ и напишете матрицата $ A_ (n \ пъти n) ^ (*) = \ left (A_ (ij) \ right) $ от намери алгебрични допълнения.
Напишете обратната матрица, като вземете предвид формулата $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $.

Матрицата $ (A ^ (*)) ^ T $ често се нарича присъединена (реципрочна, свързана) с матрицата $ A $.

Ако решението се извършва ръчно, тогава първият метод е добър само за матрици с относително малки порядки: вторият (пример № 2), третият (пример № 3), четвъртият (пример № 4). Други методи се използват за намиране на обратната на матрица от по-висок порядък. Например методът на Гаус, който е разгледан във втората част.

Пример №1

Намерете обратното на $ A = \ left (\ begin (масив) (cccc) 5 & -4 & 1 & 0 \\ 12 & -11 & 4 & 0 \\ -5 & 58 & 4 & 0 \\ 3 & - 1 & -9 & 0 \ край (масив) \ дясно) $.

обратна матрица

Тъй като всички елементи на четвъртата колона са равни на нула, тогава $ \ Delta A = 0 $ (тоест, матрицата $ A $ е изродена). Тъй като $ \ Delta A = 0 $, матрицата, обратна на матрицата $ A $, не съществува.

Пример №2

Намерете обратното на матрицата $ A = \ left (\ начало (масив) (cc) -5 & 7 \\ 9 & 8 \ край (масив) \ вдясно) $.

Използваме метода на съчетаната матрица. Първо намираме детерминанта на дадената матрица $ A $:

$$ \ Delta A = \ вляво | \ начало (масив) (cc) -5 & 7 \\ 9 и 8 \ край (масив) \ вдясно | = -5 \ cdot 8-7 \ cdot 9 = -103. $$

Тъй като $ \ Delta A \ neq 0 $, тогава обратната матрица съществува, следователно ще продължим с решението. Намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от дадена матрица:

\ начало (подравнено) & A_ (11) = (- 1) ^ 2 \ cdot 8 = 8; \; A_ (12) = (- 1) ^ 3 \ cdot 9 = -9; \\ & A_ (21) = (- 1) ^ 3 \ cdot 7 = -7; \; A_ (22) = (- 1) ^ 4 \ cdot (-5) = - 5. \\ \ край (подравнен)

Ние съставяме матрица от алгебрични допълнения: $ A ^ (*) = \ left (\ начало (масив) (cc) 8 & -9 \\ -7 & -5 \ край (масив) \ вдясно) $.

Транспонирайте получената матрица: $ (A ^ (*)) ^ T = \ left (\ начало (масив) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ край (масив) \ вдясно) $ (резултантният матрицата често се нарича присъединена или присъединена матрица към матрицата $ A $). Използвайки формулата $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, имаме:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (- 103) \ cdot \ left (\ начало (масив) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ край (масив) \ вдясно) = \ вляво (\ начало (масив) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ край (масив) \ вдясно) $$

Така се намира обратното: $ A ^ (- 1) = \ left (\ начало (масив) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ край (масив) \ вдясно) $. За да проверите истинността на резултата, достатъчно е да проверите истинността на едно от равенствата: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ или $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Нека проверим равенството $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $. За да работим по-малко с дроби, ще заменим матрицата $ A ^ (- 1) $ не във формата $ \ left (\ begin (array) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ край (масив) \ вдясно) $ и като $ - \ frac (1) (103) \ cdot \ left (\ начало (масив) (cc) 8 & -7 \\ -9 & -5 \ край (масив) \ вдясно) $:

Отговор: $ A ^ (- 1) = \ left (\ начало (масив) (cc) -8/103 & 7/103 \\ 9/103 & 5/103 \ край (масив) \ дясно) $.

Пример №3

Намерете обратното на матрицата $ A = \ left (\ начало (масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ край (масив) \ вдясно) $.

Нека започнем с изчисляване на детерминанта на матрицата $ A $. И така, детерминантата на матрицата $ A $ е както следва:

$$ \ Delta A = \ вляво | \ начало (масив) (ccc) 1 & 7 & 3 \\ -4 & 9 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \ край (масив) \ вдясно | = 18-36 + 56-12 = 26. $$

Ние съставяме матрица от алгебрични допълнения и я транспонираме:

$$ A ^ * = \ left (\ начало (масив) (ccc) 6 & 8 & -12 \\ -5 & 2 & -3 \\ 1 & -16 & 37 \ край (масив) \ вдясно); \; (A ^ *) ^ T = \ вляво (\ начало (масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ край (масив) \ вдясно) $$

Използвайки формулата $ A ^ (- 1) = \ frac (1) (\ Delta A) \ cdot (A ^ (*)) ^ T $, получаваме:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (26) \ cdot \ left (\ начало (масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & - 3 & 37 \ край (масив) \ дясно) = \ ляво (\ начало (масив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \ \ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ край (масив) \ вдясно) $$

Така че $ A ^ (- 1) = \ left (\ начало (масив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6 /13 & -3/26 & 37/26 \ край (масив) \ дясно) $. За да проверите истинността на резултата, достатъчно е да проверите истинността на едно от равенствата: $ A ^ (- 1) \ cdot A = E $ или $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. Нека проверим равенството $ A \ cdot A ^ (- 1) = E $. За да работим по-малко с дроби, ще заменим матрицата $ A ^ (- 1) $ не във формата $ \ left (\ begin (array) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \ \ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ -6/13 & -3/26 & 37/26 \ край (масив) \ вдясно) $, и като $ \ frac (1) (26) \ cdot \ left ( \ начало (масив) (ccc) 6 & -5 & 1 \\ 8 & 2 & -16 \\ -12 & -3 & 37 \ край (масив) \ вдясно) $:

Проверката беше успешна, обратното $ A ^ (- 1) $ беше намерено правилно.

Отговор: $ A ^ (- 1) = \ left (\ начало (масив) (ccc) 3/13 & -5/26 & 1/26 \\ 4/13 & 1/13 & -8/13 \\ - 6/13 & -3/26 & 37/26 \ край (масив) \ дясно) $.

Пример №4

Намерете обратното на $ A = \ left (\ begin (масив) (cccc) 6 & -5 & 8 & 4 \\ 9 & 7 & 5 & 2 \\ 7 & 5 & 3 & 7 \\ -4 & 8 & -8 & -3 \ край (масив) \ дясно) $.

За матрица от четвърти порядък намирането на обратната матрица с помощта на алгебрични допълнения е малко трудно. Такива примери обаче се намират в тестови документи.

За да намерите обратното на матрица, първо трябва да изчислите детерминанта на матрицата $ A $. Най-добрият начин да направите това в тази ситуация е да разширите детерминанта по ред (колона). Избираме произволен ред или колона и намираме алгебричните допълнения на всеки елемент от избрания ред или колона.

Например, за първия ред получаваме:

Детерминантата на матрицата $ A $ се изчислява по следната формула:

$$ \ Delta A = a_ (11) \ cdot A_ (11) + a_ (12) \ cdot A_ (12) + a_ (13) \ cdot A_ (13) + a_ (14) \ cdot A_ (14) = 6 \ cdot 556 + (- 5) \ cdot (-300) +8 \ cdot (-536) +4 \ cdot (-112) = 100. $$

Алгебрична матрица на допълнението: $ A ^ * = \ left (\ начало (масив) (cccc) 556 & -300 & -536 & -112 \\ -77 & 50 & 87 & 4 \\ -93 & 50 & 83 & 36 \\ 473 & -250 & -463 & -96 \ край (масив) \ вдясно) $.

Обединена матрица: $ (A ^ *) ^ T = \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ край (масив) \ вдясно) $

Обратна матрица:

$$ A ^ (- 1) = \ frac (1) (100) \ cdot \ left (\ begin (array) (cccc) 556 & -77 & -93 & 473 \\ -300 & 50 & 50 & -250 \\ -536 & 87 & 83 & -463 \\ -112 & 4 & 36 & -96 \ край (масив) \ дясно) = \ наляво (\ начало (масив) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28 / 25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ край (масив) \ вдясно) $$

Преглед:

Следователно обратната матрица е намерена правилно.

Отговор: $ A ^ (- 1) = \ left (\ начало (масив) (cccc) 139/25 & -77/100 & -93/100 & 473/100 \\ -3 & 1/2 & 1/2 & -5/2 \\ -134/25 & 87/100 & 83/100 & -463/100 \\ -28/25 & 1/25 & 9/25 & -24/25 \ край (масив) \ вдясно ) $.

Във втората част ще бъде разгледан различен начин за намиране на обратната матрица, който включва използването на трансформации на метода на Гаус или метода на Гаус-Джордан.

Онлайн уроци по висша математика

Намиране на обратната матрица

виж също Обратна матрица по метода на Йордан-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Намиране на транспонираната матрица AT.
Определение на алгебричните допълнения. Заменете всеки елемент от матрицата с алгебричното му допълнение.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от получената матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Определение на алгебричните допълнения.
Попълване на съюзната (реципрочна, съединена) матрица.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от прилежащата матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Пример №1. Нека напишем матрицата, както следва:

1,1 = (-1 4-5 (-2)) = 6

1,2 = -(2 4-(-2 (-2))) = -4

1,3 = (2 5-(-2 (-1))) = 8

2,1 = -(2 4-5 3) = 7

2,2 = (-1 4-(-2 3)) = 2

2,3 = -(-1 5-(-2 2)) = 1

3,1 = (2 (-2)-(-1 3)) = -1

3,2 = -(-1 (-2)-2 3) = 4

3,3 = (-1 (-1)-2 2) = -3
Тогава обратна матрицаможе да се запише като:

A-1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

Да дадем друга схема за намиране на обратната матрица.

Намерете детерминанта на дадена квадратна матрица.
Намерете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата.
Записваме алгебричните допълнения на елементите на ред в колони (транспониране).
Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминанта на матрицата.

За да проверите, уверете се, че A-1A = E.

Матрица A -1 се нарича обратна матрица по отношение на матрица A, ако A * A -1 = E, където E е единичната матрица от n-ти порядък. Обратна матрица може да съществува само за квадратни матрици.

Цел на услугата... С помощта на тази услуга онлайн можете да намерите алгебрични допълнения, транспонирана матрица A T, присъединена матрица и обратна матрица. Решението се извършва директно на уебсайта (онлайн) и е безплатно. Резултатите от изчисленията се представят в отчет на Word и във формат Excel (т.е. възможно е да се провери решението). виж пример за дизайн.

Инструкция. За да се получи решение, е необходимо да се зададе размерността на матрицата. След това в нов диалогов прозорец попълнете матрицата A.

Вижте също Обратна матрица с помощта на метода на Джордан-Гаус

Алгоритъм за намиране на обратната матрица

Намиране на транспонираната матрица A T.
Определение на алгебричните допълнения. Заменете всеки елемент от матрицата с алгебричното му допълнение.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от получената матрица се дели на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.

Следващия обратен матричен алгоритъме подобен на предишния, с изключение на някои стъпки: първо се изчисляват алгебричните допълнения и след това се определя присъединената матрица C.

Определете дали матрицата е квадратна. Ако не, тогава няма обратна матрица за него.
Изчисляване на детерминанта на матрицата A. Ако не е равно на нула, продължаваме с решението; в противен случай обратната матрица не съществува.
Определение на алгебричните допълнения.
Попълване на съюзната (реципрочна, съединена) матрица C.
Съставяне на обратна матрица от алгебрични допълнения: всеки елемент от присъединената матрица C се разделя на детерминанта на оригиналната матрица. Получената матрица е обратна на оригиналната матрица.
Прави се проверка: оригиналната и получените матрици се умножават. Резултатът трябва да бъде матрицата за идентичност.

Пример №1. Нека напишем матрицата, както следва:

Алгебрични допълнения. ∆ 1,2 = - (2 4 - (- 2 (-2))) = -4 ∆ 2,1 = - (2 4-5 3) = 7 ∆ 2,3 = - (- 1 5 - (- 2 2)) = 1 ∆ 3,2 = - (- 1 (-2) -2 3) = 4

A -1 =

0,6	-0,4	0,8
0,7	0,2	0,1
-0,1	0,4	-0,3

Друг алгоритъм за намиране на обратната матрица

Да дадем друга схема за намиране на обратната матрица.

Намерете детерминанта на дадена квадратна матрица A.
Намерете алгебричните допълнения към всички елементи на матрицата A.
Записваме алгебричните допълнения на елементите на ред в колони (транспониране).
Разделяме всеки елемент от получената матрица на детерминанта на матрицата A.

Специален случай: Обратното на идентичната матрица E е идентичната матрица E.

Продължаваме да говорим за действия с матрици. А именно – в хода на изучаването на тази лекция ще научите как да намерите обратната матрица. Уча. Дори ако математиката е трудна.

Какво е обратна матрица? Тук можете да направите аналогия с реципрочните числа: помислете например за оптимистичното число 5 и неговото обратно. Произведението на тези числа е равно на едно:. С матриците всичко е подобно! Произведението на матрица от нейната обратна матрица е - матрица за идентичност, което е матричният аналог на числова единица. Обаче първо ще решим един важен практически въпрос, а именно, ще се научим как да намерим тази много обратна матрица.

Какво трябва да знаете и да можете да направите, за да намерите обратната матрица? Трябва да можете да решите детерминанти... Трябва да разберете какво е то матрицаи да можете да извършвате някои действия с тях.

Има два основни метода за намиране на обратната на матрица:
като се използва алгебрични допълненияи използвайки елементарни трансформации.

Днес ще разгледаме първия, по-лесен начин.

Нека започнем с най-ужасното и неразбираемо. Обмисли квадратматрица. Обратната матрица може да се намери по следната формула:

Където е детерминантата на матрицата, е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата.

Концепцията за обратна матрица съществува само за квадратни матрици, матрици "две по две", "три по три" и т.н.

Обозначения: Както вероятно вече сте забелязали, обратната страна на матрицата е обозначена с горен индекс

Нека започнем с най-простия случай - матрица две по две. Най-често, разбира се, се изисква "три по три", но въпреки това силно препоръчвам да изучавате по-проста задача, за да овладеете общия принцип на решението.

пример:

Намерете обратното на матрица

Ние решаваме. Последователността от действия може удобно да бъде разделена на точки.

1) Първо, намерете детерминанта на матрицата.

Ако разбирането ви за това действие не е достатъчно добро, прочетете материала Как да изчислим детерминанта?

Важно!В случай, че детерминантата на матрицата е НУЛА- обратна матрица НЕ СЪЩЕСТВУВА.

В разглеждания пример, както се оказа, това означава, че всичко е наред.

2) Намерете матрицата на непълнолетните.

За да решим нашия проблем, не е необходимо да знаем какво е непълнолетен, но е препоръчително да прочетете статията Как да изчислим детерминанта.

Матрицата на минорите има същите размери като матрицата, тоест в този случай.
Въпросът е малък, остава да намерите четири числа и да ги поставите вместо звездички.

Обратно към нашата матрица
Нека първо разгледаме горния ляв елемент:

Как да го намеря незначителен?
И това се прави така: МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалото число е минор от този елемент, което записваме в нашата матрица от непълнолетни:

Помислете за следния матричен елемент:

Мислено зачеркваме реда и колоната, в които се намира този елемент:

Това, което остава, е минорът на този елемент, който записваме в нашата матрица:

По същия начин разглеждаме елементите от втория ред и намираме техните второстепенни:

Готов.

Просто е. В матрицата на непълнолетните, имате нужда ПРОМЕНЯТЕ ЗНАКИТЕдве числа:

Това са числата, които съм оградил!

- матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

И е просто...

4) Намерете транспонираната матрица на алгебричните допълнения.

- транспонирана матрица от алгебрични допълнения на съответните елементи на матрицата.

5) Отговор.

Спомняйки си нашата формула
Всичко е намерено!

Така че обратната на матрицата е:

Най-добре е отговорът да се остави такъв, какъвто е. НЕ Е ЗАДЪЛЖИТЕЛНОразделете всеки елемент от матрицата на 2, тъй като получавате дробни числа. Този нюанс е разгледан по-подробно в същата статия. Матрични операции.

Как мога да проверя решението?

Необходимо е да се извърши матрично умножение или

Преглед:

Вече споменатото матрица за идентичностТова е матрица с включени основен диагонали нули другаде.

Следователно обратното е правилно.

Ако извършите действие, резултатът също ще бъде матрицата за идентичност. Това е един от малкото случаи, когато умножението на матрицата е променливо, повече информация можете да намерите в статията Свойства на операциите върху матрици. Матрични изрази... Също така имайте предвид, че по време на проверката константата (фракцията) се извежда напред и се обработва в самия край - след умножение на матрицата. Това е стандартна техника.

Нека да преминем към по-често срещан случай на практика - матрицата "три по три":

пример:

Намерете обратното на матрица

Алгоритъмът е абсолютно същият като за случая две по две.

Обратната матрица намираме по формулата:, където е транспонираната матрица на алгебричните допълнения на съответните елементи на матрицата.

1) Намерете детерминанта на матрицата.

Тук се разкрива детерминантата на първия ред.

Също така, не забравяйте това, което означава, че всичко е наред - съществува обратна матрица.

2) Намерете матрицата на непълнолетните.

Непълнолетната матрица има измерение "три по три" и трябва да намерим девет числа.

Ще се впусна в няколко незначителни подробности в подробности:

Помислете за следния матричен елемент:

МИСЛЕНО зачеркнете реда и колоната, в които се намира този елемент:

Останалите четири числа се записват в детерминанта "две по две"

Тази квалификация е "две по две" и е минорът на този елемент... Необходимо е да се изчисли:

Това е всичко, минорът е намерен, записваме го в нашата матрица на минорите:

Както може би се досещате, има девет детерминанта две по две, които трябва да бъдат изчислени. Процесът, разбира се, е скучен, но случаят не е най-трудният, може да бъде и по-лош.

Е, за консолидация - намиране на още един непълнолетен на снимките:

Опитайте се сами да изчислите останалите непълнолетни.

Краен резултат:
- матрицата на минорите на съответните елементи на матрицата.

Това, че всички непълнолетни се оказаха отрицателни, е чиста случайност.

3) Намерете матрицата на алгебричните допълнения.

В матрицата на непълнолетните е необходимо ПРОМЕНЯТЕ ЗНАКИТЕстрого за следните елементи:

В такъв случай:

Ние не обмисляме намирането на обратната матрица за матрицата „четири по четири“, тъй като такава задача може да бъде дадена само от учител-садист (така че ученикът да изчисли една детерминанта „четири по четири“ и 16 детерминанта „три по три“ ). В моята практика срещнах само един такъв случай, а клиентът на теста плати доста скъпо за моите мъки =).

В редица учебници, ръководства можете да намерите малко по-различен подход за намиране на обратната матрица, но препоръчвам да използвате горния алгоритъм за решение. Защо? Тъй като вероятността да се объркате в изчисленията и знаците е много по-малка.

Тази тема е една от най-мразените сред студентите. Само детерминантите вероятно са по-лоши.

Номерът е, че самото понятие за обратен елемент (а сега не говоря само за матрици) ни препраща към операцията на умножение. Дори в училищната програма умножението се счита за сложна операция, а умножението на матрици по принцип е отделна тема, на която имам посветен цял параграф и видеоурок.

Днес няма да навлизаме в подробности за матричните изчисления. Само запомнете: как се обозначават матриците, как се умножават и какво следва от това.

Повторение: матрично умножение

Първо, нека се споразумеем за нотацията. Матрица $ A $ с размер $ \ вляво [m \ пъти n \ вдясно] $ е просто таблица с числа, в която има точно $ m $ редове и $ n $ колони:

\ = \ подскоба (\ вляво [\ начало (матрица) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) \\ (( a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & ((a) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (m1)) & ((a) _ (m2)) & ... & ((a) _ (mn)) \\\ край (матрица) \ вдясно]) _ (n) \]

За да не объркате случайно редове и колони на места (повярвайте ми, можете да смесите 1 с 2 на изпита - какво да кажем за някои редове там), просто погледнете снимката:

Определяне на индекси за матрични клетки

Какво се случва? Ако поставим стандартната координатна система $ OXY $ в горния ляв ъгъл и насочим осите така, че да покриват цялата матрица, тогава всяка клетка от тази матрица може да бъде уникално свързана с координатите $ \ вляво (x; y \ вдясно) $ - това ще бъде номерът на ред и колона.

Защо координатната система се намира в горния ляв ъгъл? Защото от там започваме да четем всякакви текстове. Много е лесно да се запомни.

Защо оста $ x $ е насочена надолу, а не надясно? Отново всичко е просто: вземете стандартната координатна система (оста $ x $ върви надясно, оста $ y $ се издига нагоре) и я завъртете, така че да обхваща матрицата. Това е завъртане на 90 градуса по часовниковата стрелка - можем да видим неговия резултат на снимката.

Като цяло разбрахме как да определим индексите на матричните елементи. Сега нека се заемем с умножението.

Определение. Матрици $ A = \ left [m \ times n \ right] $ и $ B = \ left [n \ times k \ right] $, когато броят на колоните в първата е същият като броя на редовете във втория , се наричат последователни.

В този ред. Можете да се объркате и да кажете, казват те, матриците $ A $ и $ B $ образуват подредена двойка $ \ вляво (A; B \ вдясно) $: ако са последователни в този ред, тогава е напълно излишно, че $ B $ и $ A $, тези. двойката $ \ ляво (B; A \ дясно) $ също е съвпадаща.

Могат да се умножават само съвпадащи матрици.

Определение. Произведението на съпоставените матрици $ A = \ left [m \ пъти n \ надясно] $ и $ B = \ left [n \ times k \ right] $ е нова матрица $ C = \ left [m \ times k \ right] ] $ , чиито елементи $ ((c) _ (ij)) $ се изчисляват по формулата:

\ [((c) _ (ij)) = \ sum \ limits_ (k = 1) ^ (n) (((a) _ (ik))) \ cdot ((b) _ (kj)) \]

С други думи: за да получите елемента $ ((c) _ (ij)) $ на матрицата $ C = A \ cdot B $, трябва да вземете $ i $-реда на първата матрица, $ j $ -та колона на втората матрица и след това умножете по двойки елементи от този ред и колона. Съберете резултатите.

Да, това е толкова грубо определение. От него веднага следват няколко факта:

Матричното умножение, най-общо казано, е некомутативно: $ A \ cdot B \ ne B \ cdot A $;
Въпреки това, умножението е асоциативно: $ \ left (A \ cdot B \ right) \ cdot C = A \ cdot \ left (B \ cdot C \ right) $;
И дори разпределително: $ \ ляво (A + B \ дясно) \ cdot C = A \ cdot C + B \ cdot C $;
И отново разпределително: $ A \ cdot \ left (B + C \ right) = A \ cdot B + A \ cdot C $.

Дистрибутивността на умножението трябваше да бъде описана отделно за левия и десния множител-сума, именно поради некомутативността на операцията за умножение.

Ако все пак се окаже, че $ A \ cdot B = B \ cdot A $, такива матрици се наричат пермутационни матрици.

Сред всички матрици, които се умножават там по нещо, има специални - тези, които, когато се умножат по която и да е матрица $ A $, отново дават $ A $:

Определение. Матрицата $ E $ се нарича идентичност, ако $ A \ cdot E = A $ или $ E \ cdot A = A $. В случай на квадратна матрица $ A $ можем да запишем:

Единичната матрица е чест гост при решаване на матрични уравнения. И като цяло чест посетител в света на матриците. :)

И също така заради този $E$ някой измисли цялата игра, която ще бъде написана по-нататък.

Какво е обратна матрица

Тъй като умножението на матрицата е много отнемаща време операция (трябва да умножите куп редове и колони), концепцията за обратна матрица също не е най-тривиалната. И изисква известно обяснение.

Ключова дефиниция

Е, време е да научим истината.

Определение. Матрицата $ B $ се нарича обратна на матрицата $ A $ if

Обратната матрица се обозначава с $ ((A) ^ (- 1)) $ (да не се бърка със степента!), Така че дефиницията може да бъде пренаписана, както следва:

Изглежда, че всичко е изключително просто и ясно. Но когато анализираме такова определение, веднага възникват няколко въпроса:

Винаги ли съществува обратна матрица? И ако не винаги, тогава как да определим: кога съществува и кога не?
И кой каза, че има точно една такава матрица? Ами ако за някаква начална матрица $ A $ има цяла тълпа обратни?
Как изглеждат всички тези обратни? И как всъщност трябва да се броят?

Що се отнася до алгоритмите за изчисление - ще говорим за това малко по-късно. Но на останалите въпроси ще отговорим точно сега. Нека ги оформим под формата на отделни твърдения-леми.

Основни свойства

Нека започнем с това как трябва да изглежда матрицата $ A $, за да има $ ((A) ^ (- 1)) $. Сега ще се уверим, че и двете матрици трябва да са квадратни и с еднакъв размер: $ \ left [n \ пъти n \ right] $.

Лема 1. Дадена е матрица $ A $ и нейната обратна $ ((A) ^ (- 1)) $. Тогава и двете матрици са квадратни, със същия ред $ n $.

Доказателство. Просто е. Нека матрицата $ A = \ left [m \ пъти n \ надясно] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [a \ times b \ right] $. Тъй като продуктът $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $ съществува по дефиниция, матриците $ A $ и $ ((A) ^ (- 1)) $ се съпоставят в посочения ред:

\ [\ начало (подравняване) & \ ляво [m \ пъти n \ дясно] \ cdot \ ляво [a \ пъти b \ надясно] = \ ляво [m \ пъти b \ надясно] \\ & n = a \ край ( подравняване) \]

Това е пряко следствие от алгоритъма за умножение на матрицата: коефициентите $ n $ и $ a $ са "преходни" и трябва да бъдат равни.

В същото време е дефинирано и обратното умножение: $ ((A) ^ (- 1)) \ cdot A = E $, следователно матриците $ ((A) ^ (- 1)) $ и $ A $ са също съвпадат в посочения ред:

\ [\ начало (подравняване) & \ ляво [a \ пъти b \ дясно] \ cdot \ ляво [m \ пъти n \ надясно] = \ ляво [a \ пъти n \ надясно] \\ & b = m \ край ( подравняване) \]

По този начин, без да губим общността, можем да приемем, че $ A = \ ляво [m \ пъти n \ дясно] $, $ ((A) ^ (- 1)) = \ left [n \ пъти m \ надясно] $. Въпреки това, според дефиницията, $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = ((A) ^ (- 1)) \ cdot A $, така че размерите на матриците са строго еднакви:

\ [\ начало (подравняване) & \ ляво [m \ пъти n \ дясно] = \ ляво [n \ пъти m \ дясно] \\ & m = n \ край (подравняване) \]

Така се оказва, че и трите матрици - $ A $, $ ((A) ^ (- 1)) $ и $ E $ - са квадратни размери $ \ left [n \ пъти n \ right] $. Лемата е доказана.

Е, това вече не е лошо. Виждаме, че само квадратните матрици са обратими. Сега нека се уверим, че обратното винаги е същото.

Лема 2. Дадена е матрица $ A $ и нейната обратна $ ((A) ^ (- 1)) $. Тогава този обратен е единственият.

Доказателство. Нека тръгнем от обратното: нека матрицата $ A $ има поне две копия на своята обратна - $ B $ и $ C $. Тогава, според дефиницията, следните равенства са верни:

\ [\ начало (подравняване) & A \ cdot B = B \ cdot A = E; \\ & A \ cdot C = C \ cdot A = E. \\ \ край (подравняване) \]

От лема 1 заключаваме, че и четирите матрици - $ A $, $ B $, $ C $ и $ E $ - са квадратни от същия ред: $ \ left [n \ пъти n \ right] $. Следователно продуктът се определя:

Тъй като умножението на матрицата е асоциативно (но не и комутативно!), можем да запишем:

\ [\ начало (подравняване) & B \ cdot A \ cdot C = \ ляво (B \ cdot A \ дясно) \ cdot C = E \ cdot C = C; \\ & B \ cdot A \ cdot C = B \ cdot \ вляво (A \ cdot C \ вдясно) = B \ cdot E = B; \\ & B \ cdot A \ cdot C = C = B \ Стрелка надясно B = C. \\ \ край (подравняване) \]

Получихме единствената възможна опция: две копия на обратната матрица са равни. Лемата е доказана.

Горните разсъждения повтарят почти дума по дума доказателството за единствеността на обратното за всички реални числа $ b \ ne 0 $. Единственото съществено допълнение е да се вземе предвид размерността на матриците.

Все още обаче не знаем нищо за това дали някоя квадратна матрица е обратима. Тук на помощ ни идва детерминантата – това е ключова характеристика за всички квадратни матрици.

Лема 3. Дадена ви е матрица $ A $. Ако нейната обратна матрица $ ((A) ^ (- 1)) $ съществува, тогава детерминантата на оригиналната матрица е различна от нула:

\ [\ наляво | A \ вдясно | \ ne 0 \]

Доказателство. Вече знаем, че $ A $ и $ ((A) ^ (- 1)) $ са квадратни матрици с размер $ \ left [n \ пъти n \ right] $. Следователно за всеки от тях можете да изчислите детерминанта: $ \ left | A \ вдясно | $ и $ \ наляво | ((A) ^ (- 1)) \ вдясно | $. Въпреки това, детерминантата на продукта е равна на произведението на детерминантите:

\ [\ наляво | A \ cdot B \ дясно | = \ ляво | A \ вдясно | \ cdot \ вляво | B \ надясно | \ Стрелка надясно \ наляво | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ дясно | = \ ляво | A \ вдясно | \ cdot \ вляво | ((A) ^ (- 1)) \ вдясно | \]

Но според дефиницията $ A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E $, а детерминантата на $ E $ винаги е 1, следователно

\ [\ начало (подравняване) & A \ cdot ((A) ^ (- 1)) = E; \\ & \ наляво | A \ cdot ((A) ^ (- 1)) \ дясно | = \ ляво | E \ вдясно |; \\ & \ наляво | A \ вдясно | \ cdot \ вляво | ((A) ^ (- 1)) \ вдясно | = 1. \\ \ край (подравняване) \]

Произведението на две числа е равно на едно само ако всяко от тези числа е различно от нула:

\ [\ наляво | A \ дясно | \ ne 0; \ четворен \ ляво | ((A) ^ (- 1)) \ вдясно | \ не 0. \]

Така се оказва, че $ \ left | A \ вдясно | \ ne 0 $. Лемата е доказана.

Всъщност това изискване е съвсем логично. Сега ще анализираме алгоритъма за намиране на обратната матрица - и ще стане съвсем ясно защо с нулева детерминанта по принцип не може да съществува обратна матрица.

Но първо, нека формулираме "спомагателна" дефиниция:

Определение. Дегенерирана матрица е квадратна матрица с размер $ \ left [n \ пъти n \ дясно] $, чиято детерминанта е нула.

По този начин можем да твърдим, че всяка обратима матрица е недегенерирана.

Как да намерим обратното на матрица

Сега ще разгледаме универсален алгоритъм за намиране на обратни матрици. Като цяло има два общоприети алгоритма и днес ще разгледаме втория.

Този, който ще бъде обсъден сега, е много ефективен за матрици с размер $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ и - частично - с размер $ \ left [3 \ times 3 \ right] $. Но като се започне от размера $ \ вляво [4 \ пъти 4 \ вдясно] $ е по-добре да не го използвате. Защо - сега вие сами ще разберете всичко.

Алгебрични допълнения

Приготви се. Сега ще има болка. Не, не се притеснявайте: красива медицинска сестра с пола, чорапи с връзки и няма да ви постави инжекция в дупето. Всичко е много по-прозаично: алгебричните допълнения и Нейно Величество „Union Matrix“ идват при вас.

Да започнем с основното. Нека има квадратна матрица с размер $ A = \ ляво [n \ пъти n \ дясно] $, чиито елементи са наречени $ ((a) _ (ij)) $. Тогава за всеки такъв елемент може да се дефинира алгебрично допълнение:

Определение. Алгебрично допълнение $ ((A) _ (ij)) $ към елемента $ ((a) _ (ij)) $, разположен в $ i $ -тия ред и $ j $ -та колона на матрицата $ A = \ left [n \ пъти n \ right] $ е конструкция на формата

\ [((A) _ (ij)) = ((\ вляво (-1 \ вдясно)) ^ (i + j)) \ cdot M_ (ij) ^ (*) \]

Където $ M_ (ij) ^ (*) $ е детерминантата на матрицата, получена от оригиналния $ A $ чрез изтриване на същия $ i $ -ти ред и $ j $ -та колона.

Отново. Алгебричното допълнение към матричния елемент с координати $ \ left (i; j \ right) $ се обозначава като $ ((A) _ (ij)) $ и се изчислява по схемата:

Първо, изтрийте $ i $ -реда и $ j $ -та колона от оригиналната матрица. Получаваме нова квадратна матрица и обозначаваме нейната детерминанта като $ M_ (ij) ^ (*) $.
След това умножаваме тази детерминанта по $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (i + j)) $ - в началото този израз може да изглежда скучен за мозъка, но всъщност ние просто откриваме знака пред $ M_ (ij) ^ (*) $.
Броим - получаваме точно число. Тези. алгебричното допълнение е точно число, а не някаква нова матрица и т.н.

Самата матрица $ M_ (ij) ^ (*) $ се нарича допълнителен минор към елемента $ ((a) _ (ij)) $. И в този смисъл горното определение за алгебрично допълнение е частен случай на по-сложна дефиниция – това, което разгледахме в урока за детерминанта.

Важна забележка. Обикновено в математиката за "възрастни" алгебричните допълнения се дефинират, както следва:

Взимаме $ k $ редове и $ k $ колони в квадратна матрица. При пресичането им получаваме матрица с размер $ \ left [k \ times k \ right] $ - нейната детерминанта се нарича минор от ред $ k $ и се означава с $ ((M) _ (k)) $.

След това изтриваме тези "любими" $ k $ редове и $ k $ колони. Отново получаваме квадратна матрица - нейната детерминанта се нарича допълнителен минор и се обозначава $ M_ (k) ^ (*) $.

Умножете $ M_ (k) ^ (*) $ по $ ((\ left (-1 \ right)) ^ (t)) $, където $ t $ е (сега внимание!) Сумата от числата на всички избрани редове и колони... Това ще бъде алгебричното събиране.

Обърнете внимание на третата стъпка: всъщност има сума от $2k $$ условия! Друго нещо е, че за $ k = 1 $ получаваме само 2 члена - това ще бъдат едни и същи $ i + j $ - "координати" на елемента $ ((a) _ (ij)) $, който търсим за алгебрично допълнение.

По този начин днес използваме леко опростена дефиниция. Но както ще видим по-късно, това ще бъде повече от достатъчно. Следващото нещо е много по-важно:

Определение. Присъединената матрица $ S $ към квадратната матрица $ A = \ left [n \ times n \ right] $ е нова матрица с размер $ \ left [n \ times n \ right] $, която се получава от $ A $ като замените $ (( a) _ (ij)) $ алгебрични допълнения $ ((A) _ (ij)) $:

\\ Стрелка надясно S = \ наляво [\ начало (матрица) ((A) _ (11)) & ((A) _ (12)) & ... & ((A) _ (1n)) \\ ((( A) _ (21)) & ((A) _ (22)) & ... & ((A) _ (2n)) \\ ... & ... & ... & ... \\ ((A) _ (n1)) & ((A) _ (n2)) & ... & ((A) _ (nn)) \\\ край (матрица) \ вдясно] \]

Първата мисъл, която изниква в момента на осъзнаване на това определение, е "това трябва да броиш!" Отпуснете се: ще трябва да броите, но не толкова. :)

Е, всичко това е много хубаво, но защо е необходимо? Ето защо.

Основната теорема

Да се върнем малко назад. Не забравяйте, че в лема 3 беше посочено, че една обратима матрица $ A $ винаги е неизродена (тоест детерминантата й е различна от нула: $ \ left | A \ right | \ ne 0 $).

Така че, обратното също е вярно: ако матрицата $ A $ не е изродена, тогава тя винаги е обратима. И дори има схема за търсене $ ((A) ^ (- 1)) $. Виж това:

Теорема за обратната матрица. Нека е дадена квадратна матрица $ A = \ left [n \ пъти n \ right] $ и нейният детерминант е различен от нула: $ \ left | A \ вдясно | \ ne 0 $. Тогава обратната матрица $ ((A) ^ (- 1)) $ съществува и се изчислява по формулата:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ ляво | A \ дясно |) \ cdot ((S) ^ (T)) \]

И сега - всичко е същото, но с четлив почерк. За да намерите обратното на матрица, трябва:

Изчислете детерминанта $ \ left | A \ вдясно | $ и се уверете, че е различен от нула.
Построете обединителната матрица $ S $, т.е. пребройте 100500 алгебрични допълнения $ ((A) _ (ij)) $ и ги поставете на мястото на $ ((a) _ (ij)) $.
Транспонирайте тази матрица $ S $ и след това я умножете по някакво число $ q = (1) / (\ left | A \ right |) \; $.

И това е! Намерена е обратната матрица $ ((A) ^ (- 1)) $. Нека да разгледаме примери:

\ [\ вляво [\ начало (матрица) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ край (матрица) \ вдясно] \]

Решение. Нека проверим обратимостта. Нека изчислим детерминанта:

\ [\ наляво | A \ дясно | = \ ляво | \ начало (матрица) 3 & 1 \\ 5 & 2 \\\ край (матрица) \ вдясно | = 3 \ cdot 2-1 \ cdot 5 = 6-5 = 1 \]

Детерминантата е различна от нула. Следователно матрицата е обратима. Нека съставим матрицата на съюза:

Нека преброим алгебричните допълнения:

\ [\ начало (подравняване) & ((A) _ (11)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ ляво | 2 \ дясно | = 2; \\ & ((A) _ (12)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ ляво | 5 \ вдясно | = -5; \\ & ((A) _ (21)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (2 + 1)) \ cdot \ ляво | 1 \ вдясно | = -1; \\ & ((A) _ (22)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (2 + 2)) \ cdot \ ляво | 3 \ дясно | = 3. \\ \ край (подравняване) \]

Моля, обърнете внимание: детерминанти | 2 |, | 5 |, | 1 | и | 3 | - това са детерминантите на матрици с размер $ \ ляво [1 \ пъти 1 \ дясно] $, а не модули. Тези. ако детерминантите съдържат отрицателни числа, не е необходимо да премахвате "минус".

Като цяло нашата матрица на съюза изглежда така:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (\ ляво | A \ дясно |) \ cdot ((S) ^ (T)) = \ frac (1) (1) \ cdot ( (\ вляво [\ начало (масив) (* (35) (r)) 2 & -5 \\ -1 & 3 \\\ край (масив) \ надясно]) ^ (T)) = \ ляво [\ начало (масив) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Така че това е всичко. Проблемът е решен.

Отговор. $ \ вляво [\ начало (масив) (* (35) (r)) 2 & -1 \\ -5 & 3 \\\ край (масив) \ вдясно] $

Задача. Намерете обратното на матрицата:

\ [\ вляво [\ начало (масив) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Решение. Отново разглеждаме детерминанта:

\ [\ начало (подравняване) & \ наляво | \ начало (масив) (* (35) (r)) 1 & -1 & 2 \\ 0 & 2 & -1 \\ 1 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно | = \ начало (матрица ) \ left (1 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ left (-1 \ right) \ cdot \ left (-1 \ right) \ cdot 1 + 2 \ cdot 0 \ cdot 0 \ надясно) - \\ - \ left (2 \ cdot 2 \ cdot 1+ \ вляво (-1 \ вдясно) \ cdot 0 \ cdot 1 + 1 \ cdot \ вляво (-1 \ вдясно) \ cdot 0 \ вдясно) \\\ край (матрица) = \ \ & = \ ляво (2 + 1 + 0 \ дясно) - \ ляво (4 + 0 + 0 \ дясно) = - 1 \ ne 0. \\ \ край (подравняване) \]

Детерминантата е различна от нула - матрицата е обратима. Но сега ще има най-трудното: трябва да преброите до 9 (девет, по дяволите!) Алгебрични допълнения. И всеки от тях ще съдържа квалификатора $ \ left [2 \ пъти 2 \ right] $. летя:

\ [\ начало (матрица) ((A) _ (11)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (1 + 1)) \ cdot \ ляво | \ начало (матрица) 2 & -1 \\ 0 & 1 \\\ край (матрица) \ вдясно | = 2; \\ ((A) _ (12)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (1 + 2)) \ cdot \ ляво | \ начало (матрица) 0 & -1 \\ 1 & 1 \\\ край (матрица) \ вдясно | = -1; \\ ((A) _ (13)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (1 + 3)) \ cdot \ ляво | \ начало (матрица) 0 & 2 \\ 1 & 0 \\\ край (матрица) \ вдясно | = -2; \\ ... \\ ((A) _ (33)) = ((\ ляво (-1 \ дясно)) ^ (3 + 3)) \ cdot \ ляво | \ начало (матрица) 1 & -1 \\ 0 & 2 \\\ край (матрица) \ вдясно | = 2; \\ \ край (матрица) \]

Накратко, матрицата на съюза ще изглежда така:

Следователно, обратната на матрицата ще бъде така:

\ [((A) ^ (- 1)) = \ frac (1) (- 1) \ cdot \ left [\ начало (матрица) 2 & -1 & -2 \\ 1 & -1 & -1 \\ -3 & 1 & 2 \\\ край (матрица) \ дясно] = \ ляво [\ начало (масив) (* (35) (r)) - 2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \ \ 2 & 1 & -2 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Е, това е всичко. Ето отговора.

Отговор. $ \ left [\ начало (масив) (* (35) (r)) -2 & -1 & 3 \\ 1 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & -2 \\\ край (масив) \ вдясно ] $

Както можете да видите, в края на всеки пример направихме проверка. В тази връзка важна забележка:

Не бъдете мързеливи да проверите. Умножете оригиналната матрица по намерената обратна матрица - трябва да получите $ E $.

Тази проверка е много по-лесна и по-бърза от търсенето на грешка при по-нататъшни изчисления, когато, например, решавате матрично уравнение.

Алтернативен начин

Както казах, теоремата за обратната матрица работи чудесно за размерите $ \ left [2 \ times 2 \ right] $ и $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ (в последния случай не е толкова „страхотно“ ), Но за големите матрици започва тъгата.

Но не се притеснявайте: има алтернативен алгоритъм, който може да се използва за спокойно намиране на обратната дори за матрицата $ \ left [10 \ пъти 10 \ right] $. Но, както често се случва, за да разгледаме този алгоритъм, се нуждаем от малко теоретична основа.

Елементарни трансформации

Сред различните трансформации на матрицата има няколко специални - те се наричат елементарни. Има точно три такива трансформации:

Умножение. Можете да вземете $ i $-тия ред (колона) и да го умножите по произволно число $ k \ ne 0 $;
Добавяне. Добавете към $ i $ ти ред (колона) всеки друг $ j $ ти ред (колона), умножен по произволно число $ k \ ne 0 $ (можете, разбира се, и $ k = 0 $, но какъв е смисълът? Все пак нищо няма да се промени).
Пренареждане. Вземете $ i $ th и $ j $ th редове (колони) и ги разменете.

Защо тези трансформации се наричат елементарни (за големите матрици те не изглеждат толкова елементарни) и защо са само три – тези въпроси са извън обхвата на днешния урок. Затова няма да навлизаме в подробности.

Друго нещо е важно: трябва да извършим всички тези извращения върху прикачената матрица. Да, да: правилно чухте. Сега ще има още едно определение – последното в днешния урок.

Приложена матрица

Със сигурност в училище сте решавали системи от уравнения, използвайки метода на събиране. Е, там, извадете друг от един низ, умножете някакъв низ по число - това е всичко.

И така: сега всичко ще бъде същото, но вече „по възрастен начин“. Готов?

Определение. Нека са дадени матрицата $ A = \ left [n \ пъти n \ надясно] $ и идентичната матрица $ E $ със същия размер $ n $. Тогава присъединената матрица $ \ left [A \ left | E \ вдясно. \ вдясно] $ е нова $ \ left [n \ пъти 2n \ вдясно] $ матрица, която изглежда така:

\ [\ наляво [A \ наляво | E \ вдясно. \ вдясно] = \ left [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) ((a) _ (11)) & ((a) _ (12)) & ... & ((a) _ (1n)) & 1 & 0 & ... & 0 \\ ((a) _ (21)) & ((a) _ (22)) & ... & (a) _ (2n)) & 0 & 1 & ... & 0 \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ ((a) _ (n1)) & ((a) _ (n2)) & ... & ((a) _ (nn)) & 0 & 0 & ... & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Накратко, вземаме матрицата $ A $, вдясно й присвояваме матрицата за идентичност $ E $ с необходимия размер, разделяме ги с вертикална лента за красота - ето я прилежащата. :)

Каква е уловката? Ето какво:

Теорема. Нека матрицата $ A $ е обратима. Да разгледаме присъединената матрица $ \ left [A \ left | E \ вдясно. \ вдясно] $. Ако използвате елементарни преобразувания на низовеприведете го до формата $ \ left [E \ left | Ярък. \ вдясно] $, т.е. чрез умножаване, изваждане и пренареждане на редовете, за да получите от $ A $ матрицата $ E $ отдясно, тогава матрицата $ B $, получена отляво, е обратната на $ A $:

\ [\ наляво [A \ наляво | E \ вдясно. \ надясно] \ на \ наляво [E \ наляво | Ярък. \ надясно] \ Стрелка надясно B = ((A) ^ (- 1)) \]

Толкова е просто! Накратко, алгоритъмът за намиране на обратната матрица изглежда така:

Напишете добавената матрица $ \ left [A \ left | E \ вдясно. \ вдясно] $;
Извършвайте елементарни преобразувания на низове, докато се появи $ E $ вместо $ A $;
Разбира се, нещо ще се появи и отляво - някаква матрица $ B $. Това ще бъде обратното;
ПЕЧАЛБА! :)

Разбира се, това е много по-лесно да се каже, отколкото да се направи. Така че нека разгледаме няколко примера: за размери $ \ left [3 \ times 3 \ right] $ и $ \ left [4 \ times 4 \ right] $.

Задача. Намерете обратното на матрицата:

\ [\ наляво [\ начало (масив) (* (35) (r)) 1 & 5 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \\ 6 & -2 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \ ]

Решение. Ние съставяме приложената матрица:

\ [\ left [\ begin (масив) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & -2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Тъй като последната колона на оригиналната матрица е изпълнена с единици, нека извадим първия ред от останалите:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 3 & 2 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 6 & - 2 & 1 & 0 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \ начало (матрица) \ стрелка надолу \\ -1 \\ -1 \\\ край (матрица) \ до \\ & \ до \ наляво [\ начало (масив) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Няма повече такива, освен първия ред. Но ние не го докосваме, в противен случай в третата колона новоотстранените единици ще започнат да се „умножават“.

Но можем да извадим втория ред два пъти от последния - получаваме един в долния ляв ъгъл:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 5 & -7 & 0 & -1 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \ начало (матрица) \ \\ \ стрелка надолу \\ -2 \\\ край (матрица) \ към \\ & \ наляво [\ начало (масив) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Сега можем да извадим последния ред от първия и два пъти от втория - по този начин "нулираме" първата колона:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrr | rrr) 1 & 5 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 2 & -3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \ начало (матрица) -1 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ край (матрица) \ към \\ & \ към \ наляво [\ начало (масив) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Умножете втория ред по −1 и след това го извадете 6 пъти от първия и го добавете 1 път към последния:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 0 & -3 & 5 & -2 \ \ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ край (масив) \ дясно] \ начало (матрица) \ \\ \ ляво | \ cdot \ ляво (-1 \ дясно) \ дясно. \\ \\\ край (матрица) \ до \\ & \ до \ вляво [\ начало (масив) (rrr | rrr) 0 & 6 & 1 & 0 & 2 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 1 & -1 & 0 & 1 & -2 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \ начало (матрица) -6 \\ \ стрелка нагоре \\ +1 \\\ край ( матрица) \ до \\ & \ до \ наляво [\ начало (масив) (rrr | rrr) 0 & 0 & 1 & -18 & 32 & -13 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \ \ 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Всичко, което остава, е да размените редове 1 и 3:

\ [\ left [\ begin (масив) (rrr | rrr) 1 & 0 & 0 & 4 & -7 & 3 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 1 & - 18 & 32 & -13 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Готов! Вдясно е желаната обратна матрица.

Отговор. $ \ left [\ начало (масив) (* (35) (r)) 4 & -7 & 3 \\ 3 & -5 & 2 \\ -18 & 32 & -13 \\\ край (масив) \ надясно ] $

Задача. Намерете обратното на матрицата:

\ [\ left [\ начало (матрица) 1 & 4 & 2 & 3 \\ 1 & -2 & 1 & -2 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \\ 0 & -10 & -2 & -5 \\\ край (матрица) \ вдясно] \]

Решение. Отново съставяме приложеното:

\ [\ left [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \ \ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \]

Хайде да се доспим малко, да скърбим колко много трябва да броим сега... и да започнем да броим. Първо, нека нулираме първата колона, като извадим ред 1 от редове 2 и 3:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & -2 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & -1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \ начало (матрица) \ стрелка надолу \\ -1 \\ -1 \\ \\\ край (матрица) \ до \\ & \ до \ наляво [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 и 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Виждаме твърде много "против" в редове 2-4. Умножете всичките три реда по −1 и след това изгорете третата колона, като извадите ред 3 от останалите:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -6 & -1 & -5 & - 1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & -5 & -1 & -2 & -1 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & -10 & -2 & -5 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \ край (масив) \ дясно] \ начало (матрица) \ \\ \ ляво | \ cdot \ ляво (-1 \ дясно) \ дясно. \\ \ вляво | \ cdot \ ляво (-1 \ дясно) \ дясно. \\ \ вляво | \ cdot \ ляво (-1 \ дясно) \ дясно. \\\ край (матрица) \ до \\ & \ до \ вляво [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & 4 & 2 & 3 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 6 & 1 & 5 & 1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 10 & 2 & 5 & 0 & 0 & 0 & -1 \\ \ край (масив) \ надясно] \ начало (матрица) -2 \\ -1 \\ \ стрелка нагоре \\ -2 \\\ край (матрица) \ към \\ & \ до \ наляво [\ начало (масив) ( rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Сега е моментът да "изпържите" последната колона на оригиналната матрица: извадете ред 4 от останалата част:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & -1 & -1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 3 & 0 & -1 & 1 & 0 \\ 0 & 5 & 1 & 2 & 1 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ край (масив ) \ вдясно] \ начало (матрица) +1 \\ -3 \\ -2 \\ \ uparrow \\\ край (матрица) \ към \\ & \ към \ наляво [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

Окончателно хвърляне: Изгорете втората колона, като извадите ред 2 от редове 1 и 3:

\ [\ начало (подравняване) & \ left [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & -6 & 0 & 0 & -3 & 0 & 4 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 5 & 1 & 0 & 5 & 0 & -5 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ край ( масив) \ надясно] \ начало (матрица) 6 \\ \ стрелка нагоре \\ -5 \\ \ \\\ край (матрица) \ до \\ & \ до \ наляво [\ начало (масив) (rrrr | rrrr) 1 & 0 & 0 & 0 & 33 & -6 & -26 & -17 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 6 & -1 & -5 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & -25 & 5 & 20 & -13 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & -2 & 0 & 2 & -1 \\\ край (масив) \ вдясно] \\ \ край (подравняване) \]

И отново вляво е матрицата на идентичността, което означава, че обратната е отдясно. :)

Отговор. $ \ left [\ начало (матрица) 33 & -6 & -26 & 17 \\ 6 & -1 & -5 & 3 \\ -25 & 5 & 20 & -13 \\ -2 & 0 & 2 & - 1 \\\ край (матрица) \ дясно] $

Така че това е всичко. Проверете го сами - изхвърлете ми го. :)

В тази статия ще говорим за матричния метод за решаване на система от линейни алгебрични уравнения, ще намерим нейното определение и ще дадем примери за решението.

Определение 1

Метод на обратна матрица е метод, използван за решаване на SLAE в случай, че броят на неизвестните е равен на броя на уравненията.

Пример 1

Намерете решение на система от n линейни уравнения с n неизвестни:

a 11 x 1 + a 12 x 2 +. ... ... + a 1 n x n = b 1 a n 1 x 1 + a n 2 x 2 +. ... ... + a n n x n = b n

Матричен тип запис : A × X = B

където А = а 11 а 12 ⋯ а 1 n а 21 а 22 ⋯ а 2 n ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ а n 1 а n 2 ⋯ а n n е матрицата на системата.

X = x 1 x 2 ⋮ x n - колона с неизвестни,

B = b 1 b 2 ⋮ b n - колона със свободни коефициенти.

От уравнението, което получихме, трябва да изразите X. За да направите това, трябва да умножите двете страни на матричното уравнение вляво по A - 1:

A - 1 × A × X = A - 1 × B.

Тъй като A - 1 × A = E, тогава E × X = A - 1 × B или X = A - 1 × B.

Коментирайте

Обратната към матрицата A матрица има право да съществува само ако условието d e t A не е равно на нула. Следователно, когато решавате SLAE по метода на обратната матрица, на първо място, d e t A.

Ако d e t A не е равно на нула, системата има само едно решение: използвайки метода на обратната матрица. Ако d e t А = 0, тогава системата не може да бъде решена по този метод.

Пример за решаване на система от линейни уравнения с помощта на метода на обратната матрица

Пример 2

Решаваме SLAE по метода на обратната матрица:

2 x 1 - 4 x 2 + 3 x 3 = 1 x 1 - 2 x 2 + 4 x 3 = 3 3 x 1 - x 2 + 5 x 3 = 2

Как да решим?

Записваме системата под формата на матрично уравнение A X = B, където

A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5, X = x 1 x 2 x 3, B = 1 3 2.

Изразяваме от това уравнение X:

Намерете детерминантата на матрицата A:

det A = 2 - 4 3 1 - 2 4 3 - 1 5 = 2 × (- 2) × 5 + 3 × (- 4) × 4 + 3 × (- 1) × 1 - 3 × (- 2) × 3 - - 1 × (- 4) × 5 - 2 × 4 - (- 1) = - 20 - 48 - 3 + 18 + 20 + 8 = - 25

d e t А не е равно на 0, следователно методът на обратната матрица е подходящ за тази система.

Намерете обратната матрица A - 1, като използвате матрицата на съюза. Изчисляваме алгебричните допълнения A i j към съответните елементи на матрицата A:

A 11 = (- 1) (1 + 1) - 2 4 - 1 5 = - 10 + 4 = - 6,

A 12 = (- 1) 1 + 2 1 4 3 5 = - (5 - 12) = 7,

A 13 = (- 1) 1 + 3 1 - 2 3 - 1 = - 1 + 6 = 5,

A 21 = (- 1) 2 + 1 - 4 3 - 1 5 = - (- 20 + 3) = 17,

A 22 = (- 1) 2 + 2 2 3 3 5 - 10 - 9 = 1,

A 23 = (- 1) 2 + 3 2 - 4 3 - 1 = - (- 2 + 12) = - 10,

A 31 = (- 1) 3 + 1 - 4 3 - 2 4 = - 16 + 6 = - 10,

A 32 = (- 1) 3 + 2 2 3 1 4 = - (8 - 3) = - 5,

A 33 = (- 1) 3 + 3 2 - 4 1 - 2 = - 4 + 4 = 0.

Записваме обединената матрица A *, която е съставена от алгебричните допълнения на матрицата A:

A * = - 6 7 5 17 1 - 10 - 10 - 5 0

Записваме обратната матрица по формулата:

A - 1 = 1 d e t A (A *) T: A - 1 = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0,

Умножаваме обратната матрица A - 1 по колоната със свободни термини B и получаваме решението на системата:

X = A - 1 × B = - 1 25 - 6 17 - 10 7 1 - 5 5 - 10 0 1 3 2 = - 1 25 - 6 + 51 - 20 7 + 3 - 10 5 - 30 + 0 = - 1 0 1

Отговор : x 1 = - 1; х 2 = 0; х 3 = 1

Ако забележите грешка в текста, моля, изберете я и натиснете Ctrl + Enter